Solution of quadratic equations and Nature of roots Questions in Gujarati

(C) બીજ શોધવા માટે,આપણે આપેલ વિકલ્પોને સમીકરણ $f(x) = 2x^5 - 14x^4 + 31x^3 - 64x^2 + 19x + 130 = 0$ માં મૂકીએ.
$x = 5$ માટે:
$f(5) = 2(5)^5 - 14(5)^4 + 31(5)^3 - 64(5)^2 + 19(5) + 130$
$f(5) = 6250 - 8750 + 3875 - 1600 + 95 + 130 = 0$
તેથી,$x = 5$ એ સમીકરણનું એક બીજ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^3 - 3x + 2 = 0$ છે.
$x = 1$ મુકતા,$1^3 - 3(1) + 2 = 0$ મળે છે.
તેથી,$(x - 1)$ એક અવયવ છે.
$x^3 - 3x + 2$ ને $(x - 1)$ વડે ભાગતા,$x^2(x - 1) + x(x - 1) - 2(x - 1) = 0$ મળે.
$(x - 1)(x^2 + x - 2) = 0$.
દ્વિઘાત ભાગના અવયવ પાડતા: $(x - 1)(x + 2)(x - 1) = 0$.
આમ,$(x - 1)^2(x + 2) = 0$.
બીજ $1, 1, -2$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^4 - 2x^3 + x - 380 = 0$ છે.
પૂર્ણાંક બીજ ચકાસતા,આપણને મળે છે કે $x = 5$ અને $x = -4$ બીજ છે.
બહુપદી $x^4 - 2x^3 + x - 380$ ને $(x - 5)(x + 4) = x^2 - x - 20$ વડે ભાગતા,ભાગફળ $x^2 - x + 19$ મળે છે.
તેથી,$(x - 5)(x + 4)(x^2 - x + 19) = 0$.
$x^2 - x + 19 = 0$ માટે,દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,
$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(19)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{-75}}{2} = \frac{1 \pm 5\sqrt{-3}}{2}$.
આમ,બીજ $5, -4, \frac{1 \pm 5\sqrt{-3}}{2}$ છે.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $pqx^2 - (p + q)^2x + (p + q)^2 = 0$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = pq$,$b = -(p + q)^2$,અને $c = (p + q)^2$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
વિવેચક $D = b^2 - 4ac = (-(p + q)^2)^2 - 4(pq)(p + q)^2 = (p + q)^4 - 4pq(p + q)^2$.
$D = (p + q)^2 [(p + q)^2 - 4pq] = (p + q)^2 (p - q)^2$.
તેથી,$\sqrt{D} = (p + q)(p - q) = p^2 - q^2$.
$x = \frac{(p + q)^2 \pm (p^2 - q^2)}{2pq}$.
કિસ્સો $1$: $x = \frac{p^2 + 2pq + q^2 + p^2 - q^2}{2pq} = \frac{2p(p + q)}{2pq} = \frac{p + q}{q}$.
કિસ્સો $2$: $x = \frac{p^2 + 2pq + q^2 - p^2 + q^2}{2pq} = \frac{2q(p + q)}{2pq} = \frac{p + q}{p}$.
આમ,ઉકેલ ગણ $\left\{ \frac{p + q}{p}, \frac{p + q}{q} \right\}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $x = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \dots \infty}}}$.
અનંત શ્રેણી હોવાથી,આપણે લખી શકીએ $x = \sqrt{1 + x}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x^2 = 1 + x$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - x - 1 = 0$ મળે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 1, b = -1, c = -1$:
$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
$x$ એ વર્ગમૂળ દર્શાવે છે,તેથી $x > 0$ હોવું જોઈએ.
તેથી,આપણે ઋણ ઉકેલ $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ ને અવગણીશું.
આમ,$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $|x^2| + |x| - 6 = 0$.
$|x^2| = |x|^2$ હોવાથી,સમીકરણને $|x|^2 + |x| - 6 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $t = |x|$,જ્યાં $t \ge 0$. સમીકરણ $t^2 + t - 6 = 0$ બને છે.
અવયવ પાડતા: $(t + 3)(t - 2) = 0$.
આથી $t = -3$ અથવા $t = 2$ મળે છે.
$t = |x| \ge 0$ હોવાથી,$t = -3$ શક્ય નથી.
તેથી,$|x| = 2$,જેનો અર્થ છે કે $x = 2$ અથવા $x = -2$.
બીજ $2$ અને $-2$ છે.
બીજનો સરવાળો $2 + (-2) = 0$ થાય છે.

(C) સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ છે.
ચાલો વિકલ્પ $(C)$ તપાસીએ: $\frac{2c}{-b \mp \sqrt{b^2 - 4ac}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\frac{2c}{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}} \times \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}} = \frac{2c(-b + \sqrt{b^2 - 4ac})}{b^2 - (b^2 - 4ac)} = \frac{2c(-b + \sqrt{b^2 - 4ac})}{4ac} = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
તે જ રીતે,$\frac{2c}{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}} = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
આમ,વિકલ્પ $(C)$ માં આપેલ પદ એ પ્રમાણિત દ્વિઘાત સૂત્રને સમાન છે.

