Logarithms Questions in Gujarati

(D) લઘુગણક વિધેય $y = \log_a x$ નીચેની શરતો હેઠળ વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$1$. આધાર $a$ એ ધન વાસ્તવિક સંખ્યા હોવી જોઈએ,એટલે કે $a > 0$.
$2$. આધાર $a$ એ $1$ ની બરાબર ન હોઈ શકે,એટલે કે $a \neq 1$.
$3$. ચલ $x$ ધન હોવો જોઈએ,એટલે કે $x > 0$.
તેથી,પદ વ્યાખ્યાયિત થાય તે માટે $a$ એ $1$ સિવાયની કોઈપણ ધન વાસ્તવિક સંખ્યા હોવી જોઈએ.

(C) ધારો કે,જો શક્ય હોય તો,$\log_{2} 7$ એ સંમેય છે,ધારો કે $p/q$ જ્યાં $p$ અને $q$ પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો છે.
તો,$\frac{p}{q} = \log_{2} 7 \implies 7 = 2^{p/q} \implies 2^{p} = 7^{q}$.
આ વિરોધાભાસ છે કારણ કે $L.H.S$ એ બેકી સંખ્યા છે ($2$ ની ઘાત) અને $R.H.S$ એ એકી સંખ્યા છે ($7$ ની ઘાત).
તેને બે પૂર્ણાંકોના ગુણોત્તર તરીકે દર્શાવી શકાતું ન હોવાથી,$\log_{2} 7$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.
સ્પષ્ટપણે,$\log_{2} 7$ એ પૂર્ણાંક નથી અને તેથી અવિભાજ્ય સંખ્યા પણ નથી.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે નિશ્ચિત સંખ્યા $\alpha > 1$ માટે,$\log_{b}\alpha = \frac{\ln \alpha}{\ln b}$ થાય.
$\ln \alpha$ એ ધન અચળાંક હોવાથી,$\log_{b}\alpha$ નું મૂલ્ય $\ln b$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
આધારની સરખામણી કરતા: $10 > 3 > e \approx 2.718 > 2$.
તેથી,$\ln 10 > \ln 3 > \ln e > \ln 2$.
વ્યસ્ત લેતા,$\frac{1}{\ln 10} < \frac{1}{\ln 3} < \frac{1}{\ln e} < \frac{1}{\ln 2}$ મળે.
$\ln \alpha$ વડે ગુણતા,$\log_{10}\alpha < \log_{3}\alpha < \log_{e}\alpha < \log_{2}\alpha$ મળે.
આમ,સાચો વધતો ક્રમ $\log_{10}\alpha, \log_{3}\alpha, \log_{e}\alpha, \log_{2}\alpha$ છે.

(B) બેઝ બદલવાના સૂત્ર $\log _{a}b = \frac{\log b}{\log a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\log _{3}4 \cdot \log _{4}5 \cdot \log _{5}6 \cdot \log _{6}7 \cdot \log _{7}8 \cdot \log _{8}9$
$= \frac{\log 4}{\log 3} \cdot \frac{\log 5}{\log 4} \cdot \frac{\log 6}{\log 5} \cdot \frac{\log 7}{\log 6} \cdot \frac{\log 8}{\log 7} \cdot \frac{\log 9}{\log 8}$
$= \frac{\log 9}{\log 3}$
$= \log _{3}9 = \log _{3}(3^{2}) = 2 \cdot \log _{3}3 = 2 \cdot 1 = 2$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\log_{7} \log_{7} \sqrt{7 \sqrt{7 \sqrt{7}}}$
પ્રથમ,અંદરના રેડિકલને સરળ બનાવો: $\sqrt{7 \sqrt{7 \sqrt{7}}} = (7 \cdot (7 \cdot 7^{1/2})^{1/2})^{1/2} = (7 \cdot (7^{3/2})^{1/2})^{1/2} = (7 \cdot 7^{3/4})^{1/2} = (7^{7/4})^{1/2} = 7^{7/8}$.
હવે,આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા: $\log_{7} \log_{7} (7^{7/8})$.
$\log_{b} (b^x) = x$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\log_{7} (7/8)$ મળે છે.
$\log_{b} (m/n) = \log_{b} m - \log_{b} n$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\log_{7} 7 - \log_{7} 8$ મળે છે.
કારણ કે $\log_{7} 7 = 1$ અને $8 = 2^3$,પદાવલિ $1 - \log_{7} (2^3)$ બને છે.
ઘાતનો નિયમ $\log_{b} (a^n) = n \log_{b} a$ વાપરતા,આપણને $1 - 3 \log_{7} 2$ મળે છે.

(C) ધારો કે પદાવલિ $E = 7 \log \left( \frac{16}{15} \right) + 5 \log \left( \frac{25}{24} \right) + 3 \log \left( \frac{81}{80} \right)$ છે.
$n \log a = \log a^n$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$E = \log \left( \left( \frac{16}{15} \right)^7 \times \left( \frac{25}{24} \right)^5 \times \left( \frac{81}{80} \right)^3 \right)$.
અવિભાજ્ય અવયવોમાં ફેરવતા:
$16 = 2^4, 15 = 3 \times 5, 25 = 5^2, 24 = 2^3 \times 3, 81 = 3^4, 80 = 2^4 \times 5$.
કિંમતો મૂકતા:
$E = \log \left( \frac{2^{28}}{3^7 \times 5^7} \times \frac{5^{10}}{2^{15} \times 3^5} \times \frac{3^{12}}{2^{12} \times 5^3} \right) = \log (2^1) = \log 2$.

