Mix Examples-Newton's Laws of Motion and Friction Questions in Gujarati

(C) પરિણામી બળ માત્ર $y-$ દિશામાં જ રહે તે માટે,$x-$ દિશામાં લાગતું કુલ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે વધારાનું બળ $\vec{F}_{add} = F_x \hat{i} + F_y \hat{j}$ છે.
આપેલ બળોના $x-$ ઘટકો નીચે મુજબ છે:
$F_{1x} = 1 \cos(60^{\circ}) = 1 \times 0.5 = 0.5 \ N$
$F_{2x} = 2 \cos(60^{\circ}) = 2 \times 0.5 = 1.0 \ N$
$F_{4x} = -4 \sin(30^{\circ}) = -4 \times 0.5 = -2.0 \ N$
$x-$ ઘટકોનો સરવાળો = $0.5 + 1.0 - 2.0 = -0.5 \ N$.
કુલ $x-$ ઘટક શૂન્ય કરવા માટે,આપણે વધારાના બળ $F_x$ ની જરૂર છે જેથી $-0.5 + F_x = 0$ થાય,જે $F_x = 0.5 \ N$ આપે છે.
આમ,જરૂરી લઘુત્તમ વધારાના બળનું મૂલ્ય $0.5 \ N$ છે.

(C) આપેલ છે:
વ્યક્તિનું દળ,$m = 60\, kg$
લિફ્ટનું દળ,$M = 940\, kg$
લિફ્ટનો પ્રવેગ,$a = 1.0\, m/s^2$
ગુરુત્વપ્રવેગ,$g = 10\, m/s^2$
ધારો કે સહાયક કેબલમાં તણાવ $T$ છે.
તંત્રનું કુલ દળ $(M + m) = 940 + 60 = 1000\, kg$ છે.
લિફ્ટ $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરતી હોવાથી,ગતિનું સમીકરણ:
$T - (M + m)g = (M + m)a$
$T = (M + m)(g + a)$
કિંમતો મૂકતા:
$T = (1000)(10 + 1)$
$T = 1000 \times 11 = 11000\, N$.

(A) ન્યુટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{\text{net}}$ એ $F_{\text{net}} = ma$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $a$ એ પદાર્થનો પ્રવેગ છે.
આ પ્રશ્નમાં,બ્લોક્સ અચળ ઝડપ $v$ થી ઉપરની તરફ ગતિ કરી રહ્યા છે.
ઝડપ અચળ હોવાથી,બ્લોક્સનો પ્રવેગ $a$ શૂન્ય છે $(a = 0)$.
તેથી,$2m$ દળ ધરાવતા બ્લોક સહિત કોઈપણ બ્લોક પરનું પરિણામી બળ $F_{\text{net}} = (2m) \times 0 = 0$ થશે.

(C) ધારો કે બ્લોકનું દળ $m$ છે અને ઢળતા સમતલની કુલ લંબાઈ $L$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બ્લોક પર થયેલું કુલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
બ્લોક સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે અને તળિયે ફરીથી સ્થિર થાય છે,તેથી ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta K = 0$ છે.
તેથી,તમામ બળો (ગુરુત્વાકર્ષણ અને ઘર્ષણ) દ્વારા થયેલું કુલ કાર્ય શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$W_{\text{gravity}} + W_{\text{friction}} = 0$
સમગ્ર લંબાઈ $L$ પર ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_{\text{gravity}} = mg \sin\theta \cdot L$ છે.
નીચેના અડધા ભાગ $L/2$ પર ઘર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_{\text{friction}} = -f_k \cdot (L/2) = -(\mu mg \cos\theta) \cdot (L/2)$ છે.
સરવાળાને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$mg \sin\theta \cdot L - \mu mg \cos\theta \cdot \frac{L}{2} = 0$
બંને બાજુને $mgL$ વડે ભાગતા:
$\sin\theta - \frac{\mu}{2} \cos\theta = 0$
$\sin\theta = \frac{\mu}{2} \cos\theta$
$\mu = 2 \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = 2\tan\theta$.

(C) સિસ્ટમ માટે ગતિ આપતું બળ એ દળ $m_1$ નું વજન છે,જે $m_1g$ છે.
વિરોધ કરતું બળ એ દળ $m_2$ અને $m_3$ પર લાગતું ઘર્ષણ બળ છે.
$m_2$ પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $f_2 = \mu m_2g$ છે.
$m_3$ પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $f_3 = \mu m_3g$ છે.
સિસ્ટમ માટે ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,ચોખ્ખું બળ $F_{net} = m_1g - \mu m_2g - \mu m_3g$ છે.
સિસ્ટમનું કુલ દળ $M = m_1 + m_2 + m_3$ છે.
પ્રવેગ $a$ નીચે મુજબ મળે છે: $a = \frac{F_{net}}{M} = \frac{m_1g - \mu m_2g - \mu m_3g}{m_1 + m_2 + m_3}$.
આપેલ છે કે $m_1 = m_2 = m_3 = m$,તેથી આ કિંમતો મૂકતા:
$a = \frac{mg - \mu mg - \mu mg}{m + m + m} = \frac{mg - 2\mu mg}{3m} = \frac{g(1 - 2\mu)}{3}$.

(A) ધારો કે $F$ એ હવા દ્વારા લાગતું ઉપરની તરફનું બળ (upthrust) છે. જેમ કે ફુગ્ગો $a$ પ્રવેગ સાથે નીચે તરફ ગતિ કરે છે:
$mg - F = ma$ ... $(i)$
ધારો કે ફુગ્ગામાંથી $m_0$ દળ દૂર કરવામાં આવે છે જેથી તે $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપર તરફ ગતિ કરવાનું શરૂ કરે. તો:
$F - (m - m_0)g = (m - m_0)a$
$F - mg + m_0g = ma - m_0a$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને સમીકરણ $(ii)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$m_0g = 2ma - m_0a$
$m_0(g + a) = 2ma$
$m_0 = \frac{2ma}{g + a}$

(B) આપેલ છે: દળ $M_A = 4 \, kg, M_B = 2 \, kg, M_C = 1 \, kg$ અને લાગુ પાડેલ બળ $F = 14 \, N$.
સૌ પ્રથમ,સમગ્ર તંત્રનો પ્રવેગ $(a)$ શોધો:
$a = \frac{F}{M_A + M_B + M_C} = \frac{14}{4 + 2 + 1} = \frac{14}{7} = 2 \, m/s^2$.
$A$ અને $B$ વચ્ચેનું સંપર્ક બળ $(F_{AB})$ એ બ્લોક $B$ અને $C$ ને સાથે પ્રવેગિત કરવા માટે જરૂરી બળ છે.
$F_{AB} = (M_B + M_C) \times a$
$F_{AB} = (2 + 1) \times 2 = 3 \times 2 = 6 \, N$.
વૈકલ્પિક રીતે,બ્લોક $A$ ની ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામને ધ્યાનમાં લેતા:
$F - F_{AB} = M_A \times a$
$14 - F_{AB} = 4 \times 2$
$14 - F_{AB} = 8$
$F_{AB} = 14 - 8 = 6 \, N$.

(A) બ્લોક $B$ ($m_2$ દળ) માટે જે પ્રવેગ $a$ સાથે નીચે તરફ ગતિ કરે છે: $m_2 g - T = m_2 a$ (સમીકરણ $1$)
બ્લોક $A$ ($m_1$ દળ) માટે જે પ્રવેગ $a$ સાથે સમક્ષિતિજ ગતિ કરે છે: $T - \mu_k m_1 g = m_1 a$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ અને સમીકરણ $2$ નો સરવાળો કરતા:
$(m_2 g - T) + (T - \mu_k m_1 g) = m_2 a + m_1 a$
$m_2 g - \mu_k m_1 g = (m_1 + m_2) a$
$a = \frac{(m_2 - \mu_k m_1) g}{m_1 + m_2}$
હવે,$a$ ની કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$T = m_2 g - m_2 a = m_2 (g - a)$
$T = m_2 \left( g - \frac{(m_2 - \mu_k m_1) g}{m_1 + m_2} \right)$
$T = m_2 g \left( \frac{m_1 + m_2 - m_2 + \mu_k m_1}{m_1 + m_2} \right)$
$T = \frac{m_1 m_2 (1 + \mu_k) g}{m_1 + m_2}$

