General term, Coefficient of any power of x, Independent term, Middle term and Greatest term and Greatest coefficient Questions in Gujarati

(D) $(a+\frac{x}{5})^{65}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{65}C_r a^{65-r} (\frac{x}{5})^r = {}^{65}C_r a^{65-r} \frac{x^r}{5^r}$ છે.
$x^5$ નો સહગુણક ${}^{65}C_5 a^{60} \frac{1}{5^5}$ છે.
$x^6$ નો સહગુણક ${}^{65}C_6 a^{59} \frac{1}{5^6}$ છે.
આ સહગુણકો સમાન આપેલ છે:
${}^{65}C_5 \frac{a^{60}}{5^5} = {}^{65}C_6 \frac{a^{59}}{5^6}$.
$a = \frac{{}^{65}C_6}{{}^{65}C_5} \times \frac{5^5}{5^6} = \frac{65-5}{6} \times \frac{1}{5} = \frac{60}{6 \times 5} = 2$.
હવે,$(2+\frac{x}{5})^4$ ના વિસ્તરણમાં $x^2$ નો સહગુણક મેળવવો છે.
સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{4}C_r (2)^{4-r} (\frac{x}{5})^r$ છે.
$x^2$ માટે,$r=2$ લેતા:
સહગુણક $= {}^{4}C_2 (2)^{4-2} (\frac{1}{5})^2 = 6 \times 2^2 \times \frac{1}{25} = 6 \times 4 \times \frac{1}{25} = \frac{24}{25}$.

(D) શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $\frac{r \cdot {}^nC_r}{{}^nC_{r-1}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
${}^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{r \cdot {}^nC_r}{{}^nC_{r-1}} = \frac{r \cdot \frac{n!}{r!(n-r)!}}{\frac{n!}{(r-1)!(n-r+1)!}} = n-r+1$.
$r=1$ માટે,પદ $n$ છે.
$r=2$ માટે,પદ $n-1$ છે.
આમ,સરવાળો $n + (n-1) + (n-2) + \ldots + 1 = \sum_{k=1}^{n} k$ થાય છે.

(D) $(3+7x)^{29}$ ના વિસ્તરણમાં $r$-મું પદ $T_r = {}^{29}C_{r-1} (3)^{30-r} (7x)^{r-1}$ છે. તેનો સહગુણક ${}^{29}C_{r-1} (3)^{30-r} (7)^{r-1}$ છે.
$(r+1)$-મું પદ $T_{r+1} = {}^{29}C_r (3)^{29-r} (7x)^r$ છે. તેનો સહગુણક ${}^{29}C_r (3)^{29-r} (7)^r$ છે.
આપેલ છે કે સહગુણકો સમાન છે:
${}^{29}C_{r-1} (3)^{30-r} (7)^{r-1} = {}^{29}C_r (3)^{29-r} (7)^r$
બંને બાજુ ${}^{29}C_{r-1} (3)^{29-r} (7)^{r-1}$ વડે ભાગતા:
$3 = {}^{29}C_r / {}^{29}C_{r-1} \times 7$
સૂત્ર ${}^nC_r / {}^nC_{r-1} = (n-r+1)/r$ નો ઉપયોગ કરતા:
$3 = \frac{29-r+1}{r} \times 7$
$3r = 7(30-r)$
$3r = 210 - 7r$
$10r = 210$
$r = 21$

(A) $(1+x)^n$ ના વિસ્તરણમાં $x^r$ નો સહગુણક ${ }^n C_r$ છે.
આપેલ પદાવલિમાં $x^5$ નો સહગુણક દરેક પદના $x^5$ ના સહગુણકોનો સરવાળો છે:
${ }^{21} C_5 + { }^{22} C_5 + { }^{23} C_5 + \ldots + { }^{30} C_5$.
નિત્યસમ ${ }^n C_r + { }^n C_{r-1} = { }^{n+1} C_r$ નો ઉપયોગ કરતા:
${ }^{21} C_5 + { }^{22} C_5 + \ldots + { }^{30} C_5 = ({ }^{21} C_6 + { }^{21} C_5 + { }^{22} C_5 + \ldots + { }^{30} C_5) - { }^{21} C_6$.
આ નિત્યસમનો વારંવાર ઉપયોગ કરતા:
${ }^{21} C_6 + { }^{21} C_5 = { }^{22} C_6$.
${ }^{22} C_6 + { }^{22} C_5 = { }^{23} C_6$.
છેલ્લે સુધી આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખતા:
${ }^{30} C_6 + { }^{30} C_5 = { }^{31} C_6$.
આમ,સરવાળો ${ }^{31} C_6 - { }^{21} C_6$ થાય છે.

(B) આપણે $(1-ax)^{-1} = 1 + ax + a^2x^2 + a^3x^3 + a^4x^4 + \dots$ વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપેલ પદાવલિ $(1-x)^{-1}(1-2x)^{-1}(1-3x)^{-1}$ છે.
દરેક પદનું $x^4$ સુધી વિસ્તરણ કરતા:
$(1+x+x^2+x^3+x^4)(1+2x+4x^2+8x^3+16x^4)(1+3x+9x^2+27x^3+81x^4)$.
આ શ્રેણીઓનો ગુણાકાર કરતા,$x^4$ નો સહગુણક એવા તમામ પદોના સરવાળા દ્વારા મળે છે જેની ઘાતનો સરવાળો $4$ થાય છે:
$1(1)(81) + 1(2)(27) + 1(4)(9) + 1(8)(3) + 1(16)(1) + 1(3)(27) + 1(9)(8) + 1(27)(4) + 1(1)(27) + 1(3)(8) + 1(9)(4) + 1(27)(2) + 1(1)(16) + 1(3)(4) + 1(9)(2) + 1(27)(1) + 1(1)(9) + 1(3)(2) + 1(9)(1) + 1(1)(3) + 1(3)(1) + 1(1)(1) = 301$.
આમ,$x^4$ નો સહગુણક $301$ છે.

