Mix Examples-Logarithms, Indices and Surds, Partial Fractions Questions in Gujarati

(C) આપેલ છે કે $a^2 + 4b^2 = 12ab$.
બંને બાજુ $4ab$ ઉમેરતા,$a^2 + 4b^2 + 4ab = 12ab + 4ab$.
$(a + 2b)^2 = 16ab$.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા,$\log((a + 2b)^2) = \log(16ab)$.
$2\log(a + 2b) = \log 16 + \log a + \log b$.
કારણ કે $16 = 2^4$,તેથી $\log 16 = 4\log 2$.
$2\log(a + 2b) = 4\log 2 + \log a + \log b$.
તેથી,$\log(a + 2b) = \frac{1}{2}[\log a + \log b + 4\log 2]$.

(D) ધારો કે $\frac{\log x}{b - c} = \frac{\log y}{c - a} = \frac{\log z}{a - b} = k$.
તેથી,$\log x = k(b - c)$,$\log y = k(c - a)$,અને $\log z = k(a - b)$.
વિકલ્પ $A$ માટે: $xyz = e^{\log x + \log y + \log z} = e^{k(b - c + c - a + a - b)} = e^0 = 1$.
વિકલ્પ $B$ માટે: $x^a y^b z^c = e^{a \log x + b \log y + c \log z} = e^{k(a(b - c) + b(c - a) + c(a - b))} = e^{k(ab - ac + bc - ba + ca - cb)} = e^0 = 1$.
વિકલ્પ $C$ માટે: $x^{b + c} y^{c + a} z^{a + b} = e^{(b + c) \log x + (c + a) \log y + (a + b) \log z} = e^{k((b + c)(b - c) + (c + a)(c - a) + (a + b)(a - b))} = e^{k(b^2 - c^2 + c^2 - a^2 + a^2 - b^2)} = e^0 = 1$.
આમ,બધા વિકલ્પો સાચા હોવાથી,સાચો જવાબ $D$ છે.

(A) આપેલ છે: ${a^x} = {(x + y + z)^y}$,${a^y} = {(x + y + z)^z}$,${a^z} = {(x + y + z)^x}$.
ત્રણેય સમીકરણોનો ગુણાકાર કરતા:
${a^x} \cdot {a^y} \cdot {a^z} = {(x + y + z)^y} \cdot {(x + y + z)^z} \cdot {(x + y + z)^x}$
${a^{x + y + z}} = {(x + y + z)^{x + y + z}}$
આ સૂચવે છે કે $x + y + z = a$.
મૂળ સમીકરણોમાં $x + y + z = a$ મૂકતા:
${a^x} = {a^y} \Rightarrow x = y$
${a^y} = {a^z} \Rightarrow y = z$
કારણ કે $x = y = z$ અને $x + y + z = a$,તેથી $3x = a$,જેનો અર્થ છે કે $x = y = z = a/3$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $9^x - 2^{x + 1/2} = 2^{x + 3/2} - 3^{2x - 1}$
પદોને ગોઠવતા: $3^{2x} + 3^{2x-1} = 2^{x + 3/2} + 2^{x + 1/2}$
સામાન્ય પદો બહાર કાઢતા: $3^{2x-1}(3 + 1) = 2^{x + 1/2}(2 + 1)$
$4 \cdot 3^{2x-1} = 3 \cdot 2^{x + 1/2}$
$3^{2x-2} = 2^{x - 3/2}$
બંને બાજુ $\log_{(9/2)}$ લેતા: $x - 1 = \log_{(9/2)} (2^{-1/2})$
$x = 1 - \log_{(9/2)} \sqrt{2} = \log_{(9/2)} (9/\sqrt{8})$.

(A) ધારો કે $x = 0.2343434...$ (સમીકરણ $1$)
$10$ વડે ગુણતા: $10x = 2.343434...$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ ને $1000$ વડે ગુણતા: $1000x = 234.343434...$ (સમીકરણ $3$)
સમીકરણ $3$ માંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરતા:
$1000x - 10x = 234.343434... - 2.343434...$
$990x = 232$
$x = \frac{232}{990}$

(A) ધારો કે $x = 0.4232323...$ (સમીકરણ $1$)
બંને બાજુ $10$ વડે ગુણતા: $10x = 4.232323...$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ ને $1000$ વડે ગુણતા: $1000x = 423.232323...$ (સમીકરણ $3$)
સમીકરણ $3$ માંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરતા:
$1000x - 10x = 423.232323... - 4.232323...$
$990x = 419$
$x = \frac{419}{990}$.

