Solution of quadratic equations and Nature of roots Questions in Gujarati

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવે તે માટે બીજનો ગુણાકાર ઋણ હોવો જોઈએ.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = \frac{c}{a} < 0$.
અહીં,$a = 3$,$b = 2$,અને $c = p(p - 1)$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{p(p - 1)}{3} < 0$ મળે છે.
$3 > 0$ હોવાથી,$p(p - 1) < 0$ થાય.
અસમતા $p(p - 1) < 0$ ઉકેલતા,$p$ એ $0$ અને $1$ ની વચ્ચે હોવો જોઈએ.
તેથી,$p \in (0, 1)$.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $a^2x^2 + (a + b)x - b^2 = 0$ છે.
તેને $Ax^2 + Bx + C = 0$ સાથે સરખાવતા,$A = a^2$,$B = (a + b)$,અને $C = -b^2$ મળે છે.
વિવેચક $D$ નું સૂત્ર $D = B^2 - 4AC$ છે.
$D = (a + b)^2 - 4(a^2)(-b^2) = (a + b)^2 + 4a^2b^2$.
અહીં $(a + b)^2 \ge 0$ અને $4a^2b^2 \ge 0$ હોવાથી,$D = (a + b)^2 + 4a^2b^2 > 0$ થાય.
તેથી,બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $(b - c)x^2 + (c - a)x + (a - b) = 0$ છે.
બીજ સમાન હોવાથી,વિવેચક $D = 0$ થાય.
અહીં,$A = (b - c)$,$B = (c - a)$,અને $C = (a - b)$.
$D = B^2 - 4AC = (c - a)^2 - 4(b - c)(a - b) = 0$.
વિસ્તરણ કરતા: $(c^2 - 2ac + a^2) - 4(ab - b^2 - ac + bc) = 0$.
$c^2 - 2ac + a^2 - 4ab + 4b^2 + 4ac - 4bc = 0$.
$a^2 + 4b^2 + c^2 + 2ac - 4ab - 4bc = 0$.
આને $(a - 2b + c)^2 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$a - 2b + c = 0$,જેનો અર્થ છે કે $a + c = 2b$.
આ શરત દર્શાવે છે કે $a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2 + Bx + C = 0$ ના બીજ વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવે તે માટે બીજનો ગુણાકાર ઋણ હોવો જોઈએ,એટલે કે $\frac{C}{A} < 0$.
આપેલ સમીકરણ $2x^2 - (a^3 + 8a - 1) x + (a^2 - 4a) = 0$ માટે,$A = 2$ અને $C = a^2 - 4a$ છે.
વિરુદ્ધ ચિહ્ન માટેની શરત $\frac{a^2 - 4a}{2} < 0$ છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $a^2 - 4a < 0$.
અવયવ પાડતા,$a(a - 4) < 0$ મળે.
આ અસમતા $0 < a < 4$ માટે સાચી છે.
અહીં વિવેચક $D = B^2 - 4AC$ હંમેશા ધન રહેશે કારણ કે $AC < 0$ છે,તેથી બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન હશે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $0 < a < 4$ છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (p - 4)x + 2e^{2 \ln p} - 4 = 0$ છે.
$e^{2 \ln p} = p^2$ હોવાથી,સમીકરણ $x^2 - (p - 4)x + 2p^2 - 4 = 0$ બને છે.
બંને બીજ ઋણ હોવા માટેની શરતો:
$1.$ વિવેચક $D \ge 0$.
$2.$ બીજનો સરવાળો $< 0$: $p - 4 < 0 \implies p < 4$.
$3.$ બીજનો ગુણાકાર $> 0$: $2p^2 - 4 > 0 \implies p^2 > 2 \implies p > \sqrt{2}$ (કારણ કે $\ln p$ માટે $p > 0$ હોવું જરૂરી છે).
આમ,$p \in (\sqrt{2}, 4)$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2 - 2mx + m^2 - 1 = 0$ છે.
આને $(x - m)^2 - 1 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
$(x - m)^2 = 1$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$x - m = \pm 1$ મળે.
આમ,બીજ $x_1 = m - 1$ અને $x_2 = m + 1$ છે.
આપણને આપેલ છે કે બંને બીજ $-2$ કરતા મોટા અને $4$ કરતા નાના છે,તેથી $-2 < m - 1$ અને $m + 1 < 4$.
$-2 < m - 1$ પરથી,$m > -1$ મળે.
$m + 1 < 4$ પરથી,$m < 3$ મળે.
આ બંનેને જોડતા,$-1 < m < 3$ મળે.
તેથી,અંતરાલ $(-1, 3)$ છે.

(C) ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $x^2 + ax + 1 = 0$ ના બીજ છે.
તેથી,$\alpha + \beta = -a$ અને $\alpha \beta = 1$.
બીજ વચ્ચેનો તફાવત $|\alpha - \beta| = \sqrt{(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $|\alpha - \beta| = \sqrt{a^2 - 4}$ મળે છે.
આપેલ શરત મુજબ,$|\alpha - \beta| < \sqrt{5}$.
તેથી,$\sqrt{a^2 - 4} < \sqrt{5}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$a^2 - 4 < 5$,જેનો અર્થ છે કે $a^2 < 9$.
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી છે જ્યારે $|a| < 3$,એટલે કે $a \in (-3, 3)$.

