Logarithms Questions in Gujarati

(D) આપેલ સમીકરણ: $2^{x + 2} \cdot (3^3)^{x/(x - 1)} = 3^2$
$2^{x + 2} \cdot 3^{3x/(x - 1)} = 3^2$
બંને બાજુ $\log$ લેતા:
$(x + 2) \log 2 + \frac{3x}{x - 1} \log 3 = 2 \log 3$
$(x + 2) \log 2 = 2 \log 3 - \frac{3x}{x - 1} \log 3$
$(x + 2) \log 2 = \log 3 \left( 2 - \frac{3x}{x - 1} \right)$
$(x + 2) \log 2 = \log 3 \left( \frac{2x - 2 - 3x}{x - 1} \right)$
$(x + 2) \log 2 = \log 3 \left( \frac{-x - 2}{x - 1} \right)$
$(x + 2) \log 2 = - \log 3 \left( \frac{x + 2}{x - 1} \right)$
$(x + 2) \left( \log 2 + \frac{\log 3}{x - 1} \right) = 0$
કિસ્સો $1$: $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$
કિસ્સો $2$: $\log 2 + \frac{\log 3}{x - 1} = 0$
$\frac{\log 3}{x - 1} = - \log 2$
$x - 1 = - \frac{\log 3}{\log 2}$
$x = 1 - \frac{\log 3}{\log 2}$

(C) ધારો કે $y = 3^{40}$.
બંને બાજુ $\log_{10}$ લેતા,$\log_{10} y = \log_{10} (3^{40})$.
$\log(a^b) = b \log a$ ના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\log_{10} y = 40 \times \log_{10} 3$.
આપેલ છે કે $\log_{10} 3 = 0.477$,તેથી $\log_{10} y = 40 \times 0.477 = 19.08$.
$3^{40}$ માં અંકોની સંખ્યા $\lfloor \log_{10} y \rfloor + 1$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$\lfloor 19.08 \rfloor + 1 = 19 + 1 = 20$.
તેથી,અંકોની સંખ્યા $20$ છે.

(C) લઘુગણકના આધાર પરિવર્તનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$.
આપેલ પદાવલિ $\frac{1}{\log_2 n} + \frac{1}{\log_3 n} + \frac{1}{\log_4 n} + \dots + \frac{1}{\log_{1983} n}$ છે.
ગુણધર્મ લાગુ પાડતા,આ $\log_n 2 + \log_n 3 + \log_n 4 + \dots + \log_n 1983$ બને છે.
લઘુગણકના ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\log_b x + \log_b y = \log_b (xy)$,આપણને $\log_n (2 \times 3 \times 4 \times \dots \times 1983)$ મળે છે.
કારણ કે $n = 1983!$,પદાવલિ $\log_n (1983!) = \log_n n$ માં સરળ બને છે.
કારણ કે $\log_n n = 1$,અંતિમ મૂલ્ય $1$ છે.

(B) ધારો કે પદાવલિ $E = \log_{x_1} \log_{x_2} \log_{x_3} \dots \log_{x_n} (x_n^{x_{n-1}^{\dots^{x_1}}})$ છે.
$\log_a (a^b) = b$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,આપણે અંદરના લઘુગણકથી શરૂઆત કરીએ:
$\log_{x_n} (x_n^{x_{n-1}^{\dots^{x_1}}}) = x_{n-1}^{x_{n-2}^{\dots^{x_1}}}$.
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા:
$E = \log_{x_1} \log_{x_2} \dots \log_{x_{n-1}} (x_{n-1}^{x_{n-2}^{\dots^{x_1}}}) = \log_{x_1} \log_{x_2} \dots \log_{x_{n-2}} (x_{n-2}^{x_{n-3}^{\dots^{x_1}}})$.
આ પ્રક્રિયાને પુનરાવર્તિત કરતા:
$E = \log_{x_1} \log_{x_2} (x_2^{x_1}) = \log_{x_1} (x_1) = 1$.

(C) આપેલ અસમતા: $\log_{0.3}(x - 1) < \log_{0.09}(x - 1)$.
પ્રથમ,લઘુગણક વ્યાખ્યાયિત થવા માટે $x - 1 > 0$ હોવું જોઈએ,એટલે કે $x > 1$.
આપણે $0.09$ ને $(0.3)^2$ તરીકે લખી શકીએ. તેથી,$\log_{0.09}(x - 1) = \frac{\log_{0.3}(x - 1)}{\log_{0.3}(0.09)} = \frac{\log_{0.3}(x - 1)}{2}$.
અસમતા આ મુજબ બને છે: $\log_{0.3}(x - 1) < \frac{1}{2} \log_{0.3}(x - 1)$.
ધારો કે $y = \log_{0.3}(x - 1)$. તો $y < \frac{1}{2} y$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{2} y < 0$,તેથી $y < 0$.
કિંમત પાછી મૂકતા: $\log_{0.3}(x - 1) < 0$.
આધાર $0.3$ એ $0$ અને $1$ ની વચ્ચે હોવાથી,ઘાતાંક લેતી વખતે અસમતા ઉલટાઈ જશે: $x - 1 > (0.3)^0$.
$x - 1 > 1$,જે આપે છે $x > 2$.
તેથી,$x \in (2, \infty)$.

