Solution of quadratic equations and Nature of roots Questions in Gujarati

(C) આપેલ છે કે $x = 2 + \sqrt{3}$,તેથી $x - 2 = \sqrt{3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતાં,$(x - 2)^2 = 3$,જેનું સાદું રૂપ $x^2 - 4x + 4 = 3$ એટલે કે $x^2 - 4x + 1 = 0$ થાય છે.
હવે,બહુપદી $x^3 - 7x^2 + 13x - 12$ ને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$x^3 - 7x^2 + 13x - 12 = x(x^2 - 4x + 1) - 3x^2 + 12x - 12$
$= x(x^2 - 4x + 1) - 3(x^2 - 4x + 1) - 9$
$x^2 - 4x + 1 = 0$ હોવાથી,પદાવલિનું મૂલ્ય $x(0) - 3(0) - 9 = -9$ થાય છે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,બીજનો પ્રકાર વિવેચક $D = b^2 - 4ac$ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
જો $D < 0$ હોય,તો બીજ કાલ્પનિક (સંકર સંખ્યાઓ) હોય છે.
તેથી,બીજ કાલ્પનિક હોવાની શરત $b^2 - 4ac < 0$ છે.

(C) ધારો કે $u = e^{\sin x}$. કારણ કે $-1 \le \sin x \le 1$,તેથી $u$ નો વિસ્તાર $[e^{-1}, e^1]$ છે,જે આશરે $[0.368, 2.718]$ છે.
સમીકરણમાં $u$ મૂકતા,આપણને $u - \frac{1}{u} - 4 = 0$ મળે છે.
$u$ વડે ગુણતા,આપણને દ્વિઘાત સમીકરણ $u^2 - 4u - 1 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $u = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$ મળે છે.
અહીં $u = 2 + \sqrt{5} \approx 4.236$ અને $u = 2 - \sqrt{5} \approx -0.236$ છે,જેમાંથી કોઈ પણ કિંમત $[0.368, 2.718]$ ના વિસ્તારમાં નથી.
તેથી,સમીકરણનું સમાધાન કરે તેવી $x$ ની કોઈ વાસ્તવિક કિંમત નથી.
આમ,સમીકરણને કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી.

(B) આપેલ સમીકરણ $\frac{1}{x + p} + \frac{1}{x + q} = \frac{1}{r}$ છે.
$r(x+q) + r(x+p) = (x+p)(x+q)$ લેતા.
$2rx + r(p+q) = x^2 + (p+q)x + pq$.
$x^2 + (p+q-2r)x + (pq - rp - rq) = 0$ સ્વરૂપ મળે.
બીજ સમાન મૂલ્યના અને વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોવાથી,તેમનો સરવાળો $0$ થાય.
તેથી,$-(p+q-2r) = 0 \implies 2r = p+q$.
બીજનો ગુણાકાર $= pq - r(p+q) = pq - (\frac{p+q}{2})(p+q) = pq - \frac{(p+q)^2}{2}$.
ગુણાકાર $= \frac{2pq - p^2 - 2pq - q^2}{2} = -\frac{p^2 + q^2}{2}$.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,જો વિવેચક $D = b^2 - 4ac \geq 0$ હોય તો બીજ વાસ્તવિક મળે.
અહીં,$a = 1, b = 2, c = p$ છે.
વિવેચકના સૂત્રમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$D = (2)^2 - 4(1)(p) \geq 0$
$4 - 4p \geq 0$
$4 \geq 4p$
$p \leq 1$
આમ,સાચી શરત $p \leq 1$ છે.

(A) ધારો કે $y = \frac{x}{x^2 - 5x + 9}$.
તેથી $y(x^2 - 5x + 9) = x$,જે સૂચવે છે કે $yx^2 - (5y + 1)x + 9y = 0$.
$x$ વાસ્તવિક સંખ્યા હોવાથી,વિવેચક $D \ge 0$ થાય.
$D = (-(5y + 1))^2 - 4(y)(9y) \ge 0$.
$(5y + 1)^2 - 36y^2 \ge 0$.
$25y^2 + 10y + 1 - 36y^2 \ge 0$.
$-11y^2 + 10y + 1 \ge 0$.
$11y^2 - 10y - 1 \le 0$.
$(11y + 1)(y - 1) \le 0$.
આ અસમતા $y \in [-\frac{1}{11}, 1]$ માટે સાચી છે.
આમ,મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે.

(A) ધારો કે $y = |x - 2|$. સમીકરણ $y^2 + y - 6 = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(y + 3)(y - 2) = 0$.
કારણ કે $y = |x - 2| \ge 0$,તેથી $y = 2$ લેતા.
આમ,$|x - 2| = 2$.
આનો અર્થ એ થાય કે $x - 2 = 2$ અથવા $x - 2 = -2$.
આને ઉકેલતા: $x = 4$ અથવા $x = 0$.
તેથી,બીજ $0, 4$ છે.

