Moment of Inertia of Compound Bodies and Theorem of Moment of Inertia Questions in Gujarati

(A) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી ડિસ્કની તેના સમતલને લંબ અને કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
લંબ અક્ષના પ્રમેય મુજબ,વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $(I_d)$ એ $I_d = \frac{I}{2} = \frac{1}{4}MR^2$ થાય.
ડિસ્કના સમતલમાં રહેલી સ્પર્શક અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા શોધવા માટે,આપણે સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $I_{tangent} = I_d + MR^2$.
અહીં $I_d = \frac{I}{2}$ અને $MR^2 = 2I$ (કારણ કે $I = \frac{1}{2}MR^2 \implies MR^2 = 2I$) મૂકતા:
$I_{tangent} = \frac{I}{2} + 2I = \frac{5}{2}I$.

(B) સળિયાની તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{ml^2}{12}$ છે.
આ અક્ષ સળિયાના કેન્દ્રથી $d = \frac{l}{4}$ અંતરે આવેલી છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I = I_{cm} + md^2$.
કિંમતો મૂકતા,$I = \frac{ml^2}{12} + m\left(\frac{l}{4}\right)^2$.
$I = \frac{ml^2}{12} + \frac{ml^2}{16}$.
$12$ અને $16$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $48$ લેતા,આપણને મળે છે:
$I = \frac{4ml^2 + 3ml^2}{48} = \frac{7}{48}ml^2$.

(D) ધારો કે ત્રણ સળિયા $AB$ (ડાબી ઊભી બાજુ),$CD$ (જમણી ઊભી બાજુ) અને $EF$ (આડો સળિયો) છે. આપણે $AB$ સળિયામાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા શોધવી છે.
$1$. સળિયા $AB$ ની પોતાની અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = 0$ છે.
$2$. સળિયા $CD$ ની $AB$ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ: $I_2 = M(l)^2 = Ml^2$ છે.
$3$. સળિયા $EF$ ની $AB$ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા: $I_3 = I_{cm} + M(l/2)^2 = \frac{Ml^2}{12} + \frac{Ml^2}{4} = \frac{Ml^2}{3}$ છે.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 0 + Ml^2 + \frac{Ml^2}{3} = \frac{4}{3}Ml^2$ થાય.

(C) સમાંતર અક્ષોનું પ્રમેય સમીકરણ $I = I_g + Md^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને સમાંતર અક્ષ વિશે જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$I_g$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર વિશે જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$M$ એ પદાર્થનું દળ છે,અને $d$ એ બે અક્ષો વચ્ચેનું લંબ અંતર છે.
આ સમીકરણ $y = mx^2 + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y = I$,$x = d$,$m = M$,અને $c = I_g$ છે.
$M$ એ ધન અચળાંક હોવાથી,આ $I$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિત પરવલય દર્શાવે છે.
$d = 0$ પર,$I$ નું મૂલ્ય $I_g$ છે,જે શૂન્યતર ધન અચળાંક છે. તેથી,આલેખ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતો નથી પરંતુ $I$-અક્ષને $I = I_g$ પર છેદે છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,આલેખ $C$ એ એક પરવલય દર્શાવે છે જે $I$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિત છે અને $I$-અક્ષ પર ધન અંતઃખંડ ધરાવે છે,જે ભૌતિક જરૂરિયાતો સાથે સુસંગત છે.

(B) બાજુની લંબાઈ $= l$.
એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ દળ $= \mu$.
કુલ દળ $M = \mu l^2$.
ચોરસ શીટ માટે,તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેની કોઈ એક બાજુને સમાંતર અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_x = I_y = \frac{M l^2}{12}$ થાય.
લંબ અક્ષના પ્રમેય મુજબ,તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_z = I_x + I_y$ થાય.
$I_z = \frac{M l^2}{12} + \frac{M l^2}{12} = \frac{2 M l^2}{12} = \frac{M l^2}{6}$.
$M = \mu l^2$ મૂકતા,આપણને $I_z = \frac{(\mu l^2) l^2}{6} = \frac{\mu l^4}{6}$ મળે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) તારનું કુલ દળ $M = \rho L$ છે. લૂપનો પરિઘ $L = 2\pi R$ હોવાથી,લૂપની ત્રિજ્યા $R = \frac{L}{2\pi}$ થાય.
વર્તુળાકાર લૂપની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{diam} = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,સ્પર્શક $XX'$ ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{cm} + Md^2$ થાય,જ્યાં $I_{cm} = I_{diam} = \frac{1}{2}MR^2$ અને $d = R$ છે.
તેથી,$I = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$.
$M = \rho L$ અને $R = \frac{L}{2\pi}$ કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{3}{2}(\rho L)\left(\frac{L}{2\pi}\right)^2 = \frac{3}{2}\rho L \left(\frac{L^2}{4\pi^2}\right) = \frac{3\rho L^3}{8\pi^2}$.

(B) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી સમાન વર્તુળાકાર તકતીની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{4}MR^2$ છે.
આપેલ છે કે આ મૂલ્ય $I$ છે,તેથી $MR^2 = 4I$ થાય.
તકતીના સમતલને લંબ અને તેની ધાર પરના બિંદુમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા શોધવા માટે,આપણે સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીશું.
પ્રથમ,તકતીના સમતલને લંબ અને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,$I_{rim} = I_{cm} + Md^2$,જ્યાં $d = R$ એ બે અક્ષો વચ્ચેનું અંતર છે.
$I_{rim} = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$.
આ સમીકરણમાં $MR^2 = 4I$ મૂકતા:
$I_{rim} = \frac{3}{2}(4I) = 6I$.

