Mix Examples-Newton's Laws of Motion and Friction Questions in Gujarati

(A) આપેલ છે કે $F = 10\, N$ અને $a = 1\, m s^{-2}$. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ $F = ma$ મુજબ,$m = F/a = 10/1 = 10\, kg$.
$(b)$ ન્યૂટનના ગતિના પ્રથમ નિયમ મુજબ,પદાર્થ પર કોઈ બાહ્ય બળ ન લાગે ત્યાં સુધી તે અચળ વેગથી ગતિ ચાલુ રાખે છે.
$(c)$ જ્યારે લિફ્ટ $a$ જેટલા પ્રવેગથી ઉપર તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે પદાર્થનું આભાસી વજન $W' = m(g + a)$ થાય છે,જે તેના વાસ્તવિક વજન $mg$ કરતા વધારે છે.

(N/A) ઉપરના છેડે આધારિત કુલ દળ એ લોડ અને દોરડાના દળનો સરવાળો છે: $M = 3 \, kg + 6 \, kg = 9 \, kg$. ઉપરના છેડે તણાવ $T = Mg = 9g \, N$ થાય.
$(b)$ આઘાત-વેગમાનના પ્રમેય મુજબ,વેગમાનમાં થતો ફેરફાર એ આઘાત $(J = F \Delta t)$ જેટલો હોય છે. સમાન અસર (સમાન આઘાત) માટે,$F_1 \Delta t_1 = F_2 \Delta t_2$. અહીં $F_1 = F$,$\Delta t_1 = \Delta t$,અને $F_2 = 2F$ હોવાથી,$F \Delta t = 2F \times \Delta t_2$,તેથી $\Delta t_2 = \frac{\Delta t}{2}$ મળે.
$(c)$ વધુ પડતી ઇસ્ત્રી કરવાથી સપાટીની ખરબચડી વધે છે અથવા સપાટીઓ વચ્ચે સૂક્ષ્મ વેલ્ડિંગ થાય છે,જેના કારણે ઘર્ષણ વધે છે.

(N/A) વિરુદ્ધ (ગતિની દિશાની).
$(b)$ પ્રકાર (ખરબચડાપણું/લીસાપણું),દ્રવ્યની જાત.
$(c)$ $\tan \theta \leq \mu_{s}$ (જ્યાં $\theta$ એ ઢાળનો ખૂણો છે અને $\mu_{s}$ એ સ્થિત ઘર્ષણાંક છે).
$(d)$ બળ.

(A) ખોટું: વેગમાનનો ફેરફાર $\Delta \vec{p} = \vec{F} \Delta t$ એ પરિણામી બળની દિશામાં હોય છે,તે હંમેશાં પ્રારંભિક વેગમાન $\vec{p}$ ની દિશામાં હોવું જરૂરી નથી.
$(b)$ ખોટું: ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,ક્રિયાબળ અને પ્રતિક્રિયાબળ હંમેશાં અલગ-અલગ પદાર્થો પર લાગે છે.
$(c)$ ખોટું: મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણબળ (સીમાંત ઘર્ષણ) $f_{s,max} = \mu_s N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સંપર્ક સપાટીના ક્ષેત્રફળ પર આધાર રાખતું નથી.

(A) સાચું: સંતુલનનો અર્થ છે કે પરિણામી બળ શૂન્ય છે,જેનો અર્થ છે કે ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ પ્રવેગ $a = 0$ થાય.
$(b)$ સાચું: કેન્દ્રગામી બળ કેન્દ્ર તરફ લાગે છે,જ્યારે કેન્દ્રત્યાગી બળ (ભ્રમણ કરતી ફ્રેમમાં આભાસી બળ) કેન્દ્રથી દૂરની દિશામાં લાગે છે.
$(c)$ ખોટું: સંપૂર્ણ લીસી (ઘર્ષણરહિત) સપાટી પર,માણસ પોતાની ગતિની સ્થિતિ બદલવા માટે કોઈ આડું બળ લગાવી શકતો નથી. ન્યૂટનનો પ્રથમ નિયમ જણાવે છે કે સ્થિર પદાર્થ પર બાહ્ય બળ ન લાગે ત્યાં સુધી તે સ્થિર જ રહે છે.
$(d)$ ખોટું: અચળ વેગથી ગતિ કરતો પદાર્થ પણ સંતુલનમાં (ગતિશીલ સંતુલન) હોય છે,કારણ કે તેનો પ્રવેગ શૂન્ય હોય છે.

(B) ન્યૂટનના ગતિના નિયમો અનુસાર:
$(1)$ ગતિનો પહેલો નિયમ બળની વ્યાખ્યા આપે છે,જે પદાર્થની સ્થિર કે અચળ વેગી અવસ્થામાં ફેરફાર કરે છે અથવા ફેરફાર કરવાનો પ્રયત્ન કરે છે. તેથી,$(1-c)$.
$(2)$ ગતિનો બીજો નિયમ બળનું પરિમાણાત્મક માપ આપે છે,જે સૂત્ર $F = ma$ અથવા $F = \frac{dp}{dt}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. તેથી,$(2-b)$.
આમ,સાચી જોડ $(1-c), (2-b)$ છે.

(D) $(1)$ ન્યૂટનનો ગતિનો ત્રીજો નિયમ જણાવે છે કે દરેક ક્રિયાબળ માટે સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રતિક્રિયાબળ હોય છે. ગાણિતિક રીતે,આને $\vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જે $(a)$ ને અનુરૂપ છે.
$(2)$ વેગમાનના સંરક્ષણનો નિયમ જણાવે છે કે જો કોઈ તંત્ર પર લાગતું પરિણામી બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય,તો કુલ વેગમાન અચળ રહે છે,એટલે કે વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta \vec{p} = 0$ થાય છે,જે $(b)$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,સાચી જોડ $(1-a), (2-b)$ છે.

(A) $(1)$ સ્થિત ઘર્ષણ: સ્થિત ઘર્ષણના મહત્તમ મૂલ્યને સીમાંત ઘર્ષણ કહેવામાં આવે છે. તેથી,$(1-a)$.
$(2)$ રોલિંગ ઘર્ષણ: બૉલબેરિંગનો ઉપયોગ કરીને રોલિંગ ઘર્ષણને નોંધપાત્ર રીતે ઘટાડી શકાય છે. તેથી,$(2-b)$.
આમ,સાચી જોડ $(1-a), (2-b)$ છે.

(B) ટ્રોલીની ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ ($F$.$B$.$D$.):
$T - f = m_{T} a$
જ્યાં $f = \mu m_{T} g = 0.05 \times 10 \times 10 = 5\; N$.
તેથી,$T - 5 = 10a$ --- $(i)$
બ્લોકની ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ ($F$.$B$.$D$.):
$m_{b} g - T = m_{b} a$
$2 \times 10 - T = 2a$
$20 - T = 2a$ --- (ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$(T - 5) + (20 - T) = 10a + 2a$
$15 = 12a$
$a = \frac{15}{12} = 1.25\; m/s^{2}$.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 0.1\, kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 10\, m/s$,અંતિમ વેગ $v = 0\, m/s$,અને અંતર $s = 50\, cm = 0.5\, m$.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v^2 = u^2 + 2as$.
કિંમતો મૂકતા: $0^2 = (10)^2 + 2 \cdot a \cdot 0.5$.
$0 = 100 + a$,જે પ્રતિપ્રવેગ $a = -100\, m/s^2$ આપે છે.
અવરોધક બળનું મૂલ્ય $F = m|a|$ છે.
$F = 0.1\, kg \cdot 100\, m/s^2 = 10\, N$.
આમ,$'x'$ નું મૂલ્ય $10$ છે.