(C) આપેલ છે કે સમીકરણ $bx^2 + cx + a = 0$ ના બીજ કાલ્પનિક છે,તેથી વિવેચક $D < 0$.
તેથી,$c^2 - 4ab < 0$,જેનો અર્થ છે કે $c^2 < 4ab$.
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને $-c^2 > -4ab$ મળે છે.
હવે,પદાવલિ $E = 3b^2x^2 + 6bcx + 2c^2$ ધ્યાનમાં લો.
$E = 3(b^2x^2 + 2bcx + c^2) - c^2$.
$E = 3(bx + c)^2 - c^2$.
કારણ કે $(bx + c)^2 \geq 0$,તેથી $3(bx + c)^2 \geq 0$.
આમ,$E \geq -c^2$.
કારણ કે $-c^2 > -4ab$,તેથી $E > -4ab$.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^2 - x + 1 = 0$ છે.
$(x + 1)$ વડે ગુણતા,$(x + 1)(x^2 - x + 1) = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $x^3 + 1 = 0$,તેથી $x^3 = -1$.
$\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણના બીજ હોવાથી,તેઓ $x^3 = -1$ નું પાલન કરે છે,તેથી $\alpha^3 = -1$ અને $\beta^3 = -1$.
આપણે $\alpha^{2009} + \beta^{2009}$ શોધવાનું છે.
$\alpha^{2009} = (\alpha^3)^{669} \cdot \alpha^2 = (-1)^{669} \cdot \alpha^2 = -\alpha^2$.
તે જ રીતે,$\beta^{2009} = -\beta^2$.
આમ,$\alpha^{2009} + \beta^{2009} = -(\alpha^2 + \beta^2)$.
સમીકરણ $x^2 - x + 1 = 0$ પરથી,$\alpha + \beta = 1$ અને $\alpha\beta = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = (1)^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1$.
તેથી,$\alpha^{2009} + \beta^{2009} = -(-1) = 1$.

(C) $f(x)^{g(x)} = 1$ ત્યારે જ શક્ય છે જો:
$1)$ $f(x) = 1 \Rightarrow x = 1, 4$.
$2)$ $f(x) = -1$ અને $g(x)$ બેકી સંખ્યા હોય $\Rightarrow x = 2$ (કારણ કે $x=3$ માટે $g(x)$ એકી છે).
$3)$ $g(x) = 0$ અને $f(x) \neq 0 \Rightarrow x = -10, 6$.
આમ,$x$ ના શક્ય મૂલ્યો $1, 4, 2, -10, 6$ છે.
તેમનો સરવાળો $1 + 4 + 2 - 10 + 6 = 3$ થાય.

(A) આપેલ સમીકરણ $\sum_{r=1}^{n} (x + r - 1)(x + r) = 10n$ છે.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $\sum_{r=1}^{n} (x^2 + (2r - 1)x + r^2 - r) = 10n$.
આનું સાદું રૂપ $nx^2 + n^2x + \frac{(n-1)n(n+1)}{3} = 10n$ થાય છે.
$n$ વડે ભાગતા: $x^2 + nx + \frac{n^2 - 31}{3} = 0$.
ધારો કે બે ક્રમિક પૂર્ણાંક ઉકેલો $\alpha$ અને $\alpha + 1$ છે.
બીજનો સરવાળો: $2\alpha + 1 = -n \Rightarrow \alpha = \frac{-(n+1)}{2}$.
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha(\alpha + 1) = \frac{n^2 - 31}{3}$.
કિંમત મુકતા: $(\frac{-(n+1)}{2})(\frac{1-n}{2}) = \frac{n^2 - 31}{3}$.
$\frac{n^2 - 1}{4} = \frac{n^2 - 31}{3}$.
$3n^2 - 3 = 4n^2 - 124$ $\Rightarrow n^2 = 121$ $\Rightarrow n = 11$.

(D) આપેલ છે કે $p(x) = f(x) - g(x) = (a - a_1)x^2 + (b - b_1)x + (c - c_1).$
કારણ કે $p(x) = 0$ ને માત્ર એક જ ઉકેલ $x = -1$ છે,તેથી દ્વિઘાત સમીકરણ $p(x)$ એ $p(x) = k(x + 1)^2$ સ્વરૂપનો પૂર્ણવર્ગ હોવો જોઈએ,જ્યાં $k = a - a_1 \ne 0$ એક અચળાંક છે.
આપેલ છે કે $p(-2) = 2,$
$k(-2 + 1)^2 = 2 \Rightarrow k(-1)^2 = 2 \Rightarrow k = 2.$
આમ,$p(x) = 2(x + 1)^2.$
હવે,આપણે $p(2)$ શોધવાનું છે:
$p(2) = 2(2 + 1)^2 = 2(3)^2 = 2 \times 9 = 18.$

(C) આપેલ સુરેખ એકરૂપતા $8x \equiv 6 \pmod{14}$ છે.
આ $8x - 6 = 14k$ તરીકે લખી શકાય,જ્યાં $k \in \mathbb{Z}$.
$2$ વડે ભાગતા,$4x - 3 = 7k$ મળે,જેનો અર્થ છે $4x \equiv 3 \pmod{7}$.
$4$ નો $7$ મોડ્યુલોમાં વ્યસ્ત $2$ છે $(4 \times 2 = 8 \equiv 1 \pmod{7})$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા: $8x \equiv 6 \pmod{7} \implies x \equiv 6 \pmod{7}$.
આમ,$x = 7n + 6$,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
ઉકેલો $x \in \{ \dots, -1, 6, 13, 20, 27, \dots \}$ છે.
આ ગણને $14$ મોડ્યુલોના બે સમાનતા વર્ગોના યોગ તરીકે દર્શાવી શકાય: $[6] = \{ \dots, -8, 6, 20, 34, \dots \}$ અને $[13] = \{ \dots, -1, 13, 27, 41, \dots \}$.
તેથી,ઉકેલ ગણ $[6] \cup [13]$ છે.

