Mix Examples-Newton's Laws of Motion and Friction Questions in Gujarati

(D) $1$. કોઈ બિંદુની સાપેક્ષે કણનું કોણીય વેગમાન $L = r \times p$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. સપાટી પરના બિંદુ $A$ થી $h$ ઊંચાઈએ $v$ વેગથી ગતિ કરતા બ્લોકના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર માટે,પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L = mvh$ છે. તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
$2$. સપાટી ખરબચડી હોવાથી,બ્લોક પર તેની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu_k N$ લાગે છે. આ બળને કારણે પ્રતિપ્રવેગ ઉત્પન્ન થાય છે,તેથી સમય જતાં બ્લોકનો વેગ $v$ ઘટે છે. તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
$3$. બિંદુ $A$ ની સાપેક્ષે ટોર્ક $\tau = r \times F$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ઘર્ષણ બળ સપાટી પર લાગે છે અને લંબબળ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે. બિંદુ $A$ ની સાપેક્ષે ઘર્ષણને કારણે ટોર્ક $\tau = f_k \times h \neq 0$ થાય છે. સિસ્ટમ પર બિંદુ $A$ ની સાપેક્ષે શૂન્યતર બાહ્ય ટોર્ક લાગતું હોવાથી,કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થતું નથી. તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
$4$. $A$,$B$ અને $C$ ત્રણેય સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ઘર્ષણરહિત ઢળતા સમતલ પર રહેલા બ્લોક માટે જે સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે,તેનો ઢળતા સમતલ પરનો પ્રવેગ $a = g \sin \theta$ છે.
આ પ્રવેગનો શિરોલંબ ઘટક $a_v = a \sin \theta = (g \sin \theta) \sin \theta = g \sin^2 \theta$ છે.
બ્લોક $A$ માટે,સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$ છે. તેથી,તેનો શિરોલંબ પ્રવેગ $a_{vA} = g \sin^2(30^\circ) = g(1/2)^2 = g/4$ છે.
બ્લોક $B$ માટે,સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$ છે. તેથી,તેનો શિરોલંબ પ્રવેગ $a_{vB} = g \sin^2(60^\circ) = g(\sqrt{3}/2)^2 = 3g/4$ છે.
$B$ ની સાપેક્ષમાં $A$ નો સાપેક્ષ શિરોલંબ પ્રવેગ $a_{rel} = a_{vA} - a_{vB} = g/4 - 3g/4 = -g/2 = -4.9 \ m/s^2$ છે.
તેનું મૂલ્ય નીચેની શિરોલંબ દિશામાં $4.9 \ m/s^2$ છે.

(B) દીવાલ દ્વારા બ્લોક $B$ પર લાગતું ઘર્ષણ બળ શોધવા માટે,આપણે બંને બ્લોક $A$ અને $B$ ના તંત્રને સંતુલનમાં ગણીએ છીએ.
તંત્ર સંતુલનમાં હોવાથી,કુલ નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ દીવાલ દ્વારા બ્લોક $B$ પર લાગતા ઉપરની તરફના ઘર્ષણ બળ દ્વારા સંતુલિત થવું જોઈએ.
તંત્રનું કુલ વજન $W_{total} = W_A + W_B = 20\ N + 100\ N = 120\ N$ છે.
ધારો કે $f_{wall}$ એ દીવાલ દ્વારા બ્લોક $B$ પર લાગતું ઘર્ષણ બળ છે.
તંત્ર શિરોલંબ સંતુલનમાં રહે તે માટે,ઉપરની તરફનું બળ નીચેની તરફના બળ જેટલું હોવું જોઈએ:
$f_{wall} = W_{total} = 120\ N$.
આમ,દીવાલ દ્વારા બ્લોક $B$ પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $120\ N$ છે.

(C) આપેલ છે કે,અંતિમ ઉર્જા $\frac{1}{2} m v_f^2 = \frac{1}{8} m v_0^2$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $v_f^2 = \frac{1}{4} v_0^2$,તેથી $v_f = \frac{v_0}{2}$.
ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,$m \frac{dv}{dt} = -kv^2$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{dv}{v^2} = -\frac{k}{m} dt$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int_{v_0}^{v_0/2} v^{-2} dv = -\frac{k}{m} \int_{0}^{10} dt$.
સંકલનનું મૂલ્ય લેતા: $\left[ -\frac{1}{v} \right]_{v_0}^{v_0/2} = -\frac{k}{m} [t]_0^{10}$.
સીમાઓ મૂકતા: $-\left( \frac{2}{v_0} - \frac{1}{v_0} \right) = -\frac{k}{m} (10)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{v_0} = \frac{10k}{m}$ મળે છે.
$k$ માટે ઉકેલતા: $k = \frac{m}{10v_0} = \frac{10^{-2}}{10 \times 10} = 10^{-4} \ kg \ m^{-1}$.

(D) દીવાલ સાથે અથડાતા એક અણુના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર દીવાલને લંબ વેગમાનના ઘટકને ધ્યાનમાં લઈને ગણવામાં આવે છે. દીવાલને લંબ પ્રારંભિક વેગમાન ઘટક $p_n = mv \cos(45^\circ)$ છે. અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,દીવાલને લંબ અંતિમ વેગમાન ઘટક $-mv \cos(45^\circ)$ છે.
પ્રતિ અણુ વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta p = mv \cos(45^\circ) - (-mv \cos(45^\circ)) = 2mv \cos(45^\circ)$.
આપેલ છે કે $m = 3.32 \times 10^{-27} \ kg$,$v = 10^3 \ m/s$,અને $\cos(45^\circ) = 1/\sqrt{2}$,તેથી પ્રતિ અણુ વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta p = 2 \times (3.32 \times 10^{-27}) \times 10^3 \times (1/\sqrt{2}) = \sqrt{2} \times 3.32 \times 10^{-24} \ kg \cdot m/s$.
દીવાલ પર લાગતું બળ એ પ્રતિ સેકન્ડ કુલ વેગમાનમાં થતો ફેરફાર છે: $F = n \times \Delta p$,જ્યાં $n = 10^{23} \ s^{-1}$.
$F = 10^{23} \times \sqrt{2} \times 3.32 \times 10^{-24} = 3.32 \times \sqrt{2} \times 10^{-1} \ N$.
દબાણ $P = F / A$,જ્યાં $A = 2 \ cm^2 = 2 \times 10^{-4} \ m^2$.
$P = (3.32 \times 1.414 \times 0.1) / (2 \times 10^{-4}) = (4.694 \times 10^{-1}) / (2 \times 10^{-4}) \approx 2.35 \times 10^3 \ N/m^2$.

(A) આપેલ છે: $m_1 = 5 \ kg$,$m_2 = 10 \ kg$,$\mu = 0.15$,$g = 10 \ m/s^2$.
તંત્ર સ્થિર રહે તે માટે,દોરીમાં ઉદ્ભવતું તણાવ બળ $T$ એ $m_1$ ના વજન બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
$T = m_1 g = 5 \times 10 = 50 \ N$.
દળ $m_2$ (જેની ઉપર $m$ દળ મૂકેલ છે) સ્થિર રહે તે માટે,ઘર્ષણ બળ $f$ એ તણાવ બળ $T$ ને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
સમક્ષિતિજ સપાટી પર લાગતું લંબબળ $N = (m_2 + m)g$ છે.
સીમાંત ઘર્ષણ બળ $f = \mu N = \mu (m_2 + m)g$ થાય.
ગતિ અટકાવવા માટે,$T = f$ હોવું જોઈએ.
$50 = 0.15 \times (10 + m) \times 10$.
$50 = 1.5 \times (10 + m)$.
$50 / 1.5 = 10 + m$.
$33.33 = 10 + m$.
$m = 33.33 - 10 = 23.33 \ kg$.
આમ,જરૂરી લઘુત્તમ દળ આશરે $23.3 \ kg$ છે.