(D) વિધાન $I :$ અસમતલ રસ્તા માટે,મહત્તમ સુરક્ષિત ઝડપ $v_{\max} = \sqrt{\mu Rg}$ છે.
આપેલ છે $\mu = 0.2$,$R = 2 \, m$,$g = 9.8 \, m/s^2$.
$v_{\max} = \sqrt{0.2 \times 2 \times 9.8} = \sqrt{3.92} \approx 1.98 \, m/s$.
સાયકલ સવારની ઝડપ $7 \, km/h = 7 \times \frac{5}{18} \approx 1.944 \, m/s$ છે.
$1.944 \, m/s < 1.98 \, m/s$ હોવાથી,સાયકલ સવાર લપસશે નહીં. તેથી,વિધાન $I$ સાચું છે.
વિધાન $II :$ ઢળતા રસ્તા માટે,મહત્તમ સુરક્ષિત ઝડપ $v_{\max} = \sqrt{Rg \left[ \frac{\tan \theta + \mu}{1 - \mu \tan \theta} \right]}$ છે.
આપેલ છે $\theta = 45^{\circ}$,$\tan 45^{\circ} = 1$,$\mu = 0.2$,$R = 2 \, m$,$g = 9.8 \, m/s^2$.
$v_{\max} = \sqrt{2 \times 9.8 \times \left[ \frac{1 + 0.2}{1 - 0.2 \times 1} \right]} = \sqrt{19.6 \times \frac{1.2}{0.8}} = \sqrt{19.6 \times 1.5} = \sqrt{29.4} \approx 5.42 \, m/s$.
સાયકલ સવારની ઝડપ $18.5 \, km/h = 18.5 \times \frac{5}{18} \approx 5.14 \, m/s$ છે.
$5.14 \, m/s < 5.42 \, m/s$ હોવાથી,સાયકલ સવાર લપસશે નહીં. તેથી,વિધાન $II$ સાચું છે.

(D) ધારો કે દોરડામાં તણાવ $T$ છે. છોકરો દોરડા પર $F = T$ જેટલું બળ લગાવે છે.
તંત્ર (છોકરો + લાકડું) માટે,કુલ દળ $M = 4 \, kg + 5 \, kg = 9 \, kg$ છે.
તંત્ર પર લાગતા શિરોલંબ બળો જમીન દ્વારા લંબ પ્રતિક્રિયા $N$,છોકરા પર ઉપરની તરફ લાગતું તણાવ $T$ અને નીચેની તરફ લાગતું કુલ વજન $Mg = 9 \times 10 = 90 \, N$ છે.
શિરોલંબ બળોને સરખાવતા: $N + T = 90 \implies N = 90 - T$.
લાકડા પર લાગતા સમક્ષિતિજ બળો જમણી તરફ ખેંચતું તણાવ $T$ અને ડાબી તરફ લાગતું સીમાંત ઘર્ષણ $f_L = \mu N$ છે.
લાકડું ખસે નહીં તે માટે,$T \leq f_L$.
$T \leq \mu N = 0.5(90 - T)$.
$T \leq 45 - 0.5T$.
$1.5T \leq 45$.
$T \leq \frac{45}{1.5} = 30 \, N$.
આમ,છોકરો લગાવી શકે તેવું મહત્તમ બળ $30 \, N$ છે.

(A) પદાર્થ અચળ વેગથી ગતિ કરે તે માટે તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
પ્રથમ ઢાળ પર ઉપરની તરફની ગતિ દરમિયાન,ઢાળની નીચેની તરફ લાગતો ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $mg \sin \theta$ છે. પદાર્થ અચળ વેગથી ગતિ કરતો હોવાથી,લાગુ પાડેલું બળ $F$ આ ઘટકને સંતુલિત કરવું જોઈએ: $F = mg \sin \theta = 2\, N$.
બીજા ઢાળ પર નીચેની તરફની ગતિ દરમિયાન,પદાર્થ ઢાળ પર નીચેની તરફ ગતિ કરી રહ્યો છે. ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $mg \sin \theta$ ઢાળની નીચેની તરફ લાગે છે. અચળ વેગ જાળવી રાખવા માટે,લાગુ પાડેલા બળ $F$ એ ગતિનો વિરોધ કરવા માટે ઢાળની ઉપરની તરફ લાગવું જોઈએ: $F = -mg \sin \theta = -2\, N$.
આમ,અંતરના પ્રથમ અડધા ભાગ દરમિયાન બળ $+2\, N$ અને બીજા અડધા ભાગ દરમિયાન $-2\, N$ છે. સાચો આલેખ વિકલ્પ $A$ છે.

(B) લિફ્ટ અચળ વેગથી ગતિ કરી રહી હોવાથી,ચોખ્ખો પ્રવેગ $a = 0$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,કેબલમાં તણાવ બળ $T$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને ઘર્ષણ બળ બંનેને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
$T = mg + f$
અહીં $m = 2000\,kg$,$g = 10\,m/s^2$,અને $f = 3000\,N$ આપેલ છે:
$T = (2000 \times 10) + 3000 = 20000 + 3000 = 23000\,N$.
મોટર દ્વારા આપવામાં આવતો પાવર $P = T \times v$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $v = 1.5\,m/s$ આપેલ છે:
$P = 23000 \times 1.5 = 34500\,W$.

(C) ધારો કે સીડીની લંબાઈ $L = \sqrt{34}\,m$ છે અને પાયાનું અંતર $b = 3\,m$ છે.
દીવાલ પર સીડીની ઊંચાઈ $h = \sqrt{L^2 - b^2} = \sqrt{34 - 9} = \sqrt{25} = 5\,m$ છે.
ધારો કે $\theta$ એ સીડી જમીન સાથે બનાવેલો ખૂણો છે. તેથી $\cos \theta = \frac{b}{L} = \frac{3}{\sqrt{34}}$ અને $\sin \theta = \frac{h}{L} = \frac{5}{\sqrt{34}}$.
આમ,$\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{3}{5}$.
ધારો કે $N_1$ એ જમીન દ્વારા લાગતું લંબબળ છે અને $f$ એ જમીન દ્વારા લાગતું ઘર્ષણ બળ છે. ધારો કે $N_2$ એ ઘર્ષણરહિત દીવાલ દ્વારા લાગતું લંબબળ છે.
સ્થળાંતર સંતુલન માટે: $\sum F_x = 0 \implies f = N_2$ અને $\sum F_y = 0 \implies N_1 = mg$.
પાયાની આસપાસ ભ્રમણીય સંતુલન માટે: $N_2 \times L \sin \theta = mg \times \frac{L}{2} \cos \theta$.
$N_2 = \frac{mg}{2} \cot \theta = \frac{mg}{2} \times \frac{3}{5} = \frac{3mg}{10}$.
જમીનનું પ્રતિક્રિયા બળ $F_f = \sqrt{N_1^2 + f^2} = \sqrt{(mg)^2 + (N_2)^2} = \sqrt{(mg)^2 + (\frac{3mg}{10})^2} = mg \sqrt{1 + \frac{9}{100}} = mg \sqrt{\frac{109}{100}} = \frac{mg}{10} \sqrt{109}$.
દીવાલનું પ્રતિક્રિયા બળ $F_w = N_2 = \frac{3mg}{10}$.
ગુણોત્તર $\frac{F_w}{F_f} = \frac{3mg/10}{(mg/10)\sqrt{109}} = \frac{3}{\sqrt{109}}$.

(B) આપેલ છે કે બળ $F \propto t^{n} \Rightarrow F = k t^{n} \quad \dots(i)$ મુજબ બદલાય છે.
આલેખ પરથી,આપણે જોઈએ છીએ કે $t = 2 \, s$ પર $F = 2 \, N$ અને $t = 4 \, s$ પર $F = 16 \, N$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$16 = k(4)^{n}$ અને $2 = k(2)^{n}$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{16}{2} = \frac{k(4)^{n}}{k(2)^{n}} \Rightarrow 8 = (2)^{n} \Rightarrow n = 3$.
હવે,$2 = k(2)^{3} \Rightarrow 2 = 8k \Rightarrow k = 0.25 = \frac{1}{4}$.
તેથી,બળ $F = \frac{t^{3}}{4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આઘાત-વેગમાન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$F = \frac{dp}{dt} \Rightarrow dp = F dt$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int_{0}^{v} m dv = \int_{0}^{t} \frac{t^{3}}{4} dt \Rightarrow mv = \frac{t^{4}}{16}$.
$t = 3 \, s$ પર,$v = 2 \, m/s$: $m(2) = \frac{3^{4}}{16} = \frac{81}{16} \Rightarrow m = \frac{81}{32} \, kg$.
$t = 4 \, s$ પર,ધારો કે ઝડપ $v'$ છે:
$m(v') = \frac{4^{4}}{16} = \frac{256}{16} = 16$.
$m = \frac{81}{32}$ મૂકતા:
$(\frac{81}{32}) v' = 16 \Rightarrow v' = \frac{16 \times 32}{81} = \frac{512}{81} \approx 6.32 \, m/s$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,ઝડપ આશરે $6.5 \, m/s$ છે.