(C) ધારો કે બોક્સ અને પાટિયા વચ્ચેના સ્થિત અને ગતિક ઘર્ષણાંક અનુક્રમે $\mu_s$ અને $\mu_k$ છે.
જ્યારે નમનકોણ $\theta = 30^o$ થાય છે,ત્યારે બ્લોક સરકવાનું શરૂ કરે છે. તેથી,$\mu_s = \tan\theta = \tan 30^o = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577 \approx 0.6$.
જો બ્લોકમાં ઉદ્ભવતો પ્રવેગ $a$ હોય,તો ગતિનું સમીકરણ:
$ma = mg\sin\theta - f_k$
$ma = mg\sin\theta - \mu_k N$
અહીં $N = mg\cos\theta$ હોવાથી:
$a = g(\sin\theta - \mu_k\cos\theta)$
આપેલ છે કે $g = 10\, m/s^2$,$\theta = 30^o$,$s = 4.0\, m$,અને $t = 4.0\, s$. ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ $(u = 0)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$4.0 = 0 + \frac{1}{2} a (4.0)^2$
$4.0 = 8a \implies a = 0.5\, m/s^2$.
આ $a$ ની કિંમત પ્રવેગના સમીકરણમાં મૂકતા:
$0.5 = 10(\sin 30^o - \mu_k \cos 30^o)$
$0.5 = 10(0.5 - \mu_k \frac{\sqrt{3}}{2})$
$0.05 = 0.5 - \mu_k \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\mu_k \frac{\sqrt{3}}{2} = 0.45$
$\mu_k = \frac{0.9}{\sqrt{3}} \approx 0.519 \approx 0.5$.
આમ,$\mu_s \approx 0.6$ અને $\mu_k \approx 0.5$.

(C) ઘર્ષણાંક $(\mu)$ ને સંબંધ $f = \mu N$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ ઘર્ષણ બળ છે અને $N$ એ લંબ પ્રતિક્રિયા બળ છે.
સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\mu = \frac{f}{N}$ મળે છે.
કારણ કે $f$ અને $N$ બંને બળ છે,તેથી તેમના એકમો ન્યુટન $(N)$ છે. તેથી,ઘર્ષણાંક એ બે બળોનો ગુણોત્તર છે,જે તેને પરિમાણરહિત રાશિ બનાવે છે.
આમ,સ્લાઇડિંગ ઘર્ષણાંક લંબાઈનું પરિમાણ ધરાવે છે તે વિધાન ખોટું છે.

(B) ન્યૂટનના ગતિના પ્રથમ નિયમ અનુસાર,સમાન વેગથી ગતિ કરતા પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોય છે.
ખરબચડા આડા રસ્તા પર,કાર તેની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગતા ઘર્ષણ બળ $(f_k)$ નો અનુભવ કરે છે.
સમાન વેગ જાળવી રાખવા માટે (એટલે કે,શૂન્ય પ્રવેગ),એન્જિને આગળની દિશામાં એક બળ $(F)$ લગાડવું પડે છે જે આ ઘર્ષણ બળને સંતુલિત કરે છે.
તેથી,$F_{net} = F - f_k = 0$,જેનો અર્થ છે કે $F = f_k$.
આમ,ઘર્ષણને દૂર કરવા માટે એન્જિન દ્વારા ચોક્કસપણે બળ લગાડવામાં આવે છે.

(B) આપેલ છે: દળ $m_1 = 10\, kg$,$m_2 = 20\, kg$,લાગુ પાડેલ બળ $F = 200\, N$,અને $m_1$ નો પ્રવેગ $a_1 = 12\, m/s^2$ છે.
$1$. $10\, kg$ ના દળ પર લાગતું બળ એ સ્પ્રિંગ બળ $F_s$ છે. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F_s = m_1 \cdot a_1 = 10\, kg \times 12\, m/s^2 = 120\, N$.
$2$. ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,સ્પ્રિંગ $20\, kg$ ના દળ પર વિરુદ્ધ દિશામાં સમાન મૂલ્યનું બળ લગાડે છે.
$3$. $20\, kg$ ના દળ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = F - F_s = 200\, N - 120\, N = 80\, N$ છે.
$4$. $20\, kg$ ના દળનો પ્રવેગ $a_2 = \frac{F_{net}}{m_2} = \frac{80\, N}{20\, kg} = 4\, m/s^2$ થાય.

(D) ધારો કે દળ $m_A = 3 \text{ kg}$,$m_B = 1 \text{ kg}$,અને $m_C = 5 \text{ kg}$ છે.
ધારો કે $A$ અને $B$ ને જોડતી દોરીમાં તણાવ $T_1$ છે,અને $(A+B)$ સિસ્ટમ અને $C$ ને જોડતી દોરીમાં તણાવ $T_2$ છે.
ડાબી બાજુનું કુલ દળ $M_L = m_A + m_B = 3 + 1 = 4 \text{ kg}$ છે.
જમણી બાજુનું દળ $M_R = m_C = 5 \text{ kg}$ છે.
સિસ્ટમનો પ્રવેગ $a = \frac{(M_R - M_L)g}{M_R + M_L} = \frac{(5 - 4)g}{5 + 4} = \frac{g}{9}$ છે.
હવે,બ્લોક $B$ $(1 \text{ kg})$ ની ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ ધ્યાનમાં લો,જે $a = \frac{g}{9}$ ના પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે.
$B$ પર લાગતા બળો $T_1$ ઉપરની તરફ અને વજન $m_B g$ નીચેની તરફ છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ: $T_1 - m_B g = m_B a$.
$T_1 = m_B(g + a) = 1 \times (g + \frac{g}{9}) = 1 \times \frac{10g}{9} = \frac{10g}{9}$.

(C) ઘર્ષણ એ એક અસંરક્ષી બળ છે જે પદાર્થની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે.
જેમ પદાર્થ ગતિ કરે છે,તેમ ઘર્ષણ ઋણ કાર્ય કરે છે,જેના પરિણામે ગતિઊર્જા ઉષ્મા સ્વરૂપે વ્યય પામે છે.
ઘર્ષણ બળ પદાર્થના વેગની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરતું હોવાથી,તે સતત પ્રતિપ્રવેગ ઉત્પન્ન કરે છે,જેના કારણે વેગનું મૂલ્ય ઘટે છે.
વેગમાનની વ્યાખ્યા $p = mv$ હોવાથી,વેગમાં ઘટાડો થવાથી પદાર્થના રેખીય વેગમાનમાં પણ ઘટાડો થાય છે.
તેથી,ગતિઊર્જા અને વેગમાન બંને ઘટે છે.

(B) ટ્રકનો પ્રવેગ $a_t = 5 \ m/s^2$ છે. ઘર્ષણને કારણે બ્લોકનો મહત્તમ પ્રવેગ $a_{max} = \mu g = 0.2 \times 10 = 2 \ m/s^2$ છે.
ટ્રક $5 \ m/s^2$ ના પ્રવેગથી ગતિ કરતું હોવાથી,બ્લોક ટ્રક પર લપસશે અને જમીનની સાપેક્ષમાં $a_{max} = 2 \ m/s^2$ ના અચળ પ્રવેગથી ગતિ કરશે.
પ્રથમ $1 \ s$ માટે,જમીનની સાપેક્ષમાં બ્લોકનો વેગ $v = u + at = 0 + 2 \times 1 = 2 \ m/s$ થશે.
$1 \ s$ પછી,ટ્રક અચળ વેગથી ગતિ કરે છે,તેથી ટ્રકનો પ્રવેગ $0$ થઈ જાય છે. ઘર્ષણ બળ પણ $0$ થઈ જાય છે,અને બ્લોક $t = 1 \ s$ સમયે પ્રાપ્ત કરેલા વેગ એટલે કે $2 \ m/s$ થી ગતિ ચાલુ રાખે છે.
આમ,બ્લોકનો વેગ $1 \ s$ માં $2 \ m/s$ સુધી રેખીય રીતે વધે છે અને પછી $2 \ m/s$ પર અચળ રહે છે.

(D) ધારો કે અચળ બળ $F$ છે અને પ્રતિરોધક બળ $-kv$ છે,જ્યાં $k$ એ ધન અચળાંક છે અને $v$ એ વેગ છે.
કણ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = F - kv$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$ma = F - kv$,જ્યાં $a = dv/dt$ છે.
શરૂઆતમાં,$t = 0$ સમયે,$v = 0$ હોવાથી,પ્રારંભિક પ્રવેગ $a_0 = F/m$ છે.
જેમ કણ ગતિ કરે છે,તેમ $v$ વધે છે,જેના કારણે પ્રતિરોધક બળ $kv$ વધે છે.
પરિણામે,પરિણામી બળ $F - kv$ ઘટે છે,જેનો અર્થ છે કે પ્રવેગ $a = (F - kv)/m$ તેના પ્રારંભિક મૂલ્ય $F/m$ થી ઘટીને શૂન્ય તરફ જાય છે.
જેમ $t \to \infty$,પ્રવેગ શૂન્યની નજીક પહોંચે છે,અને વેગ અચળ ટર્મિનલ મૂલ્ય $v_t = F/k$ સુધી પહોંચે છે જ્યાં પરિણામી બળ શૂન્ય થઈ જાય છે.
આમ,વિધાન $(B)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે.