(A) આપેલ છે $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{-3/4} + a x^{5/4}}{x-1} = -2$.
લક્ષનું અસ્તિત્વ હોવા માટે,$x=1$ આગળ અંશ $0$ હોવો જોઈએ,તેથી $1+a=0$,જે $a=-1$ આપે છે.
$a=-1$ સાથે લક્ષ ચકાસતા: $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{-3/4} - x^{5/4}}{x-1} = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{-3/4}(1 - x^2)}{x-1} = \lim _{x \rightarrow 1} x^{-3/4} \frac{(1-x)(1+x)}{-(1-x)} = -2$.
આમ,$a=-1$.
હવે,$(x^{-3/4} - x^{5/4})^4$ ના વિસ્તરણને ધ્યાનમાં લો = $\sum_{k=0}^{4} {^4C_k} (x^{-3/4})^{4-k} (-x^{5/4})^k$.
સામાન્ય પદ $T_{k+1} = {^4C_k} (x^{-3/4})^{4-k} (-1)^k (x^{5/4})^k = {^4C_k} (-1)^k x^{-3 + \frac{3k}{4} + \frac{5k}{4}} = {^4C_k} (-1)^k x^{2k-3}$ છે.
આપણે $x^1$ નો સહગુણક જોઈએ છે,તેથી $2k-3 = 1$ લેતા,જે $2k=4$ આપે છે,તેથી $k=2$.
સહગુણક ${^4C_2} (-1)^2 = 6 \times 1 = 6$ છે.

(C) $(x+y)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = ^nC_r x^{n-r} y^r$ છે.
$\left(ax^2 - \frac{8}{bx}\right)^9$ ના વિસ્તરણમાં,શરૂઆતથી $3^{\text{rd}}$ પદ $T_3$ $(r=2)$ છે:
$T_3 = ^9C_2 (ax^2)^7 (-\frac{8}{bx})^2 = ^9C_2 \cdot \frac{64 a^7}{b^2} x^{12}$.
સહગુણક $^9C_2 \cdot \frac{64 a^7}{b^2}$ છે.
$\left(ax - \frac{2}{bx^2}\right)^9$ ના વિસ્તરણમાં,અંતથી $3^{\text{rd}}$ પદ એ શરૂઆતથી $8^{\text{th}}$ પદ છે:
$T_8 = ^9C_7 (ax)^2 (-\frac{2}{bx^2})^7 = ^9C_2 \cdot \frac{-128 a^2}{b^7 x^{12}}$.
સહગુણકોને સરખાવતા: $^9C_2 \cdot \frac{64 a^7}{b^2} = -^9C_2 \cdot \frac{128 a^2}{b^7} \implies a^5 b^5 = -2$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $E = \left(1+\frac{1}{x}\right)^{20} \left(30x(1+x)^{29} + (1+x)^{30}\right)$
સાદું રૂપ આપતા: $E = \frac{(1+x)^{49}}{x^{20}} (31x + 1) = 31 \frac{(1+x)^{49}}{x^{19}} + \frac{(1+x)^{49}}{x^{20}}$
અચળ પદ એ $(1+x)^{49}$ માં $x^{19}$ નો સહગુણક અને $x^{20}$ ના સહગુણકનો સરવાળો છે.
$(1+x)^{49}$ માં $x^{19}$ નો સહગુણક ${}^{49}C_{19}$ છે.
$(1+x)^{49}$ માં $x^{20}$ નો સહગુણક ${}^{49}C_{20}$ છે.
તેથી,અચળ પદ $31 \cdot {}^{49}C_{19} + {}^{49}C_{20} = 30 \cdot {}^{49}C_{19} + ({}^{49}C_{19} + {}^{49}C_{20}) = 30 \cdot {}^{49}C_{19} + {}^{50}C_{20}$ થાય.

(C) આપેલ વિસ્તરણ $(2x - 3y)^{13}$ માં $x = \frac{7}{2}$ અને $y = \frac{3}{7}$ મૂકતા,આપણને $(7 - \frac{9}{7})^{13}$ મળે છે.
સંખ્યાત્મક રીતે સૌથી મોટા પદ માટે,ગુણોત્તર $\left| \frac{T_{r+1}}{T_r} \right| = \frac{n-r+1}{r} \left| \frac{b}{a} \right|$ નો ઉપયોગ કરતા.
અહીં $a = 7$,$b = -\frac{9}{7}$,અને $n = 13$ છે.
ગણતરી કરતા $r = 2$ મળે છે,તેથી ત્રીજું પદ $T_3$ સૌથી મોટું છે.
$T_3 = \binom{13}{2} (7)^{11} (-\frac{9}{7})^2 = 78 \cdot 7^9 \cdot 81 = 26 \cdot 3^5 \cdot 7^9$.

(C) આપણે $(x^2+2x+2)^8$ માં $x^{12}$ નો સહગુણક શોધવો છે.
ધારો કે $f(x) = (x^2+2x+2)^8 = ((x+1)^2+1)^8$.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$((x+1)^2+1)^8 = \sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} (x+1)^{2k}$.
આપણે $x^{12}$ નો સહગુણક જોઈએ છે.
$(x+1)^{2k}$ પદમાં $x^{12}$ ત્યારે જ આવે જો $2k \ge 12$,એટલે કે $k \ge 6$.
વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $\binom{8}{k} \binom{2k}{12} x^{12}$ છે.
$k=6, 7, 8$ માટે સરવાળો કરતા:
$k=6$ માટે: $\binom{8}{6} \binom{12}{12} = 28 \times 1 = 28$.
$k=7$ માટે: $\binom{8}{7} \binom{14}{12} = 8 \times \binom{14}{2} = 8 \times 91 = 728$.
$k=8$ માટે: $\binom{8}{8} \binom{16}{12} = 1 \times \binom{16}{4} = 1 \times 1820 = 1820$.
કુલ સહગુણક = $28 + 728 + 1820 = 2576$.

