Centre of mass (Point Mass) Questions in Gujarati

(C) ધારો કે એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\lambda(x) = \lambda_0 + kx$ છે.
કુલ દળ $M = \int_{0}^{L} (\lambda_0 + kx) dx = \lambda_0 L + \frac{kL^2}{2}$.
આના પરથી,$k = \frac{2(M - \lambda_0 L)}{L^2} = \frac{2M}{L^2} - \frac{2\lambda_0}{L}$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $x_{cm} = \frac{1}{M} \int_{0}^{L} x dm = \frac{1}{M} \int_{0}^{L} x (\lambda_0 + kx) dx$.
$x_{cm} = \frac{1}{M} [\frac{\lambda_0 x^2}{2} + \frac{kx^3}{3}]_{0}^{L} = \frac{1}{M} (\frac{\lambda_0 L^2}{2} + \frac{kL^3}{3})$.
$k = \frac{2M}{L^2} - \frac{2\lambda_0}{L}$ ની કિંમત મૂકતા:
$x_{cm} = \frac{1}{M} [\frac{\lambda_0 L^2}{2} + \frac{L^3}{3} (\frac{2M}{L^2} - \frac{2\lambda_0}{L})] = \frac{1}{M} [\frac{\lambda_0 L^2}{2} + \frac{2ML}{3} - \frac{2\lambda_0 L^2}{3}]$.
$x_{cm} = \frac{2L}{3} + \frac{\lambda_0 L^2}{M} (\frac{1}{2} - \frac{2}{3}) = \frac{2L}{3} - \frac{\lambda_0 L^2}{6M}$.

(D) ત્રણ કણોના યામ નીચે મુજબ છે:
$m_1 = 50\, g$ બિંદુ $(0, 0)$ પર
$m_2 = 100\, g$ બિંદુ $(1, 0)$ પર
$m_3 = 150\, g$ બિંદુ $(0.5, \frac{\sqrt{3}}{2})$ પર
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $x$-યામ:
$X_{cm} = \frac{m_1x_1 + m_2x_2 + m_3x_3}{m_1 + m_2 + m_3} = \frac{50(0) + 100(1) + 150(0.5)}{50 + 100 + 150} = \frac{100 + 75}{300} = \frac{175}{300} = \frac{7}{12}\, m$
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $y$-યામ:
$Y_{cm} = \frac{m_1y_1 + m_2y_2 + m_3y_3}{m_1 + m_2 + m_3} = \frac{50(0) + 100(0) + 150(\frac{\sqrt{3}}{2})}{300} = \frac{75\sqrt{3}}{300} = \frac{\sqrt{3}}{4}\, m$
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના યામ $\left( \frac{7}{12}\,m, \frac{\sqrt{3}}{4}\,m \right)$ છે.

(D) એક સમાન ચોરસ પ્લેટ માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ચોરસના ભૌમિતિક કેન્દ્ર સાથે સંપાતી હોય છે.
ચોરસનું ભૌમિતિક કેન્દ્ર તેના વિકર્ણનું મધ્યબિંદુ છે.
આપેલ છે કે વિકર્ણના અંતિમ બિંદુઓ $(x_1, y_1) = (-2, 0)$ અને $(x_2, y_2) = (2, 2)$ છે.
મધ્યબિંદુ $(x, y)$ ના યામ નીચે મુજબ મળે છે:
$x = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-2 + 2}{2} = \frac{0}{2} = 0$
$y = \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{0 + 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$
તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના યામ $(0, 1)$ છે.

(A) શુદ્ધ સ્થાનાંતરિત ગતિ માટે,બળ પદાર્થના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર લગાડવું આવશ્યક છે.
ધારો કે આડા સળિયા $AB$ નું દળ $m$ છે. કારણ કે ઊભો સળિયો $CD$ ની લંબાઈ $2\ell$ છે અને આડો સળિયો $AB$ ની લંબાઈ $\ell$ છે,સમાન ઘનતા ધારતા,સળિયા $CD$ નું દળ $2m$ થશે.
ધારો કે $y_1$ એ સળિયા $AB$ નું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર છે અને $y_2$ એ સળિયા $CD$ નું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર છે.
બિંદુ $C$ ને ઉગમબિંદુ $(0,0)$ તરીકે લેતા:
સળિયા $AB$ નું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $C$ થી ઊભી ધરી પર $2\ell$ અંતરે છે,તેથી $y_1 = 2\ell$.
સળિયા $CD$ નું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $C$ થી ઊભી ધરી પર $\ell$ અંતરે છે,તેથી $y_2 = \ell$.
તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું ઊભી ધરી પરનું સ્થાન નીચે મુજબ મળે છે:
$y_{cm} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2}{m_1 + m_2}$
અહીં,$m_1 = m$ (સળિયા $AB$ માટે) અને $m_2 = 2m$ (સળિયા $CD$ માટે).
$y_{cm} = \frac{m(2\ell) + (2m)(\ell)}{m + 2m} = \frac{2m\ell + 2m\ell}{3m} = \frac{4m\ell}{3m} = \frac{4}{3}\ell$.
આમ,બળ $C$ થી $\frac{4}{3}\ell$ અંતરે લગાડવું જોઈએ.

(C) સમાન લંબચોરસ પ્લેટ માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર લંબચોરસના ભૌમિતિક કેન્દ્ર સાથે સુસંગત હોય છે. જોકે,પ્રશ્નમાં દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર આપેલ હોય ત્યારે $3^{rd}$ શિરોબિંદુ શોધવાનું કહ્યું છે.
ધારો કે પ્લેટ ત્રણ શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$,અને $(x_3, y_3)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત ત્રિકોણ છે,તો દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર નીચે મુજબ મળે:
$(x_{CM}, y_{CM}) = \left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)$
અહીં $(x_1, y_1) = (1, 3)$,$(x_2, y_2) = (2, -4)$,અને $(x_{CM}, y_{CM}) = (0, 0)$ આપેલ છે:
$0 = \frac{1 + 2 + x_3}{3} \implies 3 + x_3 = 0 \implies x_3 = -3$
$0 = \frac{3 - 4 + y_3}{3} \implies -1 + y_3 = 0 \implies y_3 = 1$
તેથી,$3^{rd}$ શિરોબિંદુનું સ્થાન $(-3, 1)$ છે.