(D) આપેલ છે: $\log_{4}5 = a$ અને $\log_{5}6 = b$.
બેઝ બદલવાના નિયમ મુજબ,$ab = \log_{4}5 \times \log_{5}6 = \log_{4}6$.
કારણ કે $\log_{4}6 = \frac{\log_{2}6}{\log_{2}4} = \frac{\log_{2}(2 \times 3)}{2} = \frac{1 + \log_{2}3}{2}$.
તેથી,$ab = \frac{1 + \log_{2}3}{2}$.
$2$ વડે ગુણતા,$2ab = 1 + \log_{2}3$,જેનો અર્થ છે કે $\log_{2}3 = 2ab - 1$.
તેથી,$\log_{3}2 = \frac{1}{\log_{2}3} = \frac{1}{2ab - 1}$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\log _k x \cdot \log _5 k = \log _x 5$
બેઝ બદલવાના નિયમ $\log _a b \cdot \log _b c = \log _a c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\log _5 x = \log _x 5$
ધારો કે $y = \log _x 5$. તો $\log _5 x = 1/y$.
તેથી,$1/y = y$,જેનો અર્થ છે કે $y^2 = 1$.
તેથી,$y = 1$ અથવા $y = -1$.
જો $\log _x 5 = 1$,તો $x^1 = 5$,એટલે કે $x = 5$.
જો $\log _x 5 = -1$,તો $x^{-1} = 5$,એટલે કે $x = 1/5$.
આમ,$x$ ની કિંમત $5$ અથવા $1/5$ હોઈ શકે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\log_{5} a \cdot \log_{a} x = 2$
બેઝ બદલવાના નિયમ $\log_{b} a = \frac{\log_{k} a}{\log_{k} b}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\left( \frac{\log x}{\log a} \right) \cdot \left( \frac{\log a}{\log 5} \right) = 2$
$\frac{\log x}{\log 5} = 2$
આથી,$\log_{5} x = 2$
ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં ફેરવતા:
$x = 5^{2} = 25$

(C) આપેલ છે કે $A = \log _2 \log _2 \log _4 256 + 2 \log _{\sqrt{2}} 2$
પ્રથમ,$\log _4 256 = \log _4 (4^4) = 4 \log _4 4 = 4 \times 1 = 4$ ને સરળ બનાવો.
ત્યારબાદ,$2 \log _{\sqrt{2}} 2 = 2 \log _{2^{1/2}} 2 = 2 \times \frac{1}{1/2} \log _2 2 = 2 \times 2 \times 1 = 4$ ને સરળ બનાવો.
આ કિંમતોને $A$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$A = \log _2 \log _2 (4) + 4$
કારણ કે $\log _2 4 = \log _2 (2^2) = 2$,તેથી:
$A = \log _2 (2) + 4$
કારણ કે $\log _2 2 = 1$,તેથી:
$A = 1 + 4 = 5$.

(D) આપેલ છે કે ${\log _{10}}x = y$.
આપણે ${\log _{1000}}{x^2}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
લોગરીધમના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા:
${\log _{1000}}{x^2} = \frac{{\log _{10}}{x^2}}{{\log _{10}}{1000}}$
$= \frac{2{\log _{10}}x}{{\log _{10}}{{10}^3}}$
$= \frac{2{\log _{10}}x}{3{\log _{10}}10}$
કારણ કે ${\log _{10}}10 = 1$,તેથી:
$= \frac{2}{3}{\log _{10}}x = \frac{2}{3}y$.

(C) આપેલ છે કે $a = \log_{24} 12 = \frac{\log 12}{\log 24} = \frac{2\log 2 + \log 3}{3\log 2 + \log 3}$.
$b = \log_{36} 24 = \frac{\log 24}{\log 36} = \frac{3\log 2 + \log 3}{2\log 2 + 2\log 3}$.
$c = \log_{48} 36 = \frac{\log 36}{\log 48} = \frac{2\log 2 + 2\log 3}{4\log 2 + \log 3}$.
ગુણાકાર કરતા,$abc = \left(\frac{2\log 2 + \log 3}{3\log 2 + \log 3}\right) \times \left(\frac{3\log 2 + \log 3}{2\log 2 + 2\log 3}\right) \times \left(\frac{2\log 2 + 2\log 3}{4\log 2 + \log 3}\right)$.
સામાન્ય પદો ઉડાડતા,$abc = \frac{2\log 2 + \log 3}{4\log 2 + \log 3}$.
તેથી $1 + abc = 1 + \frac{2\log 2 + \log 3}{4\log 2 + \log 3} = \frac{4\log 2 + \log 3 + 2\log 2 + \log 3}{4\log 2 + \log 3} = \frac{6\log 2 + 2\log 3}{4\log 2 + \log 3} = 2 \times \frac{3\log 2 + \log 3}{4\log 2 + \log 3}$.
ચૂકી $b = \frac{3\log 2 + \log 3}{2\log 2 + 2\log 3}$ અને $c = \frac{2\log 2 + 2\log 3}{4\log 2 + \log 3}$ હોવાથી,$bc = \frac{3\log 2 + \log 3}{4\log 2 + \log 3}$.
આમ,$1 + abc = 2bc$.