(C) આપેલ છે કે $4$ એ $x^2 + px + 12 = 0$ નું બીજ છે,તેથી $x = 4$ મૂકતા:
$4^2 + p(4) + 12 = 0$
$16 + 4p + 12 = 0$
$4p = -28$
$p = -7$
હવે,સમીકરણ $x^2 + px + q = 0$ એ $x^2 - 7x + q = 0$ બને છે.
આ સમીકરણ સમાન બીજ ધરાવે છે,તેથી તેનો વિવેચક $D = 0$ થાય:
$D = b^2 - 4ac = 0$
$(-7)^2 - 4(1)(q) = 0$
$49 - 4q = 0$
$4q = 49$
$q = 49/4$

(B) ધારો કે $f(x) = (x - a)(x - c) + 2(x - b)(x - d)$.
આપેલ બિંદુઓ $a, b, c, d$ પર વિધેયનું મૂલ્ય તપાસતા:
$f(a) = 2(a - b)(a - d) > 0$ (કારણ કે $a < b$ અને $a < d$)
$f(b) = (b - a)(b - c) < 0$ (કારણ કે $b > a$ અને $b < c$)
$f(c) = 2(c - b)(c - d) < 0$ (કારણ કે $c > b$ અને $c < d$)
$f(d) = (d - a)(d - c) > 0$ (કારણ કે $d > a$ અને $d > c$)
અહીં $f(a) > 0$ અને $f(b) < 0$ હોવાથી,અંતરાલ $(a, b)$ માં એક બીજ મળે છે.
અહીં $f(b) < 0$ અને $f(d) > 0$ હોવાથી,અંતરાલ $(b, d)$ માં બીજું બીજ મળે છે.
આમ,સમીકરણ દ્વિઘાત હોવાથી તેના બંને બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન છે.

(A) ધારો કે સમીકરણ $ax^2 - bx - c = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
જો બીજને અચળ $\lambda$ દ્વારા બદલવામાં આવે,તો નવા બીજ $\alpha + \lambda$ અને $\beta + \lambda$ થાય.
બીજનો તફાવત અચળ રહે છે:
$|(\alpha + \lambda) - (\beta + \lambda)| = |\alpha - \beta|$.
આપણે જાણીએ છીએ કે બીજનો તફાવત $|\alpha - \beta| = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{|a|}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(\alpha - \beta)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{a^2}$ મળે.
તેથી,પદાવલિ $\frac{b^2 - 4ac}{a^2}$ બદલાતી નથી.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે વાસ્તવિક બીજ ન મળે તે માટે વિવેચક $D = b^2 - 4ac < 0$ હોવો જોઈએ.
અહીં,$a = (p - 2)$,$b = 2(p - 2)$,અને $c = 2$ છે.
જો $p = 2$ હોય,તો સમીકરણ $2 = 0$ બને છે,જે શક્ય નથી,તેથી $p = 2$ માટે કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી.
$p \neq 2$ માટે,$D = [2(p - 2)]^2 - 4(p - 2)(2) < 0$.
$4(p - 2)^2 - 8(p - 2) < 0$.
$4$ વડે ભાગતા: $(p - 2)^2 - 2(p - 2) < 0$.
$(p - 2)(p - 4) < 0$.
આ અસમતા $p \in (2, 4)$ માટે સાચી છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપેલ છે કે $x^2 + kx - 24 = 0$ નું એક બીજ $3$ છે.
સમીકરણમાં $x = 3$ મુકતા:
$3^2 + k(3) - 24 = 0$
$9 + 3k - 24 = 0$
$3k - 15 = 0$
$3k = 15 \implies k = 5$.
હવે,$x = 3$ અને $k = 5$ ની કિંમત વિકલ્પોમાં મુકતા:
વિકલ્પ $(C)$ માટે: $x^2 - kx + 6 = 0$
$3^2 - 5(3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0$.
આમ,$3$ એ $x^2 - kx + 6 = 0$ નું બીજ છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + px + (1 - p) = 0$ છે.
$(1 - p)$ એ બીજ હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$(1 - p)^2 + p(1 - p) + (1 - p) = 0$
$(1 - p)$ સામાન્ય લેતા:
$(1 - p) [(1 - p) + p + 1] = 0$
$(1 - p) [2] = 0$
આથી $1 - p = 0$,એટલે કે $p = 1$.
$p = 1$ ને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^2 + (1)x + (1 - 1) = 0$
$x^2 + x = 0$
$x(x + 1) = 0$
આમ,બીજ $x = 0$ અને $x = -1$ મળે છે.

