System of particles momentum and Energy Questions in Gujarati

(D) વિધાન $1$: રેખીય વેગમાન $\vec{P} = \sum m_i \vec{v}_i = 0$. આનો અર્થ એ નથી કે દરેક કણનો વેગ શૂન્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે,વિરુદ્ધ દિશામાં સમાન વેગમાન સાથે ગતિ કરતા બે કણોની સિસ્ટમમાં,કુલ વેગમાન શૂન્ય છે,પરંતુ ગતિઊર્જા $K = \sum \frac{1}{2} m_i v_i^2$ શૂન્ય નથી.
વિધાન $2$: ગતિઊર્જા $K = \sum \frac{1}{2} m_i v_i^2 = 0$. દળ $m_i > 0$ અને $v_i^2 \ge 0$ હોવાથી,સરવાળો શૂન્ય થવા માટે દરેક $v_i = 0$ હોવું જરૂરી છે. જો બધા વેગ શૂન્ય હોય,તો કુલ રેખીય વેગમાન $\vec{P} = \sum m_i (0) = 0$ થાય.
તેથી,$1$ એ $2$ સૂચવતું નથી,પરંતુ $2$ એ $1$ સૂચવે છે.

(C) કણોના તંત્રની ગતિઊર્જા $K = \sum \frac{1}{2} m_i v_i^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જો $K = 0$ હોય,તો દરેક કણનો વેગ $v_i = 0$ હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે તંત્ર સ્થિર છે. જો તંત્ર સ્થિર હોય,તો કુલ રેખીય વેગમાન $P = \sum m_i v_i = 0$ થાય. આમ,$B$ એ $A$ સૂચવે છે.
જો કે,જો રેખીય વેગમાન $P = 0$ હોય,તો કણો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરી શકે છે જેથી તેમનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય થાય (દા.ત.,સમાન દળના બે કણો $v$ અને $-v$ વેગથી ગતિ કરતા હોય). આ કિસ્સામાં,ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}m(-v)^2 = mv^2 \neq 0$ થાય. આમ,$A$ એ $B$ સૂચવતું નથી.

(C) સિસ્ટમનું કુલ વેગમાન એ વ્યક્તિગત કણોના વેગમાનનો સદિશ સરવાળો છે: $\vec{P}_{total} = \sum \vec{p}_i = 0$ (કારણ કે સિસ્ટમ પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું નથી).
જો કે,વેગમાનના મૂલ્યોનો સરવાળો $S = \sum |\vec{p}_i|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ભલે સદિશ સરવાળો શૂન્ય હોય,કણો વચ્ચે લાગતા આંતરિક બળોને કારણે વ્યક્તિગત વેગમાન $\vec{p}_i$ સમય સાથે બદલાઈ શકે છે.
જેમ કે વ્યક્તિગત વેગમાન બદલાય છે,તેમના મૂલ્યો $|\vec{p}_i|$ પણ બદલાય છે,અને પરિણામે,તેમનો સરવાળો $S$ સામાન્ય રીતે શૂન્યતર હોય છે અને તે અચળ હોવો જરૂરી નથી.

(A) ધારો કે પાટિયાનું દળ $M = 40 \ kg$,$A$ નું દળ $m_A = 40 \ kg$ અને $B$ નું દળ $m_B = 60 \ kg$ છે.
પાટિયાની લંબાઈ $L = 120 \ cm$ છે.
શરૂઆતમાં,$A$ એ $x = 0$ પર છે અને $B$ એ $x = 60 \ cm$ (મધ્યમાં) પર છે.
સપાટી લીસી હોવાથી અને કોઈ બાહ્ય આડા બળો ન હોવાથી,તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સ્થિર રહે છે.
ધારો કે પાટિયાનું સ્થાનાંતર $S_P$ છે અને જમીનની સાપેક્ષમાં $A$ નું સ્થાનાંતર $S_A$ છે.
$B$ જમીનની સાપેક્ષમાં સ્થિર હોવાથી,તેનું સ્થાનાંતર $S_B = 0$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સમીકરણ: $m_A S_A + m_B S_B + M S_P = 0$.
કિંમતો મૂકતા: $40 S_A + 60(0) + 40 S_P = 0$,જેનું સાદું રૂપ $S_A = -S_P$ થાય છે.
$A$ એ $B$ તરફ ગતિ કરે છે,તેથી $A$ પાટિયાની સાપેક્ષમાં $60 \ cm$ અંતર કાપે છે. ધારો કે $x$ એ જમીનની સાપેક્ષમાં $A$ નું અંતર છે. તો $x = 60 + S_P$ (કારણ કે પાટિયું ડાબી તરફ $|S_P|$ જેટલું ખસે છે).
વળી,$S_A = x = 60 + S_P$.
$S_A = -S_P$ મૂકતા: $-S_P = 60 + S_P \implies 2S_P = -60 \implies S_P = -30 \ cm$.
આમ,$S_A = 30 \ cm$.
$A$ એ $B$ ને પાટિયાના મૂળ ડાબા છેડેથી $30 \ cm$ ના અંતરે મળે છે,જે પાટિયાની મધ્ય છે.