(C) ધારો કે $y = 3^{12} \times 2^8$.
બંને બાજુ $\log_{10}$ લેતા:
$\log_{10} y = \log_{10} (3^{12} \times 2^8) = 12 \log_{10} 3 + 8 \log_{10} 2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\log_{10} y = 12(0.47712) + 8(0.30103)$.
$\log_{10} y = 5.72544 + 2.40824 = 8.13368$.
કોઈ સંખ્યા $y$ માં અંકોની સંખ્યા $\lfloor \log_{10} y \rfloor + 1$ દ્વારા મળે છે.
અંકોની સંખ્યા $= \lfloor 8.13368 \rfloor + 1 = 8 + 1 = 9$.

(A) આપણને સરવાળો $S = \sum\limits_{k = 1}^n \frac{1}{\log_{2^k}(a)}$ આપેલ છે.
લોગના આધાર બદલવાના નિયમ $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{1}{\log_{2^k}(a)} = \log_a(2^k)$ મળે છે.
તેથી,$S = \sum\limits_{k = 1}^n \log_a(2^k)$.
$\log_a(x^y) = y \log_a x$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$S = \sum\limits_{k = 1}^n k \log_a 2$ મળે.
$\log_a 2$ અચળ હોવાથી,$S = (\log_a 2) \sum\limits_{k = 1}^n k$.
સરવાળાના સૂત્ર $\sum\limits_{k = 1}^n k = \frac{n(n + 1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $S = \frac{n(n + 1)}{2} \log_a 2$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $\log_{7}(\log_{5}(\sqrt{x^2 + x + 5})) = 0$ છે.
$\log_{7}(1) = 0$ હોવાથી,$\log_{5}(\sqrt{x^2 + x + 5}) = 1$ મળે.
તેથી,$\sqrt{x^2 + x + 5} = 5^1 = 5$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x^2 + x + 5 = 25$.
પદોને ગોઠવતા,$x^2 + x - 20 = 0$.
અવયવ પાડતા,$(x + 5)(x - 4) = 0$.
આમ,$x = 4$ અથવા $x = -5$.
વિકલ્પો મુજબ,$x = 4$ એ સાચો જવાબ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે ${\log _4}18 = {\log _{{2^2}}}({3^2} \times 2)$.
${\log _{{a^n}}}{b^m} = {m \over n}{\log _a}b$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
${\log _4}18 = {1 \over 2}{\log _2}(2 \times 3^2) = {1 \over 2}({\log _2}2 + {\log _2}{3^2}) = {1 \over 2}(1 + 2{\log _2}3) = {1 \over 2} + {\log _2}3$.
અહીં ${\log _2}3$ એ અસંમેય સંખ્યા હોવાથી,${1 \over 2} + {\log _2}3$ પણ અસંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ધારો કે $x = \ln a, y = \ln b, z = \ln c$. $a, b, c \neq 1$ હોવાથી,$x, y, z \neq 0$.
આપેલ સમીકરણ: $[(\frac{x}{y})(\frac{x}{z}) - 1] + [(\frac{y}{x})(\frac{y}{z}) - 1] + [(\frac{z}{x})(\frac{z}{y}) - 1] = 0$
$\Rightarrow \frac{x^2}{yz} + \frac{y^2}{xz} + \frac{z^2}{xy} - 3 = 0$
$\Rightarrow \frac{x^3 + y^3 + z^3}{xyz} = 3$
$\Rightarrow x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = 0$
નિત્યસમ $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) = 0$ નો ઉપયોગ કરતા,કાં તો $x + y + z = 0$ અથવા $x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = 0$ મળે.
જો $x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = 0$ હોય,તો $\frac{1}{2}[(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2] = 0$,જેનો અર્થ છે કે $x = y = z$,પરંતુ $a, b, c$ ભિન્ન છે.
તેથી,$x + y + z = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\ln a + \ln b + \ln c = 0$.
$\Rightarrow \ln(abc) = 0 = \ln 1$.
આમ,$abc = 1$.

(C) આપેલ છે $a = \log_{12} 27 = \frac{\log 27}{\log 12} = \frac{3 \log 3}{\log 3 + 2 \log 2}$.
$\log 3$ માટે ગોઠવતા: $a(\log 3 + 2 \log 2) = 3 \log 3$ $\Rightarrow a \log 3 + 2a \log 2 = 3 \log 3$ $\Rightarrow 2a \log 2 = (3 - a) \log 3$ $\Rightarrow \log 3 = \frac{2a \log 2}{3 - a}$.
હવે,$\log_6 16 = \frac{\log 16}{\log 6} = \frac{4 \log 2}{\log 2 + \log 3}$ ની કિંમત શોધો.
$\log 3$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{4 \log 2}{\log 2 + \frac{2a \log 2}{3 - a}} = \frac{4 \log 2}{\frac{(3 - a) \log 2 + 2a \log 2}{3 - a}} = \frac{4(3 - a) \log 2}{(3 - a + 2a) \log 2} = \frac{4(3 - a)}{3 + a}$.

