Mix Examples-Newton's Laws of Motion and Friction Questions in Gujarati

(C) જ્યાં સુધી લાગુ પડતું બળ $F$ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{s,max} = \mu mg$ કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોય ત્યાં સુધી બ્લોક સ્થિર રહે છે.
તેથી,બ્લોક ત્યારે સરકવાનું શરૂ કરે છે જ્યારે $F = \mu mg$,જેનો અર્થ છે $Kt = \mu mg$,અથવા $t = \frac{\mu mg}{K}$.
$t \leq \frac{\mu mg}{K}$ માટે,પ્રવેગ $a = 0$ છે.
$t > \frac{\mu mg}{K}$ માટે,બ્લોક પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = F - f_k = Kt - \mu mg$ છે,જ્યાં $f_k = \mu mg$ એ ગતિક ઘર્ષણ છે.
પ્રવેગ $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{Kt - \mu mg}{m} = \frac{K}{m}t - \mu g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણ એક સીધી રેખા દર્શાવે છે જેનો ઢાળ $\frac{K}{m}$ ધન છે અને પ્રવેગના અક્ષ પર અંતઃખંડ $-\mu g$ છે.
આમ,$t = \frac{\mu mg}{K}$ સુધી પ્રવેગ શૂન્ય રહે છે અને ત્યારબાદ તે સમય સાથે રેખીય રીતે વધે છે. આ આલેખ વિકલ્પ $C$ માં દર્શાવેલ છે.

(C) $60 \, N$ વજનનો બ્લોક $0.5$ ઘર્ષણાંક ધરાવતી ખરબચડી સપાટી પર છે. બ્લોક પર લાગતું મહત્તમ ઘર્ષણ બળ $F_{max} = \mu N = 0.5 \times 60 \, N = 30 \, N$ છે.
બ્લોક સરકે નહીં તે માટે,આડી દોરીમાં તણાવ $T_1$ એ $F_{max}$ જેટલું અથવા તેનાથી ઓછું હોવું જોઈએ. તેથી,$T_1 = 30 \, N$.
જંકશન પોઈન્ટ પર,બળો સંતુલનમાં છે. ધારો કે $T_2$ એ આડી સપાટી સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે રહેલી નમેલી દોરીમાં તણાવ છે.
$T_2$ નો આડો ઘટક $T_1$ ને સંતુલિત કરે છે: $T_2 \cos 45^{\circ} = T_1 = 30 \, N$.
$T_2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 30 \implies T_2 = 30\sqrt{2} \, N$.
$T_2$ નો ઉભો ઘટક વજન $W$ ને સંતુલિત કરે છે: $W = T_2 \sin 45^{\circ}$.
$W = 30\sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 30 \, N$.
તેથી,મહત્તમ વજન $W = 30 \, N$ છે.

(A) ધારો કે ફુગ્ગા પર લાગતું ઉપરની તરફનું ઉત્પ્લાવક બળ $F$ છે.
જ્યારે ફુગ્ગો $a = \frac{g}{2}$ પ્રવેગ સાથે નીચે ઉતરે છે,ત્યારે ગતિનું સમીકરણ:
$mg - F = m \left(\frac{g}{2}\right)$
$F = mg - \frac{mg}{2} = \frac{mg}{2} \quad ...(1)$
ધારો કે દૂર કરવામાં આવેલ દળ $m_1$ છે. ફુગ્ગાનું નવું દળ $(m - m_1)$ થશે.
જ્યારે ફુગ્ગો $a = \frac{g}{2}$ પ્રવેગ સાથે ઉપર જાય છે,ત્યારે ગતિનું સમીકરણ:
$F - (m - m_1)g = (m - m_1) \left(\frac{g}{2}\right)$
$F = (m - m_1) \left(g + \frac{g}{2}\right) = \frac{3}{2}(m - m_1)g \quad ...(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$\frac{mg}{2} = \frac{3}{2}(m - m_1)g$
$m = 3(m - m_1)$
$m = 3m - 3m_1$
$3m_1 = 2m$
$m_1 = \frac{2m}{3}$

(B) દીવાલ પર પ્રવાહીના જેટ દ્વારા લાગતું બળ વેગમાનના ફેરફારના દર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$F = \frac{dp}{dt} = \frac{d(mv)}{dt} = v \frac{dm}{dt}$.
દળનો પ્રવાહ દર $\frac{dm}{dt} = \rho A v$ હોવાથી,બળ $F = \rho A v^2$ થાય.
આપેલ છે:
ઘનતા $\rho = 1000\, kg/m^3$
ક્ષેત્રફળ $A = 10^{-3}\, m^2$
વેગ $v = 20\, m/s$
કિંમતો મૂકતા:
$F = 1000 \times 10^{-3} \times (20)^2$
$F = 1 \times 400 = 400\, N$.

(B) તંત્રમાં $m_1 = 4\, kg$ અને $m_2 = 2\, kg$ દળના બે બ્લોક્સ છે જે $\theta = 30^{\circ}$ ના ખૂણે અને $\mu = 0.3$ ના ઘર્ષણાંક ધરાવતી ઢળતી સપાટી પર નીચે તરફ સરકે છે.
બ્લોક્સ એકબીજાના સંપર્કમાં હોવાથી અને સાથે ગતિ કરતા હોવાથી,તેમનો પ્રવેગ $a$ સમાન હશે.
ઢળતી સપાટી પર નીચે તરફ લાગતું પરિણામી બળ ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક છે: $F_g = (m_1 + m_2)g \sin \theta$.
ગતિનો વિરોધ કરતું કુલ ઘર્ષણ બળ: $f_k = \mu(m_1 + m_2)g \cos \theta$.
તંત્ર માટે ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ વાપરતા: $(m_1 + m_2)a = (m_1 + m_2)g \sin \theta - \mu(m_1 + m_2)g \cos \theta$.
$(m_1 + m_2)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $a = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$.
કિંમતો મૂકતા ($g = 9.8\, m/s^2$,$\sin 30^{\circ} = 0.5$,$\cos 30^{\circ} \approx 0.866$):
$a = 9.8 \times (0.5 - 0.3 \times 0.866) = 9.8 \times (0.5 - 0.2598) = 9.8 \times 0.2402 \approx 2.354\, m/s^2$.
નજીકના વિકલ્પને ધ્યાનમાં લેતા,પ્રવેગ આશરે $2.4\, m/s^2$ છે.

(B) બોક્સ $V$ વેગ સાથે ડાબેથી જમણી તરફ ગતિ કરી રહ્યું છે. જ્યારે ટ્રેન પ્રતિપ્રવેગિત થાય છે,ત્યારે જડત્વને કારણે બોક્સ તેની ગતિ ચાલુ રાખવાનો પ્રયત્ન કરે છે,તેથી તે ટ્રેનની સાપેક્ષમાં ડાબી તરફ આભાસી બળ અનુભવે છે.
પરિણામે,આ સાપેક્ષ ગતિનો વિરોધ કરવા માટે બોક્સ પર ડાબી તરફ ગતિજ ઘર્ષણ બળ $f_r$ લાગે છે.
ભોંયતળિયું બોક્સ પર શિરોલંબ ઉપરની દિશામાં લંબબળ $N$ પણ લગાડે છે.
ભોંયતળિયા દ્વારા બોક્સ પર લાગતું કુલ પ્રતિક્રિયા બળ $R$ એ લંબબળ $N$ અને ઘર્ષણ બળ $f_r$ નો સદિશ સરવાળો છે,એટલે કે $R = N + f_r$.
જેમ કે $N$ ઉપરની તરફ છે અને $f_r$ ડાબી તરફ છે,તેથી પરિણામી પ્રતિક્રિયા બળ $R$ ઉપરની અને ડાબી તરફ નિર્દેશ કરશે.
આ દિશા વિકલ્પ $B$ માં દર્શાવેલ છે.

(A) ઘર્ષણ એ સંપર્કમાં રહેલી સપાટીઓ વચ્ચેના આંતરઆણ્વિય બળોને કારણે ઉદ્ભવે છે. આ આંતરઆણ્વિય બળો મૂળભૂત રીતે વિદ્યુતચુંબકીય સ્વરૂપના હોય છે,કારણ કે તે બે સપાટીઓ પરના પરમાણુઓના વીજભારિત કણો (ઇલેક્ટ્રોન અને ન્યુક્લિયસ) વચ્ચેની આંતરક્રિયાઓનું પરિણામ છે. તેથી,ઘર્ષણને વિદ્યુતચુંબકીય બળ તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.

