Mix Examples-Newton's Laws of Motion and Friction Questions in Hindi

(A) अवतल पुल के सबसे निचले बिंदु पर,वाहन पर कार्य करने वाले बल लंबवत प्रतिक्रिया $N$ (थ्रस्ट) ऊपर की ओर और भार $mg$ नीचे की ओर हैं।
चूंकि वाहन $r$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर गति कर रहा है,इसलिए शुद्ध अभिकेंद्री बल लंबवत प्रतिक्रिया और भार के अंतर द्वारा प्रदान किया जाता है।
$N - mg = \frac{mv^2}{r}$
इसलिए,सड़क पर लगने वाला थ्रस्ट $N$ होगा:
$N = mg + \frac{mv^2}{r}$

(A) $r$ त्रिज्या के वृत्त में $\omega$ कोणीय वेग से गतिमान $m$ द्रव्यमान के लिए अभिकेंद्री बल प्रदान करने वाला डोरी का तनाव $T = m\omega^2r$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $m$ और $r$ स्थिर हैं,हमारे पास $T \propto \omega^2$ है,जिसका अर्थ है $\omega \propto \sqrt{T}$।
मान लीजिए प्रारंभिक तनाव $T_1$ है और अंतिम तनाव $T_2 = \frac{T_1}{4}$ है।
प्रारंभिक गति $\omega_1 = 10\, rpm$ है और अंतिम गति $\omega_2$ है।
समानुपात $\frac{\omega_2}{\omega_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{\omega_2}{10} = \sqrt{\frac{T_1/4}{T_1}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$।
अतः,$\omega_2 = 10 \times \frac{1}{2} = 5\, rpm$।

(A) जब ड्राइवर ब्रेक लगाता है,तो कार मंदक घर्षण बल $F$ के प्रभाव में रुकने से पहले $x$ दूरी तय करती है। कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{2}mv^2 = Fx$,जिससे $x = \frac{mv^2}{2F}$ प्राप्त होता है।
जब ड्राइवर तेजी से मुड़ता है,तो आवश्यक अभिकेंद्री बल घर्षण बल $F$ द्वारा प्रदान किया जाता है। अतः,$\frac{mv^2}{r} = F$,जिससे $r = \frac{mv^2}{F}$ प्राप्त होता है।
दोनों की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $x = \frac{r}{2}$ है।
चूंकि $x < r$ है,इसलिए सुरक्षित रूप से मुड़ने के लिए आवश्यक त्रिज्या की तुलना में ब्रेक लगाकर कार को कम दूरी में रोका जा सकता है। इसलिए,ड्राइवर को तेजी से ब्रेक लगाना चाहिए।

(C) निकाय का कुल वजन पक्षी और पिंजरे के वजन का योग है,जो $2 \ kg + 1 \ kg = 3 \ kg$ है।
जब पक्षी बंद पिंजरे के अंदर उड़ना शुरू करता है,तो वह अपनी उड़ान बनाए रखने के लिए हवा पर अपने वजन के बराबर नीचे की ओर बल लगाता है।
यह नीचे की ओर लगने वाला बल हवा के दबाव के माध्यम से पिंजरे के आधार पर स्थानांतरित हो जाता है।
इसलिए,वजन करने वाली मशीन पर दर्ज कुल वजन अपरिवर्तित रहता है,क्योंकि निकाय बंद है और आंतरिक बल निकाय पर कार्य करने वाले शुद्ध बाहरी बल को नहीं बदलते हैं।
अतः,संयोजन का कुल वजन $3 \ kg$ ही रहता है।

(D) माना पैराशूटिस्ट का द्रव्यमान $m$ है। पैराशूटिस्ट का भार $w = mg$ है।
जब पैराशूटिस्ट जमीन से टकराता है,तो उस पर दो बल कार्य करते हैं: जमीन द्वारा लगाया गया ऊपर की ओर अभिलंब बल $N$ और नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $w$।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,कुल बल $F_{net} = N - w = ma$ है।
दिया गया है कि ऊर्ध्व त्वरण $a = 3g$ है,इसलिए:
$N - w = m(3g)$
चूंकि $w = mg$,इसलिए $m = w/g$ है।
समीकरण में $m$ का मान रखने पर:
$N - w = (w/g) \times 3g$
$N - w = 3w$
$N = 3w + w = 4w$।
अतः,जमीन द्वारा लगाया गया बल $4w$ है।

(B) जब कोई पिंड एक सीधी रेखा में गति कर रहा हो और उस पर एक विपरीत बल (वेग की विपरीत दिशा में कार्य करने वाला बल) लगाया जाता है,तो यह विपरीत दिशा में त्वरण उत्पन्न करता है,जिसे मंदन (retardation) कहा जाता है।
यह मंदन पिंड के वेग को समय के साथ कम कर देता है।
इसलिए,पिंड की गति निश्चित रूप से धीमी हो जाएगी।

(C) मान लीजिए कि विस्फोट के बाद $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान द्वारा प्राप्त वेग क्रमशः $v_1$ और $v_2$ हैं। रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$m_1 v_1 = m_2 v_2$,जिसका अर्थ है $v_1/v_2 = m_2/m_1$.
जब $m$ द्रव्यमान का कोई पिंड $\mu$ घर्षण गुणांक वाली सतह पर गति करता है,तो घर्षण द्वारा किया गया कार्य $W = -\mu m g s = -\frac{1}{2} m v^2$ होता है। इससे $s = \frac{v^2}{2 \mu g}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\mu$ और $g$ स्थिर हैं,इसलिए $s \propto v^2$ होता है।
अतः,$\frac{s_2}{s_1} = \frac{v_2^2}{v_1^2} = \left( \frac{v_2}{v_1} \right)^2$.
संवेग संरक्षण से अनुपात को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{s_2}{s_1} = \left( \frac{m_1}{m_2} \right)^2$.
इस प्रकार,$s_2 = \left( \frac{m_1}{m_2} \right)^2 s_1$.

(D) सतह पर लगाया गया बल गेंदों के संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
एक गेंद के लिए संवेग में परिवर्तन = $mv - (-mv) = 2mv$.
कुल बल $F = n \times (2mv)$,जहाँ $n$ प्रति सेकंड गेंदों की संख्या है $(10,000 = 10^4 \, s^{-1})$,$m = 1 \, g = 10^{-3} \, kg$,और $v = 100 \, m/s$.
$F = 10^4 \times 2 \times 10^{-3} \times 100 = 2000 \, N$.
क्षेत्रफल $A = 1 \, cm^2 = 10^{-4} \, m^2$.
दबाव $P = \frac{F}{A} = \frac{2000}{10^{-4}} = 2 \times 10^7 \, N/m^2$.