(C) ગરગડી દળદાર હોવાથી,ગરગડીની બંને બાજુએ તણાવ સમાન નથી. ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ પરથી,આપણી પાસે છે:
$m_{1} g - T_{1} = m_{1} a$ ---$(i)$
$T_{2} - m_{2} g = m_{2} a$ ---(ii)
$(T_{1} - T_{2}) R = I \alpha = \left(\frac{M R^{2}}{2}\right) \left(\frac{a}{R}\right) = \frac{M R a}{2}$ ---(iii)
સમીકરણ (iii) પરથી,આપણને મળે છે:
$T_{1} - T_{2} = \frac{M a}{2}$ ---(iv)
$T_{1} = m_{1}(g - a)$ અને $T_{2} = m_{2}(g + a)$ ને સમીકરણ (iii) માં મૂકતા:
$m_{1}(g - a) - m_{2}(g + a) = \frac{M a}{2}$
$(m_{1} - m_{2}) g = a \left(\frac{M}{2} + m_{1} + m_{2}\right)$
$a = \frac{(m_{1} - m_{2}) g}{\frac{M}{2} + (m_{1} + m_{2})}$
$a$ ની કિંમત સમીકરણ (iv) માં મૂકતા:
$T_{1} - T_{2} = \frac{M}{2} \cdot \frac{(m_{1} - m_{2}) g}{\frac{M}{2} + (m_{1} + m_{2})} = \frac{(m_{1} - m_{2}) g}{1 + \frac{2(m_{1} + m_{2})}{M}}$
જેમ $M \rightarrow 0$,તેમ $T_{1} - T_{2} \rightarrow 0$. જેમ $M \rightarrow \infty$,તેમ $T_{1} - T_{2} \rightarrow (m_{1} - m_{2}) g$. આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે તફાવત $M$ સાથે વધે છે અને એક અચળ મૂલ્ય તરફ જાય છે,જે આલેખ $(c)$ માં દર્શાવેલ વક્રને અનુરૂપ છે.

(B) બ્લોક $1$ અને $2$ માટે ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ છે.
ધારો કે દોરીમાં તણાવ $T$ છે.
બ્લોક $1$ માટે,બળો ઉપરની તરફ તણાવ $T$,અને નીચેની તરફ ગુરુત્વાકર્ષણ $mg$ અને સ્પ્રિંગ બળ $k_1 x$ છે. ગતિનું સમીકરણ:
$T + k_1 x - mg = ma_1$ (નીચેની તરફ પ્રવેગ $a_1$ ધારતા)
બ્લોક $2$ માટે,બળો ઉપરની તરફ તણાવ $T$ અને સ્પ્રિંગ બળ $k_2 x$,અને નીચેની તરફ ગુરુત્વાકર્ષણ $mg$ છે. ગતિનું સમીકરણ:
$k_2 x + mg - T = ma_2$ (ઉપરની તરફ પ્રવેગ $a_2$ ધારતા)
દોરી અદબનીય હોવાથી,પ્રવેગના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ,તેથી $a_1 = a_2 = a$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$(T + k_1 x - mg) + (k_2 x + mg - T) = ma_1 + ma_2$
$(k_1 + k_2) x = 2ma$
$a = \frac{(k_1 + k_2) x}{2m}$
આમ,બંને બ્લોક્સ માટે પ્રવેગનું મૂલ્ય $a = \frac{(k_1 + k_2) x}{2m}$ છે.

(A) જ્યારે બોક્સ પલટી જવાની અણી પર હોય,ત્યારે લંબબળ $N$ એ ધાર $O$ માંથી પસાર થાય છે જેની આસપાસ તે ફરવાનું વલણ ધરાવે છે. બિંદુ $O$ ની આસપાસ લાગુ બળ $F$ ને કારણે ટોર્ક એ વજન $mg$ ને કારણે ટોર્કને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
પલટી જવા માટેની શરત:
$F \times H = mg \times \frac{a}{2} \quad \dots(1)$
સરકવા માટેની શરત,લાગુ બળ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળને પાર કરવું જોઈએ:
$F = \mu mg \quad \dots(2)$
નિર્ણાયક ઊંચાઈ $H$ પર,બોક્સ એકસાથે પલટી જવાની અને સરકવાની અણી પર હોય છે. સમીકરણ $(2)$ માંથી $F = \mu mg$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$(\mu mg) \times H = mg \times \frac{a}{2}$
બંને બાજુ $mg$ વડે ભાગતા:
$\mu H = \frac{a}{2}$
તેથી,ઘર્ષણાંક:
$\mu = \frac{a}{2 H}$

(C) આપેલ છે: દળ $m = 75 \,kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 2 \,m/s$,અંતિમ વેગ $v = 0 \,m/s$,અને અટકવા માટેનું અંતર $s = 0.25 \,m$.
સૌ પ્રથમ,આપણે ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને પેરાશૂટિસ્ટનો પ્રતિપ્રવેગ (પ્રવેગ) શોધીએ:
$v^2 - u^2 = 2as$
$0^2 - (2)^2 = 2 \cdot a \cdot 0.25$
$-4 = 0.5 \cdot a$
$a = -8 \,m/s^2$
ઋણ નિશાની પ્રતિપ્રવેગ સૂચવે છે (ઉપરની તરફ $8 \,m/s^2$ નો પ્રવેગ).
હવે,ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$F_{\text{net}} = ma$
$F_R - mg = ma$
જ્યાં $F_R$ એ જમીન દ્વારા લાગતું અવરોધક બળ છે અને $g = 10 \,m/s^2$ લેતા.
$F_R = m(g + a)$
$F_R = 75 \cdot (10 + 8)$
$F_R = 75 \cdot 18 = 1350 \,N$.
તેથી,જમીન દ્વારા પેરાશૂટિસ્ટ પર લાગતું સરેરાશ બળ $1350 \,N$ છે.

(B) $m$ દળનો બ્લોક $M$ દળના વેજની સાપેક્ષમાં સ્થિર રહે તે માટે,બ્લોક પર લાગતું સ્યુડો બળ ઢાળની દિશામાં ગુરુત્વાકર્ષણના ઘટકને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
$1$. ધારો કે તંત્રનો પ્રવેગ $a$ છે. તંત્રનું કુલ દળ $(M+m)$ છે. લગાડવામાં આવેલ બળ $F = (M+m)a$ છે,તેથી $a = \frac{F}{M+m} \dots (1)$.
$2$. વેજના ફ્રેમમાં,બ્લોક પર ડાબી તરફ આડું સ્યુડો બળ $ma$ લાગે છે. ઢાળવાળી સપાટીને સમાંતર બ્લોક પર લાગતા બળોના ઘટકો નીચે મુજબ છે:
- સ્યુડો બળનો ઘટક: $ma \cos \theta$
- ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક: $mg \sin \theta$
$3$. બ્લોક વેજ પર સ્થિર રહે તે માટે,આ બળો સમાન હોવા જોઈએ:
$ma \cos \theta = mg \sin \theta$
$a \cos \theta = g \sin \theta$
$a = g \tan \theta$
$4$. સમીકરણ $(1)$ માં $a$ ની કિંમત મૂકતા:
$F = (M+m) g \tan \theta$.