(C) જ્યાં સુધી લાગુ પડતું બળ $F = kt$ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ $f_{max} = \mu mg$ કરતા ઓછું કે તેના જેટલું હોય ત્યાં સુધી બ્લોક સ્થિર રહે છે.
તેથી, બ્લોક ત્યારે ગતિ કરવાનું શરૂ કરે છે જ્યારે $kt \geq \mu mg$, જેનો અર્થ છે કે $t \geq \frac{\mu mg}{k} = t_0$.
$t < t_0$ માટે, વેગ $v = 0$ છે.
$t \geq t_0$ માટે, બ્લોક પરનું પરિણામી બળ $F_{net} = kt - \mu mg$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા, $ma = kt - \mu mg$, તેથી પ્રવેગ $a = \frac{k}{m}t - \mu g$ મળે છે.
ચૂકવણી $a = \frac{dv}{dt}$ હોવાથી, આપણે સમયની સાપેક્ષે સંકલન કરીએ છીએ: $v = \int_{t_0}^{t} (\frac{k}{m}t' - \mu g) dt'$.
આના પરિણામે $v = \frac{k}{2m}(t^2 - t_0^2) - \mu g(t - t_0)$ મળે છે.
વેગ $t^2$ ના પ્રમાણમાં હોવાથી, $t > t_0$ માટે આલેખ પરવલયાકાર (parabolic) છે.

(B) કારને પ્રવેગિત કરવા માટે જરૂરી બળ ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ દ્વારા મળે છે: $F_{net} = ma$.
અહીં,$F_{net} = F_{engine} - F_{resistance}$.
આપેલ છે કે $m = 500\, kg$,$a = 1\, m/s^2$,અને $F_{resistance} = 1000\, N$.
$F_{engine} - 1000 = 500 \times 1$.
$F_{engine} = 1500\, N$.
એન્જિન દ્વારા અપાતો પાવર $P = F_{engine} \times v$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $v = 5\, m/s$.
$P = 1500 \times 5 = 7500\, W$.
કિલોવોટમાં ફેરવતા: $P = 7.5\, kW$.

(C) ધારો કે પાંચ વ્યક્તિઓ દ્વારા લાગતું કુલ બળ $\vec{F}_{total} = \vec{F}_A + \vec{F}_B + \vec{F}_C + \vec{F}_D + \vec{F}_E$ છે. આપેલ છે કે $m = 100 \, kg$ અને $\vec{a} = 3 \hat{i} \, m/s^2$ (પૂર્વ દિશાને $+\hat{i}$ લેતા),તેથી $\vec{F}_{total} = 100 \times 3 \hat{i} = 300 \hat{i} \, N$ $...(1)$.
જ્યારે $A$ ખેંચવાનું બંધ કરે,ત્યારે બળ $\vec{F}_{total} - \vec{F}_A = 100 \times (-1 \hat{i}) = -100 \hat{i} \, N$ થાય $...(2)$.
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા,આપણને $\vec{F}_A = 400 \hat{i} \, N$ મળે.
જ્યારે $B$ ખેંચવાનું બંધ કરે,ત્યારે બળ $\vec{F}_{total} - \vec{F}_B = 100 \times (24 \hat{j}) = 2400 \hat{j} \, N$ (ઉત્તર દિશાને $+\hat{j}$ લેતા) થાય $...(3)$.
$(1)$ માંથી $(3)$ બાદ કરતા,આપણને $\vec{F}_B = 300 \hat{i} - 2400 \hat{j} \, N$ મળે.
જ્યારે માત્ર $A$ અને $B$ ખેંચે,ત્યારે ચોખ્ખું બળ $\vec{F}_{net} = \vec{F}_A + \vec{F}_B = 400 \hat{i} + 300 \hat{i} - 2400 \hat{j} = 700 \hat{i} - 2400 \hat{j} \, N$ થાય.
પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{\vec{F}_{net}}{m} = \frac{700 \hat{i} - 2400 \hat{j}}{100} = 7 \hat{i} - 24 \hat{j} \, m/s^2$ મળે.
તેનું મૂલ્ય $|\vec{a}| = \sqrt{7^2 + (-24)^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25 \, m/s^2$ છે.

(D) દીવાલ દ્વારા બ્લોક પર લાગતું લંબબળ $N$ એ લાગુ પાડેલા સમક્ષિતિજ બળ જેટલું છે: $N = 12 \, N$.
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{s,max} = \mu_s N = 0.5 \times 12 \, N = 6 \, N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બ્લોકનું વજન $W = mg = (1/2) \, kg \times 10 \, m/s^2 = 5 \, N$ છે.
કારણ કે વજન $W = 5 \, N$ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ $f_{s,max} = 6 \, N$ કરતા ઓછું છે,તેથી બ્લોક ગતિ કરશે નહીં.
દીવાલ બ્લોક પર બે બળો લગાડે છે: લંબબળ $N = 12 \, N$ (સમક્ષિતિજ) અને સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_s = 5 \, N$ (શિરોલંબ,જે વજનને સંતુલિત કરે છે).
દીવાલ દ્વારા બ્લોક પર લાગતું કુલ બળ આ બે લંબ બળોનું પરિણામી બળ છે: $F_{total} = \sqrt{N^2 + f_s^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \, N$.

(C) બ્લોક માટે,બળોનું સંતુલન નીચે મુજબ છે:
$T \cos 37^{\circ} = f$
$N + T \sin 37^{\circ} = Mg$
કારણ કે $f = \mu N$,તેથી $T \cos 37^{\circ} = \mu (Mg - T \sin 37^{\circ})$.
કિંમતો $M = 100 \, kg$,$\mu = 1/3$,$\cos 37^{\circ} = 4/5$,અને $\sin 37^{\circ} = 3/5$ મૂકતા:
$T(4/5) = (1/3)(100g - T(3/5))$
$12T/5 = 100g - 3T/5$
$15T/5 = 100g \implies 3T = 100g \implies T = 100g/3$.
વ્યક્તિ માટે,ઉપરની તરફનું બળ $T = 100g/3$ છે અને નીચેની તરફનું બળ $mg = 25g$ છે.
ગતિનું સમીકરણ $T - mg = ma_{\max}$ છે.
$100g/3 - 25g = 25a_{\max}$
$(100g - 75g)/3 = 25a_{\max}$
$25g/3 = 25a_{\max}$
$a_{\max} = g/3$.

(C) $1$. શરૂઆતમાં,બ્લોક $A$ માટે,લાગુ પડતું બળ $F=t$ એ સ્થિત ઘર્ષણ $f_{rA}$ દ્વારા સંતુલિત થાય છે. બ્લોક $A$ જ્યાં સુધી $F = \mu_s mg$ એટલે કે $t = \mu_s mg$ ન થાય ત્યાં સુધી સ્થિર રહે છે. આ સમય દરમિયાન,દોરીમાં તણાવ $T$ શૂન્ય છે,તેથી બ્લોક $B$ સ્થિર રહે છે અને $B$ પરનું ઘર્ષણ બળ $0$ છે.
$2$. જ્યારે $t > \mu_s mg$ થાય,ત્યારે બ્લોક $A$ ગતિ કરવાનું શરૂ કરે છે. દોરીમાં તણાવ $T$ વધે છે,$T = F - f_{rA} = t - \mu_k mg$ (ધારી લઈએ કે બ્લોક $A$ પર ગતિજ ઘર્ષણ $\mu_k mg$ લાગે છે).
$3$. બ્લોક $B$ ત્યારે ગતિ કરવાનું શરૂ કરશે જ્યારે તણાવ $T$ એ $B$ પરના મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $\mu_s mg$ કરતા વધી જાય. તેથી,$T = t - \mu_k mg = \mu_s mg$,જે $t = \mu_s mg + \mu_k mg$ આપે છે.
$4$. $t < \mu_s mg + \mu_k mg$ માટે,બ્લોક $B$ સ્થિર છે,તેથી $B$ પરનું ઘર્ષણ બળ તણાવ $T = t - \mu_k mg$ જેટલું છે. જોકે,$T$ માત્ર $t > \mu_s mg$ માટે જ શૂન્યતર છે,તેથી $B$ પરનું ઘર્ષણ $t = \mu_s mg$ સુધી $0$ રહે છે,ત્યારબાદ તે $t$ સાથે રેખીય રીતે વધે છે.
$5$. એકવાર $t$ તે મર્યાદા સુધી પહોંચે છે જ્યાં $B$ ગતિ કરે છે,ત્યારે $B$ પરનું ઘર્ષણ બળ તેના મહત્તમ સ્થિત મૂલ્ય $\mu_s mg$ થી ઘટીને ગતિજ ઘર્ષણ મૂલ્ય $\mu_k mg$ પર આવે છે અને અચળ રહે છે.
$6$. આપેલા વિકલ્પો સાથે આ વર્તણૂકની સરખામણી કરતા,આલેખ $C$ આને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે: $t = \mu_s mg$ સુધી શૂન્ય ઘર્ષણ,ત્યારબાદ વધતું ઘર્ષણ,મર્યાદા પર એક ટોચ અને અંતે અચળ ગતિજ ઘર્ષણ મૂલ્ય.