(A) બિંદુ $P$ ની ઊંચાઈ $h = 2 \ m$ છે. ઢળતા ટ્રેક $PQ$ ની લંબાઈ $L = h / \sin(30^\circ) = 2 / 0.5 = 4 \ m$ છે.
પથ $PQ$ પર ગુમાવેલી ઉર્જા $W_{PQ} = \mu mg \cos(30^\circ) \times L = \mu mg (\sqrt{3}/2) \times 4 = 2\sqrt{3} \mu mg$ છે.
સમક્ષિતિજ પથ $QR$ પર ગુમાવેલી ઉર્જા $W_{QR} = \mu mg x$ છે.
આપેલ છે કે $PQ$ અને $QR$ પર ગુમાવેલી ઉર્જા સમાન છે,તેથી $W_{PQ} = W_{QR}$:
$2\sqrt{3} \mu mg = \mu mg x \implies x = 2\sqrt{3} \approx 3.46 \ m$.
કુલ ગુમાવેલી ઉર્જા કણની પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા જેટલી હોય છે: $W_{PQ} + W_{QR} = mgh$.
કારણ કે $W_{PQ} = W_{QR}$,તેથી $2 W_{PQ} = mgh$,જેનો અર્થ છે કે $W_{PQ} = mgh / 2$.
$2\sqrt{3} \mu mg = mgh / 2 \implies 2\sqrt{3} \mu = h / 2$.
$h = 2 \ m$ મૂકતા: $2\sqrt{3} \mu = 1 \implies \mu = 1 / (2\sqrt{3}) \approx 1 / 3.464 \approx 0.288 \approx 0.29$.
આમ,$\mu \approx 0.29$ અને $x \approx 3.5 \ m$.

(A) ધારો કે વેજનો વેગ $v$ છે અને વેજની સાપેક્ષ દડાનો વેગ ઢાળની દિશામાં $u$ છે.
ક્ષિતિજ સમાંતર દિશામાં વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m v - m(u \cos 45^{\circ} - v) = 0$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $v = u \cos 45^{\circ} - v$,તેથી $u \cos 45^{\circ} = 2v$ મળે છે.
આમ,જમીનની સાપેક્ષ દડાના વેગનો ક્ષિતિજ સમાંતર ઘટક $v_x = u \cos 45^{\circ} - v = 2v - v = v$ છે.
જમીનની સાપેક્ષ દડાના વેગનો શિરોલંબ ઘટક $v_y = u \sin 45^{\circ} = 2v$ છે (કારણ કે $\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ}$).
જમીન સાથે સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ પછી,વેગનો શિરોલંબ ઘટક ઉલટાઈ જાય છે,પરંતુ તેનું મૂલ્ય $v_y = 2v$ રહે છે.
દડા દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H = \frac{v_y^2}{2g} = \frac{(2v)^2}{2g} = \frac{4v^2}{2g} = \frac{2v^2}{g}$ થાય છે.

(A) શરૂઆતમાં,સિસ્ટમ સંતુલનમાં છે. ધારો કે દોરીમાં તણાવ $T$ છે. $4m$ દળની તકતી માટે,બે આધારભૂત દોરીઓમાં તણાવ $2T$ છે. તેથી,$2T = 4mg \implies T = 2mg$.
જ્યારે દોરી $3$ ને બાળવામાં આવે છે,ત્યારે $m$ દળનો બ્લોક પકડાયેલ રહેતો નથી. બ્લોક પર તણાવ $T$ લાગે છે. બ્લોક પરનું ઘર્ષણ બળ $f = \mu mg = 0.5 \times m \times 10 = 5m$ છે.
બ્લોક માટે ગતિનું સમીકરણ $T - f = ma_b$ છે. અહીં,ગતિના અવરોધને કારણે $a_b = 2a_d$ થાય છે.
તકતી માટે ગતિનું સમીકરણ: $4mg - 2T = 4ma_d$.
બ્લોક માટે: $T - 5m = m(2a_d) \implies T = 2ma_d + 5m$.
આ કિંમત તકતીના સમીકરણમાં મૂકતા: $40m - 2(2ma_d + 5m) = 4ma_d \implies 40m - 4ma_d - 10m = 4ma_d \implies 30m = 8ma_d \implies a_d = 3.75 \ m/s^2$. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,નજીકની પૂર્ણાંક કિંમત $4 \ m/s^2$ છે.

(B) ધારો કે ફુગ્ગા પર લાગતું પ્લાવક બળ $B$ છે. જ્યારે ફુગ્ગો $f$ પ્રવેગ સાથે નીચે ગતિ કરે છે,ત્યારે ગતિનું સમીકરણ: $Mg - B = Mf$ (સમીકરણ $1$).
ધારો કે દૂર કરવામાં આવતું દળ $m$ છે,તેથી બાકી રહેલું દળ $(M - m)$ છે. ધારો કે દૂર કરેલા દળનો અંશ $C$ છે,જેથી $m = CM$. નવું દળ $M(1 - C)$ થશે.
જ્યારે ફુગ્ગો $f$ પ્રવેગ સાથે ઉપર ગતિ કરે છે,ત્યારે ગતિનું સમીકરણ: $B - M(1 - C)g = M(1 - C)f$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ પરથી,$B = M(g - f)$.
$B$ ની કિંમત સમીકરણ $2$ માં મૂકતા: $M(g - f) - M(1 - C)g = M(1 - C)f$.
$M$ વડે ભાગતા: $(g - f) - (g - Cg) = f - Cf$.
$g - f - g + Cg = f - Cf$.
$Cg + Cf = 2f$.
$C(g + f) = 2f$.
તેથી,અંશ $C = \frac{2f}{g + f}$.

(C) ધારો કે સમઘનની બાજુની લંબાઈ $a$ છે. બળ $F$ ઉપરની ધાર પર,જમીનથી $a$ ઊંચાઈ પર લગાડવામાં આવે છે.
સમઘન ઉથલવાની તૈયારીમાં હોય ત્યારે,લંબબળ $N$ પાયાની આગળની ધાર પર લાગવું જોઈએ.
આગળની ધાર (ભ્રમણ બિંદુ) ની સાપેક્ષે ટોર્ક લેતા:
વજન $mg$ ને કારણે ટોર્ક $mg \times (a/2)$ (ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં) છે.
લગાડેલા બળ $F$ ને કારણે ટોર્ક $F \times a$ (ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં) છે.
સમઘન ઉથલવાની તૈયારીમાં હોય ત્યારે,વિરુદ્ધ દિશાનું ટોર્ક અને ઘડિયાળના કાંટાની દિશાનું ટોર્ક સમાન હોવું જોઈએ:
$F \times a = mg \times (a/2)$
$F = \frac{mg}{2}$
સમઘન ઉથલે તે પહેલાં સરકે નહીં તે માટે,લગાડેલું બળ $F$ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{max} = \mu N$ કરતા ઓછું અથવા સમાન હોવું જોઈએ.
ઉથલવાની તૈયારીમાં,$N = mg$ અને $f = F$ થાય.
તેથી,$F \leq \mu mg$.
$F = \frac{mg}{2}$ મૂકતા:
$\frac{mg}{2} \leq \mu mg$
$\mu \geq \frac{1}{2}$
આમ,સમઘન સરકવાને બદલે ઉથલે તે માટેની શરત $\mu \geq \frac{1}{2}$ છે.

(A) બ્લોક $A$ ને જમણી તરફ ખસેડવા માટે,સ્પ્રિંગમાં ઉદ્ભવતું તણાવ બળ $T$ એ લાગુ પાડેલા બળ $F$ અને ડાબી બાજુ લાગતા મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{max}$ બંને કરતા વધારે હોવું જોઈએ.
ઘર્ષણ બળ $f_{max} = \mu N = \mu mg$ છે.
બ્લોક $A$ જમણી તરફ ગતિ કરે તે માટે,તણાવ બળ $T$ એ $T \ge F + f_{max} = F + \mu mg$ શરતનું પાલન કરવું જોઈએ.
બ્લોક $B$ લટકતો હોવાથી,સ્પ્રિંગમાં તણાવ બળ $T$ એ બ્લોક $B$ ના વજન જેટલું હોય છે,એટલે કે $T = Mg$.
આ બંનેને સરખાવતા,આપણને $Mg \ge F + \mu mg$ મળે છે.
$g$ વડે ભાગતા,$M \ge \frac{F}{g} + \mu m$ મળે છે.
આમ,$M$ નું લઘુત્તમ મૂલ્ય $\frac{F}{g} + \mu m$ છે.