(B) ધારો કે $x = \sqrt {a + \sqrt {a + \sqrt {a + .....\infty } } } $
અનંત શ્રેણી હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$x = \sqrt {a + x}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$x^2 = a + x$
પદોને ગોઠવતા:
$x^2 - x - a = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4a}}{2}$
અહીં $a > 0$ હોવાથી,$x$ ની કિંમત ધન હોવી જોઈએ. તેથી,આપણે ઋણ નિશાનીને અવગણીશું:
$x = \frac{1 + \sqrt{4a + 1}}{2}$

(B) આપેલ સમીકરણ: $|{x^2} - x - 6| = x + 2$
કિસ્સો $I$: ${x^2} - x - 6 < 0$
$(x - 3)(x + 2) < 0 \Rightarrow -2 < x < 3$
આ કિસ્સામાં,સમીકરણ આ મુજબ બને છે: $-(x^2 - x - 6) = x + 2$
$-x^2 + x + 6 = x + 2$ $\Rightarrow x^2 = 4$ $\Rightarrow x = \pm 2$
કારણ કે પ્રદેશ $-2 < x < 3$ છે,તેથી માત્ર $x = 2$ એ ઉકેલ છે.
કિસ્સો $II$: ${x^2} - x - 6 \ge 0$
$(x - 3)(x + 2) \ge 0 \Rightarrow x \le -2$ અથવા $x \ge 3$
આ કિસ્સામાં,સમીકરણ આ મુજબ બને છે: $x^2 - x - 6 = x + 2$
$x^2 - 2x - 8 = 0$ $\Rightarrow (x - 4)(x + 2) = 0$ $\Rightarrow x = 4$ અથવા $x = -2$
બંને કિંમતો પ્રદેશ $x \le -2$ અથવા $x \ge 3$ નું પાલન કરે છે.
બંને કિસ્સાઓને જોડતા,ઉકેલો $x = -2, 2, 4$ છે.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2 + Bx + C = 0$ ના બીજ વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવે તે માટે બીજનો ગુણાકાર ઋણ હોવો જોઈએ,એટલે કે $\frac{C}{A} < 0$.
અહીં,$A = 3$ અને $C = a^2 - 3a + 2$ છે.
તેથી,$\frac{a^2 - 3a + 2}{3} < 0$,જેનો અર્થ છે કે $a^2 - 3a + 2 < 0$.
અવયવ પાડતા,$(a - 1)(a - 2) < 0$ મળે છે.
આ અસમતા $1 < a < 2$ માટે સાચી છે.
વિવેચક $D$ નું મૂલ્ય $a \in (1, 2)$ માટે ધન હોવાથી,બીજ વાસ્તવિક છે.
તેથી,$a$ ની કિંમત $(1, 2)$ માં છે.

(C) આપેલ છે કે $x^2 + px + q = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે,તેથી $\alpha + \beta = -p$ અને $\alpha\beta = q$ થાય.
આપેલ છે કે $x^2 - xr + s = 0$ ના બીજ $\alpha^4$ અને $\beta^4$ છે,તેથી $\alpha^4 + \beta^4 = r$ અને $\alpha^4\beta^4 = s$ થાય.
સમીકરણ $x^2 - 4qx + 2q^2 - r = 0$ માટે વિવેચક $D$ નીચે મુજબ છે:
$D = (-4q)^2 - 4(1)(2q^2 - r) = 16q^2 - 8q^2 + 4r = 8q^2 + 4r$.
$q = \alpha\beta$ અને $r = \alpha^4 + \beta^4$ મૂકતા:
$D = 8(\alpha\beta)^2 + 4(\alpha^4 + \beta^4) = 4(2\alpha^2\beta^2 + \alpha^4 + \beta^4) = 4(\alpha^2 + \beta^2)^2$.
કારણ કે $(\alpha^2 + \beta^2)^2 \ge 0$,તેથી $D \ge 0$ થાય.
આથી,સમીકરણ $x^2 - 4qx + 2q^2 - r = 0$ ના બીજ હંમેશા વાસ્તવિક હોય છે.