(C) $5 \, kg$ ના બ્લોક માટે,મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{s1} = \mu m_1 g = 0.2 \times 5 \times 10 = 10 \, N$ છે.
$10 \, kg$ ના બ્લોક માટે,મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{s2} = \mu m_2 g = 0.2 \times 10 \times 10 = 20 \, N$ છે.
સિસ્ટમ સ્થિર રહે તે માટે,લગાડવામાં આવેલ બળ $F$ એ સિસ્ટમના કુલ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ દ્વારા સંતુલિત થવું જોઈએ.
જો કે,$5 \, kg$ નો બ્લોક ત્યારે જ ગતિ કરશે જો તેના પર લાગતું બળ $10 \, N$ થી વધી જાય. કારણ કે બળ $F$ એ $10 \, kg$ ના બ્લોક પર લગાડવામાં આવે છે,તેથી જ્યારે $F$ એ કુલ ઘર્ષણ $f_{s1} + f_{s2} = 10 + 20 = 30 \, N$ થી વધી જશે ત્યારે આખી સિસ્ટમ ગતિ કરવાનું શરૂ કરશે.
આમ,મહત્તમ બળ $F$ જે કોઈ પણ બ્લોકની ગતિનું કારણ બનશે નહીં તે $30 \, N$ છે.

(C) વાટકાના તળિયે,લંબબળ $N$ અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ કણ પર કાર્ય કરે છે. પરિણામી બળ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ પૂરો પાડે છે:
$N - mg = \frac{mv_0^2}{R}$
$v_0 = \sqrt{gR}$ આપેલ હોવાથી:
$N - mg = \frac{m(gR)}{R} = mg$
$N = 2mg$
ગતિજ ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu N = 0.5 \times 2mg = mg$ થાય.
સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_T$ ઘર્ષણને કારણે ઉદ્ભવે છે:
$ma_T = f_k = mg \implies a_T = g$ (વેગની વિરુદ્ધ દિશામાં,સમક્ષિતિજ).
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_N$ એ લંબ પ્રવેગ છે:
$a_N = \frac{v_0^2}{R} = \frac{gR}{R} = g$ (ઉપરની દિશામાં).
કુલ પ્રવેગ $a$ એ $a_T$ અને $a_N$ નો સદિશ સરવાળો છે:
$a = \sqrt{a_T^2 + a_N^2} = \sqrt{g^2 + g^2} = \sqrt{2}g$.
તેની દિશા સમક્ષિતિજ સાથે $45^\circ$ ના ખૂણે ઉપર અને પાછળની તરફ છે,જે $\nwarrow$ દ્વારા દર્શાવેલ છે.

(A) $t \le 1\,sec$ માટે,ટ્રક $a_T = 5\,m/s^2$ ના પ્રવેગથી ગતિ કરે છે. ઘર્ષણને કારણે બ્લોકનો મહત્તમ પ્રવેગ $a_{max} = \mu g = 0.2 \times 10 = 2\,m/s^2$ છે. કારણ કે $a_T > a_{max}$,બ્લોક લપસી જાય છે. બ્લોક જ્યાં સુધી તેનો વેગ ટ્રકના વેગ જેટલો ન થાય ત્યાં સુધી $2\,m/s^2$ ના પ્રવેગથી ગતિ કરે છે.
$t = 1\,sec$ પર,ટ્રકનો વેગ $v_T = a_T \times t = 5 \times 1 = 5\,m/s$ છે. બ્લોકનો વેગ $v_B = a_{max} \times t = 2 \times 1 = 2\,m/s$ છે.
$t = 1\,sec$ પછી,ટ્રક $5\,m/s$ ના અચળ વેગથી ગતિ કરે છે. બ્લોક $2\,m/s^2$ ના પ્રવેગથી ગતિ ચાલુ રાખે છે જ્યાં સુધી તેનો વેગ $5\,m/s$ ન થાય.
ધારો કે $t'$ એ બ્લોકને $t = 1\,sec$ થી $5\,m/s$ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય છે. $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા,$5 = 2 + 2 \times t'$,જે $t' = 1.5\,sec$ આપે છે.
કુલ સમય $t_{total} = 1 + 1.5 = 2.5\,sec$ છે. આમ,બ્લોકનો વેગ $t = 2.5\,sec$ પર $5\,m/s$ સુધી રેખીય રીતે વધે છે અને ત્યારબાદ અચળ રહે છે.

(D) $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થ પર લાગતા બળો તેનું વજન $mg$ જે શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે અને હવાનો અવરોધ $F$ જે શિરોલંબ ઉપરની તરફ લાગે છે.
પરિણામી બળ $F_{net} = mg - F$ છે.
પદાર્થનો પ્રવેગ $a = \frac{F_{net}}{m} = g - \frac{F}{m}$ છે.
$M$ દળ ધરાવતા પદાર્થ માટે,પ્રવેગ $a_M = g - \frac{F}{M}$ છે.
$m$ દળ ધરાવતા પદાર્થ માટે,પ્રવેગ $a_m = g - \frac{F}{m}$ છે.
$M > m$ હોવાથી,$\frac{F}{M} < \frac{F}{m}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $a_M > a_m$.
વધારે દળ $M$ ધરાવતો પદાર્થ વધુ પ્રવેગ ધરાવશે અને જમીન પર પહેલા પહોંચશે.
તેથી,$Assertion$ ખોટું છે કારણ કે તેઓ એકસાથે પહોંચતા નથી,અને $Reason$ પણ ખોટું છે કારણ કે પ્રવેગ સમાન નથી.

(A) $m$ દળના લોડને $\theta$ ખૂણાવાળા ઢળતા સમતલ પર અચળ વેગથી ખસેડવા માટે જરૂરી બળ $F = mg \sin \theta$ છે.
આપેલ $F-x$ આલેખમાં,અંતર $L$ ના પ્રથમ અડધા ભાગ માટે બળ ધન છે અને બીજા અડધા ભાગ માટે ઋણ છે.
આ સૂચવે છે કે પ્રથમ અડધા ભાગ માટે,લોડને ઉપરની તરફ ધકેલવામાં આવે છે (જેના માટે ધન બળ $mg \sin \theta$ જરૂરી છે),અને બીજા અડધા ભાગ માટે,લોડ નીચેની તરફ ગતિ કરે છે (જ્યાં અચળ વેગ જાળવી રાખવા માટે જરૂરી બળ $-mg \sin \theta$ છે).
જે સપાટી પ્રોફાઇલમાં પહેલા ઉપર તરફનો ઢાળ અને ત્યારબાદ નીચે તરફનો ઢાળ હોય,તે પ્રથમ વિકલ્પની આકૃતિમાં દર્શાવેલ ત્રિકોણાકાર પ્રોફાઇલ છે.

(A) માળી પર પાણી દ્વારા લાગતું બળ વેગમાનના ફેરફારના દર દ્વારા આપવામાં આવે છે,$F = \frac{dp}{dt} = v \frac{dm}{dt}$.
શરૂઆતમાં,બળ $F_1 = \frac{dm}{dt} \cdot v_1 = 4 \times 2 = 8\, N$ છે.
જ્યારે ઝડપ વધીને $3\, ms^{-1}$ થાય છે,ત્યારે નવું બળ $F_2 = \frac{dm}{dt} \cdot v_2 = 4 \times 3 = 12\, N$ થાય છે.
માળી દ્વારા અનુભવાતો બળનો ફેરફાર (આંચકો) $\Delta F = F_2 - F_1 = 12 - 8 = 4\, N$ છે.
પાણી હોઝપાઈપને પાછળની તરફ ધકેલે છે,તેથી વેગમાનમાં વધારો થવાને કારણે વધારાના પાછળના બળની જરૂર પડે છે,તેથી માળીને પાછળની દિશામાં $4\, N$ નો આંચકો અનુભવાય છે.