(B) ધારો કે $y = x^{1/3}$. તો સમીકરણ $y^2 + y - 2 = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા,આપણને $(y + 2)(y - 1) = 0$ મળે છે.
આનાથી $y$ ની બે શક્ય કિંમતો મળે છે: $y = 1$ અથવા $y = -2$.
જો $y = 1$ હોય,તો $x^{1/3} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $x = 1^3 = 1$.
જો $y = -2$ હોય,તો $x^{1/3} = -2$,જેનો અર્થ છે કે $x = (-2)^3 = -8$.
આમ,સમીકરણના બીજ $x = 1$ અને $x = -8$ છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $(p - q)x^2 + (q - r)x + (r - p) = 0$ છે.
અહીં સહગુણકોનો સરવાળો $(p - q) + (q - r) + (r - p) = 0$ થાય છે.
જો દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માં સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય હોય,તો $x = 1$ એ તેનું એક બીજ હોય છે.
ધારો કે બીજ $x_1$ અને $x_2$ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે બીજનો ગુણાકાર $\frac{c}{a}$ થાય છે.
તેથી,$1 \times x_2 = \frac{r - p}{p - q}$.
આમ,બીજ $1$ અને $\frac{r - p}{p - q}$ છે.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 4x - \log_3 a = 0$ ના બીજ વાસ્તવિક હોવા માટે,વિવેચક $D \geq 0$ હોવો જોઈએ.
વિવેચક $D = b^2 - 4ac$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$a = 1$,$b = -4$,અને $c = -\log_3 a$ છે.
$D = (-4)^2 - 4(1)(-\log_3 a) \geq 0$
$16 + 4\log_3 a \geq 0$
$4\log_3 a \geq -16$
$\log_3 a \geq -4$
અહીં આધાર $3 > 1$ હોવાથી,અસમતાની દિશા સમાન રહેશે:
$a \geq 3^{-4}$
$a \geq \frac{1}{81}$
આમ,$a$ નું લઘુત્તમ મૂલ્ય $\frac{1}{81}$ છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - m(2x - 8) - 15 = 0$ છે.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 - 2mx + 8m - 15 = 0$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 1$,$b = -2m$,અને $c = 8m - 15$ મળે છે.
સમીકરણના બીજ સમાન હોવા માટે,વિવેચક $D = b^2 - 4ac = 0$ હોવો જોઈએ.
કિંમતો મૂકતા: $(-2m)^2 - 4(1)(8m - 15) = 0$.
$4m^2 - 32m + 60 = 0$.
$4$ વડે ભાગતા: $m^2 - 8m + 15 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(m - 3)(m - 5) = 0$.
તેથી,$m = 3$ અથવા $m = 5$.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $(p - q)x^2 + (q - r)x + (r - p) = 0$ છે.
ધારો કે $f(x) = (p - q)x^2 + (q - r)x + (r - p)$.
સહગુણકોનો સરવાળો તપાસતા: $(p - q) + (q - r) + (r - p) = p - q + q - r + r - p = 0$.
જ્યારે સહગુણકોનો સરવાળો $0$ હોય,ત્યારે $x = 1$ એ સમીકરણનું એક બીજ હોય છે.
ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{r - p}{p - q}$.
$\alpha = 1$ હોવાથી,$1 \times \beta = \frac{r - p}{p - q}$,તેથી $\beta = \frac{r - p}{p - q}$.
આમ,બીજ $1$ અને $\frac{r - p}{p - q}$ છે.

(D) ધારો કે $\alpha, \beta$ એ $x^2 - bx + c = 0$ ના બીજ છે અને $\alpha', \beta'$ એ $x^2 - cx + b = 0$ ના બીજ છે.
$x^2 - bx + c = 0$ ના બીજ વચ્ચેનો તફાવત $|\alpha - \beta| = \sqrt{(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta} = \sqrt{b^2 - 4c}$ છે.
$x^2 - cx + b = 0$ ના બીજ વચ્ચેનો તફાવત $|\alpha' - \beta'| = \sqrt{(\alpha' + \beta')^2 - 4\alpha'\beta'} = \sqrt{c^2 - 4b}$ છે.
આપેલ છે કે તફાવત સમાન છે:
$\sqrt{b^2 - 4c} = \sqrt{c^2 - 4b}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$b^2 - 4c = c^2 - 4b$
$b^2 - c^2 = 4c - 4b$
$(b - c)(b + c) = -4(b - c)$
જો $b \neq c$ હોય,તો $(b - c)$ વડે ભાગતા:
$b + c = -4$.