(D) લઘુગણકની વ્યાખ્યા મુજબ,આધાર $a$ એ એવી ધન વાસ્તવિક સંખ્યા હોવી જોઈએ કે જેથી $a > 0$ અને $a \neq 1$ થાય.
તેથી,આધાર $a$ માટેની સાચી શરત $1$ સિવાયની કોઈપણ ધન વાસ્તવિક સંખ્યા છે.

(A) ધારો કે જરૂરી લઘુગણક $x$ છે. વ્યાખ્યા મુજબ,$(2\sqrt{2})^x = 32\sqrt[5]{4}$.
આધારને $(2 \cdot 2^{1/2})^x = (2^{3/2})^x = 2^{3x/2}$ તરીકે લખી શકાય.
સંખ્યાને $32 \cdot 4^{1/5} = 2^5 \cdot (2^2)^{1/5} = 2^5 \cdot 2^{2/5} = 2^{5 + 2/5} = 2^{27/5}$ તરીકે લખી શકાય.
ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા,$\frac{3x}{2} = \frac{27}{5}$.
$x$ માટે ઉકેલતા,$x = \frac{27}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{9}{5} \times 2 = \frac{18}{5} = 3.6$.

(B) આપણને ${\log _7}2 = m$ આપેલ છે.
આપણે ${\log _{49}}28$ ની કિંમત શોધવાની છે.
બેઝ બદલવાના નિયમ મુજબ,${\log _{49}}28 = \frac{{\log _7}28}{{\log _7}49}$.
$28 = 7 \times 4$ હોવાથી,${\log _7}28 = {\log _7}(7 \times 4) = {\log _7}7 + {\log _7}4 = 1 + {\log _7}(2^2) = 1 + 2{\log _7}2$.
$49 = 7^2$ હોવાથી,${\log _7}49 = 2$.
આ કિંમતો મૂકતા,${\log _{49}}28 = \frac{1 + 2{\log _7}2}{2}$.
$m = {\log _7}2$ મૂકતા,આપણને ${\log _{49}}28 = \frac{1 + 2m}{2}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $\log_e \left( \frac{a + b}{2} \right) = \frac{1}{2}(\log_e a + \log_e b)$.
$\log$ ના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{2}(\log_e a + \log_e b) = \log_e \sqrt{ab}$.
તેથી,$\frac{a + b}{2} = \sqrt{ab}$.
$a + b = 2\sqrt{ab} \implies a + b - 2\sqrt{ab} = 0$.
$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = 0$.
તેથી,$\sqrt{a} = \sqrt{b}$,જેનો અર્થ છે કે $a = b$.

(C) ધારો કે $y = 3^{40}$.
બંને બાજુ $\log_{10}$ લેતા:
$\log_{10} y = \log_{10} (3^{40})$
$\log_{10} y = 40 \times \log_{10} 3$
આપેલ છે કે $\log_{10} 3 = 0.477$,તેથી:
$\log_{10} y = 40 \times 0.477 = 19.08$
$y$ માં અંકોની સંખ્યા $\lfloor \log_{10} y \rfloor + 1$ દ્વારા મળે છે.
અંકોની સંખ્યા $= 19 + 1 = 20$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha > 1$ માટે,$\log_{b}\alpha = \frac{\ln \alpha}{\ln b}$.
$\ln \alpha$ ધન હોવાથી,જેમ આધાર $b$ વધે તેમ $\log_{b}\alpha$ ની કિંમત ઘટે છે.
અહીં આધાર $2, e \approx 2.718, 3, 10$ છે.
$2 < e < 3 < 10$ હોવાથી,કિંમતોનો ક્રમ $\log_{10}\alpha < \log_{3}\alpha < \log_{e}\alpha < \log_{2}\alpha$ થશે.

(C) આપેલ છે કે $x = \log_3 5$ અને $y = \log_{17} 25 = 2 \log_{17} 5$.
વ્યસ્ત લેતા:
$\frac{1}{x} = \log_5 3 = \log_5 (9^{1/2}) = \frac{1}{2} \log_5 9$.
$\frac{1}{y} = \frac{1}{2} \log_5 17$.
કારણ કે $17 > 9$,તેથી $\log_5 17 > \log_5 9$.
તેથી,$\frac{1}{2} \log_5 17 > \frac{1}{2} \log_5 9$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{y} > \frac{1}{x}$.
$x$ અને $y$ બંને ધન હોવાથી,$\frac{1}{y} > \frac{1}{x}$ નો અર્થ છે કે $x > y$.

