Torque and Couple Questions in Gujarati

(B) ટોર્ક $\vec{\tau}$ એ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને બળ સદિશ $\vec{F}$ ના સદિશ ગુણાકાર (ક્રોસ પ્રોડક્ટ) દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$
$\vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & 3 \\ 2 & -3 & 4 \end{vmatrix}$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\vec{\tau} = \hat{i} [(2)(4) - (3)(-3)] - \hat{j} [(3)(4) - (3)(2)] + \hat{k} [(3)(-3) - (2)(2)]$
$\vec{\tau} = \hat{i} [8 + 9] - \hat{j} [12 - 6] + \hat{k} [-9 - 4]$
$\vec{\tau} = 17\hat{i} - 6\hat{j} - 13\hat{k} \text{ N m}$

(A) ટોર્ક $\vec{\tau}$ એ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને બળ સદિશ $\vec{F}$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા મળે છે:
$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$
અહીં $\vec{r} = 7\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{F} = -3\hat{i} + \hat{j} + 5\hat{k}$ આપેલ છે,તેથી નિશ્ચાયક ગણતા:
$\vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 7 & 3 & 1 \\ -3 & 1 & 5 \end{vmatrix}$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\vec{\tau} = \hat{i}(3 \times 5 - 1 \times 1) - \hat{j}(7 \times 5 - 1 \times (-3)) + \hat{k}(7 \times 1 - 3 \times (-3))$
$\vec{\tau} = \hat{i}(15 - 1) - \hat{j}(35 + 3) + \hat{k}(7 + 9)$
$\vec{\tau} = 14\hat{i} - 38\hat{j} + 16\hat{k}$

(A) ટોર્ક $\vec{T}$ ને સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને બળ સદિશ $\vec{F}$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે $\vec{T} = \vec{r} \times \vec{F}$ દ્વારા દર્શાવાય છે.
સદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ,પરિણામી સદિશ $\vec{T}$ હંમેશા $\vec{r}$ અને $\vec{F}$ સદિશો ધરાવતા સમતલને લંબ હોય છે.
જેથી $\vec{T}$ એ $\vec{r}$ ને લંબ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $\vec{r} \cdot \vec{T} = 0$.
તે જ રીતે,$\vec{T}$ એ $\vec{F}$ ને લંબ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર પણ શૂન્ય થાય: $\vec{F} \cdot \vec{T} = 0$.

(B) બળયુગ્મ (કપલ) એ દ્રઢ પદાર્થ પર અલગ-અલગ બિંદુઓ પર લાગતા બે સમાન,સમાંતર અને વિરુદ્ધ દિશાના બળોની જોડી છે. પદાર્થ પર લાગતું કુલ બળ શૂન્ય હોવાથી $(F_{net} = F - F = 0)$,તેમાં કોઈ રેખીય પ્રવેગ કે રેખીય ગતિ થતી નથી. જોકે,આ બળો અલગ-અલગ બિંદુઓ પર લાગતા હોવાથી,તેઓ કોઈપણ બિંદુની સાપેક્ષમાં ચોખ્ખું ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે છે,જેના પરિણામે પદાર્થમાં માત્ર ચાકગતિ થાય છે.

(C) ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ પર લાગતા બળ $\vec{F}$ નું ટોર્ક $\vec{\tau}$ નીચે મુજબ મળે છે: $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$.
આપેલ છે:
$\vec{r} = (3\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) \text{ m}$
$\vec{F} = (2\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}) \text{ N}$
નિશ્ચાયકની રીતનો ઉપયોગ કરીને સદિશ ગુણાકાર કરતા:
$\vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & 3 \\ 2 & -3 & 4 \end{vmatrix}$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\vec{\tau} = \hat{i}((2)(4) - (-3)(3)) - \hat{j}((3)(4) - (2)(3)) + \hat{k}((3)(-3) - (2)(2))$
$\vec{\tau} = \hat{i}(8 + 9) - \hat{j}(12 - 6) + \hat{k}(-9 - 4)$
$\vec{\tau} = 17\hat{i} - 6\hat{j} - 13\hat{k} \text{ N m}$.

(D) નટને ઢીલું કરવા માટે જરૂરી ટોર્ક $\tau$ એ $\tau = r F \sin(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,$r_1 = 8 \, cm$,$F_1 = 6.0 \, N$,અને $\theta_1 = 30^{\circ}$ છે.
તેથી,$\tau = 8 \, cm \times 6.0 \, N \times \sin(30^{\circ}) = 8 \times 6.0 \times 0.5 = 24 \, N \cdot cm$.
બીજા કિસ્સામાં,આપણે $r_2 = 16 \, cm$ અંતરે લંબરૂપે $(\theta_2 = 90^{\circ})$ બળ $F_2$ લગાડવાની જરૂર છે.
જરૂરી ટોર્ક સમાન રહેતું હોવાથી,$\tau = r_2 F_2 \sin(90^{\circ})$.
$24 = 16 \times F_2 \times 1$.
$F_2 = \frac{24}{16} = 1.5 \, N$.

(B) પુસ્તકનું વજન $W$ તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર નીચેની તરફ લાગે છે,જે પકડવાના બિંદુથી $\frac{a}{2}$ જેટલા આડા અંતરે છે.
પકડવાના બિંદુની સાપેક્ષે વજન દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ટોર્ક $\tau$ એ બળ અને લંબ અંતરનો ગુણાકાર છે:
$\tau = \text{બળ} \times \text{લંબ અંતર}$
$\tau = W \times \frac{a}{2} = W \frac{a}{2}$
વજન નીચેની તરફ લાગે છે અને પિવોટ પોઈન્ટ ખૂણા પર હોવાથી,આ બળ સમઘડી દિશામાં ભ્રમણની વૃત્તિ પેદા કરે છે. પુસ્તકને સંતુલનમાં રાખવા માટે,વ્યક્તિએ સમાન અને વિરુદ્ધ ટોર્ક લગાડવું પડે,જે વિષમઘડી દિશામાં હોય. તેથી,વ્યક્તિ $W \frac{a}{2}$ જેટલું વિષમઘડી ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે છે.