(D) ધારો કે ચોરસની બાજુની લંબાઈ $2a$ છે. ચોરસના કેન્દ્રને ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર લો.
ખૂણાઓના યામ આ મુજબ છે: $m_1$ એ $(-a, -a)$ પર,$m_2$ એ $(a, -a)$ પર,$m_3$ એ $(a, a)$ પર અને $m_4$ એ $(-a, a)$ પર છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $x$-યામ આ રીતે મળે છે:
$X_{cm} = \frac{m_1(-a) + m_2(a) + m_3(a) + m_4(-a)}{m_1 + m_2 + m_3 + m_4} = 0$
આપેલા દળો મૂકતા:
$2m(-a) + 4m(a) + m(a) + m_4(-a) = 0$
$-2ma + 4ma + ma - m_4a = 0$
$3ma - m_4a = 0 \implies m_4 = 3m$
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $y$-યામ આ રીતે મળે છે:
$Y_{cm} = \frac{m_1(-a) + m_2(-a) + m_3(a) + m_4(a)}{m_1 + m_2 + m_3 + m_4} = 0$
આપેલા દળો મૂકતા:
$2m(-a) + 4m(-a) + m(a) + m_4(a) = 0$
$-2ma - 4ma + ma + m_4a = 0$
$-5ma + m_4a = 0 \implies m_4 = 5m$
કારણ કે $X_{cm}=0$ અને $Y_{cm}=0$ બંનેને સંતોષવા માટે $m_4$ ના જરૂરી મૂલ્યો અલગ-અલગ ($3m$ અને $5m$) છે,તેથી આપેલા દળો $m_1, m_2, m_3$ માટે $m_4$ ના કોઈપણ મૂલ્ય માટે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ચોરસના કેન્દ્ર પર હોવું અશક્ય છે.

(C) ધારો કે શંકુની ઘનતા $\rho$ છે. તો તેનું દળ $m_1$ નીચે મુજબ મળે:
$m_1 = \frac{1}{3} \pi (2R)^2 (4R) \rho = \frac{16}{3} \pi R^3 \rho$
શંકુનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેના પાયાથી $h/4$ ઊંચાઈએ હોય છે,જ્યાં $h = 4R$. તેથી,$O$ થી $y_1 = \frac{4R}{4} = R$ અંતરે.
તે જ રીતે,$R$ ત્રિજ્યા અને $12\rho$ ઘનતા ધરાવતા ગોળાનું દળ $m_2$:
$m_2 = \frac{4}{3} \pi R^3 (12\rho) = 16 \pi R^3 \rho = 3 m_1$
ગોળાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેના કેન્દ્ર $O_2$ પર હોય છે. $O$ થી $O_2$ નું અંતર $y_2 = 4R + R = 5R$ છે.
સંમિતિની રેખાને $y$-અક્ષ અને ઉગમબિંદુને $O$ લેતા,રમકડાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $Y_{CM}$:
$Y_{CM} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2}{m_1 + m_2} = \frac{m_1(R) + (3m_1)(5R)}{m_1 + 3m_1} = \frac{16 m_1 R}{4 m_1} = 4R$
આમ,રમકડાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $O$ થી $4R$ અંતરે છે.

(C) એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\lambda = Ax$ આપેલ છે.
ઉગમબિંદુથી $x$ અંતરે $dx$ લંબાઈનો એક સૂક્ષ્મ ખંડ ધ્યાનમાં લો.
આ ખંડનું દળ $dm = \lambda dx = Ax dx$ થશે.
સળિયાનું કુલ દળ $M$ એ $0$ થી $L$ સુધીના $dm$ નું સંકલન છે:
$M = \int_{0}^{L} Ax dx = A [\frac{x^2}{2}]_{0}^{L} = \frac{AL^2}{2}$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન $x_{cm}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$x_{cm} = \frac{1}{M} \int_{0}^{L} x dm$.
કિંમતો મૂકતા:
$x_{cm} = \frac{1}{(AL^2/2)} \int_{0}^{L} x (Ax dx) = \frac{2}{AL^2} \int_{0}^{L} Ax^2 dx$.
$x_{cm} = \frac{2}{AL^2} \cdot A [\frac{x^3}{3}]_{0}^{L} = \frac{2}{L^2} \cdot \frac{L^3}{3} = \frac{2L}{3}$.
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉગમબિંદુથી $2L/3$ અંતરે છે.

(C) ધારો કે હાઇડ્રોજન અણુનું દળ $m_1 = 1$ એકમ છે અને ક્લોરિન અણુનું દળ $m_2 = 35.5$ એકમ છે.
હાઇડ્રોજન અણુને ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર મૂકતા,તેનું સ્થાન $\vec{r}_1 = 0$ થશે.
ક્લોરિન અણુ x-અક્ષ પર $1.27 \, \mathring{A}$ અંતરે છે,તેથી તેનું સ્થાન $\vec{r}_2 = 1.27 \, \hat{i} \, \mathring{A}$ થશે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $\vec{R}$ નું સ્થાન નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\vec{R} = \frac{m_1 \vec{r}_1 + m_2 \vec{r}_2}{m_1 + m_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\vec{R} = \frac{1 \times 0 + 35.5 \times 1.27 \hat{i}}{1 + 35.5}$
$\vec{R} = \frac{35.5 \times 1.27}{36.5} \hat{i}$
$\vec{R} \approx 0.9726 \times 1.27 \hat{i} \approx 1.24 \hat{i} \, \mathring{A}$.
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર હાઇડ્રોજન અણુથી આશરે $1.24 \, \mathring{A}$ અંતરે આવેલું છે.

(D) ધારો કે ચોરસના ખૂણાઓ $A(0,0)$,$B(a,0)$,$C(a,a)$ અને $D(0,a)$ છે.
આપેલ દળ $m_1=2m$ $(0,0)$ પર,$m_2=4m$ $(a,0)$ પર,$m_3=m$ $(a,a)$ પર અને $m_4$ $(0,a)$ પર છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(X_{cm}, Y_{cm})$ નીચે મુજબ મળે:
$X_{cm} = \frac{m_1x_1 + m_2x_2 + m_3x_3 + m_4x_4}{m_1 + m_2 + m_3 + m_4} = \frac{2m(0) + 4m(a) + m(a) + m_4(0)}{2m + 4m + m + m_4} = \frac{5ma}{7m + m_4}$
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ચોરસના કેન્દ્ર પર હોવા માટે,$X_{cm} = \frac{a}{2}$ હોવું જોઈએ.
$\frac{5ma}{7m + m_4} = \frac{a}{2} \implies 10m = 7m + m_4 \implies m_4 = 3m$.
હવે $Y_{cm}$ માટે તપાસીએ:
$Y_{cm} = \frac{m_1y_1 + m_2y_2 + m_3y_3 + m_4y_4}{m_1 + m_2 + m_3 + m_4} = \frac{2m(0) + 4m(0) + m(a) + m_4(a)}{2m + 4m + m + m_4} = \frac{ma + m_4a}{7m + m_4}$
$Y_{cm} = \frac{a}{2}$ માટે:
$\frac{a(m + m_4)}{7m + m_4} = \frac{a}{2} \implies 2m + 2m_4 = 7m + m_4 \implies m_4 = 5m$.
અહીં $m_4$ ના મૂલ્યો અલગ-અલગ હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ચોરસના કેન્દ્ર પર હોવું શક્ય નથી. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) પદાર્થનું $CM$ (દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર) એ એવું બિંદુ છે જ્યાં પદાર્થનું સમગ્ર દળ કેન્દ્રિત થયેલું માનવામાં આવે છે.
તે એક ભૌમિતિક ગુણધર્મ છે જે દળના વિતરણ પર આધાર રાખે છે.
ગોળા જેવી નક્કર વસ્તુ માટે,$CM$ અંદરની તરફ હોય છે.
જો કે,રીંગ અથવા અર્ધવર્તુળાકાર તાર જેવી વસ્તુઓ માટે,$CM$ પદાર્થની બહાર હોય છે.
તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પદાર્થની અંદર અથવા બહાર હોઈ શકે છે.