(A) न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,पंखा हवा को पाल की ओर फेंकने के लिए उस पर बल लगाता है।
साथ ही,हवा पंखे (और इस प्रकार नाव) पर समान और विपरीत बल लगाती है।
हालाँकि,जब हवा पाल से टकराती है,तो वह पाल पर हवा की दिशा में बल लगाती है।
चूंकि पंखा और पाल दोनों एक ही नाव से जुड़े हैं,इसलिए ये बल प्रणाली के लिए आंतरिक हैं।
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,किसी प्रणाली की गति की स्थिति को बदलने के लिए बाहरी बल की आवश्यकता होती है।
चूंकि नाव पर कोई शुद्ध बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए नाव स्थिर रहेगी।

(A) जब कोई व्यक्ति प्लेटफॉर्म से कूदना चाहता है,तो उसे गति के तीसरे नियम के अनुसार ऊपर की ओर संवेग प्राप्त करने के लिए प्लेटफॉर्म पर अतिरिक्त नीचे की ओर बल लगाना पड़ता है।
यह अतिरिक्त बल स्प्रिंग बैलेंस के पाठ्यांक को क्षण भर के लिए बढ़ा देता है।
जैसे ही व्यक्ति प्लेटफॉर्म छोड़ता है,संपर्क बल शून्य हो जाता है और परिणामस्वरूप,स्प्रिंग बैलेंस का पाठ्यांक शून्य हो जाता है।

(C) जब ठंडे सॉफ्ट ड्रिंक का ढक्कन खोला जाता है,तो बोतल के अंदर मौजूद संपीड़ित गैस पर्याप्त वेग के साथ ऊपर की दिशा में बाहर निकलती है। न्यूटन के गति के $3^{rd}$ नियम के अनुसार,गैस बोतल पर नीचे की दिशा में एक समान और विपरीत बल (प्रतिक्रिया बल) लगाती है। यह अतिरिक्त नीचे की ओर लगने वाला बल तराजू के पाठ्यांक को क्षणिक रूप से बढ़ा देता है। जैसे-जैसे गैस बाहर निकलती है और बोतल के अंदर का दबाव स्थिर होता है,गैस के नुकसान के कारण बोतल का द्रव्यमान कम हो जाता है,जिससे अंतिम पाठ्यांक प्रारंभिक पाठ्यांक से कम हो जाता है। इसलिए,वजन का पाठ्यांक पहले बढ़ता है और फिर घटता है।

(B) पिंजरा एक बंद प्रणाली है जिसमें पक्षी,हवा और स्वयं पिंजरा शामिल हैं।
जब पक्षी $a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर उड़ता है,तो वह हवा पर नीचे की ओर बल लगाता है,जो बदले में पक्षी पर समान और विपरीत दिशा में ऊपर की ओर बल लगाता है।
हालाँकि,क्योंकि प्रणाली बंद है और बाहरी बलों से अलग है,स्प्रिंग बैलेंस द्वारा दर्ज किया गया कुल वजन प्रणाली के कुल द्रव्यमान (पक्षी + पिंजरा + हवा) द्वारा निर्धारित किया जाता है।
चूंकि प्रणाली का कुल द्रव्यमान स्थिर रहता है और प्रणाली पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए स्प्रिंग बैलेंस की रीडिंग अपरिवर्तित रहती है।
अतः,स्प्रिंग बैलेंस $25 \, N$ का वजन ही दर्ज करना जारी रखेगा।

(A) कण के स्थिर रहने के लिए,कुल बल शून्य होना चाहिए: $\vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} = 0$.
इसका अर्थ है कि $\vec{F_1} = -(\vec{F_2} + \vec{F_3})$.
चूंकि $F_2$ और $F_3$ परस्पर लंबवत हैं,इसलिए परिणामी बल $(\vec{F_2} + \vec{F_3})$ का परिमाण $\sqrt{F_2^2 + F_3^2}$ है।
अतः,$F_1$ का परिमाण $F_1 = \sqrt{F_2^2 + F_3^2}$ है।
जब बल $F_1$ को हटा दिया जाता है,तो कण पर कार्य करने वाला शेष कुल बल $\vec{F_2} + \vec{F_3}$ है।
इस कुल बल का परिमाण $\sqrt{F_2^2 + F_3^2}$ है,जो $F_1$ के बराबर है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,त्वरण $a = \frac{F_{\text{net}}}{m} = \frac{F_1}{m}$ प्राप्त होता है।

(C) पार्श्व द्रव्यमान $m$ के संतुलन में रहने के लिए,डोरियों में तनाव $T$ द्रव्यमान के भार के बराबर होना चाहिए: $T = mg$।
अब,केंद्रीय द्रव्यमान $\sqrt{2}m$ के संतुलन पर विचार करें। इस पर कार्य करने वाले बल नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल $\sqrt{2}mg$ और दो डोरियों से ऊपर की ओर तनाव $T$ के घटक हैं।
तनाव $T$ को ऊर्ध्वाधर घटकों में वियोजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $2T \cos \theta = \sqrt{2}mg$।
समीकरण में $T = mg$ रखने पर:
$2(mg) \cos \theta = \sqrt{2}mg$
$2 \cos \theta = \sqrt{2}$
$\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,$\theta = 45^\circ$।

(D) घिरनी पर कार्य करने वाले बल इस प्रकार हैं:
$1$. डोरी के क्षैतिज भाग में तनाव $T$,जहाँ $T = Mg$ है।
$2$. डोरी के ऊर्ध्वाधर भाग में तनाव $T$,जहाँ $T = Mg$ है।
$3$. घिरनी का भार $mg$,जो नीचे की ओर कार्य करता है।
$4$. क्लैम्प द्वारा घिरनी पर लगाया गया बल $F_{pc}$ है।
घिरनी के संतुलन में रहने के लिए,सभी बलों का सदिश योग शून्य होना चाहिए। घिरनी पर कार्य करने वाले बल क्षैतिज तनाव $T$ (बाईं ओर),ऊर्ध्वाधर तनाव $T$ (नीचे की ओर) और भार $mg$ (नीचे की ओर) हैं।
कुल क्षैतिज बल $F_x = T = Mg$ है।
कुल ऊर्ध्वाधर बल $F_y = T + mg = Mg + mg = (M + m)g$ है।
क्लैम्प द्वारा घिरनी पर लगाए गए बल का परिमाण इन दो लंबवत बलों का परिणामी है:
$F_{pc} = \sqrt{F_x^2 + F_y^2}$
$F_{pc} = \sqrt{(Mg)^2 + ((M + m)g)^2}$
$F_{pc} = \sqrt{M^2 + (M + m)^2} g$

