Mix Example - System of Particles and Rotational Motion Questions in Gujarati

(D) આપેલ છે: દળ $(m) = 10 \ kg$,ત્રિજ્યા $(r) = 0.5 \ m$,વેગ $(v) = 2 \ m/s$,કુલ ગતિઊર્જા $(E) = 32.8 \ J$.
સરક્યા વગર ગબડતા પદાર્થની કુલ ગતિઊર્જા એ તેની સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિની ગતિઊર્જાનો સરવાળો છે:
$E = E_{\text{translational}} + E_{\text{rotational}}$
$E = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
જ્યાં $I = mk^2$ અને $\omega = \frac{v}{r}$,અને $k$ એ ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા છે:
$E = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(mk^2)\left(\frac{v}{r}\right)^2$
$32.8 = \frac{1}{2} \times 10 \times (2)^2 + \frac{1}{2} \times 10 \times k^2 \times \left(\frac{2}{0.5}\right)^2$
$32.8 = 20 + 5 \times k^2 \times (4)^2$
$32.8 = 20 + 80k^2$
$12.8 = 80k^2$
$k^2 = \frac{12.8}{80} = 0.16$
$k = \sqrt{0.16} = 0.4 \ m$.

(C) કિસ્સો $(i)$: જ્યારે પોલો નળાકાર ફર્યા વગર સરકે છે,ત્યારે તે ફક્ત સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા ધરાવે છે.
$K_{trans} = \frac{1}{2}mv^2$
કિસ્સો $(ii)$: જ્યારે પોલો નળાકાર સરક્યા વગર ગબડે છે,ત્યારે તે સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિ બંને પ્રકારની ગતિઊર્જા ધરાવે છે.
$K_{total} = K_{trans} + K_{rot} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
પાતળા પોલા નળાકાર માટે,જડત્વની આઘૂર્ણ $I = mR^2$ અને સરક્યા વગર ગબડવા માટે,$\omega = \frac{v}{R}$.
$K_{total} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(mR^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = mv^2$
ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{K_{trans}}{K_{total}} = \frac{\frac{1}{2}mv^2}{mv^2} = \frac{1}{2}$
આમ,ગુણોત્તર $1:2$ છે.

(A) પદાર્થની ચાકગતિ ઉર્જા $(K_{rot})$ નું સૂત્ર $K_{rot} = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\omega$ એ કોણીય ઝડપ છે.
આપેલ છે કે $I = 3 \ kg \cdot m^2$ અને $\omega = 2 \ rad/s$,તેથી $K_{rot} = \frac{1}{2} \times 3 \times (2)^2 = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \ J$.
$m$ દળ ધરાવતા પદાર્થની સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જા $(K_{trans})$ નું સૂત્ર $K_{trans} = \frac{1}{2} m v^2$ છે.
આપેલ છે કે $m = 12 \ kg$ અને $K_{trans} = K_{rot} = 6 \ J$,તેથી સમીકરણ: $6 = \frac{1}{2} \times 12 \times v^2$.
$6 = 6 \times v^2 \Rightarrow v^2 = 1 \Rightarrow v = 1 \ m/s$.

(D) વિધાન $(a)$ ખોટું છે કારણ કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર અને ગુરુત્વકેન્દ્ર ત્યારે જ સંપાતી થાય જો ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર સમાન હોય.
વિધાન $(b)$ સાચું છે કારણ કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર એ બિંદુ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે જ્યાં પદાર્થ પર લાગતું કુલ ગુરુત્વાકર્ષણીય ટોર્ક શૂન્ય હોય છે.
વિધાન $(c)$ ખોટું છે કારણ કે બળયુગ્મ માત્ર ચાકગતિ ઉત્પન્ન કરે છે,સ્થાનાંતરિત ગતિ નહીં,કારણ કે બળયુગ્મનું કુલ બળ શૂન્ય હોય છે.
વિધાન $(d)$ સાચું છે કારણ કે $\text{Mechanical Advantage} = \frac{\text{Load}}{\text{Effort}}$. જો $\text{Mechanical Advantage} > 1$ હોય,તો $\text{Load} > \text{Effort}$,જેનો અર્થ છે કે નાના પ્રયત્નથી મોટો ભાર ઉઠાવી શકાય છે.
તેથી,વિધાનો $(b)$ અને $(d)$ સાચા છે.

(D) પદાર્થની ચાકગતિ ઉર્જા $(K_r)$ નું સૂત્ર $K_r = \frac{1}{2}I\omega^2$ છે.
અહીં $I = 3\ kg\cdot m^2$ અને $\omega = 2\ rad/s$ આપેલ છે,તેથી $K_r = \frac{1}{2} \times 3 \times (2)^2 = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6\ J$ મળે.
$m$ દળ ધરાવતા પદાર્થની સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જા $(K_t)$ નું સૂત્ર $K_t = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$K_r = K_t$ છે.
તેથી,$6 = \frac{1}{2} \times 12 \times v^2$ થાય.
$6 = 6 \times v^2$.
$v^2 = 1$.
આમ,$v = 1\ m/s$ મળે.

(A) ગબડતી વસ્તુની કુલ ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{k^2}{R^2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ડિસ્ક માટે,ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $k$ માટે $\frac{k^2}{R^2} = \frac{1}{2}$ થાય છે. તેથી,$K_{disc} = \frac{1}{2}mv_d^2(1 + \frac{1}{2}) = \frac{3}{4}mv_d^2$.
રીંગ માટે,ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $k$ માટે $\frac{k^2}{R^2} = 1$ થાય છે. તેથી,$K_{ring} = \frac{1}{2}mv_r^2(1 + 1) = mv_r^2$.
પ્રશ્ન મુજબ $K_{disc} = K_{ring}$ હોવાથી,$\frac{3}{4}mv_d^2 = mv_r^2$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$\frac{v_d^2}{v_r^2} = \frac{4}{3}$ મળે.
તેથી,તેમના વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_d}{v_r} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ થશે.

(D) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બાહ્ય ટોર્ક દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય એ ચાકગતિ ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = \tau \cdot \theta = \Delta K$
જ્યારે પદાર્થોને સ્થિર કરવામાં આવે છે,ત્યારે ટોર્ક $\tau$ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય તેની પ્રારંભિક ચાકગતિ ઉર્જા $K$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$\tau \cdot \theta = K$
$\theta = \frac{K}{\tau}$
અહીં,$\theta$ એ રેડિયનમાં કોણીય સ્થાનાંતર છે,જે પરિભ્રમણની સંખ્યા $n$ સાથે $\theta = 2\pi n$ દ્વારા સંબંધિત છે.
આપેલ છે કે ત્રણેય પદાર્થો માટે પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K$ અને લાગુ પડતું ટોર્ક $\tau$ સમાન છે,તેથી કોણીય સ્થાનાંતર $\theta$ પણ બધા માટે સમાન રહેશે.
તેથી,પરિભ્રમણની સંખ્યા $n = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{K}{2\pi\tau}$ રીંગ,નક્કર ગોળા અને તકતી માટે સમાન રહેશે.