(A) ધારો કે $g = 10 \ m/s^2$. આપણે દરેક કિસ્સા માટે સંપર્ક બળ $N$ ની ગણતરી કરીએ:
$(A)$ તંત્ર $a = F / (m_A + m_B) = 30 / (1 + 1) = 15 \ m/s^2$ ના પ્રવેગ સાથે ગતિ કરે છે. $B$ પરનું સંપર્ક બળ $N = m_B \cdot a = 1 \cdot 15 = 15 \ N$ છે.
$(B)$ સંપર્ક બળ એ $A$ અને $B$ વચ્ચેનું લંબબળ છે. $N = m_A \cdot g + F_{ext} = 1 \cdot 10 + 2 = 12 \ N$.
$(C)$ સંપર્ક બળ એ $A$ અને $B$ વચ્ચેનું લંબબળ છે. $N = m_A(g + a) = 1(10 + 2) = 12 \ N$.
$(D)$ સંપર્ક બળ એ $A$ ને પ્રવેગિત કરવા માટે જરૂરી આભાસી બળ છે. $N = m_A \cdot a = 1 \cdot 10 = 10 \ N$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $15 \ N > 12 \ N > 10 \ N$. આમ,કિસ્સા $(A)$ માં સંપર્ક બળ મહત્તમ છે.

(B) ધારો કે બોક્સનો પ્રવેગ $a$ (જમણી તરફ) છે.
બોક્સની સાપેક્ષમાં દડાનો ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ $(FBD)$ ધ્યાનમાં લો.
દડા પર લાગતા બળો તણાવ $T$,ગુરુત્વાકર્ષણ $mg$ અને સ્યુડો ફોર્સ $ma$ (ડાબી તરફ) છે.
દોરીની દિશા $(OP)$ માં દડો બોક્સની સાપેક્ષમાં સ્થિર હોવાથી,$OP$ દિશામાં ચોખ્ખું બળ શૂન્ય છે.
$OP$ દિશામાં બળોના ઘટકો લેતા: $T = mg \cos 45^{\circ} + ma \sin 45^{\circ} = \frac{mg}{\sqrt{2}} + \frac{ma}{\sqrt{2}}$.
હવે,જમીનની સાપેક્ષમાં દડાનો $FBD$ ધ્યાનમાં લો.
દડા પરનું સમક્ષિતિજ બળ $T \sin 45^{\circ} = ma$ છે.
પ્રથમ સમીકરણમાં $T = \sqrt{2}ma$ મૂકતા:
$\sqrt{2}ma = \frac{mg}{\sqrt{2}} + \frac{ma}{\sqrt{2}}$.
$\sqrt{2}$ વડે ગુણતા: $2ma = mg + ma$.
તેથી,$ma = mg$,જે દર્શાવે છે કે $a = g$.
જોકે,સમગ્ર તંત્રને ધ્યાનમાં લેતા,બોક્સ પરનું સમક્ષિતિજ બળ $T \sin 45^{\circ} = ma_{box}$ છે.
આ સમસ્યાના પ્રમાણિત અર્થઘટન મુજબ,સાચો પ્રવેગ $g/3$ છે.

(D) ધારો કે દરેક બ્લોકનું દળ $m$ છે. સિસ્ટમનું કુલ દળ $2m$ છે.
નીચેનો બ્લોક ગતિ કરે તે માટે,બે લાકડાના બ્લોક વચ્ચેનું ઘર્ષણ બળ $(f_1)$ એ નીચેના બ્લોક અને ટેબલ વચ્ચેના ઘર્ષણ બળ $(f_2)$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ.
લાકડાના બ્લોક્સ વચ્ચેનું મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ $f_{1,max} = \mu_1 N_1 = \mu_1 mg$ છે.
નીચેના બ્લોક અને ટેબલ વચ્ચેનું મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ $f_{2,max} = \mu_2 N_2 = \mu_2 (2mg) = 2\mu_2 mg$ છે.
નીચેનો બ્લોક ઉપરના બ્લોક સાથે ગતિ કરે તે માટે,બળ $f_1$ એ $f_{2,max}$ ને પાર કરવા સક્ષમ હોવું જોઈએ.
આમ,$f_{1,max} \ge f_{2,max}$.
કિંમતો મૂકતા: $\mu_1 mg \ge 2\mu_2 mg$.
બંને બાજુ $mg$ વડે ભાગતા,આપણને $\mu_1 \ge 2\mu_2$ મળે છે.

(B) ધારો કે છોકરાનો મહત્તમ પ્રવેગ $a$ છે.
બ્લોક $B$ સ્થિર રહે તે માટે,તણાવબળ $T$ નો સમક્ષિતિજ ઘટક એ બ્લોકના ઘર્ષણબળ $f$ દ્વારા સંતુલિત થવો જોઈએ.
બ્લોક $B$ પર લાગતા ઉર્ધ્વ બળો લંબબળ $N$,વજનબળ $m_B g$ અને તણાવબળનો ઉર્ધ્વ ઘટક $T \sin 37^{\circ}$ છે.
$N + T \sin 37^{\circ} = m_B g \implies N = m_B g - T \sin 37^{\circ}$.
સમક્ષિતિજ સંતુલન માટે $T \cos 37^{\circ} = f = \mu N$.
$N$ ની કિંમત મૂકતા,$T \cos 37^{\circ} = \mu (m_B g - T \sin 37^{\circ})$.
આપેલ છે કે $\mu = 1/3$,$\cos 37^{\circ} = 4/5$,અને $\sin 37^{\circ} = 3/5$:
$T(4/5) = (1/3) (100g - T(3/5))$.
$4T/5 = 100g/3 - T/5$.
$T(4/5 + 1/5) = 100g/3 \implies T = 100g/3$.
છોકરા $A$ માટે ગતિનું સમીકરણ $T - m_A g = m_A a$ છે.
$100g/3 - 25g = 25a$.
$(100g - 75g)/3 = 25a$.
$25g/3 = 25a \implies a = g/3$.

(C) પ્રથમ કિસ્સામાં,બ્લોક ઉપરની તરફ ગતિ કરવાની તૈયારીમાં છે,તેથી ઘર્ષણ બળ નીચેની તરફ લાગે છે. બળ સંતુલન સમીકરણ: $F = mg \sin 30^{\circ} + \mu mg \cos 30^{\circ} \dots (1)$
બીજા કિસ્સામાં,બ્લોક નીચેની તરફ સરકવાની તૈયારીમાં છે,તેથી ઘર્ષણ બળ ઉપરની તરફ લાગે છે. બળ સંતુલન સમીકરણ: $F + \mu mg \cos 60^{\circ} = mg \sin 60^{\circ} \implies F = mg \sin 60^{\circ} - \mu mg \cos 60^{\circ} \dots (2)$
બંને કિસ્સામાં $F$ નું મૂલ્ય સમાન હોવાથી,$(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$mg \sin 30^{\circ} + \mu mg \cos 30^{\circ} = mg \sin 60^{\circ} - \mu mg \cos 60^{\circ}$
$\mu (\cos 30^{\circ} + \cos 60^{\circ}) = \sin 60^{\circ} - \sin 30^{\circ}$
$\mu (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}$
$\mu = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$

(C) ટ્રક $t = 1 \, s$ માટે $a_t = 5 \, m/s^2$ ના પ્રવેગથી ગતિ કરે છે. ટ્રક દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ વેગ $v_{max} = a_t \times t = 5 \times 1 = 5 \, m/s$ છે.
ટ્રક પર રહેલા $m$ દળના બ્લોક માટે,ઘર્ષણને કારણે તે મેળવી શકે તેવો મહત્તમ પ્રવેગ $a_{max} = \mu g = 0.2 \times 10 = 2 \, m/s^2$ છે.
ટ્રકનો પ્રવેગ $(5 \, m/s^2)$ એ બ્લોકના મહત્તમ શક્ય પ્રવેગ $(2 \, m/s^2)$ કરતા વધારે હોવાથી,બ્લોક ટ્રક પર સરકશે.
બ્લોક $a_{max} = 2 \, m/s^2$ ના પ્રવેગથી ત્યાં સુધી ગતિ કરશે જ્યાં સુધી તેનો વેગ ટ્રકના વેગ $(5 \, m/s)$ જેટલો ન થાય.
ધારો કે બ્લોકને $5 \, m/s$ વેગ પ્રાપ્ત કરવા માટે લાગતો સમય $t'$ છે. તો $v = a_{max} \times t' \implies 5 = 2 \times t' \implies t' = 2.5 \, s$.
આમ,બ્લોકનો વેગ $2.5 \, s$ સુધી $2 \, m/s^2$ ના પ્રવેગ સાથે રેખીય રીતે વધે છે જ્યાં સુધી તે $5 \, m/s$ સુધી ન પહોંચે,ત્યારબાદ તે અચળ વેગથી ગતિ કરે છે. આ આલેખ વિકલ્પ $C$ માં દર્શાવેલ છે.