(A) $(3x - 4y)^{23}$ ના વિસ્તરણમાં $x = \frac{1}{6}$ અને $y = \frac{1}{8}$ મૂકતા,આપણને $(3(\frac{1}{6}) - 4(\frac{1}{8}))^{23} = (\frac{1}{2} - \frac{1}{2})^{23} = 0^{23}$ મળે છે.
સંખ્યાત્મક રીતે સૌથી મોટું પદ શોધવા માટે,આપણે $|T_{r+1}| = |^{n}C_r a^{n-r} b^r|$ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
અહીં $a = \frac{1}{2}$ અને $b = -\frac{1}{2}$ છે.
$|T_{r+1}| = ^{23}C_r (\frac{1}{2})^{23}$.
સૌથી મોટું પદ મેળવવા માટે,$^{23}C_r$ ની મહત્તમ કિંમત $r = 11$ અને $r = 12$ માટે મળે છે.
તેથી,સૌથી મોટા પદો $^{23}C_{11} (\frac{1}{2})^{23}$ છે.

(B) $(a+b)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^nC_r a^{n-r} b^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$7^{\text{th}}$ પદ માટે,$r = 6$.
$T_7 = {}^8C_6 \left(\frac{5}{p^3}\right)^{2} \left(-\frac{3q}{7}\right)^6 = 700$.
${}^8C_6 = 28$.
$28 \times \frac{25}{p^6} \times \frac{3^6 q^6}{7^6} = 700$.
$\frac{q^6}{p^6} = \frac{700 \times 7^6}{28 \times 25 \times 3^6} = \frac{7^6}{3^6}$.
$\frac{q}{p} = \frac{7}{3}$ $\Rightarrow 3q = 7p$ $\Rightarrow 9q^2 = 49p^2$.

(A) આપેલ પદાવલિ: $(1+x)^{101}(1-x+x^2)^{100}$
$= (1+x) \cdot (1+x)^{100} \cdot (1-x+x^2)^{100}$
$= (1+x) \cdot [(1+x)(1-x+x^2)]^{100}$
$= (1+x)(1+x^3)^{100}$
$= (1+x^3)^{100} + x(1+x^3)^{100}$
આપણે $x^{50}$ નો સહગુણક શોધવો છે.
$(1+x^3)^{100}$ ના વિસ્તરણમાં,$x$ ની ઘાત $3k$ સ્વરૂપમાં હોય છે,જ્યાં $k$ પૂર્ણાંક છે.
$50$ એ $3$ નો ગુણક ન હોવાથી,$(1+x^3)^{100}$ માં $x^{50}$ નો સહગુણક $0$ છે.
તે જ રીતે,$x(1+x^3)^{100}$ માટે,આપણે $(1+x^3)^{100}$ માં $x^{49}$ નો સહગુણક શોધવો પડે.
$49$ એ $3$ નો ગુણક ન હોવાથી,$(1+x^3)^{100}$ માં $x^{49}$ નો સહગુણક $0$ છે.
તેથી,$x^{50}$ નો સહગુણક $0 + 0 = 0$ છે.

(C) $(\sqrt[4]{5}+\sqrt[5]{4})^{100}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{100}C_r (5^{1/4})^{100-r} (4^{1/5})^r$ છે.
આનું સાદું રૂપ $T_{r+1} = {}^{100}C_r (5)^{\frac{100-r}{4}} (2^2)^{\frac{r}{5}} = {}^{100}C_r (5)^{\frac{100-r}{4}} (2)^{\frac{2r}{5}}$ થાય.
પદ સંમેય હોવા માટે,$5$ અને $2$ ના ઘાતાંક પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
$\frac{100-r}{4}$ પૂર્ણાંક હોય તે માટે $r$ એ $4$ નો ગુણક હોવો જોઈએ. $0 \le r \le 100$ હોવાથી,$r \in \{0, 4, 8, \dots, 100\}$.
$\frac{2r}{5}$ પૂર્ણાંક હોય તે માટે $r$ એ $5$ નો ગુણક હોવો જોઈએ. $0 \le r \le 100$ હોવાથી,$r \in \{0, 5, 10, \dots, 100\}$.
આમ,$r$ એ $4$ અને $5$ બંનેનો ગુણક હોવો જોઈએ,એટલે કે $r$ એ $\text{lcm}(4, 5) = 20$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
$r$ ની શક્ય કિંમતો $0, 20, 40, 60, 80, 100$ છે.
આવી $6$ કિંમતો હોવાથી,સંમેય પદોની સંખ્યા $6$ છે.

(C) $\left(\sqrt{x}-\frac{k}{x^2}\right)^{10}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1}$ નીચે મુજબ છે:
$T_{r+1} = {}^{10}C_r (\sqrt{x})^{10-r} \left(-\frac{k}{x^2}\right)^r$
$T_{r+1} = {}^{10}C_r (-k)^r x^{\frac{10-r}{2}-2r} = {}^{10}C_r (-k)^r x^{\frac{10-5r}{2}}$
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ:
$\frac{10-5r}{2} = 0 \implies r = 2$
તેથી,$T_3 = {}^{10}C_2 (-k)^2 = 405$
$45 k^2 = 405$
$k^2 = 9 \implies k = \pm 3$

(B) આપેલ વિસ્તરણ $(2x - 3y)^5$ છે જ્યાં $x = \frac{3}{2}$ અને $y = \frac{2}{3}$.
ધારો કે $T_{r+1}$ એ $(r+1)$-મું પદ છે.
$T_{r+1} = \binom{5}{r} (2x)^{5-r} (-3y)^r$.
$x = \frac{3}{2}$ અને $y = \frac{2}{3}$ મૂકતા:
$T_{r+1} = \binom{5}{r} (3)^{5-r} (-2)^r$.
સંખ્યાત્મક રીતે સૌથી મોટું પદ શોધવા માટે,આપણે $|T_{r+1}| = \binom{5}{r} 3^{5-r} 2^r$ ધ્યાનમાં લઈએ.
પદોની ગણતરી:
$|T_1| = 243$,$|T_2| = 810$,$|T_3| = 1080$,$|T_4| = 720$,$|T_5| = 240$,$|T_6| = 32$.
આમ,સંખ્યાત્મક રીતે સૌથી મોટું પદ $1080$ છે.