(A) આપેલ છે કે સમીકરણ $x^2 + \lambda x + \mu = 0$ ના બીજ સમાન છે,તેથી વિવેચક શૂન્ય હોવો જોઈએ: $\lambda^2 - 4\mu = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda^2 = 4\mu$.
બીજા સમીકરણ $x^2 + \lambda x - 12 = 0$ માટે,$x = 2$ એ એક બીજ છે.
સમીકરણમાં $x = 2$ મૂકતા: $2^2 + \lambda(2) - 12 = 0$.
$4 + 2\lambda - 12 = 0$.
$2\lambda = 8$,તેથી $\lambda = 4$.
હવે,$\lambda = 4$ ને પ્રથમ સંબંધ $\lambda^2 = 4\mu$ માં મૂકતા:
$4^2 = 4\mu$.
$16 = 4\mu$,તેથી $\mu = 4$.
આમ,$(\lambda, \mu) = (4, 4)$.

(A) ધારો કે $f(x) = (x - a)(x - c) + 2(x - b)(x - d)$.
$f(x)$ એ ધન અગ્ર સહગુણક ધરાવતી દ્વિઘાત બહુપદી છે,તેથી આપણે $x = a, b, c, d$ માટે $f(x)$ ની કિંમત તપાસીએ:
$f(a) = 2(a - b)(a - d) > 0$ (કારણ કે $a < b$ અને $a < d$).
$f(b) = (b - a)(b - c) < 0$ (કારણ કે $b > a$ અને $b < c$).
$f(c) = 2(c - b)(c - d) < 0$ (કારણ કે $c > b$ અને $c < d$).
$f(d) = (d - a)(d - c) > 0$ (કારણ કે $d > a$ અને $d > c$).
$f(a) > 0$ અને $f(b) < 0$ હોવાથી,$(a, b)$ ની વચ્ચે એક બીજ છે.
$f(c) < 0$ અને $f(d) > 0$ હોવાથી,$(c, d)$ ની વચ્ચે એક બીજ છે.
આમ,સમીકરણના બે વાસ્તવિક અને ભિન્ન બીજ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $qx^2 + px + q = 0$ છે. જો બીજ સંકર હોય,તો વિવેચક $D_1 = p^2 - 4q^2 < 0$,જેનો અર્થ છે કે $p^2 < 4q^2$.
હવે,સમીકરણ $x^2 - 4qx + p^2 = 0$ ધ્યાનમાં લો. આ સમીકરણનો વિવેચક $D_2 = (-4q)^2 - 4(1)(p^2) = 16q^2 - 4p^2$ છે.
આને $D_2 = 4(4q^2 - p^2)$ તરીકે લખી શકાય.
કારણ કે $p^2 < 4q^2$,તેથી $4q^2 - p^2 > 0$ થાય,અને તેથી $D_2 > 0$.
વિવેચક $D_2$ ધન હોવાથી,સમીકરણ $x^2 - 4qx + p^2 = 0$ ના બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન છે.

(D) દ્વિઘાત પદાવલિ $Ax^2 + Bx + C$ તમામ $x$ માટે ધન હોય તે માટે $A > 0$ અને વિવેચક $D = B^2 - 4AC < 0$ હોવું જોઈએ.
અહીં,$A = a^2 - 1$,$B = 2(a - 1)$,અને $C = 2$.
શરત $1$: $A > 0 \implies a^2 - 1 > 0 \implies a^2 > 1 \implies a < -1$ અથવા $a > 1$.
શરત $2$: $D < 0 \implies [2(a - 1)]^2 - 4(a^2 - 1)(2) < 0$.
$4(a - 1)^2 - 8(a - 1)(a + 1) < 0$.
$4(a - 1)[(a - 1) - 2(a + 1)] < 0 \implies (a - 1)(-a - 3) < 0 \implies (a - 1)(a + 3) > 0$.
આ શરત $a < -3$ અથવા $a > 1$ માટે સાચી છે.
બંને શરતોનો છેદ લેતા,આપણને $a < -3$ અથવા $a > 1$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $\frac{x^2 - bx}{ax - c} = \frac{m - 1}{m + 1}$ છે.
ગુણાકાર કરતા,$(m + 1)(x^2 - bx) = (m - 1)(ax - c)$ મળે.
તેને વિસ્તૃત કરતા,$(m + 1)x^2 - [b(m + 1) + a(m - 1)]x + c(m - 1) = 0$ મળે.
બીજ સમાન અને વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોવાથી,તેમનો સરવાળો શૂન્ય થાય.
દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2 + Bx + C = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $-\frac{B}{A} = 0$ થાય,એટલે કે $B = 0$.
તેથી,$b(m + 1) + a(m - 1) = 0$.
$m(a + b) = a - b$.
$m = \frac{a - b}{a + b}$.

(B) આપેલ સમીકરણ ${x^2} - 3kx + 2{e^{2\log k}} - 1 = 0$ છે.
${e^{2\log k}} = {e^{\log {k^2}}} = {k^2}$ હોવાથી,સમીકરણ ${x^2} - 3kx + 2{k^2} - 1 = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજનો ગુણાકાર $\frac{c}{a}$ છે.
અહીં,બીજનો ગુણાકાર $2{k^2} - 1$ છે.
બીજનો ગુણાકાર $7$ આપેલ હોવાથી,$2{k^2} - 1 = 7$,જેનો અર્થ છે $2{k^2} = 8$,તેથી ${k^2} = 4$,એટલે કે $k = \pm 2$.
મૂળ સમીકરણમાં $\log k$ હોવાથી,$k$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી $k = 2$.
બીજ વાસ્તવિક હોવા માટે,વિવેચક $D = b^2 - 4ac \ge 0$ હોવો જોઈએ.
$D = (-3k)^2 - 4(1)(2{k^2} - 1) = 9{k^2} - 8{k^2} + 4 = {k^2} + 4$.
કોઈપણ વાસ્તવિક $k$ માટે ${k^2} + 4 > 0$ હોવાથી,બીજ હંમેશા વાસ્તવિક રહે છે.
આમ,$k=2$ માટે બીજ વાસ્તવિક છે.