(D) શ્રેણી $x = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots$ એ અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a_1 = \frac{1}{4}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{2}$ છે.
સરવાળાના સૂત્ર $S_{\infty} = \frac{a_1}{1 - r}$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{1/4}{1 - 1/2} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
હવે,$a = 0.2 = \frac{1}{5}$,$b = \sqrt{5} = 5^{1/2}$,અને $x = \frac{1}{2}$ ને $a^{\log_b x}$ માં મૂકતા:
$a^{\log_b x} = (\frac{1}{5})^{\log_{\sqrt{5}} (1/2)} = (5^{-1})^{\log_{5^{1/2}} (2^{-1})}$.
ગુણધર્મ $\log_{b^n} x = \frac{1}{n} \log_b x$ નો ઉપયોગ કરતા,$\log_{5^{1/2}} (2^{-1}) = \frac{1}{1/2} \log_5 (2^{-1}) = 2 \log_5 (2^{-1}) = \log_5 (2^{-2}) = \log_5 (1/4)$ મળે છે.
આમ,પદાવલિ $(5^{-1})^{\log_5 (1/4)} = 5^{-\log_5 (1/4)} = 5^{\log_5 (1/4)^{-1}} = 5^{\log_5 4} = 4$ થાય છે.

(C) ધારો કે $x = 0.5737373......$
આને $x = 0.5 + 0.0737373......$ તરીકે લખી શકાય.
$x = \frac{5}{10} + \frac{73}{999} \times \frac{1}{10}$
$x = \frac{1}{2} + \frac{73}{9990}$
$x = \frac{4995 + 73}{9990} = \frac{5068}{9990}$
વૈકલ્પિક રીતે,આવર્ત દશાંશના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{573 - 5}{990} = \frac{568}{990}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\frac{\log 5 + \log (x^2 + 1)}{\log (x - 2)} = 2$
પદ વ્યાખ્યાયિત થાય તે માટે,$x - 2 > 0$ અને $x - 2 \neq 1$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $x > 2$ અને $x \neq 3$.
$\log a + \log b = \log (ab)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\log (5(x^2 + 1)) = 2 \log (x - 2)$
$n \log a = \log (a^n)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\log (5x^2 + 5) = \log ((x - 2)^2)$
બંને બાજુ સરખાવતા:
$5x^2 + 5 = x^2 - 4x + 4$
$4x^2 + 4x + 1 = 0$
$(2x + 1)^2 = 0$
$x = -\frac{1}{2}$
અહીં શરત $x > 2$ હોવાથી,$x = -\frac{1}{2}$ એ ઉકેલ નથી.
તેથી,ઉકેલોની સંખ્યા $0$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $4^x - 3^{x - 1/2} = 3^{x + 1/2} - 2^{2x - 1}$
પદોને ગોઠવતા:
$2^{2x} + 2^{2x - 1} = 3^{x + 1/2} + 3^{x - 1/2}$
સામાન્ય પદો બહાર કાઢતા:
$2^{2x - 1}(2 + 1) = 3^{x - 1/2}(3 + 1)$
$2^{2x - 1}(3) = 3^{x - 1/2}(4)$
બંને બાજુ $3$ અને $3^{x - 1/2}$ વડે ભાગતા:
$\frac{2^{2x - 1}}{4} = \frac{3^{x - 1/2}}{3}$
$2^{2x - 1 - 2} = 3^{x - 1/2 - 1}$
$2^{2x - 3} = 3^{x - 3/2}$
ડાબી બાજુના ઘાતાંકને ફરીથી લખતા:
$2^{2(x - 3/2)} = 3^{x - 3/2}$
$(2^2)^{x - 3/2} = 3^{x - 3/2}$
$4^{x - 3/2} = 3^{x - 3/2}$
$3^{x - 3/2}$ વડે ભાગતા:
$\left(\frac{4}{3}\right)^{x - 3/2} = 1$
$a^0 = 1$ હોવાથી:
$x - 3/2 = 0$
$x = 3/2$