(C) $m_1$ અને $m_2$ દળ ધરાવતા બે કણોનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(CM)$,જેમના સ્થાન સદિશો $\vec{r}_1$ અને $\vec{r}_2$ છે,તે નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\vec{R}_{CM} = \frac{m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2}{m_1 + m_2}$
આ સૂત્ર બંને કણોના સ્થાન સદિશોની ભારિત સરેરાશ દર્શાવે છે.
કારણ કે $\vec{R}_{CM}$ એ $\vec{r}_1$ અને $\vec{r}_2$ નું રેખીય સંયોજન છે,તેથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો સ્થાન સદિશ હંમેશા બે કણોને જોડતી સીધી રેખા પર જ આવેલો હોય છે.
તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર હંમેશા બે કણોને જોડતી રેખા પર જ સ્થિત હોય છે.

(A) વસ્તુની શુદ્ધ સ્થાનાંતરિત ગતિ માટે,બળ તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(CM)$ પર લાગવું જોઈએ.
ધારો કે આડી પટ્ટી $AB$ નું દળ $m$ છે અને ઊભી પટ્ટીનું દળ $2m$ છે (કારણ કે તેની લંબાઈ $2l$ છે).
બંને પટ્ટીઓના જોડાણ બિંદુને ઉગમબિંદુ $(0,0)$ ગણો.
આડી પટ્ટીનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(0,0)$ પર છે.
ઊભી પટ્ટીનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(0, -l)$ પર છે.
વસ્તુનું કુલ દળ $M = m + 2m = 3m$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $y$-યામ નીચે મુજબ મળે છે:
$Y_{CM} = \frac{m(0) + 2m(-l)}{3m} = \frac{-2ml}{3m} = -\frac{2l}{3}$.
આનો અર્થ એ છે કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર જોડાણ બિંદુથી $C$ તરફ $\frac{2l}{3}$ અંતરે છે.
ઊભી પટ્ટીની કુલ લંબાઈ $2l$ હોવાથી,$C$ થી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું અંતર $2l - \frac{2l}{3} = \frac{4l}{3}$ થાય.

(A) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સ્થાન સદિશ માટેનું સૂત્ર: $\vec{r}_{cm} = \frac{m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2}{m_1 + m_2}$ છે.
આપેલ છે: $m_1 = 10\,kg$,$\vec{r}_1 = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
આપેલ છે: $m_2 = 30\,kg$,$\vec{r}_2 = -\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\vec{r}_{cm} = \frac{10(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + 30(-\hat{i} - \hat{j} - \hat{k})}{10 + 30}$.
$\vec{r}_{cm} = \frac{10(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) - 30(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})}{40}$.
$\vec{r}_{cm} = \frac{-20(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})}{40}$.
$\vec{r}_{cm} = -\frac{(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})}{2}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(COM)$ એ એક એવું બિંદુ છે જે પદાર્થ અથવા તંત્રના દ્રવ્યના સરેરાશ સ્થાનનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.
તે પદાર્થના ભૌતિક દ્રવ્યની અંદર જ હોવું જરૂરી નથી.
ઘન ગોળા માટે,$COM$ પદાર્થની અંદર હોય છે.
પોલા પદાર્થ અથવા $L$-આકારના લેમિના માટે,$COM$ પદાર્થના દ્રવ્યની બહાર હોઈ શકે છે.
તેથી,$COM$ પદાર્થની અંદર,બહાર અથવા સપાટી પર હોઈ શકે છે.

(A) આપેલ દળ $m_1 = 2\,kg$,$m_2 = 4\,kg$ અને $m_3 = 4\,kg$ છે.
તેમના સ્થાન સદિશ $\vec{r}_1 = (1, 0, 0) = \hat{i}$,$\vec{r}_2 = (1, 1, 0) = \hat{i} + \hat{j}$ અને $\vec{r}_3 = (0, 1, 0) = \hat{j}$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો સ્થાન સદિશ $\vec{r}_{cm} = \frac{m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2 + m_3\vec{r}_3}{m_1 + m_2 + m_3}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\vec{r}_{cm} = \frac{2(\hat{i}) + 4(\hat{i} + \hat{j}) + 4(\hat{j})}{2 + 4 + 4}$.
$\vec{r}_{cm} = \frac{2\hat{i} + 4\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{j}}{10} = \frac{6\hat{i} + 8\hat{j}}{10}$.
$\vec{r}_{cm} = \frac{6}{10}\hat{i} + \frac{8}{10}\hat{j} = \frac{3}{5}\hat{i} + \frac{4}{5}\hat{j}$.

(B) એકમ લંબાઈ દીઠ દળ,એટલે કે રેખીય દળ ઘનતા $\mu$,એ $\mu \propto x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $\mu = \lambda x$,જ્યાં $\lambda$ એ અચળાંક છે.
એક છેડાથી $x$ અંતરે $dx$ લંબાઈનો એક નાનો ઘટક ધ્યાનમાં લો. આ ઘટકનું દળ $dm = \mu dx = \lambda x dx$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $x_{cm}$ ની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$x_{cm} = \frac{\int x dm}{\int dm} = \frac{\int_{0}^{3} x (\lambda x dx)}{\int_{0}^{3} \lambda x dx}$
$x_{cm} = \frac{\int_{0}^{3} x^2 dx}{\int_{0}^{3} x dx} = \frac{[x^3/3]_0^3}{[x^2/2]_0^3}$
$x_{cm} = \frac{27/3}{9/2} = \frac{9}{4.5} = 2\, m$.

(A) શુદ્ધ સ્થાનાંતરિત ગતિ માટે,બળ પદાર્થના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર લગાડવું આવશ્યક છે. તેથી,આપણે $T$-આકારની વસ્તુના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન શોધવાની જરૂર છે.
ધારો કે સળિયા $AB$ નું દળ $m$ છે. સળિયા $CD$ ની લંબાઈ $2l$ હોવાથી,તેનું દળ $2m$ થશે (સમાન ઘનતા ધારતા).
ધારો કે $y_1$ એ સળિયા $AB$ નું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર છે અને $y_2$ એ સળિયા $CD$ નું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર છે.
બિંદુ $C$ ને ઉગમબિંદુ $(0,0)$ તરીકે લેતા:
સળિયા $AB$ નું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $C$ થી શિરોલંબ અક્ષ પર $2l$ અંતરે છે,તેથી $\vec{r}_1 = 2l\hat{j}$.
સળિયા $CD$ નું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $C$ થી શિરોલંબ અક્ષ પર $l$ અંતરે છે,તેથી $\vec{r}_2 = l\hat{j}$.
દળ $m_1 = m$ અને $m_2 = 2m$ છે.
તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન:
$\vec{r}_{cm} = \frac{m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2}{m_1 + m_2}$
$\vec{r}_{cm} = \frac{m(2l\hat{j}) + (2m)(l\hat{j})}{m + 2m} = \frac{2ml\hat{j} + 2ml\hat{j}}{3m} = \frac{4ml\hat{j}}{3m} = \frac{4}{3}l\hat{j}$.
આમ,$C$ થી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું અંતર $\frac{4}{3}l$ છે.