(B) આપેલ છે $5\cos A + 3 = 0$,તેથી $\cos A = -\frac{3}{5}$.
ત્રિકોણનો ખૂણો $A$ હોવાથી અને $\cos A < 0$ હોવાથી,$A$ ગુરુકોણ છે,તેથી $\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - (-\frac{3}{5})^2} = \frac{4}{5}$.
તેથી $\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{4/5}{-3/5} = -\frac{4}{3}$.
ધારો કે બીજ $\alpha = \sin A = \frac{4}{5}$ અને $\beta = \tan A = -\frac{4}{3}$ છે.
બીજનો સરવાળો: $\alpha + \beta = \frac{4}{5} - \frac{4}{3} = -\frac{8}{15}$.
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha \cdot \beta = (\frac{4}{5})(-\frac{4}{3}) = -\frac{16}{15}$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
$x^2 + \frac{8}{15}x - \frac{16}{15} = 0$.
$15$ વડે ગુણતા,$15x^2 + 8x - 16 = 0$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $x^2 - |x| - 6 = 0$
કિસ્સો $1$: જો $x \ge 0$ હોય,તો $|x| = x$. સમીકરણ $x^2 - x - 6 = 0$ બને છે.
$(x - 3)(x + 2) = 0$.
આથી $x = 3$ અથવા $x = -2$ મળે. $x \ge 0$ હોવાથી,$x = 3$ મળે.
કિસ્સો $2$: જો $x < 0$ હોય,તો $|x| = -x$. સમીકરણ $x^2 - (-x) - 6 = 0$ એટલે કે $x^2 + x - 6 = 0$ બને છે.
$(x + 3)(x - 2) = 0$.
આથી $x = -3$ અથવા $x = 2$ મળે. $x < 0$ હોવાથી,$x = -3$ મળે.
વાસ્તવિક બીજ $3$ અને $-3$ છે.
તમામ વાસ્તવિક બીજનો ગુણાકાર $3 \times (-3) = -9$ થાય.

(C) સમીકરણ ${x^2} + px + q = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -p$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = q$ છે.
સમીકરણ ${x^2} + rx + s = 0$ માટે,બીજ $\alpha + h$ અને $\beta + h$ છે. તેથી,બીજનો સરવાળો $(\alpha + h) + (\beta + h) = -r$ થાય,જેનું સાદુંરૂપ $(\alpha + \beta) + 2h = -r$ મળે છે. $\alpha + \beta = -p$ મૂકતા,$-p + 2h = -r$ મળે,તેથી $h = \frac{p - r}{2}$.
બીજા સમીકરણ માટે બીજનો ગુણાકાર $(\alpha + h)(\beta + h) = s$ છે,જેનું વિસ્તરણ $\alpha \beta + h(\alpha + \beta) + {h^2} = s$ થાય છે. જાણીતી કિંમતો મૂકતા,$q + h(-p) + {h^2} = s$ મળે છે. $h = \frac{p - r}{2}$ મૂકતા,$q - p\left( \frac{p - r}{2} \right) + \left( \frac{p - r}{2} \right)^2 = s$ મળે છે. $4$ વડે ગુણતા,$4q - 2p(p - r) + (p - r)^2 = 4s$ મળે,જેનું સાદુંરૂપ $4q - 2p^2 + 2pr + p^2 + r^2 - 2pr = 4s$ થાય છે. આનાથી $4q - p^2 + r^2 = 4s$ અથવા ${p^2} - 4q = {r^2} - 4s$ મળે છે.

(A) ધારો કે $f(x) = {x^4} - (p - 3){x^3} - (3p - 5){x^2} + (2p - 7)x + 6$.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $(x + 1)$ એ $f(x)$ નો અવયવ હોય,તો $f(-1) = 0$ થાય.
$x = -1$ મૂકતા:
$(-1)^4 - (p - 3)(-1)^3 - (3p - 5)(-1)^2 + (2p - 7)(-1) + 6 = 0$
$1 + (p - 3) - (3p - 5) - (2p - 7) + 6 = 0$
$1 + p - 3 - 3p + 5 - 2p + 7 + 6 = 0$
$-4p + 16 = 0$
$-4p = -16$
$p = 4$.