(B) સમઘન ધાર $O$ ની આસપાસ નમવાનું શરૂ કરે તે માટે,ટેબલ દ્વારા લાગતી લંબ પ્રતિક્રિયા બળ ધાર $O$ પર જ લાગવું જોઈએ.
ધાર $O$ ની આસપાસ ટોર્ક (મોમેન્ટ) લેતા:
લગાડવામાં આવેલા બળ $F$ ને કારણે ટોર્ક $\tau_F = F \times \frac{3a}{4}$ છે (જે ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં ફેરવવાનો પ્રયત્ન કરે છે).
સમઘનના વજન $mg$ ને કારણે ટોર્ક $\tau_g = mg \times \frac{a}{2}$ છે (જે ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં ફેરવવાનો પ્રયત્ન કરે છે,કારણ કે વજન દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર લાગે છે).
સમઘન નમવાની અણી પર હોય તે માટે,$O$ ની આસપાસ કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$F \times \frac{3a}{4} = mg \times \frac{a}{2}$
$F$ માટે ઉકેલતા:
$F = mg \times \frac{a}{2} \times \frac{4}{3a}$
$F = \frac{2}{3} mg$

(B) આપેલ છે: બળ $\overrightarrow{F} = (2\hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k}) \ N$ અને સ્થાન સદિશ $\overrightarrow{r} = (3\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}) \ m$.
ટોર્ક $\overrightarrow{\tau}$ એ સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{F}$ દ્વારા મળે છે:
$\overrightarrow{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & -4 \\ 2 & -4 & 2 \end{vmatrix}$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\overrightarrow{\tau} = \hat{i}(2 \times 2 - (-4) \times (-4)) - \hat{j}(3 \times 2 - (-4) \times 2) + \hat{k}(3 \times (-4) - 2 \times 2)$
$\overrightarrow{\tau} = \hat{i}(4 - 16) - \hat{j}(6 + 8) + \hat{k}(-12 - 4)$
$\overrightarrow{\tau} = -12\hat{i} - 14\hat{j} - 16\hat{k} \ N-m$
ટોર્કનું મૂલ્ય $|\overrightarrow{\tau}| = \sqrt{(-12)^2 + (-14)^2 + (-16)^2}$
$|\overrightarrow{\tau}| = \sqrt{144 + 196 + 256} = \sqrt{596} \approx 24.41 \ N-m$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) તંત્રનું પરિણામી બળ $F_{res} = 5 \ N + 3 \ N = 8 \ N$ છે,જે બિંદુ $R$ માંથી નીચેની તરફ લાગે છે.
બિંદુ $R$ ની આસપાસ તંત્ર રોટેશનલ સંતુલનમાં રહે તે માટે,$R$ ની આસપાસ બળોની મોમેન્ટનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$P$ પર લાગતું $5 \ N$ નું બળ $R$ ની આસપાસ ક્લોકવાઇઝ મોમેન્ટ ઉત્પન્ન કરે છે અને $Q$ પર લાગતું $3 \ N$ નું બળ $R$ ની આસપાસ એન્ટી-ક્લોકવાઇઝ મોમેન્ટ ઉત્પન્ન કરે છે.
$R$ ની આસપાસ મોમેન્ટ લેતા:
$5 \times PR - 3 \times RQ = 0$
$5 \times PR = 3 \times RQ$
$PR = \frac{3}{5} RQ$

(B) બે બળો એક કપલ (બળયુગ્મ) બનાવે છે. બળયુગ્મ દ્વારા લાગતું ટોર્ક $\tau = F \times d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $F = 0.1\ N$ એ દરેક બળનું મૂલ્ય છે અને $d = 0.05\ m$ એ બળો વચ્ચેનું લંબ અંતર (વ્હીલનો વ્યાસ) છે.
$\tau = 0.1\ N \times 0.05\ m = 0.005\ N\cdot m$.
જ્યારે વ્હીલ $\theta$ ખૂણે ફરે ત્યારે થયેલ કાર્ય $W = \tau \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એક સંપૂર્ણ પરિભ્રમણ માટે, $\theta = 2\pi\ \text{રેડિયન}$.
$W = 0.005\ N\cdot m \times 2\pi\ \text{rad} = 0.01\pi\ J$.
$\pi \approx 3.14$ લેતા, $W = 0.01 \times 3.14 = 0.0314\ J$.
આમ, થયેલ કાર્ય આશરે $0.031\ J$ છે.

(D) ટોર્ક $\vec{\tau}$ એ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને બળ સદિશ $\vec{F}$ નો સદિશ ગુણાકાર છે,જે $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ,પરિણામી સદિશ $\vec{\tau}$ એ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને બળ સદિશ $\vec{F}$ બંનેને લંબ હોય છે.
કારણ કે $\vec{\tau}$ એ $\vec{r}$ ને લંબ છે,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર $\vec{r} \cdot \vec{\tau} = |\vec{r}| |\vec{\tau}| \cos(90^{\circ}) = 0$ થાય.
તે જ રીતે,કારણ કે $\vec{\tau}$ એ $\vec{F}$ ને લંબ છે,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર $\vec{F} \cdot \vec{\tau} = |\vec{F}| |\vec{\tau}| \cos(90^{\circ}) = 0$ થાય.
તેથી,બંને અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે.

