Solution of quadratic equations and Nature of roots Questions in Gujarati

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^2 - (k - 1)x + 8 = 0$ છે.
સમાન અને વાસ્તવિક બીજ માટે વિવેચક $D = 0$ હોવો જોઈએ.
$D = b^2 - 4ac = 0$
અહીં,$a = 2$,$b = -(k - 1)$,અને $c = 8$.
કિંમતો મૂકતા: $(-(k - 1))^2 - 4(2)(8) = 0$
$(k - 1)^2 - 64 = 0$
$k^2 - 2k + 1 - 64 = 0$
$k^2 - 2k - 63 = 0$
અવયવ પાડતા: $(k - 9)(k + 7) = 0$
તેથી,$k = 9$ અથવા $k = -7$.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^2 + 3x + 1 = 0$ છે.
તેને $ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 2, b = 3, c = 1$ મળે છે.
વિવેચક $D = b^2 - 4ac = (3)^2 - 4(2)(1) = 9 - 8 = 1$.
અહીં $D > 0$ અને $D$ એ પૂર્ણવર્ગ હોવાથી,બીજ વાસ્તવિક અને સંમેય છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{-3 \pm \sqrt{1}}{2(2)} = \frac{-3 \pm 1}{4}$.
આમ,બીજ $x = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$ અને $x = \frac{-4}{4} = -1$ મળે છે.
બંને બીજ સંમેય સંખ્યાઓ છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $(l - m)x^2 - 5(l + m)x - 2(l - m) = 0$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે વિવેચક $D = b^2 - 4ac$ છે.
અહીં,$a = (l - m)$,$b = -5(l + m)$,અને $c = -2(l - m)$.
$D = [-5(l + m)]^2 - 4(l - m)(-2(l - m))$
$D = 25(l + m)^2 + 8(l - m)^2$.
કારણ કે $l$ અને $m$ વાસ્તવિક છે અને $l \neq m$,તેથી $(l - m)^2 > 0$ અને $(l + m)^2 \geq 0$.
આમ,$D = 25(l + m)^2 + 8(l - m)^2 > 0$.
વિવેચક $D > 0$ હોવાથી,સમીકરણના બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + 2\sqrt{3}x + 3 = 0$ છે.
તેને $ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 1, b = 2\sqrt{3}, c = 3$ મળે છે.
વિવેચક $D = b^2 - 4ac$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$D = (2\sqrt{3})^2 - 4(1)(3)$
$D = 12 - 12 = 0$.
$D = 0$ હોવાથી,બીજ વાસ્તવિક અને સમાન છે.
વધુમાં,બીજ $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2\sqrt{3} \pm 0}{2(1)} = -\sqrt{3}$ દ્વારા મળે છે.
$-\sqrt{3}$ એ અસંમેય સંખ્યા હોવાથી,બીજ અસંમેય અને સમાન છે.

(C) આપેલ પદાવલિ $f(x, y) = x^2 + 2x(1 + y) + (my - 3)$ છે.
પદાવલિના સંમેય અવયવો હોવા માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં તેનો વિવેચક $D$ એ $y$ ની સુરેખ પદાવલિનો પૂર્ણ વર્ગ હોવો જોઈએ.
$D = [2(1 + y)]^2 - 4(1)(my - 3) = 4(1 + 2y + y^2 - my + 3) = 4(y^2 + y(2 - m) + 4)$.
$D$ પૂર્ણ વર્ગ હોવા માટે,દ્વિઘાત સમીકરણ $y^2 + y(2 - m) + 4$ પૂર્ણ વર્ગ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે તેનો વિવેચક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$D_y = (2 - m)^2 - 4(1)(4) = 0$.
$(2 - m)^2 = 16$.
$2 - m = \pm 4$.
જો $2 - m = 4$ હોય,તો $m = -2$.
જો $2 - m = -4$ હોય,તો $m = 6$.
આમ,$m$ ની કિંમતો $6$ અને $-2$ છે.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2 + Bx + C = 0$ માટે,જો વિવેચક $D = B^2 - 4AC > 0$ હોય તો બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન મળે.
અહીં,$A = a$,$B = 0$,અને $C = b$ છે.
વિવેચકના સૂત્રમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$D = 0^2 - 4(a)(b) > 0$
$-4ab > 0$
$-4$ વડે ભાગતા (જે અસમતાની નિશાની બદલે છે):
$ab < 0$.