(A) આપેલ અસમતા: ${\log _{0.3}}(x - 1) < {\log _{0.09}}(x - 1)$.
પ્રથમ,વ્યાખ્યાયિત થવા માટે $x - 1 > 0$ એટલે કે $x > 1$ હોવું જરૂરી છે.
આધાર $0.09$ ને $(0.3)^2$ તરીકે લખતા: ${\log _{0.09}}(x - 1) = \frac{1}{2}{\log _{0.3}}(x - 1)$.
અસમતા આ મુજબ બનશે: ${\log _{0.3}}(x - 1) < \frac{1}{2}{\log _{0.3}}(x - 1)$.
બંને બાજુથી $\frac{1}{2}{\log _{0.3}}(x - 1)$ બાદ કરતા: $\frac{1}{2}{\log _{0.3}}(x - 1) < 0$.
આનો અર્થ એ છે કે ${\log _{0.3}}(x - 1) < 0$.
અહીં આધાર $0.3 < 1$ હોવાથી,લઘુગણક દૂર કરતી વખતે અસમતાની નિશાની બદલાશે: $x - 1 > (0.3)^0$,જેનો અર્થ છે $x - 1 > 1$.
આમ,$x > 2$.
તેથી,$x$ એ $(2, \infty)$ અંતરાલમાં છે.

(B) લઘુગણકના ગુણધર્મ $\log x - \log y = \log \left( \frac{x}{y} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\log ab - \log |b| = \log \left( \frac{ab}{|b|} \right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{b}{|b|} = \text{sgn}(b)$,તેથી $\frac{ab}{|b|} = a \cdot \text{sgn}(b)$.
લઘુગણકની વ્યાખ્યા મુજબ,$\log \left( \frac{ab}{|b|} \right) = \log |a|$ થાય છે.

(C) આપેલ પદ $\sqrt{(\log_{0.5} 4)^2}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sqrt{x^2} = |x|$.
તેથી,$\sqrt{(\log_{0.5} 4)^2} = |\log_{0.5} 4|$.
આપણે $0.5$ ને $2^{-1}$ અને $4$ ને $2^2$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આમ,$\log_{0.5} 4 = \log_{2^{-1}} (2^2)$.
ગુણધર્મ $\log_{a^n} (b^m) = \frac{m}{n} \log_a b$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{2}{-1} \log_2 2 = -2 \times 1 = -2$ મળે છે.
તેથી,$|-2| = 2$.

(C) ધારો કે $x = \sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7}}}$.
આને આપણે $x = 7^{1/2} \cdot 7^{1/4} \cdot 7^{1/8} = 7^{(1/2 + 1/4 + 1/8)} = 7^{7/8}$ તરીકે લખી શકીએ.
હવે,પદાવલિ $\log_7(\log_7(7^{7/8}))$ છે.
$\log_b(b^a) = a$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\log_7(7/8)$ મળે છે.
આ $\log_7(7) - \log_7(8) = 1 - \log_7(2^3)$ ની બરાબર છે.
ઘાતનો નિયમ $\log(a^n) = n\log(a)$ વાપરતા,આપણને $1 - 3\log_7(2)$ મળે છે.

(C) $n\log a = \log a^n$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદાવલિને ફરીથી લખીએ:
$\log \left( \frac{16}{15} \right)^7 + \log \left( \frac{25}{24} \right)^5 + \log \left( \frac{81}{80} \right)^3$
$= \log \left[ \left( \frac{2^4}{3 \times 5} \right)^7 \times \left( \frac{5^2}{2^3 \times 3} \right)^5 \times \left( \frac{3^4}{2^4 \times 5} \right)^3 \right]$
$= \log \left[ \frac{2^{28}}{3^7 \times 5^7} \times \frac{5^{10}}{2^{15} \times 3^5} \times \frac{3^{12}}{2^{12} \times 5^3} \right]$
$= \log \left[ \frac{2^{28} \times 5^{10} \times 3^{12}}{2^{15+12} \times 3^{7+5} \times 5^{7+3}} \right]$
$= \log \left[ \frac{2^{28} \times 5^{10} \times 3^{12}}{2^{27} \times 3^{12} \times 5^{10}} \right]$
$= \log \left( 2^{28-27} \right) = \log 2$