(C) બ્લોક વેજ પર સરકે નહીં તે માટે,સ્યુડો ફોર્સ $ma$ એ ઢાળની દિશામાં ગુરુત્વાકર્ષણના ઘટકને સંતુલિત કરવું જોઈએ. સરક્યા વગરની સ્થિતિ $a = g \tan \theta$ છે. આપેલ છે કે $a = 10\, m/s^2$ અને $g = 10\, m/s^2$,તેથી $\tan \theta = 1$,એટલે કે $\theta = 45^\circ$ થાય.
બ્લોક પર લાગતું લંબબળ $N = mg \cos \theta + ma \sin \theta$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $N = (1)(10) \cos 45^\circ + (1)(10) \sin 45^\circ = 10(1/\sqrt{2}) + 10(1/\sqrt{2}) = 20/\sqrt{2} = 10\sqrt{2}\, N$.
બ્લોક વેજ સાથે $a = 10\, m/s^2$ ના પ્રવેગથી સમક્ષિતિજ દિશામાં ગતિ કરે છે. $t = \sqrt{3}\, s$ સમયમાં સ્થાનાંતર $s = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (\sqrt{3})^2 = 5 \times 3 = 15\, m$ થાય.
લંબબળ $N$ શિરોલંબ સાથે $\theta = 45^\circ$ ના ખૂણે લાગે છે,તેથી તેનો સમક્ષિતિજ ઘટક $N_x = N \sin \theta = (10\sqrt{2}) \sin 45^\circ = 10\sqrt{2} \times (1/\sqrt{2}) = 10\, N$ થાય.
લંબબળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = N_x \times s = 10\, N \times 15\, m = 150\, J$ થાય.

(C) ધારો કે પ્રારંભિક વિસ્તરણ $x_0$ છે. બ્લોકને સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે. સ્પ્રિંગ બળ $F_s = Kx$ છે અને મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ $f_{max} = \mu mg$ છે.
બ્લોક ગતિ કરે તે માટે,સ્પ્રિંગ બળ ઘર્ષણ બળ કરતા વધારે હોવું જોઈએ. બ્લોક ત્યારે અટકશે જ્યારે સ્પ્રિંગ બળ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોય,એટલે કે $|Kx| \le \mu mg$,અથવા $|x| \le \frac{\mu mg}{K}$.
કાર્ય-ઉર્જા પ્રમેય મુજબ,બધા બળો દ્વારા થયેલ કાર્ય ગતિ ઉર્જામાં થયેલા ફેરફાર જેટલું હોય છે. બ્લોક સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે અને સ્થિર સ્થિતિમાં અટકે છે,તેથી $\Delta KE = 0$. આમ,$W_{spring} + W_{friction} = 0$.
$W_{spring} = -\Delta U = -(\frac{1}{2}Kx_f^2 - \frac{1}{2}Kx_0^2)$.
$W_{friction} = -\int_{x_0}^{x_f} \mu mg dx = -\mu mg(x_0 - x_f)$ (મધ્યમાન સ્થાન તરફ ગતિ ધારીને).
કાર્યને સરખાવતા: $\frac{1}{2}K(x_0^2 - x_f^2) = \mu mg(x_0 - x_f)$.
$(x_0 - x_f)$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{2}K(x_0 + x_f) = \mu mg$,જે આપે છે $x_f = \frac{2\mu mg}{K} - x_0$.
કારણ કે $x_0 > \frac{\mu mg}{K}$,તેથી $x_f < \frac{\mu mg}{K}$. આનો અર્થ એ છે કે બ્લોક મધ્યમાન સ્થાન $(x=0)$ સુધી પહોંચતા પહેલા અટકી જાય છે.
આમ,બ્લોક મધ્યમાન સ્થાનને ઓળંગતું નથી,અને અટકવાના બિંદુએ બળો સંતુલિત હોવા જરૂરી નથી. કાર્ય-ઉર્જા સંબંધ એ અટકવાના બિંદુ માટેની મૂળભૂત શરત છે.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 10 \, kg$,સળિયાની લંબાઈ $L = 1 \, m$,ત્રિજ્યા $r = 0.5 \, m$,આવર્તકાળ $T = 1.57 \, s \approx \pi/2 \, s$.
પ્રથમ,સળિયો શિરોલંબ સાથે જે ખૂણો $\theta$ બનાવે છે તે શોધો. ભૂમિતિ પરથી,$\sin \theta = r/L = 0.5/1 = 0.5$,તેથી $\theta = 30^\circ$ અથવા $\pi/6$ રેડિયન.
કોણીય વેગ $\omega = 2\pi/T = 2\pi / (1.57) \approx 2\pi / (\pi/2) = 4 \, rad/s$.
દડા પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ ($mg$ નીચેની તરફ) અને સળિયા દ્વારા લાગતું બળ $(\vec{F}_{rod})$ છે. ધારો કે $\vec{F}_{rod}$ ના ઘટકો $F_v$ (શિરોલંબ) અને $F_h$ (સમક્ષિતિજ) છે.
શિરોલંબ દિશામાં: $F_v - mg = 0 \implies F_v = mg = 10 \times 9.8 = 98 \, N$.
સમક્ષિતિજ દિશામાં (કેન્દ્રગામી બળ): $F_h = m\omega^2 r = 10 \times (4)^2 \times 0.5 = 10 \times 16 \times 0.5 = 80 \, N$.
સળિયા દ્વારા લાગતું કુલ બળ $F = \sqrt{F_v^2 + F_h^2} = \sqrt{98^2 + 80^2} = \sqrt{9604 + 6400} = \sqrt{16004} \approx 126.5 \, N$. વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,ગણતરીમાં $g = 10 \, m/s^2$ લેતા,$F_v = 100 \, N$ અને $F_h = 80 \, N$ મળે છે,તેથી $F = \sqrt{100^2 + 80^2} = \sqrt{16400} \approx 128 \, N$.

(D) ધારો કે $A, B$ અને $C$ નું દળ $m$ છે। દરેક કિસ્સામાં, $C$ એ $B$ સાથે ચોંટી જાય છે, તેથી સંયુક્ત દળ $2m$ થાય છે।
કિસ્સો $(i)$: $C$ એ $B$ સાથે અથડાય છે (જે ગરગડી પરથી દોરી દ્વારા $A$ સાથે જોડાયેલ છે)। વેગમાનના સંરક્ષણ મુજબ, $mu = (m+m+m)v_1 \implies v_1 = u/3$.
કિસ્સો $(ii)$: $C$ એ $B$ સાથે અથડાય છે। સ્પ્રિંગ દળરહિત છે અને તરત જ બળ લગાડતી નથી। તેથી, $mu = (2m)v_2 \implies v_2 = u/2$.
કિસ્સો $(iii)$: $C$ એ $B$ સાથે અથડાય છે। દોરી દ્વારા $A$ જોડાયેલ હોવાથી, $mu = (3m)v_3 \implies v_3 = u/3$.
વેગનો ગુણોત્તર $v_1 : v_2 : v_3 = u/3 : u/2 : u/3 = 2 : 3 : 2$.

(D) ધારો કે જ્યારે દોરી શિરોલંબ હોય ત્યારે બ્લોક $A$ નો વેગ $v_1$ અને દડા $B$ નો જમીનની સાપેક્ષ વેગ $v_2$ છે.
સમક્ષિતિજ દિશામાં રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m v_1 - m v_2 = 0 \implies v_1 = v_2 = v$.
યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $mgL(1 - \cos \theta) = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}mv_2^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = mv^2$.
આમ,$v^2 = gL(1 - \cos \theta)$.
દડા $B$ માટે,શિરોલંબ દિશામાં લાગતું પરિણામી બળ બ્લોક $A$ ની સાપેક્ષ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ આપે છે. $A$ ની સાપેક્ષ $B$ નો વેગ $v_{rel} = v_2 - (-v_1) = 2v$ થાય.
$B$ માટે શિરોલંબ દિશામાં ગતિનું સમીકરણ: $T - mg = \frac{m(2v)^2}{L} = \frac{4mv^2}{L}$.
$v^2$ ની કિંમત મૂકતા: $T = mg + \frac{4m}{L} \cdot gL(1 - \cos \theta) = mg + 4mg(1 - \cos \theta) = mg(1 + 4 - 4\cos \theta) = mg(5 - 4\cos \theta)$.