(B) ધારો કે પ્રથમ સમીકરણ $2x^2 - 5x + 1 = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
તેથી,$\alpha \beta = \frac{1}{2}$.
હવે,બીજું સમીકરણ $x^2 + 5x + 2 = 0$ લો. ધારો કે તેના બીજ $\gamma$ અને $\delta$ છે.
તેથી,$\gamma \delta = 2$.
આમ,બીજ એકબીજાના વ્યસ્ત છે અને વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવે છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ છે જ્યાં $a, b, c \in \mathbb{Q}$ અને $a + b + c = 0$.
$a + b + c = 0$ હોવાથી,$b = -(a + c)$ મળે.
વિવેચક $D = b^2 - 4ac$ છે.
$b = -(a + c)$ મૂકતા,$D = (-(a + c))^2 - 4ac = (a + c)^2 - 4ac = a^2 + 2ac + c^2 - 4ac = (a - c)^2$.
અહીં $a, c \in \mathbb{Q}$ હોવાથી,$(a - c)^2$ એ સંમેય સંખ્યાનો પૂર્ણ વર્ગ છે.
જ્યારે દ્વિઘાત સમીકરણના સહગુણકો સંમેય હોય અને વિવેચક $D$ પૂર્ણ વર્ગ હોય,ત્યારે તેના બીજ સંમેય હોય છે.
તેથી,બંને બીજ સંમેય છે.

(A) ધારો કે આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2 + Bx + C = 0$ છે,જ્યાં $A = b + c - 2a$,$B = c + a - 2b$,અને $C = a + b - 2c$ છે.
સહગુણકોનો સરવાળો $A + B + C = (b + c - 2a) + (c + a - 2b) + (a + b - 2c) = 0$ થાય છે.
જેથી,સમીકરણનું એક બીજ $x = 1$ છે.
અહીં $a, b, c \in Q$ હોવાથી,સહગુણકો $A, B, C$ સંમેય સંખ્યાઓ છે.
સંમેય સહગુણકો ધરાવતા દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,જો એક બીજ સંમેય હોય,તો બીજું બીજ પણ સંમેય જ હોય.
તેથી,બીજ સંમેય છે.

(D) આપેલ પદાવલિ $f(x) = x^2 + 2bx + c$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,આપણને $f(x) = (x + b)^2 + c - b^2$ મળે છે.
કારણ કે $(x + b)^2 \ge 0$ તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે,પદાવલિ $f(x)$ તમામ $x$ માટે ધન રહેશે જો અચળ પદ $c - b^2 > 0$ હોય.
આનો અર્થ એ છે કે $c > b^2$,અથવા $b^2 < c$.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,જો બીજ સમાન હોય તો વિવેચક $D = b^2 - 4ac = 0$ થાય.
અહીં,$a = 4$,$b = p$,અને $c = 9$ છે.
વિવેચકના સૂત્રમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$p^2 - 4(4)(9) = 0$
$p^2 - 144 = 0$
$p^2 = 144$
$p = \pm 12$
તેથી $p$ નું નિરપેક્ષ મૂલ્ય $|p| = |\pm 12| = 12$ થાય.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2 + Bx + C = 0$ ના બીજ સમાન હોય તે માટે વિવેચક $D = B^2 - 4AC = 0$ હોવો જોઈએ.
અહીં,$A = (c^2 - ab)$,$B = -2(a^2 - bc)$,અને $C = (b^2 - ac)$.
$D = 0$ લેતા:
$[-2(a^2 - bc)]^2 - 4(c^2 - ab)(b^2 - ac) = 0$
$4(a^2 - bc)^2 - 4(c^2 - ab)(b^2 - ac) = 0$
સાદુરૂપ આપતા:
$a(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc) = 0$
આમ,શરત $a = 0$ અથવા $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ છે.

(A) ધારો કે ${D_1}$ અને ${D_2}$ એ અનુક્રમે ${x^2} + {b_1}x + {c_1} = 0$ અને ${x^2} + {b_2}x + {c_2} = 0$ ના વિવેચક છે.
તેથી,${D_1} = b_1^2 - 4{c_1}$ અને ${D_2} = b_2^2 - 4{c_2}$.
બંને વિવેચકોનો સરવાળો કરતા:
${D_1} + {D_2} = b_1^2 + b_2^2 - 4({c_1} + {c_2})$.
આપેલ છે કે ${b_1}{b_2} = 2({c_1} + {c_2})$,તેથી $4({c_1} + {c_2}) = 2{b_1}{b_2}$ મૂકતા:
${D_1} + {D_2} = b_1^2 + b_2^2 - 2{b_1}{b_2} = {(b_1 - b_2)^2}$.
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાનો વર્ગ હંમેશા અઋણ હોય છે,તેથી ${(b_1 - b_2)^2} \ge 0$,જે દર્શાવે છે કે ${D_1} + {D_2} \ge 0$.
જો બે સંખ્યાઓનો સરવાળો અઋણ હોય,તો તેમાંથી ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા અઋણ હોવી જોઈએ.
તેથી,${D_1} \ge 0$ અથવા ${D_2} \ge 0$,જેનો અર્થ છે કે ઓછામાં ઓછા એક સમીકરણના બીજ વાસ્તવિક છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $kx^2 + 1 = kx + 3x - 11x^2$ છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $(k + 11)x^2 - (k + 3)x + 1 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ વાસ્તવિક અને સમાન હોવા માટે,વિવેચક $D = 0$ હોવો જોઈએ.
$D = b^2 - 4ac = 0$
સહગુણકો $a = (k + 11)$,$b = -(k + 3)$,અને $c = 1$ મૂકતા:
$(k + 3)^2 - 4(k + 11)(1) = 0$
$k^2 + 6k + 9 - 4k - 44 = 0$
$k^2 + 2k - 35 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(k + 7)(k - 5) = 0$
આમ,$k = -7$ અથવા $k = 5$.