(C) ધારો કે સળિયાની લંબાઈ $L = 2\ell$ છે. વજન $Mg = 100 \, N$ કેન્દ્ર $M$ પર લાગે છે. આપેલ છે કે $BC = CM$,અને $M$ એ કેન્દ્ર હોવાથી $BM = L/2 = \ell$. તેથી $BC = CM = \ell/2$. અંતર $CM = \ell/2$. અંતર $MA = \ell$. અંતર $CA = CM + MA = \ell/2 + \ell = 3\ell/2$.
ભ્રમણીય સંતુલન માટે $C$ બિંદુને અનુલક્ષીને ટોર્ક લેતા:
$Mg \cdot (CM \sin \alpha) - F \cdot (CA) = 0$
$100 \cdot (\ell/2 \cdot \sin \alpha) = F \cdot (3\ell/2)$
$50 \sin \alpha = 1.5 F \implies F = \frac{100}{3} \sin \alpha$.
આપેલ છે $\tan \alpha = 4/3$,તેથી $\sin \alpha = 4/5$ અને $\cos \alpha = 3/5$.
$F = \frac{100}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{80}{3} \, N$.
સ્થળાંતરીય સંતુલન માટે,ધારો કે $N$ લંબબળ છે અને $f$ એ $C$ પરનું ઘર્ષણબળ છે:
$\sum F_y = 0 \implies N + F - Mg \cos \alpha = 0 \implies N = 100(3/5) - 80/3 = 60 - 26.67 = 33.33 \, N$.
$\sum F_x = 0 \implies f - Mg \sin \alpha = 0 \implies f = 100(4/5) = 80 \, N$.
ઘર્ષણાંકના ન્યૂનતમ મૂલ્ય માટે,$f = \mu N \implies \mu = f/N = 80 / (100/3) = 2.4$.

(A) ધારો કે તંત્રનો સામાન્ય પ્રવેગ $a$ છે.
$8 \, kg$ ના બ્લોક માટે,એકમાત્ર આડું બળ એ $2 \, kg$ ના બ્લોક દ્વારા લાગતું સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_s$ છે.
$f_s = m_2 a = 8a$.
$2 \, kg$ ના બ્લોક માટે,પરિણામી બળ $F - f_s = m_1 a$ છે.
$2t - 8a = 2a \implies 2t = 10a \implies a = \frac{t}{5}$.
જ્યારે સ્થિત ઘર્ષણ બળ તેના મહત્તમ મૂલ્ય સુધી પહોંચે ત્યારે બ્લોક્સ સરકવાનું શરૂ કરે છે: $f_{s,max} = \mu N = 0.2 \times 2 \times 10 = 4 \, N$.
$f_s = 8a = 4 \, N$ ને સરખાવતા,આપણને $a = 0.5 \, m/s^2$ મળે છે.
$a = \frac{t}{5}$ હોવાથી,$0.5 = \frac{t}{5} \implies t = 2.5 \, s$.
હવે,$a = \frac{dv}{dt} = \frac{t}{5}$. સમયની સાપેક્ષે સંકલન કરતા: $v = \int_0^t \frac{t}{5} dt = \frac{t^2}{10}$.
સ્થાનાંતર $x = \int_0^t v dt = \int_0^{2.5} \frac{t^2}{10} dt = \left[ \frac{t^3}{30} \right]_0^{2.5} = \frac{(2.5)^3}{30} = \frac{15.625}{30} = \frac{15625}{30000} = \frac{125}{240} \, m$.

(B) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,બળનો આડો ઘટક સપાટી પર પ્રવેગ $a_{acc}$ ઉત્પન્ન કરે છે:
$F \cos \theta = m \frac{dv}{dt}$
આપેલ છે કે $|F| = 2mb$ અને $\theta = a + bs$,તેથી:
$2mb \cos \theta = m \frac{dv}{dt} \implies \frac{dv}{dt} = 2b \cos \theta$
ચેઈન રૂલ $\frac{dv}{dt} = v \frac{dv}{ds}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$v \frac{dv}{ds} = 2b \cos \theta$
કારણ કે $\theta = a + bs$,તેથી $d\theta = b ds$,અથવા $ds = \frac{d\theta}{b}$. આ કિંમત મૂકતા:
$v dv = 2b \cos \theta \left( \frac{d\theta}{b} \right) = 2 \cos \theta d\theta$
બંને બાજુ પ્રારંભિક સ્થિતિ ($v=0$ જ્યારે $\theta=a$) થી અંતિમ સ્થિતિ ($v$ જ્યારે $\theta$) સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{0}^{v} v dv = \int_{a}^{\theta} 2 \cos \theta d\theta$
$\left[ \frac{v^2}{2} \right]_{0}^{v} = 2 [\sin \theta]_{a}^{\theta}$
$\frac{v^2}{2} = 2(\sin \theta - \sin a)$
$v^2 = 4(\sin \theta - \sin a)$
$v = 2(\sin \theta - \sin a)^{1/2}$

(A) $1$. ક્રેટને ઊભી રીતે મૂકવામાં આવે છે,તેથી તેનો પ્રારંભિક સમક્ષિતિજ વેગ $0$ છે. બેલ્ટ $v = 1.20\ m/s$ ના અચળ વેગથી ગતિ કરે છે.
$2$. ક્રેટ પર લાગતું ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu_k N = \mu_k mg = 0.400 \times 300\ kg \times 9.8\ m/s^2 = 1176\ N$ છે.
$3$. ક્રેટનો વેગ બેલ્ટના વેગ $v = 1.20\ m/s$ જેટલો ન થાય ત્યાં સુધી તે પ્રવેગિત થાય છે. લાગતો સમય $t = v/a$ છે,જ્યાં $a = f_k/m = \mu_k g = 0.400 \times 9.8 = 3.92\ m/s^2$. તેથી,$t = 1.20 / 3.92 \approx 0.306\ s$.
$4$. આ સમયગાળા દરમિયાન ક્રેટનું સ્થાનાંતર $s_c = \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2} \times 3.92 \times (0.306)^2 \approx 0.1837\ m$ છે.
$5$. આ સમયગાળા દરમિયાન બેલ્ટનું સ્થાનાંતર $s_b = v \times t = 1.20 \times 0.306 \approx 0.3673\ m$ છે.
$6$. મોટર દ્વારા કરવામાં આવતું કાર્ય ક્રેટ દ્વારા બેલ્ટ પર લાગતા ઘર્ષણ બળને દૂર કરવા માટે હોવું જોઈએ. ક્રેટ દ્વારા બેલ્ટ પર લાગતું બળ બેલ્ટની ગતિની દિશામાં $f_k$ છે. અચળ ઝડપ જાળવી રાખવા માટે મોટરે સમાન અને વિરુદ્ધ બળ લગાડવું પડે. આમ,$W_{motor} = f_k \times s_b = 1176\ N \times 0.3673\ m \approx 432\ J$.

(A) ધારો કે મણકાનું સ્થાન $O$ માંથી પસાર થતી આડી ધરી સાથે $\theta$ ખૂણે છે. $A$ થી મણકાનું અંતર $l_A = \sqrt{(r\cos\theta)^2 + (r\sin\theta - 0.5r)^2} = r\sqrt{1.25 - \sin\theta}$ છે.
તે જ રીતે,$B$ થી અંતર $l_B = r\sqrt{1.25 + \sin\theta}$ છે.
તંત્રની સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{1}{2}k(l_A^2 + l_B^2) = \frac{1}{2}kr^2(1.25 - \sin\theta + 1.25 + \sin\theta) = 1.25kr^2$ છે.
સ્થિતિઊર્જા $U$ એ સ્થાન $\theta$ થી સ્વતંત્ર અને અચળ હોવાથી,કુલ યાંત્રિક ઊર્જા $E = K + U$ મુજબ ગતિઊર્જા $K$ પણ અચળ રહેવી જોઈએ.
તેથી,ગતિ દરમિયાન મણકાની ઝડપ અચળ રહે છે.
આમ,મણકો અચળ ઝડપથી ગતિ કરે છે.

(D) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma = m(dv/dt)$,જેનો અર્થ છે કે $dv = (F/m) dt$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,વેગમાં ફેરફાર $\Delta v = \int (F/m) dt = (1/m) \int F dt$.
કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતો હોવાથી,કોઈપણ સમયે $t$ પર વેગ $v(t)$ એ તે સમય સુધીના બળ-સમયના આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$1$. શરૂઆતમાં,$F$ અચળ અને શૂન્યતર છે,તેથી પ્રવેગ $a = F/m$ અચળ છે. આનો અર્થ એ છે કે વેગ સમય સાથે રેખીય રીતે વધે છે $(v = at)$.
$2$. જે અંતરાલમાં $F$ વધે છે અને પછી ઘટે છે (ત્રિકોણાકાર પલ્સ),ત્યાં પ્રવેગ $a$ પણ વધે છે અને ઘટે છે. પરિણામે,વેગ-સમયના આલેખનો ઢાળ $(dv/dt = a)$ વધે છે અને પછી ઘટે છે,જેના કારણે $v-t$ આલેખ વક્ર (ઉપરની તરફ અંતર્ગોળ) બને છે.
$3$. પલ્સ પછી,$F$ તેના પ્રારંભિક અચળ મૂલ્ય પર પાછું આવે છે,તેથી પ્રવેગ ફરીથી અચળ બને છે,અને વેગ-સમયનો આલેખ પ્રારંભિક ભાગ જેવો જ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા બની જાય છે.
આ વર્તણૂકની આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,આલેખ $D$ યોગ્ય રીતે રેખીય વધારો,ત્યારબાદ વક્ર વિભાગ જ્યાં ઢાળ વધે છે અને ઘટે છે,અને અંતે મૂળ ઢાળ સાથે રેખીય વધારો દર્શાવે છે.