(C) $l$ લંબાઈ અને $m$ દળ ધરાવતા સળિયાની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{ml^2}{12}$ છે.
તેથી,$ml^2 = 12I$.
નિયમિત ષટ્કોણ માટે,કેન્દ્ર $O$ થી દરેક સળિયાના કેન્દ્ર સુધીનું અંતર $x$ એ ષટ્કોણની અંતઃત્રિજ્યા (apothem) છે. ષટ્કોણ $l$ બાજુની લંબાઈ ધરાવતા છ સમબાજુ ત્રિકોણનો બનેલો હોવાથી,અંતર $x = l \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}l$ થાય.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,એક સળિયાની $O$ માંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{\text{rod}} = I_{\text{cm}} + mx^2 = \frac{ml^2}{12} + m\left(\frac{\sqrt{3}}{2}l\right)^2 = \frac{ml^2}{12} + \frac{3ml^2}{4} = \frac{ml^2 + 9ml^2}{12} = \frac{10ml^2}{12} = \frac{5ml^2}{6}$ થાય.
છ સળિયાની સિસ્ટમની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{\text{system}} = 6 \times I_{\text{rod}} = 6 \times \frac{5ml^2}{6} = 5ml^2$ છે.
$ml^2 = 12I$ મૂકતા,આપણને $I_{\text{system}} = 5(12I) = 60I$ મળે છે.

(B) $M$ દળ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા એક ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $(M.I.)$ $I_{cm} = \frac{2}{5}Mr^2$ છે.
ચોરસના કેન્દ્ર $(O)$ થી દરેક ગોળાના કેન્દ્રનું અંતર $d = \frac{R}{\sqrt{2}}$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,એક ગોળાની ચોરસના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_O = I_{cm} + Md^2 = \frac{2}{5}Mr^2 + M\left(\frac{R}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{2}{5}Mr^2 + \frac{MR^2}{2}$.
આવા ચાર ગોળાઓ હોવાથી,તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_{total} = 4 \times I_O = 4 \left( \frac{2}{5}Mr^2 + \frac{MR^2}{2} \right) = \frac{8}{5}Mr^2 + 2MR^2$.
$\frac{2}{5}M$ સામાન્ય કાઢતા,આપણને મળે છે:
$I_{total} = \frac{2}{5}M(4r^2 + 5R^2)$.

(A) આ તંત્ર સંયુક્ત લોલક (compound pendulum) તરીકે વર્તે છે. સંયુક્ત લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I_0}{M_{total} g d}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_0$ એ આધાર બિંદુને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$M_{total}$ એ કુલ દળ છે,અને $d$ એ આધાર બિંદુથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું અંતર છે.
$1$. આધાર બિંદુ $O$ ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_0 = I_{rod} + I_{bob} = \frac{ML^2}{3} + mL^2 = \frac{(M + 3m)L^2}{3}$
$2$. તંત્રનું કુલ દળ:
$M_{total} = M + m$
$3$. આધાર બિંદુથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું અંતર $(d)$:
$d = \frac{M(L/2) + m(L)}{M + m} = \frac{(M/2 + m)L}{M + m} = \frac{(M + 2m)L}{2(M + m)}$
$4$. આ કિંમતોને આવર્તકાળના સૂત્રમાં મૂકતા:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{(M + 3m)L^2 / 3}{(M + m)g \cdot \frac{(M + 2m)L}{2(M + m)}}}$
$T = 2\pi \sqrt{\frac{(M + 3m)L^2}{3} \cdot \frac{2(M + m)}{(M + m)g(M + 2m)L}}$
$T = 2\pi \sqrt{\frac{2(M + 3m)L}{3(M + 2m)g}}$

(C) લંબ અક્ષ પ્રમેય ફક્ત દ્વિ-પરિમાણીય (સમતલીય) પદાર્થો માટે જ લાગુ પડે છે.
જો પદાર્થ $X-Y$ સમતલમાં હોય,તો $Z$-અક્ષ (જે સમતલને લંબ છે) ની સાપેક્ષ જડત્વની ચાકમાત્રા એ તે જ સમતલમાં રહેલી બે પરસ્પર લંબ અક્ષો ($X$ અને $Y$ અક્ષ) ની સાપેક્ષ જડત્વની ચાકમાત્રાના સરવાળા જેટલી હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને આ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે: $I_z = I_x + I_y$.

(A) લંબ અક્ષ પ્રમેય ફક્ત સમતલીય (દ્વિ-પરિમાણીય) પદાર્થો માટે જ લાગુ પડે છે. આ એવા પદાર્થો છે જે સપાટ હોય છે અને તેમની જાડાઈ નહિવત હોય છે.
આ પ્રમેય મુજબ,સમતલીય પદાર્થની તેના સમતલને લંબ અક્ષ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા $(I_z)$,તે પદાર્થના સમતલમાં રહેલી બે પરસ્પર લંબ અક્ષો પરની જડત્વની ચાકમાત્રા ($I_x$ અને $I_y$) ના સરવાળા જેટલી હોય છે: $I_z = I_x + I_y$.
ગોળો એ ત્રિ-પરિમાણીય પદાર્થ છે અને તે એક જ સમતલમાં હોતો નથી. તેથી,ગોળા માટે લંબ અક્ષ પ્રમેય લાગુ પાડી શકાતો નથી.
આમ,સાચો જવાબ $A$ (ગોળો) છે.

(D) સળિયાને બે સમાન ભાગોમાં વહેંચવામાં આવે છે,દરેકની લંબાઈ $l = L/2$ છે.
ધારો કે પરિભ્રમણની અક્ષ સળિયાના મધ્યબિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
તાંબાના અડધા ભાગની (દળ $m_c$,લંબાઈ $L/2$) તેના પોતાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm,c} = \frac{1}{12} m_c (L/2)^2 = \frac{m_c L^2}{48}$ છે.
તાંબાના અડધા ભાગના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સળિયાના મધ્યબિંદુથી અંતર $d = L/4$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,સળિયાના મધ્યબિંદુને અનુલક્ષીને તાંબાના અડધા ભાગની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_c = I_{cm,c} + m_c d^2 = \frac{m_c L^2}{48} + m_c (L/4)^2 = \frac{m_c L^2}{48} + \frac{m_c L^2}{16} = \frac{m_c L^2 + 3m_c L^2}{48} = \frac{4m_c L^2}{48} = \frac{m_c L^2}{12}$ મળે છે.
તે જ રીતે,ચાંદીના અડધા ભાગ માટે (દળ $m_s$),સળિયાના મધ્યબિંદુને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_s = \frac{m_s L^2}{12}$ થાય છે.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_c + I_s = \frac{m_c L^2}{12} + \frac{m_s L^2}{12} = \frac{(m_c + m_s)L^2}{12}$ છે.