(C) આપેલ છે: ${\log _4}5 = a$ અને ${\log _5}6 = b$.
બેઝ બદલવાના નિયમ મુજબ,${\log _4}5 = \frac{{\log 5}}{{\log 4}} = \frac{{\log 5}}{{2\log 2}} = a \implies \frac{{\log 5}}{{\log 2}} = 2a$.
તે જ રીતે,${\log _5}6 = \frac{{\log 6}}{{\log 5}} = b \implies \frac{{\log 2 + \log 3}}{{\log 5}} = b$.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$\frac{{\log 2}}{{\log 5}} = \frac{1}{{2a}}$.
આ કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{{\log 2}}{{\log 5}} + \frac{{\log 3}}{{\log 5}} = b \implies \frac{1}{{2a}} + \frac{{\log 3}}{{\log 5}} = b$.
$\frac{{\log 3}}{{\log 5}} = b - \frac{1}{{2a}} = \frac{{2ab - 1}}{{2a}}$.
તેથી,$\frac{{\log 5}}{{\log 3}} = \frac{{2a}}{{2ab - 1}}$.
આપણને ${\log _3}2 = \frac{{\log 2}}{{\log 3}} = \frac{{\log 2}}{{\log 5}} \times \frac{{\log 5}}{{\log 3}} = \frac{1}{{2a}} \times \frac{{2a}}{{2ab - 1}} = \frac{1}{{2ab - 1}}$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\log _k x \cdot \log _5 k = \log _x 5$.
બેઝ બદલવાના સૂત્ર $\log _b a = \frac{\ln a}{\ln b}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\ln x}{\ln k} \cdot \frac{\ln k}{\ln 5} = \frac{\ln 5}{\ln x}$.
ડાબી બાજુએ $\ln k$ ને રદ કરતા:
$\frac{\ln x}{\ln 5} = \frac{\ln 5}{\ln x}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$(\ln x)^2 = (\ln 5)^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\ln x = \ln 5$ અથવા $\ln x = -\ln 5$.
આથી $x = 5$ અથવા $x = 5^{-1} = \frac{1}{5}$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $a^2 + 4b^2 = 12ab$ છે.
બંને બાજુ $4ab$ ઉમેરતા,આપણને $a^2 + 4b^2 + 4ab = 12ab + 4ab$ મળે છે.
$(a + 2b)^2 = 16ab$.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા: $\log(a + 2b)^2 = \log(16ab)$.
$2\log(a + 2b) = \log 16 + \log a + \log b$.
$2\log(a + 2b) = \log(2^4) + \log a + \log b$.
$2\log(a + 2b) = 4\log 2 + \log a + \log b$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $\log(a + 2b) = \frac{1}{2}[\log a + \log b + 4\log 2]$ મળે છે.

(C) આપેલ છે $A = \log_2 \log_2 \log_4 256 + 2 \log_{\sqrt{2}} 2$.
પ્રથમ,$\log_4 256$ ની કિંમત શોધો:
$256 = 4^4$ હોવાથી,$\log_4 256 = 4$.
ત્યારબાદ,$\log_2 \log_2 4$ ની કિંમત શોધો:
$\log_2 4 = 2$ હોવાથી,$\log_2 2 = 1$.
હવે,$2 \log_{\sqrt{2}} 2$ ની કિંમત શોધો:
$\sqrt{2} = 2^{1/2}$ હોવાથી,$\log_{2^{1/2}} 2 = \frac{1}{1/2} \log_2 2 = 2 \times 1 = 2$.
તેથી,$2 \log_{\sqrt{2}} 2 = 2 \times 2 = 4$.
અંતે,$A = 1 + 4 = 5$.

(D) આપેલ છે કે ${\log _{10}}x = y$.
આપણે ${\log _{1000}}{x^2}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
લઘુગણકના ગુણધર્મ ${\log _{{a^n}}}{b^m} = \frac{m}{n}{\log _a}b$ નો ઉપયોગ કરતા:
${\log _{1000}}{x^2} = {\log _{{10^3}}}{x^2} = \frac{2}{3}{\log _{10}}x$.
આપેલ કિંમત ${\log _{10}}x = y$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{2}{3}y$.

(B) આપેલ છે કે $x = \log_a(bc)$,બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા $1 + x = 1 + \log_a(bc) = \log_a(a) + \log_a(bc) = \log_a(abc)$ મળે.
વ્યસ્ત લેતા,$(1 + x)^{-1} = \frac{1}{\log_a(abc)} = \log_{abc}(a)$ મળે.
તે જ રીતે,$(1 + y)^{-1} = \log_{abc}(b)$ અને $(1 + z)^{-1} = \log_{abc}(c)$ મળે.
આ પદોનો સરવાળો કરતા,$(1 + x)^{-1} + (1 + y)^{-1} + (1 + z)^{-1} = \log_{abc}(a) + \log_{abc}(b) + \log_{abc}(c)$.
ગુણધર્મ $\log_n(m) + \log_n(p) = \log_n(mp)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\log_{abc}(a \times b \times c) = \log_{abc}(abc) = 1$ મળે.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$a^x = b$ $(1)$
$b^y = c$ $(2)$
$c^z = a$ $(3)$
સમીકરણ $(1)$ ને $(2)$ માં મૂકતા:
$(a^x)^y = c \implies a^{xy} = c$
હવે આને $(3)$ માં મૂકતા:
$(a^{xy})^z = a$
$a^{xyz} = a^1$
આધાર સમાન હોવાથી,ઘાતાંકો સમાન થશે:
$xyz = 1$

(B) આપેલ છે કે $\frac{\log x}{y - z} = \frac{\log y}{z - x} = \frac{\log z}{x - y} = k$ (ધારો).
તેથી $\log x = k(y - z)$,$\log y = k(z - x)$,અને $\log z = k(x - y)$.
હવે,$x^x \cdot y^y \cdot z^z$ પદને ધ્યાનમાં લો:
$\log(x^x \cdot y^y \cdot z^z) = x \log x + y \log y + z \log z$
$= x(k(y - z)) + y(k(z - x)) + z(k(x - y))$
$= k(xy - xz + yz - yx + zx - zy) = k(0) = 0$.
તેથી $\log(x^x \cdot y^y \cdot z^z) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $x^x \cdot y^y \cdot z^z = 10^0 = 1$.