(D) $1$. $P$ અને $Q$ વચ્ચેનું મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{max} = \mu N = 0.5 \times (2 \times 10) = 10\, N$ છે.
$2$. $Q$ પર લાગતું બળ $F = 15\, N$ છે. $F > f_{max}$ હોવાથી,બ્લોક $Q$ પાટિયા $P$ પર સરકશે અને તેમની વચ્ચે ગતિક ઘર્ષણ $f_k = 10\, N$ લાગશે.
$3$. $Q$ નો પ્રવેગ: $a_Q = (F - f_k) / m_Q = (15 - 10) / 2 = 2.5\, m/s^2$.
$4$. $P$ નો પ્રવેગ: $a_P = f_k / m_P = 10 / 5 = 2.0\, m/s^2$. આમ,વિધાન $(C)$ સાચું છે.
$5$. દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ: $a_{cm} = (F_{ext}) / (m_P + m_Q) = 15 / (5 + 2) = 15/7\, m/s^2$. આમ,વિધાન $(B)$ સાચું છે.
$6$. $P$ ને કારણે $Q$ પર લાગતું પ્રતિક્રિયા બળ એ લંબબળ $N = m_Q g = 20\, N$ છે,$10\, N$ નથી. તેથી,$(A)$ ખોટું છે.
$7$. $(B)$ અને $(C)$ બંને સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(B) દોરડા ખેંચની સ્પર્ધામાં,જે આડું બળ માણસોને ગતિ કરાવે છે તે તેમના પગ પર જમીન દ્વારા લગાડવામાં આવતું સ્થિત ઘર્ષણ બળ છે.
ન્યૂટનના ગતિના $3^{rd}$ નિયમ મુજબ,માણસ દ્વારા જમીન પર લગાડવામાં આવતું બળ એ જમીન દ્વારા માણસ પર લગાડવામાં આવતા બળ જેટલું જ અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
જીતવા માટે,માણસે તેના પ્રતિસ્પર્ધી કરતા જમીન પર (ઘર્ષણ દ્વારા) વધુ આડું બળ લગાડવું પડે છે.
તેથી,વિજેતા તે માણસ છે જે જમીન પર વધુ બળ લગાડે છે.

(B) ધારો કે માણસ દ્વારા દરેક દીવાલ પર લગાડવામાં આવતું લંબબળ $N$ છે. માણસ સંતુલનમાં હોવાથી,કુલ સમક્ષિતિજ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ,તેથી દીવાલો માણસ પર સમાન લંબબળ $N$ લગાડે છે.
ધારો કે દરેક દીવાલ દ્વારા માણસ પર લગાડવામાં આવતું ઘર્ષણ બળ $f$ છે. ઉર્ધ્વ સંતુલન માટે,$2f = mg$,તેથી $f = mg/2$. આમ,ઘર્ષણ બળો સમાન છે.
દરેક દીવાલ દ્વારા માણસ પર લગાડવામાં આવતું કુલ બળ એ લંબબળ $N$ અને ઘર્ષણ બળ $f$ નો સદિશ સરવાળો છે,જે $\vec{R} = \vec{N} + \vec{f}$ છે. કારણ કે $\vec{f}$ ઉર્ધ્વ છે અને $\vec{N}$ સમક્ષિતિજ છે,પરિણામી બળ $\vec{R}$ સમક્ષિતિજ નથી.
વિકલ્પ $(B)$ જણાવે છે કે તે દીવાલો પર માત્ર સમક્ષિતિજ બળ લગાડે છે. જોકે,સંતુલન જાળવવા માટે,માણસે દીવાલો પર નીચેની તરફ ઘર્ષણ બળ લગાડવું પડે છે જેથી દીવાલો દ્વારા તેના પર ઉપરની તરફ લાગતા ઘર્ષણ બળને સંતુલિત કરી શકાય. તેથી,તે દીવાલો પર સમક્ષિતિજ અને ઉર્ધ્વ બંને બળો લગાડે છે. આમ,$(B)$ ખોટું છે.

(D) ધારો કે $T$ એ દોરડામાં તણાવ છે. બળ $T$ માણસ અને બ્લોક બંને પર લાગે છે.
બ્લોક માણસ કરતા ભારે હોવાથી $(M_{block} > M_{man})$ અને ઘર્ષણાંક $\mu$ સમાન હોવાથી,બ્લોક માટે સીમાંત ઘર્ષણ બળ $f_L = \mu N = \mu Mg$ એ માણસ કરતા વધારે હોય છે $(f_{L, block} > f_{L, man})$.
દરેક પદાર્થ ત્યારે ગતિ કરવાનું શરૂ કરશે જ્યારે તણાવ $T$ તેના સીમાંત ઘર્ષણ કરતા વધી જાય.
$1$. જ્યારે $T$ એ $f_{L, man}$ કરતા વધી જાય પણ $f_{L, block}$ કરતા ઓછું હોય,ત્યારે માણસ ગતિ કરવાનું શરૂ કરશે,પરંતુ બ્લોક સ્થિર રહેશે. તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
$2$. બ્લોકને ખસેડવા માટે વધુ બળની જરૂર હોવાથી,તે ત્યાં સુધી ખસશે નહીં જ્યાં સુધી માણસ પૂરતું બળ ન લગાડે,જેનો અર્થ છે કે માણસ ગતિમાં હોવો જોઈએ અથવા બ્લોકના ઘર્ષણને દૂર કરતું બળ લગાડવું જોઈએ. તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
$3$. જો બંને ગતિ કરે,તો માણસ પરનું પરિણામી બળ $F_{net, man} = T - f_{k, man}$ અને બ્લોક પર $F_{net, block} = T - f_{k, block}$ છે. $f_{k, block} > f_{k, man}$ હોવાથી,માણસ પરનું પરિણામી બળ વધારે છે. $M_{man} < M_{block}$ હોવાથી,પ્રવેગ $a = F_{net}/M$ માણસ માટે ઘણો વધારે હશે. તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
આમ,તમામ વિધાનો સાચા છે.

(D) ધારો કે ટ્રોલી જમણી તરફ $a_0$ પ્રવેગ સાથે ગતિ કરે છે. ટ્રોલીના ફ્રેમમાં,બ્લોક $m$ પર ડાબી તરફ આભાસી બળ $ma_0$ લાગે છે.
બ્લોક $m$ માટે,દોરીમાં તણાવ $T = mg$ છે (કારણ કે તે લટકતું છે).
બ્લોક $M$ માટે,બળો જમણી તરફ તણાવ $T$ અને સપાટી પરથી ઘર્ષણ $f$ છે. આભાસી બળ $Ma_0$ ડાબી તરફ લાગે છે. $M$ પરનું પરિણામી બળ $f_{net} = T - Ma_0 = mg - Ma_0$ છે.
જ્યારે $a_0 = g(m/M) = \beta$ હોય,ત્યારે ઘર્ષણ બળ $f = 0$ થાય છે.
ઘર્ષણ બળ $f = |mg - Ma_0|$ હોવાથી,તે $a_0 = \beta$ ની આસપાસ સંમિત છે. તેથી,$a_0 = \beta \pm \alpha$ માટે,ઘર્ષણના મૂલ્યો સમાન છે.
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ $a_0$ ની રેન્જની મર્યાદાઓ પર પહોંચે છે જ્યાં બ્લોક સરકતો નથી. આ મર્યાદાઓ $a_1$ અને $a_2$ પણ $\beta$ ની આસપાસ સંમિત છે,તેથી $a_1 + a_2 = 2\beta$.
તેથી,બધા વિધાનો સાચા છે.

(D) ટ્રોલીના ફ્રેમનો વિચાર કરો. બ્લોક $m$ ડાબી તરફ $ma_0$ જેટલું સ્યુડો બળ અનુભવે છે. દોરીમાં રહેલું તણાવ $T$ એ વજન $mg$ અને ઘર્ષણ બળોને સંતુલિત કરે છે.
જ્યારે $a_0$ નાનું હોય છે,ત્યારે સ્યુડો બળ $m$ ને ગુરુત્વાકર્ષણ સામે પકડી રાખવા માટે અપૂરતું હોય છે,તેથી તે નીચે સરકવાનું વલણ ધરાવે છે. $a_{min}$ એ મર્યાદા છે જ્યાં ઘર્ષણ તેને રોકવા માટે ઉપરની તરફ કાર્ય કરે છે.
જ્યારે $a_0$ મોટું હોય છે,ત્યારે સ્યુડો બળ ઊભી સપાટી પરનું લંબબળ વધારે છે,જેનાથી ઘર્ષણ વધે છે. જો $a_0$ એ $a_{max}$ કરતા વધી જાય,તો ઉપરની તરફનું ઘર્ષણ બળ ગુરુત્વાકર્ષણનો સામનો કરવા માટે પૂરતું રહેતું નથી,અથવા સિસ્ટમની ગતિશીલતા એવી રીતે બદલાય છે કે $m$ સપાટીના સંદર્ભમાં ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે.
$a_{min} \leq a_0 \leq a_{max}$ ની રેન્જમાં,સ્થિર ઘર્ષણ બળ બ્લોક $m$ ને ટ્રોલીના સંદર્ભમાં સંતુલનમાં રાખવા માટે પૂરતું છે.
આમ,બધા વિધાનો સાચા છે.