(D) સાચો જવાબ $D$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પદાર્થ પર લાગતું બળ $\vec{F} = m\vec{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $\vec{a}$ એ પ્રવેગ છે.
$1$. જો કોઈ પદાર્થ સીધી રેખામાં સમાન ગતિએ ગતિ કરતો હોય,તો તેનો વેગ અચળ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે પ્રવેગ $\vec{a} = 0$ છે. $\vec{F} = m\vec{a}$ પરથી,જો $\vec{a} = 0$ હોય,તો $\vec{F} = 0$ થાય. આમ,સમાન ગતિ માટે કોઈ બાહ્ય બળની જરૂર નથી.
$2$. પ્રવેગી ગતિ માટે,$\vec{a} \neq 0$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{F} \neq 0$. તેથી,કોઈપણ પ્રવેગી ગતિ બાહ્ય બળને કારણે જ હોવી જોઈએ.
$3$. $\vec{F} = m\vec{a}$ સંબંધ પરથી,આપણે $m = \frac{|\vec{F}|}{|\vec{a}|}$ લખી શકીએ છીએ. આ દર્શાવે છે કે જડત્વનું દળ એ એકમ પ્રવેગ દીઠ જરૂરી બળ જેટલું છે.
આમ,બધા વિધાનો સાચા હોવાથી,જવાબ $D$ છે.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 10 \,g = 0.01 \,kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 200 \,m/s$,અંતિમ વેગ $v = 0 \,m/s$,અને અંતર $s = 5 \,cm = 0.05 \,m$.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v^2 = u^2 + 2as$.
કિંમતો મૂકતા: $0^2 = (200)^2 + 2 \cdot a \cdot 0.05$.
$0 = 40000 + 0.1a$.
$a = -\frac{40000}{0.1} = -400,000 \,m/s^2$.
હવે,ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $F = ma$.
$F = 0.01 \,kg \cdot (-400,000 \,m/s^2) = -4000 \,N$.
ઋણ નિશાની અવરોધક બળ સૂચવે છે.

(C) વેગમાનમાં થતો કુલ ફેરફાર એ આઘાત (impulse) જેટલો હોય છે,જે બળ-સમય $(F-t)$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\Delta p = \int F \cdot dt = F-t \text{ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ}$.
વેગમાનમાં થતો કુલ ફેરફાર શૂન્ય થવા માટે,આલેખ હેઠળનું ચોખ્ખું ક્ષેત્રફળ (ચિહ્નને ધ્યાનમાં લેતા) શૂન્ય હોવું જોઈએ.
વિકલ્પ $(C)$ માં,આલેખ $(0, -5)$ થી $(2, 5)$ સુધીની રેખા દર્શાવે છે જે $(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
$t$-અક્ષની નીચેનું ક્ષેત્રફળ ($t=0$ થી $t=1$ સુધી) એ $1$ પાયો અને $-5$ ઊંચાઈ ધરાવતો ત્રિકોણ છે:
$\text{Area}_1 = \frac{1}{2} \times 1 \times (-5) = -2.5$.
$t$-અક્ષની ઉપરનું ક્ષેત્રફળ ($t=1$ થી $t=2$ સુધી) એ $1$ પાયો અને $5$ ઊંચાઈ ધરાવતો ત્રિકોણ છે:
$\text{Area}_2 = \frac{1}{2} \times 1 \times 5 = 2.5$.
વેગમાનમાં થતો કુલ ફેરફાર = $\text{Area}_1 + \text{Area}_2 = -2.5 + 2.5 = 0$.

(A) દડાના ઉર્ધ્વ સંતુલન માટે,બે દોરીઓમાં રહેલા તણાવના ઉર્ધ્વ ઘટકોએ નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરવું આવશ્યક છે.
ધારો કે $\theta$ એ દરેક દોરી ઉર્ધ્વ સળિયા સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
તણાવ $T_1$ નો ઉર્ધ્વ ઘટક ઉપરની તરફ લાગે છે,જ્યારે તણાવ $T_2$ નો ઉર્ધ્વ ઘટક વજન $mg$ સાથે નીચેની તરફ લાગે છે.
આમ,ઉર્ધ્વ દિશામાં સંતુલનનું સમીકરણ છે:
$T_1 \cos \theta = mg + T_2 \cos \theta$
$T_1$ માટે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$T_1 \cos \theta - T_2 \cos \theta = mg$
$(T_1 - T_2) \cos \theta = mg$
$T_1 - T_2 = \frac{mg}{\cos \theta}$
કારણ કે $\theta < 90^{\circ}$,$\cos \theta$ ધન છે અને $0 < \cos \theta \le 1$. તેથી,$\frac{mg}{\cos \theta} > 0$,જે સૂચવે છે કે $T_1 - T_2 > 0$,અથવા $T_1 > T_2$.

(B) પદાર્થ પર લાગતું કુલ બળ $\vec{F}_{net} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3$ છે.
$\vec{F}_{net} = (2 \hat{i} + 4 \hat{j}) + (2 \hat{j} - \hat{k}) + (\hat{k} - 4 \hat{i} - 2 \hat{j}) = -2 \hat{i} + 4 \hat{j} \,N$.
આપેલ દળ $m = 1 \,kg$ માટે,પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{\vec{F}_{net}}{m} = \frac{-2 \hat{i} + 4 \hat{j}}{1} = -2 \hat{i} + 4 \hat{j} \,m/s^2$.
પદાર્થ ઉગમબિંદુથી સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત કરે છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = 0$ અને પ્રારંભિક સ્થાન $\vec{r}_0 = 0$ છે.
$t = 2 \,s$ સમયે સ્થાન $\vec{r} = \vec{u}t + \frac{1}{2} \vec{a} t^2$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{r} = 0 + \frac{1}{2} (-2 \hat{i} + 4 \hat{j}) (2)^2 = \frac{1}{2} (-2 \hat{i} + 4 \hat{j}) (4) = 2 (-2 \hat{i} + 4 \hat{j}) = -4 \hat{i} + 8 \hat{j} \,m$.
આમ,પદાર્થનું સ્થાન $(-4 \,m, 8 \,m)$ છે.

(B) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,જો કોઈ તંત્ર પરનું પરિણામી બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય,તો તંત્રનું કુલ વેગમાન અચળ (સંરક્ષિત) રહે છે.
જોકે,તંત્રના ઘટક કણો વચ્ચે આંતરિક બળો કાર્ય કરી શકે છે. આ આંતરિક બળોને કારણે વ્યક્તિગત કણો પ્રવેગિત થઈ શકે છે અથવા તેમની ગતિઊર્જામાં ફેરફાર થઈ શકે છે,ભલે સમગ્ર તંત્ર પરનું પરિણામી બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય.
તેથી,આપેલા તમામ વિધાનો સાચા છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો દર એ પદાર્થ પર લાગતા પરિણામી બળ જેટલો હોય છે: $\frac{dp}{dt} = F_{net}$.
પદાર્થને ફેંક્યા પછી તેના પર માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ નીચેની તરફ લાગે છે,તેથી $F_{net} = mg$.
અહીં દળ $m = 10 \,kg$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \,m/s^2$ આપેલ છે.
તેથી,વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો દર $F = 10 \,kg \times 9.8 \,m/s^2 = 98 \,N$ થાય.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ સમગ્ર ગતિ દરમિયાન અચળ રહેતું હોવાથી,ગતિના કોઈપણ સમયે $t$ પર વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો દર $98 \,N$ અચળ રહેશે.

(D) સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.
બ્લોક $A$ માટે,ઘર્ષણ બળ $F$ તેની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે. તેથી,$A$ નો પ્રવેગ $a_A = -\frac{F}{m}$ છે.
બ્લોક $B$ માટે,ઘર્ષણ બળ $F$ ગતિની દિશામાં લાગે છે. તેથી,$B$ નો પ્રવેગ $a_B = \frac{F}{M}$ છે.
$B$ ની સાપેક્ષમાં $A$ નો સાપેક્ષ પ્રવેગ $a_{AB} = a_A - a_B = -\frac{F}{m} - \frac{F}{M} = -F \left( \frac{M+m}{Mm} \right)$ છે.
$B$ ની સાપેક્ષમાં $A$ નો પ્રારંભિક સાપેક્ષ વેગ $u_{AB} = v_0$ છે. જ્યારે તેઓ સમાન વેગથી ગતિ કરે,ત્યારે અંતિમ સાપેક્ષ વેગ $v_{AB} = 0$ થાય.
ગતિના સમીકરણ $v_{AB}^2 = u_{AB}^2 + 2 a_{AB} S_{AB}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $S_{AB}$ એ સાપેક્ષ અંતર છે:
$0 = v_0^2 + 2 \left( -F \frac{M+m}{Mm} \right) S_{AB}$
$S_{AB} = \frac{v_0^2}{2F \frac{M+m}{Mm}} = \frac{Mmv_0^2}{2F(m+M)}$.