(D) શરૂઆતમાં,ગોળો સરક્યા વિના ગબડે છે. સંપર્ક બિંદુ $(ICR)$ ની સાપેક્ષે ટોર્ક $\tau_{ICR} = FR = I_{ICR} \alpha_{ang}$ છે,જ્યાં $I_{ICR} = I_{cm} + mR^2 = \frac{2}{5}mR^2 + mR^2 = \frac{7}{5}mR^2$ થાય.
તેથી,$\alpha_{ang} = \frac{FR}{I_{ICR}} = \frac{(\alpha t)R}{\frac{7}{5}mR^2} = \frac{5 \alpha t}{7mR}$ મળે.
રેખીય પ્રવેગ $a = \alpha_{ang} R = \frac{5 \alpha t}{7m}$ થાય.
$F - f = ma$ નો ઉપયોગ કરતા,$f = F - ma = \alpha t - \frac{5 \alpha t}{7} = \frac{2 \alpha t}{7}$ મળે.
ગબડવાની ગતિ ત્યાં સુધી ચાલુ રહે છે જ્યાં સુધી $f = \mu_s mg$ થાય,એટલે કે $\frac{2 \alpha t}{7} = \mu_s mg$,જે $t = \frac{7 \mu_s mg}{2 \alpha}$ આપે છે.
જ્યારે $t > \frac{7 \mu_s mg}{2 \alpha}$ થાય,ત્યારે ગોળો સરકવા લાગે છે અને ગતિક ઘર્ષણ $f_k = \mu_k mg$ લાગે છે.
નવો પ્રવેગ $a' = \frac{F - f_k}{m} = \frac{\alpha t - \mu_k mg}{m} = \frac{\alpha t}{m} - \mu_k g$ થાય.
ઢાળની સરખામણી કરતા: પ્રારંભિક ઢાળ $\frac{5 \alpha}{7m}$ છે અને અંતિમ ઢાળ $\frac{\alpha}{m}$ છે. કારણ કે $\frac{\alpha}{m} > \frac{5 \alpha}{7m}$,સરકવાનું શરૂ થયા પછી ઢાળ વધે છે. આ આલેખ $D$ ને અનુરૂપ છે.

(C) $1 \ kg$ નો બ્લોક ક્યારેય ગતિ ન કરે તે માટે,મહત્તમ સ્પ્રિંગ બળ તેના પર લાગતા સીમાંત ઘર્ષણ બળ કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ.
$F_{s,max} \le f_{l} = \mu m_{2} g$
$kx = \mu m_{2} g$
$8 \times x = 0.8 \times 1 \times 10$
$8x = 8 \implies x = 1 \ m$
હવે,$2 \ kg$ ના બ્લોક માટે કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય લાગુ કરો. જ્યારે $2 \ kg$ નો બ્લોક $x$ અંતર કાપે છે ત્યારે ઘર્ષણ દ્વારા થતું કાર્ય $W_{f} = -\mu m_{1} g x$ છે.
ઊર્જા સંતુલન: $\frac{1}{2} m_{1} u^{2} = \frac{1}{2} k x^{2} + \mu m_{1} g x$
$\frac{1}{2} \times 2 \times u^{2} = \frac{1}{2} \times 8 \times (1)^{2} + 0.8 \times 2 \times 10 \times 1$
$u^{2} = 4 + 16$
$u^{2} = 20$
$u = \sqrt{20} \ m/s$

(A) ખૂણો $\angle BAC = 60^o$ છે. ધારો કે તાર શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. તંત્ર સંમિત હોવાથી,$\theta = 30^o$ થશે.
દોરીમાં વિસ્તરણ $x = PQ - 2a$ છે. $\triangle APQ$ માં,$PQ = 2(3a) \sin(30^o) = 3a$. તેથી,$x = 3a - 2a = a$.
સ્પ્રિંગ બળ $F_s = kx = (\frac{mg}{a}) \cdot a = mg$ છે.
તારની દિશામાં રીંગ $P$ ના સંતુલન માટે: $mg \cos(30^o) - f - F_s \sin(30^o) = 0$.
$f = mg \frac{\sqrt{3}}{2} - mg \cdot \frac{1}{2} = mg \frac{\sqrt{3}-1}{2}$.
તારને લંબ દિશામાં સંતુલન માટે: $N - mg \sin(30^o) - F_s \cos(30^o) = 0$.
$N = mg \cdot \frac{1}{2} + mg \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = mg \frac{1+\sqrt{3}}{2}$.
સીમાંત ઘર્ષણ માટે,$f = \mu N$,તેથી $\mu = \frac{f}{N} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{3-1} = \frac{4-2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$.
આમ,$\mu + \sqrt{3} = (2 - \sqrt{3}) + \sqrt{3} = 2$.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 7 \, kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 5 \, m/s$. પ્રારંભિક વેગમાન $p_i = m \times u = 7 \times 5 = 35 \, kg \cdot m/s$.
બળ ગતિની દિશાની વિરુદ્ધ હોવાથી,આપણે બળને ઋણ લઈશું: $F = -F_{graph}$.
આઘાત $J = \int F \, dt = -(F-t \text{ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ})$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (10 + 4) \times 10 = \frac{1}{2} \times 14 \times 10 = 70 \, N \cdot s$.
તેથી,વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta p = -70 \, kg \cdot m/s$.
અંતિમ વેગમાન $p_f = p_i + \Delta p = 35 - 70 = -35 \, kg \cdot m/s$.
અંતિમ વેગ $v = \frac{p_f}{m} = \frac{-35}{7} = -5 \, m/s$.
$v = -5 \, m/s$ હોવાથી,ઝડપ $|v| = 5 \, m/s$ છે (વિકલ્પ $A$ સાચો છે).
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે ગતિની દિશા ઉલટાઈ ગઈ છે (વિકલ્પ $B$ સાચો છે).
$t = 5 \, s$ સમયે,આઘાત $\int_0^5 F \, dt = 0 \text{ થી } 3 \text{ સુધીના સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ} + 3 \text{ થી } 5 \text{ સુધીના લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times 3 \times 10 + 2 \times 10 = 15 + 20 = 35 \, N \cdot s$.
$t = 5 \, s$ સમયે વેગમાન $p(5) = p_i - 35 = 35 - 35 = 0$. આમ,કણ ક્ષણિક સ્થિર છે (વિકલ્પ $C$ સાચો છે).
તેથી,બધા વિકલ્પો સાચા છે.

(A) ધારો કે $M$ દળના સળિયાનો નીચેની તરફનો પ્રવેગ $a_1$ છે અને $m$ દળના મણકાનો જમીનની સાપેક્ષ નીચેની તરફનો પ્રવેગ $a_2$ છે.
$M$ દળના સળિયા માટે,તેના પર લાગતા બળો તેનું વજન $Mg$ નીચેની તરફ અને તણાવ બળ $T_{s}$ ઉપરની તરફ છે. ગતિનું સમીકરણ:
$Mg - T_{s} = Ma_1$ --- $(i)$
$m$ દળના મણકા માટે,તેના પર લાગતા બળો તેનું વજન $mg$ નીચેની તરફ,તણાવ બળ $T_{s}$ ઉપરની તરફ અને ઘર્ષણ બળ $F$ ઉપરની તરફ છે. ગતિનું સમીકરણ:
$mg - T_{s} - F = ma_2$ --- (ii)
દોરી અદબનીય હોવાથી,તણાવ $T_{s}$ બંને બાજુ સમાન રહેશે. સમીકરણ $(i)$ પરથી,$T_{s} = M(g - a_1)$. આ કિંમત (ii) માં મૂકતા:
$mg - M(g - a_1) - F = ma_2$
$Ma_1 - ma_2 = F + (M - m)g$ --- (iii)
મણકાનો સળિયાની સાપેક્ષ પ્રવેગ $a_{rel}$ છે. મણકો $T$ સમયમાં $l$ અંતર કાપે છે:
$l = \frac{1}{2} a_{rel} T^2 \implies a_{rel} = \frac{2l}{T^2}$
$a_{rel} = a_2 - a_1$ હોવાથી,$a_2 = a_1 + \frac{2l}{T^2}$.
આ કિંમત (iii) માં મૂકતા,આપણને ઘર્ષણ બળ $F = \frac{2Mm}{M-m} \frac{l}{T^2}$ મળે છે.