(B) ચાકગતિ કરતા પદાર્થને અટકાવવાની મુશ્કેલી તેની ચાકગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ પર આધાર રાખે છે. બંને પદાર્થોનો કોણીય વેગ $\omega$ સમાન હોવાથી,જેનું જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ ઓછી હશે તેની ચાકગતિ ઉર્જા ઓછી હશે અને તેને અટકાવવો સહેલો પડશે.
$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી રિંગ માટે તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{\text{ring}} = \frac{1}{2} MR^2$ છે.
$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ધન ગોળા માટે તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{\text{sphere}} = \frac{2}{5} MR^2$ છે.
બંનેની સરખામણી કરતા,$I_{\text{sphere}} = 0.4 MR^2$ અને $I_{\text{ring}} = 0.5 MR^2$ મળે છે.
અહીં $I_{\text{sphere}} < I_{\text{ring}}$ હોવાથી,ધન ગોળાની ચાકગતિ ઉર્જા ઓછી છે અને તેથી તેને અટકાવવો સહેલો છે.

(A) $1$. ઘન ગોળાની તેના વ્યાસ પર જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}MR^2$ છે.
$2$. ગોળાનું કદ $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ છે. તકતીમાં રૂપાંતરિત કરતી વખતે કદ અચળ રહે છે,તેથી $V = \pi r^2 t$. આમ,$t = \frac{4R^3}{3r^2}$.
$3$. તકતીની તેના સમતલને લંબ અને કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષ પર જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{1}{2}Mr^2$ છે.
$4$. સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,ધારને સ્પર્શતી અને સમતલને લંબ અક્ષ પર જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{tangent} = I_{cm} + Mr^2 = \frac{1}{2}Mr^2 + Mr^2 = \frac{3}{2}Mr^2$ થાય.
$5$. આપેલ છે કે $I_{tangent} = I$,તેથી $\frac{3}{2}Mr^2 = \frac{2}{5}MR^2$.
$6$. સાદું રૂપ આપતા,$r^2 = \frac{4}{15}R^2$,જેનું મૂલ્ય $r = \frac{2}{\sqrt{15}}R$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે કોણીય વેગમાન $L$ એ રેખીય વેગમાન $P$ કરતા $n$ ગણું છે,તેથી $L = nP$.
દ્રઢ પદાર્થની કુલ ગતિઊર્જા $(KE)$ એ તેની ચાકગતિ ઉર્જા $(KE_R)$ અને સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $(KE_T)$ નો સરવાળો છે.
$KE = KE_R + KE_T$
$KE_R = \frac{L^2}{2I}$ અને $KE_T = \frac{P^2}{2m}$ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે:
$KE = \frac{L^2}{2I} + \frac{P^2}{2m}$
સમીકરણમાં $L = nP$ મૂકતા:
$KE = \frac{(nP)^2}{2I} + \frac{P^2}{2m}$
$KE = \frac{n^2P^2}{2I} + \frac{P^2}{2m}$
$\frac{P^2}{2}$ સામાન્ય કાઢતા:
$KE = \frac{P^2}{2}\left(\frac{n^2}{I} + \frac{1}{m}\right)$

(A) ધારો કે રિંગનું દળ $M = 2 \ kg$,ત્રિજ્યા $R = 0.5 \ m$ અને વેગ $v = 1 \ m/s$ છે. દડાનું દળ $m = 0.1 \ kg$,પ્રારંભિક વેગ $u_x = -20 \ m/s$ અને અંતિમ વેગ $v_x = 0, v_y = 10 \ m/s$ છે. અથડામણ બિંદુ $h = 0.75 \ m = 1.5R$ ઊંચાઈ પર છે.
$x$-દિશામાં દડા માટે આઘાત-વેગમાન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $J_x = m(v_x - u_x) = 0.1(0 - (-20)) = 2 \ Ns$. રિંગ પર લાગતો આઘાત $J_x' = -2 \ Ns$ છે.
રિંગ માટે,રેખીય વેગમાનમાં ફેરફાર $M(v_f - v_i) = J_x'$ છે,તેથી $2(v_f - 1) = -2$,જે આપણને $v_f = 0$ આપે છે.
$1.5R$ ઊંચાઈએ રિંગ પર લાગતો આઘાત દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ કોણીય આઘાત ઉત્પન્ન કરે છે: $\tau_{imp} = J_x' \times (1.5R - R) = -2 \times 0.25 = -0.5 \ Nms$.
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = I\omega = (MR^2)(v/R) = MvR = 2 \times 1 \times 0.5 = 1 \ kgm^2/s$.
અંતિમ કોણીય વેગમાન $L_f = L_i + \tau_{imp} = 1 - 0.5 = 0.5 \ kgm^2/s$.
$L_f = I\omega_f = (MR^2)\omega_f = (2 \times 0.5^2)\omega_f = 0.5\omega_f$ હોવાથી,આપણને $0.5 = 0.5\omega_f$ મળે છે,તેથી $\omega_f = 1 \ rad/s$.
$v_f = 0$ અને $\omega_f \neq 0$ હોવાથી,રિંગ તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ શુદ્ધ ભ્રમણ કરે છે.

(A) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોય $(\tau_{ext} = 0)$,તો કોણીય વેગમાન $L = I\omega$ અચળ રહે છે.
ચાકગતિ ઊર્જા $K = \frac{1}{2} I\omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $\omega = \frac{L}{I}$ મૂકતા,આપણને $K = \frac{L^2}{2I}$ મળે છે.
જો $L$ અચળ રહે અને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ વધે,તો ગતિ ઊર્જા $K$ ઘટવી જોઈએ કારણ કે $K \propto \frac{1}{I}$.
વિધાન-$1$ જણાવે છે કે $K$ ઘટે છે,જે ત્યારે જ શક્ય છે જો $I$ માં ફેરફાર થાય. જો $I$ અચળ હોય અને $L$ અચળ હોય,તો $\omega$ પણ અચળ રહે,તેથી $K$ અચળ રહેવું જોઈએ. તેથી વિધાન-$1$ ખોટું છે.
વિધાન-$2$ એ $L$ અને $K$ ની સાચી વ્યાખ્યાઓ આપે છે,તેથી તે સાચું છે.

(D) ઘન ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$I = \frac{2}{5} M R^2$
અહીં $M$ અચળ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$I \propto R^2$
આ સંબંધ $I$-અક્ષ પર ખુલતા પરવલય (parabola) ને દર્શાવે છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,જે આલેખ $I$ માં $R$ સાથે વર્ગના પ્રમાણમાં વધારો દર્શાવે છે તે આલેખ $D$ છે.