(C) સમીકરણ $ax^2 - rx - s = 0$ માટે વિવેચક $D = (-r)^2 - 4(a)(-s) = r^2 + 4as$ થાય.
અહીં $r, s > 0$ અને $a > 0$ લેતા,$D = r^2 + 4as > 0$ મળે,જે દર્શાવે છે કે બીજ વાસ્તવિક છે.
વધુમાં,બીજનો ગુણાકાર $\frac{c}{a} = \frac{-s}{a}$ થાય.
અહીં $s > 0$ અને $a > 0$ હોવાથી,બીજનો ગુણાકાર ઋણ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે બીજ વિરુદ્ધ ચિહ્નના હોય.

(A) ધારો કે $y = x - 2$. સમીકરણ $y^2 - 3y + 2 = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા,આપણને $(y - 1)(y - 2) = 0$ મળે છે.
તેથી,$y = 1$ અથવા $y = 2$.
$x - 2 = y$ પાછું મૂકતા:
કિસ્સો $1$: $x - 2 = 1 \implies x = 3$.
કિસ્સો $2$: $x - 2 = 2 \implies x = 4$.
સમીકરણના બીજ $3$ અને $4$ છે.
બીજનો ગુણાકાર $3 \times 4 = 12$ થાય છે.

(A) દ્વિઘાત પદાવલિ $f(x) = x^2 - ax + (1 - 2a^2)$ એ $x$ ની તમામ વાસ્તવિક કિંમતો માટે હંમેશા ધન રહે તે માટે $x^2$ નો સહગુણક ધન હોવો જોઈએ (જે $1 > 0$ છે,જે સત્ય છે) અને વિવેચક $D$ ની કિંમત $0$ કરતા ઓછી હોવી જોઈએ.
વિવેચક $D = b^2 - 4ac = (-a)^2 - 4(1)(1 - 2a^2)$.
$D < 0$ લેતા:
$a^2 - 4(1 - 2a^2) < 0$
$a^2 - 4 + 8a^2 < 0$
$9a^2 - 4 < 0$
અવયવ પાડતા:
$(3a - 2)(3a + 2) < 0$
અસમતા ઉકેલતા,આપણને મળે છે:
$ - \frac{2}{3} < a < \frac{2}{3} $

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ સમાન હોય ત્યારે વિવેચક $D = 0$ થાય.
વિવેચક $D = b^2 - 4ac$.
આપેલ સમીકરણ $x^2 + px + 64 = 0$ માટે,$a = 1$,$b = p$,અને $c = 64$ છે.
$D = 0$ લેતા:
$p^2 - 4(1)(64) = 0$
$p^2 - 256 = 0$
$p^2 = 256$
$p = \pm 16$.
અહીં $p > 0$ આપેલ હોવાથી,$p = 16$ મળે.

(D) આપેલ સમીકરણ $a - bx - x^2 = 0$ છે,જેને $x^2 + bx - a = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2 + Bx + C = 0$ સાથે સરખાવતા,$A = 1$,$B = b$,અને $C = -a$ મળે છે.
વિવેચક $D = B^2 - 4AC = b^2 - 4(1)(-a) = b^2 + 4a$ છે.
$a > 0$ અને $b > 0$ હોવાથી,$D = b^2 + 4a > 0$,તેથી બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન છે.
ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે. બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = \frac{C}{A} = -a$ છે.
$a > 0$ હોવાથી,બીજનો ગુણાકાર ઋણ છે,જેનો અર્થ છે કે બીજ વિરુદ્ધ ચિહ્નના છે.
બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -\frac{B}{A} = -b$ છે.
$b > 0$ હોવાથી,બીજનો સરવાળો ઋણ છે. વિરુદ્ધ ચિહ્નો ધરાવતી બે સંખ્યાઓનો સરવાળો ઋણ હોવા માટે,સંખ્યાત્મક રીતે મોટું બીજ ઋણ હોવું જોઈએ.

(C) આપેલ છે કે $x = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots}}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x^2 = 2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots}}$
અહીં વર્ગમૂળની અંદરનું પદ $x$ છે,તેથી $x^2 = 2 + x$
પદોને ગોઠવતા,$x^2 - x - 2 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x - 2)(x + 1) = 0$
આથી $x = 2$ અથવા $x = -1$ મળે
વર્ગમૂળનું મૂલ્ય હંમેશા ધન હોવાથી,$x \neq -1$
તેથી,$x = 2$.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ સંમેય હોય તે માટે વિવેચક $D = b^2 - 4ac$ પૂર્ણ વર્ગ હોવો જોઈએ.
અહીં,$a = 6$,$b = -7$,અને $c = k$ છે.
$D = (-7)^2 - 4(6)(k) = 49 - 24k$.
$D$ પૂર્ણ વર્ગ બને તે માટે $k$ ની કિંમતો ચકાસતા:
જો $k = 1$ હોય,તો $D = 49 - 24(1) = 25 = 5^2$ (જે પૂર્ણ વર્ગ છે).
જો $k = 2$ હોય,તો $D = 49 - 24(2) = 49 - 48 = 1 = 1^2$ (જે પૂર્ણ વર્ગ છે).
આમ,$k$ ની કિંમતો $1$ અને $2$ છે.

