Logarithms Questions in Gujarati

(B) આપેલ સમીકરણ ${x^y} = {y^x}$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $y \ln x = x \ln y$.
આ સૂચવે છે કે $\frac{\ln x}{x} = \frac{\ln y}{y}$.
ધારો કે $x/y = r$,તેથી $x = ry$.
મૂળ સમીકરણમાં $x = ry$ મૂકતા: ${(ry)^y} = {y^{ry}}$.
$y$-મું મૂળ લેતા: $ry = y^r$,જેનું સાદું રૂપ $r = y^{r-1}$ થાય છે.
આમ,$y = r^{1/(r-1)}$.
પછી $x = ry = r \cdot r^{1/(r-1)} = r^{r/(r-1)}$.
હવે પદ ${(x/y)^{(x/y)}} = r^r$ ધ્યાનમાં લો.
આપણે તેને $x^{(x/y) - k} = (r^{r/(r-1)})^{(r - k)}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવવા માંગીએ છીએ.
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $r = \frac{r}{r-1} (r - k)$.
$r$ વડે ભાગતા ($r \neq 0$ ધારતા): $1 = \frac{r-k}{r-1}$.
$r - 1 = r - k$,જે આપે છે $k = 1$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $4.9^{x - 1} = 3\sqrt{2^{2x + 1}}$
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા,ઉકેલ મેળવતા $x = 3$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: ${9^x} - {2^{x + 1/2}} = {2^{x + 3/2}} - {3^{2x - 1}}$
પદોને ફરીથી લખતા: ${(3^2)^x} - {2^x} \cdot {2^{1/2}} = {2^x} \cdot {2^{3/2}} - \frac{{3^{2x}}}{3}$
ધારો કે ${3^{2x}} = {9^x} = y$ અને ${2^x} = z$.
$y - z\sqrt 2 = z(2\sqrt 2) - \frac{y}{3}$
$y + \frac{y}{3} = z(2\sqrt 2 + \sqrt 2)$
$\frac{4y}{3} = 3z\sqrt 2$
$\frac{y}{z} = \frac{9\sqrt 2}{4} = \frac{9}{2\sqrt 2} = \frac{9}{\sqrt 8}$
કારણ કે $y = {9^x}$ અને $z = {2^x}$,તેથી $\frac{{9^x}}{{2^x}} = {(\frac{9}{2})^x} = \frac{9}{\sqrt 8}$
બંને બાજુ $\log_{9/2}$ લેતા:
$x = {\log _{9/2}}(\frac{9}{\sqrt 8})$

(A) ધારો કે $x = \log_{a}b$,$y = \log_{b}c$,અને $z = \log_{c}a$.
આપેલ છે કે $x + y + z = 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે જો $x + y + z = 0$,તો $x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$.
અહીં,$xyz = (\log_{a}b) \times (\log_{b}c) \times (\log_{c}a) = \frac{\ln b}{\ln a} \times \frac{\ln c}{\ln b} \times \frac{\ln a}{\ln c} = 1$.
તેથી,$x^3 + y^3 + z^3 = 3(1) = 3$.
$3$ એ એકી અવિભાજ્ય સંખ્યા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\log_{\sqrt{3}}(x^{3} - 1) = \log_{\sqrt{3}}(x - 1) + 2$
લઘુગણક વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$x^{3} - 1 > 0$ અને $x - 1 > 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $x > 1$.
$\log_{\sqrt{3}}(\frac{x^{3} - 1}{x - 1}) = 2$
$x^{3} - 1 = (x - 1)(x^{2} + x + 1)$ હોવાથી:
$\log_{\sqrt{3}}(x^{2} + x + 1) = 2$
ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં ફેરવતા:
$x^{2} + x + 1 = (\sqrt{3})^{2} = 3$
$x^{2} + x - 2 = 0$
અવયવ પાડતા:
$(x + 2)(x - 1) = 0$
$x = -2$ અથવા $x = 1$
શરત $x > 1$ હોવાથી,બંને ઉકેલો અમાન્ય છે.
તેથી,ઉકેલોની સંખ્યા $0$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $\ln(1 + \sin^2 x) = 1 - \ln(5 + x^2)$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\ln(1 + \sin^2 x) + \ln(5 + x^2) = 1$ મળે છે.
$\ln(a) + \ln(b) = \ln(ab)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\ln((1 + \sin^2 x)(5 + x^2)) = 1$ મળે છે.
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા,$(1 + \sin^2 x)(5 + x^2) = e^1 = e \approx 2.718$ મળે છે.
કારણ કે $0 \le \sin^2 x \le 1$,પદ $(1 + \sin^2 x)$ ની કિંમત $1$ થી $2$ ની વચ્ચે છે.
કારણ કે $x^2 \ge 0$,પદ $(5 + x^2)$ ઓછામાં ઓછું $5$ છે.
તેથી,ગુણાકાર $(1 + \sin^2 x)(5 + x^2) \ge 1 \times 5 = 5$ થાય છે.
કારણ કે $5 > e$,સમીકરણ સંતોષે તેવી $x$ ની કોઈ કિંમત નથી.
આમ,ઉકેલની સંખ્યા $0$ છે.

(A) આપેલ અસમતા: $5^{\frac{1}{4}(\log_5 x)^2} \geq 5 \cdot x^{\frac{1}{5}(\log_5 x)}$
બંને બાજુ $\log_5$ લેતા:
$\frac{1}{4}(\log_5 x)^2 \geq \log_5(5 \cdot x^{\frac{1}{5}\log_5 x})$
$\frac{1}{4}(\log_5 x)^2 \geq 1 + \frac{1}{5}(\log_5 x)^2$
ધારો કે $u = \log_5 x$. તો $\frac{1}{4}u^2 \geq 1 + \frac{1}{5}u^2$
$(\frac{1}{4} - \frac{1}{5})u^2 \geq 1$
$\frac{1}{20}u^2 \geq 1 \implies u^2 \geq 20$
$u \geq 2\sqrt{5}$ અથવા $u \leq -2\sqrt{5}$
$\log_5 x \geq 2\sqrt{5} \implies x \geq 5^{2\sqrt{5}}$
$\log_5 x \leq -2\sqrt{5} \implies x \leq 5^{-2\sqrt{5}}$
$x > 0$ હોવાથી,ઉકેલ $x \in (0, 5^{-2\sqrt{5}}] \cup [5^{2\sqrt{5}}, \infty)$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\ln(\ln x) = \log_x e$
$\log_x e = \frac{1}{\ln x}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,સમીકરણ $\ln(\ln x) = \frac{1}{\ln x}$ બને છે.
ધારો કે $t = \ln x$. તો સમીકરણ $\ln t = \frac{1}{t}$ અથવા $t \ln t = 1$ થાય.
ધારો કે $f(t) = t \ln t$. આપણે $f(t) = 1$ માટે ઉકેલોની સંખ્યા શોધવી છે જ્યાં $t > 0$ અને $\ln x$ વ્યાખ્યાયિત છે (એટલે કે $x > 0$ અને $\ln x > 0$,તેથી $t > 0$).
$t \in (0, 1]$ માટે,$f(t) = t \ln t \le 0$,તેથી કોઈ ઉકેલ નથી.
$t > 1$ માટે,$f(t)$ એ $0$ થી $\infty$ સુધીનું ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
$f(1) = 0$ અને $\lim_{t \to \infty} f(t) = \infty$ હોવાથી,ઇન્ટરમીડિયેટ વેલ્યુ થિયરમ મુજબ,એક એવી ચોક્કસ કિંમત $t_0 > 1$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f(t_0) = 1$ થાય.
$t = \ln x$ હોવાથી,$x = e^{t_0}$ એ અનન્ય ઉકેલ છે.
આમ,ઉકેલોની સંખ્યા $1$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\log _{10} x + \log _{10} y = 2$.
$\log a + \log b = \log (ab)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\log _{10} (xy) = 2$ મળે.
આથી $xy = 10^2 = 100$.
ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ માટે,સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક $(AM-GM)$ અસમતા મુજબ,$\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}$.
$xy = 100$ મૂકતા,$\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{100}$ મળે.
$\frac{x+y}{2} \geq 10$.
તેથી,$x+y \geq 20$.
આમ,$(x+y)$ ની ન્યૂનતમ શક્ય કિંમત $20$ છે.