(B) ધારો કે $f(x) = ax^2 + bx + c$. તો $f(0) = c$. આમ,$y = f(x)$ નો આલેખ $y$-અક્ષને $(0, c)$ બિંદુએ છેદે છે.
જો $c > 0$ હોય,તો પૂર્વધારણા મુજબ $f(x) > 0$ થાય. આનો અર્થ એ છે કે વક્ર $y = f(x)$ એ $x$-અક્ષને છેદતું નથી.
જો $c < 0$ હોય,તો પૂર્વધારણા મુજબ $f(x) < 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે વક્ર $y = f(x)$ હંમેશા $x$-અક્ષની નીચે રહે છે અને તેથી તે $x$-અક્ષને છેદતું નથી.
આમ,બંને કિસ્સાઓમાં $y = f(x)$ એ $x$-અક્ષને છેદતું નથી,એટલે કે કોઈપણ વાસ્તવિક $x$ માટે $f(x) \neq 0$ થાય.
તેથી,$f(x) = 0$ એટલે કે $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ કાલ્પનિક છે અને તેથી $b^2 < 4ac$ થાય.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\frac{a}{x + a + m} + \frac{b}{x + b + m} = 1$
બંને બાજુ $(x + a + m)(x + b + m)$ વડે ગુણતા:
$a(x + b + m) + b(x + a + m) = (x + a + m)(x + b + m)$
$ax + ab + am + bx + ab + bm = x^2 + bx + mx + ax + ab + am + mx + bm + m^2$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$x^2 + 2mx + m^2 - ab = 0$
બીજ સમાન મૂલ્યના પરંતુ વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોવાથી,બીજનો સરવાળો $0$ થવો જોઈએ.
બીજનો સરવાળો $= -\frac{x \text{ નો સહગુણક}}{x^2 \text{ નો સહગુણક}} = -\frac{2m}{1} = -2m$
$-2m = 0$ લેતા,આપણને $m = 0$ મળે છે.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ $At^2 + Bt + C = 0$ ના બીજ સમાન હોય ત્યારે વિવેચક $D = B^2 - 4AC = 0$ થાય.
અહીં,$A = (a^2 + b^2)$,$B = -2(ac + bd)$,અને $C = (c^2 + d^2)$ છે.
$D = 0$ લેતા:
$[-2(ac + bd)]^2 - 4(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = 0$
$(ac + bd)^2 - (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = 0$
$a^2c^2 + b^2d^2 + 2abcd - (a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2) = 0$
$-(ad - bc)^2 = 0$
$ad = bc$
$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ સમાન હોય ત્યારે વિવેચક $D = b^2 - 4ac = 0$ થાય.
અહીં,$a = 1$,$b = -2(1 + 3k)$,અને $c = 7(3 + 2k)$ છે.
$D = 0$ લેતા:
$[-2(1 + 3k)]^2 - 4(1)(7(3 + 2k)) = 0$
$4(1 + 3k)^2 - 28(3 + 2k) = 0$
$4$ વડે ભાગતા:
$(1 + 3k)^2 - 7(3 + 2k) = 0$
$1 + 6k + 9k^2 - 21 - 14k = 0$
$9k^2 - 8k - 20 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $k = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$k = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 720}}{18} = \frac{8 \pm 28}{18}$
તેથી,$k = 2$ અને $k = -\frac{10}{9}$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^2 - 8x + (a^2 - 6a) = 0$ છે.
બીજ વાસ્તવિક હોવા માટે,વિવેચક $D \ge 0$ હોવો જોઈએ.
$D = b^2 - 4ac \ge 0$
$(-8)^2 - 4(1)(a^2 - 6a) \ge 0$
$64 - 4a^2 + 24a \ge 0$
$-4$ વડે ભાગતા (અને અસમતાની નિશાની બદલતા):
$a^2 - 6a - 16 \le 0$
અવયવ પાડતા:
$(a - 8)(a + 2) \le 0$
આ અસમતા ત્યારે સાચી ઠરે છે જ્યારે $a$ એ $-2$ અને $8$ ની વચ્ચે હોય (સહિત).
તેથી,$a \in [-2, 8]$.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $px^2 + qx + 1 = 0$ ના બીજ વાસ્તવિક હોય તે માટે વિવેચક $D \ge 0$ હોવો જોઈએ.
$D = q^2 - 4(p)(1) \ge 0$
$q^2 \ge 4p$
આપેલ છે કે $p, q \in \{1, 2, 3, 4\}$,શક્ય કિંમતો તપાસતા:
જો $p = 1$,તો $q^2 \ge 4 \Rightarrow q \in \{2, 3, 4\}$ ($3$ ઉકેલો).
જો $p = 2$,તો $q^2 \ge 8 \Rightarrow q \in \{3, 4\}$ ($2$ ઉકેલો).
જો $p = 3$,તો $q^2 \ge 12 \Rightarrow q \in \{4\}$ ($1$ ઉકેલ).
જો $p = 4$,તો $q^2 \ge 16 \Rightarrow q \in \{4\}$ ($1$ ઉકેલ).
કુલ ઉકેલોની સંખ્યા = $3 + 2 + 1 + 1 = 7$.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ સમાન હોય ત્યારે વિવેચક $D = b^2 - 4ac = 0$ થાય.
અહીં $a = 1$,$b = -(3k - 1)$,અને $c = 2k^2 + 2k - 11$ લેતા:
$D = (3k - 1)^2 - 4(1)(2k^2 + 2k - 11) = 0$
$9k^2 - 6k + 1 - 8k^2 - 8k + 44 = 0$