(B) તંત્રનું કુલ દળ $M = 2\,kg + 3\,kg + 7\,kg = 12\,kg$ છે.
લગાડેલ બળ $F = 10\,N$ છે.
$2\,kg$ અને $3\,kg$ ના બ્લોક્સ વચ્ચેનું મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ: $f_{max1} = \mu_1 N_1 = 0.2 \times 2 \times 10 = 4\,N$.
$3\,kg$ અને $7\,kg$ ના બ્લોક્સ વચ્ચેનું મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ: $f_{max2} = \mu_2 N_2 = 0.3 \times (2+3) \times 10 = 15\,N$.
$3\,kg$ ના બ્લોક પર $F = 10\,N$ બળ લગાડવામાં આવે છે,તેથી તપાસીએ કે શું બધા બ્લોક્સ સાથે ગતિ કરે છે. જો તેઓ સાથે ગતિ કરે,તો સામાન્ય પ્રવેગ $a = \frac{F}{M} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}\,m/s^2$ થાય.
$2\,kg$ ના બ્લોકને તંત્ર સાથે ગતિ કરવા માટે જરૂરી બળ $f_1 = m_1 a = 2 \times \frac{5}{6} = \frac{5}{3} \approx 1.67\,N$ છે. $1.67\,N < 4\,N$ હોવાથી,$2\,kg$ નો બ્લોક $3\,kg$ ના બ્લોક સાથે ગતિ કરશે.
$7\,kg$ ના બ્લોકને તંત્ર સાથે ગતિ કરવા માટે જરૂરી બળ $f_2 = (m_1 + m_2) a = 5 \times \frac{5}{6} = \frac{25}{6} \approx 4.17\,N$ છે. $4.17\,N < 15\,N$ હોવાથી,$7\,kg$ નો બ્લોક પણ તંત્ર સાથે ગતિ કરશે.
આમ,બધા બ્લોક્સ $a = \frac{5}{6}\,m/s^2$ ના પ્રવેગ સાથે સાથે ગતિ કરે છે.

(C) જ્યારે દૂધને વલોવવામાં આવે છે,ત્યારે તે વર્તુળાકાર ગતિ કરે છે. ક્રીમના કણો દૂધ કરતા હલકા હોવાથી,તેમને વર્તુળાકાર ગતિ જાળવી રાખવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ ઓછું અનુભવાય છે. પરિણામે,કેન્દ્રત્યાગી બળને કારણે તેઓ પાત્રની બહારની ધારથી કેન્દ્ર તરફ ધકેલાય છે,જે ફરતી સંદર્ભ ફ્રેમમાં કાર્ય કરતું એક આભાસી બળ છે.

(A) ધારો કે દોરીમાં તણાવ $T$ છે. મણકા $B$ માટે,તેના પર લાગતા બળો તેનું વજન $mg$ નીચેની તરફ,દોરીમાં તણાવ $T$ અને રીંગ દ્વારા લંબબળ $N_B$ છે. મણકા $B$ પાસે ઘર્ષણ ન હોવાથી,દોરી શિરોલંબ $AC$ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે કારણ કે $\triangle ABC$ એ સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ છે $(AC=BC=R)$.
મણકા $B$ માટે શિરોલંબ દિશામાં બળોનું સંતુલન: $T \cos(45^{\circ}) = mg \implies T = \sqrt{2}mg$.
મણકા $A$ માટે,બળો તેનું વજન $mg$ નીચેની તરફ,દોરીમાં તણાવ $T$ શિરોલંબ સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે,રીંગ દ્વારા લંબબળ $N_A$ અને સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_s$ છે.
મણકા $A$ માટે સમક્ષિતિજ દિશામાં બળોનું સંતુલન: $N_A = T \sin(45^{\circ}) = (\sqrt{2}mg) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = mg$.
શિરોલંબ દિશામાં બળોનું સંતુલન: $f_s + T \cos(45^{\circ}) = mg \implies f_s + mg = mg \implies f_s = 0$. આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $\mu = 1/2$ છે.

(A) તંત્ર (ટ્રક + વાંદરો) પર કોઈ બાહ્ય આડું બળ લાગતું ન હોવાથી,તંત્રનું રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
પ્રારંભિક વેગમાન $P_i = 0$.
ધારો કે $v_m$ એ જમીનની સાપેક્ષમાં વાંદરાનો આગળની દિશામાં વેગ છે.
ધારો કે $v$ એ ટ્રકનો પાછળની દિશામાં વેગ છે.
અંતિમ વેગમાન $P_f = m v_m - M v = 0$.
તેથી,$v_m = \frac{Mv}{m}$.
ટ્રકની સાપેક્ષમાં વાંદરાનો વેગ $v_{rel} = v_m - (-v) = v_m + v$ થાય.
$v_m$ ની કિંમત મૂકતા,$v_{rel} = \frac{Mv}{m} + v = v \left( 1 + \frac{M}{m} \right)$ મળે.

(A) બ્લોક એક લિફ્ટની અંદર છે જે $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે.
$1$. દોરામાં તણાવ $T$ ની ગણતરી કરો:
બ્લોક માટે ન્યૂટનના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$T - mg = ma$,જે આપણને $T = m(g + a)$ આપે છે.
$2$. $t$ સેકન્ડમાં બ્લોકનું સ્થાનાંતર $S$ શોધો:
પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ અને પ્રવેગ $a$ હોવાથી,સ્થાનાંતર $S = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2}at^2$ થશે.
$3$. તણાવ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_T$ શોધો:
કાર્યનું સૂત્ર $W_T = T \cdot S \cdot \cos(0^\circ) = T \cdot S$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$W_T = m(g + a) \cdot \frac{1}{2}at^2 = \frac{m}{2}(g + a)at^2$.

(B) બહિર્ગોળ પુલ માટે,ચોખ્ખું કેન્દ્રગામી બળ વજન અને લંબ પ્રતિક્રિયા વચ્ચેના તફાવત દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે: $Mg - N = \frac{mv^2}{R}$.
આમ,$N = Mg - \frac{mv^2}{R}$,જે સૂચવે છે કે $N < Mg$. કાર હલકી અનુભવાય છે.
અંતર્ગોળ પુલ માટે,ચોખ્ખું કેન્દ્રગામી બળ લંબ પ્રતિક્રિયા અને વજન વચ્ચેના તફાવત દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે: $N - Mg = \frac{mv^2}{R}$.
આમ,$N = Mg + \frac{mv^2}{R}$,જે સૂચવે છે કે $N > Mg$. કાર ભારે અનુભવાય છે.
તેથી,વિધાન $B$ ખોટું છે કારણ કે બહિર્ગોળ પુલ પર કાર ભારે નહીં પણ હલકી હોય છે.

(C) આ તંત્રમાં ત્રણ દળ $m_1, m_2, m_3$ એક દોરી વડે જોડાયેલા છે.
દળ $m_1$ શિરોલંબ લટકે છે,તેથી ગતિ કરાવતું બળ તેનું વજનબળ $m_1 g$ છે.
દળ $m_2$ અને $m_3$ ખરબચડી સમક્ષિતિજ સપાટી પર છે,તેથી વિરોધ કરતું ઘર્ષણબળ $f = \mu(m_2 + m_3)g$ છે.
તંત્ર પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = m_1 g - \mu(m_2 + m_3)g$ છે.
તંત્રનું કુલ દળ $M_{total} = m_1 + m_2 + m_3$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પ્રવેગ $a = \frac{F_{net}}{M_{total}} = \frac{m_1 g - \mu(m_2 + m_3)g}{m_1 + m_2 + m_3}$ થાય.
આપેલ છે કે $m_1 = m_2 = m_3 = m$,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$a = \frac{mg - \mu(m + m)g}{m + m + m} = \frac{mg - 2\mu mg}{3m} = \frac{mg(1 - 2\mu)}{3m} = \frac{g(1 - 2\mu)}{3}$.