(C) કોઈ અક્ષને અનુલક્ષીને ભ્રમણ કરતા પદાર્થની ચાકગતિ ઊર્જા $E = \frac{1}{2} I \omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ ભ્રમણાક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી $d$ અંતરે રહેલી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{cm} + md^2$ થાય.
અહીં દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $K$ આપેલી હોવાથી,$I_{cm} = mK^2$ થાય.
આ કિંમત સમાંતર અક્ષના પ્રમેયમાં મૂકતા,$I = mK^2 + md^2 = m(K^2 + d^2)$ મળે.
હવે,ચાકગતિ ઊર્જાના સૂત્રમાં $I$ ની કિંમત મૂકતા: $E = \frac{1}{2} [m(K^2 + d^2)] \omega^2 = \frac{1}{2} m(d^2 + K^2) \omega^2$.

(C) સમાંતર અક્ષ પ્રમેયનું સમીકરણ $I = I_C + Mx^2$ છે,જ્યાં $I_C$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $M$ એ પદાર્થનું દળ છે.
આ સમીકરણ $y = mx^2 + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જે $I$-અક્ષને અનુલક્ષીને સંમિત પરવલય (parabola) દર્શાવે છે.
જ્યારે $x = 0$ હોય,ત્યારે $I = I_C$ થાય,જે શૂન્યતર અચળ મૂલ્ય છે.
તેથી,આલેખ એવો પરવલય હોવો જોઈએ જે ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર ન થાય પરંતુ જેનું શિરોબિંદુ $I$-અક્ષ પર $(0, I_C)$ બિંદુએ હોય.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $C$ માં દર્શાવેલ આલેખ એ ધન $I$-અક્ષ પર શિરોબિંદુ ધરાવતો પરવલય છે,જે આપણા તારવેલા સમીકરણ સાથે સુસંગત છે.

(C) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી નિયમિત તકતીની તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(CM)$ માંથી પસાર થતી અને તકતીના સમતલને લંબ અક્ષ પર જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{CM} = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,તકતીના છેડામાંથી પસાર થતી (કેન્દ્રથી $d = R$ અંતરે) અને સમતલને લંબ અક્ષ પર જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{CM} + Md^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $I = \frac{1}{2}MR^2 + M(R)^2$.
તેથી,$I = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$.

(B) $M$ દળ,$R$ ત્રિજ્યા અને $L$ લંબાઈ ધરાવતા ઘન નળાકારની તેની પોતાની અક્ષ (લંબાઈની અક્ષ) પરની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{1}{2} MR^2$ છે.
તે જ નળાકારની તેના ગુરૂત્વકેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ અક્ષ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = \frac{MR^2}{4} + \frac{ML^2}{12}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$I_1 = I_2$.
તેથી,$\frac{1}{2} MR^2 = \frac{MR^2}{4} + \frac{ML^2}{12}$.
બંને બાજુ $M$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{R^2}{2} = \frac{R^2}{4} + \frac{L^2}{12}$ મળે છે.
બંને બાજુથી $\frac{R^2}{4}$ બાદ કરતા,$\frac{R^2}{4} = \frac{L^2}{12}$ મળે છે.
બંને બાજુ $12$ વડે ગુણતા,$3R^2 = L^2$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$L = \sqrt{3} R$ મળે છે.

(D) ઘન ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{2}{5}MR^2$ છે,જ્યાં $M$ એ દળ છે અને $R$ એ ગોળાની ત્રિજ્યા છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,વ્યાસથી $x$ અંતરે રહેલી અક્ષ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{cm} + Mx^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I_{cm}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $I = \frac{2}{5}MR^2 + Mx^2$ મળે છે.
આ સમીકરણ $I = Mx^2 + C$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $C = \frac{2}{5}MR^2$ એ અચળાંક છે.
આ એક પરવલય (parabola) દર્શાવે છે જે ઉપરની તરફ ખુલે છે અને તેનું શિરોબિંદુ $(0, \frac{2}{5}MR^2)$ પર છે,જે વિકલ્પ $D$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(A) લંબ અક્ષના પ્રમેય મુજબ,સમતલીય પદાર્થની તેના સમતલને લંબ અને કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા,તે જ સમતલમાં રહેલી અને તે જ બિંદુએ છેદતી બે પરસ્પર લંબ અક્ષોની જડત્વની ચાકમાત્રાના સરવાળા જેટલી હોય છે.
આપેલ આકૃતિમાં,$I_3$ અને $I_4$ એ ચોરસ પ્લેટના સમતલમાં રહેલી અને તેના કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થતી બે પરસ્પર લંબ અક્ષો છે.
તેથી,સમતલને લંબ અને $O$ માંથી પસાર થતી અક્ષ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_z = I_3 + I_4$ થશે.
ચોરસ પ્લેટ હોવાથી,સંમિતિને કારણે,સમતલમાં કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી કોઈપણ બે પરસ્પર લંબ અક્ષો પરની જડત્વની ચાકમાત્રા સમાન હોય છે. તેથી,$I_3 = I_4$.
વળી,$I_1$ અને $I_2$ એ વિકર્ણ અક્ષો પરની જડત્વની ચાકમાત્રા છે. ચોરસ પ્લેટ માટે,સમતલમાં કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી કોઈપણ અક્ષ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા સમાન હોય છે. તેથી,$I_1 = I_2 = I_3 = I_4$.
આ કિંમતો મૂકતા,$I_z = I_3 + I_4 = I_1 + I_2$ મળે છે.