(D) વર્તુળાકાર ગતિ કરતા કણનું કોણીય વેગમાન $L = I\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\omega$ એ કોણીય વેગ છે.
ગતિ ઊર્જા $E$ એ $E = \frac{1}{2}I\omega^2$ છે.
આના પરથી,આપણે લખી શકીએ કે $L = \frac{2E}{\omega}$.
આપેલ છે: આવૃત્તિ $f$ બમણી થાય છે,તેથી કોણીય વેગ $\omega' = 2\omega$. ગતિ ઊર્જા અડધી થાય છે,તેથી $E' = \frac{E}{2}$.
નવું કોણીય વેગમાન $L'$ નીચે મુજબ થશે:
$L' = \frac{2E'}{\omega'} = \frac{2(E/2)}{2\omega} = \frac{E}{2\omega} = \frac{1}{4} \left( \frac{2E}{\omega} \right) = \frac{L}{4}$.

(A) ધારો કે અથડામણ પછી તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $V_{CM}$ છે.
તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય સમક્ષિતિજ બળ લાગતું ન હોવાથી,તંત્રનું રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
ધારો કે $2m$ દળના વેગની દિશા ધન ($+y$ દિશા) છે અને $m$ દળના વેગની દિશા ઋણ ($-y$ દિશા) છે.
તંત્રનું પ્રારંભિક રેખીય વેગમાન:
$P_i = (2m)(v) + (m)(-2v) = 2mv - 2mv = 0$
અથડામણ પછી,બંને દળ સળિયા સાથે ચોંટી જાય છે,તેથી તંત્રનું કુલ દળ $M_{total} = 8m + 2m + m = 11m$ થાય છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$P_i = P_f$
$0 = (11m) V_{CM}$
તેથી,$V_{CM} = 0$.

(C) આપેલ છે: પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 0$,કોણીય પ્રવેગ $\alpha = 8 \ rad \ s^{-2}$.
$1$. $t = 5 \ s$ માટે: કોણીય સ્થાનાંતર $\theta_5 = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2 = 0(5) + \frac{1}{2}(8)(5)^2 = 100 \ rad$.
$5 \ s$ માં પરિભ્રમણની સંખ્યા $n_5 = \frac{\theta_5}{2\pi} = \frac{100}{2\pi}$ છે.
$2$. $t = 6 \ s$ માટે: કોણીય સ્થાનાંતર $\theta_6 = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2 = 0(6) + \frac{1}{2}(8)(6)^2 = 144 \ rad$.
છઠ્ઠી સેકન્ડમાં પરિભ્રમણની સંખ્યા $\Delta n = \frac{\theta_6 - \theta_5}{2\pi} = \frac{144 - 100}{2\pi} = \frac{44}{2\pi}$ છે.
$3$. $6 \ s$ પછી ટૉર્ક શૂન્ય થાય છે,તેથી $\alpha = 0$. $t = 6 \ s$ સમયે કોણીય વેગ $\omega_6 = \omega_0 + \alpha t = 0 + (8)(6) = 48 \ rad \ s^{-1}$.
સાતમી સેકન્ડમાં (એટલે કે $t=6$ થી $t=7$ સુધી),કોણીય સ્થાનાંતર $\theta_7 = \omega_6 \times \Delta t = 48 \times 1 = 48 \ rad$.
સાતમી સેકન્ડમાં પરિભ્રમણની સંખ્યા $\frac{48}{2\pi}$ છે.

(C) નળાકાર $A$ ની પ્રારંભિક કોણીય ઝડપ $\omega_{0A} = 50 \text{ rev/s}$ છે.
નળાકાર $B$ ની પ્રારંભિક કોણીય ઝડપ $\omega_{0B} = 0 \text{ rev/s}$ છે.
ધારો કે કોણીય પ્રવેગનું મૂલ્ય $\alpha = 1 \text{ rev/s}^2$ છે.
નળાકાર $A$ માટે,$t$ સમય પછી કોણીય ઝડપ $\omega_A = \omega_{0A} - \alpha t = 50 - 1t$ થશે.
નળાકાર $B$ માટે,$t$ સમય પછી કોણીય ઝડપ $\omega_B = \omega_{0B} + \alpha t = 0 + 1t = t$ થશે.
જ્યારે બંને નળાકારની કોણીય ઝડપ સમાન થાય,ત્યારે $\omega_A = \omega_B$ થાય.
તેથી,$50 - t = t$.
$2t = 50$.
$t = 25 \text{ સેકન્ડ}$.

(A) પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 100 \ rpm = 100 \times \frac{2\pi}{60} \ rad/s = \frac{10\pi}{3} \ rad/s$.
અંતિમ કોણીય વેગ $\omega = 0 \ rad/s$ અને સમય $t = 15 \ s$.
ચાકગતિના સમીકરણ $\omega = \omega_0 + \alpha t$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 = \frac{10\pi}{3} + \alpha(15) \implies \alpha = -\frac{10\pi}{45} = -\frac{2\pi}{9} \ rad/s^2$.
હવે,કુલ કોણીય સ્થાનાંતર $\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$:
$\theta = (\frac{10\pi}{3})(15) + \frac{1}{2}(-\frac{2\pi}{9})(15)^2 = 50\pi - 25\pi = 25\pi \ rad$.
પરિભ્રમણોની સંખ્યા $N = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{25\pi}{2\pi} = 12.5$ પરિભ્રમણ.

(A) કોણીય વેગમાન $L = I\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચાકગતિ ઉર્જા $E_K = \frac{1}{2} I \omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ બે સમીકરણો પરથી,આપણે લખી શકીએ $I = \frac{L}{\omega}$. આ કિંમતને ગતિ-ઊર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$E_K = \frac{1}{2} (\frac{L}{\omega}) \omega^2 = \frac{1}{2} L \omega$.
તેથી,$L = \frac{2 E_K}{\omega}$.
ધારો કે પ્રારંભિક સ્થિતિ $(L_1, E_{K1}, \omega_1)$ છે અને અંતિમ સ્થિતિ $(L_2, E_{K2}, \omega_2)$ છે.
આપેલ છે: $\omega_2 = 2\omega_1$ અને $E_{K2} = \frac{E_{K1}}{2}$.
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{L_2}{L_1} = \frac{2 E_{K2} / \omega_2}{2 E_{K1} / \omega_1} = \frac{E_{K2}}{E_{K1}} \times \frac{\omega_1}{\omega_2}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{L_2}{L_1} = (\frac{1}{2}) \times (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$.
આમ,$L_2 = \frac{L_1}{4} = \frac{L}{4}$.

