Centre of mass (Point Mass) Questions in Gujarati

(D) ધારો કે ત્રણ દળના યામ $(x_1, y_1) = (0, 0)$,$(x_2, y_2) = (1, 0)$,અને $(x_3, y_3) = (0.5, \frac{\sqrt{3}}{2})$ છે.
બધા દળ સમાન છે,$m_1 = m_2 = m_3 = 1 \,kg$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $x$-યામ નીચે મુજબ મળે છે:
$X_{cm} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3}{m_1 + m_2 + m_3} = \frac{1(0) + 1(1) + 1(0.5)}{1 + 1 + 1} = \frac{1.5}{3} = \frac{1}{2} \,m$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $y$-યામ નીચે મુજબ મળે છે:
$Y_{cm} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2 + m_3 y_3}{m_1 + m_2 + m_3} = \frac{1(0) + 1(0) + 1(\frac{\sqrt{3}}{2})}{1 + 1 + 1} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{1}{2 \sqrt{3}} \,m$.
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના યામ $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2 \sqrt{3}}\right)$ છે.

(C) દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(CM)$ એ એવું બિંદુ છે જ્યાં પદાર્થનું કુલ દળ કેન્દ્રિત થયેલું માનવામાં આવે છે.
ગુરુત્વકેન્દ્ર $(CG)$ એ એવું બિંદુ છે જ્યાં પદાર્થ પર લાગતું કુલ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (વજન) કાર્ય કરે છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર,ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $g$ ઊંચાઈ સાથે બદલાય છે. જો પદાર્થનું કદ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $(R_e)$ ની સરખામણીમાં ખૂબ જ નાનું હોય,તો ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $g$ ને પદાર્થ પર સમાન ગણી શકાય.
સમાન ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં,$CM$ અને $CG$ એક જ બિંદુ પર સંપાત થાય છે.
તેથી,પૃથ્વીની સપાટી પરના વિસ્તૃત પદાર્થ માટે,જો પદાર્થનું કદ પૃથ્વીની ત્રિજ્યાની સરખામણીમાં નગણ્ય હોય,તો $CM$ અને $CG$ એક જ બિંદુ પર હોય છે.

(B) તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન હંમેશા ભારે દળની નજીક હોય છે,કારણ કે તેનું સ્થાન દળના વિતરણ પર આધાર રાખે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,વિકર્ણની ઉપરના ભાગમાં હવા છે,જ્યારે નીચેના ભાગમાં રેતી છે.
રેતી એ હવા કરતા ઘણી વધારે ઘન અને ભારે હોવાથી,તંત્રનું કુલ દળ નીચેના ત્રિકોણાકાર ભાગમાં વધુ કેન્દ્રિત થયેલું છે.
તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર રેતી ધરાવતા વિસ્તારમાં,એટલે કે વિકર્ણની નીચે હોવું જોઈએ.
આપેલ બિંદુઓમાંથી,બિંદુ $D$ એ રેતી ધરાવતા વિસ્તારમાં આવેલું છે. આમ,$D$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સંભવિત સ્થાન છે.

(A) શિરોબિંદુઓના યામ $A(0, 0)$,$B(1, 0)$,અને $C(1/2, \sqrt{3}/2)$ છે.
દળ $m_A = 1 \ kg$,$m_B = 2 \ kg$,અને $m_C = 3 \ kg$ છે.
કુલ દળ $M = m_A + m_B + m_C = 1 + 2 + 3 = 6 \ kg$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $x$-યામ નીચે મુજબ મળે:
$x_{cm} = \frac{m_A x_A + m_B x_B + m_C x_C}{M} = \frac{1(0) + 2(1) + 3(1/2)}{6} = \frac{0 + 2 + 1.5}{6} = \frac{3.5}{6} = \frac{7}{12}$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $y$-યામ નીચે મુજબ મળે:
$y_{cm} = \frac{m_A y_A + m_B y_B + m_C y_C}{M} = \frac{1(0) + 2(0) + 3(\sqrt{3}/2)}{6} = \frac{3\sqrt{3}/2}{6} = \frac{3\sqrt{3}}{12}$.
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $\left(\frac{7}{12}, \frac{3\sqrt{3}}{12}\right)$ છે.

(B) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી એક સમાન અર્ધવર્તુળાકાર પ્લેટનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(COM)$ તેની સીધી ધારના કેન્દ્ર $(O)$ થી $\frac{4r}{3\pi}$ અંતરે સંમિતિની અક્ષ પર સ્થિત હોય છે.
તેથી,અંતર $OA = \frac{4r}{3\pi}$ થાય.