(C) ધારો કે $x = 3^{12} \times 2^8$.
બંને બાજુ $\log_{10}$ લેતા:
$\log_{10} x = \log_{10} (3^{12} \times 2^8)$
$= 12 \log_{10} 3 + 8 \log_{10} 2$
$= 12(0.47712) + 8(0.30103)$
$= 5.72544 + 2.40824$
$= 8.13368$.
$x$ માં અંકોની સંખ્યા $\lfloor \log_{10} x \rfloor + 1$ દ્વારા મળે છે.
$= \lfloor 8.13368 \rfloor + 1$
$= 8 + 1 = 9$.

(C) આપેલ સમીકરણ: ${\log _7}{\log _5}(\sqrt {{x^2} + 5 + x} ) = 0$
લોગેરિધમની વ્યાખ્યા મુજબ,${\log _b}(a) = c \implies a = b^c$:
${\log _5}(\sqrt {{x^2} + 5 + x} ) = 7^0 = 1$
ફરીથી વ્યાખ્યા લાગુ કરતા:
$\sqrt {{x^2} + 5 + x} = 5^1 = 5$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
${x^2} + x + 5 = 25$
${x^2} + x - 20 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(x + 5)(x - 4) = 0$
તેથી,$x = -5$ અથવા $x = 4$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$x = 4$ એ સાચો જવાબ છે.

(B) આપણી પાસે $\log _4 18 = \log _{2^2} (2 \times 3^2) = \frac{1}{2} \log _2 (2 \times 3^2) = \frac{1}{2} (\log _2 2 + \log _2 3^2) = \frac{1}{2} (1 + 2 \log _2 3) = \frac{1}{2} + \log _2 3$ છે.
કારણ કે $\log _2 3$ એક અસંમેય સંખ્યા છે,તેથી $\frac{1}{2} + \log _2 3$ પણ એક અસંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,$\log _4 18$ એક અસંમેય સંખ્યા છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $[(\log_b a)(\log_c a) - 1] + [(\log_a b)(\log_c b) - 1] + [(\log_a c)(\log_b c) - 1] = 0$
$\log_a a = \log_b b = \log_c c = 1$ હોવાથી,સમીકરણ આ મુજબ બને છે:
$(\log_b a)(\log_c a) + (\log_a b)(\log_c b) + (\log_a c)(\log_b c) = 3$
ધારો કે $x = \ln a, y = \ln b, z = \ln c$.
$\frac{x^2}{yz} + \frac{y^2}{xz} + \frac{z^2}{xy} = 3$
$xyz$ વડે ગુણતા:
$x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$
આ નિત્યસમ ત્યારે જ સાચું પડે જો $x + y + z = 0$ અથવા $x = y = z$ હોય.
$a, b, c$ ભિન્ન હોવાથી $x + y + z = 0$
$\ln(abc) = 0$
$abc = e^0 = 1$.

(C) આપેલ છે કે ${\log _{12}}27 = a$.
બેઝ બદલવાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{{\log _3}27}{{\log _3}12} = a$.
$27 = 3^3$ અને $12 = 3 \times 2^2$ હોવાથી,$\frac{3}{{\log _3}3 + {\log _3}2^2} = a$.
આ સાદું રૂપ આપતા $\frac{3}{1 + 2{\log _3}2} = a$ મળે છે.
તેથી $3 = a + 2a{\log _3}2$,એટલે કે ${\log _3}2 = \frac{3-a}{2a}$.
હવે,${\log _6}16 = \frac{{\log _3}16}{{\log _3}6} = \frac{4{\log _3}2}{{\log _3}2 + 1}$.
${\log _3}2 = \frac{3-a}{2a}$ મૂકતા:
${\log _6}16 = \frac{4(\frac{3-a}{2a})}{\frac{3-a}{2a} + 1} = \frac{4(3-a)}{3+a}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) બેઝ બદલવાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{\log_a n} = \log_n a$ થાય.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\log_n 2 + \log_n 3 + \log_n 4 + \dots + \log_n 1983$.
$\log_b x + \log_b y = \log_b (xy)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,પદાવલિ નીચે મુજબ થશે:
$\log_n (2 \times 3 \times 4 \times \dots \times 1983)$.
કારણ કે $n = 1983! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times 1983$,તેથી પદાવલિ:
$\log_n (1983!) = \log_n n = 1$ થાય.