$k^2 - 14k + 45 = 0$
$(k - 5)(k - 9) = 0$
તેથી,$k = 5$ અથવા $k = 9$.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે વાસ્તવિક અને ભિન્ન બીજ હોવા માટે વિવેચક $D = b^2 - 4ac > 0$ હોવો જોઈએ.
અહીં,$a = k - 2$,$b = 8$,અને $c = k + 4$.
$D = 8^2 - 4(k - 2)(k + 4) = 64 - 4(k^2 + 2k - 8) = -4k^2 - 8k + 96$.
$D > 0$ લેતા: $-4(k^2 + 2k - 24) > 0$ $\Rightarrow k^2 + 2k - 24 < 0$ $\Rightarrow (k + 6)(k - 4) < 0$,તેથી $-6 < k < 4$.
બીજ ઋણ હોવા માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -b/a = -8/(k - 2) < 0$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = c/a = (k + 4)/(k - 2) > 0$ હોવો જોઈએ.
$-8/(k - 2) < 0$ પરથી,$k - 2 > 0 \Rightarrow k > 2$ મળે.
$(k + 4)/(k - 2) > 0$ પરથી,$k < -4$ અથવા $k > 2$ મળે.
બધી શરતોને જોડતા: $2 < k < 4$. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$k = 3$ આ શરતનું પાલન કરે છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + 2kx + 4 = 0$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,બીજનો પ્રકાર વિવેચક $D = b^2 - 4ac$ દ્વારા નક્કી થાય છે.
અહીં,$a = 1$,$b = 2k$,અને $c = 4$ છે.
$D = (2k)^2 - 4(1)(4) = 4k^2 - 16$.
બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન હોવા માટે,$D > 0$ હોવું જોઈએ.
$4k^2 - 16 > 0$ $\Rightarrow 4(k^2 - 4) > 0$ $\Rightarrow k^2 > 4$.
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી પડે જ્યારે $k \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$ હોય.
આપેલ શરત મુજબ $k \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$ હોવાથી,વિવેચક $D$ હંમેશા $0$ કરતા મોટો રહેશે.
તેથી,બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન છે.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ સમાન હોવા માટે,વિવેચક $D = b^2 - 4ac = 0$ હોવો જોઈએ.
અહીં,$a = (m - n)$,$b = (n - l)$,અને $c = (l - m)$.
$D = 0$ માં કિંમતો મૂકતા:
$(n - l)^2 - 4(m - n)(l - m) = 0$
$n^2 + l^2 - 2nl - 4(ml - m^2 - nl + mn) = 0$
$n^2 + l^2 - 2nl - 4ml + 4m^2 + 4nl - 4mn = 0$
$l^2 + n^2 + 4m^2 + 2nl - 4mn - 4ml = 0$
આ પદાવલિ $(l + n - 2m)^2 = 0$ નું વિસ્તરણ છે.
તેથી,$l + n - 2m = 0$,જેનો અર્થ છે કે $2m = n + l$.
આ દર્શાવે છે કે $l, m, n$ એ $A.P.$ માં છે.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ કાલ્પનિક હોવા માટે,વિવેચક $D < 0$ હોવો જોઈએ.
$D = b^2 - 4ac < 0$
અહીં,$a = 1$,$b = 5$,અને $c = k$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $5^2 - 4(1)(k) < 0$.
$25 - 4k < 0$
$4k > 25$
$k > \frac{25}{4}$
$k > 6.25$
$6.25$ થી મોટો સૌથી નાનો પૂર્ણાંક $k$ એ $7$ છે.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,જો વિવેચક $D = b^2 - 4ac = 0$ હોય તો બીજ સમાન મળે.
આપેલ સમીકરણ: $4x^2 + 6px + 1 = 0$.
અહીં,$a = 4$,$b = 6p$,અને $c = 1$.
વિવેચકના સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$(6p)^2 - 4(4)(1) = 0$
$36p^2 - 16 = 0$
$36p^2 = 16$
$p^2 = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$
$p = \pm \frac{2}{3}$.
આપેલ વિકલ્પોમાં માત્ર ધન કિંમત હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $\frac{2}{3}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $(1 + 2k)x^2 + (1 - 2k)x + (1 - 2k) = 0$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ પૂર્ણ વર્ગ હોય તે માટે તેનો વિવેચક $D = b^2 - 4ac = 0$ હોવો જોઈએ.
અહીં,$a = (1 + 2k)$,$b = (1 - 2k)$,અને $c = (1 - 2k)$ છે.
$D = 0$ લેતા,$(1 - 2k)^2 - 4(1 + 2k)(1 - 2k) = 0$ મળે.
$(1 - 2k)$ સામાન્ય લેતા,$(1 - 2k) \cdot [(1 - 2k) - 4(1 + 2k)] = 0$.
$(1 - 2k) \cdot [1 - 2k - 4 - 8k] = 0$.
$(1 - 2k) \cdot (-3 - 10k) = 0$.
આથી $k$ ની બે કિંમતો મળે: $k = \frac{1}{2}$ અને $k = -\frac{3}{10}$.
બંને કિંમતો માટે સમીકરણ પૂર્ણ વર્ગ બને છે,તેથી કુલ $2$ કિંમતો શક્ય છે.