(B) ધારો કે $\lambda$ ઘનતા ધરાવતી અર્ધવર્તુળાકાર રીંગનું દળ $M_1 = \lambda (\pi R) = M$ છે.
તેથી,$3\lambda$ ઘનતા ધરાવતી અર્ધવર્તુળાકાર રીંગનું દળ $M_2 = 3\lambda (\pi R) = 3M$ થશે.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી અર્ધવર્તુળાકાર રીંગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેના કેન્દ્રથી સંમિતિની અક્ષ પર $\frac{2R}{\pi}$ અંતરે હોય છે.
ધારો કે ભૌમિતિક કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર છે.
પ્રથમ રીંગ (દળ $M$) ને ડાબી બાજુ મૂકતા,તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $x_1 = -\frac{2R}{\pi}$ પર છે.
બીજી રીંગ (દળ $3M$) ને જમણી બાજુ મૂકતા,તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $x_2 = \frac{2R}{\pi}$ પર છે.
સંયુક્ત તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $X_{cm} = \frac{M_1 x_1 + M_2 x_2}{M_1 + M_2}$ છે.
$X_{cm} = \frac{M(-\frac{2R}{\pi}) + 3M(\frac{2R}{\pi})}{M + 3M} = \frac{\frac{4MR}{\pi}}{4M} = \frac{R}{\pi}$.
આમ,ભૌમિતિક કેન્દ્રથી અંતર $\frac{R}{\pi}$ છે.

(D) ધારો કે પ્રથમ સિસ્ટમનું કુલ દળ $M_1 = 1 + 2 + 3 = 6 \, kg$ અને દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $\vec{R}_1 = (1, 2, 3) \, m$ છે.
ધારો કે બીજી સિસ્ટમનું કુલ દળ $M_2 = 2 + 3 = 5 \, kg$ અને દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $\vec{R}_2 = (-1, 3, -2) \, m$ છે.
ધારો કે ત્રીજા કણનું દળ $m_3 = 5 \, kg$ અને સ્થાન $\vec{r} = (x, y, z)$ છે.
સિસ્ટમનું કુલ દળ $M = 6 + 5 + 5 = 16 \, kg$ છે.
સંયુક્ત સિસ્ટમનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $\vec{R}_{cm} = \frac{M_1\vec{R}_1 + M_2\vec{R}_2 + m_3\vec{r}}{M}$ છે.
આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે $\vec{R}_{cm} = \vec{R}_1 = (1, 2, 3)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{6(1, 2, 3) + 5(-1, 3, -2) + 5(x, y, z)}{16} = (1, 2, 3)$.
$6(1, 2, 3) + 5(-1, 3, -2) + 5(x, y, z) = 16(1, 2, 3)$.
$(6, 12, 18) + (-5, 15, -10) + 5(x, y, z) = (16, 32, 48)$.
$(1, 27, 8) + 5(x, y, z) = (16, 32, 48)$.
$5(x, y, z) = (16-1, 32-27, 48-8) = (15, 5, 40)$.
$(x, y, z) = (3, 1, 8) \, m$.

(B) ગુરુત્વકેન્દ્ર $(C.G.)$ એ બિંદુ છે જ્યાં પદાર્થનું કુલ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (વજન) કાર્ય કરે છે.
$(b)$ જો ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર સમાન હોય તો દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(C.M.)$ અને $C.G.$ એકરૂપ થાય છે. જો પૃથ્વીની ત્રિજ્યા અનંત હોય,તો ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર સમાન રહે છે,તેથી $(b)$ સાચું છે.
$(c)$ ગોળાકાર સંમિત પદાર્થ માટે,બાહ્ય ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની ગણતરી માટે દ્રવ્યમાનને $C.G.$ પર કેન્દ્રિત ગણી શકાય. જોકે,આ દરેક પદાર્થ માટે સાચું નથી.
$(d)$ ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $k$ એ $I = mk^2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની આઘૂર્ણ છે. તે માત્ર $C.G.$ થી અક્ષ સુધીનું લંબ અંતર નથી.

(D) ધારો કે રેખીય દળ ઘનતા $\rho = kx$ છે,જ્યાં $k$ એ અચળાંક છે.
$dx$ લંબાઈના નાના ખંડનું દળ $dm = \rho \cdot dx = kx \cdot dx$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $x_{cm}$ નું સ્થાન નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$x_{cm} = \frac{\int x \cdot dm}{\int dm}$
કિંમતો મૂકતા:
$x_{cm} = \frac{\int_{0}^{3} x(kx \cdot dx)}{\int_{0}^{3} kx \cdot dx} = \frac{\int_{0}^{3} x^2 \cdot dx}{\int_{0}^{3} x \cdot dx}$
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$x_{cm} = \frac{[x^3/3]_{0}^{3}}{[x^2/2]_{0}^{3}} = \frac{27/3}{9/2} = \frac{9}{4.5} = 2 \; m$.

(C) પદાર્થના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન પદાર્થના આકાર,કદ અને દળના વિતરણ પર આધાર રાખે છે.
તેથી,$Assertion$ સાચું છે.
પદાર્થનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર હંમેશા પદાર્થના ભૌમિતિક કેન્દ્ર પર જ હોય તે જરૂરી નથી. ઉદાહરણ તરીકે,અસમાન પદાર્થમાં,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ભારે ભાગ તરફ ખસે છે.
વધુમાં,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પદાર્થની અંદર હોવું પણ જરૂરી નથી,જેમ કે રીંગ અથવા ઘોડાની નાળ (horseshoe) ના કિસ્સામાં.
તેથી,$Reason$ ખોટું છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ધારો કે $1.0 \; kg$ દળ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે.
ત્રણેય દળોના યામ નીચે મુજબ છે:
$m_1 = 1.0 \; kg$ એ $(0, 0) \; cm$ પર છે.
$m_2 = 1.5 \; kg$ એ $(3, 0) \; cm$ પર છે.
$m_3 = 2.5 \; kg$ એ $(0, 4) \; cm$ પર છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $x$-યામ:
$x_{cm} = \frac{m_1x_1 + m_2x_2 + m_3x_3}{m_1 + m_2 + m_3} = \frac{1.0(0) + 1.5(3) + 2.5(0)}{1.0 + 1.5 + 2.5} = \frac{4.5}{5.0} = 0.9 \; cm$
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $y$-યામ:
$y_{cm} = \frac{m_1y_1 + m_2y_2 + m_3y_3}{m_1 + m_2 + m_3} = \frac{1.0(0) + 1.5(0) + 2.5(4)}{1.0 + 1.5 + 2.5} = \frac{10.0}{5.0} = 2.0 \; cm$
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $1.0 \; kg$ દળથી $0.9 \; cm$ જમણી બાજુ અને $2.0 \; cm$ ઉપરના બિંદુએ છે.