(C) ચાકગતિ ઊર્જા $K$ નું સૂત્ર $K = \frac{L^2}{2I}$ છે,જ્યાં $L$ એ કોણીય વેગમાન છે અને $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
આપેલ છે કે બંને પદાર્થોની ચાકગતિ ઊર્જા સમાન છે,તેથી $K_1 = K_2$.
તેથી,$\frac{L_1^2}{2I_1} = \frac{L_2^2}{2I_2}$.
કોણીય વેગમાનના ગુણોત્તર માટે પદ ગોઠવતા,આપણને મળે છે $\frac{L_1^2}{L_2^2} = \frac{I_1}{I_2}$.
આપેલ કિંમતો $I_1 = I$ અને $I_2 = 2I$ મૂકતા,$\frac{L_1^2}{L_2^2} = \frac{I}{2I} = \frac{1}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,કોણીય વેગમાનનો ગુણોત્તર $\frac{L_1}{L_2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ મળે છે.

(D) પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $(K.E.)_i = \frac{1}{2} I \omega^2 + \frac{1}{2} m v^2$
$I = \frac{1}{2} M R^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (0.2)^2 = 0.04 \ kg \cdot m^2$
$(K.E.)_i = \frac{1}{2} \times 0.04 \times (3)^2 + \frac{1}{2} \times 0.5 \times (5)^2 = 0.18 + 6.25 = 6.43 \ J$
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $L_i = L_f$
$I \omega + m v R = (I + m R^2) \omega_f$
$0.04 \times 3 + 0.5 \times 5 \times 0.2 = (0.04 + 0.5 \times (0.2)^2) \omega_f$
$0.12 + 0.5 = (0.04 + 0.02) \omega_f$
$0.62 = 0.06 \omega_f \Rightarrow \omega_f = \frac{0.62}{0.06} = 10.33 \ rad/s$
અંતિમ ગતિઊર્જા $(K.E.)_f = \frac{1}{2} (I + m R^2) \omega_f^2 = \frac{1}{2} (0.06) \times (10.33)^2 = 0.03 \times 106.7 = 3.20 \ J$
ઊર્જામાં ઘટાડો $\Delta E = (K.E.)_i - (K.E.)_f = 6.43 - 3.20 = 3.23 \ J \approx 3.25 \ J$ (સૌથી નજીકનો વિકલ્પ).

(B) પાતળા પોલા નળાકાર માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = MR^2$ છે,તેથી ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $K$ માટે $K^2/R^2 = 1$ થાય છે.
કિસ્સો $1$: ભ્રમણ કર્યા વગર સરકવું.
ગતિઊર્જા ફક્ત સ્થાનાંતરિત છે: $E_1 = \frac{1}{2} Mv^2$.
કિસ્સો $2$: સરક્યા વગર રોલિંગ કરવું.
કુલ ગતિઊર્જા એ સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિઊર્જાનો સરવાળો છે: $E_2 = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} I\omega^2$.
$v = R\omega$ અને $I = MR^2$ હોવાથી,$E_2 = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} (MR^2)(v/R)^2 = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} Mv^2 = Mv^2$ થાય.
ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર: $E_1 / E_2 = (\frac{1}{2} Mv^2) / (Mv^2) = 1/2$.
આમ,ગુણોત્તર $1 : 2$ છે.

(C) $T$ તાપમાને ગોળાની ત્રિજ્યા $R_T = R_0(1 + \alpha \Delta T)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\Delta T = 100^{\circ}C$ માટે,$R_{100} = R_0(1 + 100\alpha)$.
ઘન ગોળાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}MR^2$ છે.
ગોળા પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે: $I_0 \omega_0 = I_{100} \omega_{100}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2}{5}MR_0^2 \omega_0 = \frac{2}{5}MR_{100}^2 \omega_{100}$.
$R_0^2 \omega_0 = [R_0(1 + 100\alpha)]^2 \omega_{100}$.
$R_0^2 \omega_0 = R_0^2(1 + 200\alpha) \omega_{100}$ (નાના $x$ માટે દ્વિપદી અંદાજ $(1+x)^n \approx 1+nx$ નો ઉપયોગ કરતા).
$\omega_{100} = \frac{\omega_0}{1 + 200\alpha} = \frac{\omega_0}{1 + 200(2.0 \times 10^{-5})} = \frac{\omega_0}{1 + 0.004} = \frac{\omega_0}{1.004}$.
$\omega_{100} \approx 0.996 \omega_0$.

(C) ધારો કે $x$ એ સમબાજુ ત્રિકોણના કેન્દ્ર $O$ થી દરેક બાજુનું લંબ અંતર છે.
સમબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,કેન્દ્રથી દરેક બાજુનું અંતર સમાન હોય છે.
બળ $F$ દ્વારા બિંદુ $O$ ની આસપાસ ઉત્પન્ન થતું ટોર્ક $\tau = F \times x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રિકોણની બાજુઓ પર લાગતા બળો $\vec F_1, \vec F_2$ અને $\vec F_3$ ની દિશાઓ જોતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\vec F_1$ અને $\vec F_2$ એ $O$ ની આસપાસ સમાન પરિભ્રમણની દિશામાં (દા.ત. ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં) ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે છે,જ્યારે $\vec F_3$ વિરુદ્ધ દિશામાં ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે છે.
$O$ ની આસપાસ કુલ ટોર્ક શૂન્ય થવા માટે,ટોર્કનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\tau_1 + \tau_2 - \tau_3 = 0$
$F_1 x + F_2 x - F_3 x = 0$
$x$ વડે ભાગતા (કારણ કે $x \neq 0$):
$F_1 + F_2 - F_3 = 0$
તેથી,$F_3 = F_1 + F_2$.

(D) $m$ દળ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા પાતળા ગોલીય કવચની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{diam} = \frac{2}{3} mr^2$ છે.
ત્રીજા કવચ માટે,$XX'$ અક્ષ તેના વ્યાસમાંથી પસાર થાય છે. તેથી,તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_3 = \frac{2}{3} mr^2$ છે.
બાકીના બે કવચ માટે,$XX'$ અક્ષ તેમને સ્પર્શક છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,સ્પર્શકને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{tangent} = I_{cm} + md^2$ છે,જ્યાં $d = r$. તેથી,$I_1 = I_2 = \frac{2}{3} mr^2 + mr^2 = \frac{5}{3} mr^2$.
$XX'$ અક્ષને અનુલક્ષીને સિસ્ટમની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 + I_2 + I_3 = \frac{5}{3} mr^2 + \frac{5}{3} mr^2 + \frac{2}{3} mr^2 = \frac{12}{3} mr^2 = 4 mr^2$ થાય.

(A) જ્યારે પૃથ્વી ફરતી બંધ થાય છે,ત્યારે તેની ચાકગતિ ઉર્જા ઉષ્મા ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ચાકગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2} I \omega^2$.
ઘન ગોળા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} M R^2$ છે.
તેથી,$K = \frac{1}{2} (\frac{2}{5} M R^2) \omega^2 = \frac{1}{5} M R^2 \omega^2$.
આ ઉર્જા ઉષ્મા $Q = M S \Delta \theta$ માં રૂપાંતરિત થાય છે,જ્યાં $M$ દળ છે,$S$ વિશિષ્ટ ઉષ્મા છે અને $\Delta \theta$ તાપમાનમાં ફેરફાર છે.
ઉષ્માના યાંત્રિક તુલ્યાંક $W = JQ$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\frac{1}{5} M R^2 \omega^2 = J (M S \Delta \theta)$.
$\Delta \theta$ માટે ઉકેલતા,$\Delta \theta = \frac{R^2 \omega^2}{5Js}$ મળે છે.