(D) આપેલ છે કે $\alpha$ એ $a^2x^2 + bx + c = 0$ નું બીજ છે,તેથી $a^2\alpha^2 + b\alpha + c = 0$,જેનો અર્થ છે કે $b\alpha + c = -a^2\alpha^2$.
આપેલ છે કે $\beta$ એ $a^2x^2 - bx - c = 0$ નું બીજ છે,તેથી $a^2\beta^2 - b\beta - c = 0$,જેનો અર્થ છે કે $b\beta + c = a^2\beta^2$.
ધારો કે $f(x) = a^2x^2 + 2bx + 2c$.
$\alpha$ માટે $f(x)$ ની કિંમત: $f(\alpha) = a^2\alpha^2 + 2(b\alpha + c) = a^2\alpha^2 + 2(-a^2\alpha^2) = -a^2\alpha^2$. કારણ કે $a \ne 0$ અને $\alpha > 0$,તેથી $f(\alpha) < 0$.
$\beta$ માટે $f(x)$ ની કિંમત: $f(\beta) = a^2\beta^2 + 2(b\beta + c) = a^2\beta^2 + 2(a^2\beta^2) = 3a^2\beta^2$. કારણ કે $a \ne 0$ અને $\beta > 0$,તેથી $f(\beta) > 0$.
કારણ કે $f(\alpha) < 0$ અને $f(\beta) > 0$,તેથી ઇન્ટરમીડિયેટ વેલ્યુ થિયરમ મુજબ,$f(x) = 0$ નું એક બીજ $\gamma$ એવું મળે કે જેથી $\alpha < \gamma < \beta$ થાય.

(A) આપેલ પદાવલિ ઘાતાંકીય શ્રેણીના વિસ્તરણ $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots \infty$ ના સ્વરૂપમાં છે.
અંશ $N = e^{m \ln 3} \times e^{n \ln 3} = e^{(m+n) \ln 3} = 3^{m+n}$.
છેદ $D = e^{mn \ln 3} = 3^{mn}$.
સમીકરણ $x^2 - x - 1 = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $m+n = 1$ અને બીજનો ગુણાકાર $mn = -1$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$\frac{N}{D} = \frac{3^{m+n}}{3^{mn}} = \frac{3^1}{3^{-1}} = 3^{1 - (-1)} = 3^2 = 9$.

(B) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $a_1x + b_1y = c_1$ અને $a_2x + b_2y = c_2$ ને અનંત ઉકેલો હોય તે માટેની શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ છે.
આપેલ સમીકરણો: $(k + 1)x + 8y = 4k$ અને $kx + (k + 3)y = 3k - 1$.
શરત લાગુ પાડતા: $\frac{k + 1}{k} = \frac{8}{k + 3} = \frac{4k}{3k - 1}$.
પ્રથમ,$\frac{k + 1}{k} = \frac{8}{k + 3}$ ઉકેલો:
$(k + 1)(k + 3) = 8k \Rightarrow k^2 + 4k + 3 = 8k \Rightarrow k^2 - 4k + 3 = 0$.
અવયવ પાડતા $(k - 1)(k - 3) = 0$ મળે,તેથી $k = 1$ અથવા $k = 3$.
હવે,આ કિંમતોને બીજી સમાનતા $\frac{8}{k + 3} = \frac{4k}{3k - 1}$ માં ચકાસો:
જો $k = 1$ હોય: $\frac{8}{1 + 3} = \frac{8}{4} = 2$ અને $\frac{4(1)}{3(1) - 1} = \frac{4}{2} = 2$. $2 = 2$ હોવાથી,$k = 1$ એ ઉકેલ છે.
જો $k = 3$ હોય: $\frac{8}{3 + 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ અને $\frac{4(3)}{3(3) - 1} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$. $\frac{4}{3} \neq \frac{3}{2}$ હોવાથી,$k = 3$ એ ઉકેલ નથી.
આમ,$k$ ની માત્ર $1$ કિંમત માટે સંહતિને અનંત ઉકેલો છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $\cos \theta = x + \frac{1}{x}$ છે.
$x$ વડે ગુણતા,આપણને $x^2 - x \cos \theta + 1 = 0$ મળે છે.
કારણ કે $x$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા છે,આ દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક $D$ એ $0$ કરતા મોટો અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ.
$D = b^2 - 4ac = (-\cos \theta)^2 - 4(1)(1) \ge 0$.
$\cos^2 \theta - 4 \ge 0$.
$\cos^2 \theta \ge 4$.
જોકે,$\cos \theta$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે,તેથી $\cos^2 \theta$ એ $[0, 1]$ અંતરાલમાં હોવું જોઈએ.
કારણ કે $\cos^2 \theta \ge 4$ શક્ય નથી,તેથી $x$ ની એવી કોઈ વાસ્તવિક કિંમત નથી જેના માટે આ સમીકરણ સાચું હોય.
તેથી,$\theta$ ની કોઈ કિંમત શક્ય નથી.

(D) આપેલ બિંદુ $(t^2 + 2t + 5, 2t^2 + t - 2)$ રેખા $x + y = 2$ પર હોય જો તેના યામ સમીકરણનું સમાધાન કરે:
$(t^2 + 2t + 5) + (2t^2 + t - 2) = 2$
$3t^2 + 3t + 3 = 2$
$3t^2 + 3t + 1 = 0$
આ દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,વિવેચક $D = b^2 - 4ac = (3)^2 - 4(3)(1) = 9 - 12 = -3$.
વિવેચક ઋણ $(D < 0)$ હોવાથી,$t$ ની કોઈ વાસ્તવિક કિંમત આ સમીકરણનું સમાધાન કરતી નથી.
તેથી,$t$ ની કોઈ પણ વાસ્તવિક કિંમત માટે આ બિંદુ રેખા પર હોઈ શકે નહીં.