(C) દરેક $n \in N$ માટે $a_n > 1$ હોવાથી,બધા જ લઘુગણક પદો ધન છે.
$n$ ધન પદો માટે સમાંતર મધ્યક-ભૂમિતિ મધ્યક $(AM \ge GM)$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\log_{a_2} a_1 + \log_{a_3} a_2 + \dots + \log_{a_1} a_n}{n} \ge \sqrt[n]{(\log_{a_2} a_1) \cdot (\log_{a_3} a_2) \cdot \dots \cdot (\log_{a_1} a_n)}$
આધાર પરિવર્તન સૂત્ર $\log_b a = \frac{\ln a}{\ln b}$ નો ઉપયોગ કરતા,ગુણાકાર $1$ થાય છે.
તેથી,$\frac{\sum \log_{a_{i+1}} a_i}{n} \ge \sqrt[n]{1} = 1$
$\sum \log_{a_{i+1}} a_i \ge n$
આમ,લઘુત્તમ મૂલ્ય $n$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $4^x - 3^{x - 1/2} = 3^{x + 1/2} - 2^{2x - 1}$.
પદોને ગોઠવતા: $2^{2x} + 2^{2x - 1} = 3^{x + 1/2} + 3^{x - 1/2}$.
સામાન્ય પદો બહાર કાઢતા: $2^{2x - 1}(2 + 1) = 3^{x - 1/2}(3 + 1)$.
સાદું રૂપ આપતા: $2^{2x - 1} \cdot 3 = 3^{x - 1/2} \cdot 4$.
$2^{2x - 1} \cdot 3 = 3^{x - 1/2} \cdot 2^2$.
$2^{2x - 3} = 3^{x - 3/2}$.
બંને બાજુ $\log$ લેતા: $(2x - 3) \log 2 = (x - 3/2) \log 3$.
$(2x - 3) \log 2 = \frac{2x - 3}{2} \log 3$.
$(2x - 3) \log 2 = (2x - 3) \log \sqrt{3}$.
આથી $2x - 3 = 0$ અથવા $\log 2 = \log \sqrt{3}$ (જે અશક્ય છે).
તેથી,$2x - 3 = 0$,જેનો અર્થ છે $x = 3/2$.

(D) લઘુગણકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને દરેક પદને સરળ બનાવીએ: $\log_a b = 1/\log_b a$ અને $a^{\log_a x} = x$.
પ્રથમ પદ: ${81^{(1/{\log_5}3)}} = {81^{\log_3 5}} = {(3^4)^{\log_3 5}} = {3^{4 \log_3 5}} = {3^{\log_3 5^4}} = {5^4} = 625$.
બીજું પદ: ${27^{\log_9 36}} = {(3^3)^{\log_{3^2} 36}} = {3^{3 \cdot \frac{1}{2} \log_3 36}} = {3^{\frac{3}{2} \log_3 36}} = {3^{\log_3 36^{3/2}}} = {36^{3/2}} = {(6^2)^{3/2}} = 6^3 = 216$.
ત્રીજું પદ: ${3^{4/{\log_7}9}} = {3^{4 \log_9 7}} = {3^{4 \log_{3^2} 7}} = {3^{4 \cdot \frac{1}{2} \log_3 7}} = {3^{2 \log_3 7}} = {3^{\log_3 7^2}} = 7^2 = 49$.
સરવાળો: $625 + 216 + 49 = 890$.

(A) આપેલ છે કે ${2^x} = {4^y} = {8^z}$.
આધાર $2$ ના સ્વરૂપમાં લખતા,${2^x} = {2^{2y}} = {2^{3z}}$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા,$x = 2y = 3z = k$ (ધારો).
તેથી $x = k$,$y = k/2$,અને $z = k/3$.
આપેલ છે કે $xyz = 288$,તેથી $k \times (k/2) \times (k/3) = 288$.
$k^3 / 6 = 288 \implies k^3 = 1728 \implies k = 12$.
આમ,$x = 12$,$y = 6$,અને $z = 4$.
હવે,$\frac{1}{2x} + \frac{1}{4y} + \frac{1}{8z} = \frac{1}{2(12)} + \frac{1}{4(6)} + \frac{1}{8(4)}$.
$= \frac{1}{24} + \frac{1}{24} + \frac{1}{32} = \frac{2}{24} + \frac{1}{32} = \frac{1}{12} + \frac{1}{32}$.
$= \frac{8 + 3}{96} = \frac{11}{96}$.