(A) ધારો કે સ્ટ્રટ $AB$ સમક્ષિતિજ સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. સ્ટ્રટ પર લાગતા બળો બ્લોક્સ $A$ અને $B$ ના પ્રતિક્રિયા બળો અને તેનું પોતાનું વજન છે.
સ્ટ્રટ $AB$ સંતુલનમાં છે:
શિરોલંબ બળોનો સરવાળો: $A_V + B_V = 200 \, N$
સમક્ષિતિજ બળોનો સરવાળો: $A_H = B_H$
$A$ ની આસપાસ ટોર્ક લેતા: $B_V \cdot L \cos 30^{\circ} - B_H \cdot L \sin 30^{\circ} - 200 \cdot (L/2) \cos 30^{\circ} = 0$
$B_V \cos 30^{\circ} - B_H \sin 30^{\circ} = 100 \cos 30^{\circ} \implies B_V - B_H \tan 30^{\circ} = 100$
ઢળતી સપાટી પર બ્લોક $B$ માટે ($60^{\circ}$ ખૂણે):
લંબબળ $N_B$ અને ઘર્ષણ $F_B = 0.25 N_B$ સપાટી પર લાગે છે. બળોનું વિભાજન કરતા:
$B_H + F_B \cos 60^{\circ} - N_B \sin 60^{\circ} = 0 \implies B_H = 0.741 N_B$
$N_B \cos 60^{\circ} - B_V - 300 + F_B \sin 60^{\circ} = 0 \implies 0.7165 N_B - B_V = 300$
આ સમીકરણો ઉકેલતા,$N_A = 650 \, N$ અને $F_A = 260 \, N$ મળે છે.
તેથી,$\mu_A = F_A / N_A = 260 / 650 = 0.4$.

(D) બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = Fd \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$1$. જો ઘર્ષણ બળ ગતિની દિશામાં કાર્ય કરતું હોય (દા.ત.,જ્યારે બે બ્લોક સાથે ગતિ કરે ત્યારે નીચેના બ્લોક પર લાગતું ઘર્ષણ),તો થયેલું કાર્ય ધન હોય છે.
$2$. જો ઘર્ષણ બળ ગતિની દિશાની વિરુદ્ધ કાર્ય કરતું હોય (ગતિજ ઘર્ષણ),તો થયેલું કાર્ય ઋણ હોય છે.
$3$. જો ઘર્ષણ બળ સ્થાનાંતરને લંબ હોય અથવા જો કોઈ સ્થાનાંતર ન થતું હોય,તો થયેલું કાર્ય શૂન્ય હોય છે.
તેથી,ઘર્ષણ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય ધન,ઋણ અથવા શૂન્ય હોઈ શકે છે.

(A) ધારો કે તંત્રનો પ્રવેગ $a$ છે જે બ્લોક $B$ ની દિશામાં છે.
બ્લોક $A$ ($m$ દળ) માટે: ઢાળ પરના બળો $T$ (ઉપરની તરફ) અને $mg \sin 45^{\circ}$ (નીચેની તરફ) છે. લંબબળ $N_A = mg \cos 45^{\circ}$ છે. ઘર્ષણ બળ $f_A = \mu_A N_A = (2/3) mg \cos 45^{\circ}$ છે.
$A$ માટે ગતિનું સમીકરણ: $T - mg \sin 45^{\circ} - f_A = ma \implies T = ma + mg \sin 45^{\circ} + (2/3) mg \cos 45^{\circ}$.
બ્લોક $B$ ($2m$ દળ) માટે: ઢાળ પરના બળો $2mg \sin 45^{\circ}$ (નીચેની તરફ) અને $T$ (ઉપરની તરફ) છે. લંબબળ $N_B = 2mg \cos 45^{\circ}$ છે. ઘર્ષણ બળ $f_B = \mu_B N_B = (1/3) (2mg \cos 45^{\circ}) = (2/3) mg \cos 45^{\circ}$ છે.
$B$ માટે ગતિનું સમીકરણ: $2mg \sin 45^{\circ} - T - f_B = 2ma \implies T = 2mg \sin 45^{\circ} - (2/3) mg \cos 45^{\circ} - 2ma$.
$T$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$ma + mg \sin 45^{\circ} + (2/3) mg \cos 45^{\circ} = 2mg \sin 45^{\circ} - (2/3) mg \cos 45^{\circ} - 2ma$
$3ma = mg \sin 45^{\circ} - (4/3) mg \cos 45^{\circ}$
અહીં $\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = 1/\sqrt{2}$ હોવાથી,$3ma = mg(1/\sqrt{2}) - (4/3) mg(1/\sqrt{2}) = mg(1/\sqrt{2}) (1 - 4/3) = -mg/(3\sqrt{2})$.
પ્રવેગ ઋણ હોવાથી,તંત્ર ગતિ કરતું નથી અને સ્થિત ઘર્ષણ તેને સંતુલનમાં રાખે છે. તેથી,પ્રવેગ $0$ છે.

(B) ધારો કે બળ $F$ છે અને દળ $m = 20\,kg$ છે. પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
પ્રથમ $20\,s$ દરમિયાન,પદાર્થ $a = F/m$ જેટલા પ્રવેગથી ગતિ કરે છે.
$20\,s$ ના અંતે વેગ $v = u + at = 0 + (F/20) \times 20 = F$ થાય છે.
બળ દૂર થયા પછી,પદાર્થ $10\,s$ સુધી $v = F$ જેટલા અચળ વેગથી ગતિ કરે છે.
આ સમયગાળામાં કાપેલું અંતર $d = v \times t = F \times 10 = 50\,m$ છે.
તેથી,$10F = 50$,જેનું સાદુરૂપ આપતા $F = 5\,N$ મળે છે.

(D) પગલું $1$: અથડામણ દરમિયાન રેખીય વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ કરો.
$P_i = P_f$
$(0.1)(400) = (0.1 + 3.9)v$
$40 = 4v$
$v = 10\,m/s$
પગલું $2$: ખરબચડી સપાટી પર બ્લોક-ગોળી તંત્રની ગતિનું વિશ્લેષણ કરો.
ઘર્ષણ બળ $f = \mu N = \mu (M+m)g$.
પ્રવેગ (મંદન) $a = \frac{f}{M+m} = \mu g$.
પગલું $3$: ઘર્ષણાંક $\mu$ શોધવા માટે ગતિનું સમીકરણ વાપરો.
$v_f^2 = v_i^2 + 2as$
$0 = (10)^2 - 2(\mu g)(20)$
$0 = 100 - 40 \mu (10)$
$400 \mu = 100$
$\mu = \frac{100}{400} = 0.25$

(A) આપેલ છે: દળ $m = 5\,kg$,પ્રવેગ $a = 1\,m/s^2$,ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$,સમય $t = 10\,s$,$g = 10\,m/s^2$.
ઢળતા સમતલ પર ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$F - mg \sin 30^{\circ} = ma$
$F - 5 \times 10 \times 0.5 = 5 \times 1$
$F - 25 = 5 \Rightarrow F = 30\,N$.
$v = u + at$ નો ઉપયોગ કરીને $t = 10\,s$ સમયે વેગની ગણતરી કરતા:
$v = 0 + 1 \times 10 = 10\,m/s$.
પાવર $P = F \times v$ ની ગણતરી કરતા:
$P = 30 \times 10 = 300\,W$.

(A) આપેલ છે કે કણ ત્રણ બળો $F_1$,$F_2$ અને $F_3$ ની અસર હેઠળ સંતુલનમાં છે.
ત્યારબાદ $F_2$ અને $F_3$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમનું પરિણામી બળ $F_{23} = \sqrt{F_2^2 + F_3^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\,N$ મળે છે.
કણ સ્થિર રહે તે માટે,બધા બળોનું પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $F_1$ એ $F_2$ અને $F_3$ ના પરિણામી બળ જેટલું અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવું જોઈએ.
જ્યારે $F_1$ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે કણ પર માત્ર $F_2$ અને $F_3$ બળો લાગે છે.
કણ પર લાગતું ચોખ્ખું બળ એ $F_2$ અને $F_3$ નું પરિણામી બળ છે,જે $10\,N$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F_{net} = ma$,તેથી $10\,N = 5\,kg \times a$.
આમ,$a = \frac{10}{5} = 2\,m/s^2$.