(C) બે બળો $P$ અને $Q$ જે $\theta$ ખૂણે કાર્યરત હોય,તેમના પરિણામી બળ $R$ નું સૂત્ર $R^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ \cos \theta$ છે.
અહીં $R = \sqrt{7}Q$ અને $\theta = 60^\circ$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $(\sqrt{7}Q)^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ \cos 60^\circ$.
$7Q^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ(1/2)$.
$7Q^2 = P^2 + Q^2 + PQ$.
પદોને ગોઠવતા: $P^2 + PQ - 6Q^2 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $P^2 + 3PQ - 2PQ - 6Q^2 = 0$.
$P(P + 3Q) - 2Q(P + 3Q) = 0$.
$(P - 2Q)(P + 3Q) = 0$.
બળોના મૂલ્યો $P$ અને $Q$ ધન હોવાથી,$P + 3Q \neq 0$ થાય.
તેથી,$P - 2Q = 0$,જેનો અર્થ છે કે $P = 2Q$.
આમ,$P/Q = 2$.

(D) આપેલ વિધેય $x$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ $f(x) = Ax^2 + Bx + C$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $A = 1 + b^2$,$B = 2b$,અને $C = 1$ છે.
બધા વાસ્તવિક $b$ માટે $A = 1 + b^2 > 0$ હોવાથી,વિધેયની ન્યૂનતમ કિંમત $x = -\frac{B}{2A}$ પર મળે છે.
ન્યૂનતમ કિંમત $m(b) = f(-\frac{B}{2A}) = C - \frac{B^2}{4A}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $m(b) = 1 - \frac{(2b)^2}{4(1 + b^2)} = 1 - \frac{4b^2}{4(1 + b^2)} = 1 - \frac{b^2}{1 + b^2}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $m(b) = \frac{1 + b^2 - b^2}{1 + b^2} = \frac{1}{1 + b^2}$ મળે છે.
$b^2 \ge 0$ હોવાથી,$1 + b^2 \ge 1$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $0 < \frac{1}{1 + b^2} \le 1$.
આમ,$m(b)$ નો વિસ્તાર $(0, 1]$ છે.

(B) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ છે. સમાંતર મધ્યક $A = \frac{a + b}{2}$ અને સમગુણોત્તર મધ્યક $G = \sqrt{ab}$ છે.
તેથી,$G^2 = ab$.
આપેલ સમીકરણ $x^2 - 2Ax + G^2 = 0$ છે.
$2A = a + b$ અને $G^2 = ab$ મૂકતા,આપણને $x^2 - (a + b)x + ab = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x - a)(x - b) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $a$ અને $b$ એ સમીકરણના બીજ છે.
કોઈપણ બે ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ માટે,સમાંતર મધ્યક હંમેશા સમગુણોત્તર મધ્યક કરતા મોટો અથવા તેના જેટલો હોય છે $(A \ge G)$.
ચોક્કસ રીતે,$A - G = \frac{a + b}{2} - \sqrt{ab} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{2} \ge 0$.
આમ,$A \ge G$ સાચું છે.

(C) દ્રિધાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ સ્વરૂપનું હોય છે,જ્યાં $a \neq 0$.
એક ઉકેલ $0$ હોવાથી,અચળ પદ $c = 0$ થશે.
તેથી,સમીકરણ $ax^2 + bx = 0$ સ્વરૂપનું બને,જ્યાં $a, b \in \{0, 1, 2, \dots, 9\}$ અને $a \neq 0$.
$a$ માટે પસંદગીના પ્રકાર $9$ છે (કારણ કે $a \in \{1, 2, \dots, 9\}$).
$b$ માટે પસંદગીના પ્રકાર $10$ છે (કારણ કે $b \in \{0, 1, 2, \dots, 9\}$).
તેથી,આવા કુલ દ્રિધાત સમીકરણોની સંખ્યા $N = 9 \times 10 = 90$ છે.

(A) આપેલ છે કે $4$ એ સમીકરણ $x^2 + px + 12 = 0$ નું એક બીજ છે.
સમીકરણમાં $x = 4$ મૂકતા: $(4)^2 + p(4) + 12 = 0$.
$16 + 4p + 12 = 0$.
$4p + 28 = 0$.
$4p = -28$.
$p = -7$.
હવે,બીજું સમીકરણ $x^2 + px + q = 0$ છે,જે $x^2 - 7x + q = 0$ બને છે.
આ સમીકરણ સમાન બીજ ધરાવે છે,તેથી તેનો વિવેચક $D = b^2 - 4ac = 0$ થવો જોઈએ.
અહીં,$a = 1$,$b = -7$,અને $c = q$.
$(-7)^2 - 4(1)(q) = 0$.
$49 - 4q = 0$.
$4q = 49$.
$q = 49/4$.