(D) ફ્લાયવ્હીલ એ પરિભ્રમણીય ઉર્જાનો સંગ્રહ કરવા માટે વપરાતું એક ભારે ફરતું યાંત્રિક ઉપકરણ છે. સ્ટીમ એન્જિનમાં,ઉર્જાનું ઉત્પાદન ઘણીવાર ચક્રીય અથવા તૂટક હોય છે. ફ્લાયવ્હીલ,તેની જડત્વની મોટી માત્રાને કારણે,પરિભ્રમણની ગતિમાં થતા ફેરફારોનો પ્રતિકાર કરે છે. જ્યારે એન્જિન વધારાની ઉર્જા ઉત્પન્ન કરે છે,ત્યારે ફ્લાયવ્હીલ તેના કોણીય વેગમાં વધારો કરીને તેને શોષી લે છે. જ્યારે એન્જિન ઓછી ઉર્જા ઉત્પન્ન કરે છે,ત્યારે ફ્લાયવ્હીલ સ્થિર કોણીય વેગ જાળવવા માટે સંગ્રહિત ઉર્જા મુક્ત કરે છે. આમ,તે ટોર્કમાં થતા વધઘટને દૂર કરીને એન્જિનની ગતિને સમાન રાખવામાં મદદ કરે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ, $L = I\omega = \text{અચળ}$.
જ્યારે '$m$' દળનું શ્યાન પ્રવાહી પ્લેટફોર્મ પર પાડવામાં આવે છે, ત્યારે તે બહારની તરફ ફેલાય છે. આનાથી તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ વધે છે. $L$ અચળ હોવાથી, કોણીય વેગ $(\omega)$ ઘટશે.
જેમ પ્રવાહી કિનારી સુધી પહોંચે છે અને પ્લેટફોર્મ પરથી નીચે પડી જાય છે, તેમ તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ ઘટીને તેના મૂળ મૂલ્ય તરફ પાછી આવે છે. પરિણામે, કોણીય વેગ $(\omega)$ ફરીથી વધે છે.

(D) કોઈપણ તંત્રનું રેખીય વેગમાન $P$ એ કુલ દળ $M$ અને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના વેગ $v_{cm}$ ના ગુણાકાર જેટલું હોય છે,એટલે કે $P = M \cdot v_{cm}$.
તકતી તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી સ્થિર અક્ષની આસપાસ ભ્રમણ કરતી હોવાથી,તકતીનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સ્થિર રહે છે.
તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $v_{cm} = 0$ થાય.
પરિણામે,રેખીય વેગમાન $P = 2 \ kg \times 0 \ m/s = 0 \ kg \cdot m/s$ મળે.
આ મૂલ્ય વિકલ્પો $A$,$B$ કે $C$ માં આપેલ નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) પદાર્થની ચાકગતિ ઉર્જા $K_{rot} = \frac{1}{2} I \omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $I = 3 \ kg \cdot m^2$ અને $\omega = 2 \ rad/s$ આપેલ છે,તેથી $K_{rot} = \frac{1}{2} \times 3 \times (2)^2 = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \ J$.
પદાર્થની સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જા $K_{trans} = \frac{1}{2} m v^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $m = 12 \ kg$ આપેલ છે,તેથી $K_{trans} = K_{rot}$ લેતા:
$\frac{1}{2} \times 12 \times v^2 = 6$
$6 \times v^2 = 6$
$v^2 = 1$
$v = 1 \ m/s$.

(B) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,નીચે પડતા દળ દ્વારા ગુમાવેલી સ્થિતિ ઉર્જા,દળની ગતિ ઉર્જા અને પૈડાની ચાકગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
પ્રારંભિક ઉર્જા = અંતિમ ઉર્જા
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
દોરી સરકતી ન હોવાથી,દળનો રેખીય વેગ $v$ અને પૈડાનો કોણીય વેગ $\omega$ વચ્ચેનો સંબંધ $v = r\omega$ છે.
ઉર્જા સમીકરણમાં $v = r\omega$ મૂકતા:
$mgh = \frac{1}{2}m(r\omega)^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
$mgh = \frac{1}{2}(mr^2 + I)\omega^2$
$\omega$ માટે ઉકેલતા:
$\omega^2 = \frac{2mgh}{I + mr^2}$
$\omega = \sqrt{\frac{2mgh}{I + mr^2}}$

(D) ઢળતા સમતલ પર ગબડતી વસ્તુ માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2h}{g \sin^2 \theta} (1 + \frac{I}{MR^2})}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ એ દળના વિતરણ પર આધાર રાખે છે,અને ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $k$ ને $I = Mk^2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,તેથી લાગતો સમય જડત્વની ચાકમાત્રા અને ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા બંને પર આધાર રાખે છે.
નક્કર ગોળા માટે $I = \frac{2}{5}MR^2$ અને તકતી માટે $I = \frac{1}{2}MR^2$ હોય છે.
તેમની જડત્વની ચાકમાત્રા અને ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા અલગ હોવાથી,તેઓ અલગ-અલગ સમયે તળિયે પહોંચે છે.
તેથી,$(a)$ અને $(c)$ બંને સાચા છે.

(B) અચળ કોણીય વેગ $\omega$ સાથે પદાર્થને ફેરવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = \frac{1}{2} I \omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કાર્ય ન્યૂનતમ હોવા માટે,તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ ન્યૂનતમ હોવી જોઈએ.
ધારો કે ભ્રમણાક્ષ $0.3 \, kg$ ના દળથી $x$ અંતરે છે. તો $0.7 \, kg$ ના દળથી તેનું અંતર $(1.4 - x)$ થશે.
જડત્વની ચાકમાત્રા $I = m_1 x^2 + m_2 (L - x)^2 = 0.3 x^2 + 0.7 (1.4 - x)^2$ છે.
ન્યૂનતમ $I$ શોધવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$\frac{dI}{dx} = 0.3(2x) + 0.7(2)(1.4 - x)(-1) = 0$
$0.6x - 1.4(1.4 - x) = 0$
$0.6x - 1.96 + 1.4x = 0$
$2.0x = 1.96$
$x = 0.98 \, m$.
આમ,અક્ષ $0.3 \, kg$ ના દળથી $0.98 \, m$ અંતરેથી પસાર થવી જોઈએ.