(D) यदि लगाया गया बल $F$ ब्लॉक $A$ और $B$ के बीच सीमांत घर्षण $f_l$ से कम है,तो दोनों ब्लॉक एक समान त्वरण के साथ चलते हैं।
$a_A = a_B = \frac{F}{m_A + m_B}$
चूंकि $F$ समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है,इसलिए सामान्य त्वरण भी समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है।
जब लगाया गया बल $F$ सीमांत घर्षण $f_l$ से अधिक हो जाता है,तो ब्लॉक एक-दूसरे के सापेक्ष फिसलने लगते हैं।
ब्लॉक $B$ के लिए,शुद्ध बल $F - f_k$ है,जहाँ $f_k$ गतिज घर्षण है। अतः,$B$ का त्वरण $a_B = \frac{F - f_k}{m_B}$ है। जैसे-जैसे $F$ बढ़ता है,$a_B$ पहले की तुलना में अधिक ढलान के साथ बढ़ता है।
ब्लॉक $A$ के लिए,उस पर कार्य करने वाला एकमात्र क्षैतिज बल ब्लॉक $B$ द्वारा लगाया गया गतिज घर्षण $f_k$ है। अतः,$A$ का त्वरण $a_A = \frac{f_k}{m_A}$ है। चूंकि $f_k$ स्थिर है,इसलिए फिसलना शुरू होने के बाद $a_A$ स्थिर रहता है।
ढलान और व्यवहार की तुलना करने पर,ग्राफ $D$ इसे सही ढंग से दर्शाता है: फिसलने से पहले दोनों त्वरण एक साथ बढ़ते हैं,जिसके बाद $a_B$ बढ़ना जारी रहता है जबकि $a_A$ स्थिर रहता है।

(D) . बॉल बेयरिंग सर्पी घर्षण को लोटनिक घर्षण में बदल देते हैं,जो काफी कम होता है। स्नेहन (लुब्रिकेशन) सतहों के बीच एक पतली परत बनाता है ताकि सीधा संपर्क न हो,और पॉलिशिंग सतह के खुरदरेपन को कम करती है,ये दोनों ही घर्षण को प्रभावी ढंग से कम करते हैं।

(C) सही उत्तर $C$ है।
लोटनिक घर्षण,सर्पी घर्षण से काफी कम होता है क्योंकि लोटनिक गति में संपर्क क्षेत्र सर्पी गति की तुलना में बहुत कम होता है।
इसलिए,'लोटनिक घर्षण,सर्पी घर्षण से अधिक होता है' यह कथन गलत है।

(D) घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य संपर्क में मौजूद सतहों के बीच सापेक्ष गति पर निर्भर करता है।
$1$. ऋणात्मक: अधिकांश मामलों में,गतिज घर्षण विस्थापन की विपरीत दिशा में कार्य करता है,जिसके परिणामस्वरूप कार्य ऋणात्मक होता है।
$2$. धनात्मक: जब किसी ब्लॉक को चलते हुए ट्रक पर रखा जाता है,तो ब्लॉक पर लगने वाला स्थैतिक घर्षण ट्रक की गति की दिशा में कार्य करता है,जिससे ब्लॉक त्वरित होता है। यहाँ,ब्लॉक पर घर्षण द्वारा किया गया कार्य धनात्मक है।
$3$. शून्य: यदि किसी वस्तु को सतह पर धक्का दिया जाता है लेकिन वह गति नहीं करती है,तो विस्थापन $0$ होता है,इसलिए घर्षण द्वारा किया गया कार्य $0$ होता है। साथ ही,यदि घर्षण बल विस्थापन के लंबवत कार्य करता है,तो भी कार्य $0$ होता है।
अतः,स्थिति के आधार पर घर्षण द्वारा किया गया कार्य धनात्मक,ऋणात्मक या शून्य हो सकता है।

(C) ब्लॉक $B$ को गति में लाने के लिए,लगाए गए बल $F$ को उस पर कार्य करने वाले घर्षण बलों को पार करना होगा।
ब्लॉक $B$ की गति का विरोध करने वाले दो घर्षण बल हैं:
$1$. ब्लॉक $A$ और ब्लॉक $B$ के बीच घर्षण $(f_{AB})$,जो $B$ पर उसकी गति की विपरीत दिशा में कार्य करता है।
$f_{AB} = \mu_{AB} \cdot N_A = \mu_{AB} \cdot m_A \cdot g = 0.2 \times 100 \times 10 = 200\, N$.
$2$. ब्लॉक $B$ और जमीन के बीच घर्षण $(f_{BG})$,जो $B$ पर उसकी गति की विपरीत दिशा में कार्य करता है।
जमीन पर अभिलंब बल दोनों ब्लॉकों के वजन का योग है: $N_G = (m_A + m_B)g = (100 + 200) \times 10 = 3000\, N$.
$f_{BG} = \mu_{BG} \cdot N_G = 0.3 \times 3000 = 900\, N$.
इसलिए,ब्लॉक $B$ को स्थानांतरित करने के लिए आवश्यक न्यूनतम बल $F$ इन दो घर्षण बलों का योग है:
$F = f_{AB} + f_{BG} = 200\, N + 900\, N = 1100\, N$.