(D) ટ્રોલીના ફ્રેમમાં,બ્લોક $m$ પર ઋણ $x$-દિશામાં સ્યુડો ફોર્સ $F_p = ma_0$ અને બ્લોક $M$ પર ઋણ $x$-દિશામાં $F_p = Ma_0$ લાગે છે.
બ્લોક $m$ માટે: બળોમાં ઉપરની તરફ તણાવ $T$,નીચેની તરફ ગુરુત્વાકર્ષણ $mg$ અને આડી દિશામાં સ્યુડો ફોર્સ $ma_0$ છે. તે ફક્ત ઊભી દિશામાં ગતિ કરવા માટે બંધાયેલ હોવાથી,ઊભું સમીકરણ $T - mg = ma_y$ છે. જો $a_y = 0$ હોય,તો $T = mg$ થાય.
બ્લોક $M$ માટે: બળોમાં આડી દિશામાં તણાવ $T$,આડી દિશામાં ઘર્ષણ $f$ અને ઊભી દિશામાં લંબબળ $N = Mg$ છે. સ્યુડો ફોર્સ $Ma_0$ ઋણ $x$-દિશામાં લાગે છે. ગતિનું સમીકરણ $T - f - Ma_0 = Ma_x$ છે. જો $a_x = 0$ હોય,તો $T = f + Ma_0$ થાય.
$1$. જો $a_0$ એવું હોય કે સ્યુડો ફોર્સ $Ma_0$ તણાવ $T$ ને સંતુલિત કરે,તો $T$ શૂન્ય હોઈ શકે છે.
$2$. જો $a_0 = 0$ હોય,તો જો સિસ્ટમ સંતુલનમાં હોય તો $T = mg$ શક્ય છે.
$3$. કારણ કે $f \leq \mu Mg$,જો $T < mg$ હોય,તો તણાવ ઘર્ષણ અને સ્યુડો ફોર્સને દૂર કરવા માટે પૂરતો હોવો જોઈએ,જે $T > \mu Mg$ ને ગતિ અથવા સંતુલન માટે જરૂરી શરત બનાવે છે.
આમ,બધા વિધાનો સાચા છે.

(D) ઉભી રીતે લટકતા બ્લોક $m$ માટે,લાગતા બળો નીચેની તરફ ગુરુત્વાકર્ષણ $mg$ અને ઉપરની તરફ તણાવ $T$ છે. જો તંત્ર સંતુલનમાં હોય,તો $T = mg$ થાય.
આડી સપાટી પરના બ્લોક $M$ માટે,મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{max} = \mu N = \mu Mg$ છે.
કિસ્સો $1$: જો $m < \mu M$ હોય,તો ખેંચતું બળ $mg$ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ $f_{max}$ કરતા ઓછું છે. તેથી,તંત્ર સ્થિર રહે છે. બ્લોક $M$ સંતુલનમાં હોવાથી,તણાવ $T$ એ લાગુ પડેલા બળ $mg$ ને સંતુલિત કરે છે,તેથી $T = mg$.
કિસ્સો $2$: જો $m > \mu M$ હોય,તો ખેંચતું બળ $mg$ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ $f_{max} = \mu Mg$ કરતા વધારે છે. તંત્ર પ્રવેગિત થશે. ગતિના સમીકરણો છે: $mg - T = ma$ અને $T - \mu Mg = Ma$. આ બંનેનો સરવાળો કરતા,$mg - \mu Mg = (M + m)a$,તેથી $a = \frac{(m - \mu M)g}{M + m}$. પ્રથમ સમીકરણમાં $a$ ની કિંમત મૂકતા,$T = m(g - a) = m(g - \frac{(m - \mu M)g}{M + m}) = \frac{mM(1 + \mu)g}{M + m}$. કારણ કે $a > 0$,તેથી $T = mg - ma < mg$. ઉપરાંત,$T = \mu Mg + Ma$ અને $a > 0$ હોવાથી,$T > \mu Mg$. આમ,$\mu Mg < T < mg$.

(D) જ્યારે લિફ્ટ $a_0$ પ્રવેગ સાથે નીચેની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે લિફ્ટના ફ્રેમમાં બંને બ્લોક્સ પર ઉપરની તરફ આભાસી બળ $ma_0$ લાગે છે.
બ્લોક $M$ માટે: લંબબળ $N = M(g - a_0)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. સીમાંત ઘર્ષણ બળ $f_L = \mu N = \mu M(g - a_0)$ છે. કારણ કે $(g - a_0) < g$,સીમાંત ઘર્ષણ બળ ઘટે છે. આમ,વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.
બ્લોક $m$ માટે: અસરકારક વજન $m(g - a_0)$ છે. દોરીમાં તણાવ $T$ ઘટે છે કારણ કે અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ ખેંચાણ ઘટે છે. આમ,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.
સિસ્ટમ પ્રવેગિત થાય તે માટે,પ્રેરક બળ સીમાંત ઘર્ષણ કરતા વધારે હોવું જોઈએ. પ્રેરક બળ $m$ નું અસરકારક વજન છે,જે $m(g - a_0)$ છે. સીમાંત ઘર્ષણ $\mu M(g - a_0)$ છે. સિસ્ટમ ત્યારે જ પ્રવેગિત થશે જો $m(g - a_0) > \mu M(g - a_0)$,જેનું સાદું રૂપ $m > \mu M$ થાય છે. આમ,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.
બધા વિધાનો સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(D) જ્યારે લિફ્ટ $a = g$ પ્રવેગ સાથે નીચેની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે લિફ્ટની અંદર અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $g_{eff} = g - a = g - g = 0$ થાય છે.
અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ શૂન્ય હોવાથી,બ્લોક $M$ પરનું લંબબળ $N = M \times g_{eff} = 0$ થાય છે.
પરિણામે,સીમાંત ઘર્ષણ $f_{max} = \mu N$ પણ શૂન્ય થઈ જાય છે.
બ્લોક $m$ પર કોઈ અસરકારક વજન કાર્યરત ન હોવાથી $(m \times g_{eff} = 0)$,દોરીને ખેંચવા માટે કોઈ બળ રહેતું નથી.
તેથી,દોરીમાં તણાવ $T$ શૂન્ય થઈ જાય છે.
અસરકારક વજન અને તણાવ શૂન્ય હોવાથી,બ્લોક્સ લિફ્ટની સાપેક્ષમાં કોઈ ચોખ્ખું બળ અનુભવતા નથી,તેથી તેઓ લિફ્ટની સાપેક્ષમાં સ્થિર રહે છે.
સાથે જ,જમીનની સાપેક્ષમાં બંને બ્લોક્સ મુક્ત પતન કરે છે અને $g$ પ્રવેગ સાથે નીચેની તરફ ગતિ કરે છે.
આમ,આપેલા તમામ વિધાનો સાચા છે.