(C) આપેલ પદાવલિ $f(x) = mx - 1 + \frac{1}{x} \ge 0$ છે,જ્યાં $x > 0$.
$x$ વડે ગુણતા ($x > 0$ હોવાથી),આપણને $mx^2 - x + 1 \ge 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત પદાવલિ $ax^2 + bx + c \ge 0$ એ તમામ $x > 0$ માટે અ-ઋણ હોય તે માટે $a > 0$ અને વિવેચક $D \le 0$ હોવો જોઈએ.
અહીં,$a = m$,$b = -1$,અને $c = 1$.
શરત $1$: $m > 0$.
શરત $2$: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(m)(1) = 1 - 4m \le 0$.
$1 - 4m \le 0$ ઉકેલતા $4m \ge 1$,અથવા $m \ge \frac{1}{4}$ મળે છે.
$m \ge \frac{1}{4}$ એ $m > 0$ ની શરતનું પાલન કરે છે,તેથી $m$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{1}{4}$ છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $a(b - c)x^2 + b(c - a)x + c(a - b) = 0$ છે.
સહગુણકોનો સરવાળો $a(b - c) + b(c - a) + c(a - b) = ab - ac + bc - ab + ac - bc = 0$ હોવાથી,સમીકરણનું એક બીજ $1$ છે.
બીજ સમાન હોવાથી,બંને બીજ $1$ થશે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2 + Bx + C = 0$ માટે,બીજનો ગુણાકાર $\frac{C}{A}$ થાય છે.
તેથી,$1 \times 1 = \frac{c(a - b)}{a(b - c)}$.
$a(b - c) = c(a - b)$
$ab - ac = ac - bc$
$ab + bc = 2ac$
બંને બાજુ $abc$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{c} + \frac{1}{a} = \frac{2}{b}$ મળે છે.
આ દર્શાવે છે કે $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ એ $A.P.$ માં છે,જેનો અર્થ છે કે $a, b, c$ એ $H.P.$ માં છે.

(C) આપેલ ઘન સમીકરણ $x^3 + 3Hx + G = 0$ છે,જ્યાં $G$ અને $H$ વાસ્તવિક અચળાંકો છે.
$x^3 + px + q = 0$ સ્વરૂપના ઘન સમીકરણ માટે,વિવેચક $\Delta = - (4p^3 + 27q^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$p = 3H$ અને $q = G$ છે.
તેથી,$\Delta = - (4(3H)^3 + 27G^2) = - (108H^3 + 27G^2) = -27(4H^3 + G^2)$.
આપેલ છે કે $G^2 + 4H^3 > 0$,તેથી $\Delta = -27(G^2 + 4H^3) < 0$.
વાસ્તવિક સહગુણકો ધરાવતા ઘન સમીકરણ માટે,જો વિવેચક $\Delta < 0$ હોય,તો સમીકરણને એક વાસ્તવિક બીજ અને બે સંકર (કાલ્પનિક) બીજ હોય છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + px + (1 - p) = 0$ છે.
કારણ કે $(1 - p)$ એ એક બીજ છે,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$(1 - p)^2 + p(1 - p) + (1 - p) = 0$
$(1 - p) [ (1 - p) + p + 1 ] = 0$
$(1 - p) [ 2 ] = 0$
આથી $1 - p = 0$,એટલે કે $p = 1$.
મૂળ સમીકરણમાં $p = 1$ મૂકતા:
$x^2 + 1x + (1 - 1) = 0$
$x^2 + x = 0$
$x(x + 1) = 0$
આમ,બીજ $x = 0$ અને $x = -1$ છે.

(D) વિધેય $y = \sqrt{x(x - 3)}$ નો વ્યાખ્યાયિત પ્રદેશ $x(x - 3) \ge 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $x \le 0$ અથવા $x \ge 3$ છે. $(i)$
આપેલ સમીકરણ $(3|x| - 3)^2 = |x| + 7$ છે.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $9|x|^2 - 18|x| + 9 = |x| + 7$.
પદોને ગોઠવતા: $9|x|^2 - 19|x| + 2 = 0$.
ધારો કે $t = |x|$,તો $9t^2 - 19t + 2 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(9t - 1)(t - 2) = 0$.
આમ,$|x| = 1/9$ અથવા $|x| = 2$.
જેથી $x = \pm 1/9$ અથવા $x = \pm 2$ મળે છે.
શરત $(i)$ ($x \le 0$ અથવા $x \ge 3$) મુજબ ચકાસણી કરતા:
$x = 2$ એ પ્રદેશમાં નથી.
$x = -2$ એ $x \le 0$ માં છે (માન્ય).
$x = 1/9$ એ પ્રદેશમાં નથી.
$x = -1/9$ એ $x \le 0$ માં છે (માન્ય).
તેથી,ઉકેલો $-2$ અને $-1/9$ છે.

(C) આપેલ છે કે ${x^2} + 2ax + {a^2} = {(x + a)^2}$ એ $f(x) = {x^3} - 3px + 2q$ નો અવયવ છે.
કારણ કે $(x+a)^2$ અવયવ છે,તેથી $x = -a$ એ $f(x) = 0$ અને $f'(x) = 0$ નું બીજ હોવું જોઈએ.
પ્રથમ,$f(-a) = {(-a)^3} - 3p(-a) + 2q = 0$.
$-{a^3} + 3pa + 2q = 0$ ...$(i)$
આગળ,$f'(x) = 3{x^2} - 3p$.
$f'(-a) = 0$ લેતા,આપણને $3{(-a)^2} - 3p = 0$ મળે છે.
$3{a^2} = 3p \Rightarrow p = {a^2}$ ...$(ii)$
સમીકરણ $(i)$ માં $p = {a^2}$ મૂકતા:
$-{a^3} + 3({a^2})a + 2q = 0$
$-{a^3} + 3{a^3} + 2q = 0$
$2{a^3} + 2q = 0 \Rightarrow {a^3} = -q$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને ${a^6} = {q^2}$ મળે છે.
કારણ કે $p = {a^2}$,તેથી ${p^3} = {({a^2})^3} = {a^6}$.
તેથી,${p^3} = {q^2}$.