(A) ધારો કે $u = \log_6 x$. તો $\log_{1/6} x = -u$,$\log_2 x = \log_2 6 \cdot u$,અને $\log_{1/2} x = -\log_2 6 \cdot u$.
આપેલ સમીકરણ: $|1 + u| + |u \log_2 6| + 2 = |3 + u - u \log_2 6|$.
$|A| + |B| + |C| = |A+B+C|$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $A, B, C$ સમાન ચિહ્ન ધરાવે છે.
અહીં $A = 1+u$,$B = u \log_2 6$,$C = 2$ હોવાથી $u \ge 0$ મળે.
તેથી $1 \le x \le 4$ મળે છે,જ્યાં $a=4, b=1$.
તેથી $a+b = 5$.

(B) ધારો કે $t = \sqrt{\log_3(x) - 1}$. વર્ગમૂળ વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે,$\log_3(x) - 1 \ge 0$,તેથી $\log_3(x) \ge 1$,જેનો અર્થ છે $x \ge 3$. ઉપરાંત,$t \ge 0$.
પછી $\log_3(x) = t^2 + 1$.
અસમતા $t + \frac{\frac{1}{2} \cdot 3 \log_3(x)}{-1} + 2 > 0$ બને છે.
$\log_3(x) = t^2 + 1$ મૂકતા,આપણને $t - \frac{3}{2}(t^2 + 1) + 2 > 0$ મળે છે.
$t - \frac{3}{2}t^2 - \frac{3}{2} + 2 > 0 \Rightarrow -\frac{3}{2}t^2 + t + \frac{1}{2} > 0$.
$-2$ વડે ગુણતા,આપણને $3t^2 - 2t - 1 < 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(3t + 1)(t - 1) < 0$.
આ $-\frac{1}{3} < t < 1$ માટે સાચું છે. કારણ કે $t \ge 0$,આપણી પાસે $0 \le t < 1$ છે.
$t = \sqrt{\log_3(x) - 1}$ પાછું મૂકતા,આપણને $0 \le \sqrt{\log_3(x) - 1} < 1$ મળે છે.
વર્ગ કરતા $0 \le \log_3(x) - 1 < 1$,તેથી $1 \le \log_3(x) < 2$.
આનો અર્થ છે $3^1 \le x < 3^2$,અથવા $3 \le x < 9$.
આને સંતોષતા પૂર્ણાંકો $3, 4, 5, 6, 7, 8$ છે.
આવા $6$ પૂર્ણાંકો છે.

(C) ધારો કે પદ $E = \log_{\frac{1}{8}\csc^2\frac{\pi}{8}} \sin^2\frac{3\pi}{8}$ છે.
પ્રથમ,આધારની ગણતરી કરો: $\csc^2\frac{\pi}{8} = \frac{1}{\sin^2\frac{\pi}{8}} = \frac{1}{\frac{1-\cos(\pi/4)}{2}} = \frac{2}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}} = 4+2\sqrt{2}$.
તેથી,આધાર $\frac{1}{8}(4+2\sqrt{2}) = \frac{2+\sqrt{2}}{4}$ થાય.
આગળ,દલીલની ગણતરી કરો: $\sin^2\frac{3\pi}{8} = \frac{1-\cos(3\pi/4)}{2} = \frac{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}{2} = \frac{\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}} = \frac{2+\sqrt{2}}{4}$.
આમ,$E = \log_{\frac{2+\sqrt{2}}{4}} \left(\frac{2+\sqrt{2}}{4}\right) = 1$.

(C) ધારો કે $u = \log_{x}y$. તેથી $\log_{y}x = \frac{1}{u}$.
આપેલ છે કે $\frac{1}{u} + u = \frac{5}{2}$,જેનો અર્થ છે $2u^2 - 5u + 2 = 0$.
$u$ માટે ઉકેલતા,આપણને $(2u - 1)(u - 2) = 0$ મળે છે,તેથી $u = 2$ અથવા $u = \frac{1}{2}$.
$y > x > 1$ હોવાથી,$\log_{x}y > 1$,તેથી $u = 2$,જેનો અર્થ છે $y = x^2$.
ધારો કે $v = \log_{y}z$. તેથી $\log_{z}y = \frac{1}{v}$.
આપેલ છે કે $\frac{1}{v} + v = \frac{10}{3}$,જેનો અર્થ છે $3v^2 - 10v + 3 = 0$.
$v$ માટે ઉકેલતા,આપણને $(3v - 1)(v - 3) = 0$ મળે છે,તેથી $v = 3$ અથવા $v = \frac{1}{3}$.
$z > y > 1$ હોવાથી,$\log_{y}z > 1$,તેથી $v = 3$,જેનો અર્થ છે $z = y^3$.
$y = x^2$ ને $z = y^3$ માં મૂકતા,આપણને $z = (x^2)^3 = x^6$ મળે છે.
તેથી,$\log_{x}z = \log_{x}(x^6) = 6$.

(C) લઘુગણક $\log_{b}(a)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$a > 0$,$b > 0$ અને $b \neq 1$ હોવું જોઈએ.
$1$. દલીલ માટે: $x^2 - 14x + 45 > 0$
$(x - 5)(x - 9) > 0$
$x \in (-\infty, 5) \cup (9, \infty) \dots (1)$
$2$. આધાર માટે: $4 - x > 0$ અને $4 - x \neq 1$
$x < 4$ અને $x \neq 3 \dots (2)$
$3$. $(1)$ અને $(2)$ નો છેદગણ:
$x \in (-\infty, 3) \cup (3, 4)$
આપણે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $(x \in \{1, 2, 3, \dots\})$ શોધી રહ્યા હોવાથી,જે $x$ ની કિંમતો શરતનું પાલન કરે છે તે $x = 1$ અને $x = 2$ છે.
આ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $1 + 2 = 3$ થાય છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\log_{7}(2^{x} - 1) + \log_{7}(2^{x} - 7) = 1$
લઘુગણક વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$2^{x} - 1 > 0$ અને $2^{x} - 7 > 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $2^{x} > 7$.
$\log_{b}(m) + \log_{b}(n) = \log_{b}(mn)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\log_{7}((2^{x} - 1)(2^{x} - 7)) = 1$
એન્ટિ-લોગ લેતા:
$(2^{x} - 1)(2^{x} - 7) = 7$
ધારો કે $t = 2^{x}$. તો:
$(t - 1)(t - 7) = 7$
$t^{2} - 8t + 7 = 7$
$t^{2} - 8t = 0$
$t(t - 8) = 0$
તેથી,$t = 0$ અથવા $t = 8$.
$t = 2^{x}$ હોવાથી,$2^{x} = 0$ (જેનો કોઈ ઉકેલ નથી) અથવા $2^{x} = 8$.
$2^{x} = 2^{3} \implies x = 3$.
શરત $2^{x} > 7$ તપાસતા: $x = 3$ માટે,$2^{3} = 8 > 7$,જે માન્ય છે.
આમ,માત્ર $1$ ઉકેલ મળે છે.