(A) આપેલ છે કે $\sin A, \sin B, \cos A$ એ $G.P.$ માં છે,તેથી $\sin^2 B = \sin A \cos A$.
$2$ વડે ગુણતા,$2 \sin^2 B = 2 \sin A \cos A = \sin 2A$.
નિત્યસમ $2 \sin^2 B = 1 - \cos 2B$ નો ઉપયોગ કરતા,$1 - \cos 2B = \sin 2A$,જેનો અર્થ છે કે $\cos 2B = 1 - \sin 2A$.
$-1 \le \sin 2A \le 1$ હોવાથી,$0 \le 1 - \sin 2A \le 2$,તેથી $\cos 2B \ge 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + 2x \cot B + 1 = 0$ માટે,વિવેચક $D = (2 \cot B)^2 - 4(1)(1) = 4(\cot^2 B - 1)$.
$\cot^2 B - 1 = \frac{\cos 2B}{\sin^2 B}$ હોવાથી,$D = 4 \frac{\cos 2B}{\sin^2 B}$.
$\cos 2B \ge 0$ અને $\sin^2 B > 0$ હોવાથી,$D \ge 0$.
તેથી,સમીકરણના બીજ હંમેશા વાસ્તવિક હોય છે.

(A) કારણ કે સહગુણકો $p$ અને $q$ વાસ્તવિક છે,તેથી સંકર બીજો હંમેશા અનુબદ્ધ જોડીમાં હોય છે.
આપેલ એક બીજ $x_1 = 2 + i\sqrt{3}$ છે,તેથી બીજું બીજ $x_2 = 2 - i\sqrt{3}$ થશે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,બીજોનો સરવાળો $x_1 + x_2 = (2 + i\sqrt{3}) + (2 - i\sqrt{3}) = 4$ થાય.
સમીકરણ $x^2 + px + q = 0$ પરથી,બીજોનો સરવાળો $-p$ છે. તેથી,$-p = 4$,જેનો અર્થ છે કે $p = -4$.
બીજોનો ગુણાકાર $x_1 \times x_2 = (2 + i\sqrt{3})(2 - i\sqrt{3}) = 2^2 - (i\sqrt{3})^2 = 4 - (-3) = 7$ થાય.
સમીકરણ $x^2 + px + q = 0$ પરથી,બીજોનો ગુણાકાર $q$ છે. તેથી,$q = 7$.
આમ,$(p, q) = (-4, 7)$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\frac{\alpha}{x - \alpha} + \frac{\beta}{x - \beta} = 1$
$(x - \alpha)(x - \beta)$ વડે ગુણતા:
$\alpha(x - \beta) + \beta(x - \alpha) = (x - \alpha)(x - \beta)$
$\alpha x - \alpha \beta + \beta x - \alpha \beta = x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta$
$x^2 - 2(\alpha + \beta)x + 3\alpha \beta = 0$
ધારો કે બીજ $k$ અને $-k$ છે. બીજનો સરવાળો $x$ ના સહગુણક જેટલો થાય છે:
$k + (-k) = 2(\alpha + \beta)$
$0 = 2(\alpha + \beta)$
$\alpha + \beta = 0$

(A) સહગુણકો વાસ્તવિક હોવાથી,સંકર બીજો હંમેશા અનુબદ્ધ જોડીમાં હોય છે.
આપેલ એક બીજ $\alpha = 7 + 5i$ છે,તેથી બીજું બીજ $\beta = 7 - 5i$ થશે.
બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = (7 + 5i) + (7 - 5i) = 14$ છે.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = (7 + 5i)(7 - 5i) = 7^2 - (5i)^2 = 49 + 25 = 74$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણનું સૂત્ર $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x^2 - 14x + 74 = 0$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $\frac{1}{x + p} + \frac{1}{x + q} = \frac{1}{r}$ છે.
$r(x + q) + r(x + p) = (x + p)(x + q)$ વડે ગુણતા,$x^2 + x(p + q - 2r) + (pq - rp - rq) = 0$ મળે છે.
ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $-\alpha$ છે. બીજનો સરવાળો શૂન્ય હોવાથી,$x$ નો સહગુણક શૂન્ય થાય:
$p + q - 2r = 0 \implies r = \frac{p + q}{2}$.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha(-\alpha) = -\alpha^2 = pq - r(p + q)$ છે.
$r = \frac{p + q}{2}$ મૂકતા:
$-\alpha^2 = pq - \frac{p + q}{2}(p + q) = pq - \frac{(p + q)^2}{2} = -\frac{p^2 + q^2}{2}$.