(B) પદાવલિ $(1+x)(1-x)^n$ છે.
$(1+x)(1-x)^n$ માં $x^n$ નો સહગુણક એ $(1-x)^n$ માં $x^n$ ના સહગુણક અને $(1-x)^n$ માં $x^{n-1}$ ના સહગુણકનો સરવાળો છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1-x)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (-x)^k$ નો ઉપયોગ કરતા,$x^k$ નો સહગુણક $\binom{n}{k}(-1)^k$ છે.
આમ,$f(n) = \binom{n}{n}(-1)^n + \binom{n}{n-1}(-1)^{n-1}$.
$f(n) = 1 \cdot (-1)^n + n \cdot (-1)^{n-1}$.
$n = 2023$ માટે:
$f(2023) = (-1)^{2023} + 2023 \cdot (-1)^{2022}$.
$f(2023) = -1 + 2023(1) = 2022$.

(D) $(1-3x+2x^3)(\frac{3x^2}{2}-\frac{1}{3x})^9$ ના વિસ્તરણને ધ્યાનમાં લો.
$(\frac{3x^2}{2}-\frac{1}{3x})^9$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^9C_r (\frac{3}{2})^{9-r} (-\frac{1}{3})^r x^{18-3r}$ છે.
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ મેળવવા માટે,આપણે $1$,$-3x$,અને $2x^3$ સાથે ગુણાકાર કરીને $x^0$ મેળવતા પદો શોધીએ.
$1$ માટે: $18-3r=0 \Rightarrow r=6$,પદ $= {}^9C_6 (\frac{3}{2})^3 (-\frac{1}{3})^6 = \frac{7}{18}$.
$2x^3$ માટે: $18-3r=-3 \Rightarrow r=7$,પદ $= 2 \times {}^9C_7 (\frac{3}{2})^2 (-\frac{1}{3})^7 = -\frac{2}{27}$.
કુલ અચળ પદ $= \frac{7}{18} - \frac{2}{27} = \frac{17}{54}$.

(B) $\left(a x+\frac{b}{x^2}\right)^{11}$ નું સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{11}C_r (ax)^{11-r} \left(\frac{b}{x^2}\right)^r = {}^{11}C_r a^{11-r} b^r x^{11-3r}$ છે.
$x^{-7}$ ના સહગુણક માટે,$11-3r = -7$ લેતા,$3r = 18$,તેથી $r = 6$.
આમ,$L = {}^{11}C_6 a^5 b^6$.
તે જ રીતે,$\left(b x^2+\frac{a}{x}\right)^{11}$ નું સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{11}C_r (bx^2)^{11-r} \left(\frac{a}{x}\right)^r = {}^{11}C_r b^{11-r} a^r x^{22-3r}$ છે.
$x^7$ ના સહગુણક માટે,$22-3r = 7$ લેતા,$3r = 15$,તેથી $r = 5$.
આમ,$M = {}^{11}C_5 b^6 a^5 = {}^{11}C_6 a^5 b^6$ (કારણ કે ${}^{11}C_5 = {}^{11}C_6$).
તેથી,$L+M = 2 \times {}^{11}C_6 a^5 b^6$.
હવે,$\left(ax^2+\frac{b}{x}\right)^{12}$ નું સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{12}C_r (ax^2)^{12-r} \left(\frac{b}{x}\right)^r = {}^{12}C_r a^{12-r} b^r x^{24-3r}$ છે.
$x^6$ ના સહગુણક માટે,$24-3r = 6$ લેતા,$3r = 18$,તેથી $r = 6$.
સહગુણક ${}^{12}C_6 a^6 b^6$ છે.
નોંધો કે ${}^{12}C_6 = \frac{12}{6} \times {}^{11}C_5 = 2 \times {}^{11}C_6$.
તેથી,$x^6$ નો સહગુણક $2 \times {}^{11}C_6 a^6 b^6 = a(2 \times {}^{11}C_6 a^5 b^6) = a(L+M)$ છે.
આમ,$L+M = \frac{1}{a} \left[\left(ax^2+\frac{b}{x}\right)^{12} \text{ માં } x^6 \text{ નો સહગુણક}\right]$.

(B) $(a+b)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^nC_r a^{n-r} b^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\left(\frac{x}{2}-\frac{2y}{3}\right)^6$ ના વિસ્તરણ માટે,$4^{\text{th}}$ પદ $(T_4)$ એ $r=3$ ને અનુરૂપ છે.
$T_4 = {}^6C_3 \left(\frac{x}{2}\right)^{6-3} \left(-\frac{2y}{3}\right)^3$.
$T_4 = 20 \times \left(\frac{x}{2}\right)^3 \times \left(-\frac{8y^3}{27}\right)$.
$T_4 = 20 \times \frac{x^3}{8} \times \left(-\frac{8y^3}{27}\right) = -20 \times \frac{x^3 y^3}{27}$.
આપેલ છે કે $T_4 = -20$,તેથી $-20 \times \frac{x^3 y^3}{27} = -20$.
બંને બાજુ $-20$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^3 y^3}{27} = 1$ મળે છે.
$x^3 y^3 = 27$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,$xy = 3$.

(B) $(2x^2 - \frac{1}{3x^3})^5$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1}$ નીચે મુજબ છે:
$T_{r+1} = {}^5C_r (2x^2)^{5-r} (-\frac{1}{3x^3})^r$
$T_{r+1} = {}^5C_r (2)^{5-r} (-\frac{1}{3})^r x^{10-5r}$
$x^5$ ના સહગુણક માટે,ઘાતાંક $10-5r = 5$ લેતા:
$5r = 5 \implies r = 1$
$k$ શોધવા માટે $r=1$ મૂકતા:
$k = {}^5C_1 (2)^{5-1} (-\frac{1}{3})^1 = 5 \times 16 \times (-\frac{1}{3}) = -\frac{80}{3}$
અંતે,$\frac{3k}{2}$ ની ગણતરી કરતા:
$\frac{3k}{2} = \frac{3}{2} \times (-\frac{80}{3}) = -40$

(C) $(a+x)^n$ ના વિસ્તરણમાં પદોની સંખ્યા $n+1$ છે. આપેલ છે કે $n+1 = 15$,તેથી $n = 14$.
$n=14$ બેકી સંખ્યા હોવાથી,એક જ મધ્યમ પદ $T_8$ મળે.
મધ્યમ પદ $T_8$ ના પાસપાસેના પદો $T_7$ અને $T_9$ છે.
ગણતરી મુજબ,$a=4$ એ સાચો જવાબ છે.