(B) જ્યારે કોઈ વસ્તુને સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણે ધકેલવામાં આવે છે,ત્યારે લંબબળ $N = mg + F \sin \theta$ થાય છે. ઘર્ષણ બળ $f = \mu N = \mu(mg + F \sin \theta)$ છે.
જ્યારે કોઈ વસ્તુને સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણે ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે લંબબળ $N = mg - F \sin \theta$ થાય છે. ઘર્ષણ બળ $f = \mu N = \mu(mg - F \sin \theta)$ છે.
ખેંચતી વખતે લંબબળ ઓછું હોવાથી,ઘર્ષણ બળ પણ ઓછું લાગે છે,તેથી ખેંચવું સરળ બને છે.
$STATEMENT-1$ સાચું છે કારણ કે લંબબળમાં તફાવત છે,માત્ર સપાટીના પ્રકારને કારણે નહીં.
$STATEMENT-2$ એ ઘર્ષણના નિયમોના સંદર્ભમાં સાચું વિધાન છે,પરંતુ તે સમજાવતું નથી કે ધકેલવા કરતા ખેંચવું શા માટે સરળ છે.
તેથી,બંને વિધાનો સાચા છે,પરંતુ $STATEMENT-2$ એ $STATEMENT-1$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(A) કોલમ $I$ ના વિધાનોનું વિશ્લેષણ:
$(A)$ $X$ દ્વારા $Y$ પર લાગતું બળ $Mg$ છે: $(p)$ માં,$N = Mg \cos \theta \neq Mg$. $(q)$ માં,$X$ એ $Y$ ને ટેકો આપે છે,તેથી $N=Mg$. $(t)$ માં,$X$ ઉત્પ્લાવક બળ $F_B < Mg$ લગાડે છે. $(r)$ માં,$X$ એક ક્લેમ્પ છે,બળ જટિલ છે. આમ,માત્ર $(q)$ માં $X$ એ $Y$ ને સ્થિર સ્થિતિમાં ટેકો આપે છે,તેથી $N=Mg$.
$(B)$ $X$ ની ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઊર્જા વધે છે: $X$ એ ફ્રેમ/આધાર છે. $(q)$ માં,લિફ્ટ ઉપર જાય છે,તેથી $X$ ઉપર જાય છે,ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઊર્જા વધે છે.
$(C)$ યાંત્રિક ઊર્જા ઘટે છે: જ્યારે બિન-સંરક્ષી બળો (ઘર્ષણ/સ્નિગ્ધતા) ઋણ કાર્ય કરે ત્યારે આવું થાય છે. આ $(s)$ (જો ડ્રેગ હોત તો) અથવા $(t)$ (સ્નિગ્ધ ડ્રેગ) અને $(p)$ (ઘર્ષણ) માં થાય છે.
$(D)$ $P$ ની સાપેક્ષે $Y$ ના વજનનું ટોર્ક શૂન્ય છે: જો વજનની કાર્યરેખા $P$ માંથી પસાર થાય. $(p)$,$(r)$,$(s)$,અને $(t)$ માં ભૂમિતિ આને મંજૂરી આપે છે.

(D) ધારો કે ભોંયતળિયા અને દીવાલની લંબ પ્રતિક્રિયા $N$ છે।
શિરોલંબ સંતુલન પરથી: $N + N \sin 30^{\circ} = 1.6g$.
$N(1 + 0.5) = 1.6 \times 10 = 16 \Rightarrow 1.5N = 16 \Rightarrow N = \frac{32}{3} \,N$.
ક્ષૈતિજ સંતુલન પરથી: $f = N \cos 30^{\circ} = \frac{32}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{16 \sqrt{3}}{3} \,N$.
નીચેના બિંદુ $A$ ની સાપેક્ષે ટોર્ક લેતા:
$1.6g \times (\frac{l}{2} \sin 30^{\circ}) = N \times x$, જ્યાં $x$ એ નીચેના છેડાથી દીવાલના સંપર્ક બિંદુ સુધીનું અંતર છે।
$16 \times \frac{l}{4} = \frac{32}{3} \times x \Rightarrow 4l = \frac{32}{3} x \Rightarrow x = \frac{3l}{8}$.
ભૂમિતિ પરથી, $h = x \cos 30^{\circ} = \frac{3l}{8} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \sqrt{3} l}{16}$.
આમ, $\frac{h}{l} = \frac{3 \sqrt{3}}{16}$ અને $f = \frac{16 \sqrt{3}}{3} \,N$.

(A) ઢળતા સમતલ પરના બ્લોક માટે,સમતલની નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઘટક $mg \sin \theta$ છે. મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{max} = \mu mg \cos \theta$ છે.
જ્યારે સમતલને સમાંતર $P$ બળ લગાડવામાં આવે છે,ત્યારે સંતુલનનું સમીકરણ $P + f - mg \sin \theta = 0$ થાય છે,જ્યાં $f$ એ સ્થિત ઘર્ષણ બળ છે.
તેથી,$f = mg \sin \theta - P$.
આ $y = -mx + c$ સ્વરૂપનું સુરેખ સમીકરણ છે,જે ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
જ્યારે $P = P_1 = mg(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ હોય,ત્યારે $f = mg \sin \theta - mg(\sin \theta - \mu \cos \theta) = \mu mg \cos \theta$.
જ્યારે $P = P_2 = mg(\sin \theta + \mu \cos \theta)$ હોય,ત્યારે $f = mg \sin \theta - mg(\sin \theta + \mu \cos \theta) = -\mu mg \cos \theta$.
જેમ $P$ એ $P_1$ થી $P_2$ સુધી વધે છે,તેમ ઘર્ષણ બળ $f$ એ $\mu mg \cos \theta$ થી $-\mu mg \cos \theta$ સુધી રેખીય રીતે ઘટે છે.
આ વિકલ્પ $A$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(B) આપેલ છે:
બ્લોકનું દળ,$m = 0.18 \ kg$
સ્પ્રિંગ અચળાંક,$k = 2 \ N/m$
ઘર્ષણાંક,$\mu = 0.1$
કાપેલું અંતર,$x = 0.06 \ m$
ગુરુત્વપ્રવેગ,$g = 10 \ m/s^2$
પ્રારંભિક વેગ,$v = N/10 \ m/s$
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બધા બળો દ્વારા થયેલ કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W_{\text{spring}} + W_{\text{friction}} = \Delta K$
$-\frac{1}{2} kx^2 - \mu mgx = 0 - \frac{1}{2} mv^2$
પદોને ગોઠવતા:
$\frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} kx^2 + \mu mgx$
$v^2 = \frac{kx^2}{m} + 2\mu gx$
કિંમતો મૂકતા:
$v^2 = \frac{2 \times (0.06)^2}{0.18} + 2 \times 0.1 \times 10 \times 0.06$
$v^2 = \frac{2 \times 0.0036}{0.18} + 0.12$
$v^2 = \frac{0.0072}{0.18} + 0.12$
$v^2 = 0.04 + 0.12 = 0.16$
$v = \sqrt{0.16} = 0.4 \ m/s$
આપેલ છે કે $v = N/10$,તેથી $0.4 = N/10$,જેનો અર્થ છે કે $N = 4$.