(D) લેમિનાને બે લંબચોરસ પ્લેટોમાં વિભાજિત કરો: પ્લેટ-$1$ અને પ્લેટ-$2$।
પ્લેટ-$1$ ના પરિમાણો $1 \; m \times 3 \; m$ છે,તેથી તેનું ક્ષેત્રફળ $A_{1} = 3 \; m^{2}$ છે.
પ્લેટ-$2$ ના પરિમાણો $1 \; m \times 1 \; m$ છે,તેથી તેનું ક્ષેત્રફળ $A_{2} = 1 \; m^{2}$ છે.
લેમિના સમાન હોવાથી,દળ તેના ક્ષેત્રફળના પ્રમાણમાં હોય છે. કુલ ક્ષેત્રફળ $A = A_{1} + A_{2} = 4 \; m^{2}$.
આપેલ કુલ દળ $M = 4 \; kg$ હોવાથી,દરેક ભાગનું દળ $m_{1} = 3 \; kg$ અને $m_{2} = 1 \; kg$ થશે.
પ્લેટ-$1$ નું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(x_{1}, y_{1}) = (0.5 \; m, 1.5 \; m)$ પર છે.
પ્લેટ-$2$ નું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(x_{2}, y_{2}) = (1.5 \; m, 2.5 \; m)$ પર છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $x$-યામ $x_{cm} = \frac{m_{1}x_{1} + m_{2}x_{2}}{m_{1} + m_{2}} = \frac{3 \times 0.5 + 1 \times 1.5}{4} = \frac{1.5 + 1.5}{4} = 0.75 \; m$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $y$-યામ $y_{cm} = \frac{m_{1}y_{1} + m_{2}y_{2}}{m_{1} + m_{2}} = \frac{3 \times 1.5 + 1 \times 2.5}{4} = \frac{4.5 + 2.5}{4} = \frac{7}{4} = 1.75 \; m$ છે.
આમ,યામ $(0.75 \; m, 1.75 \; m)$ છે.

(D) દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $x_{cm}$ નું સૂત્ર $x_{cm} = \frac{\int x dm}{\int dm}$ છે.
આપેલ રેખીય દળ ઘનતા $\rho(x) = \lambda(x) = a + b\left(\frac{x}{L}\right)^2$ છે,તેથી દળનો ઘટક $dm = \lambda(x) dx = \left(a + \frac{b x^2}{L^2}\right) dx$ થાય.
કુલ દળ $M = \int_0^L dm = \int_0^L \left(a + \frac{b x^2}{L^2}\right) dx = \left[ ax + \frac{b x^3}{3 L^2} \right]_0^L = aL + \frac{bL}{3} = L\left(a + \frac{b}{3}\right) = L\left(\frac{3a+b}{3}\right)$ મળે.
ઉગમબિંદુની સાપેક્ષ દળની મોમેન્ટ $\int_0^L x dm = \int_0^L x \left(a + \frac{b x^2}{L^2}\right) dx = \int_0^L \left(ax + \frac{b x^3}{L^2}\right) dx = \left[ \frac{a x^2}{2} + \frac{b x^4}{4 L^2} \right]_0^L = \frac{a L^2}{2} + \frac{b L^2}{4} = L^2\left(\frac{2a+b}{4}\right)$ થાય.
તેથી,$x_{cm} = \frac{L^2\left(\frac{2a+b}{4}\right)}{L\left(\frac{3a+b}{3}\right)} = \frac{3}{4} \left(\frac{2a+b}{3a+b}\right) L$ મળે.

(N/A) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$,$A(0.5,0)$ અને $B(0.25, 0.25\sqrt{3})$ છે.
દળ $m_1 = 100 \; g$ બિંદુ $O$ પર,$m_2 = 150 \; g$ બિંદુ $A$ પર અને $m_3 = 200 \; g$ બિંદુ $B$ પર છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(X, Y)$ ના યામ નીચે મુજબ છે:
$X = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3}{m_1 + m_2 + m_3} = \frac{100(0) + 150(0.5) + 200(0.25)}{100 + 150 + 200} = \frac{75 + 50}{450} = \frac{125}{450} = \frac{5}{18} \; m$
$Y = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2 + m_3 y_3}{m_1 + m_2 + m_3} = \frac{100(0) + 150(0) + 200(0.25\sqrt{3})}{450} = \frac{50\sqrt{3}}{450} = \frac{\sqrt{3}}{9} = \frac{1}{3\sqrt{3}} \; m$
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(\frac{5}{18}, \frac{1}{3\sqrt{3}}) \; m$ પર છે.

(N/A) ત્રિકોણીય લેમિના $(\Delta LMN)$ ને પાયા $(MN)$ ને સમાંતર એવી સાંકડી પટ્ટીઓમાં વિભાજિત કરી શકાય છે.
સંમિતિને કારણે,દરેક પટ્ટીનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેના મધ્યબિંદુ પર હોય છે.
જો આપણે આવી તમામ પટ્ટીઓના મધ્યબિંદુઓને જોડીએ,તો આપણને મધ્યગા $LP$ મળે છે.
તેથી,સમગ્ર ત્રિકોણનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર મધ્યગા $LP$ પર હોવું જોઈએ.
તે જ રીતે,અન્ય બાજુઓને સમાંતર પટ્ટીઓને ધ્યાનમાં લઈને,આપણે કહી શકીએ કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર મધ્યગાઓ $MQ$ અને $NR$ પર પણ હોવું જોઈએ.
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ત્રણેય મધ્યગાઓના સંગમ બિંદુ પર,એટલે કે ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર $G$ પર સ્થિત હોય છે.