(C) આપેલ પરિસ્થિતિ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે જ્યાં $A, B, C, D$ એ ચાર ગોળાઓના કેન્દ્રો છે જે $a = 20 \,cm$ બાજુવાળો ચોરસ બનાવે છે.
તમામ ચાર ગોળાઓ સમાન હોવાથી અને સમાન દળ ધરાવતા હોવાથી, તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેમના કેન્દ્રો દ્વારા બનતા ચોરસના ભૌમિતિક કેન્દ્ર સાથે સંપાતી થશે, જેને બિંદુ $O$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
કોઈપણ ગોળાના કેન્દ્ર (દા.ત., કેન્દ્ર $A$) થી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું અંતર એ $AO$ અંતર છે.
$a = 20 \,cm$ બાજુવાળા ચોરસમાં, વિકર્ણ $AC$ ની લંબાઈ $AC = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2} = 20\sqrt{2} \,cm$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચોરસના કેન્દ્રથી કોઈપણ શિરોબિંદુ સુધીનું અંતર એ વિકર્ણની લંબાઈનું અડધું હોય છે:
$AO = \frac{AC}{2} = \frac{20\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2} \,cm$.

(B) દરેક ગોળાનો વ્યાસ $D = 2\sqrt{3} \text{ m}$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $R = \sqrt{3} \text{ m}$ છે.
ત્રણેય ગોળાઓના કેન્દ્રો $a = 2R = 2\sqrt{3} \text{ m}$ બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે.
ધારો કે કેન્દ્રોના યામ $A(0, 0)$,$B(2\sqrt{3}, 0)$,અને $C(\sqrt{3}, 3)$ છે.
ત્રણ સમાન ગોળાઓના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(X_{CM}, Y_{CM})$ માટે:
$X_{CM} = \frac{m(0) + m(2\sqrt{3}) + m(\sqrt{3})}{3m} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} \text{ m}$
$Y_{CM} = \frac{m(0) + m(0) + m(3)}{3m} = \frac{3}{3} = 1 \text{ m}$
તેથી,પ્રારંભિક દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $C_{CM} = (\sqrt{3}, 1)$ છે.
જો ગોળા $C$ ને દૂર કરવામાં આવે,તો બાકીના બે ગોળાઓ $A$ અને $B$ ના નવા દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(X'_{CM}, Y'_{CM})$:
$X'_{CM} = \frac{m(0) + m(2\sqrt{3})}{2m} = \sqrt{3} \text{ m}$
$Y'_{CM} = \frac{m(0) + m(0)}{2m} = 0 \text{ m}$
તેથી,નવું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $C'_{CM} = (\sqrt{3}, 0)$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાં થતું સ્થાનાંતર $\Delta = \sqrt{(\sqrt{3} - \sqrt{3})^2 + (1 - 0)^2} = 1 \text{ m}$ છે.
સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) ધારો કે ત્રણ તકતીઓની ત્રિજ્યા $r_1 = r$, $r_2 = 2r$, અને $r_3 = 3r$ છે. તેઓ સમાન દ્રવ્ય અને સમાન જાડાઈની હોવાથી, તેમનું દળ તેમના ક્ષેત્રફળના પ્રમાણમાં હોય છે: $m \propto \pi r^2$.
તેથી, $m_1 = k(\pi r^2) = m$, $m_2 = k(\pi (2r)^2) = 4m$, અને $m_3 = k(\pi (3r)^2) = 9m$.
ધારો કે નાની તકતી $(m_1)$ નું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે.
વચ્ચેની તકતી $(m_2)$ પ્રથમ તકતીને સ્પર્શે છે, તેથી તેનું કેન્દ્ર $x_2 = r + 2r = 3r$ પર છે.
ત્રીજી તકતી $(m_3)$ વચ્ચેની તકતીને સ્પર્શે છે, તેથી તેનું કેન્દ્ર $x_3 = x_2 + 2r + 3r = 3r + 5r = 8r$ પર છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $X_{cm}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$X_{cm} = \frac{m_1x_1 + m_2x_2 + m_3x_3}{m_1 + m_2 + m_3}$
$X_{cm} = \frac{m(0) + 4m(3r) + 9m(8r)}{m + 4m + 9m} = \frac{12mr + 72mr}{14m} = \frac{84mr}{14m} = 6r$.
નાની તકતીના કેન્દ્રથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું અંતર $6r$ છે.