(B) આપેલ છે કે પ્રથમ બીજ $\alpha = 2 - \sqrt{3}$ છે.
સહગુણકો સંમેય હોવાથી,બીજું બીજ તેની અનુબદ્ધ સંખ્યા $\beta = 2 + \sqrt{3}$ થશે.
બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = (2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3}) = 4$ છે.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = (2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x^2 - 4x + 1 = 0$ મળે છે.

(A) આપેલ એક બીજ $\alpha = \frac{1}{2 + \sqrt{5}}$ છે.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા,$\alpha = \frac{2 - \sqrt{5}}{(2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5})} = \frac{2 - \sqrt{5}}{4 - 5} = \sqrt{5} - 2$ મળે.
બીજું બીજ $\beta = -\sqrt{5} - 2$ થશે.
બીજનો સરવાળો $(\alpha + \beta) = -4$ અને ગુણાકાર $(\alpha \beta) = -1$ છે.
તેથી,દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\text{સરવાળો})x + (\text{ગુણાકાર}) = 0$ મુજબ $x^2 + 4x - 1 = 0$ મળે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,જો વિવેચક $D = b^2 - 4ac = 0$ હોય તો બીજ સમાન હોય છે.
અહીં,$a = 1$,$b = 2m$,અને $c = m^2 - 2m + 6$ છે.
વિવેચકના સૂત્રમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$(2m)^2 - 4(1)(m^2 - 2m + 6) = 0$
$4m^2 - 4m^2 + 8m - 24 = 0$
$8m - 24 = 0$
$8m = 24$
$m = 3$.

(A) ધારો કે બીજ $\alpha = \frac{1}{3 + \sqrt{2}}$ અને $\beta = \frac{1}{3 - \sqrt{2}}$ છે.
બીજનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\alpha = \frac{3 - \sqrt{2}}{7}$
$\beta = \frac{3 + \sqrt{2}}{7}$
બીજનો સરવાળો $(\alpha + \beta) = \frac{6}{7}$
બીજનો ગુણાકાર $(\alpha \times \beta) = \frac{1}{7}$
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ મુજબ:
$x^2 - \frac{6}{7}x + \frac{1}{7} = 0$
$7$ વડે ગુણતા,$7x^2 - 6x + 1 = 0$ મળે છે.

(B) ધારો કે બે અંકની સંખ્યા $10x + y$ છે,જ્યાં $x$ દશકનો અંક છે અને $y$ એકમનો અંક છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સંખ્યા તેના અંકોના સરવાળા કરતાં ચાર ગણી છે:
$10x + y = 4(x + y)$
$10x + y = 4x + 4y$
$6x = 3y$
$y = 2x$ (સમીકરણ $1$)
વળી,સંખ્યા તેના અંકોના ગુણાકાર કરતાં ત્રણ ગણી છે:
$10x + y = 3xy$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ માં $y = 2x$ મૂકતા:
$10x + 2x = 3x(2x)$
$12x = 6x^2$
$x$ એ દશકનો અંક હોવાથી $x \neq 0$,તેથી $6x$ વડે ભાગતા:
$2 = x$
સમીકરણ $1$ નો ઉપયોગ કરતા,$y = 2(2) = 4$.
આમ,સંખ્યા $10(2) + 4 = 24$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2 + x + 1 = 0$ છે.
$\alpha$ એ બીજ હોવાથી,$\alpha^2 + \alpha + 1 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha^3 = 1$.
વળી,બીજ $\alpha$ અને $\alpha^2$ છે,તેથી $\alpha + \alpha^2 = -1$ અને $\alpha \cdot \alpha^2 = \alpha^3 = 1$.
આપણે $\alpha^{31}$ અને $\alpha^{62}$ બીજ ધરાવતું સમીકરણ શોધવાનું છે.
$\alpha^3 = 1$ હોવાથી,$\alpha^{31} = (\alpha^3)^{10} \cdot \alpha = 1^{10} \cdot \alpha = \alpha$.
તે જ રીતે,$\alpha^{62} = (\alpha^3)^{20} \cdot \alpha^2 = 1^{20} \cdot \alpha^2 = \alpha^2$.
નવા સમીકરણના બીજ $\alpha$ અને $\alpha^2$ છે.
તેથી,જરૂરી સમીકરણ મૂળ સમીકરણ જેવું જ છે: $x^2 + x + 1 = 0$.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2 + Bx + C = 0$ માટે,જો $A + B + C = 0$ હોય,તો $x = 1$ હંમેશા એક બીજ હોય છે.
અહીં,$A = a + b - 2c$,$B = -(2a - b - c)$,અને $C = a - 2b + c$.
સહગુણકોનો સરવાળો: $A + B + C = (a + b - 2c) - (2a - b - c) + (a - 2b + c) = 0$.
તેથી,$x_1 = 1$ એક બીજ છે.
બીજનો ગુણાકાર $\frac{C}{A} = \frac{a - 2b + c}{a + b - 2c}$ છે.
તેથી,બીજું બીજ $x_2 = \frac{a - 2b + c}{a + b - 2c}$ છે.
આપેલા વિકલ્પો તપાસતા,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપેલ છે કે સહગુણકો $p$ અને $q$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે,તેથી સંકર બીજ હંમેશા અનુબદ્ધ જોડીમાં હોય છે.
જો $3 + 4i$ એક બીજ હોય,તો તેનું અનુબદ્ધ $3 - 4i$ પણ સમીકરણ ${x^2} + px + q = 0$ નું બીજ થાય.
દ્વિઘાત સમીકરણ ${x^2} + px + q = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $-p$ અને બીજનો ગુણાકાર $q$ થાય છે.
બીજનો સરવાળો: $(3 + 4i) + (3 - 4i) = 6 = -p \implies p = -6$.
બીજનો ગુણાકાર: $(3 + 4i)(3 - 4i) = 3^2 - (4i)^2 = 9 - 16(-1) = 9 + 16 = 25 = q$.
આમ,$p = -6$ અને $q = 25$.