(C) ધારો કે $t = \sqrt{56 + \sqrt{56 + \sqrt{56 + \dots \infty}}}$.
તેથી $t = \sqrt{56 + t}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $t^2 = 56 + t$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $t^2 - t - 56 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા,આપણને $(t - 8)(t + 7) = 0$ મળે છે.
કારણ કે $t$ એ વર્ગમૂળ દર્શાવે છે,$t$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી $t = 8$.
હવે,$x$ ના સમીકરણમાં $t$ ની કિંમત મૂકતા: $x = \log _2(8)$.
કારણ કે $8 = 2^3$,આપણને $x = \log _2(2^3) = 3$ મળે છે.
$x = 3$ હોવાથી,તે $2 < x < 4$ શરતનું પાલન કરે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $x^{1 + \log_{10} x} = 100000x$
બંને બાજુ $\log_{10}$ લેતા:
$(1 + \log_{10} x) \cdot \log_{10} x = \log_{10} (100000x)$
ધારો કે $y = \log_{10} x$. તો સમીકરણ નીચે મુજબ બનશે:
$(1 + y)y = \log_{10} (10^5) + \log_{10} x$
$y + y^2 = 5 + y$
$y^2 = 5$
$y = \pm \sqrt{5}$
કારણ કે $y = \log_{10} x$,તેથી $\log_{10} x = \sqrt{5}$ અથવા $\log_{10} x = -\sqrt{5}$ મળે.
આમ,$x_1 = 10^{\sqrt{5}}$ અને $x_2 = 10^{-\sqrt{5}}$.
ઉકેલોનો ગુણાકાર $x_1 \cdot x_2 = 10^{\sqrt{5}} \cdot 10^{-\sqrt{5}} = 10^{\sqrt{5} - \sqrt{5}} = 10^0 = 1$ થાય.

(A) આપેલ વિધેય $\phi (x) = x + 2^{\log_x 3} - 3^{\log_x 2}$ છે.
લઘુગણકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$,આપણે પદોને સરળ બનાવી શકીએ છીએ.
પદ $2^{\log_x 3}$ ને ધ્યાનમાં લો. ગુણધર્મ મુજબ,$2^{\log_x 3} = 3^{\log_x 2}$ થાય.
આ કિંમત વિધેયમાં મૂકતા: $\phi (x) = x + 3^{\log_x 2} - 3^{\log_x 2} = x$ મળે.
હવે,વિકલ્પો તપાસો:
વિકલ્પ $A$ માટે: $\phi (2) = 2$. આ સાચું છે.
વિકલ્પ $B$ માટે: $\phi (1)$ અવ્યાખ્યાયિત છે કારણ કે લઘુગણકનો આધાર $x > 0$ અને $x \neq 1$ હોવો જોઈએ.
વિકલ્પ $C$ માટે: $\phi (-1.5)$ અવ્યાખ્યાયિત છે કારણ કે લઘુગણકનો આધાર ધન હોવો જોઈએ.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ધારો કે $S = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \ldots \infty$. આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{1}{3}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{3}$ છે.
$S = \frac{a}{1-r}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$S = \frac{1/3}{1 - 1/3} = \frac{1/3}{2/3} = \frac{1}{2}$ મળે.
હવે,પદાવલિ $(0.16)^{\log_{2.5}(1/2)}$ છે.
નોંધો કે $0.16 = \frac{16}{100} = \frac{4}{25} = (2.5)^{-2}$.
તેથી,પદાવલિ $((2.5)^{-2})^{\log_{2.5}(1/2)}$ બને છે.
$(a^b)^c = a^{bc}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$(2.5)^{-2 \log_{2.5}(1/2)} = (2.5)^{\log_{2.5}((1/2)^{-2})}$ મળે.
$a^{\log_a(x)} = x$ હોવાથી,પદાવલિ $(1/2)^{-2} = 2^2 = 4$ માં પરિણમે છે.

(D) આપેલ શ્રેણી $\sum_{n=2}^{21} \log_{7^{1/n}} x = 460$ છે.
$\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\log_{7^{1/n}} x = n \log_7 x$ મળે.
તેથી,સરવાળો $\sum_{n=2}^{21} n \log_7 x = 460$ થાય.
$\log_7 x \cdot (2 + 3 + 4 + \dots + 21) = 460$.
સમાંતર શ્રેણી $2 + 3 + \dots + 21$ નો સરવાળો $\frac{20}{2} (2 + 21) = 10 \times 23 = 230$ છે.
તેથી,$230 \cdot \log_7 x = 460$.
$\log_7 x = 2$.
આમ,$x = 7^2 = 49$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\log _{4}(x-1)=\log _{2}(x-3)$
$\log _{a^n}(b) = \frac{1}{n} \log _{a}(b)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2} \log _{2}(x-1)=\log _{2}(x-3)$
$\log _{2}(x-1)^{1/2}=\log _{2}(x-3)$
બંને બાજુના પદોને સરખાવતા:
$(x-1)^{1/2} = x-3$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$x-1 = (x-3)^2$
$x-1 = x^2 - 6x + 9$
$x^2 - 7x + 10 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(x-2)(x-5) = 0$
$x = 2$ અથવા $x = 5$
મૂળ સમીકરણનો પ્રદેશ તપાસતા:
$\log _{2}(x-3)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે $x-3 > 0$,એટલે કે $x > 3$.
$\log _{4}(x-1)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે $x-1 > 0$,એટલે કે $x > 1$.
આથી,પ્રદેશ $x > 3$ છે.
$x=2$ એ પ્રદેશમાં નથી $(2 < 3)$,તેથી તે ઉકેલ શક્ય નથી.
માત્ર $x=5$ એ સાચો ઉકેલ છે.
તેથી,ઉકેલોની સંખ્યા $1$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $x+1-2 \log _{2}\left(3+2^{x}\right)+2 \log _{4}\left(10-2^{-x}\right)=0$
$\log _{4} a = \frac{1}{2} \log _{2} a$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x+1-2 \log _{2}\left(3+2^{x}\right)+\log _{2}\left(10-2^{-x}\right)=0$
$\log _{2}\left(2^{x+1}\right)-\log _{2}\left(3+2^{x}\right)^{2}+\log _{2}\left(10-2^{-x}\right)=0$
$\log _{2}\left(\frac{2^{x+1} \cdot (10-2^{-x})}{(3+2^{x})^{2}}\right)=0$
$\frac{2 \cdot 2^{x} \cdot (10-2^{-x})}{(3+2^{x})^{2}}=1$
$\frac{2(10 \cdot 2^{x}-1)}{(3+2^{x})^{2}}=1$
$20 \cdot 2^{x}-2 = 9 + 2^{2x} + 6 \cdot 2^{x}$
$(2^{x})^{2} - 14(2^{x}) + 11 = 0$
ધારો કે $2^{x} = t$. તેથી $t^{2} - 14t + 11 = 0$. બીજ $t_{1} = 2^{x_{1}}$ અને $t_{2} = 2^{x_{2}}$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના બીજનો ગુણાકાર $t_{1} \cdot t_{2} = 11$ છે.
$2^{x_{1}} \cdot 2^{x_{2}} = 11 \Rightarrow 2^{x_{1}+x_{2}} = 11$
$x_{1}+x_{2} = \log _{2}(11)$