(A) ધારો કે $5 \,g$ ના કણનું સ્થાન $x_1 = 0 \,cm$ પર છે અને $3 \,g$ ના કણનું સ્થાન $x_2 = 40 \,cm$ પર છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $x_{cm}$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$x_{cm} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$x_{cm} = \frac{5 \times 0 + 3 \times 40}{5 + 3}$
$x_{cm} = \frac{120}{8} = 15 \,cm$
આનો અર્થ એ છે કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $5 \,g$ ના કણથી $15 \,cm$ ના અંતરે અને $3 \,g$ ના કણથી $40 - 15 = 25 \,cm$ ના અંતરે આવેલું છે.
તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $5 \,g$ ના કણથી $15 \,cm$ ના અંતરે આવેલું છે.

(D) કણોના તંત્ર માટે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(R_{cm})$ નું સ્થાન $R_{cm} = \frac{\sum m_i r_i}{\sum m_i}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$m_1$ અને $m_2$ દળ ધરાવતા બે કણો માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર વધુ દળ ધરાવતા કણની નજીક હોય છે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,$m_1$ થી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું અંતર $d_1 = \frac{m_2}{m_1 + m_2} d$ અને $m_2$ થી અંતર $d_2 = \frac{m_1}{m_1 + m_2} d$ છે,જ્યાં $d$ એ તેમની વચ્ચેનું અંતર છે.
જો $m_1 > m_2$ હોય,તો $d_1 < d_2$ થાય,જેનો અર્થ છે કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર મોટા દળની નજીક છે.
તેથી,વિધાન $(d)$ ખોટું છે કારણ કે તે દાવો કરે છે કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઓછા દળ ધરાવતા કણની નજીક હોય છે.

(A) $x=N$ સ્થાન પરનું દળ $m_N = m \left(\frac{1}{3}\right)^N \frac{1}{N}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$X$-અક્ષ પર દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $X_{cm}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$X_{cm} = \frac{\sum m_N x_N}{\sum m_N} = \frac{\sum_{N=2}^{\infty} \left[ m \left(\frac{1}{3}\right)^N \frac{1}{N} \right] \times N}{M}$
$X_{cm} = \frac{m}{M} \sum_{N=2}^{\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^N$
આ એક અનંત ભૂમિતિ શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{3}$ છે.
અનંત ભૂમિતિ શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r}$ છે.
$X_{cm} = \frac{m}{M} \left[ \frac{1/9}{1 - 1/3} \right] = \frac{m}{M} \left[ \frac{1/9}{2/3} \right] = \frac{m}{M} \left[ \frac{1}{9} \times \frac{3}{2} \right] = \frac{m}{6M}$.

(A) દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $X_{CM}$ નું સ્થાન $X_{CM} = \frac{\sum m_i x_i}{M}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$X_{CM} = \frac{m(1) + (1/2)(m/2)(2) + (1/2)^2(m/3)(3) + \dots + (1/2)^{N-1}(m/N)(N) + \dots}{M}$
$X_{CM} = \frac{m + (1/2)m + (1/2)^2m + \dots + (1/2)^{N-1}m + \dots}{M}$
$X_{CM} = \frac{m}{M} [1 + 1/2 + (1/2)^2 + \dots + (1/2)^{N-1} + \dots]$
કૌંસમાં રહેલું પદ અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી ($G$.$P$.) છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 1/2$ છે.
અનંત $G$.$P$. નો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1 - 1/2} = \frac{1}{1/2} = 2$ થાય.
તેથી,$X_{CM} = \frac{m}{M} \times 2 = \frac{2m}{M}$.
દળ માત્ર $X$-અક્ષ પર મૂકવામાં આવ્યા હોવાથી,$Y_{CM} = 0$ અને $Z_{CM} = 0$ થશે.
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(\frac{2m}{M}, 0, 0)$ છે.

(B) વ્યાખ્યા મુજબ,$n$ કણો ધરાવતી સિસ્ટમ કે જેમાં $m_i$ દળ ધરાવતા કણો $\vec{r}_i$ સ્થાન પર છે,તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $\vec{R}_{cm}$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $\vec{R}_{cm} = \frac{\sum m_i \vec{r}_i}{\sum m_i}$
જો આપણે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને ઉગમબિંદુ તરીકે લઈએ,તો $\vec{R}_{cm} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\sum m_i \vec{r}_i = 0$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે કણની મોમેન્ટ એ તેના દળ અને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે તેના સ્થાન સદિશનો ગુણાકાર છે,જે $m_i \vec{r}_i$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
સિસ્ટમના તમામ કણો માટે આ મોમેન્ટ્સનો સરવાળો $\sum m_i \vec{r}_i$ થાય છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની વ્યાખ્યા મુજબ $\sum m_i \vec{r}_i = 0$ હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે તમામ કણોની મોમેન્ટ્સનો સરવાળો હંમેશા શૂન્ય હોય છે.