(A) ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\alpha + 1$ છે.
તેથી,બીજનો સરવાળો $\alpha + (\alpha + 1) = 2\alpha + 1 = b$ થાય.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha(\alpha + 1) = c$ થાય.
હવે,આપણે વિવેચક $b^2 - 4c$ ની ગણતરી કરીએ:
$b^2 - 4c = (2\alpha + 1)^2 - 4\alpha(\alpha + 1)$
$= 4\alpha^2 + 4\alpha + 1 - 4\alpha^2 - 4\alpha$
$= 1$.
તેથી,$b^2 - 4c = 1$.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ ${x^2} - ax + b = 0$ ના સહગુણકો વાસ્તવિક હોવાથી,સંકર બીજો હંમેશા અનુબદ્ધ જોડીમાં હોય છે.
આપેલ છે કે $1 - i$ એક બીજ છે,તેથી તેનું અનુબદ્ધ $1 + i$ પણ બીજ હશે.
બીજોનો સરવાળો $(1 - i) + (1 + i) = 2$ થાય.
સમીકરણ પરથી,બીજોનો સરવાળો $a$ છે,તેથી $a = 2$.
બીજોનો ગુણાકાર $(1 - i)(1 + i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 2$ થાય.
સમીકરણ પરથી,બીજોનો ગુણાકાર $b$ છે,તેથી $b = 2$.

(C) આપેલ છે કે $3$ એ સમીકરણ $x^2 + kx - 24 = 0$ નું એક બીજ છે.
સમીકરણમાં $x = 3$ મૂકતા:
$(3)^2 + k(3) - 24 = 0$
$9 + 3k - 24 = 0$
$3k - 15 = 0$
$3k = 15$
$k = 5$
હવે,ચકાસો કે $k = 5$ હોય ત્યારે કયો વિકલ્પ $x = 3$ બીજ ધરાવે છે:
વિકલ્પ $(C)$ માટે,$x^2 - kx + 6 = 0$ એ $x^2 - 5x + 6 = 0$ બને છે.
$x = 3$ મૂકતા: $(3)^2 - 5(3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0$.
આમ,$3$ એ $x^2 - kx + 6 = 0$ નું બીજ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ ${t^2}{x^2} + |x| + 9 = 0$ છે.
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $t$ અને $x$ માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે ${t^2}{x^2} \ge 0$ અને $|x| \ge 0$.
તેથી,${t^2}{x^2} + |x| + 9 \ge 9$.
આમ,પદાવલિ હંમેશા $9$ કે તેથી મોટી હોવાથી,તે ક્યારેય $0$ થઈ શકે નહીં.
આથી,સમીકરણને કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી.
પરિણામે,વાસ્તવિક બીજનો ગુણાકાર અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + px + q = 0$ માટે,જો એક બીજ $2 + \sqrt{3}$ હોય,તો બીજું બીજ તેની અનુબદ્ધ કરણી $2 - \sqrt{3}$ થાય.
બીજનો સરવાળો $= -p = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4$,તેથી $p = -4$.
બીજનો ગુણાકાર $= q = (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$.
તેથી,$(p, q) = (-4, 1)$ મળે છે.