(B) આકૃતિ $(a)$ માટે:
ધારો કે તંત્રનો પ્રવેગ $a$ છે. ગતિના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$m$ દળ માટે: $T - mg = ma$ $(i)$
$2m$ દળ માટે: $2mg - T = 2ma$ $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$mg = 3ma$
$\therefore a = g/3$
આકૃતિ $(b)$ માટે:
ધારો કે $m$ દળનો પ્રવેગ $a'$ છે. દોરડામાં તણાવ $T' = F = 2mg$ છે કારણ કે બળ સીધું દોરડા પર લગાડવામાં આવે છે.
$m$ દળ માટે ગતિનું સમીકરણ:
$T' - mg = ma'$
$T' = 2mg$ મુકતા:
$2mg - mg = ma'$
$mg = ma'$
$\therefore a' = g$
આમ,પ્રવેગ અનુક્રમે $g/3$ અને $g$ છે.

(C) વેગમાનમાં ફેરફાર માત્ર દીવાલને લંબ દિશામાં થાય છે.
ધારો કે વેગ $v = 10 \, m/s$ અને દળ $m = 3 \, kg$ છે.
દીવાલને લંબ વેગનો ઘટક $v_{\perp} = v \sin(60^\circ)$ છે.
દીવાલને લંબ પ્રારંભિક વેગમાન: $p_i = mv \sin(60^\circ)$.
દીવાલને લંબ અંતિમ વેગમાન (પરાવર્તન પછી): $p_f = -mv \sin(60^\circ)$.
વેગમાનમાં ફેરફાર: $\Delta p = p_f - p_i = -mv \sin(60^\circ) - mv \sin(60^\circ) = -2mv \sin(60^\circ)$.
વેગમાનમાં ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta p| = 2mv \sin(60^\circ)$ છે.
દીવાલ પર લાગતું બળ $F = \frac{|\Delta p|}{\Delta t} = \frac{2mv \sin(60^\circ)}{\Delta t}$.
કિંમતો મૂકતા: $F = \frac{2 \times 3 \times 10 \times \sin(60^\circ)}{0.2} = \frac{60 \times (\sqrt{3}/2)}{0.2} = \frac{30\sqrt{3}}{0.2} = 150\sqrt{3} \, N$.

(A) ધારો કે તંત્રનો પ્રવેગ $a$ છે. દોરી અદબનીય હોવાથી,બંને બ્લોક સમાન પ્રવેગ $a$ ધરાવે છે.
ટેબલ પર રહેલા બ્લોક $m_1$ માટે,આડા દિશામાં લાગતા બળો તણાવ $T$ (જમણી તરફ) અને લાગુ પાડેલ બળ $F = m_2g/2$ (ડાબી તરફ) છે. જો બ્લોક $m_1$ જમણી તરફ ગતિ કરે છે તેમ ધારીએ,તો ગતિનું સમીકરણ:
$T - F = m_1a$
$T - m_2g/2 = m_1a$ --- $(i)$
લટકતા બ્લોક $m_2$ માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $m_2g$ (નીચેની તરફ) અને તણાવ $T$ (ઉપરની તરફ) લાગે છે. $m_1$ જમણી તરફ ગતિ કરતું હોવાથી,$m_2$ નીચેની તરફ ગતિ કરશે:
$m_2g - T = m_2a$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$(T - m_2g/2) + (m_2g - T) = m_1a + m_2a$
$m_2g/2 = (m_1 + m_2)a$
$a = \frac{m_2g}{2(m_1 + m_2)}$
પરિણામ ધન હોવાથી,$m_1$ જમણી તરફ ગતિ કરે છે તે ધારણા સાચી છે.

(D) ખેલાડીનો પ્રારંભિક વેગ $\vec{v}_i = v\hat{j}$ (ઉત્તર દિશામાં) છે.
ખેલાડીનો અંતિમ વેગ $\vec{v}_f = -v\hat{i}$ (પશ્ચિમ દિશામાં) છે.
વેગમાં થતો ફેરફાર $\Delta\vec{v} = \vec{v}_f - \vec{v}_i = -v\hat{i} - v\hat{j}$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,ખેલાડી પર લાગતું બળ $\vec{F}$ એ વેગમાં થતા ફેરફાર $\Delta\vec{v}$ ની દિશામાં હોય છે.
$\Delta\vec{v} = -v\hat{i} - v\hat{j}$ ની દિશા દક્ષિણ-પશ્ચિમ છે.
ખેલાડી જમીન પર પોતાના પગ વડે બળ લગાડીને દિશા બદલે છે,જે ખેલાડી દ્વારા જમીન પર લગાડવામાં આવતું સ્નાયુબળ છે,અને ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમ મુજબ,જમીન ખેલાડી પર સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં બળ લગાડે છે. આમ,ખેલાડી પર લાગતું બળ દક્ષિણ-પશ્ચિમ દિશામાં લાગતું સ્નાયુબળ છે.

(A) વરસાદના દિવસે રસ્તાઓ ભીના થઈ જાય છે.
પાણી ટાયર અને રસ્તાની સપાટી વચ્ચે લુબ્રિકન્ટ તરીકે કામ કરે છે,જે ઘર્ષણાંક $(\mu)$ નું મૂલ્ય નોંધપાત્ર રીતે ઘટાડે છે.
ઘર્ષણ બળ $f = \mu N$ હોવાથી (જ્યાં $N$ એ લંબબળ છે),$\mu$ માં ઘટાડો થવાથી ઉપલબ્ધ ઘર્ષણ બળમાં ઘટાડો થાય છે.
આ ઘટેલું ઘર્ષણ વાહન પરનું નિયંત્રણ જાળવવાનું મુશ્કેલ બનાવે છે,બ્રેકિંગ અંતર વધારે છે અને વધુ ઝડપે લપસી જવાની શક્યતા વધારે છે.
તેથી,$Assertion$ અને $Reason$ બંને સાચા છે અને $Reason$ એ $Assertion$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(C) $Assertion$ સાચું છે કારણ કે મશીનોમાં ગતિશીલ ભાગો વચ્ચે ઘર્ષણ ઘટાડવા માટે બોલ બેરિંગનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે.
$Reason$ ખોટું છે કારણ કે બોલ બેરિંગનો ઉપયોગ કરવાનો મુખ્ય હેતુ સરકતા ઘર્ષણને (sliding friction) લોટણ ઘર્ષણમાં (rolling friction) રૂપાંતરિત કરવાનો છે,જે સરકતા ઘર્ષણ કરતા ઘણું ઓછું હોય છે. જોકે તે સ્થિરતા પ્રદાન કરી શકે છે,પરંતુ ઘર્ષણ ઘટાડવાના સંદર્ભમાં તેનો મુખ્ય ઉપયોગ કંપનો ઘટાડવા માટે થતો નથી.

(D) $Assertion$ જણાવે છે કે બ્લોક સાથે જોડાયેલ દોરડું પકડી રાખતી વખતે માણસ આડી સપાટી પર હલનચલન કરી શકતો નથી. આ ખોટું છે કારણ કે માણસ દોરડું ખેંચીને બ્લોક પર બળ લગાવી શકે છે. ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,બ્લોક માણસ પર સમાન અને વિરુદ્ધ બળ લગાડશે,જેના કારણે તે બ્લોક તરફ ગતિ કરશે.
$Reason$ જણાવે છે કે લીસી આડી સપાટી પર સ્થિર ઉભેલો માણસ ઘર્ષણના અભાવને કારણે ચાલી શકતો નથી. આ વિધાન સાચું છે. ચાલવા માટે જમીનને પાછળની તરફ ધકેલવા માટે ઘર્ષણની જરૂર હોય છે,જે બદલામાં આગળની તરફ પ્રતિક્રિયા બળ પૂરું પાડે છે. ઘર્ષણ વિના,માણસના પગ લપસી જશે.
આમ,$Assertion$ ખોટું છે અને $Reason$ સાચું છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) દોરી અદબનીય હોવાથી અને ગરગડી લીસી હોવાથી,$3\; kg$ ના બ્લોક અને $20\; kg$ ની ટ્રોલીનો પ્રવેગ $a$ સમાન મૂલ્યનો હશે.
$3\; kg$ ના બ્લોકની ગતિ માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$30 - T = 3a$ --- (સમીકરણ $1$)
$20\; kg$ ની ટ્રોલીની ગતિ માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$T - f_k = 20a$ --- (સમીકરણ $2$)
જ્યાં ગતિશીલ ઘર્ષણ $f_k = \mu_k N$.
અહીં $\mu_k = 0.04$ અને લંબબળ $N = m_{trolley} g = 20 \times 10 = 200\; N$.
તેથી,$f_k = 0.04 \times 200 = 8\; N$.
સમીકરણ $2$ માં $f_k$ ની કિંમત મૂકતા:
$T - 8 = 20a$ --- (સમીકરણ $3$)
સમીકરણ $1$ અને સમીકરણ $3$ નો સરવાળો કરતા:
$(30 - T) + (T - 8) = 3a + 20a$
$22 = 23a$
$a = \frac{22}{23} \approx 0.96\; m s^{-2}$.
સમીકરણ $1$ માં $a$ ની કિંમત મૂકતા:
$30 - T = 3 \times (0.9565)$
$T = 30 - 2.87 = 27.13\; N \approx 27.1\; N$.