(D) કેન્દ્રગામી બળ એવું બળ છે જે હંમેશા એક નિશ્ચિત બિંદુ (કેન્દ્ર) તરફ અથવા તેનાથી દૂરની દિશામાં હોય છે.
કેન્દ્રગામી બળની અસર હેઠળ વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરતા કણ માટે,બળ સદિશ વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
ટૉર્ક $\vec{\tau}$ ને $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
કેન્દ્રગામી બળ $\vec{F}$ કેન્દ્ર તરફ હોવાથી,સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને બળ સદિશ $\vec{F}$ એકરેખસ્થ હોય છે (તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $180^{\circ}$ અથવા $0^{\circ}$ હોય છે).
તેથી,સદિશ ગુણાકાર $\vec{r} \times \vec{F} = 0$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે કણ પર લાગતું ટૉર્ક શૂન્ય છે.
સંબંધ $\vec{\tau} = \frac{d\vec{L}}{dt}$ મુજબ,જો બાહ્ય ટૉર્ક શૂન્ય હોય,તો કોણીય વેગમાનમાં થતો ફેરફારનો દર શૂન્ય થાય છે,જે સૂચવે છે કે કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ અચળ રહે છે.

(C) બળ $\vec{F} = F\,\hat{k}$ આપેલ છે.
બિંદુ $P(1, -1, 0)$ ની સાપેક્ષે ઊગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{r} = (0 - 1)\hat{i} + (0 - (-1))\hat{j} + (0 - 0)\hat{k} = -\hat{i} + \hat{j}$ થાય.
ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & F \end{vmatrix}$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\vec{\tau} = \hat{i}(1 \cdot F - 0 \cdot 0) - \hat{j}((-1) \cdot F - 0 \cdot 0) + \hat{k}((-1) \cdot 0 - 1 \cdot 0)$.
$\vec{\tau} = F\,\hat{i} + F\,\hat{j} = F\,(\hat{i} + \hat{j})$.

(B) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણના કેન્દ્ર $O$ થી કોઈપણ બાજુનું લંબઅંતર $d$ છે.
કોઈપણ બળ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ટોર્ક $\tau$ એ બળ અને પરિભ્રમણની ધરીથી બળની કાર્યરેખા સુધીના લંબઅંતરના ગુણાકાર જેટલું હોય છે.
ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશાને ધન લેતા,$O$ બિંદુની આસપાસ $F_1$,$F_2$ અને $F_3$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ટોર્ક નીચે મુજબ છે:
$\tau_1 = F_1 \times d$ (ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં)
$\tau_2 = F_2 \times d$ (ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં)
$\tau_3 = F_3 \times d$ (ઘડિયાળની દિશામાં)
આપેલ છે કે $O$ પર કુલ ટોર્ક શૂન્ય છે:
$\sum \tau = \tau_1 + \tau_2 - \tau_3 = 0$
$F_1 d + F_2 d - F_3 d = 0$
$d$ વડે ભાગતા (કારણ કે $d \neq 0$):
$F_1 + F_2 - F_3 = 0$
$F_3 = F_1 + F_2$

(C) બળયુગ્મની ચાકમાત્રા એ ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે વ્યક્તિગત બળોની ચાકમાત્રાઓના સરવાળા જેટલી હોય છે.
$\vec{\tau} = (\vec{r_1} \times \vec{F_1}) + (\vec{r_2} \times \vec{F_2})$
અહીં $\vec{r_1} = 3\hat{i}$,$\vec{F_1} = 1\hat{j}$ અને $\vec{r_2} = 3\hat{j}$,$\vec{F_2} = -1\hat{j}$ છે.
$\vec{\tau} = (3\hat{i} \times 1\hat{j}) + (3\hat{j} \times -1\hat{j})$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$ અને $\hat{j} \times \hat{j} = 0$,તેથી:
$\vec{\tau} = 3\hat{k} + 0 = 3\hat{k} \ Nm$.

(D) ટૉર્કની વ્યાખ્યા $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ છે.
સદિશ ગુણાકારના ગુણધર્મો મુજબ,પરિણામી સદિશ $\vec{\tau}$ એ $\vec{r}$ અને $\vec{F}$ બંનેને લંબ હોય છે.
તેથી,$\vec{\tau}$ નો $\vec{r}$ સાથેનો અદિશ ગુણાકાર $\vec{r} \cdot \vec{\tau} = \vec{r} \cdot (\vec{r} \times \vec{F}) = 0$ થાય.
તે જ રીતે,$\vec{\tau}$ નો $\vec{F}$ સાથેનો અદિશ ગુણાકાર $\vec{F} \cdot \vec{\tau} = \vec{F} \cdot (\vec{r} \times \vec{F}) = 0$ થાય.
આમ,બંને અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય છે.

(D) જે બિંદુ પર બળ લાગે છે તેનો સ્થાનસદિશ $\vec{r_1} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
જે બિંદુને અનુલક્ષીને ટોર્ક ગણવાનું છે તેનો સ્થાનસદિશ $\vec{r_2} = 3\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}$ છે.
સાપેક્ષ સ્થાનસદિશ $\vec{r} = \vec{r_1} - \vec{r_2} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) - (3\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}) = -2\hat{i} + 4\hat{j} + 6\hat{k}$ થાય.
ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & 4 & 6 \\ 4 & -5 & 3 \end{vmatrix}$.
$\vec{\tau} = \hat{i}(4 \times 3 - 6 \times (-5)) - \hat{j}((-2) \times 3 - 6 \times 4) + \hat{k}((-2) \times (-5) - 4 \times 4)$.
$\vec{\tau} = \hat{i}(12 + 30) - \hat{j}(-6 - 24) + \hat{k}(10 - 16)$.
$\vec{\tau} = 42\hat{i} + 30\hat{j} - 6\hat{k} \text{ Nm}$.