(B) આપેલ છે કે ${a^x} = {b^y} = {(ab)^{xy}}$.
ધારો કે ${a^x} = {b^y} = {(ab)^{xy}} = k$.
તેથી $a^x = k \implies a = k^{1/x}$ અને $b^y = k \implies b = k^{1/y}$.
વળી,$(ab)^{xy} = k \implies ab = k^{1/xy}$.
છેલ્લા સમીકરણમાં $a$ અને $b$ ની કિંમતો મૂકતા:
$k^{1/x} \cdot k^{1/y} = k^{1/xy}$
$k^{(1/x + 1/y)} = k^{1/xy}$
ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{xy}$
$\frac{x+y}{xy} = \frac{1}{xy}$
કારણ કે $x, y \neq 0$,તેથી આપણને $x + y = 1$ મળે છે.

(D) ધારો કે $x = 4 + \sqrt{15}$ અને $y = 4 - \sqrt{15}$. તો $x+y = 8$ અને $xy = 1$.
ગણતરી કરતા અંશ $20\sqrt{10}$ મળે છે અને છેદ $26\sqrt{10}$ મળે છે.
ગુણોત્તર $\frac{20\sqrt{10}}{26\sqrt{10}} = \frac{10}{13}$ થાય છે.

(B) આપેલ છે $x = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$ અને $y = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$.
પ્રથમ,$x + y$ અને $xy$ ની ગણતરી કરો:
$x + y = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2 + (\sqrt{5} - \sqrt{2})^2}{(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})} = \frac{14}{3}$.
$xy = 1$.
હવે,$3x^2 - 3y^2 + 4xy = 3(x - y)(x + y) + 4xy$.
$(x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy = (\frac{14}{3})^2 - 4 = \frac{160}{9}$.
તેથી,$x - y = \frac{4\sqrt{10}}{3}$.
કિંમતો મૂકતા:
$3(\frac{4\sqrt{10}}{3})(\frac{14}{3}) + 4 = \frac{56\sqrt{10}}{3} + 4 = \frac{1}{3}[56\sqrt{10} + 12]$.

(C) ધારો કે $y = 0.c\overline{ab}$.
આને $y = \frac{cab - c}{990}$ તરીકે લખી શકાય.
અંકોનું વિસ્તરણ કરતા,$cab = 100c + 10a + b$ મળે.
આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા,$y = \frac{(100c + 10a + b) - c}{990}$ મળે.
અંશનું સાદું રૂપ આપતા,$y = \frac{99c + 10a + b}{990}$ મળે.

(B) આપેલ છે કે $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી: $\log_{10} \sin x + \log_{10} \cos x = -1$
$\Rightarrow \log_{10}(\sin x \cos x) = -1$
$\Rightarrow \sin x \cos x = 10^{-1} = \frac{1}{10} \quad ....(1)$
બીજા સમીકરણ પરથી: $\log_{10}(\sin x + \cos x) = \frac{1}{2}(\log_{10} n - \log_{10} 10) = \frac{1}{2} \log_{10} \left(\frac{n}{10}\right) = \log_{10} \sqrt{\frac{n}{10}}$
$\Rightarrow \sin x + \cos x = \sqrt{\frac{n}{10}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(\sin x + \cos x)^2 = \frac{n}{10}$
$\sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x = \frac{n}{10}$
$1 + 2 \left(\frac{1}{10}\right) = \frac{n}{10}$
$1 + \frac{1}{5} = \frac{n}{10}$
$\frac{6}{5} = \frac{n}{10}$
$n = \frac{6 \times 10}{5} = 12$.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$1) \log _{1 / 3}(x+y)+\log _3(x-y)=2$
$2) 2^{y^2}=512^{x+1}$
સમીકરણ $(1)$ પરથી:
$-\log _3(x+y)+\log _3(x-y)=2$
$\log _3\left(\frac{x-y}{x+y}\right)=2$
$\frac{x-y}{x+y}=3^2=9$
$x-y=9x+9y$
$-8x=10y \Rightarrow y = -\frac{4}{5}x$
સમીકરણ $(2)$ પરથી:
$2^{y^2}=(2^9)^{x+1} = 2^{9(x+1)}$
$y^2=9(x+1)$
$y = -\frac{4}{5}x$ ને $y^2=9(x+1)$ માં મૂકતા:
$\left(-\frac{4}{5}x\right)^2=9(x+1)$
$\frac{16}{25}x^2=9x+9$
$16x^2=225x+225$
$16x^2-225x-225=0$
$(16x+15)(x-15)=0$
તેથી,$x=15$ અથવા $x=-\frac{15}{16}$.
$x=15$ માટે,$y=-\frac{4}{5}(15)=-12$. ડોમેન તપાસતા: $x+y=3 > 0$ અને $x-y=27 > 0$. આ એક માન્ય ઉકેલ છે.
$x=-\frac{15}{16}$ માટે,$y=\frac{3}{4}$. ડોમેન તપાસતા: $x+y=-\frac{3}{16} < 0$. આ માન્ય નથી.
આમ,માત્ર $1$ ઉકેલ જોડી $(15, -12)$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $2^a + 2^{2b} + 2^{3c} = 328$ છે.
અહીં $328 = 2^6 + 2^8 + 2^3$ તરીકે લખી શકાય.
જો આપણે $c=1$ લઈએ,તો $2^a + 2^{2b} = 328 - 8 = 320$.
$320 = 2^6 \times 5$ હોવાથી,$a=6$ અને $1 + 2^{2b-6} = 5$ મળે.
તેથી $2^{2b-6} = 4 = 2^2$,એટલે કે $2b-6=2$,જેનો અર્થ $b=4$ થાય.
આમ,$(a, b, c) = (6, 4, 1)$.
હવે,$\frac{a + 2b + 3c}{abc} = \frac{6 + 2(4) + 3(1)}{6 \times 4 \times 1} = \frac{17}{24}$.