(B) ધારો કે $\log_{16} x = y$. સમીકરણ $y^2 - y + \log_{16} k = 0$ બને છે.
આ દ્વિઘાત સમીકરણને $x$ માટે બરાબર એક ઉકેલ ત્યારે જ મળે જો તેનો વિવેચક $D = 0$ થાય.
$D = (-1)^2 - 4(1)(\log_{16} k) = 0$.
$1 - 4\log_{16} k = 0 \Rightarrow \log_{16} k = \frac{1}{4}$.
$k = 16^{1/4} = (2^4)^{1/4} = 2$.
$\log_{16} k$ વ્યાખ્યાયિત હોવા માટે $k > 0$ હોવું જરૂરી છે. તેથી,$k = 2$ એ એકમાત્ર માન્ય વાસ્તવિક મૂલ્ય છે.
આમ,$k$ ના વાસ્તવિક મૂલ્યોની સંખ્યા $1$ છે.

(A) આપેલ અસમતા: $\frac{1}{\log_3 \pi} + \frac{1}{\log_4 \pi} > x$
$\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\log_{\pi} 3 + \log_{\pi} 4 > x$
$\log_b m + \log_b n = \log_b (mn)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\log_{\pi} (3 \times 4) > x$
$\log_{\pi} 12 > x$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\pi \approx 3.14$,તેથી $\pi^2 \approx 9.86$ અને $\pi^3 \approx 31.00$.
$9.86 < 12 < 31.00$ હોવાથી,$\pi^2 < 12 < \pi^3$ થાય.
બધી બાજુ $\log_{\pi}$ લેતા:
$\log_{\pi} (\pi^2) < \log_{\pi} 12 < \log_{\pi} (\pi^3)$
$2 < \log_{\pi} 12 < 3$
$\log_{\pi} 12 > x$ અને $\log_{\pi} 12 > 2$ હોવાથી,$x$ ની કિંમત $2$ હોઈ શકે છે.

(A) આપેલ અસમતા $\log _{1/\sqrt{2}} \sin x > 0$ છે.
અહીં આધાર $1/\sqrt{2}$ એ $0$ અને $1$ ની વચ્ચે હોવાથી,લઘુગણક દૂર કરતી વખતે અસમતા બદલાશે:
$0 < \sin x < (1/\sqrt{2})^0$
$0 < \sin x < 1$
આપણે અંતરાલ $[0, 4\pi]$ માં $x = k \cdot \frac{\pi}{4}$ $(k \in \mathbb{Z})$ એવા મૂલ્યો શોધવાના છે કે જેથી $0 < \sin x < 1$ થાય.
$[0, 4\pi]$ માં $\frac{\pi}{4}$ ના ગુણાંકો $0, \frac{\pi}{4}, \frac{2\pi}{4}, \dots, \frac{16\pi}{4}$ છે.
જ્યાં $\sin x = 0$ અથવા $\sin x = 1$ હોય તેવા મૂલ્યોને બાકાત રાખવા પડશે.
યોગ્ય મૂલ્યો $\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}, \frac{11\pi}{4}$ છે.
આમ,કુલ $4$ મૂલ્યો મળે છે.

(B) આપેલ અસમતા: $\log _{1/2}(x^2 - 6x + 12) \ge -2$ $(i)$
લઘુગણક વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,દલીલ ધન હોવી જોઈએ: $x^2 - 6x + 12 > 0$.
અહીં વિવેચક $D = (-6)^2 - 4(1)(12) = 36 - 48 = -12 < 0$ છે અને અગ્ર સહગુણક ધન છે,તેથી $x^2 - 6x + 12 > 0$ તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે સાચું છે.
લઘુગણકનો આધાર $1/2$ હોવાથી (જે $0$ અને $1$ ની વચ્ચે છે),જ્યારે આપણે લઘુગણક દૂર કરીએ ત્યારે અસમતાની નિશાની બદલાઈ જાય છે:
$x^2 - 6x + 12 \le (1/2)^{-2}$
$x^2 - 6x + 12 \le 4$
$x^2 - 6x + 8 \le 0$
$(x - 2)(x - 4) \le 0$
દ્વિઘાત અસમતા ઉકેલતા,આપણને $2 \le x \le 4$ મળે છે.
આમ,ઉકેલ ગણ $x \in [2, 4]$ છે.

(B) આપેલ અસમતા: $2^{\log_{\sqrt{2}}(x - 1)} > x + 5$
પ્રથમ,લઘુગણક માટેની શરત: $x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$.
ગુણધર્મ $\log_{a^n}(b) = \frac{1}{n} \log_a(b)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\log_{\sqrt{2}}(x - 1) = \log_{2^{1/2}}(x - 1) = 2 \log_2(x - 1) = \log_2((x - 1)^2)$.
આ કિંમત અસમતામાં મૂકતા: $2^{\log_2((x - 1)^2)} > x + 5$.
નિત્યસમ $a^{\log_a(y)} = y$ નો ઉપયોગ કરતા: $(x - 1)^2 > x + 5$.
સાદુરૂપ આપતા: $x^2 - 2x + 1 > x + 5 \Rightarrow x^2 - 3x - 4 > 0$.
અવયવ પાડતા: $(x - 4)(x + 1) > 0$.
આ અસમતાનો ઉકેલ $x < -1$ અથવા $x > 4$ છે.
શરત $x > 1$ ને ધ્યાનમાં લેતા,$x > 1$ અને $(x < -1 \cup x > 4)$ નો છેદગણ $x > 4$ મળે છે.
આમ,$x$ ની કિંમતોનો ગણ $(4, \infty )$ છે.