(A) ટૉર્ક $\vec{\tau}$ એ સ્થાન-સદિશ $\vec{r}$ અને બળ સદિશ $\vec{F}$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા મળે છે.
$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = (3\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) \times (4\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k})$
નિશ્ચાયકની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & 3 \\ 4 & -3 & 4 \end{vmatrix}$
$\vec{\tau} = \hat{i} [(2)(4) - (3)(-3)] - \hat{j} [(3)(4) - (3)(4)] + \hat{k} [(3)(-3) - (2)(4)]$
$\vec{\tau} = \hat{i} [8 + 9] - \hat{j} [12 - 12] + \hat{k} [-9 - 8]$
$\vec{\tau} = 17\hat{i} - 0\hat{j} - 17\hat{k}$
$\vec{\tau} = 17(\hat{i} - \hat{k}) \, N \cdot m$

(D) ટોર્ક $\overrightarrow \tau$ એ સ્થાન સદિશ $\overrightarrow r$ અને બળ સદિશ $\overrightarrow F$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\overrightarrow \tau = \overrightarrow r \times \overrightarrow F$
$\overrightarrow \tau = \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ 7 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 4 \end{vmatrix}$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\overrightarrow \tau = \hat i(3 \times 4 - 1 \times 1) - \hat j(7 \times 4 - 1 \times 2) + \hat k(7 \times 1 - 3 \times 2)$
$\overrightarrow \tau = \hat i(12 - 1) - \hat j(28 - 2) + \hat k(7 - 6)$
$\overrightarrow \tau = 11\hat i - 26\hat j + \hat k$

(C) આપેલ છે: $\vec{r} = 5\hat{i} - 3\hat{j} + 0\hat{k}$ અને $\vec{F} = 4\hat{i} - 10\hat{j} + 0\hat{k}$.
ટોર્ક એ સદિશ ગુણાકાર દ્વારા મળે છે: $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$.
નિશ્ચાયકની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 5 & -3 & 0 \\ 4 & -10 & 0 \end{vmatrix}$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\vec{\tau} = \hat{i}((-3)(0) - (0)(-10)) - \hat{j}((5)(0) - (0)(4)) + \hat{k}((5)(-10) - (-3)(4))$
$\vec{\tau} = \hat{i}(0 - 0) - \hat{j}(0 - 0) + \hat{k}(-50 + 12)$
$\vec{\tau} = -38\hat{k}$.

(D) ટોર્ક $\vec{\tau}$ ને સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને બળ સદિશ $\vec{F}$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ,પરિણામી સદિશ $\vec{\tau}$ હંમેશા તેને બનાવતા બંને સદિશો $\vec{r}$ અને $\vec{F}$ ને લંબ હોય છે.
બે લંબ સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) હંમેશા શૂન્ય હોવાથી,આપણને $\vec{r} \cdot \vec{\tau} = 0$ અને $\vec{F} \cdot \vec{\tau} = 0$ મળે છે.

(C) બળની ચાકમાત્રા (ટોર્ક) એ ભ્રમણ બિંદુની સાપેક્ષે સ્થાન સદિશ અને બળ સદિશનો સદિશ ગુણાકાર છે:
$\overrightarrow{\tau} = (\overrightarrow{r} - \overrightarrow{r_0}) \times \overrightarrow{F}$
અહીં,ભ્રમણ બિંદુ $\overrightarrow{r_0} = 2\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}$ છે અને બળ લાગતું બિંદુ $\overrightarrow{r} = 2\hat{i} + 0\hat{j} - 3\hat{k}$ છે.
પ્રથમ,સાપેક્ષ સ્થાન સદિશની ગણતરી કરો:
$\overrightarrow{r} - \overrightarrow{r_0} = (2\hat{i} + 0\hat{j} - 3\hat{k}) - (2\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}) = 0\hat{i} + 2\hat{j} - 1\hat{k}$.
હવે,સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{\tau} = (0\hat{i} + 2\hat{j} - 1\hat{k}) \times (4\hat{i} + 5\hat{j} - 6\hat{k})$ ની ગણતરી કરો:
$\overrightarrow{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 2 & -1 \\ 4 & 5 & -6 \end{vmatrix}$
$\overrightarrow{\tau} = \hat{i}(2(-6) - (-1)(5)) - \hat{j}(0(-6) - (-1)(4)) + \hat{k}(0(5) - 2(4))$
$\overrightarrow{\tau} = \hat{i}(-12 + 5) - \hat{j}(0 + 4) + \hat{k}(0 - 8)$
$\overrightarrow{\tau} = -7\hat{i} - 4\hat{j} - 8\hat{k}$.

(A) ટોર્ક $\overrightarrow{\tau}$ એ સ્થાન સદિશ $\overrightarrow{r}$ અને બળ સદિશ $\overrightarrow{F}$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે $\overrightarrow{\tau} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{F}$ છે.
સદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ,પરિણામી સદિશ $\overrightarrow{\tau}$ એ હંમેશા સદિશ $\overrightarrow{r}$ અને $\overrightarrow{F}$ બંનેને લંબ હોય છે.
બે લંબ સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) શૂન્ય હોવાથી,આપણને $\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{\tau} = 0$ અને $\overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{\tau} = 0$ મળે છે.