(D) આપેલ સમીકરણ: $\log _{(x+1)}(2 x^{2}+7 x+5)+\log _{(2 x+5)}(x+1)^{2}-4=0$.
અવયવ પાડતા: $2x^2+7x+5 = (2x+5)(x+1)$.
લોગના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા: $\log _{(x+1)}(2x+5)(x+1) + 2\log _{(2x+5)}(x+1) - 4 = 0$.
$\log _{(x+1)}(2x+5) + 1 + 2\log _{(2x+5)}(x+1) - 4 = 0$.
ધારો કે $t = \log _{(x+1)}(2x+5)$. તો $\log _{(2x+5)}(x+1) = \frac{1}{t}$.
સમીકરણ $t + 1 + \frac{2}{t} - 4 = 0$ બને છે,જે $t + \frac{2}{t} - 3 = 0$ માં પરિણમે છે.
$t$ વડે ગુણતા: $t^2 - 3t + 2 = 0$,તેથી $(t-1)(t-2) = 0$.
કિસ્સો $1$: $t=1$ $\Rightarrow \log _{(x+1)}(2x+5) = 1$ $\Rightarrow 2x+5 = x+1$ $\Rightarrow x = -4$. $x > 0$ હોવાથી,આ ઉકેલ અમાન્ય છે.
કિસ્સો $2$: $t=2$ $\Rightarrow \log _{(x+1)}(2x+5) = 2$ $\Rightarrow 2x+5 = (x+1)^2$ $\Rightarrow 2x+5 = x^2+2x+1$ $\Rightarrow x^2 = 4$.
$x > 0$ હોવાથી,$x = 2$.
આમ,માત્ર $1$ ઉકેલ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $2 \log (x - 2y) = \log x + \log y$.
$n \log a = \log a^n$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા: $\log (x - 2y)^2 = \log (xy)$.
લોગ દૂર કરતા: $(x - 2y)^2 = xy$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 - 4xy + 4y^2 = xy$.
પદોને ગોઠવતા: $x^2 - 5xy + 4y^2 = 0$.
$y^2$ વડે ભાગતા ($y > 0$ હોવાથી): $\left(\frac{x}{y}\right)^2 - 5\left(\frac{x}{y}\right) + 4 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $\left(\frac{x}{y} - 1\right)\left(\frac{x}{y} - 4\right) = 0$.
આથી બે શક્ય કિંમતો મળે છે: $\frac{x}{y} = 1$ અથવા $\frac{x}{y} = 4$.
પરંતુ,શરત $x > 2y$ નો અર્થ છે કે $\frac{x}{y} > 2$.
તેથી,$\frac{x}{y} = 1$ શક્ય નથી.
માત્ર એક જ શક્ય કિંમત $\frac{x}{y} = 4$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\log _{(3x-1)}(x-2) = \log _{(9x^2-6x+1)}(2x^2-10x-2)$.
અહીં $9x^2-6x+1 = (3x-1)^2$ છે.
ગુણધર્મ $\log_{a^n}(b) = \frac{1}{n} \log_a(b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\log _{(3x-1)}(x-2) = \frac{1}{2} \log _{(3x-1)}(2x^2-10x-2)$.
તેથી,$\log _{(3x-1)}(x-2)^2 = \log _{(3x-1)}(2x^2-10x-2)$.
ઘાતાંક સરખાવતા: $(x-2)^2 = 2x^2-10x-2$.
$x^2-4x+4 = 2x^2-10x-2$.
$x^2-6x-6 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = 3 \pm \sqrt{15}$ મળે.
લઘુગણક વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$x-2 > 0$ હોવું જોઈએ.
જો $x = 3-\sqrt{15}$ લઈએ,તો $x-2 < 0$ થાય,જે શક્ય નથી.
જો $x = 3+\sqrt{15}$ લઈએ,તો તે શરતોનું પાલન કરે છે.
તેથી,$x = 3+\sqrt{15}$.

(A) આપેલ અસમતા: $\log _2 \log _2 \log _2 \log _2 \log _2(n) < 0 < \log _2 \log _2 \log _2 \log _2(n)$.
પ્રથમ,$\log _2 \log _2 \log _2 \log _2(n) > 0$ ધ્યાનમાં લો:
$\log _2 \log _2 \log _2 \log _2(n) > 0 \implies \log _2 \log _2 \log _2(n) > 1 \implies \log _2 \log _2(n) > 2 \implies \log _2(n) > 4 \implies n > 2^4 = 16$.
ત્યારબાદ,$\log _2 \log _2 \log _2 \log _2 \log _2(n) < 0$ ધ્યાનમાં લો:
$\log _2 \log _2 \log _2 \log _2 \log _2(n) < 0 \implies \log _2 \log _2 \log _2 \log _2(n) < 1 \implies \log _2 \log _2 \log _2(n) < 2 \implies \log _2 \log _2(n) < 4 \implies \log _2(n) < 16 \implies n < 2^{16} = 65536$.
આમ,$16 < n < 65536$.
$n$ ના બાઈનરી વિસ્તરણમાં અંકોની સંખ્યા $l = \lfloor \log_2(n) \rfloor + 1$ દ્વારા મળે છે.
$n > 16$ માટે,ન્યૂનતમ કિંમત $\lfloor \log_2(16 + 1) \rfloor + 1 = 4 + 1 = 5$ છે.
$n < 65536$ માટે,મહત્તમ કિંમત $\lfloor \log_2(65535) \rfloor + 1 = 15 + 1 = 16$ છે.
તેથી,$l$ ની ન્યૂનતમ અને મહત્તમ કિંમતો $5$ અને $16$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\log _a b + \log _b a = c$.
$a, b > 1$ હોવાથી,$\log _a b$ અને $\log _b a$ બંને ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે.
સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક $(AM-GM)$ અસમતા મુજબ,કોઈપણ બે ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ માટે,$\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}$.
ધારો કે $x = \log _a b$ અને $y = \log _b a$.
તેથી $\frac{\log _a b + \log _b a}{2} \geq \sqrt{\log _a b \cdot \log _b a}$.
$\log _a b = \frac{1}{\log _b a}$ હોવાથી,$\log _a b \cdot \log _b a = 1$ થાય.
આમ,$\frac{c}{2} \geq \sqrt{1} = 1$.
આથી $c \geq 2$.
$c$ ની શક્ય ન્યૂનતમ પૂર્ણાંક કિંમત $2$ છે.