(D) ધારો કે રિંગનું દળ $M$ અને ત્રિજ્યા $R$ છે.
$1$. રિંગના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષ પર જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$: $I_z = MR^2$.
$2$. વ્યાસ પર જડત્વની ચાકમાત્રા $(I_d)$: લંબ અક્ષના પ્રમેય મુજબ,$I_x + I_y = I_z$. અહીં $I_x = I_y = I_d$ હોવાથી,$2I_d = MR^2$,એટલે કે $I_d = \frac{1}{2}MR^2$.
$3$. રિંગના સમતલમાં રહેલા સ્પર્શક પર જડત્વની ચાકમાત્રા $(I_t)$: સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,$I_t = I_d + MR^2 = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$.
$4$. રિંગના સમતલને લંબ સ્પર્શક પર જડત્વની ચાકમાત્રા $(I_p)$: સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,$I_p = I_z + MR^2 = MR^2 + MR^2 = 2MR^2$.
આમ,$MR^2$,$0.5MR^2$,$1.5MR^2$ અને $2MR^2$ ની સરખામણી કરતા,મહત્તમ મૂલ્ય $2MR^2$ મળે છે.

(C) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા પોલા ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{\text{diameter}} = \frac{2}{3}MR^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,સ્પર્શકને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{\text{tangent}} = I_{\text{cm}} + Md^2$ થાય,જ્યાં $d = R$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર અને સ્પર્શક વચ્ચેનું અંતર છે.
તેથી,$I_{\text{tangent}} = \frac{2}{3}MR^2 + MR^2$ થાય.
આમ,$I_{\text{tangent}} = \frac{5}{3}MR^2$ મળે.

(C) ધારો કે બે રિંગો $R_1$ અને $R_2$ છે,જેનું દળ $m$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે.
રિંગ $R_1$ માટે,અક્ષ તેના સમતલને લંબ છે અને તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે. તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = mr^2$ છે.
રિંગ $R_2$ માટે,અક્ષ તેના સમતલમાં છે અને તેના કેન્દ્ર (વ્યાસ) માંથી પસાર થાય છે. તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = \frac{1}{2} mr^2$ છે.
તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 + I_2 = mr^2 + \frac{1}{2} mr^2 = \frac{3}{2} mr^2$ થશે.

(C) ધારો કે ચોરસની બાજુની લંબાઈ $a$ છે અને તેનું દળ $M$ છે.
ચોરસ ફ્રેમની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_z = Ma^2$ છે.
લંબઅક્ષના પ્રમેય મુજબ,$I_z = I_x + I_y$. ચોરસ સંમિત હોવાથી,$I_x = I_y$,તેથી $I_x = I_y = \frac{1}{2} I_z = \frac{1}{2} Ma^2$.
અહીં,$I_{EF}$ એ સામસામેની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે,જે $I_x$ અથવા $I_y$ ને સમાન છે. તેથી,$I_{EF} = \frac{1}{2} Ma^2$.
$I_{AC}$ એ વિકર્ણ $AC$ ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે. ચોરસ માટે,તેના સમતલમાં કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી કોઈપણ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા સમાન હોય છે. તેથી,$I_{AC} = I_{EF} = \frac{1}{2} Ma^2$.

(A) અક્ષ $BB'$ ચોરસના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે અને સમતલને લંબ છે.
દરેક ગોળાનું દળ $M$ અને ત્રિજ્યા $a$ છે (કારણ કે વ્યાસ $2a$ છે).
દરેક ગોળાની તેના પોતાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{CM} = \frac{2}{5}Ma^2$ છે.
અક્ષ $BB'$ થી દરેક ગોળાનું અંતર $r = \frac{b}{\sqrt{2}}$ છે.
દરેક ગોળા માટે સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$BB'$ ને અનુલક્ષીને એક ગોળાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{CM} + Mr^2 = \frac{2}{5}Ma^2 + M(\frac{b}{\sqrt{2}})^2 = \frac{2}{5}Ma^2 + \frac{Mb^2}{2}$ થાય.
આવા ચાર ગોળાઓ હોવાથી,કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{BB'} = 4 \times (\frac{2}{5}Ma^2 + \frac{Mb^2}{2}) = 4M [\frac{2}{5}a^2 + \frac{b^2}{2}]$ થાય.

(D) $m$ દળ અને $L$ લંબાઈ ધરાવતા એક સળિયાની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{mL^2}{12}$ છે.
ચાર સળિયાની ચોરસ ફ્રેમ માટે,દરેક સળિયાની ચોરસના કેન્દ્ર પરની જડત્વની ચાકમાત્રા શોધવા માટે આપણે સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
સળિયાના કેન્દ્રથી ચોરસના કેન્દ્ર સુધીનું અંતર $d = \frac{L}{2}$ છે.
ચોરસના કેન્દ્ર પર એક સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{rod} = I_{cm} + md^2 = \frac{mL^2}{12} + m(\frac{L}{2})^2 = \frac{mL^2}{12} + \frac{mL^2}{4} = \frac{mL^2 + 3mL^2}{12} = \frac{4mL^2}{12} = \frac{mL^2}{3}$ થાય.
આવા ચાર સળિયા હોવાથી,કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = 4 \times \frac{mL^2}{3} = \frac{4mL^2}{3}$ થશે.
આપણી પાસે $I = \frac{mL^2}{12}$ હોવાથી,$mL^2 = 12I$ મળે.
આ કિંમત $I'$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,$I' = \frac{4}{3} \times (12I) = 16I$ મળે.

(A) એક સમાન વલયાકાર તકતીની તેની કેન્દ્રીય અક્ષ (સમતલને લંબ) પર જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{1}{2}M(R_1^2 + R_2^2)$ છે.
કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તકતીના સમતલમાં રહેલી અક્ષ (વ્યાસ) માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{diameter} = \frac{1}{2} I_{cm} = \frac{1}{4}M(R_1^2 + R_2^2)$ થાય.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I = I_{diameter} + Md^2$,જ્યાં $d = R_1$ એ વ્યાસ અને સ્પર્શક અક્ષ વચ્ચેનું અંતર છે.
તેથી,$I = \frac{1}{4}M(R_1^2 + R_2^2) + MR_1^2$.