(C) જ્યારે આપણે બે આંગળીઓનો ઉપયોગ કરીને નળ પર બળ લગાવીએ છીએ,ત્યારે આપણે હેન્ડલ પરના અલગ-અલગ બિંદુઓ પર બે સમાન અને વિરુદ્ધ દિશાના બળો લગાવીએ છીએ. બળોની આ ગોઠવણીને 'બળયુગ્મ' (couple) કહેવામાં આવે છે. બળયુગ્મ નળની ધરીની આસપાસ પરિભ્રમણીય અસર (ટોર્ક) ઉત્પન્ન કરે છે,જે એક જ બળ લગાવવા કરતા નળને ફેરવવાનું સરળ બનાવે છે.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 10 \, kg$,વ્યાસ $D = 0.2 \, m$,ત્રિજ્યા $r = D/2 = 0.1 \, m$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \, m/s^2$.
પદાર્થ સ્થિર હોવાથી,દોરીમાં ઉદ્ભવતું તણાવબળ $T$ એ પદાર્થના વજનબળ જેટલું હોય છે: $T = mg = 10 \times 9.8 = 98 \, N$.
નળાકારની આડી ધરીને અનુલક્ષીને લાગતું ટોર્ક $\tau$ નીચે મુજબ મળે: $\tau = r \times T$.
કિંમતો મૂકતા: $\tau = 0.1 \times 98 = 9.8 \, N-m$.

(C) સદિશ રાશિ એ ભૌતિક રાશિ છે જે મૂલ્ય અને દિશા બંને ધરાવે છે.
કાર્ય $(W = \vec{F} \cdot \vec{d})$ એ અદિશ રાશિ છે.
પાવર $(P = \vec{F} \cdot \vec{v})$ એ અદિશ રાશિ છે.
ટોર્ક $(\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F})$ એ સદિશ રાશિ છે કારણ કે તે સ્થાન સદિશ અને બળ સદિશના સદિશ ગુણાકાર (cross product) તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક $(G)$ એ અદિશ રાશિ છે.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) બળયુગ્મ એ બે સમાન અને વિરુદ્ધ દિશાના બળોનું બનેલું હોય છે જે અલગ-અલગ બિંદુઓ પર કાર્ય કરે છે. પરિણામી બળ શૂન્ય હોવાથી,તેમાં કોઈ રેખીય ગતિ થતી નથી. જોકે,પરિણામી ટોર્ક શૂન્ય ન હોવાથી,તે માત્ર ચાકગતિ (ઘૂર્ણન ગતિ) ઉત્પન્ન કરે છે.

(A) ચાકગતિ ટોર્ક અથવા બળયુગ્મ દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે.
બળયુગ્મ એ બે સમાન અને વિરુદ્ધ દિશાના બળોનું બનેલું હોય છે જે અલગ-અલગ બિંદુઓ પર કાર્ય કરે છે,જે સ્થાનાંતરિત ગતિ વગર શુદ્ધ ચાકગતિ ઉત્પન્ન કરે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) રેખીય ગતિમાં,ગતિશાસ્ત્ર ન્યૂટનના બીજા નિયમ $F = ma$ દ્વારા સંચાલિત થાય છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે અને $a$ એ રેખીય પ્રવેગ છે.
ચાકગતિમાં,અનુરૂપ સમીકરણ $\tau = I\alpha$ છે,જ્યાં $\tau$ એ ટોર્ક છે,$I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે,અને $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે.
આ બંનેની સરખામણી કરતા,રેખીય ગતિમાં બળ $(F)$ એ ચાકગતિમાં ટોર્ક $(\tau)$ ને સમતુલ્ય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ટોર્ક $\overrightarrow{\tau}$ એ સ્થાન સદિશ $\overrightarrow{r}$ અને બળ સદિશ $\overrightarrow{F}$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા મળે છે.
$\overrightarrow{\tau} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{F}$
$\overrightarrow{\tau} = (7\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}) \times (-3\hat{i} + \hat{j} + 5\hat{k})$
નિશ્ચાયકની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\overrightarrow{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 7 & 3 & 1 \\ -3 & 1 & 5 \end{vmatrix}$
$\overrightarrow{\tau} = \hat{i}(3 \times 5 - 1 \times 1) - \hat{j}(7 \times 5 - 1 \times (-3)) + \hat{k}(7 \times 1 - 3 \times (-3))$
$\overrightarrow{\tau} = \hat{i}(15 - 1) - \hat{j}(35 + 3) + \hat{k}(7 + 9)$
$\overrightarrow{\tau} = 14\hat{i} - 38\hat{j} + 16\hat{k}$

(D) જે બિંદુ પર બળ લાગે છે તેનો સ્થાન સદિશ $\overrightarrow{r_1} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
બિંદુ $\overrightarrow{r_2} = 3\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}$ ની સાપેક્ષે ટોર્ક શોધવા માટે,આપણે સાપેક્ષ સ્થાન સદિશ $\overrightarrow{r'} = \overrightarrow{r_1} - \overrightarrow{r_2}$ ગણીશું.
$\overrightarrow{r'} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) - (3\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}) = -2\hat{i} + 4\hat{j} + 6\hat{k}$.
ટોર્ક $\overrightarrow{\tau} = \overrightarrow{r'} \times \overrightarrow{F}$ દ્વારા મળે છે.
$\overrightarrow{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & 4 & 6 \\ 4 & -5 & 3 \end{vmatrix}$.
$\overrightarrow{\tau} = \hat{i}(12 + 30) - \hat{j}(-6 - 24) + \hat{k}(10 - 16)$.
$\overrightarrow{\tau} = 42\hat{i} + 30\hat{j} - 6\hat{k}$.