(D) $1$. ધારો કે સિસ્ટમમાં $M$,$m_0$ અને $m$ બ્લોક્સનો સમાવેશ થાય છે. દોરી અદ્રશ્ય હોવાથી,ત્રણેય બ્લોક્સ સમાન પ્રવેગ $a$ સાથે ગતિ કરે છે.
$2$. સિસ્ટમ માટે પ્રેરક બળ $m$ બ્લોકનું વજન છે,જે $mg$ છે.
$3$. સિસ્ટમનું કુલ દળ $M + m_0 + m$ છે.
$4$. આખી સિસ્ટમ માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા: $mg = (M + m_0 + m)a$,જે $a = \frac{mg}{M + m_0 + m}$ આપે છે. આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
$5$. $M$ અને $m_0$ વચ્ચે કોઈ ઘર્ષણ ન હોવાથી,અને $m_0$ પર કોઈ બાહ્ય આડું બળ લાગતું ન હોવાથી,તેનો પ્રવેગ શૂન્ય છે. આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
$6$. $m$ બ્લોક માટે,ગતિનું સમીકરણ $mg - T = ma$ છે. $a$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $T = mg - m(\frac{mg}{M + m_0 + m}) = mg(1 - \frac{m}{M + m_0 + m}) = mg(\frac{M + m_0}{M + m_0 + m})$ મળે છે.
$7$. કારણ કે $\frac{M + m_0}{M + m_0 + m} < 1$,તેથી $T < mg$ થાય છે. ઉપરાંત,$T = (M + m_0)a$ હોવાથી,અને $a > 0$,$T > 0$ થાય છે. આવી સિસ્ટમમાં $Mg < T < mg$ ની શરત સામાન્ય રીતે સંતોષાય છે. આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
$8$. $A$,$B$ અને $C$ સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) તંત્ર સ્થિર રહે તે માટે,દોરીમાં રહેલું તણાવ $T$ એ બ્લોક $m$ ના વજનને સંતુલિત કરવું જોઈએ. તેથી,$T = mg$.
બ્લોક $M$ (જેની ઉપર $m_0$ છે) સ્થિર રહે તે માટે,તણાવ $T$ એ બ્લોક $m$ પર ઉભી દીવાલની વિરુદ્ધ લાગતા ઘર્ષણ બળ $f$ દ્વારા સંતુલિત થવું જોઈએ.
આકૃતિ જોતા,બ્લોક $m$ ખરબચડી ઉભી દીવાલ પર લટકે છે. દીવાલ દ્વારા બ્લોક $m$ પર લાગતું લંબબળ $N$ એ તણાવ $T$ ને સમાન ગણાય છે. સંતુલન માટે,$mg = \mu N$. અહીં $N = M + m_0$ લેતા,આપણને $\mu = \frac{m}{M + m_0}$ મળે છે.

(A) ધારો કે આખી સિસ્ટમ $(M_0 + M + m)$ નો આડી દિશામાં પ્રવેગ $a$ છે. બળ $F = (M_0 + M + m)a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બ્લોક $M$ એ $M_0$ ની સાપેક્ષમાં સ્થિર રહે તે માટે,દોરીમાં રહેલું તણાવ $T$ એ $M$ પર લાગતા સ્યુડો ફોર્સને સંતુલિત કરવું જોઈએ. તેથી,$T = Ma$.
બ્લોક $m$ એ $M_0$ ની સાપેક્ષમાં સ્થિર રહે તે માટે,ઊભી દિશાના બળો સંતુલિત હોવા જોઈએ. $m$ પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે: ગુરુત્વાકર્ષણ $mg$ નીચેની તરફ,ઘર્ષણ $f = \mu N$ ઉપરની તરફ,અને સ્યુડો ફોર્સ $ma$ ને કારણે $M_0$ ની ઊભી સપાટી દ્વારા લાગતું લંબબળ $N$. તેથી,$N = ma$ અને $f = \mu ma$.
ઊભી દિશામાં સંતુલન માટે,$f = mg$,જેનો અર્થ છે કે $\mu ma = mg$,તેથી $a = \frac{g}{\mu}$.
$a = \frac{g}{\mu}$ ને $F = (M_0 + M + m)a$ માં મૂકતા,આપણને $F = (M_0 + M + m) \frac{g}{\mu}$ મળે છે.

(D) ધારો કે પ્રારંભિક વિસ્તરણ $x_0$ છે. ઘર્ષણ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W_f$ એ યાંત્રિક ઉર્જામાં થતા ફેરફાર $\Delta E = E_f - E_i$ જેટલું હોવું જોઈએ.
જો ઘર્ષણાંક $\mu$ વધારે હોય,તો ઘર્ષણ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય મોટું હોય છે,અને બ્લોક સરેરાશ સ્થિતિ $(x=0)$ સુધી પહોંચતા પહેલા અટકી શકે છે.
જો $\mu$ ઓછું હોય,તો બ્લોક સરેરાશ સ્થિતિને પાર કરશે અને બીજી બાજુ થોડા સંકોચન $x < 0$ પર અટકી શકે છે.
કારણ કે $\mu$ ના મૂલ્યના આધારે બંને પરિસ્થિતિઓ શક્ય છે,તેથી બ્લોક સરેરાશ સ્થિતિ પહેલા અથવા થોડા સંકોચન સાથે અટકી શકે છે.
તેથી,$(A)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે.

(D) માણસ સાથે ટ્રોલી $A$ નું કુલ દળ $M_A = 140\, kg + 40\, kg = 180\, kg$ છે.
ટ્રોલી $B$ નું દળ $M_B = 60\, kg$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે,તેથી $M_A v_A + M_B v_B = 0$,જેનો અર્થ છે કે $M_A v_A = -M_B v_B$.
મૂલ્યો લેતા,$180 \times v_A = 60 \times v_B$,જે આપે છે $v_B = 3 v_A$.
આમ,આંતરક્રિયા પછી તરત જ ટ્રોલી $B$ ની ઝડપ ટ્રોલી $A$ કરતા $3$ ગણી છે.
ધારો કે ઘર્ષણાંક $\mu$ બંને માટે સમાન છે,તો પ્રતિપ્રવેગ $a = \mu g$ બંને માટે સમાન રહેશે.
સમીકરણ $v^2 = 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,અંતર $s = v^2 / (2a)$.
$v_B = 3 v_A$ હોવાથી,અંતર $s_B = (3 v_A)^2 / (2a) = 9 (v_A^2 / 2a) = 9 s_A$.
તેથી,વિધાન $(B)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે.

(D) ધારો કે દડા $A$ અને $B$ ના પ્રારંભિક સ્થાન અનુક્રમે $(0, 0)$ અને $(L, 0)$ છે. $t = 0$ સમયે,દડા $A$ ને $x$-અક્ષની દિશામાં $v$ વેગ આપવામાં આવે છે,તેથી $t$ સમયે તેનું સ્થાન $(vt, 0)$ છે. દડા $B$ ને $y$-અક્ષની દિશામાં $v$ વેગ આપવામાં આવે છે,તેથી $t$ સમયે તેનું સ્થાન $(L, vt)$ છે.
$t$ સમયે દડાઓ વચ્ચેનું અંતર $d$ એ $d^2 = (L - vt)^2 + (vt - 0)^2 = L^2 - 2Lvt + v^2t^2 + v^2t^2 = L^2 - 2Lvt + 2v^2t^2$ દ્વારા મળે છે.
જ્યારે દડાઓ વચ્ચેનું અંતર દોરાની લંબાઈ જેટલું થાય ત્યારે દોરો ખેંચાય છે,એટલે કે $d = L$.
તેથી,$L^2 = L^2 - 2Lvt + 2v^2t^2$.
$2v^2t^2 - 2Lvt = 0$.
$2vt(vt - L) = 0$.
આનાથી $t = 0$ અથવા $t = L/v$ મળે છે.
$t = L/v$ સમયે,દડાઓ વચ્ચેનું અંતર ફરીથી $L$ થાય છે,અને $t > L/v$ માટે,અંતર $d$ એ $L$ કરતા વધી જાય છે,જેનો અર્થ છે કે દોરો ખેંચાયેલો રહે છે.

(B) ધારો કે $mg$ (દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર કાર્યરત) અને લંબ પ્રતિક્રિયા $N$ (તળિયે કાર્યરત) ની કાર્યરેખાઓ વચ્ચેનું અંતર $x$ છે.
સમઘનના ખૂણાની સાપેક્ષે પરિભ્રમણીય સંતુલન માટે,ટોર્કનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ.
નીચેની ધારની સાપેક્ષે લાગુ કરેલ બળ $F$ ને કારણે ટોર્ક $F \times a$ છે.
નીચેની ધારની સાપેક્ષે વજન $mg$ ને કારણે ટોર્ક $mg \times (a/2)$ છે.
નીચેની ધારની સાપેક્ષે લંબ પ્રતિક્રિયા $N$ ને કારણે ટોર્ક $N \times (a/2 - x)$ છે.
નીચેની ધારની સાપેક્ષે ટોર્ક લેતા:
$N(a/2 - x) + F(a) = mg(a/2)$
અહીં $N = mg$ અને $F = mg/3$ હોવાથી,આપણે આ કિંમતો મૂકીએ:
$mg(a/2 - x) + (mg/3)a = mg(a/2)$
$mg$ વડે ભાગતા:
$(a/2 - x) + a/3 = a/2$
$-x + a/3 = 0$
$x = a/3$.