(A) ધારો કે $m_{i}$ એ દળ છે અને $v_{i}$ એ $i^{th}$ કણનો વેગ છે. દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષ વેગ $v_{i}^{\prime} = v_{i} - V$ છે,તેથી $v_{i} = v_{i}^{\prime} + V$. કુલ વેગમાન $p = \sum m_{i} v_{i} = \sum m_{i}(v_{i}^{\prime} + V) = \sum m_{i} v_{i}^{\prime} + V \sum m_{i} = \sum p_{i}^{\prime} + MV$. કારણ કે $\sum m_{i} r_{i}^{\prime} = 0$,વિકલન કરતા $\sum m_{i} v_{i}^{\prime} = \sum p_{i}^{\prime} = 0$ મળે છે.
$(b)$ $K = \sum \frac{1}{2} m_{i} v_{i}^{2} = \sum \frac{1}{2} m_{i} (v_{i}^{\prime} + V) \cdot (v_{i}^{\prime} + V) = \sum \frac{1}{2} m_{i} v_{i}^{\prime 2} + \sum m_{i} v_{i}^{\prime} \cdot V + \sum \frac{1}{2} m_{i} V^{2} = K^{\prime} + V \cdot (\sum p_{i}^{\prime}) + \frac{1}{2} M V^{2}$. કારણ કે $\sum p_{i}^{\prime} = 0$,તેથી $K = K^{\prime} + \frac{1}{2} M V^{2}$.
$(c)$ $L = \sum r_{i} \times p_{i} = \sum (R + r_{i}^{\prime}) \times m_{i} (V + v_{i}^{\prime}) = \sum (R \times m_{i} V + R \times m_{i} v_{i}^{\prime} + r_{i}^{\prime} \times m_{i} V + r_{i}^{\prime} \times m_{i} v_{i}^{\prime}) = R \times MV + R \times (\sum p_{i}^{\prime}) + (\sum m_{i} r_{i}^{\prime}) \times V + L^{\prime}$. કારણ કે $\sum p_{i}^{\prime} = 0$ અને $\sum m_{i} r_{i}^{\prime} = 0$,તેથી $L = L^{\prime} + R \times MV$.
$(d)$ $\frac{d L^{\prime}}{d t} = \frac{d}{d t} \sum (r_{i}^{\prime} \times p_{i}^{\prime}) = \sum (v_{i}^{\prime} \times p_{i}^{\prime}) + \sum (r_{i}^{\prime} \times \frac{d p_{i}^{\prime}}{d t})$. કારણ કે $v_{i}^{\prime} \times (m_{i} v_{i}^{\prime}) = 0$,તેથી $\frac{d L^{\prime}}{d t} = \sum r_{i}^{\prime} \times F_{i}^{\prime} = \tau_{ext}^{\prime}$.

(C) $n$ કણોની સિસ્ટમનું કુલ વેગમાન $P$ એ સિસ્ટમના તમામ કણોના વ્યક્તિગત વેગમાનના સદિશ સરવાળા તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે: $P = \sum_{i=1}^{n} p_i = \sum_{i=1}^{n} m_i v_i$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની વ્યાખ્યા મુજબ,સિસ્ટમનું કુલ વેગમાન એ સિસ્ટમના કુલ દળ $M$ અને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના વેગ $V_{cm}$ ના ગુણાકાર જેટલું પણ હોય છે:
$P = M V_{cm}$,જ્યાં $M = \sum m_i$ અને $V_{cm} = \frac{\sum m_i v_i}{M}$.
તેથી,વ્યક્તિગત વેગમાનનો સરવાળો અને કુલ દળ તથા દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના વેગનો ગુણાકાર બંને સિસ્ટમના કુલ વેગમાનનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.

(B) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પહેલાં તંત્રનું કુલ વેગમાન અને અથડામણ પછીનું કુલ વેગમાન સમાન હોવું જોઈએ.
અથડામણ પહેલાં,$m$ દળના કણનો વેગ $v$ છે અને $M$ દળનો સળિયો સ્થિર છે. તેથી,પ્રારંભિક વેગમાન $P_i = mv$ છે.
અથડામણ પછી,કણ સ્થિર થઈ જાય છે અને સળિયો તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના વેગ $V_{cm}$ સાથે ગતિ કરે છે. તેથી,અંતિમ વેગમાન $P_f = MV_{cm}$ છે.
બંનેને સરખાવતા: $mv = MV_{cm}$.
$V_{cm}$ માટે ઉકેલતા: $V_{cm} = mv/M$.

(B) તંત્ર (સળિયો + કણ) માટે રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
પ્રારંભિક વેગમાન = અંતિમ વેગમાન
$mv + 0 = 0 + Mv_{cm}$
અહીં,અથડામણ પછી કણ સ્થિર થઈ જાય છે,તેથી તેનો અંતિમ વેગ $0$ છે.
સળિયો તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર માટે $v_{cm}$ વેગ પ્રાપ્ત કરે છે.
તેથી,$mv = Mv_{cm}$
$v_{cm} = \frac{mv}{M}$

(A) વિધાન $I$ વ્યાખ્યા મુજબ સાચું છે: કણોની પ્રણાલીની કુલ ગતિઊર્જા એ વ્યક્તિગત કણોની ગતિઊર્જાનો અદિશ સરવાળો છે,$K = \sum \frac{1}{2} m_i v_i^2$.
વિધાન $II$ પણ કણોની પ્રણાલી માટે ગતિઊર્જાના પ્રમેય મુજબ સાચું છે. જો $\vec{v}_i$ એ ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે $i$-માં કણનો વેગ હોય,$\vec{V}_{cm}$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ હોય,અને $\vec{v}_i'$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે $i$-માં કણનો વેગ હોય,તો $\vec{v}_i = \vec{V}_{cm} + \vec{v}_i'$.
કુલ ગતિઊર્જા $K = \sum \frac{1}{2} m_i v_i^2 = \sum \frac{1}{2} m_i (\vec{V}_{cm} + \vec{v}_i')^2 = \frac{1}{2} M V_{cm}^2 + \sum \frac{1}{2} m_i (v_i')^2$ થાય,જ્યાં $M = \sum m_i$.
આમ,કુલ ગતિઊર્જા એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિઊર્જા અને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે ગતિઊર્જાનો સરવાળો છે.