(A) આપેલ છે કે $bx^2 + cx + a = 0$ ના બીજ કાલ્પનિક છે,તેથી વિવેચક $D < 0$.
$D = c^2 - 4ba < 0$,જેનો અર્થ છે કે $c^2 < 4ab$.
ધારો કે $f(x) = 3b^2x^2 + 6bcx + 2c^2$.
આપણે $f(x)$ ને પૂર્ણવર્ગ બનાવીને ફરીથી લખી શકીએ:
$f(x) = 3(b^2x^2 + 2bcx) + 2c^2$
$f(x) = 3(bx + c)^2 - 3c^2 + 2c^2$
$f(x) = 3(bx + c)^2 - c^2$.
કારણ કે $(bx + c)^2 \ge 0$,$f(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $-c^2$ છે.
$c^2 < 4ab$ પરથી,આપણને મળે છે $-c^2 > -4ab$.
તેથી,$f(x) = 3(bx + c)^2 - c^2 \ge -c^2 > -4ab$.
આમ,$x$ ના બધા વાસ્તવિક મૂલ્યો માટે $f(x) > -4ab$ છે.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,વિવેચક $D = b^2 - 4ac$ છે.
અહીં,$a = 1$,$b = -2\sqrt{2}$,અને $c = 1$ છે.
$D = (-2\sqrt{2})^2 - 4(1)(1) = 8 - 4 = 4$.
$D > 0$ હોવાથી,બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{2\sqrt{2} \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{2\sqrt{2} \pm 2}{2} = \sqrt{2} \pm 1$.
આમ,બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન છે.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ સમાન હોય તે માટે વિવેચક $D = b^2 - 4ac = 0$ હોવો જોઈએ.
અહીં,$a = 1$,$b = -(3k - 1)$,અને $c = 2k^2 + 2k$ છે.
વિવેચકને શૂન્ય લેતા:
$D = [-(3k - 1)]^2 - 4(1)(2k^2 + 2k) = 0$
$(3k - 1)^2 - 4(2k^2 + 2k) = 0$
$9k^2 - 6k + 1 - 8k^2 - 8k = 0$
$k^2 - 14k + 1 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $k = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$k = \frac{14 \pm \sqrt{(-14)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)}$
$k = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4}}{2} = \frac{14 \pm \sqrt{192}}{2} = \frac{14 \pm 8\sqrt{3}}{2} = 7 \pm 4\sqrt{3}$.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2 + Bx + C = 0$ માટે,જો બીજ સમાન હોય,તો વિવેચક $D = B^2 - 4AC = 0$ થાય.
અહીં,$A = (m - n)$,$B = (n - l)$ અને $C = (l - m)$ છે.
$B^2 - 4AC = 0$ માં કિંમતો મૂકતા:
$(n - l)^2 - 4(m - n)(l - m) = 0$
$n^2 + l^2 - 2nl - 4(ml - m^2 - nl + nm) = 0$
$n^2 + l^2 - 2nl - 4ml + 4m^2 + 4nl - 4nm = 0$
$l^2 + n^2 + 4m^2 + 2nl - 4ml - 4nm = 0$
આ પદાવલિ $(l + n - 2m)^2 = 0$ નું વિસ્તરણ છે.
તેથી,$l + n - 2m = 0$,જેનો અર્થ છે કે $2m = n + l$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $x(x + 2) = 3 - ax^2$
પદોને ગોઠવતા: $x^2 + 2x = 3 - ax^2$
$(1 + a)x^2 + 2x - 3 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2 + Bx + C = 0$ માં જો એક બીજ અનંતની નજીક હોય,તો સૌથી મોટી ઘાતવાળા પદનો સહગુણક શૂન્યની નજીક હોવો જોઈએ.
તેથી,$1 + a \to 0$
$a \to -1$

(A) આપેલ છે કે $a + b + c = 0$,તેથી $b + c = -a$,$c + a = -b$,અને $a + b = -c$.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(b + c - a)x^2 + (c + a - b)x + (a + b - c) = 0$ માં મૂકતા:
$(-a - a)x^2 + (-b - b)x + (-c - c) = 0$
$-2ax^2 - 2bx - 2c = 0$
$ax^2 + bx + c = 0$.
વિવેચક $D = b^2 - 4ac$.
$c = -(a + b)$ હોવાથી,$D = b^2 - 4a(-(a + b)) = b^2 + 4a^2 + 4ab = (2a + b)^2$.
$a, b, c$ સંમેય હોવાથી,$D$ એ સંમેય સંખ્યાનો પૂર્ણ વર્ગ છે,તેથી બીજ સંમેય છે.
આમ,વિધાન-$I$ સાચું છે.
વિધાન-$II$ પણ સાચું છે કારણ કે વિવેચક $(2a + b)^2$ છે,જે પૂર્ણ વર્ગ છે,અને આ સમજાવે છે કે બીજ શા માટે સંમેય છે.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2 + Bx + C = 0$ ના બીજ વિરુદ્ધ ચિહ્નના હોય તે માટે બીજનો ગુણાકાર ઋણ હોવો જોઈએ,એટલે કે $\frac{C}{A} < 0$.
અહીં,$A = 3$ અને $C = a^2 - 3a + 2$ છે.
તેથી,$\frac{a^2 - 3a + 2}{3} < 0$.
આનો અર્થ એ થાય કે $a^2 - 3a + 2 < 0$.
અવયવ પાડતા,$(a - 1)(a - 2) < 0$ મળે.
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી ઠરે જ્યારે $a$ એ $(a - 1)(a - 2) = 0$ ના બીજની વચ્ચે હોય.
આમ,$1 < a < 2$,જેને અંતરાલ $(1, 2)$ તરીકે લખી શકાય.