(B) આપેલ છે: બળ $F = 5\,N$,દળ $m = 5\,kg$. પ્રવેગ $a = F/m = 5/5 = 1\,m/s^2$.
કિસ્સો $1$: સમય $t = 1\,s$. પ્રારંભિક વેગ $u = 0$. અંતિમ વેગ $v_1 = u + at = 0 + (1)(1) = 1\,m/s$. વેગમાન $p = mv_1 = 5 \times 1 = 5\,kg\cdot m/s$. ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2}mv_1^2 = \frac{1}{2} \times 5 \times (1)^2 = 2.5\,J$.
કિસ્સો $2$: સ્થાનાંતર $s = 1\,m$. $v_2^2 - u^2 = 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,$v_2^2 = 0 + 2(1)(1) = 2$,તેથી $v_2 = \sqrt{2} \approx 1.414\,m/s$. વેગમાન $p' = mv_2 = 5 \times 1.414 = 7.07\,kg\cdot m/s$. ગતિઊર્જા $E' = \frac{1}{2}mv_2^2 = \frac{1}{2} \times 5 \times 2 = 5\,J$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $p = 5$ અને $p' = 7.07$,તેથી $p < p'$. $E = 2.5$ અને $E' = 5$,તેથી $E < E'$.
તેથી,સાચો સંબંધ $p < p'$ અને $E < E'$ છે.

(C) ધારો કે બ્લોકનું દળ $m$ છે અને સ્થિત ઘર્ષણાંક $\mu_s$ છે. જ્યાં સુધી લાગતું બળ $F = kt$ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{s,max} = \mu_s mg$ કરતા ઓછું કે તેના જેટલું હોય ત્યાં સુધી બ્લોક સ્થિર રહે છે.
આમ,બ્લોક $t_0 = \frac{\mu_s mg}{k}$ સમયે ગતિ કરવાનું શરૂ કરે છે.
$t < t_0$ માટે,વેગ $v = 0$ છે.
$t > t_0$ માટે,બ્લોક પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = F - f_k = kt - \mu_k mg$ છે,જ્યાં $\mu_k$ એ ગતિક ઘર્ષણાંક છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$ma = kt - \mu_k mg$,તેથી પ્રવેગ $a = \frac{k}{m}t - \mu_k g$ થાય.
પ્રવેગ $a$ એ સમય $t$ નું રેખીય વિધેય હોવાથી,વેગ $v = \int a \, dt = \int (\frac{k}{m}t - \mu_k g) \, dt = \frac{k}{2m}t^2 - \mu_k gt + C$ મળે.
આ $t_0$ થી શરૂ થતો પરવલયાકાર વક્ર દર્શાવે છે.

(A) બ્લોક $A$ માટે (દળ $m = 5\,kg$,ખૂણો $\theta_A = 37^{\circ}$):
લંબબળ $N_A = mg \cos 37^{\circ} = 5 \times 10 \times 0.8 = 40\,N$.
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ $(f_{\max})_A = \mu N_A = 0.5 \times 40 = 20\,N$.
ઢળતી સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $W_A = mg \sin 37^{\circ} = 5 \times 10 \times 0.6 = 30\,N$.
બ્લોક $B$ માટે (દળ $m = 5\,kg$,ખૂણો $\theta_B = 53^{\circ}$):
લંબબળ $N_B = mg \cos 53^{\circ} = 5 \times 10 \times 0.6 = 30\,N$.
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ $(f_{\max})_B = \mu N_B = 0.5 \times 30 = 15\,N$.
ઢળતી સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $W_B = mg \sin 53^{\circ} = 5 \times 10 \times 0.8 = 40\,N$.
અહીં $W_B > W_A$ હોવાથી,બ્લોક $B$ નીચે તરફ ગતિ કરવાનો પ્રયત્ન કરશે. તંત્ર સંતુલનમાં છે કારણ કે ચોખ્ખું બળ $(W_B - W_A = 10\,N)$ એ કુલ મહત્તમ ઘર્ષણ $(f_{\max})_A + (f_{\max})_B = 35\,N$ કરતા ઓછું છે.
બ્લોક $B$ માટે: $W_B - T - f_B = 0 \Rightarrow 40 - T - f_B = 0 \Rightarrow T + f_B = 40$.
બ્લોક $A$ માટે: $T - W_A - f_A = 0 \Rightarrow T - 30 - f_A = 0 \Rightarrow T = 30 + f_A$.
તંત્ર સ્થિર હોવાથી,$f_B$ તેનું મહત્તમ મૂલ્ય ધારણ કરશે: $f_B = 15\,N$.
$B$ ના સમીકરણમાં $f_B = 15\,N$ મૂકતા: $T + 15 = 40 \Rightarrow T = 25\,N$.
હવે,$T = 30 + f_A$ નો ઉપયોગ કરીને $f_A$ શોધો: $25 = 30 + f_A \Rightarrow f_A = -5\,N$. ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે ઘર્ષણ ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે. આમ,મૂલ્ય $5\,N$ છે.

(A) ગોળીનું દળ $m = 20 \, g = 0.02 \, kg$.
ગોળીનો પ્રારંભિક વેગ $u_1 = 500 \, m/s$.
બ્લોકનું દળ $M = 10.0 \, kg$.
બ્લોકનો પ્રારંભિક વેગ $u_2 = 0 \, m/s$.
ગોળીનો અંતિમ વેગ $v_1 = 100 \, m/s$.
ધારો કે બ્લોકનો અંતિમ વેગ $v_2$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m u_1 + M u_2 = m v_1 + M v_2$
$0.02 \times 500 + 10 \times 0 = 0.02 \times 100 + 10 \times v_2$
$10 = 2 + 10 v_2$
$10 v_2 = 8 \implies v_2 = 0.8 \, m/s$.
હવે,બ્લોક સ્થિર થાય તે પહેલાં $d = 20 \, cm = 0.2 \, m$ જેટલું અંતર કાપે છે. કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
ગતિઊર્જામાં ફેરફાર = ઘર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય
$0 - \frac{1}{2} M v_2^2 = -f_k \times d$
$-\frac{1}{2} \times 10 \times (0.8)^2 = -(\mu M g) \times 0.2$
$5 \times 0.64 = \mu \times 10 \times 10 \times 0.2$
$3.2 = \mu \times 20$
$\mu = \frac{3.2}{20} = 0.16$.
આમ,ઘર્ષણાંક $0.16$ છે.

(D) ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,જ્યારે કારનું એન્જિન પૈડાંને ફેરવે છે,ત્યારે ટાયર રસ્તા પર પાછળની દિશામાં બળ લગાડે છે.
તેના જવાબમાં,રસ્તો કારના ટાયર પર સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં આગળની તરફ બળ લગાડે છે.
રસ્તા દ્વારા કાર પર લાગતું આ બાહ્ય બળ કારના પ્રવેગ માટે જવાબદાર છે.

(B) ધારો કે તંત્રનો પ્રવેગ $a$ છે. કુલ દળ $(M + m + M')$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = (M + m + M')a$,તેથી $a = \frac{F}{M + m + M'}$.
$M'$ ની મુક્ત પદાર્થ આકૃતિ $(FBD)$ ધ્યાનમાં લેતા:
$M'$ પર લાગતું એકમાત્ર સમક્ષિતિજ બળ $m$ દ્વારા લાગતું સંપર્ક બળ $N'$ છે.
તેથી,$N' = M' a = \frac{M' F}{M + m + M'}$.
$M$ ની મુક્ત પદાર્થ આકૃતિ $(FBD)$ ધ્યાનમાં લેતા:
$M$ પર લાગતા બળો લાગુ પાડેલ બળ $F$ અને વિરુદ્ધ દિશામાં $m$ દ્વારા લાગતું સંપર્ક બળ $N$ છે.
તેથી,$F - N = M a$,જે આપે છે $N = F - M a = F - \frac{M F}{M + m + M'} = F \left(1 - \frac{M}{M + m + M'}\right) = F \left(\frac{m + M'}{M + m + M'}\right)$.
$N$ અને $N'$ ની સરખામણી કરતા:
$N = \frac{(m + M') F}{M + m + M'}$ અને $N' = \frac{M' F}{M + m + M'}$.
કારણ કે $m > 0$,તેથી $(m + M') > M'$,પરિણામે $N > N'$.