(N/A) બ્લોક ભોંયતળિયા પર સ્થિર છે. તેની ફ્રી-બોડી ડાયાગ્રામમાં બ્લોક પર બે બળો લાગે છે: પૃથ્વી દ્વારા લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જે $2 \times 10 = 20\; N$ છે,અને ભોંયતળિયા દ્વારા બ્લોક પર લાગતું લંબબળ $R$. ન્યૂટનના પ્રથમ નિયમ મુજબ,બ્લોક પરનું પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ,એટલે કે $R = 20\; N$. ત્રીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,બ્લોકની ક્રિયા (એટલે કે બ્લોક દ્વારા ભોંયતળિયા પર લાગતું બળ) $20\; N$ છે અને તે શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે.
$(b)$ તંત્ર (બ્લોક $+$ નળાકાર) $0.1\; m/s^2$ ના પ્રવેગથી નીચેની તરફ ગતિ કરે છે. તંત્રની ફ્રી-બોડી ડાયાગ્રામમાં બે બળો લાગે છે: પૃથ્વી દ્વારા લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(27\; kg \times 10\; m/s^2 = 270\; N)$ અને ભોંયતળિયા દ્વારા લાગતું લંબબળ $R'$. નોંધો કે તંત્રની ફ્રી-બોડી ડાયાગ્રામમાં બ્લોક અને નળાકાર વચ્ચેના આંતરિક બળો દર્શાવવામાં આવતા નથી. તંત્ર માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$270 - R' = 27 \times 0.1\; N$
$R' = 270 - 2.7 = 267.3\; N$
ત્રીજા નિયમ મુજબ,તંત્ર દ્વારા ભોંયતળિયા પર લાગતું ક્રિયાબળ $267.3\; N$ શિરોલંબ નીચેની તરફ છે.
ક્રિયા-પ્રતિક્રિયાની જોડીઓ:
$(a)$ માટે: $(i)$ પૃથ્વી દ્વારા બ્લોક પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(20\; N)$ (ક્રિયા); બ્લોક દ્વારા પૃથ્વી પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (પ્રતિક્રિયા) જે $20\; N$ છે અને ઉપરની તરફ લાગે છે. $(ii)$ બ્લોક દ્વારા ભોંયતળિયા પર લાગતું બળ (ક્રિયા); ભોંયતળિયા દ્વારા બ્લોક પર લાગતું બળ (પ્રતિક્રિયા).
$(b)$ માટે: $(i)$ પૃથ્વી દ્વારા તંત્ર પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(270\; N)$ (ક્રિયા); તંત્ર દ્વારા પૃથ્વી પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (પ્રતિક્રિયા) જે $270\; N$ છે અને ઉપરની તરફ લાગે છે. $(ii)$ તંત્ર દ્વારા ભોંયતળિયા પર લાગતું બળ (ક્રિયા); ભોંયતળિયા દ્વારા તંત્ર પર લાગતું બળ (પ્રતિક્રિયા). આ ઉપરાંત,$(b)$ માટે,નળાકાર દ્વારા બ્લોક પર લાગતું બળ અને બ્લોક દ્વારા નળાકાર પર લાગતું બળ પણ ક્રિયા-પ્રતિક્રિયાની જોડી બનાવે છે.

(N/A) શૂન્ય પરિણામી બળ: વરસાદનું ટીપું અચળ ઝડપથી નીચે પડે છે,એટલે કે તેનો પ્રવેગ શૂન્ય છે. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,વરસાદના ટીપા પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય છે.
$(b)$ શૂન્ય પરિણામી બળ: બૂચનું વજન નીચેની તરફ લાગે છે અને તે પાણી દ્વારા ઉપરની તરફ લાગતા ઉત્પ્લાવક બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે. તેથી,પરિણામી બળ શૂન્ય છે.
$(c)$ શૂન્ય પરિણામી બળ: પતંગ આકાશમાં સ્થિર છે,એટલે કે તેનો પ્રવેગ શૂન્ય છે. ન્યૂટનના ગતિના પ્રથમ નિયમ મુજબ,પતંગ પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય છે.
$(d)$ શૂન્ય પરિણામી બળ: કાર અચળ વેગથી ગતિ કરે છે,તેથી તેનો પ્રવેગ શૂન્ય છે. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,કાર પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય છે.
$(e)$ શૂન્ય પરિણામી બળ: હાઈ-સ્પીડ ઈલેક્ટ્રોન તમામ પદાર્થો અને બાહ્ય ક્ષેત્રોથી દૂર છે,તેથી તેના પર કોઈ બળ લાગતું નથી.

(A) બધા કિસ્સાઓમાં પરિણામી બળ $0.5 \, N$ શિરોલંબ નીચેની દિશામાં છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $(g)$,પદાર્થની ગતિની દિશાને ધ્યાનમાં લીધા વિના,હંમેશા નીચેની તરફ કાર્ય કરે છે. ત્રણેય કિસ્સાઓમાં કાંકરા પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ એકમાત્ર બળ છે. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ તેનું મૂલ્ય નીચે મુજબ છે:
$F = m \times a$
જ્યાં,$F$ એ પરિણામી બળ છે,$m$ એ કાંકરાનું દળ $(0.05 \, kg)$ છે,અને $a = g = 10 \, m/s^2$ છે.
તેથી,$F = 0.05 \times 10 = 0.5 \, N$.
ત્રણેય કિસ્સાઓમાં કાંકરા પરનું પરિણામી બળ $0.5 \, N$ છે અને આ બળ નીચેની દિશામાં કાર્ય કરે છે.
જો કાંકરાને સમક્ષિતિજ સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે ફેંકવામાં આવે,તો તેમાં વેગના સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ બંને ઘટકો હશે. સૌથી ઊંચા બિંદુએ,માત્ર વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય થાય છે. જો કે,કાંકરામાં તેની સમગ્ર ગતિ દરમિયાન વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક રહેશે. વેગનો આ ઘટક કાંકરા પર લાગતા પરિણામી બળ પર કોઈ અસર કરતું નથી,જે નીચેની તરફ $0.5 \, N$ જ રહે છે.

(A) $1\; N$; શિરોલંબ નીચેની તરફ. પથ્થરનું દળ $m = 0.1\; kg$. પથ્થરનો પ્રવેગ $a = g = 10\; m/s^2$. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પથ્થર પર લાગતું પરિણામી બળ $F = ma = mg = 0.1 \times 10 = 1\; N$ છે. ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ હંમેશા નીચેની દિશામાં લાગે છે.
$(b)$ $1\; N$; શિરોલંબ નીચેની તરફ. ટ્રેન અચળ વેગથી ગતિ કરે છે,તેથી તેનો પ્રવેગ શૂન્ય છે. એકવાર પથ્થરને ફેંક્યા પછી,તેના પર કોઈ આડું (ક્ષૈતિજ) બળ લાગતું નથી. માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ લાગે છે,જે $1\; N$ શિરોલંબ નીચેની તરફ છે.
$(c)$ $1\; N$; શિરોલંબ નીચેની તરફ. એકવાર પથ્થરને ફેંક્યા પછી,તે ટ્રેનના સંપર્કમાં રહેતો નથી. ટ્રેનના પ્રવેગને કારણે લાગતું આડું બળ પથ્થર પર લાગવાનું બંધ થઈ જાય છે. માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ બાકી રહે છે,જે $1\; N$ શિરોલંબ નીચેની તરફ છે.
$(d)$ $0.1\; N$; ટ્રેનની ગતિની દિશામાં. પથ્થર ટ્રેનની સાપેક્ષમાં સ્થિર છે,તેથી તે ટ્રેનનો $a = 1\; m/s^2$ પ્રવેગ અનુભવે છે. પરિણામી બળ $F = ma = 0.1 \times 1 = 0.1\; N$ છે,જે ટ્રેનની ગતિની દિશામાં લાગે છે.

