અવકાશ (ત્રિ-પરિમાણ)માં વિતરિત થયેલાં $n$ કણોના બનેલાં તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સ્થાન માટેનું વ્યાપક સ્વરૂપ લખો .

ધારો કે, $m_{1}, m_{2}, \ldots, m_{n}$ દળ ધરાવતાં કણોના અવકાશમાં સ્થાન અનુક્રમે $\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right), \ldots,\left(x_{n}, y_{n}, z_{n}\right)$ છે.

$\therefore$ તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન,

$(x, y, z)=\frac{m_{1}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)+m_{2}\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)+\ldots+m_{n}\left(x_{n}, y_{n}, z_{n}\right)}{m_{1}+m_{2}+\ldots+m_{n}}$

$=\frac{\Sigma m_{i}\left(x_{i}, y_{i}, z_{i}\right)}{\Sigma m_{i}}$ જ્યાં $i=1,2,3, \ldots, n$

તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના $X$-યામ, $Y-$યામ અને $Z-$યામ

$X =\frac{m_{1} x_{1}+m_{2} x_{2}+\ldots+m_{n} x_{n}}{m_{1}+m_{2}+\ldots+m_{n}}=\frac{\Sigma m_{i} x_{i}}{ M }$

$Y =\frac{m_{1} y_{1}+m_{2} y_{2}+\ldots+m_{n} y_{n}}{m_{1}+m_{2}+\ldots+m_{n}}=\frac{\Sigma m_{i} y_{i}}{ M }$ અને

$Z =\frac{m_{1} z_{1}+m_{2} z_{2}+\ldots+m_{n} z_{n}}{m_{1}+m_{2}+\ldots+m_{n}}=\frac{\Sigma m_{i} z_{i}}{ M }$

જ્યાં $i=1,2,3, \ldots, n$ અને

$m_{1}+m_{2}+\ldots+m_{n}=\Sigma m_{i}=1$ જ્યાં તંત્રનું કુલ દળ

જે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો સ્થાન સદિશ શોધવો હોય, તો $i$ માં કણનું સ્થાન સદિશ $\vec{r}=x_{i} \hat{i}+y_{i} \hat{j}+z_{i} \hat{k}$ અને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો સ્થાન સદિશ,

$\overrightarrow{ R }=( X \hat{i}+ Y \hat{j}+ Z \hat{k})$

$\therefore \overrightarrow{ R }=\frac{\Sigma m_{i} \overrightarrow{r_{i}}}{ M }$

જો નિર્દેશ ફ્રેમ (યામ પદ્ધતિ)ના ઉદગમ બિંદુને આપેલ કણોના તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર લેવામાં આવે, તો કણોના આપેલાં તંત્ર માટે $\Sigma m_{i} \overrightarrow{r_{i}}=0$