(B) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ છે.
સમાંતર મધ્યક $\frac{a + b}{2} = 9$ આપેલ છે,તેથી $a + b = 18$.
સમગુણોત્તર મધ્યક $\sqrt{ab} = 4$ આપેલ છે,તેથી $ab = 16$.
જેના બીજ $a$ અને $b$ હોય તેવું દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (a + b)x + ab = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x^2 - 18x + 16 = 0$ મળે છે.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ $At^2 + Bt + C = 0$ ના બીજ સમાન હોય ત્યારે વિવેચક $D = B^2 - 4AC = 0$ થાય.
અહીં,$A = (a^2 + b^2)$,$B = -2(ac + bd)$,અને $C = (c^2 + d^2)$ છે.
$B^2 - 4AC = 0$ લેતા:
$[-2(ac + bd)]^2 - 4(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = 0$
$4(a^2c^2 + b^2d^2 + 2abcd) - 4(a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2) = 0$
$4$ વડે ભાગતા:
$(a^2c^2 + b^2d^2 + 2abcd) - (a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2) = 0$
$2abcd - a^2d^2 - b^2c^2 = 0$
$-(a^2d^2 + b^2c^2 - 2abcd) = 0$
$-(ad - bc)^2 = 0$
$(ad - bc)^2 = 0$
$ad = bc$
$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

(A) આપેલ સમીકરણ $x^2 - |x| - 6 = 0$ છે.
કિસ્સો $1$: જો $x \ge 0$ હોય,તો $|x| = x$. સમીકરણ $x^2 - x - 6 = 0$ બને છે.
$(x - 3)(x + 2) = 0$.
$x \ge 0$ હોવાથી,$x = 3$ મળે.
કિસ્સો $2$: જો $x < 0$ હોય,તો $|x| = -x$. સમીકરણ $x^2 - (-x) - 6 = 0$ એટલે કે $x^2 + x - 6 = 0$ બને છે.
$(x + 3)(x - 2) = 0$.
$x < 0$ હોવાથી,$x = -3$ મળે.
વાસ્તવિક બીજ $3$ અને $-3$ છે.
વાસ્તવિક બીજનો ગુણાકાર $3 \times (-3) = -9$ થાય.

(D) ધારો કે $f(x) = x^2 + ax + b$.
દરેક પૂર્ણાક $x$ માટે $f(x)$ પૂર્ણાક હોવાથી:
$f(0) = 0^2 + a(0) + b = b$.
$f(0)$ પૂર્ણાક હોવો જોઈએ,તેથી $b$ પૂર્ણાક છે.
હવે,$f(1) = 1^2 + a(1) + b = 1 + a + b$.
$f(1)$ પૂર્ણાક છે અને $b$ પૂર્ણાક છે,તેથી $1 + a + b$ પૂર્ણાક થાય,જેનો અર્થ છે કે $a$ પણ પૂર્ણાક હોવો જોઈએ.
આમ,$a$ અને $b$ બંને પૂર્ણાક હોવા જોઈએ.
આપેલ વિકલ્પોમાં આ બાબતનો ઉલ્લેખ ન હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) જ્યારે $x^2 - 4x + \log_{1/2} a = 0$ ના બીજ વાસ્તવિક ન હોય,ત્યારે વિવેચક $D < 0$ થાય.
$D = b^2 - 4ac < 0$
અહીં,$a = 1$,$b = -4$,અને $c = \log_{1/2} a$.
$(-4)^2 - 4(1)(\log_{1/2} a) < 0$
$16 - 4 \log_{1/2} a < 0$
$16 < 4 \log_{1/2} a$
$4 < \log_{1/2} a$
લોગેરિધમનો આધાર $1/2$ હોવાથી,અસમતા ઉલટાઈ જશે:
$a < (1/2)^4$
$a < 1/16$
આમ,$a$ નું મહતમ મૂલ્ય $1/16$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $(x - a)(x - b) = c$ સમીકરણના બીજ છે,તેથી આપણે લખી શકીએ:
$(x - a)(x - b) - c = (x - \alpha)(x - \beta)$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$(x - \alpha)(x - \beta) + c = (x - a)(x - b)$
તેથી,$(x - \alpha)(x - \beta) + c = 0$ સમીકરણ એ $(x - a)(x - b) = 0$ ને સમાન છે.
આ સમીકરણના બીજ $x = a$ અને $x = b$ છે.