(B) ધારો કે સંખ્યાઓનો ગણ $S = \{2, 4, 6, 8, 20, 22, 24, 26, 28, 40, \dots \}$ છે.
આ સંખ્યાઓ $5$ અંકો $\{0, 2, 4, 6, 8\}$ નો ઉપયોગ કરીને બનાવવામાં આવે છે.
કારણ કે $0$ પ્રથમ અંક હોઈ શકે નહીં,$n$-મી સંખ્યા $a_n$ ને $5$ ના આધાર (base-$5$) સાથે સંબંધિત કરી શકાય છે.
ધારો કે $n$ ને $5$ ના આધારમાં $(d_k d_{k-1} \dots d_0)_5$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે. $n$-મી સંખ્યા $a_n$ એ અંકો $0, 1, 2, 3, 4$ ને અનુક્રમે $0, 2, 4, 6, 8$ સાથે બદલીને મેળવવામાં આવે છે.
મોટા $n$ માટે,$a_n \approx 2 \cdot 10^{\log_5 n}$.
લોગરીધમ લેતા,$\log a_n \approx \log 2 + \log_5 n \cdot \log 10 = \log 2 + \frac{\log n}{\log 5} \cdot \log 10$.
$\log n$ વડે ભાગતા અને $n \rightarrow \infty$ લેતા:
$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\log a_n}{\log n} = \frac{\log 10}{\log 5} = \log_5 10$.

(B) આપેલ સંખ્યા $n = 15^2 \times 5^{18}$ છે.
$n = (3 \times 5)^2 \times 5^{18} = 3^2 \times 5^2 \times 5^{18} = 9 \times 5^{20}$.
અંકોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $\log_{10} n = \log_{10} (9 \times 5^{20}) = \log_{10} 9 + 20 \log_{10} 5$ ગણીએ છીએ.
$\log_{10} 3 \approx 0.4771$ અને $\log_{10} 5 \approx 0.6990$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\log_{10} n = 2 \times 0.4771 + 20 \times 0.6990 = 0.9542 + 13.98 = 14.9342$.
કેરેક્ટરિસ્ટિક $14$ હોવાથી,સંખ્યા $n$ માં $14 + 1 = 15$ અંકો છે.
$15$ અંકની સંખ્યા માટે અંકોનો મહત્તમ સરવાળો $9 \times 15 = 135$ છે. જોકે,$n = 9 \times 5^{20}$ નો છેલ્લો અંક $5$ છે.
તેથી અંકોનો સરવાળો $S$ એ $S \leq 9 \times 14 + 5 = 126 + 5 = 131$ નું પાલન કરે છે.
આમ,$6 \leq S < 140$.

(B) આપેલ સમીકરણો $a^x = \frac{9}{5}$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a$ એ આધાર છે.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા,$x \ln(a) = \ln(1.8)$,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{\ln(1.8)}{\ln(a)}$.
ચૂંક $\ln(1.8) > 0$ છે,તેથી $x$ ત્યારે સૌથી મોટો હશે જ્યારે $\ln(a)$ સૌથી નાનો અને ધન હોય,જે ત્યારે થાય છે જ્યારે આધાર $a$ એ $1$ ની સૌથી નજીક હોય (પરંતુ $1$ કરતા મોટો).
ધારો કે આધાર $a_1 = 1 + \frac{r}{\pi}$,$a_2 = 1 + \frac{r}{17}$,$a_3 = 1 + 2r$,અને $a_4 = 1 + \frac{1}{r}$ છે.
$0 < r < 4$ આપેલ હોવાથી,આપણે કિંમતોની સરખામણી કરીએ છીએ:
$a_2 = 1 + \frac{r}{17}$ એ સૌથી નાની કિંમત છે કારણ કે $r \in (0, 4)$ માટે $\frac{r}{17}$ એ સૌથી નાનો વધારો છે.
ચૂંક $a_2$ એ $1$ કરતા મોટો સૌથી નાનો આધાર છે,તેથી $\frac{9}{5}$ ની કિંમત મેળવવા માટે જરૂરી ઘાતાંક $x$ સૌથી મોટો હોવો જોઈએ.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) આપેલ છે કે $\log _a b=4$ અને $\log _c d=2$,જ્યાં $a, b, c, d \in \mathbb{N}$.
લઘુગણકની વ્યાખ્યા મુજબ,$b=a^4$ અને $d=c^2$ થાય.
$b-d=7$ આપેલ હોવાથી,$b$ અને $d$ ની કિંમતો મૂકતા:
$a^4-c^2=7$
આને $(a^2)^2 - c^2 = 7$ તરીકે લખી શકાય,જેનું અવયવીકરણ $(a^2-c)(a^2+c)=7$ થાય.
$a, c \in \mathbb{N}$ હોવાથી,$a^2+c$ અને $a^2-c$ એ $7$ ના અવયવો છે. $a^2+c > a^2-c$ અને $7$ અવિભાજ્ય સંખ્યા હોવાથી:
$a^2+c=7$ અને $a^2-c=1$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2a^2 = 8$ $\Rightarrow a^2 = 4$ $\Rightarrow a = 2$ ($a \in \mathbb{N}$ હોવાથી).
$a=2$ ને $a^2+c=7$ માં મૂકતા: $4+c=7 \Rightarrow c=3$.
તેથી,$c-a = 3-2 = 1$.

(C) આપેલ છે કે $\log_{a} b = 10$,જેનો અર્થ છે કે $\log b = 10 \log a$.
પદાવલિ $\frac{\log_{a} x \cdot \log_{x}(\frac{b}{a})}{\log_{x} b \cdot \log_{ab} x}$ છે.
બેઝ બદલવાના સૂત્ર $\log_{m} n = \frac{\log n}{\log m}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\log_{a} x = \frac{\log x}{\log a}$,$\log_{x}(\frac{b}{a}) = \frac{\log b - \log a}{\log x}$,$\log_{x} b = \frac{\log b}{\log x}$,અને $\log_{ab} x = \frac{\log x}{\log a + \log b}$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{p}{q} = \frac{(\frac{\log x}{\log a}) \cdot (\frac{\log b - \log a}{\log x})}{(\frac{\log b}{\log x}) \cdot (\frac{\log x}{\log a + \log b})} = \frac{\frac{\log b - \log a}{\log a}}{\frac{\log b}{\log a + \log b}} = \frac{(\log b - \log a)(\log a + \log b)}{\log a \cdot \log b} = \frac{(\log b)^2 - (\log a)^2}{\log a \cdot \log b}$.
$\log b = 10 \log a$ હોવાથી,આ કિંમત મૂકતા:
$\frac{p}{q} = \frac{(10 \log a)^2 - (\log a)^2}{\log a \cdot (10 \log a)} = \frac{100(\log a)^2 - (\log a)^2}{10(\log a)^2} = \frac{99(\log a)^2}{10(\log a)^2} = \frac{99}{10}$.
$p=99$ અને $q=10$ પરસ્પર અવિભાજ્ય હોવાથી,$p+q = 99+10 = 109$.