(C) આપેલ અસમતા: $\log _{0.04}(x - 1) \ge \log _{0.2}(x - 1)$ $(i)$
લઘુગણક વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$x - 1 > 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $x > 1$.
આધાર $0.04$ ને $(0.2)^2$ તરીકે લખતા:
$\log _{(0.2)^2}(x - 1) \ge \log _{0.2}(x - 1)$
ગુણધર્મ $\log _{a^n}(b) = \frac{1}{n} \log _a(b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2} \log _{0.2}(x - 1) \ge \log _{0.2}(x - 1)$
બંને બાજુથી $\frac{1}{2} \log _{0.2}(x - 1)$ બાદ કરતા:
$0 \ge \frac{1}{2} \log _{0.2}(x - 1)$
આધાર $0.2 < 1$ હોવાથી,જ્યારે આપણે લઘુગણક દૂર કરીએ ત્યારે અસમતા ઉલટાઈ જાય છે:
$x - 1 \ge (0.2)^0$
$x - 1 \ge 1$
$x \ge 2$
પ્રદેશ $x > 1$ સાથે જોડતા,આપણને $x \in [2, \infty)$ મળે છે.

(A) આપેલ અસમતા: $\log_{0.2} \left( \frac{x + 2}{x} \right) \le 1$ ... $(i)$
લઘુગણક વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,દલીલ ધન હોવી જોઈએ:
$\frac{x + 2}{x} > 0 \Rightarrow x \in (-\infty, -2) \cup (0, \infty)$
આધાર $0.2 < 1$ હોવાથી,લઘુગણક દૂર કરતી વખતે અસમતાની નિશાની બદલાશે:
$\frac{x + 2}{x} \ge 0.2$
$\frac{x + 2 - 0.2x}{x} \ge 0$
$\frac{0.8x + 2}{x} \ge 0$
$\frac{4x + 10}{5x} \ge 0 \Rightarrow \frac{2x + 5}{x} \ge 0$
વેવી કર્વ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,ઉકેલ $x \in (-\infty, -2.5] \cup (0, \infty)$ મળે છે.
પ્રદેશની શરત સાથે જોડતા,અંતિમ ઉકેલ $x \in (-\infty, -2.5] \cup (0, \infty)$ છે.

(B) આપેલ છે કે $x = \log_{b}a$,$y = \log_{c}b$,અને $z = \log_{a}c$.
આપણે $xyz$ નો ગુણાકાર શોધવો છે.
બેઝ બદલવાના સૂત્ર $\log_{n}m = \frac{\log_{k}m}{\log_{k}n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{\log a}{\log b}$,$y = \frac{\log b}{\log c}$,અને $z = \frac{\log c}{\log a}$.
હવે,આ કિંમતોનો ગુણાકાર કરતા:
$xyz = \left(\frac{\log a}{\log b}\right) \times \left(\frac{\log b}{\log c}\right) \times \left(\frac{\log c}{\log a}\right)$.
અંશ અને છેદમાં સમાન પદો ઉડી જતાં,આપણને મળે છે:
$xyz = 1$.

(B) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $E = \log_2(\log_3(\dots(\log_{100}(100^{99^{98^{\dots^{2^1}}})))\dots))}$ છે.
$\log_a(a^x) = x$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,આપણે અંદરના લઘુગણકથી સાદું રૂપ આપીએ:
$\log_{100}(100^{99^{98^{\dots^{2^1}}}}) = 99^{98^{\dots^{2^1}}}$.
આ કિંમત પાછી મૂકતા,આપણને મળે છે:
$E = \log_2(\log_3(\dots(\log_{99}(99^{98^{\dots^{2^1}}})))\dots))$.
આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખતા,પદાવલિનું સાદું રૂપ આ મુજબ મળે છે:
$\log_{99}(99^{98^{\dots^{2^1}}}) = 98^{\dots^{2^1}}$.
આ ક્રમ ત્યાં સુધી ચાલુ રહે છે જ્યાં સુધી આપણને $\log_3(3^{2^1}) = 2^1 = 2$ ન મળે.
અંતે,આપણને $E = \log_2(2) = 1$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણો:
$a^x = bc$,$b^y = ca$,$c^z = ab$
જો $a=b=c=2$ લઈએ,તો $2^x = 4 \Rightarrow x=2$,$2^y = 4 \Rightarrow y=2$,$2^z = 4 \Rightarrow z=2$.
તેથી $xyz = 2 \times 2 \times 2 = 8$.
વિકલ્પો તપાસતા: $x+y+z+2 = 2+2+2+2 = 8$.
આમ,$xyz = x+y+z+2$.

(C) આપેલ છે કે $x = \log_{3} 5$ અને $y = \log_{17} 25 = 2 \log_{17} 5$.
$y$ નો વ્યસ્ત લેતા,$\frac{1}{y} = \frac{1}{2 \log_{17} 5} = \frac{1}{2} \log_{5} 17 = \log_{5} (17^{1/2}) = \log_{5} \sqrt{17}$.
$x$ નો વ્યસ્ત લેતા,$\frac{1}{x} = \log_{5} 3 = \log_{5} \sqrt{9}$.
કારણ કે $\sqrt{17} > \sqrt{9}$,તેથી $\log_{5} \sqrt{17} > \log_{5} \sqrt{9}$.
તેથી,$\frac{1}{y} > \frac{1}{x}$,જે સૂચવે છે કે $x > y$.