(D) ધારો કે સળિયાની લંબાઈ $l$ છે અને તેનું દળ $m$ છે,તેથી $W = mg$. શરૂઆતમાં,સળિયો સંતુલનમાં છે. જ્યારે છેડા $B$ પરની વ્યક્તિ સળિયાને છોડી દે છે,ત્યારે સળિયો તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $G$ (જે $A$ થી $l/2$ અંતરે છે) પર લાગતા વજનને કારણે ઉદ્ભવતા ટોર્કને લીધે બીજા છેડા $A$ ની આસપાસ ફરવાનું શરૂ કરે છે.
બિંદુ $A$ ની આસપાસ ટોર્ક $\tau = W \cdot \frac{l}{2}$ છે.
બિંદુ $A$ ની આસપાસ સળિયાની જડત્વની આઘૂર્ણ $I = \frac{ml^2}{3}$ છે.
$\tau = I\alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,$W \cdot \frac{l}{2} = \left(\frac{ml^2}{3}\right)\alpha$.
$W = mg$ મૂકતા,$mg \cdot \frac{l}{2} = \frac{ml^2}{3} \alpha$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $\alpha = \frac{3g}{2l}$ મળે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $G$ નો રેખીય પ્રવેગ $a = \frac{l}{2} \alpha = \frac{l}{2} \cdot \frac{3g}{2l} = \frac{3g}{4}$ છે.
હવે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ઉર્ધ્વ ગતિ માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ કરતા: $W - N = ma$,જ્યાં $N$ એ $A$ પરની વ્યક્તિ દ્વારા લગાડવામાં આવતું લંબબળ છે.
$mg - N = m \left(\frac{3g}{4}\right)$.
$N = mg - \frac{3mg}{4} = \frac{mg}{4} = \frac{W}{4}$.
આમ,બીજી વ્યક્તિ $W/4$ જેટલું બળ અનુભવશે.

(D) આપેલ છે કે ટોર્ક $\overrightarrow{\tau} = \overrightarrow{A} \times \overrightarrow{L}$. કારણ કે $\overrightarrow{\tau} = \frac{d\overrightarrow{L}}{dt}$,તેથી $\frac{d\overrightarrow{L}}{dt} = \overrightarrow{A} \times \overrightarrow{L}$.
$1$. સદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ,$\frac{d\overrightarrow{L}}{dt}$ એ $\overrightarrow{A}$ અને $\overrightarrow{L}$ બંનેને લંબ છે. આમ,$\frac{d\overrightarrow{L}}{dt} \perp \overrightarrow{L}$,તેથી વિકલ્પ $(a)$ સાચો છે.
$2$. $\overrightarrow{L}$ નું મૂલ્ય ચકાસવા માટે,$L^2 = \overrightarrow{L} \cdot \overrightarrow{L}$ લો. સમય $t$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $\frac{d}{dt}(L^2) = 2\overrightarrow{L} \cdot \frac{d\overrightarrow{L}}{dt}$. કારણ કે $\frac{d\overrightarrow{L}}{dt} \perp \overrightarrow{L}$,તેથી ડોટ પ્રોડક્ટ $\overrightarrow{L} \cdot \frac{d\overrightarrow{L}}{dt} = 0$ થાય. તેથી,$\frac{d}{dt}(L^2) = 0$,જેનો અર્થ છે કે મૂલ્ય $L$ અચળ છે. આમ,વિકલ્પ $(c)$ સાચો છે.
$3$. કારણ કે $\frac{d\overrightarrow{L}}{dt} = \overrightarrow{A} \times \overrightarrow{L}$,$\overrightarrow{L}$ ના બદલાવનો દર હંમેશા $\overrightarrow{A}$ ને લંબ હોય છે. $\overrightarrow{A}$ ની દિશામાં $\overrightarrow{L}$ નો ઘટક $L_A = \overrightarrow{L} \cdot \hat{A}$ દ્વારા મળે છે. સમયની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $\frac{dL_A}{dt} = \frac{d\overrightarrow{L}}{dt} \cdot \hat{A} = (\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{L}) \cdot \hat{A}$. કારણ કે સદિશ ગુણાકાર $(\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{L})$ એ $\overrightarrow{A}$ ને લંબ છે,તેથી $\hat{A}$ સાથેનો ડોટ પ્રોડક્ટ શૂન્ય થાય છે. આમ,$\frac{dL_A}{dt} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\overrightarrow{A}$ ની દિશામાં $\overrightarrow{L}$ નો ઘટક અચળ છે. તેથી વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.
બધા વિધાનો સાચા હોવાથી,જવાબ $(d)$ છે.

(A) અવરોધ $O$ સાથે અથડાયા પહેલાં,$O$ ની સાપેક્ષે સમઘનનું કોણીય વેગમાન $L = Mv(a/2)$ છે.
$O$ સાથે અથડાયા પછી,સમઘન $O$ માંથી પસાર થતી ધારની આસપાસ ફરે છે. કોણીય વેગમાન $L = I\omega$ છે,જ્યાં $I$ એ $O$ માંથી પસાર થતી ધારની આસપાસ સમઘનની જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
સમાંતર અક્ષ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I = I_{cm} + Md^2$,જ્યાં $I_{cm} = \frac{Ma^2}{6}$ અને $d = \sqrt{(a/2)^2 + (a/2)^2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$I = \frac{Ma^2}{6} + M(\frac{a^2}{2}) = \frac{Ma^2 + 3Ma^2}{6} = \frac{4Ma^2}{6} = \frac{2Ma^2}{3}$.
$O$ ની આસપાસ કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$Mv(a/2) = I\omega$
$Mv(a/2) = (\frac{2Ma^2}{3})\omega$
$\omega = \frac{Mv(a/2) \cdot 3}{2Ma^2} = \frac{3v}{4a}$.

(A) ધારો કે સળિયાની લંબાઈ $l = 2L$ છે. સળિયાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સંપર્ક બિંદુથી $l/2 = L$ અંતરે છે.
શરૂઆતમાં,સપાટીથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ઊંચાઈ $h = (l/2) \sin\alpha = L \sin\alpha$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ઘટાડો એ ચાકગતિ ઉર્જામાં થતા વધારા બરાબર હોય છે:
$mgh = \frac{1}{2} I \omega^2$
અહીં,$I$ એ સંપર્ક બિંદુને અનુલક્ષીને સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા છે,જે $I = \frac{ml^2}{3} = \frac{m(2L)^2}{3} = \frac{4mL^2}{3}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$mg(L \sin\alpha) = \frac{1}{2} \left( \frac{4mL^2}{3} \right) \omega^2$
$mgL \sin\alpha = \frac{2mL^2}{3} \omega^2$
$g \sin\alpha = \frac{2L}{3} \omega^2$
$\omega^2 = \frac{3g \sin\alpha}{2L}$
$\omega = \sqrt{\frac{3g \sin\alpha}{2L}}$

(D) કુલ પરિભ્રમણોની સંખ્યા $\omega-t$ ગ્રાફ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલી હોય છે.
આ ગ્રાફ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે,જેમાં સમાંતર બાજુઓની લંબાઈ $5 \text{ min}$ (પાયો) અને $2.5 \text{ min}$ (ઉપરની સપાટ બાજુ,$3.5 - 1 = 2.5$) છે.
અહીં ઊંચાઈ (કોણીય વેગ) $\omega = 3000 \text{ rpm}$ છે.
પરિભ્રમણોની સંખ્યા $= \frac{1}{2} \times (\text{સમાંતર બાજુઓનો સરવાળો}) \times \text{ઊંચાઈ}$
$= \frac{1}{2} \times (5 + 2.5) \times 3000 = \frac{1}{2} \times 7.5 \times 3000 = 11250$ પરિભ્રમણ.