(B) ધારો કે $x = 0.75$.
આપેલ પદાવલિ $\frac{x^3}{1-x} + (x + x^2 + 1)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(1-x)(1+x+x^2) = 1-x^3$.
તેથી,પદાવલિ $\frac{x^3 + (1-x)(1+x+x^2)}{1-x} = \frac{x^3 + 1 - x^3}{1-x} = \frac{1}{1-x}$ બને છે.
$x = 0.75$ મૂકતા:
$\frac{1}{1-0.75} = \frac{1}{0.25} = 4$.
પરિણામનું વર્ગમૂળ $\sqrt{4} = 2$ થાય.

(D) આપેલ સમીકરણ: $3^{(x/y)+1} - 3^{(x/y)-1} = 24$
ધારો કે $u = x/y$. તો સમીકરણ $3^{u+1} - 3^{u-1} = 24$ બને છે.
$3^{u-1}$ સામાન્ય લેતા:
$3^{u-1} \cdot (3^2 - 1) = 24$
$3^{u-1} \cdot (9 - 1) = 24$
$3^{u-1} \cdot 8 = 24$
$3^{u-1} = 3$
તેથી $u - 1 = 1$,જેનો અર્થ છે કે $u = 2$.
આમ,$x/y = 2$.
આપણે $\frac{x+y}{x-y}$ ની કિંમત શોધવાની છે. અંશ અને છેદને $y$ વડે ભાગતા:
$\frac{x/y + 1}{x/y - 1} = \frac{2 + 1}{2 - 1} = \frac{3}{1} = 3$.

(A) આપેલ છે $p = 99$ અને $q = 101$.
$p_1 = \log_{10} \left(\frac{99+101}{2}\right) = \log_{10} 100 = 2$.
$q_1 = \frac{1}{2}(\log_{10} 99 + \log_{10} 101) = \log_{10} \sqrt{99 \times 101} = \log_{10} \sqrt{9999}$.
$9999 < 10000$ હોવાથી,$\sqrt{9999} < 100$,તેથી $q_1 < \log_{10} 100 = 2$.
આમ,$p_1 > q_1$.
સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યકની અસમતા મુજબ,કોઈપણ બે ધન સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ માટે,જો $a \neq b$ હોય તો $\frac{a+b}{2} > \sqrt{ab}$.
$p_1 > q_1$ હોવાથી,$\frac{p_1+q_1}{2} > \sqrt{p_1 q_1}$.
બંને બાજુ $\log_{10}$ લેતા,$\log_{10} \left(\frac{p_1+q_1}{2}\right) > \log_{10} \sqrt{p_1 q_1} = \frac{1}{2}(\log_{10} p_1 + \log_{10} q_1)$.
આ દર્શાવે છે કે $p_2 > q_2$.
વળી,$p_1 > q_1$ હોવાથી,$\log_{10} p_1 > \log_{10} q_1$.
$p_1 > \frac{p_1+q_1}{2} > q_1$ હોવાથી,લઘુગણક વિધેય (જે વધતું વિધેય છે) લાગુ પાડતા $\log_{10} p_1 > p_2 > \log_{10} q_1$ મળે.
આથી,$\log_{10} p_1 > p_2 > q_2 > \log_{10} q_1$ મળે છે.