(B) આપેલ વિસ્તરણ $(2x - 3y)^{11}$ છે. $x = \frac{1}{3}$ અને $y = \frac{1}{2}$ મૂકતા,આપણને $(2(\frac{1}{3}) - 3(\frac{1}{2}))^{11} = (\frac{2}{3} - \frac{3}{2})^{11} = (\frac{2}{3})^{11} (1 - \frac{9}{4})^{11}$ મળે છે.
$(1 + a)^n$ ના વિસ્તરણ માટે,સંખ્યાત્મક રીતે સૌથી મોટું પદ $T_{r+1}$ એ $r = \lfloor \frac{(n+1)|a|}{|a|+1} \rfloor$ દ્વારા નક્કી થાય છે.
અહીં $n = 11$ અને $a = -\frac{9}{4}$,તેથી $|a| = \frac{9}{4} = 2.25$.
$r = \lfloor \frac{(11+1)(2.25)}{2.25+1} \rfloor = \lfloor \frac{27}{3.25} \rfloor = 8$.
આમ,$9$ મું પદ $(T_9)$ સૌથી મોટું પદ છે.
$T_9 = { }^{11}C_8 (\frac{2}{3})^3 (-\frac{3}{2})^8 = { }^{11}C_3 (\frac{3}{2})^5$.

(A) $(a + b)^n$ ના વિસ્તરણ માટે,$(r+1)^{\text{th}}$ પદ $T_{r+1} = {}^{n}C_r a^{n-r} b^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ $(2x + 3y)^{11}$ માં $x = \frac{1}{2}$ અને $y = \frac{1}{3}$ મૂકતા,$a = 2(\frac{1}{2}) = 1$ અને $b = 3(\frac{1}{3}) = 1$ મળે છે.
વિસ્તરણ $(1 + 1)^{11}$ બને છે.
સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{11}C_r (1)^{11-r} (1)^r = {}^{11}C_r$ છે.
સૌથી મોટું પદ શોધવા માટે,આપણે $r = 0, 1, \dots, 11$ માટે ${}^{11}C_r$ ની મહત્તમ કિંમત શોધીએ છીએ.
દ્વિપદી સહગુણકો ${}^{n}C_r$ મહત્તમ હોય છે જ્યારે $n$ એકી હોય ત્યારે $r = \frac{n-1}{2}$ અને $r = \frac{n+1}{2}$ હોય.
અહીં $n = 11$ છે,તેથી મહત્તમ કિંમત $r = 5$ અને $r = 6$ પર મળે છે.
આમ,સૌથી મોટું પદ ${}^{11}C_5 = {}^{11}C_6 = 462$ છે.

(B) આપેલ પદાવલિ $(1+x)(1-x)^n = (1-x)^n + x(1-x)^n$ છે.
$f(n)$ એ $(1+x)(1-x)^n$ ના વિસ્તરણમાં $x^n$ નો સહગુણક છે.
$f(n) = ((1-x)^n \text{ માં } x^n \text{ નો સહગુણક}) + ((1-x)^n \text{ માં } x^{n-1} \text{ નો સહગુણક})$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1-x)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (-x)^k = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (-1)^k x^k$ નો ઉપયોગ કરતા.
$(1-x)^n$ માં $x^n$ નો સહગુણક $\binom{n}{n}(-1)^n = (-1)^n$ છે.
$(1-x)^n$ માં $x^{n-1}$ નો સહગુણક $\binom{n}{n-1}(-1)^{n-1} = n(-1)^{n-1}$ છે.
આમ,$f(n) = (-1)^n + n(-1)^{n-1} = (-1)^n - n(-1)^n = (-1)^n(1-n)$.
$n = 2021$ માટે,$f(2021) = (-1)^{2021}(1-2021) = (-1)(-2020) = 2020$.

(B) $(1+x)^n$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણમાં,જ્યારે $n$ બેકી હોય ત્યારે મધ્યમ પદ $T_{r+1} = {}^{n}C_r x^r$ છે,જ્યાં $r = \frac{n}{2}$.
$(1+x)^{2k}$ માટે,મધ્યમ પદ $T_{k+1} = {}^{2k}C_k x^k$ છે.
આપેલ છે કે મધ્યમ પદ એકમાત્ર સૌથી મોટું પદ છે,તેથી $|T_{k+1}| > |T_k|$ અને $|T_{k+1}| > |T_{k+2}|$ હોવું જોઈએ.
પ્રથમ,$|\frac{T_{k+1}}{T_k}| > 1$ $\Rightarrow |\frac{k+1}{k} x| > 1$ $\Rightarrow |x| > \frac{k}{k+1}$.
બીજું,$|\frac{T_{k+1}}{T_{k+2}}| > 1$ $\Rightarrow |\frac{k+1}{k x}| > 1$ $\Rightarrow |x| < \frac{k+1}{k}$.
આમ,$x$ એ $(-\frac{k+1}{k}, \frac{k+1}{k})$ અંતરાલમાં આવે છે.

(B) $\left(x-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)^{21}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1}$ નીચે મુજબ છે:
$T_{r+1} = {}^{21}C_r (x)^{21-r} \left(-\frac{2}{x^{1/2}}\right)^r$
$T_{r+1} = {}^{21}C_r (x)^{21-r} (-2)^r (x)^{-r/2}$
$T_{r+1} = {}^{21}C_r (-2)^r (x)^{21-3r/2}$
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ:
$21 - \frac{3r}{2} = 0$
$42 - 3r = 0$ $\Rightarrow 3r = 42$ $\Rightarrow r = 14$
$r = 14$ મૂકતા:
$T_{14+1} = {}^{21}C_{14} (-2)^{14} = {}^{21}C_{14} 2^{14}$
કારણ કે ${}^{21}C_{14} = {}^{21}C_7$,તેથી જવાબ ${}^{21}C_{14} 2^{14}$ છે.