(C) આપેલ છે:
કાર્બન પરમાણુનું દળ,$m_C = 12 amu$
ઓક્સિજન પરમાણુનું દળ,$m_O = 16 amu$
તેમની વચ્ચેનું અંતર,$r = 1.1 Å$
ધારો કે $x$ એ કાર્બન પરમાણુથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું અંતર છે.
બે કણોની સિસ્ટમ માટે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,કાર્બન પરમાણુથી અંતર $x$ નીચે મુજબ મળે છે:
$x = \frac{m_O \cdot r}{m_C + m_O}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$x = \frac{16 \cdot 1.1}{12 + 16}$
$x = \frac{17.6}{28}$
$x = 0.62857 Å \approx 0.63 Å$
તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર કાર્બન પરમાણુથી $0.63 Å$ ના અંતરે આવેલું છે.

(C) $m_1$ અને $m_2$ દળ ધરાવતા અને $r_1$ તથા $r_2$ સ્થાન પર રહેલા બે કણોના તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(R_{CM})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$R_{CM} = \frac{m_1 r_1 + m_2 r_2}{m_1 + m_2}$
બંને પરમાણુઓ ઓક્સિજનના હોવાથી,તેમના દળ સમાન છે,એટલે કે $m_1 = m_2 = m$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$R_{CM} = \frac{m r_1 + m r_2}{m + m}$
$R_{CM} = \frac{m(r_1 + r_2)}{2m}$
$R_{CM} = \frac{r_1 + r_2}{2}$
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર બંને પરમાણુઓને જોડતી રેખાના મધ્યબિંદુ પર છે.

(C) ધારો કે ત્રણ સળિયા $R_1, R_2, R_3$ છે અને ચોથો સળિયો $R_4$ છે.
$R_1$ ધન $X$-અક્ષ પર છે: દળ $m$,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(L/2, 0)$.
$R_2$ ધન $Y$-અક્ષ પર છે: દળ $m$,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(0, L/2)$.
$R_3$ એ $X$-અક્ષ સાથે $45^\circ$ ના ખૂણે છે: દળ $m$,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(L/2 \cos 45^\circ, L/2 \sin 45^\circ) = (L/2\sqrt{2}, L/2\sqrt{2})$.
$R_4$ નું દળ $3m$ અને લંબાઈ $L_4$ છે. તે ત્રીજા ચરણમાં ઋણ $X$-અક્ષ સાથે $45^\circ$ ના ખૂણે મૂકવામાં આવ્યો છે. તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(-L_4/2 \cos 45^\circ, -L_4/2 \sin 45^\circ) = (-L_4/2\sqrt{2}, -L_4/2\sqrt{2})$ પર છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર હોવા માટે,મોમેન્ટ્સનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ: $\sum m_i x_i = 0$ અને $\sum m_i y_i = 0$.
$X$-યામ માટે: $m(L/2) + m(0) + m(L/2\sqrt{2}) + 3m(-L_4/2\sqrt{2}) = 0$.
$L/2 + L/2\sqrt{2} = 3L_4/2\sqrt{2}$.
$2\sqrt{2}$ વડે ગુણતા: $L\sqrt{2} + L = 3L_4$.
$L(\sqrt{2}+1) = 3L_4$.
$L_4 = \frac{L(\sqrt{2}+1)}{3}$.

(A) નિશ્ચિત બિંદુથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $x_{cm}$ નું અંતર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$x_{cm} = \frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$x_{cm} = \frac{m(l) + 2m(2l) + 3m(3l) + \ldots + nm(nl)}{m + 2m + 3m + \ldots + nm}$
$x_{cm} = \frac{ml(1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2)}{m(1 + 2 + 3 + \ldots + n)}$
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રો $\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ અને $\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x_{cm} = \frac{l \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{\frac{n(n+1)}{2}}$
$x_{cm} = l \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \cdot \frac{2}{n(n+1)}$
$x_{cm} = \frac{l(2n+1)}{3}$

(C) ધારો કે પ્રથમ પદાર્થનું દળ $m_1 = 2 \,kg$ છે અને તેનો વેગ $\vec{v}_1 = 20 \hat{i} \,m \,s^{-1}$ છે.
ધારો કે બીજા પદાર્થનું દળ $m_2 = 3 \,kg$ છે અને તેનો વેગ $\vec{v}_2 = 10 \hat{j} \,m \,s^{-1}$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $\vec{v}_{cm}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\vec{v}_{cm} = \frac{m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2}{m_1 + m_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\vec{v}_{cm} = \frac{2(20 \hat{i}) + 3(10 \hat{j})}{2 + 3} = \frac{40 \hat{i} + 30 \hat{j}}{5} = 8 \hat{i} + 6 \hat{j} \,m \,s^{-1}$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના વેગનું મૂલ્ય:
$|\vec{v}_{cm}| = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \,m \,s^{-1}$.