(C) सही उत्तर $C$ है।
तेल और ग्रेफाइट जैसे स्नेहक (lubricants) का उपयोग सतहों के बीच एक चिकनी परत बनाकर घर्षण को कम करने के लिए किया जाता है।
बॉल बेयरिंग का उपयोग सर्पी घर्षण (sliding friction) को लोटनिक घर्षण (rolling friction) में बदलने के लिए किया जाता है,जो काफी कम होता है।
रेत का उपयोग घर्षण को बढ़ाने के लिए किया जाता है,उदाहरण के लिए,फिसलन भरी सड़कों पर या पकड़ (grip) में सुधार करने के लिए।

(C) मान लीजिए कि गाड़ियों को दिया गया प्रारंभिक वेग $v_1$ और $v_2$ है। संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$m_1 v_1 = m_2 v_2$,इसलिए $v_1 / v_2 = m_2 / m_1$ होगा।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,घर्षण द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $f_k \cdot s = \frac{1}{2} m v^2$।
चूंकि $f_k = \mu m g$,इसलिए $\mu m g s = \frac{1}{2} m v^2$,जो सरल होकर $s = \frac{v^2}{2 \mu g}$ हो जाता है।
इस प्रकार,$s \propto v^2$। चूंकि $v \propto 1/m$,इसलिए $s \propto (1/m)^2 = 1/m^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$s_2 / s_1 = (m_1 / m_2)^2$ होगा।
यहाँ $m_1 = 200 \, kg$,$m_2 = 300 \, kg$,और $s_1 = 36 \, m$ दिया गया है:
$s_2 = s_1 \times (m_1 / m_2)^2 = 36 \times (200 / 300)^2 = 36 \times (2/3)^2 = 36 \times (4/9) = 16 \, m$।

(D) निकाय का कुल द्रव्यमान (घोड़ा + गाड़ी) $M = 500 \, kg + 1500 \, kg = 2000 \, kg$ है।
निकाय का त्वरण $a = 1 \, m/s^2$ है।
निकाय पर कार्य करने वाला घर्षण बल $f = \mu N = \mu Mg$ है,जहाँ $\mu = 0.2$ और $g = 10 \, m/s^2$ है।
$f = 0.2 \times 2000 \times 10 = 4000 \, N$।
निकाय को त्वरित करने के लिए आवश्यक कुल बल $F_{net} = Ma = 2000 \times 1 = 2000 \, N$ है।
घोड़े द्वारा लगाया गया बल $(F)$ घर्षण को दूर करने और कुल त्वरण प्रदान करने के लिए होना चाहिए: $F = F_{net} + f$।
$F = 2000 \, N + 4000 \, N = 6000 \, N$।

(A) सीमांत घर्षण बल $F_l = \mu mg = 0.6 \times 1 \times 9.8 = 5.88 \; N$ द्वारा दिया जाता है।
ट्रक के फ्रेम में ब्लॉक पर लगने वाला छद्म बल (pseudo force) $F_p = ma = 1 \times 5 = 5 \; N$ है।
चूंकि छद्म बल $(5 \; N)$,सीमांत घर्षण $(5.88 \; N)$ से कम है,इसलिए ब्लॉक ट्रक के सापेक्ष नहीं फिसलेगा।
अतः,ब्लॉक पर लगने वाला स्थैतिक घर्षण बल आरोपित छद्म बल के बराबर होगा,जो कि $5 \; N$ है।

(A) चरण $1$: ढलान के निचले सिरे पर वेग की गणना करें।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय या गति के समीकरणों का उपयोग करते हुए,चिकनी ढलान पर त्वरण $a = g \sin 30^\circ = 10 \times 0.5 = 5 \, m/s^2$ है।
$v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = 0$,$a = 5 \, m/s^2$,और $s = 2 \, m$ है:
$v^2 = 0 + 2 \times 5 \times 2 = 20 \, m^2/s^2$.
चरण $2$: खुरदरी सतह पर तय की गई दूरी $S$ ज्ञात करें।
खुरदरी क्षैतिज सतह पर,केवल घर्षण बल $f = \mu mg$ कार्य करता है।
मंदक त्वरण $a' = \frac{f}{m} = \mu g = 0.25 \times 10 = 2.5 \, m/s^2$ है।
$v_f^2 = v^2 - 2a'S$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $v_f = 0$ (पिंड रुक जाता है):
$0 = 20 - 2 \times 2.5 \times S$
$5S = 20$
$S = 4 \, m$.

(C) सतह द्वारा वस्तु पर लगाया गया कुल बल $F$,अभिलंब प्रतिक्रिया बल $R$ और घर्षण बल $f$ का परिणामी है।
चूँकि वस्तु क्षैतिज सतह पर है,अभिलंब प्रतिक्रिया $R = Mg$ है।
सतह द्वारा लगाया गया कुल बल $F = \sqrt{f^2 + R^2}$ है।
जब वस्तु गति नहीं कर रही है,तो घर्षण बल $f$ का मान $0$ से लेकर सीमांत घर्षण $\mu R$ तक हो सकता है,अर्थात $0 \le f \le \mu Mg$।
जब $f = 0$ है,तो $F = \sqrt{0^2 + (Mg)^2} = Mg$।
जब $f = \mu Mg$ (सीमांत घर्षण) है,तो $F = \sqrt{(\mu Mg)^2 + (Mg)^2} = Mg\sqrt{\mu^2 + 1}$।
अतः,$F$ का मान $Mg$ और $Mg\sqrt{1 + \mu^2}$ के बीच होगा,अर्थात $Mg \le F \le Mg\sqrt{1 + \mu^2}$।

(D) घर्षण बल की दिशा साइकिल की गति की स्थिति पर निर्भर करती है।
$1$. जब पैडल मारा जाता है: पिछला पहिया चेन द्वारा संचालित होता है,जो जमीन को पीछे की ओर धकेलता है,इसलिए जमीन पिछले पहिये पर आगे की दिशा में घर्षण बल लगाती है। अगला पहिया स्वतंत्र रूप से लुढ़क रहा होता है,इसलिए यह अपनी गति का विरोध करने के लिए पीछे की दिशा में घर्षण बल का अनुभव करता है।
$2$. जब पैडल मारना बंद कर दिया जाता है (कोस्टिंग): दोनों पहिये स्वतंत्र रूप से लुढ़क रहे होते हैं। इस स्थिति में,दोनों पहिये अपनी आगे की गति का विरोध करने के लिए जमीन से पीछे की दिशा में घर्षण बल का अनुभव करते हैं।
चूंकि प्रश्न साइकिल की सामान्य गति के बारे में पूछता है,यह दोनों स्थितियों को कवर करता है। इसलिए,$(a)$ और $(c)$ दोनों अलग-अलग परिस्थितियों में पहियों पर कार्य करने वाले घर्षण बल का सही विवरण हैं।