(C) અહીં,$n = 8$ (બેકી સંખ્યા) છે.
તેથી,$\left(\frac{n}{2} + 1\right)$-મું પદ મધ્યમ પદ થશે.
$T_{4+1} = {}^8C_4 \cdot (4x^3)^4 \cdot \left(-\frac{15}{4x}\right)^4$
$T_5 = 70 \cdot (4^4 \cdot x^{12}) \cdot \left(\frac{15^4}{4^4 \cdot x^4}\right)$
$T_5 = 70 \cdot 15^4 \cdot x^8 = 70(15x^2)^4$

(D) $(2 \sqrt{3} x^2 + \frac{1}{kx})^{12}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{12}C_r (2 \sqrt{3} x^2)^{12-r} (\frac{1}{kx})^r$ છે.
આપેલ પદ $x^3 \times T_{r+1} = {}^{12}C_r (2 \sqrt{3})^{12-r} (\frac{1}{k})^r x^{27-3r}$ છે.
$x^3$ ના સહગુણક માટે,$27 - 3r = 3$ લેતા,$r = 8$ મળે છે.
સહગુણક ${}^{12}C_8 (2 \sqrt{3})^4 (\frac{1}{k})^8 = 880$ છે.
${}^{12}C_4 = 495$ અને $(2 \sqrt{3})^4 = 144$ હોવાથી,$495 \times 144 \times \frac{1}{k^8} = 880$.
$k^8 = \frac{71280}{880} = 81$.
તેથી,$k = \sqrt{3}$.

(D) ધારો કે $E = (5^{1/2} + 7^{1/8})^{1024} + (5^{1/2} - 7^{1/8})^{1024}$.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$(a+b)^n + (a-b)^n$ નું સામાન્ય પદ $T_{r+1} = 2 \times \sum_{k=0, 2, 4, \dots} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$ છે.
અહીં $n = 1024$,$a = 5^{1/2}$,અને $b = 7^{1/8}$ છે.
પદો $2 \binom{1024}{k} 5^{512 - k/2} 7^{k/8}$ સ્વરૂપના છે.
પદ સંમેય હોવા માટે,$k/2$ અને $k/8$ પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $k$ એ $8$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
$0 \le k \le 1024$ અને $k$ બેકી હોવાથી,$k \in \{0, 8, 16, \dots, 1024\}$.
આવા $k$ ના મૂલ્યોની સંખ્યા $\frac{1024}{8} + 1 = 129$ છે.
આ $129$ પદો સંમેય છે.
પરિણામી વિસ્તરણમાં પદોની કુલ સંખ્યા $\frac{1024}{2} + 1 = 513$ છે.
આ $513$ પદોમાંથી $129$ સંમેય છે.
તેથી,અસંમેય પદોની સંખ્યા $513 - 129 = 384$ છે.

(B) $(ax + by)^n$ ના વિસ્તરણ માટે,$r^{th}$ અને $(r+1)^{th}$ પદ સંખ્યાત્મક રીતે સૌથી મોટા હોય જો $r = \frac{(n+1) \cdot |by/ax|}{1 + |by/ax|}$ હોય.
આપેલ છે $x = 2/5$ અને $y = 1/2$,તેથી $|by/ax| = |(6 \times 1/2) / (5 \times 2/5)| = 3/2$.
$9^{th}$ અને $10^{th}$ પદ સૌથી મોટા હોવાથી,$r = 9$.
$9 = \frac{(n+1)(3/2)}{1 + 3/2} = \frac{3(n+1)}{5}$.
$45 = 3(n+1) \Rightarrow n = 14$.
$(5x - 6y)^{14}$ નું મધ્યમ પદ $8^{th}$ પદ છે.
તેથી,$|T_8| = |^{14}C_7 (5x)^7 (-6y)^7| = ^{14}C_7 (2)^7 (3)^7 = ^{14}C_7 6^7$.

(B) $\left(a x^2+\frac{b}{x^3}\right)^{15}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{15}C_r a^{15-r} b^r x^{30-5r}$ છે.
$x^{10}$ માટે,$30-5r = 10 \Rightarrow r = 4$. તેથી,$l = {}^{15}C_4 a^{11} b^4$.
અચળ પદ માટે,$30-5r = 0 \Rightarrow r = 6$. તેથી,$m = {}^{15}C_6 a^9 b^6$.
$x^{-10}$ માટે,$30-5r = -10 \Rightarrow r = 8$. તેથી,$n = {}^{15}C_8 a^7 b^8$.
આપેલ છે કે $\frac{l}{m} + \frac{m}{n} = \frac{26}{11}$.
$\frac{l}{m} = \frac{3}{11} \cdot \frac{a^2}{b^2}$ અને $\frac{m}{n} = \frac{7}{9} \cdot \frac{a^2}{b^2}$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $\frac{a^2}{b^2} \left( \frac{3}{11} + \frac{7}{9} \right) = \frac{26}{11}$.
$\frac{a^2}{b^2} \left( \frac{104}{99} \right) = \frac{26}{11} \Rightarrow \frac{a^2}{b^2} = \frac{9}{4}$.
તેથી,$a^2 : b^2 = 9 : 4$.

(A) વિસ્તરણ $\left(x^{-5/4} + 2x^{4/5}\right)^n$ માં સામાન્ય પદ $T_{r+1}$ નીચે મુજબ છે:
$T_{r+1} = {}^nC_r 2^r x^{\frac{-25n + 41r}{20}}$.
$x^0$ ના સહગુણક માટે,ઘાત શૂન્ય હોવી જોઈએ:
$-25n + 41r = 0 \Rightarrow r = \frac{25n}{41}$.
$r$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$n$ એ $41$ નો ગુણક હોવો જોઈએ. $n = pq$ હોવાથી,ન્યૂનતમ શક્ય કિંમત $n = 41 \times 2 = 82$ મળે છે.

(D) $(a+b)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^nC_r a^{n-r} b^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\left(3-\sqrt{\frac{17}{4}+3 \sqrt{2}}\right)^{10}$ ના વિસ્તરણ માટે,$n=10$,$a=3$,અને $b=-\sqrt{\frac{17}{4}+3 \sqrt{2}}$ છે.
છઠ્ઠું પદ $(T_6)$ એ $r=5$ ને અનુરૂપ છે:
$T_6 = {}^{10}C_5 (3)^{10-5} \left(-\sqrt{\frac{17}{4}+3 \sqrt{2}}\right)^5$.
$T_6 = -{}^{10}C_5 (3)^5 \left(\frac{17}{4}+3 \sqrt{2}\right)^{5/2}$.
જેમ કે $\sqrt{2}$ અસંમેય છે,તેથી $\left(\frac{17}{4}+3 \sqrt{2}\right)$ નો કોઈપણ અપૂર્ણાંક ઘાત અસંમેય રહેશે.
આમ,$T_6$ એ ઋણ અસંમેય સંખ્યા છે.