(B) ધારો કે સમીકરણ $x^2 + px + 3 = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
આપેલ છે કે $|\alpha - \beta| = \sqrt{p}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(\alpha - \beta)^2 = p$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta$.
સમીકરણના સહગુણકો મૂકતા,$\alpha + \beta = -p$ અને $\alpha\beta = 3$ મળે.
તેથી,$(-p)^2 - 4(3) = p$.
$p^2 - 12 = p \implies p^2 - p - 12 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(p - 4)(p + 3) = 0$.
આમ,$p = 4$ અથવા $p = -3$.
તફાવત $\sqrt{p}$ હોવાથી,$p$ ઋણ ન હોઈ શકે. તેથી $p = 4$.

(A) સમીકરણ $x^2 + \lambda x + \mu = 0$ ના બીજ સમાન હોવાથી,વિવેચક $D = 0$ થાય.
તેથી,$\lambda^2 - 4\mu = 0 \implies \lambda^2 = 4\mu$.
આપેલ છે કે $x = 2$ એ સમીકરણ $x^2 + \lambda x - 12 = 0$ નું એક બીજ છે,તેથી $x = 2$ મુકતા:
$2^2 + \lambda(2) - 12 = 0
4 + 2\lambda - 12 = 0
2\lambda = 8
\lambda = 4$.
હવે,$\lambda = 4$ ને $\lambda^2 = 4\mu$ માં મુકતા:
$4^2 = 4\mu
16 = 4\mu
\mu = 4$.
તેથી,$(\lambda, \mu) = (4, 4)$.

(D) આપેલ સમીકરણ $ax^2 + x + b = 0$ માટે,વિવેચક $D > 0$ હોવો જોઈએ.
$D = 1^2 - 4ab > 0 \implies 1 > 4ab \implies ab < \frac{1}{4}$.
હવે,બીજા સમીકરણ $x^2 - 4\sqrt{ab}x + 1 = 0$ માટે વિવેચક $D'$ શોધીએ.
$D' = (-4\sqrt{ab})^2 - 4(1)(1) = 16ab - 4 = 4(4ab - 1)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $4ab < 1$,તેથી $4ab - 1 < 0$.
આમ,$D' < 0$ હોવાથી,સમીકરણના બીજ કાલ્પનિક હશે.

(A) ધારો કે $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$.
$x^2 + x + 1$ એ $P(x)$ નો અવયવ હોવાથી,આપણે $P(x) = (x^2 + x + 1)(ax + k)$ લખી શકીએ,જ્યાં $k$ અચળ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$P(x) = ax^3 + (a+k)x^2 + (a+k)x + k$ મળે.
મૂળ બહુપદી સાથે અચળ પદની સરખામણી કરતા,$k = d$ મળે છે.
તેથી,$P(x) = (x^2 + x + 1)(ax + d)$.
$P(x) = 0$ લેતા,$(x^2 + x + 1)(ax + d) = 0$ મળે.
$x^2 + x + 1 = 0$ ના બીજ સંકર સંખ્યા છે (વિવેચક $D = 1^2 - 4(1)(1) = -3 < 0$).
વાસ્તવિક બીજ $ax + d = 0$ પરથી મળે છે,જે $x = -\frac{d}{a}$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^4 - 4x^3 + ax^2 + bx + 1 = 0$ ના ચાર વાસ્તવિક બીજ $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\sum \alpha = 4$
$\sum \alpha \beta = a$
$\sum \alpha \beta \gamma = -b$
$\alpha \beta \gamma \delta = 1$
વાસ્તવિક બીજ માટે,સમાંતર મધ્યક $(AM)$ $\geq$ ગુણોત્તર મધ્યક $(GM)$:
$\frac{\alpha + \beta + \gamma + \delta}{4} \geq (\alpha \beta \gamma \delta)^{1/4}$
કિંમતો મૂકતા: $\frac{4}{4} \geq (1)^{1/4} \implies 1 \geq 1$.
અહીં $AM$ = $GM$ હોવાથી,બધા બીજ સમાન હશે: $\alpha = \beta = \gamma = \delta = 1$.
હવે $a$ અને $b$ ની કિંમત:
$a = \sum \alpha \beta = 6 \times (1 \times 1) = 6$.
$-b = \sum \alpha \beta \gamma = 4 \times (1 \times 1 \times 1) = 4 \implies b = -4$.
આમ,$a = 6$ અને $b = -4$.