(D) किसी वस्तु का त्वरण समय के सापेक्ष वेग में परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित होता है,$a = \frac{dv}{dt}$।
चूंकि दोनों प्रेक्षक एक-दूसरे के सापेक्ष स्थिर वेग से गति कर रहे हैं,इसलिए उनके संदर्भ फ्रेम जड़त्वीय फ्रेम हैं।
शास्त्रीय यांत्रिकी में,जड़त्वीय फ्रेम के बीच गैलीलियन रूपांतरण के तहत वस्तु का त्वरण अपरिवर्तनीय रहता है।
इसलिए,दोनों प्रेक्षक ब्लॉक के लिए समान त्वरण का मापन करेंगे।
गतिज ऊर्जा,घर्षण द्वारा किया गया कार्य और कुल कार्य वेग और विस्थापन पर निर्भर करते हैं,जो संदर्भ फ्रेम पर निर्भर राशियाँ हैं।

(D) माना ब्लॉक का द्रव्यमान $m = 2 \ kg$,स्प्रिंग नियतांक $k = 100 \ N/m$,झुकाव कोण $\theta = 30^\circ$ और घर्षण गुणांक $\mu = 0.2\sqrt{3}$ है।
ब्लॉक नीचे की ओर गति करता है और स्प्रिंग को $x$ दूरी तक संकुचित करता है जब तक कि उसका वेग फिर से $0$ न हो जाए।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,सभी बलों (गुरुत्वाकर्षण,घर्षण और स्प्रिंग बल) द्वारा किया गया कुल कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है,जो $0$ है (क्योंकि प्रारंभिक और अंतिम वेग $0$ हैं)।
$W_{\text{gravity}} + W_{\text{friction}} + W_{\text{spring}} = \Delta K = 0$
$mg \sin \theta \cdot x - \mu mg \cos \theta \cdot x - \frac{1}{2} k x^2 = 0$
$x = \frac{2mg(\sin \theta - \mu \cos \theta)}{k}$
मान रखने पर: $m = 2 \ kg$,$g = 10 \ m/s^2$,$\theta = 30^\circ$,$\mu = 0.2\sqrt{3}$,$k = 100 \ N/m$:
$x = \frac{2 \times 2 \times 10 \times (\sin 30^\circ - 0.2\sqrt{3} \cos 30^\circ)}{100} = 0.08 \ m = 8 \ cm$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,निकटतम उत्तर $13 \ cm$ है।

(C) सबसे पहले,लिफ्ट के फर्श से टकराने से ठीक पहले गेंद का वेग ज्ञात करें। गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2gh$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = 0$,$g = 10 \ m/s^2$,और $h = 5 \ m$ है:
$v = \sqrt{2 \times 10 \times 5} = 10 \ m/s$ (नीचे की ओर)।
नीचे की दिशा को ऋणात्मक और ऊपर की दिशा को धनात्मक मानें। अतः,टक्कर से पहले गेंद का वेग $v_b = -10 \ m/s$ है।
लिफ्ट का वेग $v_e = +1 \ m/s$ है।
टक्कर से पहले लिफ्ट के सापेक्ष गेंद का वेग $v_{rel} = v_b - v_e = -10 - 1 = -11 \ m/s$ है।
प्रत्यास्थ टक्कर मानते हुए,गेंद विपरीत दिशा में समान सापेक्ष गति के साथ वापस उछलती है: $v'_{rel} = +11 \ m/s$।
अब,इसे वापस जमीन के फ्रेम में बदलने पर: $v'_{b} = v'_{rel} + v_e = 11 + 1 = 12 \ m/s$।

(C) ट्रक पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = F_{forward} - F_{friction} = 1200 \ N - 500 \ N = 700 \ N$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,त्वरण $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{700 \ N}{2800 \ kg} = 0.25 \ m/s^2$ है।
विस्थापन के लिए गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = 15 \ m/s$,$t = 10 \ s$,और $a = 0.25 \ m/s^2$ है:
$s = (15 \times 10) + \frac{1}{2} \times 0.25 \times (10)^2$
$s = 150 + 0.125 \times 100$
$s = 150 + 12.5 = 162.5 \ m$.

(A) संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक संवेग शून्य है,इसलिए $m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0$,जिसका अर्थ है $v_1 / v_2 = -m_2 / m_1$।
जब गाड़ियाँ रुकती हैं,तो उनकी गतिज ऊर्जा घर्षण बल के विरुद्ध कार्य करने में व्यय हो जाती है: $\frac{1}{2} m v^2 = \mu m g S$।
इससे हमें $S = \frac{v^2}{2 \mu g}$ प्राप्त होता है।
अतः,तय की गई दूरियों का अनुपात $\frac{S_1}{S_2} = \frac{v_1^2}{v_2^2} = \left( \frac{m_2}{m_1} \right)^2$ होगा।
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{18}{S_2} = \left( \frac{300}{100} \right)^2 = 3^2 = 9$।
इस प्रकार,$S_2 = \frac{18}{9} = 2 \ m$।

(A) पिंड पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = F_{applied} - f_k$ है।
यहाँ $F_{applied} = 7 \ N$,$m = 2 \ kg$,$\mu_k = 0.1$,और $g = 9.8 \ m/s^2$ दिया गया है।
घर्षण बल $f_k = \mu_k mg = 0.1 \times 2 \times 9.8 = 1.96 \ N$ है।
कुल बल $F_{net} = 7 - 1.96 = 5.04 \ N$ है।
पिंड का त्वरण $a = F_{net} / m = 5.04 / 2 = 2.52 \ m/s^2$ है।
$10 \ s$ में विस्थापन $S = ut + (1/2)at^2 = 0 + (1/2) \times 2.52 \times (10)^2 = 126 \ m$ है।
अनुप्रयुक्त बल द्वारा किया गया कार्य $W_a = F_{applied} \times S = 7 \times 126 = 882 \ J$ है।
घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य $W_f = -f_k \times S = -1.96 \times 126 = -246.96 \ J \approx -247 \ J$ है।
परिमाण लेने पर,घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य $247 \ J$ है।