(C) ટોર્ક $\vec{\tau}$ એ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને બળ સદિશ $\vec{F}$ નો સદિશ ગુણાકાર છે:
$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$
ટોર્કનું મૂલ્ય $\tau = r F \sin \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને બળ સદિશ $\vec{F}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આ સમીકરણમાં,$F \sin \phi$ એ સ્થાન સદિશને લંબ બળનો ઘટક દર્શાવે છે,જેને અનુપ્રસ્થ ઘટક (transverse component) કહેવામાં આવે છે.
ત્રિજ્યાવર્તી ઘટક $F \cos \phi$ એ સ્થાન સદિશની દિશામાં કાર્ય કરે છે અને તે ભ્રમણીય અસર (ટોર્ક) માં કોઈ ફાળો આપતું નથી.
તેથી,ભ્રમણીય અસર બળના અનુપ્રસ્થ ઘટક દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે.

(C) ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિકલ્પ $A$ માટે: $\vec{r} = b \hat{j} - c \hat{k}$ અને $\vec{F} = a \hat{k}$.
$\vec{\tau} = (b \hat{j} - c \hat{k}) \times (a \hat{k}) = ab(\hat{j} \times \hat{k}) - ac(\hat{k} \times \hat{k}) = ab \hat{i}$. અહીં $z$-ઘટક $0$ છે.
વિકલ્પ $B$ માટે: $\vec{r} = -b \hat{j} - c \hat{k}$ અને $\vec{F} = -a \hat{k}$.
$\vec{\tau} = (-b \hat{j} - c \hat{k}) \times (-a \hat{k}) = ab(\hat{j} \times \hat{k}) + ac(\hat{k} \times \hat{k}) = ab \hat{i}$. અહીં $z$-ઘટક $0$ છે.
વિકલ્પ $C$ માટે: $\vec{r} = -b \hat{i} - c \hat{k}$ અને $\vec{F} = a \hat{j}$.
$\vec{\tau} = (-b \hat{i} - c \hat{k}) \times (a \hat{j}) = -ab(\hat{i} \times \hat{j}) - ac(\hat{k} \times \hat{j}) = -ab \hat{k} - ac(-\hat{i}) = ac \hat{i} - ab \hat{k}$.
અહીં $z$-ઘટક $-ab$ છે,જે ઋણ છે કારણ કે $a, b > 0$ છે.

(D) બિંદુ $P(1, -1)$ ની સાપેક્ષે ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{r} = (0 - 1)\hat{i} + (0 - (-1))\hat{j} = -\hat{i} + \hat{j}$ છે.
ઉગમબિંદુ પર લાગતું બળ $\vec{F} = -F\hat{k}$ છે.
બિંદુ $P$ ની સાપેક્ષે ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\vec{\tau} = (-\hat{i} + \hat{j}) \times (-F\hat{k})$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટના નિયમો $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$ અને $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{\tau} = F(\hat{i} \times \hat{k}) - F(\hat{j} \times \hat{k})$
$\vec{\tau} = F(-\hat{j}) - F(\hat{i})$
$\vec{\tau} = -F(\hat{i} + \hat{j})$.

(B) ટોર્ક $\tau$ એ $\tau = rF \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ પરિભ્રમણની ધરીથી અંતર છે અને $\theta$ એ સ્થાન સદિશ અને બળ સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$1$. સ્પર્શક સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે રીમ પર લાગતા બળ $F$ માટે: કેન્દ્રથી લંબ અંતર $R$ છે. ટોર્ક $\tau_1 = F \cdot R \cos(45^{\circ}) = F \cdot R \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707 \ FR$ છે.
$2$. $R/2$ ત્રિજ્યાની ધરી પર લાગતા બળ $F$ માટે: બળ સ્પર્શકની દિશામાં લાગે છે,તેથી ટોર્ક $\tau_2 = F \cdot (R/2) = 0.5 \ FR$ છે.
$3$. $R$ ત્રિજ્યાની રીમ પર લાગતા બળ $2F$ માટે: બળ સ્પર્શકની દિશામાં લાગે છે,તેથી ટોર્ક $\tau_3 = 2F \cdot R = 2.0 \ FR$ છે.
આ તમામ ટોર્ક એક જ પરિભ્રમણની દિશામાં (ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં) લાગે છે.
પરિણામી ટોર્ક $\tau_{net} = \tau_1 + \tau_2 + \tau_3 = 0.707 \ FR + 0.5 \ FR + 2.0 \ FR = 3.207 \ FR$.
આમ,પરિણામી ટોર્કનું મૂલ્ય આશરે $3.2 \ FR$ છે.

(C) સળિયા પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = 6 \ N + 3 \ N = 9 \ N$ છે.
સમતુલ્ય એક બળનું સ્થાન શોધવા માટે,આપણે સળિયાના કેન્દ્ર $C$ ની આસપાસ પરિણામી ટોર્કની ગણતરી કરીએ છીએ.
ઘડિયાળની દિશામાં ટોર્કને ધન લેતા,$6 \ N$ બળને કારણે ટોર્ક $\tau_1 = 6 \ N \times 2 \ m = 12 \ N \cdot m$ છે.
$3 \ N$ બળને કારણે ટોર્ક $\tau_2 = -3 \ N \times 1 \ m = -3 \ N \cdot m$ (ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં) છે.
પરિણામી ટોર્ક $\tau_{net} = 12 - 3 = 9 \ N \cdot m$ છે.
એક જ બળ $F_{net}$ ની સમાન અસર મેળવવા માટે,તેણે કેન્દ્ર $C$ થી $x$ અંતરે સમાન પરિણામી ટોર્ક ઉત્પન્ન કરવું જોઈએ:
$\tau_{net} = F_{net} \times x$
$9 \ N \cdot m = 9 \ N \times x$
$x = 1 \ m$.