(D) ધારો કે $f(x) = x^4 - px^2 + q$. કારણ કે $x^2 - 3x + 2$ એ $f(x)$ નો અવયવ છે,તેથી $x^2 - 3x + 2 = 0$ ના બીજ એ $f(x) = 0$ ના પણ બીજ હોવા જોઈએ.
$x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) = 0$,તેથી બીજ $x = 1$ અને $x = 2$ છે.
$x = 1$ માટે: $1^4 - p(1)^2 + q = 0$ $\Rightarrow 1 - p + q = 0$ $\Rightarrow p - q = 1$ (સમીકરણ $i$).
$x = 2$ માટે: $2^4 - p(2)^2 + q = 0$ $\Rightarrow 16 - 4p + q = 0$ $\Rightarrow 4p - q = 16$ (સમીકરણ $ii$).
(ii) માંથી $(i)$ બાદ કરતા: $(4p - q) - (p - q) = 16 - 1$ $\Rightarrow 3p = 15$ $\Rightarrow p = 5$.
$p = 5$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $5 - q = 1 \Rightarrow q = 4$.
આમ,$(p, q) = (5, 4)$.

(C) આપેલ પદાવલિ ${x^2} - 8x + 17$ છે.
પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
${x^2} - 8x + 17 = {x^2} - 8x + 16 + 1 = {(x - 4)^2} + 1$.
કારણ કે $x$ વાસ્તવિક સંખ્યા છે,કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાનો વર્ગ હંમેશા અઋણ હોય છે,એટલે કે ${(x - 4)^2} \ge 0$.
${(x - 4)^2}$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $0$ છે જ્યારે $x = 4$ હોય.
તેથી,આપેલ પદાવલિની ન્યૂનતમ કિંમત $0 + 1 = 1$ થાય.

(A) ધારો કે $y = x^2 - 6x + 13$.
આપણે પદાવલિને પૂર્ણ વર્ગ બનાવીને ફરીથી લખી શકીએ:
$y = (x^2 - 6x + 9) + 4$
$y = (x - 3)^2 + 4$.
દરેક વાસ્તવિક $x$ માટે $(x - 3)^2 \ge 0$ હોવાથી,$(x - 3)^2 + 4$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $0 + 4 = 4$ છે.
તેથી,$y \ge 4$.
આમ,પદાવલિની કિંમત $4$ થી ઓછી ન હોય.

(C) આપેલ સમીકરણ $|3x^2 + 12x + 6| = 5x + 16$ છે ... $(i)$
કિસ્સો $1$: $3x^2 + 12x + 6 \ge 0$
$x^2 + 4x + 2 \ge 0$ $\Rightarrow (x+2)^2 \ge 2$ $\Rightarrow x \le -2 - \sqrt{2}$ અથવા $x \ge -2 + \sqrt{2}$ ... $(ii)$
આ કિસ્સામાં,સમીકરણ $3x^2 + 12x + 6 = 5x + 16 \Rightarrow 3x^2 + 7x - 10 = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા,આપણને $(3x + 10)(x - 1) = 0$ મળે છે,તેથી $x = 1$ અથવા $x = -\frac{10}{3}$.
$(ii)$ ની શરત ચકાસતા,$x = 1$ શરતનું પાલન કરે છે,પરંતુ $x = -\frac{10}{3}$ શરતનું પાલન કરતું નથી.
કિસ્સો $2$: $3x^2 + 12x + 6 < 0$
$-2 - \sqrt{2} < x < -2 + \sqrt{2}$ ... $(iii)$
આ કિસ્સામાં,સમીકરણ $-(3x^2 + 12x + 6) = 5x + 16 \Rightarrow 3x^2 + 17x + 22 = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા,આપણને $(3x + 11)(x + 2) = 0$ મળે છે,તેથી $x = -2$ અથવા $x = -\frac{11}{3}$.
$(iii)$ ની શરત ચકાસતા,$x = -2$ શરતનું પાલન કરે છે,પરંતુ $x = -\frac{11}{3}$ શરતનું પાલન કરતું નથી.
આમ,માત્ર $x = 1$ અને $x = -2$ ઉકેલો છે. તેથી કુલ $2$ વાસ્તવિક કિંમતો મળે છે.

(D) આપેલ ઘાત સમીકરણ $4x^3 + 16x^2 - 9x - 36 = 0$ છે.
પદોને જૂથ બનાવીને અવયવ પાડતા:
$4x^2(x + 4) - 9(x + 4) = 0$.
$(x + 4)$ સામાન્ય લેતા:
$(x + 4)(4x^2 - 9) = 0$.
આથી $x + 4 = 0$ અથવા $4x^2 - 9 = 0$ મળે.
$x + 4 = 0$ માટે,$x = -4$.
$4x^2 - 9 = 0$ માટે,$x^2 = \frac{9}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $x = \pm \frac{3}{2}$.
આમ,બીજ $-4, \frac{3}{2}, -\frac{3}{2}$ છે.
અહીં બે બીજ $\frac{3}{2}$ અને $-\frac{3}{2}$ નો સરવાળો શૂન્ય થાય છે,જે શરતનું પાલન કરે છે.