(A) રીંગની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{dia} = \frac{1}{2} MR^2$ છે.
$AB$ અક્ષ એ રીંગના વ્યાસને સમાંતર છે અને રીંગના કેન્દ્રથી $R$ જેટલા અંતરે આવેલી છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,વ્યાસને સમાંતર અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{AB} = I_{cm} + Md^2$ થાય,જ્યાં $I_{cm}$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે (જે આ કિસ્સામાં વ્યાસ છે) અને $d = R$ એ બે અક્ષો વચ્ચેનું અંતર છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I_{AB} = \frac{1}{2} MR^2 + MR^2$
$I_{AB} = \frac{3}{2} MR^2$

(D) $M$ દળ અને $L$ લંબાઈ ધરાવતા સમાન સળિયાની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સળિયાને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા નીચે મુજબ છે:
$I = \frac{ML^2}{12}$
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,એક છેડામાંથી પસાર થતી અને કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને સમાંતર એવી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I'$ છે:
$I' = I + Md^2$
અહીં,બે અક્ષો વચ્ચેનું અંતર $d = L/2$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$I' = \frac{ML^2}{12} + M(L/2)^2$
$I' = \frac{ML^2}{12} + \frac{ML^2}{4} = \frac{ML^2 + 3ML^2}{12} = \frac{4ML^2}{12} = \frac{ML^2}{3}$
કારણ કે $I = \frac{ML^2}{12}$ છે,તેથી $ML^2 = 12I$ થાય.
આ કિંમત $I'$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$I' = \frac{12I}{3} = 4I$

(C) ઘન ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{CM} = \frac{2}{5} MR^2 = 40 \ kg \cdot m^2$ આપેલ છે.
આના પરથી,$MR^2 = \frac{40 \times 5}{2} = 100 \ kg \cdot m^2$ મળે છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,સ્પર્શકને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{CM} + MR^2$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$I = \frac{2}{5} MR^2 + MR^2 = \frac{7}{5} MR^2$ મળે.
$I = \frac{7}{5} \times 100 = 140 \ kg \cdot m^2$.

(A) એક ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} M (2R)^2$ છે,જ્યાં $2R$ એ ગોળાનો વ્યાસ છે. આથી,$M (2R)^2 = \frac{5}{2} I$ મળે.
તંત્રમાં ચાર ગોળાઓ છે. બે ગોળાઓ $XX'$ અક્ષ પર કેન્દ્રિત છે,તેથી $XX'$ અક્ષને અનુલક્ષીને તેમની જડત્વની ચાકમાત્રા તેમના વ્યાસને અનુલક્ષીને તેમની જડત્વની ચાકમાત્રા જેટલી જ એટલે કે $I$ થશે.
બાકીના બે ગોળાઓ $XX'$ અક્ષથી $2R$ અંતરે આવેલા છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,$XX'$ અક્ષને અનુલક્ષીને આ દરેક ગોળાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{sphere} = I_{cm} + M d^2$ થશે,જ્યાં $I_{cm} = I$ અને $d = 2R$ છે.
તેથી,$I_{sphere} = I + M (2R)^2 = I + \frac{5}{2} I = \frac{7}{2} I$.
તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{system} = I + I + (I + M(2R)^2) + (I + M(2R)^2) = 2I + 2(I + \frac{5}{2} I) = 2I + 2(\frac{7}{2} I) = 2I + 7I = 9I$ થાય.

(D) સળિયાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{ML^2}{12}$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,$I = I_{cm} + Md^2$,જ્યાં $d$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર અને પરિભ્રમણ અક્ષ વચ્ચેનું અંતર છે.
સળિયાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેના છેડેથી $L/2$ અંતરે હોય છે. અક્ષ છેડેથી $L/4$ અંતરે છે.
તેથી,અંતર $d = |L/2 - L/4| = L/4$.
આ કિંમતો પ્રમેયમાં મૂકતા:
$I = \frac{ML^2}{12} + M(\frac{L}{4})^2$
$I = \frac{ML^2}{12} + \frac{ML^2}{16}$
$12$ અને $16$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $48$ લેતા:
$I = \frac{4ML^2 + 3ML^2}{48} = \frac{7ML^2}{48}$.

(A) $L$ લંબાઈ અને $M$ દ્રવ્યમાન ધરાવતા સળિયાને મધ્યમાંથી વાળવામાં આવે છે. દરેક અડધા ભાગની લંબાઈ $l = L/2$ અને દ્રવ્યમાન $m = M/2$ છે.
જ્યારે તેને $90^{\circ}$ પર વાળવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક અડધા સળિયાના દ્રવ્યમાનકેન્દ્રથી પરિભ્રમણ અક્ષનું લંબ અંતર $d = L/4$ થાય છે.
દરેક અડધા સળિયા માટે તેના પોતાના દ્રવ્યમાનકેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{1}{12}m l^2 = \frac{1}{12} (M/2) (L/2)^2 = \frac{ML^2}{96}$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,દરેક અડધા સળિયા માટે જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{half} = I_{cm} + m d^2 = \frac{ML^2}{96} + (M/2) (L/4)^2 = \frac{ML^2}{96} + \frac{ML^2}{32} = \frac{ML^2}{24}$ થાય.
આવા બે ભાગ હોવાથી,તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 2 \times \frac{ML^2}{24} = \frac{ML^2}{12}$ થશે.