(B) તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,કોણીય વેગમાન $L = I\omega$ અચળ રહે છે.
જેમ જેમ કાચબો જીવા પર ગતિ કરે છે,તેમ કેન્દ્રથી તેનું અંતર $r$ બદલાય છે.
તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{\text{platform}} + mr^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ કાચબાનું દળ છે અને $r$ તેનું કેન્દ્રથી અંતર છે.
શરૂઆતમાં,કાચબો ધાર પર $(r = R)$ છે,તેથી જડત્વની ચાકમાત્રા મહત્તમ છે. જેમ તે જીવાના મધ્યબિંદુ (પ્લેટફોર્મના કેન્દ્રની સૌથી નજીકનું બિંદુ) તરફ ગતિ કરે છે,તેમ અંતર $r$ ઘટે છે,જેના કારણે જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ ઘટે છે.
$L = I\omega$ અચળ હોવાથી,જો $I$ ઘટે,તો કોણીય વેગ $\omega$ વધવો જોઈએ.
કેન્દ્રની સૌથી નજીકના બિંદુને પસાર કર્યા પછી,અંતર $r$ ફરીથી વધવાનું શરૂ થાય છે,જેના કારણે જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ વધે છે,જે બદલામાં કોણીય વેગ $\omega$ ને ઘટાડે છે.
તેથી,કોણીય વેગ પહેલા વધે છે અને પછી ઘટે છે.

(D) ઘન ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $I = \frac{2}{5}MR^2$.
અહીં દળ $M$ અચળ હોવાથી,આપણે આ સંબંધને $I \propto R^2$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આ $y = kx^2$ પ્રકારના પરવલયનું સમીકરણ છે,જ્યાં $y = I$ અને $x = R$ છે.
તેથી,$I$ અને $R$ વચ્ચેનો આલેખ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી શરૂ થતો અને ઉપરની તરફ ખુલતો પરવલય હશે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $D$ માં દર્શાવેલ આલેખ આ પરવલય સંબંધને રજૂ કરે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $I = I_{cm} + Mx^2$ છે. આ સમીકરણ $y = c + ax^2$ ના સ્વરૂપમાં છે,જે $I$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિત પરવલય દર્શાવે છે.
જ્યારે $x = 0$ હોય ત્યારે $I = I_{cm}$ થાય છે,તેથી પરવલયનું શિરોબિંદુ $(0, I_{cm})$ પર છે.
આમ,આલેખ એક પરવલય છે જે $I$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિત છે અને ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતો નથી. આ આલેખ વિકલ્પ $C$ માં દર્શાવેલ છે.

(A) કોણીય વેગમાન $L$ અને કોણીય વેગ $\omega$ વચ્ચેનો સંબંધ $L = I\omega$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની આઘૂર્ણ (moment of inertia) છે.
જો જડત્વની આઘૂર્ણ $I$ અચળ રહેતું હોય,તો સમીકરણ $L = I\omega$ એ $y = mx$ પ્રકારનો રેખીય સંબંધ દર્શાવે છે,જ્યાં $I$ એ ઢાળ (slope) તરીકે કાર્ય કરે છે.
તેથી,$L$ વિરુદ્ધ $\omega$ નો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક સીધી રેખા હશે જેનો ઢાળ $I$ જેટલો અચળ હશે.
આ આલેખ વિકલ્પ $A$ માં દર્શાવેલ છે.

(B) ભ્રમણની ધરીથી $r$ અંતરે રહેલા કણ માટે કોણીય વેગમાન $L$ અને રેખીય વેગમાન $P$ વચ્ચેનો સંબંધ $L = rP$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા,આપણને મળે છે:
$\log_e L = \log_e (rP)$
લઘુગણકના ગુણધર્મ $\log(ab) = \log a + \log b$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\log_e L = \log_e P + \log_e r$
આ સમીકરણ $y = mx + c$ પ્રકારની સીધી રેખાનું છે,જ્યાં $y = \log_e L$,$x = \log_e P$,ઢાળ $m = 1$ અને અંતઃખંડ $c = \log_e r$ છે.
અહીં અંતઃખંડ $c = \log_e r$ સામાન્ય રીતે શૂન્ય હોતો નથી,તેથી આલેખ $1$ ના ઢાળવાળી એક સીધી રેખા હશે જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થશે નહીં. આ આલેખ વિકલ્પ $B$ માં દર્શાવેલ છે.

(B) $M$ દળ અને $a$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{2}{5}Ma^2$ છે.
ધારો કે પરિભ્રમણ અક્ષ એ બાજુ $AB$ છે જે ગોળાઓ $1$ અને $2$ માંથી પસાર થાય છે.
ગોળાઓ $1$ અને $2$ માટે,અક્ષ તેમના કેન્દ્રોમાંથી પસાર થાય છે,તેથી અક્ષને અનુલક્ષીને તેમની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = I_2 = \frac{2}{5}Ma^2$ થશે.
ગોળાઓ $3$ અને $4$ માટે,અક્ષ તેમના કેન્દ્રોથી $b$ જેટલા લંબ અંતરે છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેય $I = I_{cm} + Md^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $I_3 = I_4 = \frac{2}{5}Ma^2 + Mb^2$ મળે છે.
અક્ષ $AB$ ને અનુલક્ષીને તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{total} = I_1 + I_2 + I_3 + I_4$ છે.
$I_{total} = \frac{2}{5}Ma^2 + \frac{2}{5}Ma^2 + (\frac{2}{5}Ma^2 + Mb^2) + (\frac{2}{5}Ma^2 + Mb^2)$.
$I_{total} = 4 \times (\frac{2}{5}Ma^2) + 2Mb^2 = \frac{8}{5}Ma^2 + 2Mb^2$.