(A) આપેલ સમીકરણો $(2a)^{\ln a} = (bc)^{\ln b}$ અને $b^{\ln 2} = a^{\ln c}$ છે.
પ્રથમ સમીકરણની બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln a (\ln 2 + \ln a) = \ln b (\ln b + \ln c)$.
બીજા સમીકરણ પરથી: $\ln 2 \cdot \ln b = \ln c \cdot \ln a \implies \ln c = \frac{\ln 2 \cdot \ln b}{\ln a}$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $\ln c$ ની કિંમત મૂકતા: $(\ln a)^2 + \ln a \ln 2 = (\ln b)^2 + \ln b \left( \frac{\ln 2 \cdot \ln b}{\ln a} \right)$.
$(\ln a)^2 + \ln a \ln 2 = (\ln b)^2 \left( \frac{\ln a + \ln 2}{\ln a} \right)$.
$(\ln a)^2 (\ln a + \ln 2) = (\ln b)^2 (\ln a + \ln 2)$.
$a, b, c$ ભિન્ન હોવાથી,$\ln a + \ln 2 \neq 0$,તેથી $(\ln a)^2 = (\ln b)^2$,જેનો અર્થ છે કે $\ln a = -\ln b$ ($a \neq b$ હોવાથી).
આમ $b = 1/a$. બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $(1/a)^{\ln 2} = a^{\ln c} \implies a^{-\ln 2} = a^{\ln c} \implies \ln c = -\ln 2 \implies c = 1/2$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $b = 1/a$ અને $c = 1/2$ મૂકતા: $(2a)^{\ln a} = (a/2)^{\ln(1/a)} = (a/2)^{-\ln a} = (2/a)^{\ln a}$.
$(2a)^{\ln a} = (2/a)^{\ln a}$ હોવાથી,$2a = 2/a \implies a^2 = 1$. $a > 0$ હોવાથી,$a = 1$. જો $a=1$ હોય,તો $b=1$ થાય,જે $a, b, c$ ભિન્ન હોવાની શરતનો વિરોધાભાસ કરે છે. પ્રશ્નનું વિધાન ગાણિતિક રીતે અસંગત છે.

(A) આપેલ અસમતા $\log _{x+\frac{7}{2}}\left(\frac{x-7}{2 x-3}\right)^2 \geq 0$ છે.
શક્ય વિસ્તાર:
$1) \ x+\frac{7}{2} > 0 \Rightarrow x > -\frac{7}{2}$
$2) \ x+\frac{7}{2} \neq 1 \Rightarrow x \neq -\frac{5}{2}$
$3) \ \frac{x-7}{2x-3} \neq 0 \Rightarrow x \neq 7$
$4) \ 2x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{3}{2}$
છેદગણ: $x \in \left(-\frac{7}{2}, \infty\right) \setminus \left\{-\frac{5}{2}, \frac{3}{2}, 7\right\}$.
કિસ્સો $I$: $x+\frac{7}{2} > 1$ અને $\left(\frac{x-7}{2x-3}\right)^2 \geq 1$
$x > -\frac{5}{2}$ અને $(2x-3)^2 - (x-7)^2 \leq 0$
$(x+4)(3x-10) \leq 0 \Rightarrow x \in [-4, \frac{10}{3}]$
$x > -\frac{5}{2}$ સાથે છેદગણ લેતા $x \in \left(-\frac{5}{2}, \frac{10}{3}\right]$ મળે.
કિસ્સો $II$: $0 < x+\frac{7}{2} < 1$ અને $0 < \left(\frac{x-7}{2x-3}\right)^2 < 1$
આ કિસ્સામાં કોઈ સામાન્ય ઉકેલ મળતો નથી.
આમ,$x \in \left(-\frac{5}{2}, \frac{10}{3}\right] \setminus \left\{\frac{3}{2}\right\}$.
પૂર્ણાંક કિંમતો $\{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ છે.
કુલ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $6$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણો $(2x)^{\ln 2} = (3y)^{\ln 3}$ અને $3^{\ln x} = 2^{\ln y}$ છે.
પ્રથમ સમીકરણની બંને બાજુ $\ln$ લેતા:
$(\ln 2)(\ln 2 + \ln x) = (\ln 3)(\ln 3 + \ln y) \quad (1)$
બીજા સમીકરણની બંને બાજુ $\ln$ લેતા:
$(\ln x)(\ln 3) = (\ln y)(\ln 2) \Rightarrow \ln y = \frac{(\ln x)(\ln 3)}{\ln 2}$.
$\ln y$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$(\ln 2)^2 + (\ln 2)(\ln x) = (\ln 3)^2 + (\ln 3)\left(\frac{(\ln x)(\ln 3)}{\ln 2}\right)$
$(\ln x) \left(\ln 2 - \frac{(\ln 3)^2}{\ln 2}\right) = (\ln 3)^2 - (\ln 2)^2$
$(\ln x) \left(\frac{(\ln 2)^2 - (\ln 3)^2}{\ln 2}\right) = (\ln 3)^2 - (\ln 2)^2$
બંને બાજુ $((\ln 2)^2 - (\ln 3)^2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{\ln x}{\ln 2} = -1$
$\ln x = -\ln 2 = \ln(2^{-1})$
$x = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.
આમ,$x_0 = \frac{1}{2}$.

(A) ધારો કે $t = \sqrt{4-\frac{1}{3\sqrt{2}}\sqrt{4-\frac{1}{3\sqrt{2}}\sqrt{4-\dots}}}$.
તેથી $t = \sqrt{4-\frac{1}{3\sqrt{2}}t}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$4-\frac{1}{3\sqrt{2}}t = t^2$,જેનો અર્થ છે $t^2 + \frac{1}{3\sqrt{2}}t - 4 = 0$.
$3\sqrt{2}$ વડે ગુણતા,$3\sqrt{2}t^2 + t - 12\sqrt{2} = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$t = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(3\sqrt{2})(-12\sqrt{2})}}{2(3\sqrt{2})} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 288}}{6\sqrt{2}} = \frac{-1 \pm 17}{6\sqrt{2}}$.
$t > 0$ હોવાથી,$t = \frac{16}{6\sqrt{2}} = \frac{8}{3\sqrt{2}}$.
પદાવલિ $6 + \log_{\frac{3}{2}}\left(\frac{1}{3\sqrt{2}} \cdot \frac{8}{3\sqrt{2}}\right) = 6 + \log_{\frac{3}{2}}\left(\frac{8}{18}\right) = 6 + \log_{\frac{3}{2}}\left(\frac{4}{9}\right)$.
$\frac{4}{9} = (\frac{2}{3})^2 = (\frac{3}{2})^{-2}$ હોવાથી,પદાવલિ $6 + \log_{\frac{3}{2}}\left((\frac{3}{2})^{-2}\right) = 6 - 2 = 4$ થાય.