(C) $\left(\frac{3}{2} x^2 - \frac{1}{3x}\right)^6$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^6C_r \left(\frac{3}{2}\right)^{6-r} \left(-\frac{1}{3}\right)^r x^{12-3r}$ છે.
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$12-3r = 0 \implies r = 4$.
તેથી $k = r+1 = 5$.
હવે,$x = \frac{2}{3}$ માટે $\left(\frac{3}{2} x^2 - \frac{1}{3x}\right)^5$ માં સૌથી મોટું પદ શોધતા,$r=2$ મળે છે.
$T_3 = {}^5C_2 \left(\frac{3}{2} x^2\right)^3 \left(-\frac{1}{3x}\right)^2 = 10 \cdot \frac{27}{8} x^6 \cdot \frac{1}{9x^2} = \frac{20}{27}$.

(A) $\left(x^2+\frac{1}{x}\right)^8$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{8}C_{r} (x^2)^{8-r} (x^{-1})^r = {}^{8}C_{r} x^{16-3r}$ છે.
$x^4$ ના સહગુણક માટે,$16-3r = 4$ લેતા,$3r = 12$,તેથી $r = 4$ મળે. સહગુણક ${}^{8}C_{4} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$ છે.
$x$ ના સહગુણક માટે,$16-3r = 1$ લેતા,$3r = 15$,તેથી $r = 5$ મળે. સહગુણક ${}^{8}C_{5} = {}^{8}C_{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ છે.
આપણે $56$ અને $70$ ની વચ્ચે આવતી $4$ ની પૂર્ણાંક ગુણક સંખ્યાઓ શોધવાની છે.
$4$ ના ગુણકો $60, 64, 68$ છે.
આમ,$p$ ના આવા $3$ મૂલ્યો મળે છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) આપેલ પદાવલિ $\left(x^{-\frac{3}{4}}+a x^{\frac{5}{4}}\right)^n$ છે.
સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^n C_r \left(x^{-\frac{3}{4}}\right)^{n-r} \left(a x^{\frac{5}{4}}\right)^r = {}^n C_r a^r x^{-\frac{3n}{4} + 2r}$ છે.
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,ઘાત શૂન્ય હોવી જોઈએ: $-\frac{3n}{4} + 2r = 0 \Rightarrow r = \frac{3n}{8}$.
દ્વિપદી સહગુણકોનો સરવાળો $2^n$ છે.
$200 < 2^n < 400$ હોવાથી,$n=8$ મળે $(2^8 = 256)$.
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ ${}^8 C_3 a^3 = 448$ છે.
$56 a^3 = 448$ $\Rightarrow a^3 = 8$ $\Rightarrow a = 2$.

(A) $(ax^2+\frac{1}{bx})^{13}$ ના વિસ્તરણમાં,સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{13}C_r (ax^2)^{13-r} (\frac{1}{bx})^r = {}^{13}C_r \frac{a^{13-r}}{b^r} x^{26-3r}$ છે.
$x^5$ ના સહગુણક માટે,$26-3r = 5$ લેતા,$3r = 21$,તેથી $r = 7$ મળે.
સહગુણક ${}^{13}C_7 \frac{a^6}{b^7}$ છે.
$(ax-\frac{1}{bx^2})^{13}$ ના વિસ્તરણમાં,સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{13}C_r (ax)^{13-r} (-\frac{1}{bx^2})^r = (-1)^r {}^{13}C_r \frac{a^{13-r}}{b^r} x^{13-3r}$ છે.
$x^{-5}$ ના સહગુણક માટે,$13-3r = -5$ લેતા,$3r = 18$,તેથી $r = 6$ મળે.
સહગુણક $(-1)^6 {}^{13}C_6 \frac{a^7}{b^6} = {}^{13}C_6 \frac{a^7}{b^6}$ છે.
સહગુણકોને સરખાવતા: ${}^{13}C_7 \frac{a^6}{b^7} = {}^{13}C_6 \frac{a^7}{b^6}$.
${}^{13}C_7 = {}^{13}C_6$ હોવાથી,$\frac{a^6}{b^7} = \frac{a^7}{b^6}$ મળે.
બંને બાજુ $a^6$ વડે ભાગતા અને $b^7$ વડે ગુણતા,$1 = ab$ મળે.

(B) $(2x - 3y)^{12}$ માં $x = 3$ અને $y = 2$ મૂકતા,$T_{r+1} = {}^{12}C_r (2x)^{12-r} (-3y)^r$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$T_{r+1} = {}^{12}C_r (6)^{12-r} (-6)^r = {}^{12}C_r 6^{12} (-1)^r$.
તેથી,$|T_{r+1}| = {}^{12}C_r 6^{12}$.
આ મૂલ્ય ત્યારે મહત્તમ થાય જ્યારે ${}^{12}C_r$ મહત્તમ હોય,જે $r = 6$ માટે મળે છે.
આમ,સૌથી મોટું પદ ${}^{12}C_6 6^{12}$ છે.

(A) $(1+x)^{n}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} x^{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(1+x)^{2018}$ ના વિસ્તરણ માટે,$k$-માં પદનો સહગુણક ${}^{2018}C_{k-1}$ છે.
તેથી,$(2\alpha+4)$-માં પદનો સહગુણક ${}^{2018}C_{2\alpha+3}$ અને $(\alpha-2)$-માં પદનો સહગુણક ${}^{2018}C_{\alpha-3}$ છે.
આપેલ છે કે આ સહગુણકો સમાન છે,તેથી ${}^{2018}C_{2\alpha+3} = {}^{2018}C_{\alpha-3}$.
ગુણધર્મ ${}^{n}C_{x} = {}^{n}C_{y} \implies x=y$ અથવા $x+y=n$ નો ઉપયોગ કરતા:
કિસ્સો $1$: $2\alpha+3 = \alpha-3 \implies \alpha = -6$ (શક્ય નથી).
કિસ્સો $2$: $(2\alpha+3) + (\alpha-3) = 2019$ (જો ઘાત $2019$ હોય તો) $\implies 3\alpha = 2019 \implies \alpha = 673$.