(D) ધારો કે ઉપરના પ્રિઝમનું દળ $m$ છે અને નીચેના પ્રિઝમનું દળ $3m$ છે.
સમક્ષિતિજ સમતલ લીસું હોવાથી અને બંને પ્રિઝમની સિસ્ટમ પર કોઈ બાહ્ય સમક્ષિતિજ બળ લાગતું ન હોવાથી,સિસ્ટમના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સમક્ષિતિજ સ્થાન બદલાતું નથી.
ધારો કે નીચેનો પ્રિઝમ ડાબી તરફ $k$ અંતર ખસે છે. તો દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન જાળવી રાખવા માટે ઉપરના પ્રિઝમે જમીનની સાપેક્ષમાં જમણી તરફ $(a-b-k)$ અંતર ખસવું પડશે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સંરક્ષણના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા:
$3m \cdot k = m \cdot (a - b - k)$
બંને બાજુ $m$ વડે ભાગતા:
$3k = a - b - k$
$4k = a - b$
$k = \frac{a - b}{4}$
આમ,નીચેના પ્રિઝમ દ્વારા કાપેલું અંતર $\frac{a - b}{4}$ છે.

(A) આપેલ દળ $m_1 = 20 \ g$,$m_2 = 30 \ g$,$m_3 = 50 \ g$ છે.
વેગ $v_1 = 10 \hat{i} \ m/s$,$v_2 = 10 \hat{j} \ m/s$,$v_3 = 10 \hat{k} \ m/s$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $(v_{cm})$ શોધવાનું સૂત્ર:
$v_{cm} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2 + m_3 v_3}{m_1 + m_2 + m_3}$
કિંમતો મૂકતા:
$v_{cm} = \frac{20 \times 10 \hat{i} + 30 \times 10 \hat{j} + 50 \times 10 \hat{k}}{20 + 30 + 50}$
$v_{cm} = \frac{200 \hat{i} + 300 \hat{j} + 500 \hat{k}}{100}$
$v_{cm} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 5 \hat{k}$

(A) ધારો કે ઉભી પ્લેટ $1$ છે અને આડી પ્લેટ $2$ છે. બંનેનું ક્ષેત્રફળ $A = L \times a$ છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ માટે:
ઉભી પ્લેટનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $y_1 = L/2$ પર છે.
આડી પ્લેટનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $y_2 = L + a/2$ પર છે.
સપાટીથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ઊંચાઈ:
$y_{cm} = \frac{A_1 y_1 + A_2 y_2}{A_1 + A_2} = \frac{(La)(L/2) + (La)(L + a/2)}{2La} = \frac{L/2 + L + a/2}{2} = \frac{3L + a}{4}$.
જ્યારે આલ્ફાબેટને ઉર્ધ્વ રીતે ઉલટાવવામાં આવે છે,ત્યારે આડી પ્લેટ હવે નીચે છે:
નવી આડી પ્લેટનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $y_1' = a/2$ પર છે.
નવી ઉભી પ્લેટનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $y_2' = a + L/2$ પર છે.
સપાટીથી નવું દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ઊંચાઈ:
$y_{cm}' = \frac{A_1 y_1' + A_2 y_2'}{A_1 + A_2} = \frac{(La)(a/2) + (La)(a + L/2)}{2La} = \frac{a/2 + a + L/2}{2} = \frac{3a + L}{4}$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાં થતું સ્થાનાંતર:
$\Delta y_{cm} = y_{cm} - y_{cm}' = \frac{3L + a}{4} - \frac{3a + L}{4} = \frac{2L - 2a}{4} = \frac{L - a}{2}$.

(C) ધારો કે ગોળાનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ છે.
ગોળાની ત્રિજ્યા $R_s = 10 \ cm$ છે.
ગોળો નળાકાર સાથે સંપર્કમાં છે,તેથી નળાકારનું કેન્દ્ર ગોળાના કેન્દ્રથી $R_s + L/2$ અંતરે છે,જ્યાં $L = 40 \ cm$ એ નળાકારની લંબાઈ છે.
ગોળાના કેન્દ્રથી નળાકારના કેન્દ્રનું અંતર,$x_c = 10 \ cm + 20 \ cm = 30 \ cm$.
ગોળાનું દળ,$m_s = 0.5 \ kg$.
નળાકારનું દળ,$m_c = 2 \ kg$.
ગોળાના કેન્દ્રથી સિસ્ટમનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $X_{cm}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$X_{cm} = \frac{m_s \cdot x_s + m_c \cdot x_c}{m_s + m_c}$
$X_{cm} = \frac{0.5 \cdot 0 + 2 \cdot 30}{0.5 + 2}$
$X_{cm} = \frac{60}{2.5} = 24 \ cm$.