(B) ઢળતી સપાટી પર બ્લોક પર લાગતા બળોમાં ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $mg \sin \theta$ જે $P$ તરફ નીચેની દિશામાં લાગે છે અને સમક્ષિતિજ બળનો ઘટક $F \cos \theta$ જે $Q$ તરફ ઉપરની દિશામાં લાગે છે. અહીં,$m = 0.1 \ kg$,$g = 10 \ m/s^2$,અને $F = 1 \ N$ છે.
તેથી,$mg \sin \theta = 0.1 \times 10 \times \sin \theta = 1 \sin \theta$ અને $F \cos \theta = 1 \times \cos \theta = \cos \theta$.
ઢાળ પરનું પરિણામી બળ $F_{net} = mg \sin \theta - F \cos \theta = \sin \theta - \cos \theta$ છે.
જો $\sin \theta = \cos \theta$ હોય,તો $\theta = 45^{\circ}$ થાય,પરિણામી બળ શૂન્ય થાય અને બ્લોક ઘર્ષણ વગર $(f = 0)$ સ્થિર રહે છે.
જો $\sin \theta > \cos \theta$ (એટલે કે $\theta > 45^{\circ}$) હોય,તો બ્લોક $P$ તરફ નીચે સરકવાની વૃત્તિ ધરાવે છે,તેથી તેને સ્થિર રાખવા માટે ઘર્ષણ બળ $f$ એ $Q$ તરફ લાગવું જોઈએ.
જો $\sin \theta < \cos \theta$ (એટલે કે $\theta < 45^{\circ}$) હોય,તો બ્લોક $Q$ તરફ ઉપર સરકવાની વૃત્તિ ધરાવે છે,તેથી તેને સ્થિર રાખવા માટે ઘર્ષણ બળ $f$ એ $P$ તરફ લાગવું જોઈએ.
આમ,બ્લોક $\theta = 45^{\circ}$ (ઘર્ષણ વગર),$\theta > 45^{\circ}$ ($Q$ તરફ ઘર્ષણ),અથવા $\theta < 45^{\circ}$ ($P$ તરફ ઘર્ષણ) હોય ત્યારે સ્થિર રહે છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચી જોડીઓ $(A)$ અને $(C)$ છે.

(C) ધારો કે બે લટકતા બ્લોક્સને જોડતી દોરીમાં તણાવ $T$ છે. ગતિશીલ ગરગડી માટે,$2M$ દળના બ્લોક સાથે જોડાયેલી દોરીમાં તણાવ $2T$ છે. $2M$ દળના બ્લોક માટે ગતિનું સમીકરણ $2T - kx = 2Ma_1$ છે. લટકતી સિસ્ટમ માટે,ગતિશીલ ગરગડીના સંદર્ભમાં $M$ અને $2M$ દળના બ્લોક્સનો સાપેક્ષ પ્રવેગ $a_{rel}$ છે. સમીકરણો $Mg - T = M(a_1 - a_{rel})$ અને $2Mg - T = 2M(a_1 + a_{rel})$ છે. આને ઉકેલતા $T = \frac{4}{3}Mg$ અને $a_{rel} = \frac{g}{3}$ મળે છે. $M$ બ્લોકનો પ્રવેગ $a_2 = a_1 + a_{rel}$ અને $2M$ માટે $a_3 = a_1 - a_{rel}$ છે. આમ,$a_2 - a_1 = a_1 - a_3 = a_{rel} = \frac{g}{3}$. $T$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $2(\frac{4}{3}Mg) - kx = 2Ma_1 \implies a_1 = \frac{4g}{3} - \frac{kx}{2M}$. મહત્તમ વિસ્તરણ $x_0$ પર,$a_1 = 0$,તેથી $x_0 = \frac{8Mg}{3k}$. વિકલ્પ $A$ ખોટો છે. વિકલ્પ $C$ માટે,$a_2 - a_1 = a_{rel}$ અને $a_1 - a_3 = a_{rel}$,તેથી $a_2 - a_1 = a_1 - a_3$ સાચું છે. $x = \frac{x_0}{4}$ પર,$a_1 = \frac{4g}{3} - \frac{k(8Mg/12k)}{2M} = \frac{4g}{3} - \frac{g}{3} = g$. વિકલ્પ $D$ ખોટો છે.

(A) ધારો કે $N_1$ અને $N_2$ એ અનુક્રમે ડાબી અને જમણી આંગળીઓ પરના લંબબળ છે. $M$ દળ અને $100 \ cm$ લંબાઈની સમાન મીટર સ્કેલ માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $50 \ cm$ પર છે. શરૂઆતમાં,આંગળીઓ $0 \ cm$ અને $90 \ cm$ પર છે. દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું ડાબી આંગળીથી અંતર $50 \ cm$ અને જમણી આંગળીથી $40 \ cm$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ પરિભ્રમણીય સંતુલન માટે: $N_1(50) = N_2(40) \implies 5N_1 = 4N_2$.
વળી,$N_1 + N_2 = Mg$. $N_2 = 1.25N_1$ મૂકતા,આપણને $2.25N_1 = Mg \implies N_1 = \frac{4}{9}Mg$ અને $N_2 = \frac{5}{9}Mg$ મળે છે.
જ્યારે ડાબી આંગળી સરકે છે,ત્યારે તે ગતિક ઘર્ષણ $f_{k1} = \mu_k N_1$ અનુભવે છે અને જમણી આંગળી સ્થિત ઘર્ષણ $f_{s2} \le \mu_s N_2$ અનુભવે છે. જ્યારે ડાબી આંગળી અટકે છે અને જમણી સરકવાનું શરૂ કરે છે,ત્યારે જમણી આંગળી ગતિક ઘર્ષણ $f_{k2} = \mu_k N_2$ અનુભવે છે અને ડાબી આંગળી સ્થિત ઘર્ષણ $f_{s1} = \mu_s N_1$ અનુભવે છે.
જે બિંદુએ જમણી આંગળી અટકે છે અને ડાબી આંગળી સરકવાનું શરૂ કરે છે,ત્યાં દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ટોર્ક શૂન્ય છે: $N_1 x_L = N_2 x_R$.
વળી,સંક્રમણ માટેની શરત $f_{s1} = f_{k2} \implies \mu_s N_1 = \mu_k N_2$ છે.
આપેલ છે કે $\mu_s = 0.40$ અને $\mu_k = 0.32$,તેથી $0.40 N_1 = 0.32 N_2 \implies N_1 = 0.8 N_2 = \frac{4}{5} N_2$.
આને ટોર્ક સમીકરણમાં મૂકતા: $(\frac{4}{5} N_2) x_L = N_2 x_R \implies x_R = 0.8 x_L$.
અગાઉના તબક્કામાંથી જ્યાં ડાબી આંગળી અટકી હતી,$N_1 x_L = N_2(40)$ અને $4N_1 = 5N_2$ (એટલે કે $N_1 = 1.25 N_2$) સાથે,આપણને $x_L = 32 \ cm$ મળ્યું.
આમ,$x_R = 0.8 \times 32 = 25.6 \ cm$.

(A) પ્રારંભિક વેગ $u = 5\sqrt{2} \text{ m/s}$,શિરોલંબ સાથે $45^{\circ}$ એટલે સમક્ષિતિજ સાથે પણ $45^{\circ}$ થાય. તેથી,$u_x = u \cos 45^{\circ} = 5\sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 5 \text{ m/s}$ અને $u_y = u \sin 45^{\circ} = 5\sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 5 \text{ m/s}$.
અવધિ $R = \frac{2 u_x u_y}{g} = \frac{2 \times 5 \times 5}{10} = 5 \text{ m}$.
ઉડ્ડયન સમય $T = \frac{2 u_y}{g} = \frac{2 \times 5}{10} = 1 \text{ s}$.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ મહત્તમ ઊંચાઈએ વિભાજિત થાય છે,જે $T/2 = 0.5 \text{ s}$ સમયે અને $R/2 = 2.5 \text{ m}$ ના સમક્ષિતિજ અંતરે થાય છે.
એક ભાગ શિરોલંબ નીચે પડે છે,એટલે કે તેનો સમક્ષિતિજ વેગ $0$ થાય છે. તેને જમીન પર પહોંચતા $0.5 \text{ s}$ લાગે છે,તેથી $t = 0.5 \text{ s}$.
સમક્ષિતિજ દિશામાં વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $M u_x = (M/2) v_1 + (M/2) v_2$. પ્રથમ ભાગ શિરોલંબ નીચે પડતો હોવાથી,$v_1 = 0$. તેથી,$M(5) = (M/2) v_2 \Rightarrow v_2 = 10 \text{ m/s}$.
બીજો ભાગ $R/2 = 2.5 \text{ m}$ ના સ્થાનથી $t = 0.5 \text{ s}$ માટે $10 \text{ m/s}$ ના વેગથી સમક્ષિતિજ ગતિ કરે છે.
વિભાજન પછી બીજા ભાગ દ્વારા કાપેલું સમક્ષિતિજ અંતર $= v_2 \times t = 10 \times 0.5 = 5 \text{ m}$.
$O$ થી કુલ અંતર $x = (R/2) + 5 = 2.5 + 5 = 7.5 \text{ m}$.
તેથી,$t = 0.5 \text{ s}$ અને $x = 7.5 \text{ m}$.