(D) આપેલ સમીકરણ $\log_{2}(x + 5) = 6 - x$ છે.
ધારો કે $f(x) = \log_{2}(x + 5)$ અને $g(x) = 6 - x$.
$f(x)$ એ $x > -5$ માટે ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
$g(x)$ એ ચુસ્ત ઘટતું વિધેય છે.
$x = 3$ માટે,$f(3) = \log_{2}(3 + 5) = \log_{2}(8) = 3$ અને $g(3) = 6 - 3 = 3$.
જેથી,આ બંને વિધેયો માત્ર એક જ બિંદુએ છેદશે.
તેથી,ઉકેલોની સંખ્યા $1$ છે.

(B) આપણે $\log_{20} 3$ ની કિંમત આપેલા અંતરાલો સાથે સરખાવવાની છે.
$20^{1/3} = \sqrt[3]{20}$ અને $2^3 = 8$,$3^3 = 27$ હોવાથી,$2 < \sqrt[3]{20} < 3$ થાય,તેથી $20^{1/3} < 3$.
વળી,$20^{1/2} = \sqrt{20} \approx 4.47$ હોવાથી,$3 < 20^{1/2}$ થાય.
આમ,$20^{1/3} < 3 < 20^{1/2}$.
બધી બાજુ $\log_{20}$ લેતા,આપણને $\frac{1}{3} < \log_{20} 3 < \frac{1}{2}$ મળે છે.
તેથી,$\log_{20} 3 \in (1/3, 1/2)$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\log_{\sqrt{3}} x + \log_{\sqrt[4]{3}} x + \log_{\sqrt[6]{3}} x + \dots + \log_{\sqrt[16]{3}} x = 36$
$\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\log_{3^{1/k}} x = k \log_3 x$ મળે.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$2 \log_3 x + 4 \log_3 x + 6 \log_3 x + \dots + 16 \log_3 x = 36$
$\log_3 x$ સામાન્ય લેતા:
$(\log_3 x) (2 + 4 + 6 + \dots + 16) = 36$
સમાંતર શ્રેણી $2 + 4 + \dots + 16$ નો સરવાળો ($n = 8$ પદો માટે) $\frac{8}{2}(2 + 16) = 4 \times 18 = 72$ થાય.
તેથી,$(\log_3 x) \times 72 = 36$
$\log_3 x = \frac{36}{72} = \frac{1}{2}$
$x = 3^{1/2} = \sqrt{3}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $\log _a x + \log _{a^{1/2}} x + \log _{a^{1/3}} x + \dots + \log _{a^{1/n}} x = \frac{n(n+1)}{2}$ છે.
ગુણધર્મ $\log _{a^k} x = \frac{1}{k} \log_a x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\log_a x + 2 \log_a x + 3 \log_a x + \dots + n \log_a x = \frac{n(n+1)}{2}$.
$\log_a x (1 + 2 + 3 + \dots + n) = \frac{n(n+1)}{2}$.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $\frac{n(n+1)}{2}$ હોવાથી:
$\log_a x \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)}{2}$.
$\log_a x = 1$.
તેથી,$x = a^1 = a$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $2^{x + 2} \cdot (3^3)^{x/(x - 1)} = 3^2$
બંને બાજુ $\log$ લેતા:
$(x + 2)\log 2 + \frac{3x}{x - 1}\log 3 = 2\log 3$
$(x + 2)\log 2 = 2\log 3 - \frac{3x}{x - 1}\log 3$
$(x + 2)\log 2 = \log 3 \left( 2 - \frac{3x}{x - 1} \right)$
$(x + 2)\log 2 = \log 3 \left( \frac{2x - 2 - 3x}{x - 1} \right)$
$(x + 2)\log 2 = \log 3 \left( \frac{-x - 2}{x - 1} \right)$
$(x + 2)\log 2 = -\log 3 \left( \frac{x + 2}{x - 1} \right)$
$(x + 2) \left( \log 2 + \frac{\log 3}{x - 1} \right) = 0$
કિસ્સો $1$: $x + 2 = 0 \implies x = -2$
કિસ્સો $2$: $\log 2 + \frac{\log 3}{x - 1} = 0 \implies \frac{\log 3}{x - 1} = -\log 2$
$x - 1 = -\frac{\log 3}{\log 2} \implies x = 1 - \frac{\log 3}{\log 2}$

(D) ધારો કે $t = \log_2 x$. આપેલ સમીકરણ $t + \frac{1}{t} = \frac{10}{3}$ છે.
$3t$ વડે ગુણતા,આપણને $3t^2 - 10t + 3 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા,$(3t - 1)(t - 3) = 0$ મળે.
આમ,$t = 3$ અથવા $t = \frac{1}{3}$.
$x \neq y$ હોવાથી,આપણે $\log_2 x = 3$ અને $\log_2 y = \frac{1}{3}$ લઈએ.
આથી $x = 2^3 = 8$ અને $y = 2^{1/3} = \sqrt[3]{2}$ મળે.
તેથી,$x + y = 8 + \sqrt[3]{2}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\log_e x + \log_e(1 + x) = 0$
લઘુગણકના ગુણધર્મ $\log_e a + \log_e b = \log_e(ab)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\log_e(x(1 + x)) = 0$
લઘુગણકની વ્યાખ્યા મુજબ,$\log_e y = 0$ એટલે $y = e^0 = 1$:
$x(1 + x) = 1$
$x^2 + x = 1$
$x^2 + x - 1 = 0$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\log_{4}\{\log_{2}(\sqrt{x + 8} - \sqrt{x})\} = 0$
લઘુગણકની વ્યાખ્યા મુજબ,$\log_{b}(a) = c \implies a = b^c$. તેથી:
$\log_{2}(\sqrt{x + 8} - \sqrt{x}) = 4^0 = 1$
ફરીથી,લઘુગણકની વ્યાખ્યા લાગુ કરતા:
$\sqrt{x + 8} - \sqrt{x} = 2^1 = 2$
પદોને ગોઠવતા:
$\sqrt{x + 8} = 2 + \sqrt{x}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$x + 8 = (2 + \sqrt{x})^2$
$x + 8 = 4 + x + 4\sqrt{x}$
બંને બાજુથી $x$ બાદ કરતા:
$8 = 4 + 4\sqrt{x}$
$4 = 4\sqrt{x}$
$1 = \sqrt{x}$
ફરીથી બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$x = 1$