(A) આપેલ સમીકરણ $(a^2 - 3a + 2)x^2 + (a^2 - 4)x + a^2 - a - 2 = 0$ સુરેખ સમીકરણ બને તે માટે $x^2$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ,જ્યારે $x$ નો સહગુણક શૂન્ય ન હોવો જોઈએ.
પગલું $1$: $x^2$ ના સહગુણકને શૂન્ય લો.
$a^2 - 3a + 2 = 0$
$(a - 1)(a - 2) = 0$
તેથી,$a = 1$ અથવા $a = 2$.
પગલું $2$: આ મૂલ્યો માટે $x$ ના સહગુણક $(a^2 - 4) \neq 0$ ની શરત તપાસો.
જો $a = 1$ હોય: $x$ નો સહગુણક $(1)^2 - 4 = -3 \neq 0$ છે. આ માન્ય છે.
જો $a = 2$ હોય: $x$ નો સહગુણક $(2)^2 - 4 = 0$ છે. આ સમીકરણને $0x^2 + 0x + (4 - 2 - 2) = 0$ બનાવે છે,જે $0 = 0$ છે. આ સુરેખ સમીકરણ નથી.
આમ,માત્ર $a = 1$ શરતનું પાલન કરે છે.

(C) સમીકરણ $x^2 - 8x + (a^2 - 6a) = 0$ ના બીજ વાસ્તવિક હોવા માટે,વિવેચક $D \geq 0$ હોવો જોઈએ.
$D = b^2 - 4ac \geq 0$
$(-8)^2 - 4(1)(a^2 - 6a) \geq 0$
$64 - 4(a^2 - 6a) \geq 0$
$4$ વડે ભાગતા:
$16 - (a^2 - 6a) \geq 0$
$16 - a^2 + 6a \geq 0$
$a^2 - 6a - 16 \leq 0$
અવયવ પાડતા:
$(a - 8)(a + 2) \leq 0$
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી ઠરે જ્યારે $a$ એ $(a - 8)(a + 2) = 0$ ના બીજ $a = 8$ અને $a = -2$ ની વચ્ચે હોય.
તેથી,$-2 \leq a \leq 8$.

(A) $p(x) = f(x) - g(x)$ હોવાથી,$p(x) = (a - a_1)x^2 + (b - b_1)x + (c - c_1)$ મળે.
ધારો કે $A = a - a_1$,$B = b - b_1$,અને $C = c - c_1$. તેથી $p(x) = Ax^2 + Bx + C$.
આપેલ છે કે માત્ર $x = -1$ માટે $p(x) = 0$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $x = -1$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $p(x) = 0$ નું પુનરાવર્તિત બીજ છે.
તેથી,$p(x) = A(x + 1)^2$.
આપણને $p(-2) = 2$ આપેલ છે.
$x = -2$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $p(-2) = A(-2 + 1)^2 = A(-1)^2 = A$.
આમ,$A = 2$.
હવે,$p(2)$ શોધવા માટે:
$p(2) = A(2 + 1)^2 = 2(3)^2 = 2(9) = 18$.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^{2/3} - 7x^{1/3} + 10 = 0$ છે.
આ સમીકરણને $(x^{1/3})^2 - 7(x^{1/3}) + 10 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $a = x^{1/3}.$ આ કિંમત સમીકરણમાં મુકતા,$a^2 - 7a + 10 = 0$ મળે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવો પાડતા: $(a - 5)(a - 2) = 0.$
તેથી $a = 5$ અથવા $a = 2$ મળે.
અહીં $a = x^{1/3}$ હોવાથી,$x = a^3$ થાય.
જો $a = 5,$ તો $x = 5^3 = 125.$
જો $a = 2,$ તો $x = 2^3 = 8.$
આમ,$x = 125, 8.$

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2 + Bx + C = 0$ ના બીજ વાસ્તવિક હોય તે માટે વિવેચક $D = B^2 - 4AC \geq 0$ હોવો જોઈએ.
અહીં,$A = 1$,$B = -8$,અને $C = a^2 - 6a$ છે.
વિવેચકના સૂત્રમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$D = (-8)^2 - 4(1)(a^2 - 6a) \geq 0$
$64 - 4(a^2 - 6a) \geq 0$
$64 - 4a^2 + 24a \geq 0$
$-4$ વડે ભાગતા (અને અસમતાની નિશાની બદલતા):
$a^2 - 6a - 16 \leq 0$
અવયવ પાડતા:
$(a - 8)(a + 2) \leq 0$
અસમતાના બીજ $a = 8$ અને $a = -2$ છે.
તેથી,$a$ ની કિંમત $-2 \leq a \leq 8$ ની વચ્ચે હોવી જોઈએ.