(B) ધારો કે $20 \, cm$ અને $60 \, cm$ પર લાગતા બળો નીચેની તરફ $(-F)$ છે અને $40 \, cm$ અને $80 \, cm$ પર લાગતા બળો ઉપરની તરફ $(+F)$ છે.
કુલ બળ $F_{net} = (-F) + (+F) + (-F) + (+F) = 0$.
કુલ બળ શૂન્ય હોવાથી,સળિયો કોઈ રેખીય ગતિ અનુભવતો નથી.
હવે,સળિયાના છેડા $(x = 0)$ ની સાપેક્ષમાં કુલ ટોર્કની ગણતરી કરો:
$\tau_{net} = \sum (F_i \times r_i) = (-F \times 20) + (F \times 40) + (-F \times 60) + (F \times 80)$
$\tau_{net} = F(-20 + 40 - 60 + 80) = F(40) = 40F \neq 0$.
કુલ ટોર્ક શૂન્ય ન હોવાથી,સળિયો ટોર્ક અનુભવે છે અને તે ભ્રમણ કરશે.

(B) ટોર્ક $\vec \tau$ ને સ્થાન સદિશ $\vec r$ અને બળ સદિશ $\vec F$ ના સદિશ ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $\vec \tau = \vec r \times \vec F$.
સદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ,પરિણામી સદિશ $\vec \tau$ એ $\vec r$ અને $\vec F$ બંનેને લંબ હોય છે.
બે લંબ સદિશોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય હોવાથી,આપણને $\vec \tau \cdot \vec r = 0$ અને $\vec \tau \cdot \vec F = 0$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે ટોર્ક $\vec{\tau}$ એ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને બળ સદિશ $\vec{F}$ ના સદિશ ગુણાકાર (ક્રોસ પ્રોડક્ટ) દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$
અહીં $\vec{r} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{F} = -2\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ આપેલ છે.
નિશ્ચાયકની રીતનો ઉપયોગ કરીને સદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$\vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 2 & 3 \end{vmatrix}$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\vec{\tau} = \hat{i}[(-2)(3) - (1)(2)] - \hat{j}[(1)(3) - (1)(-2)] + \hat{k}[(1)(2) - (-2)(-2)]$
$\vec{\tau} = \hat{i}[-6 - 2] - \hat{j}[3 + 2] + \hat{k}[2 - 4]$
$\vec{\tau} = -8\hat{i} - 5\hat{j} - 2\hat{k}$
આમ,ટોર્કનું મૂલ્ય $-8\hat{i} - 5\hat{j} - 2\hat{k}$ છે.

(B) ટોર્ક $\vec{\tau}$ એ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને બળ સદિશ $\vec{F}$ ના સદિશ ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ટોર્કનું મૂલ્ય $\tau = rF \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને બળ સદિશ $\vec{F}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે:
$F = 2.0\,N$
$r = 3\,m$
બળ $F$ એ $x-$ અક્ષને સમાંતર હોવાથી અને સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ એ $x-$ અક્ષ સાથે $30^\circ$ નો ખૂણો બનાવતો હોવાથી,$\vec{r}$ અને $\vec{F}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 30^\circ$ થશે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\tau = (3\,m)(2.0\,N) \sin 30^\circ$
$\tau = (3\,m)(2.0\,N) \left(\frac{1}{2}\right)$
$\tau = 3\,N-m$.

(B) ટોર્ક $\tau$ એ બળ $F$ અને પરિભ્રમણની અક્ષથી બળની કાર્યરેખા સુધીના લંબ અંતર $r$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ છે:
બળ $F = 10\,N$
ત્રિજ્યા $r = 0.5\,m$
કારણ કે બળ પરિઘ પર સ્પર્શકની દિશામાં લગાડવામાં આવે છે,તેથી લંબ અંતર એ તકતીની ત્રિજ્યા જેટલું જ થાય છે.
તેથી,ટોર્ક $\tau = F \times r = 10\,N \times 0.5\,m = 5\,N-m.$

(C) કોઈ બિંદુની સાપેક્ષે બળની મોમેન્ટ $\tau = rF \sin \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ પીવટ બિંદુ $A$ થી બળ લાગવાના બિંદુ $B$ સુધીનો સ્થાન સદિશ છે,$F$ એ બળનું મૂલ્ય છે,અને $\phi$ એ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને બળ સદિશ $\vec{F}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
બળના નિશ્ચિત મૂલ્ય માટે મોમેન્ટને મહત્તમ કરવા માટે,બળને સ્થાન સદિશ $\vec{r} = \vec{AB}$ ને લંબ રૂપે લગાડવું જોઈએ.
ધારો કે $A$ ના યામ $(0, 4)$ અને $B$ ના યામ $(2, 0)$ છે. સદિશ $\vec{AB} = (2 - 0)\hat{i} + (0 - 4)\hat{j} = 2\hat{i} - 4\hat{j}$ થાય.
રેખા $AB$ નો ઢાળ $m_{AB} = \frac{0 - 4}{2 - 0} = -2$ છે.
બળ $AB$ ને લંબ હોય તે માટે,બળ સદિશનો ઢાળ $m_F$ એ $m_F \cdot m_{AB} = -1$ શરતનું પાલન કરવો જોઈએ,તેથી $m_F = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}$ મળે.
બળ સદિશ સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે,તેથી તેનો ઢાળ $\tan \theta$ થાય. આમ,$\tan \theta = \frac{1}{2}$.