(B) $M$ દળ અને $a$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{CM} = \frac{2}{5}Ma^2$ છે.
અક્ષ $AA'$ ચોરસના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે અને ચોરસના સમતલમાં છે. તે ગોળા $1$ અને $3$ ના કેન્દ્રોમાંથી પસાર થાય છે.
ગોળા $1$ અને $3$ માટે,અક્ષ $AA'$ તેમનો વ્યાસ છે,તેથી જડત્વની ચાકમાત્રામાં તેમનો ફાળો $2 \times I_{CM} = 2 \times \frac{2}{5}Ma^2 = \frac{4}{5}Ma^2$ છે.
ગોળા $2$ અને $4$ (બાકીના બે ખૂણા) માટે,અક્ષ $AA'$ થી લંબ અંતર $r = \frac{b}{\sqrt{2}}$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,આ દરેક ગોળા માટે જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{CM} + Mr^2 = \frac{2}{5}Ma^2 + M\left(\frac{b}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{2}{5}Ma^2 + \frac{Mb^2}{2}$ થાય.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{AA'} = (2 \times I_{CM}) + 2 \times (I_{CM} + Mr^2) = 4I_{CM} + 2Mr^2$.
$I_{AA'} = 4 \left( \frac{2}{5}Ma^2 \right) + 2M \left( \frac{b^2}{2} \right) = \frac{8}{5}Ma^2 + Mb^2$.

(C) વલયાકાર તકતીની તેની કેન્દ્રિય અક્ષ (સમતલને લંબ) ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{1}{2}M(R_1^2 + R_2^2)$ છે.
લંબ અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{diam} = \frac{1}{2}I_{cm} = \frac{1}{4}M(R_1^2 + R_2^2)$ થાય.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,બાહ્ય વર્તુળને સ્પર્શતી અને તકતીના સમતલમાં રહેલી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{diam} + MR_2^2$ થાય.
તેથી,$I = \frac{1}{4}M(R_1^2 + R_2^2) + MR_2^2$.

(C) લંબ અક્ષના પ્રમેય મુજબ,સમતલીય પદાર્થ માટે,સમતલને લંબ અક્ષ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા એ સમતલમાં રહેલી બે પરસ્પર લંબ અક્ષો પરની જડત્વની ચાકમાત્રાના સરવાળા જેટલી હોય છે.
અહીં,$Y$ અક્ષ સમતલને લંબ છે,જ્યારે $X$ અને $Z$ અક્ષો સમતલમાં છે.
તેથી,પ્રમેય મુજબ: $I_Y = I_X + I_Z$.
આપેલ છે: $I_X = 30 \ kg \ m^2$ અને $I_Y = 40 \ kg \ m^2$.
કિંમતો મૂકતા: $40 = 30 + I_Z$.
$I_Z$ માટે ઉકેલતા: $I_Z = 40 - 30 = 10 \ kg \ m^2$.

(C) આ સિસ્ટમ $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ત્રણ સમાન ગોળાઓની બનેલી છે. ધારો કે ઉપરનો ગોળો $S_1$ છે અને નીચેના બે ગોળાઓ $S_2$ અને $S_3$ છે.
$1$. ઉપરના ગોળા $S_1$ માટે,અક્ષ $XX'$ તેના કેન્દ્ર (વ્યાસ) માંથી પસાર થાય છે. નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{2}{5} M R^2$ છે.
$2$. નીચેના ગોળાઓ $S_2$ અને $S_3$ માટે,અક્ષ $XX'$ તેમને સ્પર્શે છે. દરેક નીચેના ગોળાના કેન્દ્રથી $XX'$ અક્ષ સુધીનું અંતર $R$ છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I = I_{cm} + Md^2$,જ્યાં $I_{cm} = \frac{2}{5} M R^2$ અને $d = R$.
તેથી,$I_2 = I_3 = \frac{2}{5} M R^2 + M R^2 = \frac{7}{5} M R^2$.
$3$. $XX'$ અક્ષને અનુલક્ષીને સિસ્ટમની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{total} = I_1 + I_2 + I_3$ છે.
$I_{total} = \frac{2}{5} M R^2 + \frac{7}{5} M R^2 + \frac{7}{5} M R^2 = \frac{16}{5} M R^2$.

(C) નીચેની તકતી માટે,$xx'$ અક્ષ એ વ્યાસ છે,તેથી જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{1}{4} M R^2$ થાય.
ઉપરની બે તકતીઓ માટે,અક્ષ તેમના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે,તેથી સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ $I_2 = \frac{1}{2} M R^2 + M R^2 = \frac{5}{4} M R^2$ થાય.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 + 2 \times I_2 = \frac{1}{4} M R^2 + 2 \times (\frac{5}{4} M R^2) = \frac{1}{4} M R^2 + \frac{10}{4} M R^2 = \frac{11}{4} M R^2$.

(A) $m$ દળ અને $a$ લંબાઈ ધરાવતી ચોરસ તકતી માટે,તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{ma^2}{6}$ છે.
લંબ અક્ષ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષ એ સમતલમાં રહેલી બે પરસ્પર લંબ અક્ષોની જડત્વની ચાકમાત્રાનો સરવાળો છે: $I_{cm} = I_x + I_y$. અહીં $I_x = I_y = \frac{ma^2}{12}$ હોવાથી,$I_{cm} = \frac{ma^2}{12} + \frac{ma^2}{12} = \frac{ma^2}{6}$ મળે છે.
હવે,શિરોબિંદુમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષ માટે સમાંતર અક્ષ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ. કેન્દ્રથી શિરોબિંદુનું અંતર $d = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$ છે.
તેથી,$d^2 = \frac{a^2}{2}$ થાય.
શિરોબિંદુને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{cm} + md^2 = \frac{ma^2}{6} + m(\frac{a^2}{2}) = \frac{ma^2 + 3ma^2}{6} = \frac{4ma^2}{6} = \frac{2}{3}ma^2$ મળે છે.

(D) $M$ દળ અને $L$ લંબાઈ ધરાવતા એક સળિયા માટે તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{CM} = \frac{M L^2}{12}$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,એક સળિયા માટે ત્રિકોણના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{rod} = I_{CM} + M x^2$ થાય,જ્યાં $x$ એ સળિયાના કેન્દ્રથી ત્રિકોણના કેન્દ્ર સુધીનું અંતર છે.
$L$ બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,કેન્દ્રથી કોઈપણ બાજુના મધ્યબિંદુ સુધીનું અંતર $x = \frac{L}{2 \sqrt{3}}$ છે.
આમ,$I_{rod} = \frac{M L^2}{12} + M \left( \frac{L}{2 \sqrt{3}} \right)^2 = \frac{M L^2}{12} + \frac{M L^2}{12} = \frac{2 M L^2}{12} = \frac{M L^2}{6}$.
ત્રણ સળિયા હોવાથી,કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{total} = 3 \times I_{rod} = 3 \times \frac{M L^2}{6} = \frac{M L^2}{2}$ થાય.