(N/A) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $X$ અને $Y$ અક્ષો પસંદ કરતા,આપણી પાસે $L$-આકારની લેમિનાના શિરોબિંદુઓના યામ છે. આપણે $L$-આકારને $1 \; m$ બાજુની લંબાઈ ધરાવતા $3$ ચોરસનો બનેલો ગણી શકીએ છીએ. લેમિના સમાન હોવાથી,દરેક ચોરસનું દળ $1 \; kg$ છે. ચોરસના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રો $C_{1}$,$C_{2}$ અને $C_{3}$ એ સંમિતિ દ્વારા તેમના ભૌમિતિક કેન્દ્રો છે. તેમના યામ અનુક્રમે $(0.5, 0.5) \; m$,$(1.5, 0.5) \; m$ અને $(0.5, 1.5) \; m$ છે. આપણે ધારીએ છીએ કે ચોરસનું દળ આ બિંદુઓ પર કેન્દ્રિત છે. સમગ્ર $L$-આકારનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(X, Y)$ એ આ દળ બિંદુઓનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર છે.
તેથી,
$X = \frac{[1(0.5) + 1(1.5) + 1(0.5)] \; kg \cdot m}{(1 + 1 + 1) \; kg} = \frac{2.5}{3} \; m = \frac{5}{6} \; m$
$Y = \frac{[1(0.5) + 1(0.5) + 1(1.5)] \; kg \cdot m}{(1 + 1 + 1) \; kg} = \frac{2.5}{3} \; m = \frac{5}{6} \; m$

(N/A) સમાન દળ ઘનતા ધરાવતા પદાર્થનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(C.M.)$ તેના ભૌમિતિક કેન્દ્ર પર હોય છે.
$(i)$ ગોળા માટે,$C.M.$ તેના ભૌમિતિક કેન્દ્ર પર હોય છે.
$(ii)$ નળાકાર માટે,$C.M.$ તેના ભૌમિતિક કેન્દ્ર (અક્ષનું મધ્યબિંદુ) પર હોય છે.
$(iii)$ રીંગ માટે,$C.M.$ તેના ભૌમિતિક કેન્દ્ર પર હોય છે.
$(iv)$ સમઘન માટે,$C.M.$ તેના ભૌમિતિક કેન્દ્ર પર હોય છે.
ના,પદાર્થનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર હંમેશા પદાર્થની અંદર જ હોય તે જરૂરી નથી. ઉદાહરણ તરીકે,રીંગ અથવા પોલા ગોળાના કિસ્સામાં,$C.M.$ તેના ભૌમિતિક કેન્દ્ર પર હોય છે,જે પદાર્થના દ્રવ્યની બહાર ખાલી જગ્યામાં હોય છે.

(N/A) ધારો કે $H$ અણુનું સ્થાન $x_H = 0$ છે અને $Cl$ અણુનું સ્થાન $x_{Cl} = 1.27 \; \mathring{A}$ છે.
ધારો કે હાઇડ્રોજન અણુનું દળ $m_H = m$ છે.
તેથી,ક્લોરિન અણુનું દળ $m_{Cl} = 35.5 \; m$ થશે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(X_{CM})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$X_{CM} = \frac{m_H x_H + m_{Cl} x_{Cl}}{m_H + m_{Cl}}$
કિંમતો મૂકતા:
$X_{CM} = \frac{m(0) + (35.5 \; m)(1.27 \; \mathring{A})}{m + 35.5 \; m}$
$X_{CM} = \frac{35.5 \; m \times 1.27 \; \mathring{A}}{36.5 \; m}$
$X_{CM} = \frac{35.5 \times 1.27}{36.5} \; \mathring{A} \approx 1.235 \; \mathring{A}$
આ અંતર હાઇડ્રોજન અણુથી માપવામાં આવે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,ક્લોરિન અણુથી અંતર $1.27 \; \mathring{A} - 1.235 \; \mathring{A} = 0.035 \; \mathring{A}$ (રાઉન્ડિંગના આધારે આશરે $0.037 \; \mathring{A}$) છે.
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ક્લોરિન અણુથી આશરે $0.037 \; \mathring{A}$ અંતરે આવેલું છે.

(B) કોઈ પદાર્થને કણ તરીકે ત્યારે ગણી શકાય જ્યારે ગતિ દરમિયાન તેના સ્થાનમાં થતો ફેરફાર તેના પોતાના પરિમાણ (કદ) કરતા ઘણો મોટો હોય.
બે પદાર્થોના તંત્ર માટે,તેમને કણ તરીકે ત્યારે ગણી શકાય જ્યારે પદાર્થોના પરિમાણો તેમની વચ્ચેના અંતરની સરખામણીમાં અવગણી શકાય તેવા હોય.

(B) વ્યાખ્યા મુજબ, કણ એક એવી વસ્તુ છે જેનું દળ હોય છે પરંતુ કોઈ પરિમાણ (કદ) હોતું નથી।
ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, આપણે કણને બિંદુવત દળ તરીકે દર્શાવીએ છીએ, જેનો અર્થ છે કે તે અવકાશમાં માત્ર એક બિંદુ રોકે છે।
તેથી, કણનું કદ શૂન્ય હોય છે, 'બિંદુ કદ' નહીં।
'બિંદુ કદ' શબ્દ ભૌતિક રીતે અર્થહીન છે કારણ કે બિંદુને કોઈ કદ હોતું નથી।
આમ, આ વિધાન ખોટું છે।

(N/A) કણોની સિસ્ટમ એટલે બે કે તેથી વધુ કણોનો સમૂહ જે એકબીજા સાથે આંતરક્રિયા કરે છે અથવા તેમની સામૂહિક ગતિ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર અને ગતિશાસ્ત્રના વિશ્લેષણ માટે તેમને એકસાથે ગણવામાં આવે છે.

(B) પદાર્થનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર એ એક એવું વિશિષ્ટ બિંદુ છે જ્યાં પદાર્થની સ્થાનાંતરિત ગતિનું વર્ણન કરવા માટે પદાર્થનું સમગ્ર દળ કેન્દ્રિત થયેલું માનવામાં આવે છે.
તેને ગાણિતિક રીતે $\vec{R} = \frac{1}{M} \sum m_i \vec{r}_i$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
તેને સામાન્ય રીતે $C.M.$ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(N/A) ધારો કે $X$-અક્ષ પર ઉગમબિંદુ $O$ થી $x_1$ અને $x_2$ અંતરે $m_1$ અને $m_2$ દળ ધરાવતા બે કણોની સિસ્ટમ છે. આ સિસ્ટમનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $C$ એ $X$ અંતરે આવેલું છે,જે નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$X = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$
અહીં,$X$ (જેને $r_{cm}$ તરીકે પણ દર્શાવવામાં આવે છે) એ સ્થાનોનું દળ-ભારિત સરેરાશ છે. જો બંને કણો સમાન દળ $(m_1 = m_2 = m)$ ધરાવતા હોય,તો:
$X = \frac{m x_1 + m x_2}{m + m} = \frac{x_1 + x_2}{2}$
આ દર્શાવે છે કે સમાન દળ ધરાવતા બે કણો માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર બરાબર તેમના મધ્યબિંદુ પર હોય છે. $n$ કણોની સિસ્ટમ માટે,જેમના દળ $m_1, m_2, \dots, m_n$ અને સ્થાન $x_1, x_2, \dots, x_n$ છે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $X$ નું સ્થાન ભારિત સરેરાશ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$X = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} m_i}$
સિસ્ટમનું કુલ દળ $M = \sum_{i=1}^{n} m_i$ લેતા,સૂત્ર નીચે મુજબ બને છે:
$X = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{n} m_i x_i$

