સમાંગ (નિયમિત ઘનતાવાળા) એવાં પાતળાં સળિયાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન મેળવો.
સમાંગ (નિયમિત ઘનતાવાળા) એવાં પાતળાં સળિયાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન મેળવો.
સમાંગ એટલે એક્સરખી રીતે વિતરણ થયેલ દ્રવ્યમાનવાળો પદાર્થ.
એક લંબચોરસ આડછેદવાળો પાતળો સળિયો લો, કે જેની પહોળાઈ અને જાડાઈ તેની લંબાઈ કરતાં ઓછી હોય. (અથવા ગોળાકાર આડછેદવાળો પાતળો સળિયો લો, કે જેની ત્રિજ્યા તેની લંબાઈ કરતાં ઓછી હોય.
સળિયાને $X-$અક્ષને સમાંતર દિશામાં મૂકી અને ઊગમબિદુને તેના ભૌમિતિક કેન્દ્ર પર લેવામાં આવે, તો દરેક દળ ખંડ $d m+x$ અને $-x$ પર રહેલાં છે.
$\therefore$ સંકલનમાં આવી જોડ $\left(\int x d m\right)$ નો ચોખ્ખો ફાળો શૂન્ય છે.
$\therefore$ સળિયાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન,
$X =\frac{1}{ M } \int x d m$
પણ $d m=\lambda d x$
જ્યાં $\lambda=$ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $=\frac{ M }{ L }$
$=\frac{ M }{ L } d x \quad$ જ્યાં $L$ સળિયાની લંબાઈ
$\therefore X=\frac{1}{ M } \int x \frac{ M }{ L } d x$
$=\frac{1}{ L } \int_{0}^{ L } x d x$
$=\frac{1}{ L }\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{ L }$
$=\frac{1}{ L }\left[\frac{ L ^{2}}{2}\right]$
$=\frac{ L }{2}$
Similar Questions
$U$ આકાર ધરાવતા નિયમિત તારની બાજુનીઓની લંબાઈ $ l, 2l $ અને $ l$ છે. આકૃતિમાં દરેક તારના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રના યામ દર્શાવેલ છે. આ તંત્ર માટે દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રના યામ ........
$U$ આકાર ધરાવતા નિયમિત તારની બાજુનીઓની લંબાઈ $ l, 2l $ અને $ l$ છે. આકૃતિમાં દરેક તારના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રના યામ દર્શાવેલ છે. આ તંત્ર માટે દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રના યામ ........
ખાલી જગ્યા પૂરો. :
$(1)$ જો પદાર્થના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $v_{cm} = 0$ અને કોણીય ઝડપ $\omega = 0$ હોય, તો પદાર્થ સંતુલનમાં હોવાનું કહેવાય.
$(2)$ પદાર્થમાં કોણીય વેગમાન ત્યારે ઉદ્ભવે કે જ્યારે તેનાં પર ............. લાગે.
$(3)$ એક પીપને પાણીથી અડધું ભરવામાં આવે છે તો તેનું ગુરુત્વકેન્દ્ર ........... જશે.
$(4)$ પદાર્થનું સમગ્ર દળ જે બિંદુ પર કેન્દ્રિત થયેલું હોય તેને ...... કહે છે.
ખાલી જગ્યા પૂરો. :
$(1)$ જો પદાર્થના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $v_{cm} = 0$ અને કોણીય ઝડપ $\omega = 0$ હોય, તો પદાર્થ સંતુલનમાં હોવાનું કહેવાય.
$(2)$ પદાર્થમાં કોણીય વેગમાન ત્યારે ઉદ્ભવે કે જ્યારે તેનાં પર ............. લાગે.
$(3)$ એક પીપને પાણીથી અડધું ભરવામાં આવે છે તો તેનું ગુરુત્વકેન્દ્ર ........... જશે.
$(4)$ પદાર્થનું સમગ્ર દળ જે બિંદુ પર કેન્દ્રિત થયેલું હોય તેને ...... કહે છે.
ત્રિકોણાકાર તક્તી (લેમિના)નું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર શોધો.
ત્રિકોણાકાર તક્તી (લેમિના)નું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર શોધો.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $ T $ આકારનો પદાર્થ લીસી સપાટી પર છે. હવે બિંદુ $ P $ પર,$ AB $ ને સમાંતર દિશામાં બળ $\mathop F\limits^ \to $ એવી રીતે લગાવવામાં આવે છે, જેથી પદાર્થ ચાકગતિ કર્યા વિના ફક્ત રેખીય ગતિ કરે, તો બિંદુ $ C$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $P$ નું સ્થાન શોધો.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $ T $ આકારનો પદાર્થ લીસી સપાટી પર છે. હવે બિંદુ $ P $ પર,$ AB $ ને સમાંતર દિશામાં બળ $\mathop F\limits^ \to $ એવી રીતે લગાવવામાં આવે છે, જેથી પદાર્થ ચાકગતિ કર્યા વિના ફક્ત રેખીય ગતિ કરે, તો બિંદુ $ C$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $P$ નું સ્થાન શોધો.
- [AIEEE 2005]
$'n'$ કણોનાં બનેલાં તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સૂત્ર લખો અને તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર લાગતાં બળ માટેનું સૂત્ર મેળવો.
$'n'$ કણોનાં બનેલાં તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સૂત્ર લખો અને તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર લાગતાં બળ માટેનું સૂત્ર મેળવો.