(B) આપેલ સમીકરણ: $\log_{4}(x - 1) = \log_{2}(x - 3)$
આધાર બદલવાના સૂત્ર $\log_{a^n}(b) = \frac{1}{n} \log_{a}(b)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\log_{4}(x - 1) = \frac{1}{2} \log_{2}(x - 1)$ મળે.
તેથી,$\frac{1}{2} \log_{2}(x - 1) = \log_{2}(x - 3)$
$\log_{2}(x - 1) = 2 \log_{2}(x - 3)$
$\log_{2}(x - 1) = \log_{2}((x - 3)^2)$
$x - 1 = (x - 3)^2$
$x - 1 = x^2 - 6x + 9$
$x^2 - 7x + 10 = 0$
$(x - 5)(x - 2) = 0$
આમ,$x = 5$ અથવા $x = 2$.
પ્રદેશ તપાસતા: $\log_{2}(x - 3)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે $x - 3 > 0$ હોવું જોઈએ,એટલે કે $x > 3$.
$x = 2$ માટે,$x - 3 = -1$,જે શક્ય નથી.
$x = 5$ માટે,$x - 3 = 2 > 0$,જે માન્ય છે.
તેથી,માત્ર $1$ ઉકેલ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ અર્થપૂર્ણ બને તે માટે $x > 0$ હોવું જરૂરી છે. બંને બાજુ આધાર $2$ પર લઘુગણક લેતા:
$(\frac{3}{4}(\log_2 x)^2 + \log_2 x - \frac{5}{4}) \log_2 x = \log_2 \sqrt{2} = \frac{1}{2}$.
ધારો કે $t = \log_2 x$. તો સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$(\frac{3}{4}t^2 + t - \frac{5}{4}) t = \frac{1}{2}$.
$4$ વડે ગુણતા:
$(3t^2 + 4t - 5) t = 2 \Rightarrow 3t^3 + 4t^2 - 5t - 2 = 0$.
અવયવ પાડતા:
$(t - 1)(3t^2 + 7t + 2) = 0 \Rightarrow (t - 1)(3t + 1)(t + 2) = 0$.
આમ,$t = 1, -2, -1/3$.
$t = \log_2 x$ હોવાથી,$x = 2^1 = 2$,$x = 2^{-2} = 1/4$,અને $x = 2^{-1/3} = 1/\sqrt[3]{2}$.
ત્રણેય ઉકેલો વાસ્તવિક છે અને $1/\sqrt[3]{2}$ અસંમેય છે. તેથી,તમામ વિધાનો $(A)$,$(B)$,અને $(C)$ સાચા છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\log(-2x) = 2\log(x+1)$.
સમીકરણ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,લઘુગણકના પદો ધન હોવા જોઈએ:
$-2x > 0 \Rightarrow x < 0$ અને $x+1 > 0 \Rightarrow x > -1$.
તેથી,પ્રદેશ $x \in (-1, 0)$ છે.
લઘુગણકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા: $\log(-2x) = \log((x+1)^2)$.
પદોને સરખાવતા: $-2x = (x+1)^2$.
$-2x = x^2 + 2x + 1 \Rightarrow x^2 + 4x + 1 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}$.
કિંમતોને પ્રદેશ $x \in (-1, 0)$ સાથે તપાસતા:
$x_1 = -2 + \sqrt{3} \approx -0.268$ (જે પ્રદેશમાં છે).
$x_2 = -2 - \sqrt{3} \approx -3.732$ (જે પ્રદેશમાં નથી).
તેથી,માત્ર $1$ માન્ય ઉકેલ છે.

(C) લઘુગણકીય વિધેય $\log_{a} x$ ત્યારે જ વ્યાખ્યાયિત થાય છે જો આધાર $a > 0, a \neq 1$ હોય અને વિધેયનો ચલ $x > 0$ હોય.
તેથી,$\log_{a} x$ એ $x$ ની તમામ ધન વાસ્તવિક કિંમતો માટે વ્યાખ્યાયિત છે.

(A) આપેલ પદ $\sum\limits_{x = 1}^{1999} {{\log }_n x}$ છે,જ્યાં $n = (1999)!$.
લઘુગણકના ગુણધર્મ $\log_b a + \log_b c = \log_b (ac)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sum\limits_{x = 1}^{1999} {{\log }_n x} = \log_n 1 + \log_n 2 + \dots + \log_n 1999$
$= \log_n (1 \times 2 \times 3 \times \dots \times 1999)$
$= \log_n (1999)!$
અહીં $n = (1999)!$ હોવાથી,પદ $\log_{(1999)!} (1999)!$ થશે.
$\log_a a = 1$ ના ગુણધર્મ મુજબ,જવાબ $1$ મળે છે.