(D) ધારો કે ઉગમબિંદુ ચોરસના કેન્દ્ર પર છે. ચાર કણોનું પ્રારંભિક દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(CM_1)$ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે.
જ્યારે ખૂણા $C$ પર રહેલા $m$ દળના એક કણને દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે બાકી રહેલી સિસ્ટમમાં ખૂણા $A, B,$ અને $D$ પર $m$ દળના ત્રણ કણો રહે છે.
નવું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(CM_2)$ બાકી રહેલા ત્રણ કણો દ્વારા બનતા ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર તરફ ખસશે.
ચોરસના કેન્દ્રથી કોઈપણ ખૂણાનું અંતર $r = \frac{a}{\sqrt{2}}$ છે.
બાકી રહેલી સિસ્ટમના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $R_{CM} = \frac{\sum m_i r_i}{\sum m_i}$.
ચૂકવણીની પદ્ધતિ મુજબ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાં થતું સ્થાનાંતર $\Delta R = \frac{|m_C \cdot r_C|}{M_{remaining}} = \frac{m \cdot (a/\sqrt{2})}{3m} = \frac{a}{3\sqrt{2}}$ મળે છે.

(A) $R = 1 \ m$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળ પર ગોઠવાયેલા દળોના યામ નીચે મુજબ છે:
$M$ ના યામ $(1, 0)$
$2M$ ના યામ $(0, 1)$
$3M$ ના યામ $(-1, 0)$
$4M$ ના યામ $(0, -1)$
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $x$-યામ $(X_{cm})$ નીચે મુજબ મળે:
$X_{cm} = \frac{M(1) + 2M(0) + 3M(-1) + 4M(0)}{M + 2M + 3M + 4M} = \frac{M - 3M}{10M} = \frac{-2M}{10M} = -\frac{1}{5} \ m$
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $y$-યામ $(Y_{cm})$ નીચે મુજબ મળે:
$Y_{cm} = \frac{M(0) + 2M(1) + 3M(0) + 4M(-1)}{M + 2M + 3M + 4M} = \frac{2M - 4M}{10M} = \frac{-2M}{10M} = -\frac{1}{5} \ m$
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો સ્થાન સદિશ $-\frac{1}{5} \hat{i} - \frac{1}{5} \hat{j}$ છે.

(A) આપેલ દળ: $m_1 = 50 \ g$,$m_2 = 100 \ g$,$m_3 = 150 \ g$.
શિરોબિંદુઓના યામ:
$A = (0, 0)$
$B = (1, 0)$
તે સમબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,$C$ નો $x$-યામ $AB$ નું મધ્યબિંદુ થશે,એટલે કે $x_3 = 0.5 \ m$.
$C$ નો $y$-યામ $h = \sqrt{1^2 - 0.5^2} = \sqrt{0.75} = \frac{\sqrt{3}}{2} \ m$ છે.
તેથી,$C = (0.5, \frac{\sqrt{3}}{2})$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $x$-યામ:
$x_{cm} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3}{m_1 + m_2 + m_3} = \frac{50(0) + 100(1) + 150(0.5)}{50 + 100 + 150} = \frac{100 + 75}{300} = \frac{175}{300} = \frac{7}{12} \ m$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $y$-યામ:
$y_{cm} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2 + m_3 y_3}{m_1 + m_2 + m_3} = \frac{50(0) + 100(0) + 150(\frac{\sqrt{3}}{2})}{50 + 100 + 150} = \frac{75\sqrt{3}}{300} = \frac{\sqrt{3}}{4} \ m$.
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $\left(\frac{7}{12}, \frac{\sqrt{3}}{4}\right) \ m$ છે.