(B) પાતળા સળિયાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{ML^2}{12}$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,$I = I_{cm} + Md^2$,જ્યાં $d$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર અને નવી અક્ષ વચ્ચેનું અંતર છે.
સળિયાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર એક છેડાથી $L/2$ અંતરે હોય છે. આપેલી અક્ષ તે જ છેડાથી $L/3$ અંતરે છે.
તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર અને અક્ષ વચ્ચેનું અંતર $d = |L/2 - L/3| = L/6$ થશે.
આ કિંમતોને સમાંતર અક્ષના પ્રમેયમાં મૂકતા:
$I = \frac{ML^2}{12} + M(L/6)^2$
$I = \frac{ML^2}{12} + \frac{ML^2}{36}$
$I = \frac{3ML^2 + ML^2}{36} = \frac{4ML^2}{36} = \frac{ML^2}{9}$.

(C) રિંગના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_c = MR^2$ છે.
જોકે,$PQ$ અક્ષ એ રિંગના વ્યાસ $DD'$ ને સમાંતર છે.
રિંગના વ્યાસ $DD'$ ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{DD'} = \frac{MR^2}{2}$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,$I_{PQ} = I_{DD'} + Md^2$,જ્યાં $d = R$ એ સમાંતર અક્ષો વચ્ચેનું અંતર છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $I_{PQ} = \frac{MR^2}{2} + MR^2$ મળે છે.
તેથી,$I_{PQ} = \frac{3}{2}MR^2$ થાય.

(D) પ્રથમ ગોળીય કવચની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી $xx'$ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{2}{3} M R^2$ છે.
બીજું ગોળીય કવચ $xx'$ અક્ષથી $d = R + R = 2R$ અંતરે છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,બીજા કવચની $xx'$ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = I_{cm} + M d^2 = \frac{2}{3} M R^2 + M(2R)^2 = \frac{2}{3} M R^2 + 4 M R^2 = \frac{14}{3} M R^2$ થાય.
તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{system} = I_1 + I_2 = \frac{2}{3} M R^2 + \frac{14}{3} M R^2 = \frac{16}{3} M R^2$ મળે.

(D) આપેલ છે કે,રેખીય દળ ઘનતા $\rho = \frac{M}{L}$,તેથી કુલ દળ $M = \rho L$.
વાયરને વર્તુળાકાર લૂપમાં વાળવામાં આવતા,તેનો પરિઘ $2\pi R = L$ થાય,જે પરથી ત્રિજ્યા $R = \frac{L}{2\pi}$ મળે.
અક્ષ $XX'$ એ વર્તુળાકાર લૂપના સમતલમાં રહેલી સ્પર્શક છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,સ્પર્શક $XX'$ ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{cm} + Md^2$ થાય,જ્યાં $I_{cm}$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને લૂપના સમતલને સમાંતર વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $d = R$ છે.
વર્તુળાકાર રીંગ માટે,$I_{cm} = \frac{MR^2}{2}$ (રીંગના સમતલમાં રહેલા વ્યાસને અનુલક્ષીને).
તેથી,$I = \frac{MR^2}{2} + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$.
$M = \rho L$ અને $R = \frac{L}{2\pi}$ કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{3}{2}(\rho L)\left(\frac{L}{2\pi}\right)^2 = \frac{3}{2}(\rho L)\left(\frac{L^2}{4\pi^2}\right) = \frac{3\rho L^3}{8\pi^2}$.

(C) ધારો કે ચોરસ ફ્રેમની બાજુની લંબાઈ $a$ અને દ્રવ્યમાન $M$ છે.
ચોરસ ફ્રેમ માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_z = \frac{Ma^2}{6} = 20$ લેતા (આ કિસ્સામાં ફ્રેમ માટે),તેથી $Ma^2 = 120 \ kg \cdot m^2$.
હવે,બાજુને સ્પર્શતી અને સમતલમાં રહેલી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ $I = I_{cm} + Md^2$ થશે.
અહીં $I_{cm} = \frac{Ma^2}{12}$ અને $d = a/2$ છે.
તેથી,$I = \frac{Ma^2}{12} + M(a/2)^2 = \frac{Ma^2}{12} + \frac{Ma^2}{4} = \frac{Ma^2}{3}$.
કિંમત મૂકતા,$I = \frac{120}{3} = 40 \ kg \cdot m^2$.

(D) ધારો કે ચોરસ $ABCD$ છે જેની બાજુનું માપ $b$ છે. $M$ દળ અને $a$ ત્રિજ્યાના ચાર ગોળાઓ ખૂણા $A, B, C$ અને $D$ પર મૂકેલા છે.
આપણે ચોરસની એક બાજુ,ધારો કે $BC$ ને અક્ષ તરીકે લઈને જડત્વની ચાકમાત્રા શોધીશું.
$M$ દળ અને $a$ ત્રિજ્યાના ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{2}{5}Ma^2$ થાય.
ગોળા $B$ અને $C$ માટે,અક્ષ $BC$ તેમના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે. તેથી,સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,તેમની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_B = I_C = \frac{2}{5}Ma^2$ થશે.
ગોળા $A$ અને $D$ માટે,અક્ષ $BC$ થી તેમનું લંબ અંતર $b$ છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,$I_A = I_D = I_{cm} + Mb^2 = \frac{2}{5}Ma^2 + Mb^2$ થશે.
તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_A + I_B + I_C + I_D$ થાય.
$I = (\frac{2}{5}Ma^2 + Mb^2) + \frac{2}{5}Ma^2 + \frac{2}{5}Ma^2 + (\frac{2}{5}Ma^2 + Mb^2)$.
$I = \frac{8}{5}Ma^2 + 2Mb^2 = \frac{2}{5}M(4a^2 + 5b^2)$.