(A) $1$. જો કાગળ અને દડા વચ્ચે કોઈ ઘર્ષણ ન હોય,તો કાગળ દડા પર કોઈ આડું બળ લગાડતું નથી. ન્યૂટનના પ્રથમ નિયમ મુજબ,દડો ટેબલની સાપેક્ષમાં સ્થિર રહેશે. આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
$2$. જો કાગળ અને દડા વચ્ચે ઘર્ષણ હોય,તો કાગળ દડા પર તેની ગતિની દિશામાં (જમણી તરફ) ગતિજ ઘર્ષણ બળ લગાડે છે. આ બળ સંપર્ક બિંદુ પર લાગે છે. આ દડાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે છે,જેના કારણે તે ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ફરે છે (પાછળની તરફ ગબડે છે). તે જ સમયે,ઘર્ષણ બળ તેને જમણી તરફ રેખીય પ્રવેગ આપે છે. જોકે,પ્રશ્ન ટેબલની સાપેક્ષમાં ગતિ વિશે પૂછે છે. દડો જમણી તરફ જશે,ડાબી તરફ નહીં. તેથી,વિધાન $(B)$ ખોટું છે.
$3$. વિધાન $(C)$ સાચું છે કારણ કે ઘર્ષણ બળ કાગળની ગતિની દિશામાં લાગે છે,જેના કારણે દડો ટેબલની સાપેક્ષમાં આગળ (જમણી તરફ) ખસે છે.
$4$. આમ,$(A)$ અને $(C)$ સાચા છે.

(C) સ્નિગ્ધ માધ્યમમાં ઊભી રીતે નીચે પડતા બિંદુવત દળ $m$ માટે,તેના પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ ($mg$ નીચેની તરફ) અને સ્નિગ્ધ અવરોધક બળ ($kv$ ઉપરની તરફ) છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,ગતિનું સમીકરણ છે: $ma = mg - kv$.
આમ,પ્રવેગ $a = g - (k/m)v$ છે.
$t = 0$ સમયે,$v = 0$ છે,તેથી પ્રારંભિક પ્રવેગ $a = g$ (મહત્તમ) છે.
જેમ જેમ ઝડપ $v$ વધે છે,તેમ અવરોધક બળ $kv$ વધે છે,જેના કારણે પ્રવેગ $a$ ઘટે છે.
અંતે,ઝડપ ટર્મિનલ વેગ $v_t = mg/k$ સુધી પહોંચે છે,જ્યાં પ્રવેગ $a$ શૂન્ય થઈ જાય છે.
તેથી,ઝડપ $v$ એ $0$ થી વધીને અચળ મૂલ્ય $v_t$ ની નજીક પહોંચે છે,જ્યારે પ્રવેગ $a$ એ $g$ થી ઘટીને $0$ ની નજીક પહોંચે છે.
આપેલા આલેખો સાથે સરખામણી કરતા,આલેખ $C$ યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે કે ઝડપ $v$ અચળ મૂલ્ય તરફ વધે છે અને પ્રવેગ $a$ શૂન્ય તરફ ઘટે છે.

(A) આપેલ બળનો નિયમ $F = \frac{R}{t^2} v(t)$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = m \frac{dv}{dt}$,તેથી:
$m \frac{dv}{dt} = \frac{R}{t^2} v(t)$
પદોને સંકલન માટે ગોઠવતા:
$\frac{dv}{v} = \frac{R}{m} \frac{dt}{t^2}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{dv}{v} = \frac{R}{m} \int t^{-2} dt$
$\ln v = \frac{R}{m} (-\frac{1}{t}) + C$
અહીં,$\ln v$ એ $\frac{1}{t}$ નું સુરેખ વિધેય છે.
તેથી,$\ln v(t)$ ને $\frac{1}{t}$ ની સાપેક્ષમાં આલેખવાથી સીધી રેખા મળે છે,જે આ નિયમની ચકાસણી કરવાની શ્રેષ્ઠ રીત છે.

(D) ધારો કે $M = 10\,kg$ અને $m = 0.05\,kg.$ અથડામણ દરમિયાન રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$mv = (M + m)V_0$
$V_0 = \frac{mv}{M + m} = \frac{0.05v}{10.05} \approx \frac{0.05v}{10} = 0.005v$
બ્લોક ઘર્ષણને કારણે અટકે તે પહેલાં $s = 2\,m$ અંતર કાપે છે. પ્રતિપ્રવેગ $a$:
$a = \mu g = 0.05 \times 10 = 0.5\,m/s^2$
$v_f^2 - u^2 = 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 - V_0^2 = 2(-a)s \implies V_0^2 = 2as = 2 \times 0.5 \times 2 = 2$
$V_0 = \sqrt{2}\,m/s$
$V_0 = \frac{0.05v}{10.05} \approx 0.005v$ હોવાથી,$0.005v = \sqrt{2} \implies v = 200\sqrt{2}\,m/s$.
મુક્ત પતન કરતા પદાર્થ માટે,$v_{final} = \sqrt{2gH}$. આપેલ છે કે $v_{final} = \frac{v}{10} = \frac{200\sqrt{2}}{10} = 20\sqrt{2}\,m/s$:
$20\sqrt{2} = \sqrt{2 \times 10 \times H}$
$(20\sqrt{2})^2 = 20H$
$400 \times 2 = 20H \implies 800 = 20H \implies H = 40\,m = 0.04\,km$.

(B) જ્યાં સુધી લાગુ પડતું બળ $F = kt$ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ $f_{s,max} = \mu_s N = \mu_s mg$ કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોય ત્યાં સુધી બ્લોક સ્થિર રહે છે.
તેથી,$t \le \frac{\mu_s mg}{k}$ માટે,પ્રવેગ $a = 0$ છે.
એકવાર $t > \frac{\mu_s mg}{k}$ થાય,ત્યારે બ્લોક ગતિ કરવાનું શરૂ કરે છે,અને તેના પર ગતિક ઘર્ષણ $f_k = \mu_k N = \mu_k mg$ લાગે છે.
ગતિનું સમીકરણ $F - f_k = ma$ છે,જે $kt - \mu_k mg = ma$ આપે છે.
તેથી,પ્રવેગ $a = \frac{k}{m}t - \mu_k g$ છે.
આ દર્શાવે છે કે $t > \frac{\mu_s mg}{k}$ માટે,પ્રવેગ $a$ એ સમય $t$ સાથે ધન ઢાળ $\frac{k}{m}$ સાથે રેખીય રીતે વધે છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,આલેખ $(b)$ આ વર્તણૂકને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(A) તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે,એટલે કે $P_i = 0$.
સ્પ્રિંગ બળ એ આંતરિક બળ હોવાથી,મુક્તિ દરમિયાન તંત્રનું રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
ધારો કે મુક્તિ પછી તરત જ $m_1$ અને $m_2$ દળ દ્વારા પ્રાપ્ત વેગ $v_1$ અને $v_2$ છે. રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m_1 v_1 = m_2 v_2$,જેનો અર્થ થાય છે $\frac{v_1}{v_2} = \frac{m_2}{m_1}$.
જ્યારે બ્લોક્સ સપાટી પર ગતિ કરે છે,ત્યારે ઘર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય દરેક બ્લોકની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા જેટલું હોય છે.
બ્લોક $1$ માટે: $\mu m_1 g x_1 = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 \Rightarrow x_1 = \frac{v_1^2}{2 \mu g}$.
બ્લોક $2$ માટે: $\mu m_2 g x_2 = \frac{1}{2} m_2 v_2^2 \Rightarrow x_2 = \frac{v_2^2}{2 \mu g}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{x_1}{x_2} = \frac{v_1^2}{v_2^2}$.
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{m_2}{m_1}$ મૂકતા,આપણને $\frac{x_1}{x_2} = \left( \frac{m_2}{m_1} \right)^2$ મળે છે.

(C) વિધાન $1$ સાચું છે કારણ કે ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,દરેક ક્રિયા માટે સમાન અને વિરુદ્ધ પ્રતિક્રિયા હોય છે. જ્યારે તમે ગાડીને ધક્કો મારો છો,ત્યારે તે તમારા પર સમાન અને વિરુદ્ધ બળ લગાડે છે.
વિધાન $2$ ખોટું છે. ગાડી હલનચલન કરતી નથી કારણ કે ગાડી પર લાગતું ચોખ્ખું બાહ્ય બળ શૂન્ય છે. તમે ગાડી પર જે બળ લગાડો છો અને ઘોડો ગાડી પર જે બળ લગાડે છે તે સ્થિર ઘર્ષણ અથવા ઘોડાના વિરોધી બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે,નહીં કે ક્રિયા-પ્રતિક્રિયાની જોડી એકબીજાને રદ કરે છે. ક્રિયા અને પ્રતિક્રિયા બળો અલગ-અલગ પદાર્થો પર કાર્ય કરે છે,તેથી તેઓ ક્યારેય એકબીજાને રદ કરી શકતા નથી.