(D) કણોની સિસ્ટમના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(COM)$ નો સ્થાન સદિશ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$r_{COM} = \frac{m_1 r_1 + m_2 r_2 + m_3 r_3 + m_4 r_4}{m_1 + m_2 + m_3 + m_4}$
આપેલ દળ અને સ્થાન:
$m_1 = 1 \ kg, r_1 = (a \hat{i} + a \hat{j})$
$m_2 = 2 \ kg, r_2 = (-a \hat{i} + a \hat{j})$
$m_3 = 3 \ kg, r_3 = (-a \hat{i} - a \hat{j})$
$m_4 = 4 \ kg, r_4 = (a \hat{i} - a \hat{j})$
કુલ દળ $M = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 \ kg$
$r_{COM} = \frac{1(a \hat{i} + a \hat{j}) + 2(-a \hat{i} + a \hat{j}) + 3(-a \hat{i} - a \hat{j}) + 4(a \hat{i} - a \hat{j})}{10}$
$r_{COM} = \frac{(a - 2a - 3a + 4a) \hat{i} + (a + 2a - 3a - 4a) \hat{j}}{10}$
$r_{COM} = \frac{0 \hat{i} - 4a \hat{j}}{10} = -0.4 a \hat{j}$

(A) ધારો કે દળ $m_1 = 1 \ kg, m_2 = 2 \ kg, m_3 = 3 \ kg$ છે અને તેમનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $R_{CM} = (2, 2, 2)$ છે.
પ્રથમ ત્રણ દળના મોમેન્ટનો સરવાળો $M_{123} = m_1 r_1 + m_2 r_2 + m_3 r_3$ છે.
પ્રથમ ત્રણ કણોનું કુલ દળ $M = 1 + 2 + 3 = 6 \ kg$ છે.
સૂત્ર $R_{CM} = \frac{M_{123}}{M}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $M_{123} = M \times R_{CM} = 6 \times (2, 2, 2) = (12, 12, 12)$.
હવે,આપણે $m_4 = 4 \ kg$ નું ચોથું દળ $r_4 = (x_4, y_4, z_4)$ સ્થાન પર ઉમેરીએ છીએ જેથી નવું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $R'_{CM} = (0, 0, 0)$ થાય.
નવું કુલ દળ $M' = 6 + 4 = 10 \ kg$ છે.
નવા દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સૂત્ર $R'_{CM} = \frac{M_{123} + m_4 r_4}{M'}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(0, 0, 0) = \frac{(12, 12, 12) + 4(x_4, y_4, z_4)}{10}$.
આનો અર્થ એ છે કે $(12, 12, 12) + 4(x_4, y_4, z_4) = (0, 0, 0)$.
$4x_4 = -12 \implies x_4 = -3$.
$4y_4 = -12 \implies y_4 = -3$.
$4z_4 = -12 \implies z_4 = -3$.
તેથી,ચોથા દળનું સ્થાન $(-3, -3, -3)$ છે.

(C) આપેલ છે: $m_1 = 200 \text{ g}$,$m_2 = 500 \text{ g}$.
વેગ: $\vec{v}_1 = 10 \hat{i} \text{ m/s}$,$\vec{v}_2 = (3 \hat{i} + 5 \hat{j}) \text{ m/s}$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $\vec{v}_{CM}$ શોધવા માટેનું સૂત્ર:
$\vec{v}_{CM} = \frac{m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2}{m_1 + m_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\vec{v}_{CM} = \frac{200(10 \hat{i}) + 500(3 \hat{i} + 5 \hat{j})}{200 + 500}$
$\vec{v}_{CM} = \frac{2000 \hat{i} + 1500 \hat{i} + 2500 \hat{j}}{700}$
$\vec{v}_{CM} = \frac{3500 \hat{i} + 2500 \hat{j}}{700}$
$\vec{v}_{CM} = 5 \hat{i} + \frac{25}{7} \hat{j} \text{ m/s}$.

(D) સળિયાની ઘનતા $\rho = \rho_0 \frac{x^2}{L^2}$ મુજબ બદલાય છે.
$x=0$ છેડાથી $x$ અંતરે $dx$ જાડાઈની એક નાની તકતી (elemental disc) ધ્યાનમાં લો.
આ તત્વનું દળ $dm = \rho \cdot dV = \rho \cdot (\alpha dx) = \left( \rho_0 \frac{x^2}{L^2} \right) \alpha dx$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $X_{cm}$ નું સ્થાન નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$X_{cm} = \frac{\int x dm}{\int dm}$
કિંમતો મૂકતા:
$X_{cm} = \frac{\int_0^L x \left( \rho_0 \frac{x^2}{L^2} \alpha dx \right)}{\int_0^L \left( \rho_0 \frac{x^2}{L^2} \alpha dx \right)}$
$X_{cm} = \frac{\frac{\rho_0 \alpha}{L^2} \int_0^L x^3 dx}{\frac{\rho_0 \alpha}{L^2} \int_0^L x^2 dx}$
$X_{cm} = \frac{[x^4/4]_0^L}{[x^3/3]_0^L} = \frac{L^4/4}{L^3/3} = \frac{3}{4} L$.