(B) બિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે કુલ ટોર્ક $\vec \tau_O$ એ વ્યક્તિગત બળોને કારણે લાગતા ટોર્કનો સરવાળો છે: $\vec \tau_O = \vec r_1 \times \vec F_1 + \vec r_2 \times \vec F_2$
બળ $\vec F_1$ માટે: સ્થાન સદિશ $\vec r_1 = 2\hat i + 3\hat j$ છે અને બળ $\vec F_1 = F\hat k$ છે. તેથી,$\vec r_1 \times \vec F_1 = (2\hat i + 3\hat j) \times F\hat k = 2F(\hat i \times \hat k) + 3F(\hat j \times \hat k) = -2F\hat j + 3F\hat i = 3F\hat i - 2F\hat j$
બળ $\vec F_2$ માટે: સ્થાન સદિશ $\vec r_2 = 6\hat j$ છે. બળ $\vec F_2$ એ $XY$-સમતલમાં $y$-અક્ષ સાથે $30^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે. તેથી,$\vec F_2 = F(-\cos 30^\circ \hat i - \sin 30^\circ \hat j) = F(-\frac{\sqrt{3}}{2}\hat i - \frac{1}{2}\hat j)$
ટોર્કની ગણતરી કરતા: $\vec r_2 \times \vec F_2 = (6\hat j) \times F(-\frac{\sqrt{3}}{2}\hat i - \frac{1}{2}\hat j) = 3\sqrt{3}F\hat k$
આમ,કુલ ટોર્ક $\vec \tau_O = (3\hat i - 2\hat j + 3\hat k)F$ થાય છે.

(A) ટોર્કનું મૂલ્ય શોધવાનું સૂત્ર $\tau = rF \sin \theta$ છે,જ્યાં $r$ એ સ્થાન સદિશનું મૂલ્ય છે,$F$ એ બળનું મૂલ્ય છે,અને $\theta$ એ તેમની વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે: $\tau = 2.5\,Nm$,$F = 1\,N$,અને $r = 5\,m$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $2.5 = 5 \times 1 \times \sin \theta$.
આનું સાદુરૂપ આપતા $\sin \theta = \frac{2.5}{5} = 0.5$ મળે છે.
તેથી,$\sin \theta = 0.5$ હોવાથી,ખૂણો $\theta = \arcsin(0.5) = \frac{\pi}{6}$ રેડિયન થાય.

(A) કણનો સ્થાન સદિશ $\vec{r} = (x_0 + a \cos \omega_1 t) \hat{i} + (y_0 + b \sin \omega_2 t) \hat{j}$ છે.
$t = 0$ સમયે,$\vec{r} = (x_0 + a) \hat{i} + y_0 \hat{j}$ થાય.
પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = (-a \omega_1^2 \cos \omega_1 t) \hat{i} + (-b \omega_2^2 \sin \omega_2 t) \hat{j}$ છે.
$t = 0$ સમયે,$\vec{a} = -a \omega_1^2 \hat{i}$ થાય.
કણ પર લાગતું બળ $\vec{F} = m \vec{a} = -m a \omega_1^2 \hat{i}$ છે.
ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ છે.
$\vec{\tau} = [(x_0 + a) \hat{i} + y_0 \hat{j}] \times [-m a \omega_1^2 \hat{i}]$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટના નિયમો $\hat{i} \times \hat{i} = 0$ અને $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{\tau} = y_0 (-m a \omega_1^2) (\hat{j} \times \hat{i}) = y_0 (-m a \omega_1^2) (-\hat{k}) = m y_0 a \omega_1^2 \hat{k}$.

(B) બળયુગ્મ એટલે એક દ્રઢ પદાર્થ પર અલગ-અલગ બિંદુઓ પર લાગતા બે સમાન અને વિરુદ્ધ દિશાના બળોની જોડી.
બળોનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય હોવાથી $(F_{net} = F + (-F) = 0)$,સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉત્પન્ન કરવા માટે કોઈ ચોખ્ખું બળ હોતું નથી.
જોકે,આ બળો અલગ-અલગ બિંદુઓ પર લાગતા હોવાથી,તેઓ કોઈપણ બિંદુની સાપેક્ષમાં ચોખ્ખું ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે છે,જે પદાર્થને ચાકગતિ કરાવે છે.
તેથી,બળયુગ્મ માત્ર ચાકગતિ ઉત્પન્ન કરે છે.

(B) ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે ટોર્ક $\vec{\tau}$ એ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને બળ સદિશ $\vec{F}$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે,$\vec{r} = -\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ અને $\vec{F} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$.
$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 2 & -3 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((2)(3) - (-3)(-1)) - \hat{j}((-1)(3) - (-3)(2)) + \hat{k}((-1)(-1) - (2)(2))$
$= \hat{i}(6 - 3) - \hat{j}(-3 + 6) + \hat{k}(1 - 4)$
$= 3\hat{i} - 3\hat{j} - 3\hat{k}$
$= 3(\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) \text{ N}\,\text{m}$.

(A) આપેલ છે:
સ્થાન સદિશ $\vec{r} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$
બળ સદિશ $\vec{F} = 7\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}$
ટોર્ક $\vec{\tau}$ એ સ્થાન સદિશ અને બળ સદિશનો સદિશ ગુણાકાર (ક્રોસ પ્રોડક્ટ) છે:
$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$
નિશ્ચાયકની રીતનો ઉપયોગ કરીને સદિશ ગુણાકારની ગણતરી:
$\vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 7 & 3 & -5 \end{vmatrix}$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\vec{\tau} = \hat{i}((-1)(-5) - (1)(3)) - \hat{j}((1)(-5) - (1)(7)) + \hat{k}((1)(3) - (-1)(7))$
$\vec{\tau} = \hat{i}(5 - 3) - \hat{j}(-5 - 7) + \hat{k}(3 + 7)$
$\vec{\tau} = 2\hat{i} - \hat{j}(-12) + 10\hat{k}$
$\vec{\tau} = 2\hat{i} + 12\hat{j} + 10\hat{k}$