(C) ધારો કે $x = 1.\overline{41} = 1.414141...$ $(i)$
દશાંશ ચિહ્નને ખસેડવા માટે બંને બાજુ $100$ વડે ગુણતા:
$100x = 141.414141...$ (ii)
સમીકરણ (ii) માંથી સમીકરણ $(i)$ બાદ કરતા:
$100x - x = 141.414141... - 1.414141...$
$99x = 140$
$x = \frac{140}{99}$
તેથી,સંમેય સ્વરૂપ $\frac{140}{99}$ છે.

(D) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓ છે જ્યાં $c$ કર્ણ છે,તેથી $a^2 + b^2 = c^2$,જેનો અર્થ છે કે $a^2 = c^2 - b^2 = (c+b)(c-b)$.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા,$\log(a^2) = \log((c+b)(c-b)) = \log(c+b) + \log(c-b)$.
હવે,આપેલ પદ $E = \frac{\log_{c+b} a + \log_{c-b} a}{2 \log_{c+b} a \cdot \log_{c-b} a}$ છે.
આધાર બદલવાના નિયમ $\log_x y = \frac{\log y}{\log x}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{\frac{\log a}{\log(c+b)} + \frac{\log a}{\log(c-b)}}{2 \cdot \frac{\log a}{\log(c+b)} \cdot \frac{\log a}{\log(c-b)}}$.
અંશનું સાદું રૂપ: $\frac{\log a (\log(c-b) + \log(c+b))}{\log(c+b) \log(c-b)}$.
છેદનું સાદું રૂપ: $\frac{2 (\log a)^2}{\log(c+b) \log(c-b)}$.
આમ,$E = \frac{\log a \cdot \log(a^2)}{2 (\log a)^2} = \frac{\log a \cdot 2 \log a}{2 (\log a)^2} = 1$.

(B) આપેલ સમીકરણ $\log_{(x+1)}((x+1)(2x+3)) = 4 - \log_{(2x+3)}(x+1)^2$ છે.
$\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $1 + \log_{(x+1)}(2x+3) = 4 - 2 \log_{(2x+3)}(x+1)$ મળે છે.
ધારો કે $y = \log_{(x+1)}(2x+3)$. તો $\log_{(2x+3)}(x+1) = 1/y$.
સમીકરણ $1 + y = 4 - 2/y$ બને છે.
$y$ વડે ગુણતા $(y \neq 0)$,આપણને $y + y^2 = 4y - 2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $y^2 - 3y + 2 = 0$ થાય છે.
અવયવ પાડતા $(y-1)(y-2) = 0$ મળે,તેથી $y=1$ અથવા $y=2$.
કિસ્સો $1$: $\log_{(x+1)}(2x+3) = 1 \implies x+1 = 2x+3 \implies x = -2$. આધારની શરતો $(x+1 > 0, x+1 \neq 1)$ ચકાસતા,$x = -2$ અમાન્ય છે.
કિસ્સો $2$: $\log_{(x+1)}(2x+3) = 2 \implies (x+1)^2 = 2x+3 \implies x^2 + 2x + 1 = 2x+3 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm \sqrt{2}$.
શરતો ચકાસતા: $x = -\sqrt{2}$ માટે,આધાર $x+1 = 1-\sqrt{2} < 0$ છે,જે અમાન્ય છે. $x = \sqrt{2}$ માટે,આધાર $x+1 = 1+\sqrt{2} > 0$ અને $2x+3 = 2\sqrt{2}+3 > 0$ માન્ય છે.
આમ,એકમાત્ર વાસ્તવિક ઉકેલ $x = \sqrt{2}$ છે.
તમામ વાસ્તવિક ઉકેલોના વર્ગોનો સરવાળો $(\sqrt{2})^2 = 2$ છે.