(N/A) ગાડી ખેંચવા માટે,ઘોડો જમીનને થોડા બળ સાથે પાછળની તરફ ધકેલે છે. બદલામાં જમીન ઘોડાના પગ પર સમાન અને વિરુદ્ધ પ્રતિક્રિયા બળ લગાડે છે. આ પ્રતિક્રિયા બળ ઘોડાને આગળ વધવામાં મદદ કરે છે. ખાલી અવકાશમાં આવું કોઈ પ્રતિક્રિયા બળ હોતું નથી. તેથી,ઘોડો ખાલી અવકાશમાં ગાડી ખેંચી શકતો નથી અને દોડી શકતો નથી.
$(b)$ જ્યારે ઝડપથી જતી બસ અચાનક ઉભી રહે છે,ત્યારે મુસાફરના શરીરનો નીચેનો ભાગ,જે સીટના સંપર્કમાં છે,તે અચાનક સ્થિર થઈ જાય છે. જો કે,ઉપરનો ભાગ ગતિમાં રહેવાનું વલણ ધરાવે છે (ગતિના પ્રથમ નિયમ મુજબ). પરિણામે,મુસાફરનું ઉપરનું શરીર તે દિશામાં આગળ ફેંકાય છે જેમાં બસ ગતિ કરી રહી હતી.
$(c)$ લૉન મોવરને ખેંચતી વખતે,તેના પર $\theta$ ખૂણે બળ લગાડવામાં આવે છે. આ લાગુ બળનો ઊભો ઘટક $(F \sin \theta)$ ઉપરની તરફ કાર્ય કરે છે,જે મોવરના અસરકારક વજનને ઘટાડે છે $(mg - F \sin \theta)$. બીજી તરફ,લૉન મોવરને ધકેલતી વખતે,લાગુ બળનો ઊભો ઘટક મોવરના વજનની દિશામાં કાર્ય કરે છે,જે અસરકારક વજનમાં વધારો કરે છે $(mg + F \sin \theta)$. પ્રથમ કિસ્સામાં અસરકારક વજન ઓછું હોવાથી,લૉન મોવરને ધકેલવા કરતાં ખેંચવું સરળ છે.
$(d)$ ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma = m \frac{\Delta v}{\Delta t}$. આઘાત બળ $(F)$ એ આઘાતના સમય $(\Delta t)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,એટલે કે $F \propto \frac{1}{\Delta t}$. હાથ પાછળની તરફ લઈ જઈને,ક્રિકેટર આઘાતનો સમય $(\Delta t)$ વધારે છે,જેના પરિણામે રોકવા માટેનું બળ ઘટે છે,જેથી ક્રિકેટરના હાથને ઈજા થતી નથી.

(N/A) માણસનું દળ,$m = 65 \; kg$.
બેલ્ટનો પ્રવેગ,$a = 1 \; m/s^2$.
સ્થિત ઘર્ષણાંક,$\mu = 0.2$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ માણસ પર લાગતું કુલ બળ $F$:
$F = m \times a = 65 \times 1 = 65 \; N$.
માણસ કન્વેયર બેલ્ટની સાપેક્ષમાં ત્યાં સુધી સ્થિર રહેશે જ્યાં સુધી માણસને પ્રવેગિત કરવા માટે જરૂરી બળ એ બેલ્ટ દ્વારા લગાડવામાં આવતા મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{s,max}$ કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોય.
$f_{s,max} = \mu \times N = \mu \times m \times g$.
ધારો કે $a'$ એ બેલ્ટનો મહત્તમ પ્રવેગ છે. માણસ સ્થિર રહે તે માટે:
$m \times a' \leq \mu \times m \times g$
$a' \leq \mu \times g$
$a' \leq 0.2 \times 10 = 2 \; m/s^2$.
તેથી,બેલ્ટનો મહત્તમ પ્રવેગ જેના સુધી માણસ સ્થિર ઊભો રહી શકે તે $2 \; m/s^2$ છે.

(A-D) હેલિકોપ્ટરનું દળ,$m_h = 1000 \; kg$. ક્રૂ અને મુસાફરોનું દળ,$m_p = 300 \; kg$.
સિસ્ટમનું કુલ દળ,$m = 1300 \; kg$.
હેલિકોપ્ટરનો પ્રવેગ,$a = 15 \; m s^{-2}$.
$(a)$ ક્રૂ અને મુસાફરો માટે ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,ફ્લોર દ્વારા લાગતું લંબબળ $R$:
$R - m_p g = m_p a \implies R = m_p(g + a)$
$R = 300(10 + 15) = 300 \times 25 = 7500 \; N$.
ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,ક્રૂ અને મુસાફરો દ્વારા ફ્લોર પર લાગતું બળ $7500 \; N$ છે,જે નીચેની દિશામાં છે.
$(b)$ સમગ્ર સિસ્ટમ (હેલિકોપ્ટર + ક્રૂ + મુસાફરો) માટે ન્યૂટનના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$F_{air} - mg = ma \implies F_{air} = m(g + a)$
$F_{air} = 1300(10 + 15) = 1300 \times 25 = 32500 \; N$.
ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આસપાસની હવા પર રોટરની ક્રિયા $32500 \; N$ છે,જે નીચેની દિશામાં છે.
$(c)$ આસપાસની હવાને કારણે હેલિકોપ્ટર પર લાગતું બળ $32500 \; N$ છે,જે ઉપરની દિશામાં છે.

(N/A) પદાર્થ $A$ નું દળ,$m_{A} = 5 \, kg$.
પદાર્થ $B$ નું દળ,$m_{B} = 10 \, kg$.
લગાડેલું બળ,$F = 200 \, N$.
ઘર્ષણાંક,$\mu = 0.15$.
કુલ ઘર્ષણ બળ $f_{s} = \mu(m_{A} + m_{B})g = 0.15(5 + 10) \times 10 = 22.5 \, N$ (ડાબી તરફ).
$(a)$ દીવાલ પર લાગતું ચોખ્ખું બળ $F_{net} = F - f_{s} = 200 - 22.5 = 177.5 \, N$ (જમણી તરફ). ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમ મુજબ,દીવાલની પ્રતિક્રિયા $177.5 \, N$ (ડાબી તરફ) હશે.
$(b)$ પદાર્થ $A$ પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $f_{A} = \mu m_{A} g = 0.15 \times 5 \times 10 = 7.5 \, N$ (ડાબી તરફ). $A$ દ્વારા $B$ પર લાગતું ચોખ્ખું બળ $F_{AB} = F - f_{A} = 200 - 7.5 = 192.5 \, N$ (જમણી તરફ). ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમ મુજબ,$B$ દ્વારા $A$ પર $192.5 \, N$ નું બળ (ડાબી તરફ) લાગશે.
જ્યારે દીવાલ દૂર કરવામાં આવે,ત્યારે તંત્ર $a = \frac{F - f_{s}}{m_{A} + m_{B}} = \frac{177.5}{15} \approx 11.83 \, m/s^{2}$ ના પ્રવેગથી ગતિ કરશે.
$A$ દ્વારા $B$ પર લાગતું બળ $F'_{AB} = m_{B} a + f_{B} = 10 \times 11.83 + (0.15 \times 10 \times 10) = 118.3 + 15 = 133.3 \, N$ થશે. હા,જ્યારે પદાર્થો ગતિમાં હોય ત્યારે $(b)$ નો જવાબ બદલાય છે.

(A) બ્લોકનું દળ,$m = 15 \; kg$.
સ્થિત ઘર્ષણાંક,$\mu = 0.18$.
ટ્રોલીનો પ્રવેગ,$a = 0.5 \; m s^{-2}$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,બ્લોકને ટ્રોલી સાથે ગતિ કરાવવા માટે જરૂરી બળ $F = ma = 15 \times 0.5 = 7.5 \; N$ છે.
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{max} = \mu mg = 0.18 \times 15 \times 9.8 = 26.46 \; N$ છે (જો $g = 9.8 \; m s^{-2}$ લેવામાં આવે). જો $g = 10 \; m s^{-2}$ લઈએ,તો $f_{max} = 27 \; N$ મળે.
અહીં જરૂરી બળ $(7.5 \; N)$ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $(27 \; N)$ કરતા ઓછું હોવાથી,બ્લોક ટ્રોલી પર સરકશે નહીં.
$(a)$ જમીન પરના સ્થિર અવલોકનકાર માટે,બ્લોક પ્રથમ $20 \; s$ સુધી ટ્રોલી સાથે $0.5 \; m s^{-2}$ ના પ્રવેગથી ગતિ કરશે અને ત્યારબાદ $v = at = 0.5 \times 20 = 10 \; m s^{-1}$ ના અચળ વેગથી ગતિ કરશે.
$(b)$ ટ્રોલી સાથે ગતિ કરતા અવલોકનકાર માટે,બ્લોક સ્થિર જણાશે કારણ કે ઘર્ષણ બળ તેને ટ્રોલીની સાપેક્ષે સ્થિર રાખવા માટે જરૂરી પ્રવેગ પૂરો પાડે છે.