(N/A) $n$ કણોની સિસ્ટમ માટે,જેના દ્રવ્યમાન $m_{1}, m_{2}, ..., m_{n}$ છે અને જે દ્વિ-પરિમાણીય સમતલમાં સ્થાન સદિશ $\vec{r}_{1}, \vec{r}_{2}, ..., \vec{r}_{n}$ પર આવેલા છે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો સ્થાન સદિશ $\vec{R}$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$\vec{R} = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_{i} \vec{r}_{i}}{\sum_{i=1}^{n} m_{i}}$
કાર્તેઝિયન યામ $(x, y)$ ના સંદર્ભમાં,જ્યાં $\vec{r}_{i} = (x_{i}, y_{i})$ અને $\vec{R} = (X, Y)$ છે,તેના ઘટકો નીચે મુજબ છે:
$X = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_{i} x_{i}}{\sum_{i=1}^{n} m_{i}}$
$Y = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_{i} y_{i}}{\sum_{i=1}^{n} m_{i}}$
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો સ્થાન સદિશ $\vec{R} = (X, Y) = \left( \frac{\sum m_{i} x_{i}}{\sum m_{i}}, \frac{\sum m_{i} y_{i}}{\sum m_{i}} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

ધારો કે $m_{1}, m_{2}, \ldots, m_{n}$ દળ ધરાવતા $n$ કણોના યામ અનુક્રમે $(x_{1}, y_{1}, z_{1}), (x_{2}, y_{2}, z_{2}), \ldots, (x_{n}, y_{n}, z_{n})$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(X, Y, Z)$ નું સ્થાન નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$(X, Y, Z) = \frac{m_{1}(x_{1}, y_{1}, z_{1}) + m_{2}(x_{2}, y_{2}, z_{2}) + \ldots + m_{n}(x_{n}, y_{n}, z_{n})}{m_{1} + m_{2} + \ldots + m_{n}}$
$= \frac{\sum_{i=1}^{n} m_{i}(x_{i}, y_{i}, z_{i})}{\sum_{i=1}^{n} m_{i}}$
આને વ્યક્તિગત યામોના સંદર્ભમાં નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય છે:
$X = \frac{\sum m_{i} x_{i}}{M}, Y = \frac{\sum m_{i} y_{i}}{M}, Z = \frac{\sum m_{i} z_{i}}{M}$
જ્યાં $M = \sum m_{i}$ એ સિસ્ટમનું કુલ દળ છે.
સ્થાન સદિશોનો ઉપયોગ કરીને,જો $\vec{r}_{i} = x_{i}\hat{i} + y_{i}\hat{j} + z_{i}\hat{k}$ એ $i$-માં કણનો સ્થાન સદિશ હોય,તો દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો સ્થાન સદિશ $\vec{R}$ નીચે મુજબ છે:
$\vec{R} = \frac{\sum m_{i} \vec{r}_{i}}{M}$
જો યામ પદ્ધતિનું ઉગમબિંદુ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર હોય,તો $\sum m_{i} \vec{r}_{i} = 0$ થાય.

(N/A) દ્રઢ પદાર્થ મોટી સંખ્યામાં કણો (પરમાણુઓ અથવા અણુઓ) નો બનેલો હોય છે અને કણો વચ્ચેનું અંતર ખૂબ જ ઓછું હોય છે. પદાર્થ સતત હોવાથી,દરેક વ્યક્તિગત પરમાણુ માટે દ્રવ્યમાન અને સ્થાનના ગુણાકારનો સરવાળો કરવો ગાણિતિક રીતે અશક્ય છે. તેથી,પદાર્થને $n$ નાના દ્રવ્યમાન તત્વો $(dm)$ નો બનેલો ગણવામાં આવે છે,જે આપણને દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર નક્કી કરવા માટે સંકલન (integration) નો ઉપયોગ કરવાની મંજૂરી આપે છે: $\vec{R}_{cm} = \frac{1}{M} \int \vec{r} dm$.

(N/A) ઘન પદાર્થ સૂક્ષ્મ કણો (અણુઓ,આયનો,પરમાણુઓ) નો બનેલો હોય છે જે તેના કદમાં સતત રીતે વિતરિત થયેલા હોય છે.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,એક ઘન પદાર્થને નાના દ્રવ્યમાન ઘટકોમાં વિભાજિત થયેલ ધારો,જેમાંથી દરેકનું દળ $dm$ અને સ્થાન સદિશ $\vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$ છે.
$m_1, m_2, \ldots, m_n$ દળ ધરાવતા અને $\vec{r}_1, \vec{r}_2, \ldots, \vec{r}_n$ સ્થાન સદિશ ધરાવતા કણોના તંત્ર માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો સ્થાન સદિશ $\vec{R}$ નીચે મુજબ છે:
$\vec{R} = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i \vec{r}_i}{\sum_{i=1}^{n} m_i}$
સતત ઘન પદાર્થ માટે,આપણે સરવાળાને સંકલન (integral) વડે બદલીએ છીએ. ધારો કે પદાર્થનું કુલ દળ $M$ છે,જ્યાં $M = \int dm$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો સ્થાન સદિશ:
$\vec{R} = \frac{1}{M} \int \vec{r} dm$
કાર્તેઝિયન યામ $(X, Y, Z)$ ના સ્વરૂપમાં,આને નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય:
$X = \frac{1}{M} \int x dm$
$Y = \frac{1}{M} \int y dm$
$Z = \frac{1}{M} \int z dm$
આ સમીકરણો આપણને પદાર્થના સમગ્ર કદ પર સંકલન કરીને કોઈપણ ઘન પદાર્થ માટે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે.

(N/A) સમાંગ પદાર્થ એટલે એવો પદાર્થ કે જેમાં દળ સમાન રીતે વિતરિત થયેલું હોય.
$L$ લંબાઈ અને $M$ કુલ દળ ધરાવતા પાતળા સળિયાનો વિચાર કરો. ઉગમબિંદુને સળિયાના એક છેડા પર લો અને $X$-અક્ષને સળિયાની લંબાઈની દિશામાં લો.
રેખીય દળ ઘનતા $\lambda = \frac{M}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉગમબિંદુથી $x$ અંતરે $dx$ લંબાઈના એક નાના ખંડનો વિચાર કરો. આ ખંડનું દળ $dm = \lambda dx = \frac{M}{L} dx$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $X_{cm}$ નું સ્થાન નીચે મુજબ છે:
$X_{cm} = \frac{1}{M} \int x dm$
$dm$ ની કિંમત મૂકતા:
$X_{cm} = \frac{1}{M} \int_{0}^{L} x \left( \frac{M}{L} \right) dx$
$X_{cm} = \frac{1}{L} \int_{0}^{L} x dx$
$X_{cm} = \frac{1}{L} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{L}$
$X_{cm} = \frac{1}{L} \left( \frac{L^2}{2} - 0 \right) = \frac{L}{2}$
આમ,સમાન પાતળા સળિયાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેના ભૌમિતિક કેન્દ્ર પર હોય છે,જે કોઈપણ છેડાથી $\frac{L}{2}$ અંતરે આવેલું છે.