(A) $M$ દળ અને $l$ લંબાઈ ધરાવતા એક સળિયાની તેના કેન્દ્ર $P$ માંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{Ml^2}{12}$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,આ સળિયાની ચોરસના કેન્દ્ર $O$ (જે $P$ થી $d = l/2$ અંતરે છે) માંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_{rod} = I_{cm} + Md^2 = \frac{Ml^2}{12} + M\left(\frac{l}{2}\right)^2 = \frac{Ml^2}{12} + \frac{Ml^2}{4} = \frac{Ml^2 + 3Ml^2}{12} = \frac{4Ml^2}{12} = \frac{Ml^2}{3}$.
ચોરસ ચાર સમાન સળિયાઓનો બનેલો હોવાથી,$O$ માંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{total}$:
$I_{total} = 4 \times I_{rod} = 4 \times \frac{Ml^2}{3} = \frac{4}{3}Ml^2$.

(A) ચોરસ તકતી માટે તેના કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થતી અને તકતીને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા લંબ અક્ષના પ્રમેય મુજબ:
$I_O = I_x + I_y$
ચોરસ તકતી માટે $I_x = I_y = \frac{ma^2}{12}$ હોવાથી,
$I_O = \frac{ma^2}{12} + \frac{ma^2}{12} = \frac{ma^2}{6}$
હવે,સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ખૂણામાંથી (દા.ત. બિંદુ $C$) પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા શોધીએ:
$I = I_O + md^2$
અહીં,કેન્દ્ર $O$ થી ખૂણા $C$ સુધીનું અંતર $d$ એ ચોરસના વિકર્ણનું અડધું છે:
$d = \frac{\sqrt{a^2 + a^2}}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$
કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{ma^2}{6} + m\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2$
$I = \frac{ma^2}{6} + \frac{ma^2}{2} = \frac{ma^2 + 3ma^2}{6} = \frac{4ma^2}{6} = \frac{2}{3}ma^2$

(A) મૂળ તકતીની એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ દળ $\sigma = \frac{9M}{\pi R^2}$ છે.
કાપી લીધેલી તકતીનું દળ $m = \sigma \times \pi (R/3)^2 = \frac{9M}{\pi R^2} \times \frac{\pi R^2}{9} = M$ છે.
કાપી લીધેલી તકતીના કેન્દ્રનું મૂળ તકતીના કેન્દ્રથી અંતર $d = R - R/3 = 2R/3$ છે.
સમાંતર અક્ષ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને મૂળ તકતીના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષ પર કાપી લીધેલી તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_1 = I_{cm} + md^2 = \frac{1}{2} m (R/3)^2 + m (2R/3)^2 = \frac{1}{2} M (R^2/9) + M (4R^2/9) = \frac{MR^2}{18} + \frac{8MR^2}{18} = \frac{9MR^2}{18} = \frac{1}{2} MR^2$.
મૂળ સંપૂર્ણ તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = \frac{1}{2} (9M) R^2 = \frac{9}{2} MR^2$ છે.
બાકી રહેલા ભાગની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_2 - I_1 = \frac{9}{2} MR^2 - \frac{1}{2} MR^2 = 4 MR^2$ થાય.

(C) સમગ્ર તંત્રની $YY'$ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 + I_2 + I_3$ થશે.
રિંગ $1$ માટે,$YY'$ અક્ષ તેના વ્યાસમાંથી પસાર થાય છે. તેથી,તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{1}{2}MR^2$ થશે.
રિંગ $2$ અને $3$ માટે,$YY'$ અક્ષ તેમના વ્યાસને સમાંતર $R$ અંતરે આવેલી છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેય $I = I_{cm} + Md^2$ નો ઉપયોગ કરતાં,જ્યાં $I_{cm} = \frac{1}{2}MR^2$ અને $d = R$ છે.
તેથી,$I_2 = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$.
તે જ રીતે,$I_3 = \frac{3}{2}MR^2$.
આમ,કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}MR^2 + \frac{3}{2}MR^2 + \frac{3}{2}MR^2 = \frac{7}{2}MR^2$ થશે.

(B) ચોરસ પ્લેટની એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ દળ (પૃષ્ઠ ઘનતા) $\sigma = \frac{M}{(4R)^2} = \frac{M}{16R^2}$ છે.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી એક વર્તુળાકાર તકતીનું દળ $m = \sigma (\pi R^2) = \frac{M}{16R^2} \cdot \pi R^2 = \frac{\pi M}{16}$ થાય.
મૂળ ચોરસ પ્લેટની $z$-અક્ષ (કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી) ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{square} = \frac{M}{12} (a^2 + a^2) = \frac{M}{12} ((4R)^2 + (4R)^2) = \frac{M}{12} (32R^2) = \frac{8}{3} MR^2$ છે.
દરેક વર્તુળાકાર કાણાનું કેન્દ્ર ચોરસના કેન્દ્રથી $d = \sqrt{2}R$ અંતરે છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,એક કાણાની $z$-અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{hole} = I_{cm} + md^2 = \frac{mR^2}{2} + m(\sqrt{2}R)^2 = \frac{mR^2}{2} + 2mR^2 = \frac{5}{2} mR^2$ થાય.
બાકી રહેલા ભાગની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{square} - 4 I_{hole} = \frac{8}{3} MR^2 - 4 \left( \frac{5}{2} mR^2 \right) = \frac{8}{3} MR^2 - 10 mR^2$ થાય.
$m = \frac{\pi M}{16}$ મુકતા,આપણને $I = \frac{8}{3} MR^2 - 10 \left( \frac{\pi M}{16} \right) R^2 = \left[ \frac{8}{3} - \frac{10\pi}{16} \right] MR^2$ મળે છે.