(C) બ્લોકનું દળ,$m = 1\; kg$.
સ્પ્રિંગ અચળાંક,$k = 100\; N m^{-1}$.
બ્લોકનું સ્થાનાંતર,$x = 10\; cm = 0.1\; m$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,તમામ બળો દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે. બ્લોક સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે અને સ્થિર થાય છે,તેથી ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર શૂન્ય છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા કાર્ય + સ્પ્રિંગ દ્વારા કાર્ય + ઘર્ષણ દ્વારા કાર્ય = $0$.
$mgx \sin 37^{\circ} - \frac{1}{2} k x^2 - f x = 0$.
અહીં,$f = \mu N = \mu mg \cos 37^{\circ}$.
કિંમતો મૂકતા:
$(1)(9.8)(0.1) \sin 37^{\circ} - \frac{1}{2} (100)(0.1)^2 - \mu (1)(9.8)(0.1) \cos 37^{\circ} = 0$.
$0.98 \times 0.6018 - 0.5 - \mu (0.98)(0.7986) = 0$.
$0.5898 - 0.5 = \mu (0.7826)$.
$0.0898 = \mu (0.7826)$.
$\mu = \frac{0.0898}{0.7826} \approx 0.115$.

(D) દૈનિક જીવનમાં,ગતિ બાહ્ય બળના પ્રયોગ દ્વારા શરૂ અથવા નિયંત્રિત થાય છે,જે $Newton$ ના ગતિના નિયમોનો મૂળભૂત ખ્યાલ છે.
$1$. સ્થિર ફૂટબોલને લાત મારવી: પગ દ્વારા લગાવવામાં આવેલું બળ દડાની સ્થિર અવસ્થામાં ફેરફાર કરે છે.
$2$. પથ્થરને ઉપરની દિશામાં ફેંકવા માટે,વ્યક્તિએ ઉપરની તરફ ધક્કો (બળ) આપવો પડે છે.
$3$. પવનને કારણે ઝાડની ડાળીઓ હલવી: ગતિશીલ હવા ડાળીઓ પર બળ લગાડે છે,જેના કારણે તે ગતિ કરે છે.
$4$. વહેતી નદીમાં હોડીનું હલેસા માર્યા વગર આગળ વધવું: વહેતા પાણી દ્વારા લગાવવામાં આવેલું બળ હોડીને ગતિ આપે છે.
આ તમામ ઉદાહરણો દર્શાવે છે કે કેવી રીતે બાહ્ય બળો ગતિને નિયંત્રિત અથવા શરૂ કરે છે.

(N/A) ઘર્ષણ અગ્નિ જેવું છે; ક્યારેક તે ઈચ્છનીય અને જરૂરી હોય છે,તો ક્યારેક તે અનિચ્છનીય હોય છે.
ઘર્ષણના ફાયદા:
$(1)$ તે આપણને લપસ્યા વગર જમીન પર ચાલવામાં મદદ કરે છે.
$(2)$ તે આપણને વસ્તુઓને મજબૂતીથી પકડવામાં સક્ષમ બનાવે છે.
$(3)$ તે આપણને કાગળ કે બોર્ડ જેવી સપાટીઓ પર લખવાની સુવિધા આપે છે.
$(4)$ તે કન્વેયર બેલ્ટ દ્વારા પૈડાં વચ્ચે ગતિના પ્રસારણમાં મદદ કરે છે.
ઘર્ષણના ગેરફાયદા:
$(1)$ તે સાપેક્ષ ગતિનો વિરોધ કરે છે અને યાંત્રિક ઉર્જાનો ઉષ્મા ઉર્જા સ્વરૂપે વ્યય કરે છે.
$(2)$ તે મશીનોના ગતિશીલ ભાગોમાં ઘસારો પેદા કરે છે.
$(3)$ તે કપડાં,પગરખાં અને વાહનોના ટાયરને ઘસી નાખે છે.
ઘર્ષણ ઘટાડવાના ઉપાયો:
$(1)$ લ્યુબ્રિકન્ટ્સ: મશીનના ગતિશીલ ભાગો વચ્ચે તેલ અથવા ગ્રીસનો ઉપયોગ કરવાથી ગતિક ઘર્ષણ ઘટે છે.
$(2)$ બોલ-બેરિંગ્સ: મશીનના ગતિશીલ ભાગો વચ્ચે બોલ-બેરિંગ્સનો ઉપયોગ કરવાથી સરકતું ઘર્ષણ લોટણ ઘર્ષણમાં રૂપાંતરિત થાય છે,જે ઘણું ઓછું હોય છે.
$(3)$ હવાના ગાદી (Air Cushion): આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,ઘન સપાટીઓ વચ્ચે હવાનું પાતળું પડ રાખવાથી ઘર્ષણ અસરકારક રીતે ઘટાડી શકાય છે.

(N/A) ઘર્ષણાંકને $\mu_s$ (સ્થિત ઘર્ષણ),$\mu_k$ (ગતિક ઘર્ષણ) અને $\mu_r$ (લોટણ ઘર્ષણ) દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
કોઈપણ બે સપાટીઓ માટે,આ ઘર્ષણાંકોનું મૂલ્ય સામાન્ય રીતે નીચે મુજબના સંબંધનું પાલન કરે છે:
$\mu_s > \mu_k > \mu_r$.
આ સંબંધનું કારણ એ છે કે સ્થિત ઘર્ષણમાં સપાટીઓની અનિયમિતતાઓ એકબીજામાં ભરાઈ ગયેલી હોય છે,ગતિક ઘર્ષણમાં સપાટીઓ સરકતી હોવાથી તેમને ભરાઈ જવાનો ઓછો સમય મળે છે,અને લોટણ ઘર્ષણ સૌથી ઓછું હોય છે કારણ કે તેમાં સપાટીઓનું વિરૂપણ અને સંપર્ક ક્ષેત્રફળ ન્યૂનતમ હોય છે.

(N/A) આપણે ન્યૂટનના ગતિના ત્રણ નિયમોનો ઉપયોગ કરીને ડાયનેમિક્સની વિવિધ સમસ્યાઓ ઉકેલી શકીએ છીએ.
ક્યારેક કોઈ સમસ્યામાં એક કરતા વધુ પદાર્થો સામેલ હોય છે અને આ પદાર્થો એકબીજા પર બળ લગાડે છે.
વધુમાં,દરેક પદાર્થ ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો અનુભવ કરે છે. આવી સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે,આપણે એક 'સિસ્ટમ' નક્કી કરવી જોઈએ જેની ગતિની ચર્ચા કરવાની છે,જ્યારે બાકીના ભાગો અને બાહ્ય એજન્સીઓને 'પર્યાવરણ' ગણવામાં આવે છે.
સમસ્યા ઉકેલવા માટે,નીચેના પગલાં અનુસરો:
$(1)$ વિવિધ પદાર્થોની ગોઠવણી,તેમના જોડાણો અને ટેકા દર્શાવતી આકૃતિ દોરો.
$(2)$ જે પદાર્થની ગતિનું વિશ્લેષણ કરવું હોય તેને સિસ્ટમ તરીકે પસંદ કરો. જો સિસ્ટમમાં એક કરતા વધુ પદાર્થો હોય,તો ખાતરી કરો કે તે બધા પદાર્થોનો પ્રવેગ સદિશ સમાન હોય.
$(3)$ પર્યાવરણ દ્વારા સિસ્ટમ પર લાગતા તમામ બળોની યાદી બનાવો. સિસ્ટમની અંદર લાગતા આંતરિક બળોને આમાં સામેલ કરશો નહીં.
$(4)$ સિસ્ટમને એક બિંદુ તરીકે દર્શાવો અને તેના પર લાગતા તમામ બાહ્ય બળોને તે બિંદુમાંથી નીકળતા સદિશો તરીકે દોરો. આને ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ $(FBD)$ કહેવામાં આવે છે. આનો અર્થ એ નથી કે સિસ્ટમ બળોથી મુક્ત છે,પરંતુ માત્ર એ છે કે સિસ્ટમ પર લાગતા બળો આકૃતિમાં દર્શાવવામાં આવ્યા છે.
$(5)$ જો જરૂરી હોય તો,બીજી સિસ્ટમ પસંદ કરો અને પગલાંઓનું પુનરાવર્તન કરો. ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમનો ઉપયોગ કરો: ઉદાહરણ તરીકે,જો $A$ ના $FBD$ માં $B$ દ્વારા $A$ પર લાગતું બળ $\vec{F}$ હોય,તો $B$ ના $FBD$ માં $A$ દ્વારા $B$ પર લાગતું બળ $-\vec{F}$ હશે.