(A) ધારો કે $\frac{\log x}{b - c} = \frac{\log y}{c - a} = \frac{\log z}{a - b} = k$.
તેથી $\log x = k(b - c)$,$\log y = k(c - a)$,અને $\log z = k(a - b)$.
પદ $xyz$ ને ધ્યાનમાં લો.
લઘુગણક લેતા,$\log(xyz) = \log x + \log y + \log z$.
કિંમતો મૂકતા,$\log(xyz) = k(b - c) + k(c - a) + k(a - b) = k(b - c + c - a + a - b) = k(0) = 0$.
તેથી $\log(xyz) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $xyz = 10^0 = 1$.

(C) ધારો કે $f(x) = \log _2(x + 5)$ અને $g(x) = 6 - x$.
$f(x)$ એ ચુસ્ત વધતું વિધેય છે કારણ કે આધાર $2 > 1$ છે.
$g(x)$ એ ચુસ્ત ઘટતું વિધેય છે.
એક વિધેય વધતું અને બીજું ઘટતું હોવાથી,તેઓ વધુમાં વધુ એક બિંદુએ છેદી શકે.
પૂર્ણાંક કિંમતો તપાસતા:
જો $x = 3$ હોય,તો $\log _2(3 + 5) = \log _2(8) = 3$ અને $6 - 3 = 3$.
$f(3) = g(3)$ હોવાથી,$x = 3$ એ ઉકેલ છે.
આમ,બરાબર $1$ ઉકેલ મળે છે.

(B) ધારો કે $y = \log_{16}x$. સમીકરણ $y^2 - y + \log_{16}k = 0$ બને છે.
$x$ માટે માત્ર એક ઉકેલ મેળવવા માટે,આ દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક $D = 0$ હોવો જોઈએ.
$D = (-1)^2 - 4(1)(\log_{16}k) = 0$.
$1 - 4\log_{16}k = 0$.
$4\log_{16}k = 1$.
$\log_{16}k = \frac{1}{4}$.
$k = 16^{1/4} = 2$.
આમ,$k$ નું માત્ર એક જ મૂલ્ય શક્ય છે,તેથી વાસ્તવિક મૂલ્યોની સંખ્યા $1$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: ${x^{\frac{3}{4}(\log_3 x)^2 + \log_3 x - \frac{5}{4}} = 3^{1/2}}$.
બંને બાજુ $\log_3$ લેતા:
$(\frac{3}{4}(\log_3 x)^2 + \log_3 x - \frac{5}{4}) \cdot \log_3 x = \log_3(3^{1/2})$.
ધારો કે $y = \log_3 x$. તો:
$(\frac{3}{4}y^2 + y - \frac{5}{4})y = \frac{1}{2}$.
$4$ વડે ગુણતા:
$(3y^2 + 4y - 5)y = 2$.
$3y^3 + 4y^2 - 5y - 2 = 0$.
કિંમતો ચકાસતા,$y = 1$ એ ઉકેલ છે: $3(1)^3 + 4(1)^2 - 5(1) - 2 = 0$.
$(y-1)$ વડે ભાગતા,$(y-1)(3y^2 + 7y + 2) = 0$ મળે.
$(y-1)(3y+1)(y+2) = 0$.
તેથી,$y = 1, y = -1/3, y = -2$.
$y = \log_3 x$ હોવાથી,$x = 3^1 = 3$,$x = 3^{-1/3} = \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$,અને $x = 3^{-2} = \frac{1}{9}$.
ત્રણેય કિંમતો ધન છે,પરંતુ માત્ર $x = 3$ એ પૂર્ણાંક છે. આમ,માત્ર એક જ ધન પૂર્ણાંક કિંમત મળે છે.

(A) આપેલ છે $x = \log_{5}(1000)$. કારણ કે $5^4 = 625$ અને $5^5 = 3125$,તેથી $4 < x < 5$.
ચોક્કસ રીતે,$x = \log_{5}(5^3 \times 8) = 3 + \log_{5}(8)$. કારણ કે $5^1 < 8 < 5^2$,$1 < \log_{5}(8) < 2$,તેથી $4 < x < 5$.
આપેલ છે $y = \log_{7}(2058)$. આપણે જાણીએ છીએ કે $7^3 = 343$ અને $7^4 = 2401$.
કારણ કે $343 < 2058 < 2401$,તેથી $3 < y < 4$.
બંનેની સરખામણી કરતા,$x > 4$ અને $y < 4$ હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે $x > y$.

(A) ધારો કે $x = \log_{20} 3$.
આનો અર્થ એ છે કે $20^x = 3$.
આપણે આપેલા અંતરાલો ચકાસીએ:
જો $x = \frac{1}{3}$ હોય,તો $20^{1/3} = \sqrt[3]{20}$. કારણ કે $2^3 = 8$ અને $3^3 = 27$,$\sqrt[3]{20}$ એ $2$ અને $3$ ની વચ્ચે છે,તેથી $20^{1/3} > 3$. આમ,$x < \frac{1}{3}$.
જો $x = \frac{1}{4}$ હોય,તો $20^{1/4} = \sqrt[4]{20}$. કારણ કે $2^4 = 16$ અને $3^4 = 81$,$\sqrt[4]{20}$ એ $2$ થી થોડું વધારે છે,તેથી $20^{1/4} < 3$. આમ,$x > \frac{1}{4}$.
તેથી,$\frac{1}{4} < x < \frac{1}{3}$.