કણોના તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર એ એક એવું વિશિષ્ટ બિંદુ છે કે જ્યાં તંત્રની સ્થાનાંતરિત ગતિનું વર્ણન કરવા માટે તંત્રનું સમગ્ર દળ કેન્દ્રિત થયેલું ગણી શકાય છે.
ગાણિતિક રીતે,$m_1, m_2, ..., m_n$ દળ ધરાવતા અને $\vec{r}_1, \vec{r}_2, ..., \vec{r}_n$ સ્થાન સદિશો પર રહેલા $n$ કણોના તંત્ર માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો સ્થાન સદિશ $\vec{R}$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$\vec{R} = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i \vec{r}_i}{\sum_{i=1}^{n} m_i} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{n} m_i \vec{r}_i$
જ્યાં $M = \sum m_i$ એ તંત્રનું કુલ દળ છે.

(A) સમાન દળ $m$ ધરાવતા $n$ કણોની સિસ્ટમ માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો સ્થાન સદિશ $\vec{R}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\vec{R} = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i \vec{r}_i}{\sum_{i=1}^{n} m_i}$
બધા દળ સમાન હોવાથી $(m_1 = m_2 = ... = m_n = m)$,સૂત્રનું સાદું રૂપ નીચે મુજબ થાય છે:
$\vec{R} = \frac{m \sum_{i=1}^{n} \vec{r}_i}{nm} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \vec{r}_i$
આ અભિવ્યક્તિ કણોના સ્થાન સદિશોની સરેરાશ દર્શાવે છે.
તેથી,સમાન દળ ધરાવતા કણોનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સિસ્ટમના ભૌમિતિક કેન્દ્ર (અથવા સરેરાશ સ્થાન) પર સ્થિત હોય છે.

(N/A) ધારો કે ત્રણ કણોના દળ સમાન છે,એટલે કે $m_1 = m_2 = m_3 = m$.
ધારો કે તેમના સ્થાન સદિશો $\vec{r}_1$,$\vec{r}_2$ અને $\vec{r}_3$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $\vec{R}_{cm}$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\vec{R}_{cm} = \frac{m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2 + m_3\vec{r}_3}{m_1 + m_2 + m_3}$
અહીં $m_1 = m_2 = m_3 = m$ હોવાથી,આપણે આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકી શકીએ:
$\vec{R}_{cm} = \frac{m(\vec{r}_1 + \vec{r}_2 + \vec{r}_3)}{3m} = \frac{\vec{r}_1 + \vec{r}_2 + \vec{r}_3}{3}$
આ પરિણામ દર્શાવે છે કે સમાન દળ ધરાવતા ત્રણ કણોનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર એ ત્રણેય કણોના સ્થાન દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર (centroid) છે.

(N/A) $n$ કણોની સિસ્ટમ માટે,જેમના દળ $m_1, m_2, ..., m_n$ છે અને જેમના સ્થાન સદિશ $\vec{r}_1, \vec{r}_2, ..., \vec{r}_n$ છે,તેમના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો સ્થાન સદિશ $\vec{R}$ એ સિસ્ટમના તમામ કણોના સ્થાન સદિશોની ભારિત સરેરાશ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,તે નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$\vec{R} = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i \vec{r}_i}{\sum_{i=1}^{n} m_i} = \frac{m_1 \vec{r}_1 + m_2 \vec{r}_2 + ... + m_n \vec{r}_n}{M}$
જ્યાં $M = \sum_{i=1}^{n} m_i$ એ સિસ્ટમનું કુલ દળ છે.

(N/A) દ્રઢ પદાર્થ એ દ્રવ્યના સતત વિતરણથી બનેલો હોય છે,જેમાં અનંત સંખ્યામાં કણોનો સમાવેશ થાય છે.
કણોની સંખ્યા અનંત હોવાને કારણે,દરેક કણ માટે તેનું દળ $m_i$ અને સ્થાન સદિશ $\vec{r}_i$ માપવા અથવા જાણવા તે વ્યવહારિક રીતે અશક્ય છે.
તેથી,અસતત સરવાળા $\sum m_i \vec{r}_i$ નો ઉપયોગ કરવાને બદલે,આપણે સતત પદાર્થ માટે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર નક્કી કરવા માટે સંકલન (integration) ની પદ્ધતિ $\int \vec{r} \, dm$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.

(N/A) સમાંગ પદાર્થ એટલે એવો પદાર્થ કે જેની દળ ઘનતા તેના સમગ્ર કદમાં સમાન હોય. આનો અર્થ એ છે કે પદાર્થની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ,એકમ કદ દીઠ દળ અચળ રહે છે. ગાણિતિક રીતે,જો $\rho$ એ ઘનતા હોય,તો પદાર્થની અંદરના તમામ બિંદુઓ માટે $\rho = \frac{dm}{dV} = \text{અચળ}$ થાય. આવા પદાર્થો માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર એ પદાર્થના ભૌમિતિક કેન્દ્ર સાથે સંપાતી હોય છે.

(N/A) સમાન પદાર્થનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેની સમપ્રમાણતાને કારણે તેના ભૌમિતિક કેન્દ્ર પર સ્થિત હોય છે.
$1$. સમાન રીંગ માટે: દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર રીંગના કેન્દ્ર પર હોય છે.
$2$. સમાન ડિસ્ક માટે: દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ડિસ્કના કેન્દ્ર પર હોય છે.
$3$. સમાન નક્કર ગોળા માટે: દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ગોળાના કેન્દ્ર પર હોય છે.
$4$. સમાન પોલા ગોળા માટે: દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ગોળાના કેન્દ્ર પર હોય છે.

(A) કણોના તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $\vec{R}$ નું સ્થાન સમીકરણ $\vec{R} = \frac{1}{M} \int \vec{r} dm$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $M$ એ પદાર્થનું કુલ દળ છે.
જો આપણે આપણા યામ પદ્ધતિનું ઉગમબિંદુ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર પસંદ કરીએ,તો $\vec{R} = 0$ થાય.
આ કિંમત વ્યાખ્યામાં મૂકતા,આપણને $0 = \frac{1}{M} \int \vec{r} dm$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\int \vec{r} dm = 0$.
તેથી,જ્યારે ઉગમબિંદુ પદાર્થના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર હોય ત્યારે સંકલન $\int \vec{r} dm$ શૂન્ય થાય છે.

(A) જે પદાર્થો સપ્રમાણ અને સમાંગ (સમાન દ્રવ્યમાન વિતરણ ધરાવતા) હોય,તેમનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પદાર્થના ભૌમિતિક કેન્દ્ર પર જ હોય છે.
આનું કારણ એ છે કે દ્રવ્યમાન ભૌમિતિક કેન્દ્રની આસપાસ સમાન રીતે વહેંચાયેલું હોય છે,જેના કારણે તે બિંદુ પર દ્રવ્યમાનની કુલ મોમેન્ટ શૂન્ય થાય છે.