(A) સમીકરણ $8x \equiv 6 \pmod{14}$ ને $8x - 6 = 14k$ તરીકે લખી શકાય,જ્યાં $k \in \mathbb{Z}$ છે.
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા,આપણને $4x - 3 = 7k$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $4x \equiv 3 \pmod{7}$.
$4x \equiv 3 \pmod{7}$ ને ઉકેલવા માટે,આપણે $4$ નો $7$ ની સાપેક્ષમાં વ્યસ્ત શોધીએ. $4 \times 2 = 8 \equiv 1 \pmod{7}$ હોવાથી,વ્યસ્ત $2$ છે.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા: $8x \equiv 6 \pmod{7}$,જેનું સાદું રૂપ $x \equiv 6 \pmod{7}$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે $x$ ને $x = 7n + 6$ સ્વરૂપમાં લખી શકાય,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$ છે.
$n = 0$ માટે $x = 6$,$n = 1$ માટે $x = 13$,$n = 2$ માટે $x = 20$ વગેરે.
આમ,ઉકેલ ગણ એ $6 \pmod{7}$ અથવા $13 \pmod{7}$ ને સંગત પૂર્ણાંકોનો બનેલો છે,જેને $14$ ની સાપેક્ષમાં $[6]$ અને $[13]$ ના યોગગણ તરીકે દર્શાવી શકાય.

(A) આપેલ સમીકરણ: $4^{(x^2 + 2)} - 9 \cdot 2^{(x^2 + 2)} + 8 = 0$
ધારો કે $y = 2^{(x^2 + 2)}$. તેથી સમીકરણ $y^2 - 9y + 8 = 0$ બને છે.
અવયવ પાડતા: $(y - 8)(y - 1) = 0$,તેથી $y = 8$ અથવા $y = 1$.
કિસ્સો $1$: $y = 8$ $\Rightarrow 2^{(x^2 + 2)} = 2^3$ $\Rightarrow x^2 + 2 = 3$ $\Rightarrow x^2 = 1$ $\Rightarrow x = \pm 1$.
કિસ્સો $2$: $y = 1$ $\Rightarrow 2^{(x^2 + 2)} = 2^0$ $\Rightarrow x^2 + 2 = 0$ $\Rightarrow x^2 = -2$,જેનો કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
આમ,ઉકેલ $x = 1$ અને $x = -1$ છે.

(A) આપેલ છે $x = {(\sqrt 2 + 1)^{1/3}} - {(\sqrt 2 - 1)^{1/3}}$.
નિત્યસમ $(a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a - b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
${x^3} = (\sqrt 2 + 1) - (\sqrt 2 - 1) - 3{(\sqrt 2 + 1)^{1/3}}{(\sqrt 2 - 1)^{1/3}} \left[ {(\sqrt 2 + 1)^{1/3}} - {(\sqrt 2 - 1)^{1/3}} \right]$.
કારણ કે ${(\sqrt 2 + 1)^{1/3}}{(\sqrt 2 - 1)^{1/3}} = {((\sqrt 2 + 1)(\sqrt 2 - 1))^{1/3}} = {(2 - 1)^{1/3}} = 1$,તેથી સમીકરણ:
${x^3} = 2 - 3(1)x$ બને છે.
તેથી,${x^3} + 3x = 2$.

(C) આપેલ છે કે $x = 2^{1/3} - 2^{-1/3}$.
બંને બાજુ ઘન કરતા: $x^3 = (2^{1/3} - 2^{-1/3})^3$.
નિત્યસમ $(a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a - b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x^3 = (2^{1/3})^3 - (2^{-1/3})^3 - 3(2^{1/3})(2^{-1/3})(2^{1/3} - 2^{-1/3})$.
$x^3 = 2 - 2^{-1} - 3(1)(x)$.
$x^3 = 2 - 1/2 - 3x$.
$x^3 = 3/2 - 3x$.
$2$ વડે ગુણતા: $2x^3 = 3 - 6x$.
ગોઠવતા મળે: $2x^3 + 6x = 3$.

(B) ધારો કે $x = \sqrt{a + \sqrt{a + \sqrt{a + \dots \infty}}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x^2 = a + \sqrt{a + \sqrt{a + \dots \infty}}$.
વર્ગમૂળની અંદરનું પદ $x$ સમાન હોવાથી,$x^2 = a + x$.
પદોને ગોઠવતા,$x^2 - x - a = 0$ દ્વિઘાત સમીકરણ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a=1, b=-1, c=-a$,આપણને $x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4a}}{2}$ મળે છે.
$x$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી $x = \frac{1 + \sqrt{4a + 1}}{2}$.