(D) આપેલ અસમતા $\log _{1/\sqrt{2}} \sin x > 0$ છે.
આધાર $b = \frac{1}{\sqrt{2}}$ એ $0 < b < 1$ હોવાથી,લઘુગણક દૂર કરતી વખતે અસમતા ઉલટાઈ જશે:
$\sin x < (\frac{1}{\sqrt{2}})^0$
$\sin x < 1$.
વધુમાં,લઘુગણક વ્યાખ્યાયિત થવા માટે $\sin x > 0$ હોવું જરૂરી છે.
આમ,$0 < \sin x < 1$ હોવું જોઈએ.
આ શરત $x \in [0, 4\pi]$ માં $\sin x = 0$ અથવા $\sin x = 1$ હોય તે સિવાયના તમામ બિંદુઓ માટે સંતોષાય છે.
અંતરાલ $[0, 4\pi]$ માં,$\sin x = 0$ એ $x = 0, \pi, 2\pi, 3\pi, 4\pi$ પર થાય છે.
અંતરાલ $[0, 4\pi]$ માં,$\sin x = 1$ એ $x = \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}$ પર થાય છે.
આપણે $x$ ના એવા મૂલ્યો શોધી રહ્યા છીએ જે $\frac{\pi}{4}$ ના પૂર્ણાંક ગુણક હોય,એટલે કે $x = k \cdot \frac{\pi}{4}$ જ્યાં $k \in \{0, 1, 2, ..., 16\}$.
બાકાત રાખતા મૂલ્યો: $x=0, \pi, 2\pi, 3\pi, 4\pi$ અને $x=\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}$.
બાકી રહેલા મૂલ્યો: $\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}, \frac{11\pi}{4}, \frac{13\pi}{4}, \frac{15\pi}{4}$.
કુલ $8$ મૂલ્યો મળે છે.

(B) આપેલ અસમતા: ${\log _{1/2}}({x^2} - 6x + 12) \ge - 2$.
લોગેરિધમનો આધાર $1/2$ હોવાથી (જે $0$ અને $1$ ની વચ્ચે છે),જ્યારે આપણે લોગ દૂર કરીએ ત્યારે અસમતાની નિશાની બદલાઈ જાય છે:
${x^2} - 6x + 12 \le {(1/2)^{-2}}$.
${x^2} - 6x + 12 \le 4$.
${x^2} - 6x + 8 \le 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x - 2)(x - 4) \le 0$.
આ અસમતાનો ઉકેલ $x \in [2, 4]$ છે.
આપણે એ પણ સુનિશ્ચિત કરવું જોઈએ કે લોગેરિધમનો આર્ગ્યુમેન્ટ ધન હોય: ${x^2} - 6x + 12 > 0$.
વિવેચક $D = {(-6)^2} - 4(1)(12) = 36 - 48 = -12 < 0$.
અગ્ર સહગુણક ધન હોવાથી અને $D < 0$ હોવાથી,${x^2} - 6x + 12$ એ તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે હંમેશા ધન છે.
તેથી,ઉકેલ ગણ $[2, 4]$ છે.

(C) આપેલ અસમતા: ${\log _{10}}({x^2} - 2x - 2) \le 0$.
આધાર $10 > 1$ હોવાથી,લોગ દૂર કરતી વખતે અસમતા સમાન રહે છે:
${x^2} - 2x - 2 \le {10^0} \implies {x^2} - 2x - 2 \le 1 \implies {x^2} - 2x - 3 \le 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x - 3)(x + 1) \le 0$,જે $x \in [-1, 3]$ આપે છે.
વળી,લોગનો આર્ગ્યુમેન્ટ ધન હોવો જોઈએ: ${x^2} - 2x - 2 > 0$.
${x^2} - 2x - 2 = 0$ ના બીજ $x = 1 \pm \sqrt{3}$ છે.
તેથી,$x \in (-\infty, 1 - \sqrt{3}) \cup (1 + \sqrt{3}, \infty)$ માટે ${x^2} - 2x - 2 > 0$ થાય.
$x \in [-1, 3]$ અને $x \in (-\infty, 1 - \sqrt{3}) \cup (1 + \sqrt{3}, \infty)$ નો છેદ લેતા,આપણને મળે છે:
$x \in [-1, 1 - \sqrt{3}) \cup (1 + \sqrt{3}, 3]$.

(B) આપેલ અસમતા: $\frac{1}{2} \le \log_{0.1} x \le 2$.
અહીં આધાર $0.1$ એ $0$ અને $1$ ની વચ્ચે હોવાથી,લઘુગણક દૂર કરતી વખતે અસમતાની નિશાની બદલાઈ જશે:
$(0.1)^2 \le x \le (0.1)^{1/2}$.
કિંમતોની ગણતરી કરતા:
$(0.1)^2 = (\frac{1}{10})^2 = \frac{1}{100}$.
$(0.1)^{1/2} = \sqrt{0.1} = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$.
આમ,$x$ નો વિસ્તાર $\frac{1}{100} \le x \le \frac{1}{\sqrt{10}}$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $x$ એ $\frac{1}{100}$ અને $\frac{1}{\sqrt{10}}$ ની વચ્ચે છે.