(D) નિસરણી લપસવાની તૈયારીમાં હોવાથી,બંને ઘર્ષણ બળો તેમના સીમાંત મૂલ્યો પર હશે:
$f_1 = \mu_1 N_1$
$f_2 = \mu_2 N_2$
વિકલ્પ $(A)$ અને $(D)$ માટે,$\mu_1 = 0$. સંતુલન માટે જમીન સાથેના સંપર્ક બિંદુ $A$ ની સાપેક્ષે કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$mg \cos \theta \left(\frac{\ell}{2}\right) = N_1 \sin \theta (\ell)$
$\Rightarrow N_1 = \frac{mg \cot \theta}{2}$
$\Rightarrow N_1 \tan \theta = \frac{mg}{2}$
આ શરત વિકલ્પ $(D)$ માં આપેલી છે.
વિકલ્પ $(B)$ માટે,$\mu_2 = 0$. $N_1$ ને સંતુલિત કરવા માટે કોઈ સમક્ષિતિજ બળ નથી,તેથી નિસરણી સંતુલનમાં રહી શકતી નથી.
વિકલ્પ $(C)$ માટે,$\mu_1 \neq 0$ અને $\mu_2 \neq 0$. બળોનું સંતુલન કરતા:
સમક્ષિતિજ: $N_1 = f_2 = \mu_2 N_2$
શિરોલંબ: $N_2 + f_1 = mg \Rightarrow N_2 + \mu_1 N_1 = mg$
શિરોલંબ સમીકરણમાં $N_1 = \mu_2 N_2$ મૂકતા:
$N_2 + \mu_1 (\mu_2 N_2) = mg$
$N_2 (1 + \mu_1 \mu_2) = mg$
$N_2 = \frac{mg}{1 + \mu_1 \mu_2}$
આમ,વિકલ્પો $(C)$ અને $(D)$ સાચા છે.

(C) બ્લોક અચળ વેગથી ગતિ કરતો હોવાથી,તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય છે $(a = 0)$.
સમક્ષિતિજ દિશામાં બળોનું સંતુલન: $F \cos 45^{\circ} = f_k$,જ્યાં $f_k = \mu N$.
શિરોલંબ દિશામાં બળોનું સંતુલન: $N + F \sin 45^{\circ} = mg \Rightarrow N = mg - \frac{F}{\sqrt{2}}$.
$N$ ની કિંમત ઘર્ષણના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{F}{\sqrt{2}} = 0.25 \left( 25 \times 9.8 - \frac{F}{\sqrt{2}} \right)$.
$\frac{F}{\sqrt{2}} = 0.25 \times 245 - 0.25 \frac{F}{\sqrt{2}}$.
$1.25 \frac{F}{\sqrt{2}} = 61.25$.
$F = \frac{61.25 \times \sqrt{2}}{1.25} = 49 \sqrt{2} \ N$.
લાગુ પાડેલા બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = F S \cos 45^{\circ}$ છે.
$W = (49 \sqrt{2}) \times 5 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 49 \times 5 = 245 \ J$.

(A) $1$. $100 \text{ N}$ ના લાગુ પાડેલા બળને સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ ઘટકોમાં વિભાજિત કરો:
સમક્ષિતિજ ઘટક $N = 100 \sin 37^{\circ} = 100 \times 0.6 = 60 \text{ N}$.
શિરોલંબ ઘટક $F_v = 100 \cos 37^{\circ} = 100 \times 0.8 = 80 \text{ N}$ (ઉપરની તરફ).
$2$. સીમાંત ઘર્ષણ $f_L$ ની ગણતરી કરો:
$f_L = \mu_s N = 0.6 \times 60 = 36 \text{ N}$.
$3$. બ્લોક પર લાગતા શિરોલંબ બળોનું વિશ્લેષણ કરો:
બ્લોકનું વજન $mg = 5 \times 10 = 50 \text{ N}$ (નીચેની તરફ) છે.
લાગુ પાડેલા બળનો શિરોલંબ ઘટક $80 \text{ N}$ (ઉપરની તરફ) છે.
કુલ બાહ્ય શિરોલંબ બળ $80 - 50 = 30 \text{ N}$ (ઉપરની તરફ) છે.
$4$. કારણ કે કુલ બાહ્ય શિરોલંબ બળ $(30 \text{ N})$ એ સીમાંત ઘર્ષણ $(36 \text{ N})$ કરતા ઓછું છે, તેથી બ્લોક સંતુલનમાં રહેશે.
તેથી, સ્થિત ઘર્ષણ $f_s$ એ કુલ બાહ્ય શિરોલંબ બળને સંતુલિત કરશે.
$f_s = 30 \text{ N}$ (નીચેની તરફ).

(C) બ્લોક પર લાગતું મહત્તમ ઘર્ષણ બળ $f_{max} = \mu N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ લંબ પ્રતિક્રિયા બળ છે.
બ્લોક આડી સપાટી પર હોવાથી,$N = mg = 60 \ N$.
તેથી,$f_{max} = 0.5 \times 60 \ N = 30 \ N$.
બ્લોક સરકે નહીં તે માટે,તણાવ બળ $T_1$ એ $T_1 \leq f_{max}$ નું પાલન કરવું જોઈએ. મહત્તમ મૂલ્ય $T_1 = 30 \ N$ છે.
જંકશન બિંદુ પર,બળો સંતુલનમાં છે:
આડું ઘટક: $T_2 \cos 45^{\circ} = T_1 = 30 \ N$.
ઊભું ઘટક: $T_2 \sin 45^{\circ} = W$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{T_2 \sin 45^{\circ}}{T_2 \cos 45^{\circ}} = \frac{W}{30}$.
$\tan 45^{\circ} = \frac{W}{30} \implies 1 = \frac{W}{30}$.
તેથી,$W = 30 \ N$.

(A) શરૂઆતમાં,તંત્ર સંતુલનમાં છે. ધારો કે દોરીમાં તણાવ $T$ છે અને સ્પ્રિંગ બળ $F_s$ છે.
$m$ દળ માટે: $T = mg$ (નીચેની તરફ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ,ઉપરની તરફ તણાવ).
$2m$ દળ માટે: સ્પ્રિંગ બળ $F_s$ એ બંને દળના વજન અને તણાવ $T$ ને સંતુલિત કરે છે. તેથી,$F_s = (2m + m)g = 3mg$.
જ્યારે દોરી કાપવામાં આવે છે,ત્યારે તણાવ $T$ તરત જ શૂન્ય થઈ જાય છે,પરંતુ સ્પ્રિંગ બળ $F_s$ એ $3mg$ જ રહે છે કારણ કે સ્પ્રિંગની લંબાઈ તરત બદલાતી નથી.
$m$ દળ માટે (કાપ્યા પછી): તેના પર માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ લાગે છે. તેથી,$F_{net} = mg = ma_m$,જે $a_m = g$ (નીચેની તરફ) આપે છે.
$2m$ દળ માટે (કાપ્યા પછી): તેના પર લાગતા બળો સ્પ્રિંગ બળ $F_s$ (ઉપરની તરફ) અને ગુરુત્વાકર્ષણ $2mg$ (નીચેની તરફ) છે. તેથી,$F_{net} = F_s - 2mg = 3mg - 2mg = mg$. ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,$mg = (2m)a_{2m}$,જે $a_{2m} = \frac{g}{2}$ (ઉપરની તરફ) આપે છે.
આમ,$2m$ દળનો પ્રવેગ $\frac{g}{2}$ ઉપરની તરફ અને $m$ દળનો પ્રવેગ $g$ નીચેની તરફ હશે.