(B) આપેલ છે કે $x = \sqrt{7} + \sqrt{3}$ અને $xy = 4$.
પ્રથમ,$y$ શોધો: $y = \frac{4}{x} = \frac{4}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $y = \frac{4(\sqrt{7} - \sqrt{3})}{7 - 3} = \frac{4(\sqrt{7} - \sqrt{3})}{4} = \sqrt{7} - \sqrt{3}$.
હવે,$x + y = (\sqrt{7} + \sqrt{3}) + (\sqrt{7} - \sqrt{3}) = 2\sqrt{7}$.
આપણે $x^4 + y^4$ શોધવાનું છે.
નોંધો કે $x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = (2\sqrt{7})^2 - 2(4) = 28 - 8 = 20$.
તેથી,$x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2(xy)^2 = (20)^2 - 2(4)^2 = 400 - 2(16) = 400 - 32 = 368$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{x + 10} + \sqrt{x - 2} = 6$
ધારો કે $u = \sqrt{x + 10}$ અને $v = \sqrt{x - 2}$.
તેથી $u^2 = x + 10$ અને $v^2 = x - 2$.
બંનેની બાદબાકી કરતા: $u^2 - v^2 = (x + 10) - (x - 2) = 12$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(u - v)(u + v) = 12$.
કારણ કે $u + v = 6$,તેથી $(u - v)(6) = 12$,જેનો અર્થ છે કે $u - v = 2$.
હવે આપણી પાસે સમીકરણો છે:
$u + v = 6$
$u - v = 2$
બંનેનો સરવાળો કરતા: $2u = 8 \implies u = 4$.
કારણ કે $u = \sqrt{x + 10} = 4$,બંને બાજુ વર્ગ કરતા $x + 10 = 16$,તેથી $x = 6$.
કિંમત તપાસતા: $\sqrt{6 + 10} + \sqrt{6 - 2} = \sqrt{16} + \sqrt{4} = 4 + 2 = 6$.
ઉકેલ $x = 6$ છે.

(A) ધારો કે શેષ $R(x) = ax^2 + bx + c$ છે કારણ કે ભાજક ત્રિઘાત બહુપદી છે.
શેષ પ્રમેય મુજબ:
$f(-1) = 6 \implies a - b + c = 6$ $(i)$
$f(2) = 3 \implies 4a + 2b + c = 3$ (ii)
$f(-2) = 15 \implies 4a - 2b + c = 15$ (iii)
(ii) માંથી (iii) બાદ કરતા: $4b = -12 \implies b = -3$.
$(i)$ માં $b = -3$ મૂકતા: $a + c = 3 \implies c = 3 - a$.
(ii) માં $b = -3$ અને $c = 3 - a$ મૂકતા: $3a - 3 = 3 \implies a = 2$.
તેથી $c = 1$.
આમ,શેષ $R(x) = 2x^2 - 3x + 1$ છે.

(D) $x$-યામ માટે: $x^2 - 3|x| + 2 = 0$.
ધારો કે $|x| = t$,તેથી $t^2 - 3t + 2 = 0$,જે $(t-1)(t-2) = 0$ આપે છે.
તેથી,$|x| = 1$ અથવા $|x| = 2$,જેનો અર્થ છે કે $x \in \{1, -1, 2, -2\}$.
$y$-યામ માટે: $y^2 - 3y + 2 = 0$.
આ $(y-1)(y-2) = 0$ આપે છે,તેથી $y \in \{1, 2\}$.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $1$ છે,એટલે કે બાજુની લંબાઈ $1$ છે.
$1$ બાજુવાળા ચોરસ બનાવતા શિરોબિંદુઓના શક્ય સેટ છે:
$S_1 = \{(1, 1), (2, 1), (2, 2), (1, 2)\}$
$S_2 = \{(-1, 1), (-2, 1), (-2, 2), (-1, 2)\}$
બંને સેટ $1$ એકમ ક્ષેત્રફળવાળા ચોરસ દર્શાવે છે.
તેથી,$(A)$ અને $(B)$ બંને સાચા છે.

(C) આપેલ બહુપદી $P(x) = 2x^3 + x^2 + 3x - 2$ છે.
પ્રથમ,આપણે વિકલન $P'(x) = 6x^2 + 2x + 3$ તપાસીએ.
$P'(x)$ નો વિવેચક $D = (2)^2 - 4(6)(3) = 4 - 72 = -68 < 0$ છે.
અહીં અગ્ર સહગુણક ધન છે અને વિવેચક ઋણ હોવાથી,તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $P'(x) > 0$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $P(x)$ એ ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
ચુસ્ત વધતી ઘન બહુપદી હોવાથી,તેને બરાબર એક વાસ્તવિક બીજ અને બે સંકર બીજ હોય.
અંતિમબિંદુઓ પર કિંમત શોધતા: $P(0) = -2$ અને $P(1) = 2(1)^3 + (1)^2 + 3(1) - 2 = 4$.
$P(0) < 0$ અને $P(1) > 0$ હોવાથી,'ઇન્ટરમીડિયેટ વેલ્યુ થિયરમ' મુજબ,અંતરાલ $(0, 1)$ માં એક બીજ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
માત્ર એક જ વાસ્તવિક બીજ છે અને તે ધન છે,તેથી વિધાન $(i)$ અને $(iii)$ સાચા છે.
વિધાન $(ii)$ ખોટું છે કારણ કે કોઈ ઋણ બીજ નથી.
વિધાન $(iv)$ ખોટું છે કારણ કે વાસ્તવિક સહગુણકો ધરાવતી ઘન બહુપદીને એક અથવા ત્રણ વાસ્તવિક બીજ હોય.
વિધાન $(v)$ ખોટું છે કારણ કે એકમાત્ર વાસ્તવિક બીજ ધન છે.
વિધાન $(vi)$ ખોટું છે કારણ કે એક વાસ્તવિક બીજ ધરાવતી ઘન બહુપદીને બે સંકર બીજ હોય જ.
તેથી,માત્ર $(i)$ અને $(iii)$ સાચા છે.