(C) આપેલ અસમતા: ${\log _{0.04}}(x - 1) \ge {\log _{0.2}}(x - 1)$.
પ્રથમ,લઘુગણક વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,આપણી પાસે $x - 1 > 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $x > 1$.
આપણે આધાર $0.04$ ને $(0.2)^2$ તરીકે લખી શકીએ છીએ. તેથી,${\log _{(0.2)^2}}(x - 1) \ge {\log _{0.2}}(x - 1)$.
ગુણધર્મ ${\log _{a^n}}b = \frac{1}{n}{\log _a}b$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{1}{2}{\log _{0.2}}(x - 1) \ge {\log _{0.2}}(x - 1)$ મળે છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $0 \ge {\log _{0.2}}(x - 1) - \frac{1}{2}{\log _{0.2}}(x - 1)$,જેનું સાદું રૂપ $0 \ge \frac{1}{2}{\log _{0.2}}(x - 1)$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે ${\log _{0.2}}(x - 1) \le 0$.
આધાર $0.2 < 1$ હોવાથી,જ્યારે આપણે લઘુગણક દૂર કરીએ ત્યારે અસમતાની નિશાની બદલાઈ જાય છે: $x - 1 \ge (0.2)^0$.
$x - 1 \ge 1$,જે $x \ge 2$ આપે છે.
પ્રદેશની શરત $x > 1$ સાથે જોડતા,આપણને $x \in [2, +\infty)$ મળે છે.

(A) આપેલ અસમતા $\log_{0.2} \frac{x + 2}{x} \le 1$ છે.
અહીં આધાર $0.2 < 1$ હોવાથી,લઘુગણક દૂર કરતી વખતે અસમતાની નિશાની બદલાશે:
$\frac{x + 2}{x} \ge (0.2)^1$
$\frac{x + 2}{x} \ge \frac{1}{5}$
$\frac{x + 2}{x} - \frac{1}{5} \ge 0$
$\frac{5(x + 2) - x}{5x} \ge 0$
$\frac{4x + 10}{5x} \ge 0$
$\frac{2x + 5}{x} \ge 0$
વળી,લઘુગણક માટે શરત $\frac{x + 2}{x} > 0$ હોવી જોઈએ,જેનો અર્થ છે $x \in ( - \infty, - 2 ) \cup (0, + \infty )$.
$\frac{2x + 5}{x} \ge 0$ ઉકેલતા આપણને $x \in ( - \infty, - \frac{5}{2} ] \cup (0, + \infty )$ મળે છે.
આ શરત સાથે છેદ લેતા,આપણને $x \in ( - \infty, - \frac{5}{2} ] \cup (0, + \infty )$ મળે છે.

(C) આપેલ પદાવલિ $a^{m \log_a n}$ છે.
લઘુગણકના ઘાતનો નિયમ વાપરતા,$m \log_a n = \log_a (n^m)$.
આને પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $a^{\log_a (n^m)}$ મળે છે.
મૂળભૂત લઘુગણક નિત્યસમ $a^{\log_a x} = x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $a^{\log_a (n^m)} = n^m$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $m^n = n^m$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા:
$\ln(m^n) = \ln(n^m)$
$n \ln(m) = m \ln(n)$
બંને બાજુ $mn$ વડે ભાગતા:
$\frac{\ln(m)}{m} = \frac{\ln(n)}{n}$
ધારો કે $f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$.
જ્યારે $m \neq n$ હોય,ત્યારે આ સમીકરણનો ઉકેલ $m = n^{1/(n-1)}$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$a^x = bc$ --- $(1)$
$b^y = ca$ --- $(2)$
$c^z = ab$ --- $(3)$
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા:
$x \log a = \log b + \log c$
$y \log b = \log c + \log a$
$z \log c = \log a + \log b$
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $xyz = x + y + z + 2$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણો છે:
$a^{x-1} = bc \implies a^x = abc$
$b^{y-1} = ca \implies b^y = abc$
$c^{z-1} = ab \implies c^z = abc$
બંને બાજુ $abc$ આધાર સાથે લઘુગણક લેતા:
$\log_{abc}(a^x) = \log_{abc}(abc) \implies x \log_{abc} a = 1 \implies \frac{1}{x} = \log_{abc} a$
તે જ રીતે,$\frac{1}{y} = \log_{abc} b$ અને $\frac{1}{z} = \log_{abc} c$
હવે,$\sum \frac{1}{x} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \log_{abc} a + \log_{abc} b + \log_{abc} c$
$\log m + \log n = \log(mn)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\sum \frac{1}{x} = \log_{abc} (abc) = 1$