(A) સમક્ષિતિજ દિશા ($x$-દિશા) માં બળ $F$ નો ઘટક $F_x = F \cos(60^{\circ})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $F = 36 \, \text{dyne}$ અને $\theta = 60^{\circ}$ આપેલ છે.
$F_x = 36 \times \cos(60^{\circ}) = 36 \times 0.5 = 18 \, \text{dyne}$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,સમક્ષિતિજ દિશામાં પ્રવેગ $a_x = \frac{F_x}{m}$ થાય.
અહીં પદાર્થનું દળ $m = 18 \, \text{g}$ આપેલ છે.
$a_x = \frac{18 \, \text{dyne}}{18 \, \text{g}} = 1 \, \text{cm/s}^2$.

(C) બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = Fd \cos(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ બળ સદિશ અને સ્થાનાંતર સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ગતિજ ઘર્ષણના કિસ્સામાં,ઘર્ષણ બળ હંમેશા પદાર્થની સાપેક્ષ ગતિ (સ્થાનાંતર) ની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે. તેથી,ઘર્ષણ બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 180^{\circ}$ હોય છે.
કારણ કે $\cos(180^{\circ}) = -1$ થાય છે,તેથી ગતિજ ઘર્ષણ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય હંમેશા ઋણ $(W = -Fd)$ હોય છે.
જોકે,સ્થિત ઘર્ષણના કિસ્સામાં,તે અપેક્ષિત ગતિ અથવા સાપેક્ષ ગતિની દિશામાં કાર્ય કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે,જ્યારે કોઈ વ્યક્તિ ચાલે છે,ત્યારે સ્થિત ઘર્ષણ ગતિની દિશામાં કાર્ય કરે છે,જેનાથી સ્થિત ઘર્ષણ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય ધન બને છે. તેથી,ઘર્ષણ બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય ઘર્ષણના પ્રકાર અને સંદર્ભના આધારે ધન અથવા ઋણ હોઈ શકે છે.

(B) જ્યારે હવામાં પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થમાં વિસ્ફોટ થાય છે,ત્યારે આ વિસ્ફોટ આંતરિક બળો (જેમ કે રાસાયણિક ઉર્જાનું મુક્ત થવું) ને કારણે થાય છે.
ન્યૂટનના નિયમો અનુસાર,આંતરિક બળો તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિમાં ફેરફાર કરતા નથી.
વિસ્ફોટ દરમિયાન અને પછી પણ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ પર કાર્ય કરતું એકમાત્ર બાહ્ય બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(F_{ext} = mg)$ છે.
તેથી,પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર બાહ્ય ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા નિર્ધારિત મૂળ પરવલયાકાર માર્ગને અનુસરવાનું ચાલુ રાખે છે.

(D) બે સપાટીઓ વચ્ચેનું સંપર્કબળ $R$ એ લંબબળ $N$ અને ઘર્ષણ બળ $f$ નું પરિણામી બળ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,લંબબળ $N$ સપાટીને લંબ રૂપે લાગે છે અને ઘર્ષણ બળ $f$ સપાટીને સમાંતર લાગે છે.
આ બંને બળો એકબીજાને લંબ હોવાથી,પરિણામી સંપર્કબળ $R$ નું મૂલ્ય સદિશ સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$R = \sqrt{N^2 + f^2}$.
ઢાળ પર રહેલા પદાર્થ માટે,$N = mg \cos \theta$ અને $f = \mu N$ (જો પદાર્થ સરકતો હોય) અથવા $f = mg \sin \theta$ (જો પદાર્થ સંતુલનમાં હોય).
આમ,સંપર્કબળનું સામાન્ય સૂત્ર $R = \sqrt{N^2 + f^2}$ છે.

(B) બંદૂકનું દળ,$m_1 = 100 \, kg$.
દડાનું દળ,$m_2 = 1 \, kg$.
ટેકરીની ઊંચાઈ,$h = 500 \, m$.
દડા દ્વારા કાપેલું સમક્ષિતિજ અંતર,$x = 400 \, m$.
ગુરુત્વપ્રવેગ,$g = 10 \, m/s^2$.
સૌ પ્રથમ,આપણે શિરોલંબ ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને દડાને જમીન પર પહોંચતા લાગતો સમય શોધીએ:
$h = \frac{1}{2} g t^2$
$500 = \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$
$500 = 5 t^2$
$t^2 = 100$
$t = 10 \, s$.
હવે,દડાનો સમક્ષિતિજ વેગ $(u)$ શોધીએ:
$x = u t$
$400 = u \times 10$
$u = 40 \, m/s$.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,બંદૂકનું વેગમાન અને દડાનું વેગમાન સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે:
$m_1 v = m_2 u$
$100 \times v = 1 \times 40$
$v = \frac{40}{100} = 0.4 \, m/s$.
આમ,બંદૂકનો રિકોઈલ વેગ $0.4 \, m/s$ છે.

(D) ઘર્ષણ બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
$r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર માર્ગ માટે,મહત્તમ ઝડપ $v$ એ $\frac{mv^2}{r} = \mu mg$ દ્વારા મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $v = \sqrt{\mu rg}$ થાય છે.
$1$. $ABC$ માર્ગ માટે (ત્રિજ્યા $2R = 200 \, m$):
લંબાઈ $L_1 = \frac{3}{4} \times (2\pi \times 2R) = 3\pi R = 300\pi \, m$.
ઝડપ $v_1 = \sqrt{0.1 \times 200 \times 10} = \sqrt{200} \approx 14.14 \, m/s$.
સમય $t_1 = \frac{300\pi}{14.14} \approx 66.66 \, s$.
$2$. $DEF$ માર્ગ માટે (ત્રિજ્યા $R = 100 \, m$):
લંબાઈ $L_2 = \frac{1}{4} \times (2\pi R) = \frac{\pi R}{2} = 50\pi \, m$.
ઝડપ $v_2 = \sqrt{0.1 \times 100 \times 10} = 10 \, m/s$.
સમય $t_2 = \frac{50\pi}{10} = 5\pi \approx 15.71 \, s$.
$3$. સીધા માર્ગો $CD$ અને $FA$ માટે (દરેકની લંબાઈ $R = 100 \, m$):
કુલ લંબાઈ $L_3 = R + R = 200 \, m$.
ઝડપ $v_3 = 50 \, m/s$.
સમય $t_3 = \frac{200}{50} = 4.0 \, s$.
કુલ સમય $T = t_1 + t_2 + t_3 = 66.66 + 15.71 + 4.0 = 86.37 \, s$.

(A) આપેલ છે:
હેલિકોપ્ટરનું દળ $m_{1} = 2000 \,kg$
ક્રૂ અને મુસાફરોનું દળ $m_{2} = 500 \,kg$
પ્રવેગ $a = 15 \,m s^{-2}$
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \,m s^{-2}$
$(a)$ ક્રૂ અને મુસાફરો દ્વારા હેલિકોપ્ટરના તળિયા પર લાગતું બળ એ આભાસી વજન છે $F_{1} = m_{2}(g + a)$.
$F_{1} = 500 \times (10 + 15) = 500 \times 25 = 12500 \,N$ (નીચેની તરફ).
$(b)$ હેલિકોપ્ટરના રોટર દ્વારા આસપાસની હવા પર થતી ક્રિયા એ સમગ્ર સિસ્ટમ (હેલિકોપ્ટર + ક્રૂ + મુસાફરો) ને $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપર લઈ જવા માટે જરૂરી કુલ બળ છે.
$F_{2} = (m_{1} + m_{2})(g + a) = (2000 + 500) \times (10 + 15) = 2500 \times 25 = 62500 \,N$ (નીચેની તરફ).
$(c)$ ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આસપાસની હવા દ્વારા હેલિકોપ્ટર પર લાગતું બળ એ $F_{2}$ બળની પ્રતિક્રિયા છે.
$F_{3} = 62500 \,N$ (ઉપરની તરફ).