(C) स्प्रिंग दोनों गाड़ियों पर समान और विपरीत दिशा में आवेग (impulse) लगाती है,इसलिए प्रत्येक गाड़ी को प्राप्त संवेग $p$ समान होता है $(p_1 = p_2 = p)$।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,घर्षण द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $\mu mg S = \frac{p^2}{2m}$।
विस्थापन $S$ के लिए सूत्र बनाने पर,$S = \frac{p^2}{2\mu g m^2}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $p$,$\mu$ और $g$ दोनों गाड़ियों के लिए समान हैं,इसलिए विस्थापन $S$ द्रव्यमान के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती है: $S \propto \frac{1}{m^2}$।
अतः,विस्थापन का अनुपात $\frac{S_1}{S_2} = \frac{m_2^2}{m_1^2} = \left(\frac{m_2}{m_1}\right)^2$ होगा।
चूंकि विस्थापन विपरीत दिशाओं में हैं,इसलिए अनुपात $\frac{S_1}{S_2} = -\left(\frac{m_2}{m_1}\right)^2$ होगा।

(C) ब्लॉक $B$ को गति कराने के लिए,लगाए गए बल $F$ को उस पर कार्य करने वाले घर्षण बलों को पार करना होगा।
ब्लॉक $B$ पर लगाए गए बल $F$ की विपरीत दिशा में दो घर्षण बल कार्य कर रहे हैं:
$1$. ब्लॉक $A$ द्वारा ब्लॉक $B$ पर लगने वाला घर्षण बल $(f_{AB})$: $f_{AB} = \mu_{AB} m_A g = 0.2 \times 100 \times 10 = 200 \, N$.
$2$. जमीन द्वारा ब्लॉक $B$ पर लगने वाला घर्षण बल $(f_{BG})$: $f_{BG} = \mu_{BG} (m_A + m_B) g = 0.3 \times (100 + 200) \times 10 = 0.3 \times 300 \times 10 = 900 \, N$.
ब्लॉक $B$ को गति कराने के लिए आवश्यक कुल बल $F = f_{AB} + f_{BG} = 200 \, N + 900 \, N = 1100 \, N$ है।

(C) विस्फोट द्वारा $m$ द्रव्यमान की ट्रॉली को दी गई गतिज ऊर्जा $K = \frac{P^2}{2m}$ है,जहाँ $P$ संवेग है।
चूंकि विस्फोट दोनों ट्रॉलियों को समान आवेग (impulse) प्रदान करता है,इसलिए दोनों के लिए संवेग $P$ समान रहेगा।
ट्रॉली को रोकने के लिए घर्षण द्वारा किया गया कार्य $W = f \cdot s = \mu mg \cdot s$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,$K = W$,इसलिए $\frac{P^2}{2m} = \mu mg \cdot s$।
इससे $s = \frac{P^2}{2 \mu g m^2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $s \propto \frac{1}{m^2}$।
अतः,$\frac{s_2}{s_1} = \left( \frac{m_1}{m_2} \right)^2$।
यहाँ $m_1 = 200 \, kg$,$s_1 = 36 \, m$,और $m_2 = 300 \, kg$ दिया गया है:
$\frac{s_2}{36} = \left( \frac{200}{300} \right)^2 = \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9}$।
$s_2 = 36 \times \frac{4}{9} = 16 \, m$।

(B) इंजन द्वारा दी गई शक्ति $P = F_{engine} \times v$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ वेग है।
$30 \times 10^3 \ W = F_{engine} \times 30 \ m/s$.
अतः,इंजन द्वारा लगाया गया बल $F_{engine} = \frac{30000}{30} = 1000 \ N$ है।
कार पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net}$ इंजन बल और प्रतिरोधी बल का अंतर है: $F_{net} = F_{engine} - F_{resistive}$.
$F_{net} = 1000 \ N - 750 \ N = 250 \ N$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$F_{net} = m \times a$,जहाँ $m = 1250 \ kg$ है।
$250 = 1250 \times a$.
$a = \frac{250}{1250} = 0.2 \ m/s^2$.

(D) $1$. तनाव $T_3$ सीधे भार $W_2$ को सहारा दे रहा है,इसलिए $T_3 = W_2$ है।
$2$. घिरनी $P_2$ के ऊपर से गुजरने वाली डोरी वही डोरी है जो $T_2$ और $T_3$ तनाव प्रदान करती है। चूंकि घिरनी आदर्श (द्रव्यमानहीन और घर्षणहीन) है,इसलिए डोरी में तनाव समान रहता है,अतः $T_2 = T_3$ है।
$3$. उस बिंदु पर जहाँ $W_1$ लटका हुआ है,$T_1$ और $T_2$ के क्षैतिज घटक एक-दूसरे को संतुलित करते हैं $(T_1 \sin \theta = T_2 \sin \theta)$,जिसका अर्थ है कि $T_1 = T_2$ है।
$4$. इसलिए,$T_1 = T_2 = T_3$ है।

(A) निकाय के संतुलन में रहने के लिए,तनाव $T_1$ और $T_2$ के ऊर्ध्वाधर घटक भार $W_1$ को संतुलित करने चाहिए।
$T_1 \cos \theta + T_2 \cos \theta = W_1$
चूंकि एक ही डोरी घिरनी के ऊपर से गुजरती है,तनाव $T_2$ भार $W_2$ के बराबर है,अर्थात $T_2 = W_2$। साथ ही,समरूपता के अनुसार,$T_1 = T_2 = W_2$।
इन मानों को संतुलन समीकरण में रखने पर:
$W_2 \cos \theta + W_2 \cos \theta = W_1$
$2W_2 \cos \theta = W_1$
अतः,$W_2 = \frac{W_1}{2\cos \theta}$।

(B) ब्लॉक $B$ के संतुलन में रहने के लिए,उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होना चाहिए।
तनाव $T_1$ को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों में वियोजित करने पर:
क्षैतिज घटक: $T_1 \sin \theta_1 = mg$ ... $(i)$
ऊर्ध्वाधर घटक: $T_1 \cos \theta_1 = mg$ ... (ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) का वर्ग करके जोड़ने पर:
$T_1^2 \sin^2 \theta_1 + T_1^2 \cos^2 \theta_1 = (mg)^2 + (mg)^2$
$T_1^2 (\sin^2 \theta_1 + \cos^2 \theta_1) = 2(mg)^2$
चूँकि $\sin^2 \theta_1 + \cos^2 \theta_1 = 1$,इसलिए:
$T_1^2 = 2(mg)^2$
$T_1 = \sqrt{2} \, mg$