(B) ધારો કે $f(x, y, z) = x^2 + 4y^2 + 3z^2 - 2x - 12y - 6z + 14$.
પદોને પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે ગોઠવતા:
$f(x, y, z) = (x^2 - 2x + 1) + (4y^2 - 12y + 9) + (3z^2 - 6z + 3) + 1$
$= (x - 1)^2 + (2y - 3)^2 + 3(z - 1)^2 + 1$.
અભિવ્યક્તિનું લઘુત્તમ મૂલ્ય મેળવવા માટે,દરેક વર્ગ વાળું પદ શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$(x - 1)^2 = 0 \implies x = 1$
$(2y - 3)^2 = 0 \implies y = \frac{3}{2}$
$(z - 1)^2 = 0 \implies z = 1$
આ કિંમતો મૂકતા,લઘુત્તમ મૂલ્ય $f(1, \frac{3}{2}, 1) = 0 + 0 + 0 + 1 = 1$ મળે છે.

(A) ધારો કે બે ક્રમિક પૂર્ણાકો $n$ અને $n+1$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - bx + c = 0$ માટે,બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
આપેલ છે કે $\alpha = n$ અને $\beta = n+1$.
વિવેચક $D = b^2 - 4c$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $D = (\alpha - \beta)^2$.
કિંમતો મૂકતા,$D = (n - (n+1))^2 = (-1)^2 = 1$.
તેથી,$b^2 - 4c = 1$.

(C) વક્ર $y = x^2 + ax + 25$ એ $x-$અક્ષને સ્પર્શે છે,જેનો અર્થ છે કે દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + ax + 25 = 0$ ના બીજ સમાન છે.
સમાન બીજ માટે,વિવેચક $D$ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$D = b^2 - 4ac = 0$
કિંમતો $a=1, b=a, c=25$ મૂકતા:
$a^2 - 4(1)(25) = 0$
$a^2 - 100 = 0$
$a^2 = 100$
$a = \pm 10$

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2 + x + 1 = 0$ છે.
$\alpha$ એ બીજ હોવાથી,$\alpha^2 + \alpha + 1 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha^3 = 1$.
વળી,બીજનો સરવાળો $\alpha + \alpha^2 = -1$ થાય.
આપણે $\alpha^{31}$ અને $\alpha^{62}$ બીજ ધરાવતું સમીકરણ શોધવાનું છે.
નવા બીજનો સરવાળો: $\alpha^{31} + \alpha^{62} = \alpha^{30} \cdot \alpha + (\alpha^3)^{20} \cdot \alpha^2 = (1)^{10} \cdot \alpha + (1)^{20} \cdot \alpha^2 = \alpha + \alpha^2 = -1$.
નવા બીજનો ગુણાકાર: $\alpha^{31} \cdot \alpha^{62} = \alpha^{93} = (\alpha^3)^{31} = 1^{31} = 1$.
માગેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $x^2 - (-1)x + 1 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + x + 1 = 0$ મળે છે.

(C) આપેલ પદાવલિ $x = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots}}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x^2 = 2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots}}$ મળે.
અંદરનો ભાગ $x$ સમાન હોવાથી,આપણે $x^2 = 2 + x$ લખી શકીએ.
પદોને ગોઠવતા,દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - x - 2 = 0$ મળે.
સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x - 2)(x + 1) = 0$.
આથી $x = 2$ અથવા $x = -1$ મળે.
$x$ એ ધન સંખ્યાનું વર્ગમૂળ હોવાથી,$x$ ધન હોવું જોઈએ.
તેથી,$x = 2$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $x - \frac{2}{x - 1} = 1 - \frac{2}{x - 1}$.
બંને બાજુ $\frac{2}{x - 1}$ ઉમેરતા,આપણને $x = 1$ મળે છે.
જોકે,મૂળ સમીકરણ વ્યાખ્યાયિત રહે તે માટે છેદ $x - 1 \neq 0$ હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $x \neq 1$.
આમ,$x = 1$ એ ઉકેલ હોઈ શકે નહીં,તેથી સમીકરણને કોઈ બીજ નથી.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2 + Bx + C = 0$ ને બે કરતાં વધારે ઉકેલ હોય,તો તે નિત્યસમ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $A = 0$,$B = 0$,અને $C = 0$.
$1$. $A = a^2 - a - 2 = (a - 2)(a + 1) = 0 \implies a = 2, -1$
$2$. $B = a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2) = 0 \implies a = 2, -2$
$3$. $C = a^2 - 3a + 2 = (a - 1)(a - 2) = 0 \implies a = 1, 2$
ત્રણેય શરતોનું પાલન કરતી $a$ ની સામાન્ય કિંમત $a = 2$ છે.