(B) શરૂઆતમાં જ્યારે સળિયો શિરોલંબ સ્થિતિમાં હોય,ત્યારે તેની સ્થિતિઊર્જા $U_i = mg\frac{l}{2}$ છે.
જ્યારે તે જમીન સાથે અથડાય છે,ત્યારે તેની સ્થિતિઊર્જા ચાકગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $U_i = K_f$.
$mg\left(\frac{l}{2}\right) = \frac{1}{2}I\omega^2$,જ્યાં $I = \frac{ml^2}{3}$ એ મિજાગરા $A$ ની સાપેક્ષ સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
$I$ અને $\omega = \frac{v_B}{l}$ ની કિંમત મૂકતા:
$mg\left(\frac{l}{2}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{ml^2}{3}\right)\left(\frac{v_B}{l}\right)^2$.
$mg\frac{l}{2} = \frac{1}{6}mv_B^2$.
$v_B^2 = 3gl$.
$v_B = \sqrt{3gl}$.

(A) કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ એ સમયની સાપેક્ષે કોણીય વેગમાં થતા ફેરફારનો દર છે,જે $\alpha = \frac{d\omega}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આલેખની દ્રષ્ટિએ,$\alpha$ એ $\omega-t$ આલેખનો ઢાળ દર્શાવે છે.
કોણીય પ્રવેગનું મૂલ્ય $|\alpha| = |\frac{d\omega}{dt}|$ છે,જે કોઈપણ બિંદુએ વક્રના સ્પર્શકની તીવ્રતા (ઢાળનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય) ને અનુરૂપ છે.
આલેખ $A$ માં,વક્ર શરૂઆતમાં તીવ્ર ઢાળ સાથે શરૂ થાય છે અને જેમ $t$ વધે છે તેમ તે સપાટ થતો જાય છે. આનો અર્થ એ છે કે ઢાળ $\frac{d\omega}{dt}$ ધન છે અને તેનું મૂલ્ય સમય સાથે ઘટી રહ્યું છે.
આલેખ $B$ માં,ઢાળ અચળ છે,તેથી $\alpha$ અચળ છે.
આલેખ $C$ માં,ઢાળ અચળ (ઋણ) છે,તેથી $\alpha$ નું મૂલ્ય અચળ છે.
આલેખ $D$ માં,જેમ $t$ વધે છે તેમ વક્ર વધુ તીવ્ર બને છે,જેનો અર્થ છે કે ઢાળનું મૂલ્ય વધી રહ્યું છે.
તેથી,આલેખ $A$ માં કોણીય પ્રવેગનું મૂલ્ય સતત ઘટી રહ્યું છે.

(A) ધારો કે અર્ધગોલકનું દળ $M = 3m$ છે. તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય આડા બળો લાગતા ન હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું આડું સ્થાન અચળ રહે છે.
ધારો કે અર્ધગોલકનું જમણી તરફનું સ્થાનાંતર $x$ છે. ટેબલની સાપેક્ષે કણનું આડું સ્થાનાંતર ડાબી તરફ $(R \sin \theta - x)$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું આડું સ્થાનાંતર શૂન્ય લેતા:
$m(R \sin \theta - x) - M x = 0$
$m R \sin \theta = (M + m) x$
$M = 3m$ મૂકતા:
$m R \sin \theta = (3m + m) x = 4m x$
$x = \frac{R \sin \theta}{4}$
સમય $t$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dt} = \frac{R \cos \theta}{4} \frac{d\theta}{dt}$
આપેલ છે કે અર્ધગોલકનો વેગ $v = \frac{dx}{dt}$ અને કેન્દ્રની સાપેક્ષે કણનો કોણીય વેગ $\omega = \frac{d\theta}{dt}$ છે:
$v = \frac{R \cos \theta}{4} \omega$
$\omega = \frac{4v}{R \cos \theta}$

(D) $1$. સપાટી લીસી હોવાથી અને તંત્ર (કણ + વેજ) પર કોઈ બાહ્ય આડા બળો લાગતા ન હોવાથી,તંત્રનું રેખીય વેગમાન આડી દિશામાં સંરક્ષિત રહે છે.
$2$. વેજની સાપેક્ષમાં મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર,કણ અને વેજ સમાન આડા વેગ $V$ થી ગતિ કરે છે. વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $mv_0 = (m + M)V$,તેથી $V = \frac{mv_0}{m+M}$.
$3$. દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(COM)$ ના ફ્રેમમાં,કુલ વેગમાન શૂન્ય હોય છે. મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર,કણ અને વેજ વચ્ચેનો સાપેક્ષ વેગ શૂન્ય હોય છે (તેઓ આડી દિશામાં સાથે ગતિ કરે છે). $COM$ ફ્રેમમાં કુલ વેગમાન શૂન્ય હોવાથી,બંને $COM$ ફ્રેમની સાપેક્ષમાં સ્થિર હોવા જોઈએ.
$4$. $COM$ ફ્રેમમાં,કુલ ઊર્જા એ $COM$ ની સાપેક્ષમાં તંત્રની ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જાનો સરવાળો છે. મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર,સાપેક્ષ ગતિઊર્જા શૂન્ય હોય છે,જેનો અર્થ છે કે $COM$ ની સાપેક્ષમાં શરૂઆતની તમામ ગતિઊર્જા સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થઈ ગઈ છે.
$5$. આમ,વિધાન $(B)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે.

(C) ધારો કે દળ ઘનતા $\rho \text{ kg/m}^2$ છે.
ધારો કે બાજુઓ $PQ = RS = a$ અને $QR = PS = b$ છે. ધારો કે $a > b$.
લંબચોરસનું દળ $M = \rho ab$ છે.
લંબચોરસની તેના કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = M(a^2 + b^2)/12$ છે.
કેન્દ્રથી બિંદુ $P$ નું અંતર $\sqrt{(a/2)^2 + (b/2)^2} = \sqrt{a^2 + b^2}/2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$P$ ને અનુલક્ષીને લંબચોરસની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{cm} + M(a^2 + b^2)/4 = M(a^2 + b^2)/3$ થાય.
ત્રિકોણ $PQR$ નું દળ $M' = M/2 = \rho ab/2$ છે.
ત્રિકોણ $PQR$ ની તેના મધ્યકેન્દ્ર $G$ માંથી પસાર થતી અને પ્લેટને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_G = M'(a^2 + b^2)/18$ છે.
મધ્યકેન્દ્ર $G$ થી બિંદુ $P$ નું અંતર $d^2 = (2a/3)^2 + (b/3)^2 = (4a^2 + b^2)/9$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$P$ ને અનુલક્ષીને ત્રિકોણ $PQR$ ની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_P = I_G + M'd^2 = (M/2)(a^2 + b^2)/18 + (M/2)(4a^2 + b^2)/9 = (M/2)(a^2 + b^2 + 8a^2 + 2b^2)/18 = (M/2)(9a^2 + 3b^2)/18 = (M/2)(3a^2 + b^2)/6$ થાય.
$I_P$ ની સરખામણી $I/2 = (M/2)(a^2 + b^2)/3 = (M/2)(2a^2 + 2b^2)/6$ સાથે કરતા,કારણ કે $a > b$,તેથી $3a^2 + b^2 > 2a^2 + 2b^2$,તેથી $I_P > I/2$ મળે.