(B) વિધેય $f(x) = \log(x^2)$ એ તમામ $x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
લઘુગણકના ગુણધર્મ $\log(a^n) = n \log a$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\log(x^2) = 2 \log |x|$ મળે છે.
નોંધો કે $\log x$ ફક્ત $x > 0$ માટે જ વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યારે $\log(x^2)$ એ $x$ ની ધન અને ઋણ બંને કિંમતો (શૂન્ય સિવાય) માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
તેથી,સમતુલ્ય વિધેય $2 \log |x|$ છે.

(C) આપેલ છે કે $y = 2^{1/\log_x 4}$.
બંને બાજુ આધાર $e$ સાથે લઘુગણક લેતા,$\ln y = \frac{1}{\log_x 4} \ln 2$ મળે.
આધાર બદલવાના નિયમ $\log_x 4 = \frac{\ln 4}{\ln x}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\ln y = \frac{\ln 2}{\frac{\ln 4}{\ln x}} = \frac{\ln 2 \cdot \ln x}{\ln 4}$ મળે.
કારણ કે $\ln 4 = \ln(2^2) = 2 \ln 2$,તેથી સમીકરણ $\ln y = \frac{\ln 2 \cdot \ln x}{2 \ln 2}$ બને છે.
સાદુરૂપ આપતા,$\ln y = \frac{\ln x}{2}$ મળે.
$2$ વડે ગુણતા,$2 \ln y = \ln x$ મળે.
$n \ln a = \ln(a^n)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\ln(y^2) = \ln x$ મળે.
તેથી,$x = y^2$ થાય.

(B) બેઝ બદલવાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{\log_a n} = \log_n a$.
આપેલ પદાવલિ: $\log_n 2 + \log_n 3 + ... + \log_n 1000$.
આ $\log_n (2 \times 3 \times ... \times 1000)$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
કારણ કે $n = 1000!$,પદાવલિ $\log_{1000!} (1000!)$ બને છે.
તેથી,જવાબ $1$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^{\log_x(1-x)^2} = 9$ છે.
ગુણધર્મ $x^{\log_x(A)} = A$ નો ઉપયોગ કરતા,$(1-x)^2 = 9$ મળે.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $1 - 2x + x^2 = 9$.
પદોને ગોઠવતા: $x^2 - 2x - 8 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x - 4)(x + 2) = 0$.
આથી $x = 4$ અથવા $x = -2$ મળે.
પરંતુ,$\log_x(1-x)^2$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,આધાર $x > 0$ અને $x \neq 1$ હોવો જોઈએ.
$x = 4$ માટે: આધાર $4 > 0$ અને $4 \neq 1$ છે. તેમજ $(1-4)^2 = 9 > 0$ છે. આ ઉકેલ માન્ય છે.
$x = -2$ માટે: આધાર $-2$ છે,જે શક્ય નથી ($x > 0$ હોવું જોઈએ).
તેથી,માત્ર $x = 4$ એ સાચો ઉકેલ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: ${\log _4}\{ {\log _2}(\sqrt {x + 8} - \sqrt x )\} = 0$
લઘુગણકની વ્યાખ્યા મુજબ: ${\log _2}(\sqrt {x + 8} - \sqrt x ) = {4^0} = 1$
ફરીથી લઘુગણકની વ્યાખ્યા મુજબ: $\sqrt {x + 8} - \sqrt x = {2^1} = 2$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(\sqrt {x + 8} - \sqrt x)^2 = {2^2}$
$x + 8 + x - 2\sqrt {x(x + 8)} = 4$
$2x + 8 - 2\sqrt {x^2 + 8x} = 4$
$2x + 4 = 2\sqrt {x^2 + 8x}$
$2$ વડે ભાગતા: $x + 2 = \sqrt {x^2 + 8x}$
ફરીથી બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x + 2)^2 = x^2 + 8x$
$x^2 + 4x + 4 = x^2 + 8x$
$4 = 4x$
$x = 1$

(B) આપેલ સમીકરણ: $\log_4(x - 1) = \log_2(x - 3)$.
પ્રથમ,પ્રદેશની શરતો તપાસો: $x - 1 > 0 \implies x > 1$ અને $x - 3 > 0 \implies x > 3$. તેથી,$x > 3$.
બેઝ બદલવાના નિયમ મુજબ,$\log_4(x - 1) = \frac{\log_2(x - 1)}{\log_2(4)} = \frac{\log_2(x - 1)}{2}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{\log_2(x - 1)}{2} = \log_2(x - 3)$.
$\log_2(x - 1) = 2 \log_2(x - 3) = \log_2((x - 3)^2)$.
ઘાતાંક સરખાવતા: $x - 1 = (x - 3)^2$.
$x - 1 = x^2 - 6x + 9$.
$x^2 - 7x + 10 = 0$.
$(x - 2)(x - 5) = 0$.
તેથી,$x = 2$ અથવા $x = 5$.
$x > 3$ ની શરત મુજબ,$x = 2$ અમાન્ય છે અને $x = 5$ માન્ય છે.
આમ,માત્ર $1$ ઉકેલ મળે છે.