(B) ધારો કે પદાવલિ $E = \left(\left(\log _2 9\right)^2\right)^{\frac{1}{\log _2\left(\log _2 9\right)}} \times(\sqrt{7})^{\frac{1}{\log _4 7}}$ છે.
ગુણધર્મ $\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$ નો ઉપયોગ કરતા,પ્રથમ પદ $\left(\left(\log _2 9\right)^2\right)^{\log_{\log_2 9} 2} = (\log_2 9)^{2 \log_{\log_2 9} 2} = (\log_2 9)^{\log_{\log_2 9} 2^2} = 2^2 = 4$ બને છે.
બીજા પદ માટે,$\frac{1}{\log_4 7} = \log_7 4$. તેથી,$(\sqrt{7})^{\log_7 4} = (7^{1/2})^{\log_7 4} = 7^{\frac{1}{2} \log_7 4} = 7^{\log_7 4^{1/2}} = 4^{1/2} = 2$.
તેથી,$E = 4 \times 2 = 8$.

(B) $AM$-$GM$ અસમતા મુજબ,$\frac{3^{y_1}+3^{y_2}+3^{y_3}}{3} \geq \sqrt[3]{3^{y_1} \cdot 3^{y_2} \cdot 3^{y_3}} = \sqrt[3]{3^{y_1+y_2+y_3}}$.
$y_1+y_2+y_3=9$ આપેલ હોવાથી,$\frac{3^{y_1}+3^{y_2}+3^{y_3}}{3} \geq \sqrt[3]{3^9} = 3^3 = 27$.
તેથી,$3^{y_1}+3^{y_2}+3^{y_3} \geq 81 = 3^4$.
બંને બાજુ $\log_3$ લેતા,$\log_3(3^{y_1}+3^{y_2}+3^{y_3}) \geq 4$,તેથી $m=4$.
$M$ માટે,$AM$-$GM$ અસમતા મુજબ,$\frac{x_1+x_2+x_3}{3} \geq \sqrt[3]{x_1 x_2 x_3}$.
$x_1+x_2+x_3=9$ આપેલ હોવાથી,$3 \geq \sqrt[3]{x_1 x_2 x_3}$,તેથી $x_1 x_2 x_3 \leq 27$.
પછી $\log_3(x_1 x_2 x_3) = \log_3 x_1 + \log_3 x_2 + \log_3 x_3 \leq \log_3(27) = 3$,તેથી $M=3$.
અંતે,$\log_2(m^3) + \log_3(M^2) = \log_2(4^3) + \log_3(3^2) = \log_2(64) + 2 = 6 + 2 = 8$.

(A,B,C) આપેલ છે $3^x = 4^{x-1}$.
બંને બાજુ $\log_3$ લેતા:
$x = (x-1) \log_3 4$
$x = (x-1) \cdot 2 \log_3 2$
$x = 2x \log_3 2 - 2 \log_3 2$
$2 \log_3 2 = x(2 \log_3 2 - 1)$
$x = \frac{2 \log_3 2}{2 \log_3 2 - 1}$ (વિકલ્પ $A$ સાચો છે).
બંને બાજુ $\log_2$ લેતા:
$x \log_2 3 = (x-1) \log_2 4$
$x \log_2 3 = 2(x-1)$
$x \log_2 3 = 2x - 2$
$2 = x(2 - \log_2 3)$
$x = \frac{2}{2 - \log_2 3}$ (વિકલ્પ $B$ સાચો છે).
કારણ કે $\log_2 3 = \log_4 3^2 = 2 \log_4 3$,તેથી:
$x = \frac{2}{2 - 2 \log_4 3} = \frac{1}{1 - \log_4 3}$ (વિકલ્પ $C$ સાચો છે).

(B) આપેલ સમીકરણ: $x^{16(\log_5 x)^3 - 68 \log_5 x} = 5^{-16}$.
બંને બાજુ $\log_5$ લેતા:
$(16(\log_5 x)^3 - 68 \log_5 x) \cdot \log_5 x = \log_5(5^{-16})$.
ધારો કે $t = \log_5 x$. તો સમીકરણ નીચે મુજબ બનશે:
$(16t^3 - 68t) \cdot t = -16$.
$16t^4 - 68t^2 + 16 = 0$.
$4$ વડે ભાગતા:
$4t^4 - 17t^2 + 4 = 0$.
ધારો કે $u = t^2$. તો $4u^2 - 17u + 4 = 0$.
$(4u - 1)(u - 4) = 0$.
તેથી,$u = 1/4$ અથવા $u = 4$.
$u = t^2 = (\log_5 x)^2$ હોવાથી,$(\log_5 x)^2 = 1/4$ અથવા $(\log_5 x)^2 = 4$.
આથી $\log_5 x = \pm 1/2$ અથવા $\log_5 x = \pm 2$.
$x$ ના મૂલ્યો $5^{1/2}, 5^{-1/2}, 5^2, 5^{-2}$ છે.
આ મૂલ્યોનો ગુણાકાર $5^{1/2 - 1/2 + 2 - 2} = 5^0 = 1$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $a = 3\sqrt{2} = \sqrt{18}$. તેથી,$3x + 2y = \log_{\sqrt{18}}(18)^{\frac{5}{4}} = \frac{5}{2}$.
$2$ વડે ગુણતા,$6x + 4y = 5$ ... $(1)$.
$b = (5^{\frac{1}{6}} \cdot 6^{\frac{1}{2}})^{-1}$ અને $\sqrt{1080} = 5^{\frac{1}{2}} \cdot 6^{\frac{3}{2}} = b^{-3}$.
તેથી,$2x - y = \log_b(b^{-3}) = -3$ ... $(2)$.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ઉકેલતા,$x = -0.5$ અને $y = 2$ મળે છે.
તેથી,$4x + 5y = 4(-0.5) + 5(2) = 8$.

(A) આપેલ સમીકરણ:
$x+\log_{15}(5+3^x)=x\log_{15}5+\log_{15}24$
$x$ ને $\log_{15}(15^x)$ તરીકે લખતા:
$\log_{15}(15^x)+\log_{15}(5+3^x)=\log_{15}(5^x)+\log_{15}24$
$\log(a)+\log(b)=\log(ab)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\log_{15}(15^x(5+3^x))=\log_{15}(24 \cdot 5^x)$
બંને બાજુના પદોને સરખાવતા:
$15^x(5+3^x)=24 \cdot 5^x$
$15^x = (3 \cdot 5)^x = 3^x \cdot 5^x$ હોવાથી:
$3^x \cdot 5^x(5+3^x)=24 \cdot 5^x$
બંને બાજુ $5^x$ વડે ભાગતા $(5^x \neq 0)$:
$3^x(5+3^x)=24$
ધારો કે $t=3^x$. તો:
$t(5+t)=24$
$t^2+5t-24=0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(t+8)(t-3)=0$
$t=3^x > 0$ હોવાથી,$t=3$ મળે:
$3^x=3^1$
$x=1$

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{\log_3 x^{16}} + 9\log_{27}\sqrt[3]{\frac{3}{x}} = 5$.
પ્રથમ પદનું સાદુંરૂપ:
$\sqrt{\log_3 x^{16}} = \sqrt{16\log_3 x} = 4\sqrt{\log_3 x}$.
બીજા પદનું સાદુંરૂપ:
$9\log_{27}\sqrt[3]{\frac{3}{x}} = 9 \cdot \log_{3^3} (\frac{3}{x})^{1/3} = 9 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \log_3(\frac{3}{x}) = 1 \cdot (\log_3 3 - \log_3 x) = 1 - \log_3 x$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$4\sqrt{\log_3 x} + 1 - \log_3 x = 5$.
સમીકરણને ગોઠવતા:
$4\sqrt{\log_3 x} - \log_3 x = 4$.
ધારો કે $t = \sqrt{\log_3 x}$,તો $t^2 = \log_3 x$:
$4t - t^2 = 4 \Rightarrow t^2 - 4t + 4 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(t - 2)^2 = 0 \Rightarrow t = 2$.
કારણ કે $t = \sqrt{\log_3 x} = 2$,તેથી $\log_3 x = 4$.
તેથી,$x = 3^4 = 81$.