(A) ધારો કે $x = \frac{p}{q}$ એ સંમેય બીજ છે,જ્યાં $p, q \in \mathbb{Z}$,$q > 0$ અને $\gcd(p, q) = 1$.
રેશનલ રૂટ થિયરમ મુજબ,$p$ એ અચળ પદ $1$ નો ભાજક છે અને $q$ એ અગ્ર સહગુણક $1$ નો ભાજક છે.
તેથી,$p, q \in \{-1, 1\}$,જેનો અર્થ છે કે $x \in \{-1, 1\}$.
હવે,સમીકરણ $f(x) = x^{2016} - x^{2015} + x^{1008} + x^{1003} + 1 = 0$ માં આ કિંમતો તપાસતા:
$x = 1$ માટે: $f(1) = 1 - 1 + 1 + 1 + 1 = 3 \neq 0$.
$x = -1$ માટે: $f(-1) = 1 - (-1) + 1 - 1 + 1 = 3 \neq 0$.
આમ,સમીકરણને કોઈ સંમેય બીજ નથી.
તેથી,સંમેય બીજની સંખ્યા $0$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\frac{P^2}{x} + \frac{Q^2}{x - 1} = 1$
છેદ દૂર કરવા માટે $x(x - 1)$ વડે ગુણતા:
$P^2(x - 1) + Q^2(x) = x(x - 1)$
$P^2x - P^2 + Q^2x = x^2 - x$
દ્વિઘાત સમીકરણના પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ માં ગોઠવતા:
$x^2 - (P^2 + Q^2 + 1)x + P^2 = 0$
આ દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક $D = b^2 - 4ac$ છે:
$D = (P^2 + Q^2 + 1)^2 - 4P^2$
$D = ((P - 1)^2 + Q^2)((P + 1)^2 + Q^2)$
જ્યાં $P$ અને $Q$ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોવાથી,$D > 0$ થાય.
તેથી,આ સમીકરણને $2$ ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $[x^2] = 2x - 1$ છે.
$[x^2]$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$2x - 1$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $2x$ પૂર્ણાંક છે.
મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેયની વ્યાખ્યા મુજબ,$x^2 - 1 < [x^2] \le x^2$.
$[x^2] = 2x - 1$ મૂકતા,$x^2 - 1 < 2x - 1 \le x^2$ મળે.
$x^2 - 1 < 2x - 1$ પરથી,$x^2 - 2x < 0$,એટલે કે $x(x - 2) < 0$,જે $0 < x < 2$ આપે છે.
$2x - 1 \le x^2$ પરથી,$x^2 - 2x + 1 \ge 0$,એટલે કે $(x - 1)^2 \ge 0$,જે તમામ $x$ માટે સત્ય છે.
કિસ્સો $1$: $0 \le x^2 < 1 \Rightarrow 0 \le x < 1$. તો $[x^2] = 0$. સમીકરણ $0 - 2x + 1 = 0$ બને,તેથી $x = 1/2$. જે ઉકેલ છે.
કિસ્સો $2$: $1 \le x^2 < 2 \Rightarrow 1 \le x < \sqrt{2}$. તો $[x^2] = 1$. સમીકરણ $1 - 2x + 1 = 0$ બને,તેથી $x = 1$. જે ઉકેલ છે.
કિસ્સો $3$: $2 \le x^2 < 3 \Rightarrow \sqrt{2} \le x < \sqrt{3}$. તો $[x^2] = 2$. સમીકરણ $2 - 2x + 1 = 0$ બને,તેથી $x = 3/2$. જે ઉકેલ છે.
કિસ્સો $4$: $3 \le x^2 < 4 \Rightarrow \sqrt{3} \le x < 2$. તો $[x^2] = 3$. સમીકરણ $3 - 2x + 1 = 0$ બને,તેથી $x = 2$. પરંતુ $x < 2$ હોવાથી આ ઉકેલ નથી.
ઉકેલો $x = 1/2, 1, 3/2$ છે. સરવાળો $1/2 + 1 + 3/2 = 3$ થાય.

(C) આપેલ છે કે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ તેમના વ્યસ્તથી $1$ જેટલો તફાવત ધરાવે છે,તેથી $|x - \frac{1}{x}| = 1$.
આનો અર્થ એ છે કે $x - \frac{1}{x} = 1$ અથવા $x - \frac{1}{x} = -1$.
$x - \frac{1}{x} = 1$ માટે,આપણને $x^2 - x - 1 = 0$ મળે છે. તેના ઉકેલો $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ છે. $a, b > 0$ હોવાથી,આપણે $a = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ લઈએ છીએ.
$x - \frac{1}{x} = -1$ માટે,આપણને $x^2 + x - 1 = 0$ મળે છે. તેના ઉકેલો $x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ છે. $a, b > 0$ હોવાથી,આપણે $b = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ લઈએ છીએ.
આમ,$a + b = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{5} - 1}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$.