(C) દોરીમાં લંબગત તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
જ્યારે કાર સ્થિર હોય,ત્યારે તણાવ $T_1 = Mg$. તેથી,$60 = \sqrt{\frac{Mg}{\mu}}$.
જ્યારે કાર $a$ પ્રવેગ સાથે ગતિ કરે છે,ત્યારે અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = \sqrt{g^2 + a^2}$ થાય છે. તણાવ $T_2 = M\sqrt{g^2 + a^2}$ બને છે.
તેથી,$60.5 = \sqrt{\frac{M\sqrt{g^2 + a^2}}{\mu}}$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{60.5}{60} = \sqrt{\frac{\sqrt{g^2 + a^2}}{g}} = \left(\frac{g^2 + a^2}{g^2}\right)^{1/4}$.
બંને બાજુ $4$ ઘાત લેતા: $\left(1 + \frac{0.5}{60}\right)^4 = 1 + \frac{a^2}{g^2}$.
નાના $x$ માટે દ્વિપદી અંદાજ $(1+x)^n \approx 1+nx$ નો ઉપયોગ કરતા: $1 + 4 \times \frac{0.5}{60} = 1 + \frac{a^2}{g^2}$.
$\frac{2}{60} = \frac{a^2}{g^2} \Rightarrow \frac{a^2}{g^2} = \frac{1}{30}$.
$a = \frac{g}{\sqrt{30}} \approx \frac{g}{5.47} \approx \frac{g}{5}$.

(D) કિસ્સો $(A)$ (ધકેલવું):
લંબબળ: $N_1 = mg + F \sin 30^o = 5 \times 10 + 20 \times 0.5 = 50 + 10 = 60\, N$.
સમક્ષિતિજ બળ: $F_x = F \cos 30^o = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}\, N$.
ઘર્ષણબળ: $f_1 = \mu N_1 = 0.2 \times 60 = 12\, N$.
પ્રવેગ: $a_1 = \frac{F_x - f_1}{m} = \frac{10\sqrt{3} - 12}{5} = 2\sqrt{3} - 2.4 \approx 1.064\, ms^{-2}$.
કિસ્સો $(B)$ (ખેંચવું):
લંબબળ: $N_2 = mg - F \sin 30^o = 5 \times 10 - 20 \times 0.5 = 50 - 10 = 40\, N$.
સમક્ષિતિજ બળ: $F_x = F \cos 30^o = 10\sqrt{3}\, N$.
ઘર્ષણબળ: $f_2 = \mu N_2 = 0.2 \times 40 = 8\, N$.
પ્રવેગ: $a_2 = \frac{F_x - f_2}{m} = \frac{10\sqrt{3} - 8}{5} = 2\sqrt{3} - 1.6 \approx 1.864\, ms^{-2}$.
તફાવત: $a_2 - a_1 = (2\sqrt{3} - 1.6) - (2\sqrt{3} - 2.4) = 0.8\, ms^{-2}$.

(D) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ બ્લોક પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = ma$ છે.
અહીં,બાહ્ય બળ $F$ અને ઘર્ષણ બળ $f = \mu mg$ બ્લોક પર લાગે છે.
તેથી,$F - f = ma$,જેનો અર્થ છે કે $F = ma + f = ma + \mu mg = m(a + \mu g)$.
બ્લોક સ્થિર સ્થિતિમાંથી $a$ જેટલા અચળ પ્રવેગથી ગતિ શરૂ કરે છે,તેથી $t$ સમય પછી તેનો વેગ $v = at$ થશે.
બાહ્ય બળ દ્વારા આપવામાં આવતો પાવર $P = F \cdot v$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$P = m(a + \mu g) \cdot (at) = m(a + \mu g)at$ મળે છે.

(B) ધારો કે $F$ એ ફુગ્ગા પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ (upthrust) છે.
જ્યારે ફુગ્ગો $\alpha$ પ્રવેગથી નીચે ઉતરે છે,ત્યારે પરિણામી બળનું સમીકરણ:
$Mg - F = M\alpha$ --- $(i)$
જ્યારે $m$ દળ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે ફુગ્ગાનું નવું દળ $(M - m)$ થાય છે. તે $\alpha$ પ્રવેગથી ઉપર ચઢે છે,તેથી પરિણામી બળનું સમીકરણ:
$F - (M - m)g = (M - m)\alpha$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$F = Mg - M\alpha = M(g - \alpha)$.
આ $F$ ની કિંમત સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$M(g - \alpha) - (M - m)g = (M - m)\alpha$
$Mg - M\alpha - Mg + mg = M\alpha - m\alpha$
$mg + m\alpha = 2M\alpha$
$m(g + \alpha) = 2M\alpha$
$m = \left[ \frac{2\alpha}{\alpha + g} \right] M$

(C) જ્યારે સ્પ્રિંગ મુક્ત થાય છે,ત્યારે તે બંને ગાડીઓ પર સમાન આઘાત $J = F \cdot t$ લગાડે છે. બળો સમાન હોવાથી અને સમાન સમય માટે લાગતા હોવાથી,બંને ગાડીઓ સમાન મૂલ્યનું વેગમાન $p = m_1 v_1 = m_2 v_2$ પ્રાપ્ત કરે છે.
દરેક ગાડી પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $f = \mu m g$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,ઘર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = \Delta K$.
$f \cdot s = \frac{p^2}{2m} \implies \mu m g s = \frac{p^2}{2m}$.
સ્થાનાંતર $s$ માટે ઉકેલતા: $s = \frac{p^2}{2 \mu m^2 g}$.
અહીં $p$,$\mu$ અને $g$ બંને ગાડીઓ માટે સમાન હોવાથી,$s \propto \frac{1}{m^2}$ થાય.
તેથી,સ્થાનાંતરનો ગુણોત્તર $\frac{s_1}{s_2} = \frac{m_2^2}{m_1^2} = \left( \frac{m_2}{m_1} \right)^2$ મળે છે.

(C) ધારો કે સિસ્ટમનો પ્રવેગ $a$ છે. બ્લોક $A$,$B$ ની સાપેક્ષમાં સ્થિર રહે તે માટે,$A$ પર લાગતું આભાસી બળ $ma$ એ $B$ દ્વારા લાગતા લંબબળ $N$ દ્વારા સંતુલિત થવું જોઈએ,તેથી $N = ma$.
બ્લોક $A$ નીચે ન સરકે તે માટે,ઘર્ષણ બળ $f = \mu N = \mu ma$ એ તેના વજન $mg$ ને સંતુલિત કરવું જોઈએ. તેથી,$\mu ma = mg$,જે $a = \frac{g}{\mu}$ આપે છે.
હવે,બ્લોક $B$ અને $C$ ની સિસ્ટમનો વિચાર કરો. ખેંચાતું કુલ દળ $(2m + m_c)$ છે. પ્રેરક બળ બ્લોક $C$ નું વજન છે,જે $m_c g$ છે.
આખી સિસ્ટમ માટે ન્યૂટનના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $m_c g = (2m + m_c) a$.
સમીકરણમાં $a = \frac{g}{\mu}$ મૂકતા: $m_c g = (2m + m_c) \frac{g}{\mu}$.
$m_c \mu = 2m + m_c$.
$m_c (\mu - 1) = 2m$.
$m_c = \frac{2m}{\mu - 1}$.

(C) ધારો કે $A$ પર મૂકવામાં આવેલ દળ $m_C$ છે. ટેબલ પરનું કુલ દળ $(10 + m_C)\,kg$ થશે.
ટેબલ દ્વારા સંયુક્ત દળ $(A+C)$ પર લાગતું લંબબળ $N = (10 + m_C)g$ છે.
સીમાંત ઘર્ષણ બળ $f_L = \mu N = 0.2 \times (10 + m_C)g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તંત્ર સ્થિર રહે તે માટે,દોરીમાં રહેલું તણાવ બળ $T$ એ ઘર્ષણ બળ $f_L$ દ્વારા સંતુલિત થવું જોઈએ. તણાવ બળ $T$ એ દળ $B$ ના વજન જેટલું છે,તેથી $T = m_B g = 5g$.
સંતુલન માટે બળોને સરખાવતા: $f_L = T$.
$0.2 \times (10 + m_C)g = 5g$.
$g$ વડે ભાગતા: $0.2(10 + m_C) = 5$.
$10 + m_C = 5 / 0.2 = 25$.
$m_C = 25 - 10 = 15\,kg$.