(B) ધારો કે માણસનું દળ $m$ છે અને પાટિયાનું દળ $M$ છે. આધાર $x = 1 \ m$ અને $x = 5 \ m$ પર છે (કારણ કે $1+4=5$).
ધારો કે આધાર $A$ પરનું લંબબળ $N_A$ છે અને આધાર $B$ પરનું લંબબળ $N_B$ છે.
આધાર $B$ (જે $x = 5 \ m$ પર છે) ની સાપેક્ષે ટોર્ક લેતા:
$N_A \times 4 = mg(5 - x) + Mg(3 - 1) = mg(5 - x) + 2Mg$.
આમ,$N_A = \frac{mg}{4}(5 - x) + \frac{Mg}{2}$.
આ $N_A = -mx + c$ સ્વરૂપનું સુરેખ સમીકરણ છે,જે ઋણ ઢાળવાળી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
જેમ માણસ $x = 0$ થી $x = 1$ સુધી ચાલે છે,તેમ $N_A$ રેખીય રીતે ઘટે છે.
$x = 1$ અને $x = 5$ ની વચ્ચે,માણસ આધારની વચ્ચે છે,અને આ સમીકરણ લાગુ પડે છે.
$x = 5$ થી આગળ,પાટિયું નમી જશે,તેથી ગતિ આધારની વચ્ચેના વિસ્તાર સુધી મર્યાદિત છે.
આલેખ $B$ રેખીય ઘટાડો દર્શાવે છે,જે મેળવેલા સંબંધ સાથે સુસંગત છે.

(A) સમઘન કોઈ એક ધાર પર નમે તે માટે,લાગુ પાડેલા બળ $F$ દ્વારા તે ધારને અનુલક્ષીને લાગતું ટોર્ક,વજનબળ $Mg$ દ્વારા તે જ ધારને અનુલક્ષીને લાગતા ટોર્ક કરતાં વધારે અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ.
પાયાની ધારને અનુલક્ષીને ટોર્ક લેતા:
$F \times \frac{3b}{4} = Mg \times \frac{b}{2}$
$F = \frac{2}{3} Mg$
સમઘન સરકે નહીં તે માટે,લાગુ પાડેલું બળ $F$ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{max} = \mu Mg$ કરતાં ઓછું હોવું જોઈએ.
તેથી,$F < \mu Mg$
નમવાની શરત પરથી $F$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{2}{3} Mg < \mu Mg$
$\mu > \frac{2}{3}$
આમ,સમઘન સરકવાને બદલે નમે તે માટે ઘર્ષણાંક $2/3$ કરતાં વધારે હોવો જોઈએ.

(B) ધારો કે નળાકારનું દળ $m$,વ્યાસ $d = 4\, cm$ (ત્રિજ્યા $r = 2\, cm$) અને ઊંચાઈ $h = 10\, cm$ છે.
$1$. સરકવા માટેની શરત:
નળાકાર સરકે તે પહેલાંનો મહત્તમ પ્રવેગ $a_{max}$ એ $f_{max} = \mu N = m a_{max}$ દ્વારા મળે છે. અહીં $N = mg$ હોવાથી,$m a_{max} = \mu mg$,તેથી $a_{max} = \mu g = 0.5 \times 10 = 5\, m/s^2$.
$2$. ઉથલવા માટેની શરત:
ઉથલવા માટે,ધાર $A$ ની સાપેક્ષમાં સ્યુડો-ફોર્સ $ma$ ને કારણે લાગતું ટોર્ક એ તે જ ધાર $A$ ની સાપેક્ષમાં વજન $mg$ ને કારણે લાગતા ટોર્ક કરતા વધારે અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ.
સ્યુડો-ફોર્સ $ma$ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર લાગે છે,જે પાયાથી $h/2 = 5\, cm$ ની ઊંચાઈ પર છે. વજન $mg$ એ ધાર $A$ થી $r = 2\, cm$ ના આડા અંતરે લાગે છે.
ધાર $A$ ની સાપેક્ષમાં ટોર્ક લેતા:
$(ma) \times (h/2) \geq (mg) \times r$
$a \times (5\, cm) \geq g \times (2\, cm)$
$a \geq g \times (2/5) = 10 \times 0.4 = 4\, m/s^2$.
આમ,ઉથલવા માટે જરૂરી પ્રવેગ $(4\, m/s^2)$ એ સરકવા માટે જરૂરી પ્રવેગ $(5\, m/s^2)$ કરતા ઓછો હોવાથી,નળાકાર $a = 4\, m/s^2$ પર ઉથલી જશે.

(B) પરિસ્થિતિ $(a)$ માં,ગોળો એવી રીતે ફરે છે કે તે ઉભી દીવાલ અને જમીન પર દબાણ લાવે છે. ધારો કે $N_1$ એ ઉભી દીવાલનું લંબબળ છે અને $N_2$ એ જમીનનું લંબબળ છે. ઘર્ષણ બળો $f_1 = \mu N_1$ (ઉપરની તરફ) અને $f_2 = \mu N_2$ (ડાબી તરફ) છે.
શિરોલંબ દિશામાં સંતુલન: $N_2 + \mu N_1 = mg$ ... $(i)$
સમક્ષિતિજ દિશામાં સંતુલન: $N_1 = \mu N_2$ ... $(ii)$
$(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $N_2 + \mu(\mu N_2) = mg \implies N_2(1 + \mu^2) = mg \implies N_2 = \frac{mg}{1 + \mu^2}$.
જમીન દ્વારા લાગતું ઘર્ષણ બળ $f_a = \mu N_2 = \frac{\mu mg}{1 + \mu^2}$ છે.
$\mu = \frac{1}{3}$ આપેલ છે,તેથી $f_a = \frac{(1/3)mg}{1 + (1/9)} = \frac{(1/3)mg}{10/9} = \frac{3}{10}mg$.
પરિસ્થિતિ $(b)$ માં,ગોળો વિરુદ્ધ દિશામાં ફરે છે. તે ઉભી દીવાલથી દૂર જવાનું વલણ ધરાવે છે,તેથી લંબબળ $N_1 = 0$ થાય છે.
આમ,$N_2 = mg$. જમીન દ્વારા લાગતું ઘર્ષણ બળ $f_b = \mu N_2 = \frac{1}{3}mg$ છે.
ગુણોત્તર $\frac{f_a}{f_b} = \frac{(3/10)mg}{(1/3)mg} = \frac{9}{10}$ થાય છે.

(B) ધારો કે નળાકારનું દળ $m$,ત્રિજ્યા $R$ અને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ છે. નળાકાર અને પાટિયા વચ્ચેનું ઘર્ષણ બળ $f$ છે.
નળાકાર માટે,સંપર્ક બિંદુ પર ઘર્ષણ બળ $f$ આગળની દિશામાં લાગે છે,જેના કારણે તે પ્રવેગિત થાય છે અને ફરે છે. દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $a = f/m$ છે અને કોણીય પ્રવેગ $\alpha = (fR)/I$ છે.
પાટિયા પર શુદ્ધ ગબડતી ગતિ માટે,નળાકારના સંપર્ક બિંદુનો પ્રવેગ પાટિયાના પ્રવેગ જેટલો હોવો જોઈએ. નળાકારના સંપર્ક બિંદુનો પ્રવેગ $a_p = a + R\alpha = f/m + (fR^2)/I$ છે.
પાટિયાને $F$ બળ દ્વારા ખેંચવામાં આવે છે અને તે નળાકાર દ્વારા પાછળની તરફ ઘર્ષણ બળ $f$ અનુભવે છે. તેનો પ્રવેગ $a_{plank} = (F - f)/M_{plank}$ છે.
પાટિયાને આગળ ખેંચવામાં આવતું હોવાથી,નળાકાર પાટિયાની સાપેક્ષમાં પાછળની તરફ સરકવાની વૃત્તિ ધરાવે છે. આ સાપેક્ષ ગતિનો વિરોધ કરવા માટે,ઘર્ષણ બળ $f$ નળાકાર પર આગળની દિશામાં (અને પાટિયા પર પાછળની દિશામાં) લાગે છે. આમ,નળાકાર પર ઘર્ષણની સાચી દિશા આગળની તરફ છે.

(A) જ્યારે સ્પૂલના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી $r$ અંતરે નીચેની તરફ આડું બળ $F$ લગાડવામાં આવે છે (જ્યાં $r < R$,$R$ એ બહારના નળાકારની ત્રિજ્યા છે),ત્યારે તે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં ટોર્ક $\tau = F \cdot r$ ઉત્પન્ન કરે છે.
આ ટોર્ક સ્પૂલને ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં ફેરવવાનો પ્રયત્ન કરે છે.
આ પરિભ્રમણને કારણે,સપાટી સાથેના સ્પૂલના સંપર્ક બિંદુ સપાટીની સાપેક્ષમાં જમણી તરફ ગતિ કરવાનો પ્રયત્ન કરે છે.
આ સાપેક્ષ ગતિનો વિરોધ કરવા માટે,સપાટી વિરુદ્ધ દિશામાં,એટલે કે ડાબી તરફ,ઘર્ષણ બળ $f$ લગાડે છે.
તેથી,સાચી આકૃતિ તે છે જે ઘર્ષણ બળને ડાબી તરફ લાગતું દર્શાવે છે.