(A) ધારો કે પ્રથમ સિસ્ટમનું કુલ દળ $M_1 = 1 + 2 + 3 = 6 \,kg$ છે અને તેનું $C.M.$ $R_1 = (1, 2, 3)$ પર છે.
ધારો કે બીજી સિસ્ટમનું કુલ દળ $M_2 = 3 + 2 = 5 \,kg$ છે અને તેનું $C.M.$ $R_2 = (-1, 3, -2)$ પર છે.
આપણે $M_3 = 5 \,kg$ દળનો ત્રીજો કણ $R_3 = (x, y, z)$ સ્થાન પર ઉમેરીએ છીએ.
સમગ્ર સિસ્ટમનું $C.M.$ $R_{cm} = (1, 2, 3)$ આપેલ છે.
સંયુક્ત સિસ્ટમના $C.M.$ માટેનું સૂત્ર $R_{cm} = \frac{M_1 R_1 + M_2 R_2 + M_3 R_3}{M_1 + M_2 + M_3}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(1, 2, 3) = \frac{6(1, 2, 3) + 5(-1, 3, -2) + 5(x, y, z)}{6 + 5 + 5}$.
કુલ દળ $M = 16 \,kg$. તેથી,$16(1, 2, 3) = (6, 12, 18) + (-5, 15, -10) + (5x, 5y, 5z)$.
$(16, 32, 48) = (1, 27, 8) + (5x, 5y, 5z)$.
$x$-યામ માટે: $16 = 1 + 5x \Rightarrow 5x = 15 \Rightarrow x = 3$.
$y$-યામ માટે: $32 = 27 + 5y \Rightarrow 5y = 5 \Rightarrow y = 1$.
$z$-યામ માટે: $48 = 8 + 5z \Rightarrow 5z = 40 \Rightarrow z = 8$.
આમ,સ્થાન $(3, 1, 8)$ છે.

(A) ધારો કે દળ $m_{1}$ ને ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર અને દળ $m_{2}$ ને x-અક્ષ પર $R$ અંતરે $(R, 0)$ પર મૂકવામાં આવ્યું છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના x-યામનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$X_{cm} = \frac{m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2}}{m_{1} + m_{2}}$
અહીં $x_{1} = 0$ અને $x_{2} = R$ કિંમતો મૂકતા:
$X_{cm} = \frac{m_{1} \times 0 + m_{2} \times R}{m_{1} + m_{2}}$
$X_{cm} = \frac{m_{2} R}{m_{1} + m_{2}}$
આમ,$m_{1}$ થી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું અંતર $\frac{m_{2} R}{m_{1} + m_{2}}$ થાય છે.

(B) ધારો કે કણોના સ્થાન સદિશો $\vec{r}_i$ છે,જ્યાં દરેક $i = 1, 2, ..., n$ માટે $|\vec{r}_i| = R$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન $\vec{R}_{cm} = \frac{\sum m_i \vec{r}_i}{\sum m_i}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સદિશો માટે ત્રિકોણની અસમતાનો ઉપયોગ કરતા,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું મૂલ્ય $|\vec{R}_{cm}| = \frac{|\sum m_i \vec{r}_i|}{\sum m_i} \le \frac{\sum m_i |\vec{r}_i|}{\sum m_i}$ થાય.
કારણ કે દરેક કણ માટે $|\vec{r}_i| = R$ છે,તેથી $|\vec{R}_{cm}| \le \frac{\sum m_i R}{\sum m_i} = R$ મળે.
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું ઉગમબિંદુથી અંતર હંમેશા $R$ જેટલું અથવા તેનાથી ઓછું હોય છે.

(A) ધારો કે મધ્યબિંદુ $p$ એ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ છે. $2 \text{ kg}$ અને $3 \text{ kg}$ ના દળ વચ્ચેનું અંતર $d = 2 \times 10 \sin(60^\circ) = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \text{ m}$ છે.
તેથી,$2 \text{ kg}$ નું દળ $(-5\sqrt{3}, 0)$ પર અને $3 \text{ kg}$ નું દળ $(5\sqrt{3}, 0)$ પર છે.
$15 \text{ kg}$ નું દળ $(0, 10 \cos(60^\circ)) = (0, 5)$ પર છે.
$X_{cm} = \frac{2(-5\sqrt{3}) + 3(5\sqrt{3}) + 15(0)}{2 + 3 + 15} = \frac{5\sqrt{3}}{20} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.
$Y_{cm} = \frac{2(0) + 3(0) + 15(5)}{2 + 3 + 15} = \frac{75}{20} = 3.75$.
આપેલા વિકલ્પોને જોતા,$x$-યામ $\frac{\sqrt{3}}{4}$ મળે છે. તેથી વિકલ્પ $A$ સાચો છે.