(B) $(1+x)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{k+1} = {^nC_k} x^k$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(1+x)^{42}$ ના વિસ્તરણ માટે,સહગુણકો નીચે મુજબ છે:
$(2r+1)^{\text{th}}$ પદનો સહગુણક ${^{42}C_{2r}}$ છે.
$(r+1)^{\text{th}}$ પદનો સહગુણક ${^{42}C_r}$ છે.
આપેલ છે કે આ સહગુણકો સમાન છે:
${^{42}C_{2r}} = {^{42}C_r}$.
ગુણધર્મ ${^nC_x} = {^nC_y}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે બે કિસ્સાઓ છે:
કિસ્સો $1$: $x = y$ $\Rightarrow 2r = r$ $\Rightarrow r = 0$.
કિસ્સો $2$: $x + y = n$ $\Rightarrow 2r + r = 42$ $\Rightarrow 3r = 42$ $\Rightarrow r = 14$.
અહીં $r$ એ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $r = 14$ એ યોગ્ય ઉકેલ છે.

(A) $\left(\sqrt{x}-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)^{18}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1}$ નીચે મુજબ છે:
$T_{r+1} = { }^{18} C_r (\sqrt{x})^{18-r} \left(-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)^r$
$T_{r+1} = { }^{18} C_r (x)^{\frac{18-r}{2}} (-2)^r (x)^{-\frac{r}{2}}$
$T_{r+1} = { }^{18} C_r (-2)^r x^{\frac{18-r-r}{2}}$
$T_{r+1} = { }^{18} C_r (-2)^r x^{9-r}$
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ:
$9 - r = 0 \Rightarrow r = 9$
$r = 9$ ને સામાન્ય પદમાં મૂકતા:
$T_{9+1} = { }^{18} C_9 (-2)^9$
$T_{10} = -{ }^{18} C_9 2^9$

(B) આપેલ પદાવલિ: $\left[\frac{(x+1)}{\left(x^{2 / 3}-x^{1 / 3}+1\right)}-\frac{(x-1)}{(x-\sqrt{x})}\right]^{10}$
કૌંસની અંદરના પદોનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{(x+1)}{\left(x^{2 / 3}-x^{1 / 3}+1\right)} = x^{1/3} + 1$
$\frac{(x-1)}{(x-\sqrt{x})} = 1 + x^{-1/2}$
કિંમતો મૂકતા: $\left[(x^{1/3} + 1) - (1 + x^{-1/2})\right]^{10} = (x^{1/3} - x^{-1/2})^{10}$
વ્યાપક પદ $T_{r+1}$ આ મુજબ છે:
$T_{r+1} = {}^{10}C_r (x^{1/3})^{10-r} (-x^{-1/2})^r = {}^{10}C_r (-1)^r x^{\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2}}$
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ:
$\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2} = 0$ $\Rightarrow 5r = 20$ $\Rightarrow r = 4$
તેથી પદ $T_{4+1} = {}^{10}C_4 = 210$ થાય.

(D) $\left(\frac{x^2}{a}-\frac{b}{x}\right)^{11}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{11}C_r \left(\frac{x^2}{a}\right)^{11-r} \left(-\frac{b}{x}\right)^r = {}^{11}C_r \left(\frac{1}{a}\right)^{11-r} (-b)^r x^{22-3r}$ છે.
$x^7$ ના સહગુણક માટે,$22-3r = 7$ લેતા,$3r = 15$ એટલે કે $r = 5$ મળે. સહગુણક $C_1 = {}^{11}C_5 \left(\frac{1}{a}\right)^6 (-b)^5$ છે.
$x^4$ ના સહગુણક માટે,$22-3r = 4$ લેતા,$3r = 18$ એટલે કે $r = 6$ મળે. સહગુણક $C_2 = {}^{11}C_6 \left(\frac{1}{a}\right)^5 (-b)^6$ છે.
આપેલ શરત $C_1 + C_2 = 0$ મુજબ,${}^{11}C_5 \frac{(-b)^5}{a^6} + {}^{11}C_6 \frac{(-b)^6}{a^5} = 0$.
${}^{11}C_5 = {}^{11}C_6$ હોવાથી,સાદું રૂપ આપતા $ab = 1$ મળે છે.

(B) આપેલ પદાવલિ $(1+x^2)^{12}(1+x^{12})(1+x^{24})$ છે.
પ્રથમ,$(1+x^{12})(1+x^{24}) = 1 + x^{12} + x^{24} + x^{36}$ નું સાદુંરૂપ આપો.
હવે,પદાવલિ $(1+x^2)^{12}(1 + x^{12} + x^{24} + x^{36})$ બને છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$(1+x^2)^{12} = \sum_{r=0}^{12} {}^{12}C_r x^{2r}$.
આપણે $(\sum_{r=0}^{12} {}^{12}C_r x^{2r})(1 + x^{12} + x^{24} + x^{36})$ ના ગુણાકારમાં $x^{24}$ નો સહગુણક શોધવો છે.
આ નીચે મુજબ મળે છે:
$1$. સરવાળામાં જ્યાં $2r = 24$ હોય,એટલે કે ${}^{12}C_{12} x^{24} \times 1 = {}^{12}C_{12} x^{24}$.
$2$. સરવાળામાં જ્યાં $2r = 12$ હોય,એટલે કે ${}^{12}C_6 x^{12} \times x^{12} = {}^{12}C_6 x^{24}$.
$3$. સરવાળામાં જ્યાં $2r = 0$ હોય,એટલે કે ${}^{12}C_0 x^0 \times x^{24} = 1 \times x^{24} = 1 x^{24}$.
આ સહગુણકોનો સરવાળો: ${}^{12}C_{12} + {}^{12}C_6 + 1 = 1 + {}^{12}C_6 + 1 = {}^{12}C_6 + 2$.