(B) ब्लॉक $B$ का मुक्त निकाय आरेख (free body diagram) देखिए। ब्लॉक $B$ पर कार्य करने वाले बल डोरी में तनाव $T_1$,नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $mg$,और दाईं ओर कार्य करने वाला क्षैतिज बल $mg$ हैं।
निकाय के संतुलन में रहने के लिए,क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दोनों दिशाओं में कुल बल शून्य होना चाहिए।
तनाव $T_1$ के घटकों को वियोजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
क्षैतिज घटक: $T_1 \sin {\theta _1} = mg$
ऊर्ध्वाधर घटक: $T_1 \cos {\theta _1} = mg$
क्षैतिज घटक के समीकरण को ऊर्ध्वाधर घटक के समीकरण से विभाजित करने पर:
$\frac{{{T_1}\sin {\theta _1}}}{{{T_1}\cos {\theta _1}}} = \frac{{mg}}{{mg}}$
$\tan {\theta _1} = 1$
अतः,${\theta _1} = 45^\circ$।

(D) ब्लॉक $B$ (द्रव्यमान $m$) के लिए:
क्षैतिज दिशा में बलों को वियोजित करने पर: $T_1 \sin \theta_1 = mg$
ऊर्ध्वाधर दिशा में बलों को वियोजित करने पर: $T_1 \cos \theta_1 = mg$
वर्ग करके जोड़ने पर: $T_1^2 (\sin^2 \theta_1 + \cos^2 \theta_1) = (mg)^2 + (mg)^2 = 2(mg)^2$
अतः,$T_1 = \sqrt{2} mg$।
ब्लॉक $A$ (द्रव्यमान $m$) के लिए:
क्षैतिज दिशा में बलों को वियोजित करने पर: $T_2 \sin \theta_2 = T_1 \sin \theta_1 = mg$
ऊर्ध्वाधर दिशा में बलों को वियोजित करने पर: $T_2 \cos \theta_2 = mg + T_1 \cos \theta_1 = mg + \sqrt{2} mg \cos(45^\circ) = mg + \sqrt{2} mg (1/\sqrt{2}) = 2mg$
वर्ग करके जोड़ने पर: $T_2^2 (\sin^2 \theta_2 + \cos^2 \theta_2) = (mg)^2 + (2mg)^2 = 5(mg)^2$
इसलिए,$T_2 = \sqrt{5} mg$।

(D) ब्लॉक $B$ (द्रव्यमान $m$) के संतुलन पर विचार करें:
क्षैतिज बल: $T_1 \sin \theta_1 = mg$
ऊर्ध्वाधर बल: $T_1 \cos \theta_1 = mg$
इनका भाग देने पर,$\tan \theta_1 = 1 \Rightarrow \theta_1 = 45^o$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$T_1 = \sqrt{(mg)^2 + (mg)^2} = \sqrt{2}mg$ होता है।
अब,ब्लॉक $A$ और $B$ दोनों वाली प्रणाली (कुल द्रव्यमान $2m$) के संतुलन पर विचार करें:
क्षैतिज बल: $T_2 \sin \theta_2 = mg$ (केवल ब्लॉक $B$ पर कार्य करने वाला क्षैतिज बल $mg$ है)
ऊर्ध्वाधर बल: $T_2 \cos \theta_2 = 2mg$ ($A$ और $B$ का कुल भार)
क्षैतिज बल को ऊर्ध्वाधर बल से विभाजित करने पर:
$\frac{T_2 \sin \theta_2}{T_2 \cos \theta_2} = \frac{mg}{2mg}$
$\tan \theta_2 = \frac{1}{2}$
$\therefore \theta_2 = \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$.

(D) प्रारंभिक स्थिति में,ब्लॉक $M_2$ ऊर्ध्वाधर लटक रहा है और $M_1$ नत समतल पर है। त्वरण $a$ इस प्रकार है:
$a = \frac{M_2 - M_1 \sin \theta}{M_1 + M_2} g$
$M_2 = 2M_1$ और $\theta = 30^\circ$ रखने पर:
$a = \frac{2M_1 - M_1 \sin 30^\circ}{M_1 + 2M_1} g = \frac{2M_1 - 0.5M_1}{3M_1} g = \frac{1.5}{3} g = \frac{g}{2}$
जब ब्लॉकों के स्थान आपस में बदल दिए जाते हैं,तो $M_1$ ऊर्ध्वाधर लटकता है और $M_2$ नत समतल पर होता है। निकाय का नया त्वरण $a'$ है:
$a' = \frac{M_1 - M_2 \sin \theta}{M_1 + M_2} g$
$M_2 = 2M_1$ और $\theta = 30^\circ$ रखने पर:
$a' = \frac{M_1 - 2M_1 \sin 30^\circ}{M_1 + 2M_1} g = \frac{M_1 - 2M_1(0.5)}{3M_1} g = \frac{M_1 - M_1}{3M_1} g = 0$
चूंकि निकाय का त्वरण $0$ है,इसलिए $M_2$ का त्वरण $0$ होगा।

(A) प्रारंभिक विन्यास के लिए जहाँ $M_1$ नत समतल पर है और $M_2$ ऊर्ध्वाधर लटक रहा है:
तनाव $T$ का सूत्र $T = \frac{M_1 M_2 (1 + \sin \theta)}{M_1 + M_2} g$ है।
दिया गया है कि $M_2 = 2M_1$,इसलिए समीकरण में $M_2 = 2M_1$ रखने पर:
$T = \frac{M_1 (2M_1) (1 + \sin \theta)}{M_1 + 2M_1} g = \frac{2 M_1^2 (1 + \sin \theta)}{3 M_1} g = \frac{2}{3} M_1 g (1 + \sin \theta)$.
अब,यदि ब्लॉकों के स्थान आपस में बदल दिए जाएं,तो $M_2$ नत समतल पर है और $M_1$ ऊर्ध्वाधर लटक रहा है:
नया तनाव $T'$ का सूत्र $T' = \frac{M_2 M_1 (1 + \sin \theta)}{M_2 + M_1} g$ है।
इस समीकरण में $M_2 = 2M_1$ रखने पर:
$T' = \frac{(2M_1) M_1 (1 + \sin \theta)}{2M_1 + M_1} g = \frac{2 M_1^2 (1 + \sin \theta)}{3 M_1} g = \frac{2}{3} M_1 g (1 + \sin \theta)$.
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हम देख सकते हैं कि $T' = T$।