(D) ધારો કે $y = \frac{3x^2 + 9x + 17}{3x^2 + 9x + 7}$.
$y = \frac{(3x^2 + 9x + 7) + 10}{3x^2 + 9x + 7} = 1 + \frac{10}{3x^2 + 9x + 7}$.
$y$ મહતમ હોય તે માટે છેદ $p = 3x^2 + 9x + 7$ ન્યૂનતમ હોવો જોઈએ.
દ્વિઘાત પદાવલિ $ax^2 + bx + c$ (જ્યાં $a > 0$) નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $\frac{-D}{4a} = \frac{-(b^2 - 4ac)}{4a}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 3$,$b = 9$,$c = 7$.
$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4(3)(7) = 81 - 84 = -3$.
$p_{\text{min}} = \frac{-(-3)}{4(3)} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.
તેથી,$y_{\text{max}} = 1 + \frac{10}{1/4} = 1 + 10 \times 4 = 1 + 40 = 41$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^2 - 3|x| + 2 = 0$ છે.
$x^2 = |x|^2$ હોવાથી,આપણે સમીકરણને $|x|^2 - 3|x| + 2 = 0$ તરીકે લખી શકીએ.
ધારો કે $t = |x|$,જ્યાં $t \geq 0$. સમીકરણ $t^2 - 3t + 2 = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(t - 1)(t - 2) = 0$.
આથી $t = 1$ અથવા $t = 2$ મળે છે.
કિસ્સો $1$: $|x| = 1$ એટલે કે $x = 1$ અથવા $x = -1$.
કિસ્સો $2$: $|x| = 2$ એટલે કે $x = 2$ અથવા $x = -2$.
આમ,વાસ્તવિક ઉકેલો $x \in \{-2, -1, 1, 2\}$ છે.
વાસ્તવિક ઉકેલોની કુલ સંખ્યા $4$ છે.

(B) સમીકરણ $px^2 + 2qx + r = 0$ ના બીજ વાસ્તવિક હોવા માટે,વિવેચક શૂન્ય અથવા ધન હોવો જોઈએ:
$D_1 = (2q)^2 - 4pr \geq 0 \implies 4q^2 - 4pr \geq 0 \implies q^2 \geq pr \dots (i)$
સમીકરણ $qx^2 - 2\sqrt{pr}x + q = 0$ ના બીજ વાસ્તવિક હોવા માટે,વિવેચક શૂન્ય અથવા ધન હોવો જોઈએ:
$D_2 = (-2\sqrt{pr})^2 - 4(q)(q) \geq 0 \implies 4pr - 4q^2 \geq 0 \implies pr \geq q^2 \dots (ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ પરથી,$q^2 \geq pr$ અને $pr \geq q^2$,જેનો અર્થ છે કે $q^2 = pr$.

(D) આપેલ સમીકરણ $2x^2 - (k - 1)x + 8 = 0$ છે.
સમાન અને વાસ્તવિક બીજ માટે,વિવેચક $D = b^2 - 4ac = 0$ હોવો જોઈએ.
અહીં,$a = 2$,$b = -(k - 1)$,અને $c = 8$ છે.
$D = 0$ માં આ કિંમતો મૂકતા:
$(-(k - 1))^2 - 4(2)(8) = 0$
$(k - 1)^2 - 64 = 0$
$(k - 1)^2 = 64$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$k - 1 = \pm 8$
કિસ્સો $1$: $k - 1 = 8 \Rightarrow k = 9$
કિસ્સો $2$: $k - 1 = -8 \Rightarrow k = -7$
તેથી,$k$ ની કિંમતો $9$ અને $-7$ છે.

(A) ધારો કે $y = \frac{1}{x - 2}$. તેથી $x - 2 = \frac{1}{y}$,એટલે કે $x = \frac{1}{y} + 2 = \frac{1 + 2y}{y}$.
મૂળ સમીકરણ $x^2 - 3x + 1 = 0$ માં $x = \frac{2y + 1}{y}$ મૂકતા:
$(\frac{2y + 1}{y})^2 - 3(\frac{2y + 1}{y}) + 1 = 0$
$\frac{4y^2 + 4y + 1}{y^2} - \frac{6y + 3}{y} + 1 = 0$
$y^2$ વડે ગુણતા:
$(4y^2 + 4y + 1) - y(6y + 3) + y^2 = 0$
$4y^2 + 4y + 1 - 6y^2 - 3y + y^2 = 0$
$-y^2 + y + 1 = 0$
$y^2 - y - 1 = 0$.
આમ,માંગેલ સમીકરણ $x^2 - x - 1 = 0$ છે.