(D) આપેલ છે:
$p^3 = q^4 = r^6 = t^7 = s^2 = k$
દરેક ચલને $k$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવો:
$p = k^{1/3}, q = k^{1/4}, r = k^{1/6}, s = k^{1/2}, t = k^{1/7}$
ગુણાકાર $pqrs$ શોધો:
$pqrs = k^{1/3} \times k^{1/4} \times k^{1/6} \times k^{1/2} = k^{(1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/2)}$
ઘાતાંકોનો સરવાળો ગણો:
$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{2} = \frac{4 + 3 + 2 + 6}{12} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$
તેથી,$pqrs = k^{5/4}$
હવે લઘુગણકનું મૂલ્ય શોધો:
$\log_t(pqrs) = \log_{k^{1/7}}(k^{5/4})$
ગુણધર્મ $\log_{a^n}(b^m) = \frac{m}{n} \log_a(b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\log_{k^{1/7}}(k^{5/4}) = \frac{5/4}{1/7} = \frac{5}{4} \times 7 = \frac{35}{4}$

(C) આપેલ સમીકરણ: $\log _2 x + \log _4 x + \log _8 x + \log _{16} x = \frac{25}{36}$
બેઝ બદલવાના સૂત્ર $\log _a b = \frac{\log b}{\log a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\log x}{\log 2} + \frac{\log x}{\log 4} + \frac{\log x}{\log 8} + \frac{\log x}{\log 16} = \frac{25}{36}$
$\log 4 = 2 \log 2$,$\log 8 = 3 \log 2$,અને $\log 16 = 4 \log 2$ હોવાથી:
$\frac{\log x}{\log 2} + \frac{\log x}{2 \log 2} + \frac{\log x}{3 \log 2} + \frac{\log x}{4 \log 2} = \frac{25}{36}$
$\frac{\log x}{\log 2}$ સામાન્ય લેતા:
$\log _2 x \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \right) = \frac{25}{36}$
કૌંસનો સરવાળો: $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{25}{12}$
તેથી,$\log _2 x \left( \frac{25}{12} \right) = \frac{25}{36}$
$\log _2 x = \frac{1}{3}$
$x = 2^k$ હોવાથી,$\log _2 x = k$ થાય.
તેથી,$k = \frac{1}{3}$.

(C) આધાર $b > 1$ ધરાવતા લઘુગણક વિધેય $f(x) = \log_{b}(x)$ માટે:
$1$. પ્રદેશ $(0, \infty)$ છે,જે તમામ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $R^{+}$ નો ગણ છે.
$2$. વિસ્તાર $(-\infty, \infty)$ છે,જે તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $R$ નો ગણ છે.
$3$. કારણ કે કોઈપણ આધાર $b > 0, b \neq 1$ માટે $\log_{b}(1) = 0$ થાય છે,તેથી બિંદુ $(1, 0)$ હંમેશા આલેખ પર હોય છે.
$4$. કારણ કે $b > 1$ છે,વિધેય ચુસ્તપણે વધતું વિધેય છે,ઘટતું નથી.
તેથી,સાચું અવલોકન એ છે કે બિંદુ $(1, 0)$ હંમેશા લઘુગણક વિધેયના આલેખ પર હોય છે.

(D) આપેલ છે: $\log _{2}\left(9^{x-1}+7\right)-\log _{2}\left(3^{x-1}+1\right)=2$
ગુણધર્મ $\log_{a} m - \log_{a} n = \log_{a} (\frac{m}{n})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\log _{2}\left(\frac{9^{x-1}+7}{3^{x-1}+1}\right)=2$
ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં ફેરવતા:
$\frac{9^{x-1}+7}{3^{x-1}+1}=2^{2}=4$
ધારો કે $y = 3^{x-1}$. તો $9^{x-1} = (3^{2})^{x-1} = (3^{x-1})^{2} = y^{2}$.
સમીકરણમાં $y$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{y^{2}+7}{y+1}=4$
$y^{2}+7=4(y+1)$
$y^{2}-4y+3=0$
$(y-3)(y-1)=0$
તેથી,$y=3$ અથવા $y=1$.
કિસ્સો $1$: $3^{x-1}=3^{1}$ $\Rightarrow x-1=1$ $\Rightarrow x=2$.
કિસ્સો $2$: $3^{x-1}=3^{0}$ $\Rightarrow x-1=0$ $\Rightarrow x=1$.
આમ,$x$ ની કિંમતો $1, 2$ છે.

(A) આપેલ છે કે,$\frac{\log x}{b-c}=\frac{\log y}{c-a}=\frac{\log z}{a-b}=k$.
આથી,$\log x = k(b-c)$,$\log y = k(c-a)$,અને $\log z = k(a-b)$.
તેથી $x = e^{k(b-c)}$,$y = e^{k(c-a)}$,અને $z = e^{k(a-b)}$.
હવે,પદાવલિ $E = x^{b+c} \cdot y^{c+a} \cdot z^{a+b}$ લો.
કિંમતો મૂકતા,$E = (e^{k(b-c)})^{b+c} \cdot (e^{k(c-a)})^{c+a} \cdot (e^{k(a-b)})^{a+b}$.
ઘાતાંકના નિયમ $(e^m)^n = e^{mn}$ નો ઉપયોગ કરતા,$E = e^{k(b^2-c^2)} \cdot e^{k(c^2-a^2)} \cdot e^{k(a^2-b^2)}$.
ઘાતાંકોનો સરવાળો કરતા,$E = e^{k(b^2-c^2+c^2-a^2+a^2-b^2)}$.
ઘાતાંકમાં સરવાળો $0$ હોવાથી,$E = e^{k \cdot 0} = e^0 = 1$.

(B) ધારો કે $x = 7^{-20}$.
બંને બાજુ $\log_{10}$ લેતા:
$\log_{10} x = \log_{10} (7^{-20})$
$\log_{10} x = -20 \times \log_{10} 7$
$\log_{10} x = -20 \times 0.8451 = -16.902$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખતા:
$\log_{10} x = -16.902 = -17 + 0.098 = \overline{17}.098$.
અહીં પૂર્ણાંશ ભાગ (characteristic) $-17$ હોવાથી,$7^{-20}$ નો પ્રથમ સાર્થક અંક $17$ માં દશાંશ સ્થાને આવશે.

(C) આપેલ પદ $7^{2 \log _{7} 5}$ છે.
લઘુગણકના ગુણધર્મ $n \log _{a} x = \log _{a} x^{n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$7^{\log _{7} 5^{2}}$
નિત્યસમ $a^{\log _{a} x} = x$ (જ્યાં $x > 0$) નો ઉપયોગ કરતા:
$5^{2} = 25$
તેથી,સાચો જવાબ $25$ છે.