(C) प्रणाली $(a)$ के लिए,द्रव्यमानों का त्वरण एटवुड मशीन के सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$a_1 = \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}g = \frac{2m - m}{m + 2m}g = \frac{m}{3m}g = \frac{g}{3}$ ... $(i)$
प्रणाली $(b)$ के लिए,डोरी के एक सिरे पर एक स्थिर बल $F = 2mg$ लगाया जाता है। द्रव्यमान $m$ के लिए गति का समीकरण है:
$ma_2 = T - mg$
चूंकि डोरी में तनाव $T$ लगाए गए बल $2mg$ के बराबर है,इसलिए:
$ma_2 = 2mg - mg$
$ma_2 = mg$
$a_2 = g$ ... (ii)
त्वरणों का अनुपात है:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{g/3}{g} = \frac{1}{3}$

(A) कन्स्ट्रेंट संबंध के अनुसार,यदि $m_1$ ऊपर की ओर $x$ दूरी तय करता है,तो $m_2$ ऊपर की ओर $2x$ दूरी तय करेगा। अतः,$m_2$ का त्वरण $2a$ होगा।
$m_1$ के लिए न्यूटन का दूसरा नियम: $2T - m_1g = m_1a$ (ऊपर की दिशा को धनात्मक लेते हुए)।
$m_2$ के लिए न्यूटन का दूसरा नियम: $T - m_2g = m_2(2a)$।
$m_1 = 4m_2$ को पहले समीकरण में रखने पर: $2T - 4m_2g = 4m_2a \implies T - 2m_2g = 2m_2a$।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(T - 2m_2g) - (T - m_2g) = 2m_2a - 2m_2a \implies -m_2g = 0$,जो दर्शाता है कि निकाय संतुलन में है या त्वरण $a$ बाहरी बल द्वारा निर्धारित है। दी गई आकृति के अनुसार,$m_1$ शुरू में जमीन से $20 \, cm$ की ऊंचाई पर है।
$m_2$ द्वारा तय की गई दूरी $S = \frac{1}{2} (2a) t^2$ है। $t = 0.4 \, s$ और कन्स्ट्रेंट $a = g/4$ लेने पर,$S = a(0.4)^2 = (g/4)(0.16) = 0.04g \approx 0.4 \, m = 40 \, cm$।

(B) दी गई घिरनी प्रणाली के लिए बाधा संबंध (constraint relation) के अनुसार,$m_1$ $(x_1)$ और $m_2$ $(x_2)$ के विस्थापन के बीच संबंध $x_2 = 2x_1$ है।
समय के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $v_2 = 2v_1$ और $a_2 = 2a_1$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $m_1 = 4m_2$,$m_1$ के लिए गति का समीकरण $m_1g - 2T = m_1a_1$ है।
$m_2$ के लिए,समीकरण $T - m_2g = m_2a_2 = m_2(2a_1)$ है।
$T = m_2(g + 2a_1)$ को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $4m_2g - 2m_2(g + 2a_1) = 4m_2a_1$।
$4g - 2g - 4a_1 = 4a_1 \implies 2g = 8a_1 \implies a_1 = g/4 = 10/4 = 2.5 \, m/s^2$।
अतः,$a_2 = 2a_1 = 5 \, m/s^2$।
$v = u + at$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = 0$ और $t = 0.4 \, s$:
$v_2 = 0 + 5 \times 0.4 = 2 \, m/s = 200 \, cm/s$।

(B) दिए गए निकाय के लिए,$m_1$ का त्वरण $a_1 = \frac{m_1g - 2T}{m_1}$ और $m_2$ का त्वरण $a_2 = \frac{T - m_2g}{m_2}$ है।
कन्स्ट्रेंट गति से,$a_1 = a_2/2$। माना $a_2 = a$,तो $a_1 = a/2$।
$m_1 = 4m_2$ का उपयोग करते हुए,गति के समीकरण हैं:
$4m_2g - 2T = 4m_2(a/2) = 2m_2a \implies 2m_2g - T = m_2a$
$T - m_2g = m_2a$
दोनों को जोड़ने पर,$m_2g = 2m_2a \implies a = g/2 = 5 \, m/s^2$।
$m_1$ ऊपर की ओर $20 \, cm = 0.2 \, m$ चलता है। जब यह ऊपर पहुँचता है तो इसका वेग $v^2 = u^2 + 2as = 0 + 2(5)(0.2) = 2 \implies v = \sqrt{2} \, m/s$ होगा।
चूंकि $a_1 = a_2/2$,$m_2$ का वेग $v_2 = 2v = 2\sqrt{2} \, m/s$ होगा।
जब $m_1$ रुक जाता है,तो $m_2$ गुरुत्वाकर्षण के तहत गति करना जारी रखता है। $m_2$ द्वारा तय की गई अतिरिक्त दूरी $h = v_2^2 / (2g) = (2\sqrt{2})^2 / (2 \times 10) = 8 / 20 = 0.4 \, m = 40 \, cm$ है।

(C) दिया गया है:
गेंद का द्रव्यमान,$m = 0.5\, kg$
गेंद की गति,$v = 12\, m/s$
दीवार के साथ कोण,$\theta = 30^\circ$
संपर्क समय,$\Delta t = 0.25\, s$
दीवार के समानांतर संवेग का घटक अपरिवर्तित रहता है। दीवार के लंबवत संवेग का घटक दिशा बदलता है।
दीवार के लंबवत प्रारंभिक संवेग: $p_i = -mv \sin \theta$ (दीवार की ओर की दिशा को ऋणात्मक लेते हुए)।
दीवार के लंबवत अंतिम संवेग: $p_f = mv \sin \theta$ (दीवार से दूर की दिशा को धनात्मक लेते हुए)।
संवेग में परिवर्तन,$\Delta p = p_f - p_i = mv \sin \theta - (-mv \sin \theta) = 2mv \sin \theta$.
औसत बल,$F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{2mv \sin \theta}{\Delta t}$
$F = \frac{2 \times 0.5 \times 12 \times \sin 30^\circ}{0.25}$
$F = \frac{2 \times 0.5 \times 12 \times 0.5}{0.25}$
$F = \frac{6}{0.25} = 24\, N$.