(C) આપેલ છે કે $x = \sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots \infty}}}$.
અનંત શ્રેણી હોવાથી,આપણે લખી શકીએ $x = \sqrt{6 + x}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x^2 = 6 + x$,જ્યાં $x > 0$.
પદોને ગોઠવતા,$x^2 - x - 6 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x - 3)(x + 2) = 0$.
$x > 0$ હોવાથી,$x = 3$ મળે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{3x^2 - 7x - 30} + \sqrt{2x^2 - 7x - 5} = x + 5$.
ધારો કે $f(x) = \sqrt{3x^2 - 7x - 30} + \sqrt{2x^2 - 7x - 5} - (x + 5) = 0$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$x = 6$ માટે:
$\sqrt{3(6)^2 - 7(6) - 30} + \sqrt{2(6)^2 - 7(6) - 5} = \sqrt{108 - 42 - 30} + \sqrt{72 - 42 - 5} = \sqrt{36} + \sqrt{25} = 6 + 5 = 11$.
જમણી બાજુ: $x + 5 = 6 + 5 = 11$.
તેથી $11 = 11$,$x = 6$ એ સાચો ઉકેલ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $(a^2 + b^2)x^2 - 2b(a + c)x + (b^2 + c^2) = 0$ છે.
મધ્યમ પદનું વિસ્તરણ કરતા: $(a^2 + b^2)x^2 - 2(ab + bc)x + (b^2 + c^2) = 0$.
પદોને ગોઠવતા: $(a^2x^2 - 2abx + b^2) + (b^2x^2 - 2bcx + c^2) = 0$.
આનું સાદું રૂપ: $(ax - b)^2 + (bx - c)^2 = 0$.
વર્ગોનો સરવાળો શૂન્ય હોવાથી,દરેક પદ શૂન્ય હોવું જોઈએ: $ax - b = 0$ અને $bx - c = 0$.
તેથી,$x = \frac{b}{a}$ અને $x = \frac{c}{b}$.
$x$ ની કિંમતો સરખાવતા: $\frac{b}{a} = \frac{c}{b}$.
આનો અર્થ $b^2 = ac$ થાય છે,જે દર્શાવે છે કે $a, b, c$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\frac{1}{x + p} + \frac{1}{x + q} = \frac{1}{r}$
બંને બાજુ $r(x + p)(x + q)$ વડે ગુણતા:
$r(x + q) + r(x + p) = (x + p)(x + q)$
$rx + rq + rx + rp = x^2 + px + qx + pq$
$2rx + r(p + q) = x^2 + (p + q)x + pq$
દ્વિઘાત સમીકરણના પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ માં ગોઠવતા:
$x^2 + (p + q - 2r)x + (pq - r(p + q)) = 0$
ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $-\alpha$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + Bx + C = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $-B$ થાય છે.
અહીં,$\alpha + (-\alpha) = 0$,તેથી $x$ નો સહગુણક $0$ હોવો જોઈએ.
$p + q - 2r = 0$
$2r = p + q$
$r = \frac{p + q}{2}$

(A) આપેલ સમીકરણ: $\frac{p + q - x}{r} + \frac{q + r - x}{p} + \frac{r + p - x}{q} + \frac{4x}{p + q + r} = 0$.
પ્રથમ ત્રણ પદોમાં $1$ ઉમેરતા:
$(\frac{p + q - x}{r} + 1) + (\frac{q + r - x}{p} + 1) + (\frac{r + p - x}{q} + 1) + \frac{4x}{p + q + r} - 3 = 0$
$\frac{p + q + r - x}{r} + \frac{q + r + p - x}{p} + \frac{r + p + q - x}{q} + \frac{4x - 3(p + q + r)}{p + q + r} = 0$
$(p + q + r - x) (\frac{1}{r} + \frac{1}{p} + \frac{1}{q}) + \frac{4x - 3(p + q + r)}{p + q + r} = 0$
આમ,$(p + q + r - x) = 0$ લેતા,$x = p + q + r$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $\sin A, \sin B, \cos A$ એ $G.P.$ માં છે,તેથી $\sin^2 B = \sin A \cos A$.
$2$ વડે ગુણતા,$2 \sin^2 B = 2 \sin A \cos A = \sin 2A$.
કારણ કે $\sin 2A \leq 1$,તેથી $2 \sin^2 B \leq 1$,અથવા $\sin^2 B \leq \frac{1}{2}$.
હવે,દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + 2x \cot B + 1 = 0$ માટે,વિવેચક $D$ નીચે મુજબ છે:
$D = (2 \cot B)^2 - 4(1)(1) = 4 \cot^2 B - 4 = 4(\cot^2 B - 1)$.
કારણ કે $\sin^2 B \leq \frac{1}{2}$,તેથી $\csc^2 B \geq 2$,જેનો અર્થ છે કે $\cot^2 B = \csc^2 B - 1 \geq 2 - 1 = 1$.
તેથી,$\cot^2 B - 1 \geq 0$,જેનો અર્થ છે કે $D \geq 0$.
વિવેચક અઋણ હોવાથી,બીજ હંમેશા વાસ્તવિક મળે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $x^2 + 5|x| + 4 = 0$.
$x^2 = |x|^2$ હોવાથી,સમીકરણને આ રીતે લખી શકાય: $|x|^2 + 5|x| + 4 = 0$.
$|x|$ ના સ્વરૂપમાં અવયવ પાડતા: $(|x| + 1)(|x| + 4) = 0$.
આથી બે શક્યતાઓ મળે: $|x| = -1$ અથવા $|x| = -4$.
માનાંક $|x|$ હંમેશા અનૃણ $(|x| \ge 0)$ હોવો જોઈએ,તેથી $|x| = -1$ કે $|x| = -4$ શક્ય નથી.
આમ,આપેલ સમીકરણ માટે કોઈ વાસ્તવિક બીજ મળતા નથી.

(A) સમીકરણ $ax^2 + 2bx + c = 0$ માટે,બીજ વાસ્તવિક છે,તેથી વિવેચક $D_1 \ge 0$.
$D_1 = (2b)^2 - 4ac = 4b^2 - 4ac \ge 0 \implies b^2 \ge ac$.
સમીકરણ $bx^2 - 2\sqrt{ac}x + b = 0$ માટે,બીજ વાસ્તવિક છે,તેથી વિવેચક $D_2 \ge 0$.
$D_2 = (-2\sqrt{ac})^2 - 4(b)(b) = 4ac - 4b^2 \ge 0 \implies ac \ge b^2$.
$b^2 \ge ac$ અને $ac \ge b^2$ હોવાથી,$b^2 = ac$ થાય.