(B) આપેલ છે કે $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ એ $x^4 + x^2 + 1 = 0$ ના બીજ છે.
ધારો કે $y = x^2$.
આપેલ સમીકરણમાં $x^2 = y$ મૂકતા,$y^2 + y + 1 = 0$ મળે છે.
મૂળ સમીકરણના બીજ $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ હોવાથી,નવા સમીકરણના બીજ $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2, \delta^2$ થશે.
આમ,માંગેલ સમીકરણ $(x^2 + x + 1)^2 = 0$ છે.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + 1 = 0$ ના બીજ વાસ્તવિક હોય તે માટે વિવેચક $D \geq 0$ હોવો જોઈએ.
$D = b^2 - 4ac \geq 0$
અહીં $c = 1$ હોવાથી,$b^2 - 4a \geq 0$ અથવા $b^2 \geq 4a$ મળે.
$b \in \{1, 2, 3, 4\}$ માટે કિંમતો તપાસતા:
$1$. જો $b = 1$,તો $1 \geq 4a$,જે શક્ય નથી.
$2$. જો $b = 2$,તો $4 \geq 4a \Rightarrow a \leq 1$. તેથી,$a = 1$ ($1$ ઉકેલ).
$3$. જો $b = 3$,તો $9 \geq 4a \Rightarrow a \leq 2.25$. તેથી,$a \in \{1, 2\}$ ($2$ ઉકેલ).
$4$. જો $b = 4$,તો $16 \geq 4a \Rightarrow a \leq 4$. તેથી,$a \in \{1, 2, 3, 4\}$ ($4$ ઉકેલ).
કુલ સમીકરણોની સંખ્યા = $0 + 1 + 2 + 4 = 7$.

(D) આપેલ સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ છે જ્યાં $a < 0, b > 0, c > 0$.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = \frac{c}{a} < 0$ હોવાથી,બીજ વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવે છે.
$\alpha < \beta$ હોવાથી,$\alpha < 0 < \beta$ મળે.
બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -\frac{b}{a} > 0$ છે.
આથી,ધન બીજનું મૂલ્ય ઋણ બીજના મૂલ્ય કરતા મોટું છે,એટલે કે $|\beta| > |\alpha|$.
તેથી,$\alpha < 0 < |\alpha| < \beta$ સાચો સંબંધ છે.

(B) આપેલ છે $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} = \frac{1}{x_1 + x_2 + x_3}$.
આ સમીકરણને ઉકેલતા,આપણને મળે છે $(x_1 + x_2 + x_3)(x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1) = x_1 x_2 x_3$.
ધારો કે $x_1, x_2, x_3$ એ $t^3 + \alpha t^2 + \beta t + \gamma = 0$ ના બીજ છે.
આના પરથી $\gamma = \alpha \beta$ મળે છે.
સમીકરણ $(t + \alpha)(t^2 + \beta) = 0$ બને છે.
તેથી બીજ $x_1 = -\alpha, x_2 = k, x_3 = -k$ છે.
જ્યારે $n$ એકી સંખ્યા હોય,ત્યારે $x_2^n + x_3^n = k^n + (-k)^n = 0$.
તેથી,આ સમીકરણ બધા એકી પૂર્ણાંક $n$ માટે સાચું છે.

(A) ધારો કે સમીકરણના બીજ $x_1, x_2, x_3 > 0$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$x_1 + x_2 + x_3 = 2a$
$x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 = 3b$
$x_1x_2x_3 = 8$
$\frac{1}{x_1}, \frac{1}{x_2}, \frac{1}{x_3}$ પદો માટે સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક ($AM$-$GM$) અસમતાનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3}}{3} \geq \sqrt[3]{\frac{1}{x_1} \cdot \frac{1}{x_2} \cdot \frac{1}{x_3}}$
$\frac{\frac{x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1}{x_1x_2x_3}}{3} \geq \left(\frac{1}{8}\right)^{1/3}$
$\frac{\frac{3b}{8}}{3} \geq \frac{1}{2}$
$\frac{b}{8} \geq \frac{1}{2}$
$b \geq 4$
આમ,$b$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $4$ છે.

(C) સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,બીજ $r_1 = \alpha - \beta$ અને $r_2 = \gamma - \delta$ છે. બીજનો તફાવત $|r_1 - r_2| = |(\alpha - \beta) - (\gamma - \delta)| = |\alpha - \beta - \gamma + \delta| = \frac{\sqrt{D_1}}{|a|}$ છે.
સમીકરણ $Ax^2 + Bx + C = 0$ માટે,બીજ $R_1 = \alpha + \delta$ અને $R_2 = \beta + \gamma$ છે. બીજનો તફાવત $|R_1 - R_2| = |(\alpha + \delta) - (\beta + \gamma)| = |\alpha - \beta + \delta - \gamma| = \frac{\sqrt{D_2}}{|A|}$ છે.
કારણ કે $|\alpha - \beta - \gamma + \delta| = |\alpha - \beta + \delta - \gamma|$,તેથી $\frac{\sqrt{D_1}}{|a|} = \frac{\sqrt{D_2}}{|A|}$ મળે.
આમ,$\left| \frac{a}{A} \right| = \sqrt{\frac{D_1}{D_2}}$.

(A) ધારો કે $f(x) = \frac{3}{x - a^3} + \frac{5}{x - a^5} + \frac{7}{x - a^7}$.
આપેલ છે કે $a > 1$,તેથી $a^3 < a^5 < a^7$.
જ્યારે $x \to (a^3)^+$,ત્યારે $f(x) \to \infty$. જ્યારે $x \to (a^5)^-$,ત્યારે $f(x) \to -\infty$. આમ,$(a^3, a^5)$ ની વચ્ચે એક બીજ છે.
જ્યારે $x \to (a^5)^+$,ત્યારે $f(x) \to \infty$. જ્યારે $x \to (a^7)^-$,ત્યારે $f(x) \to -\infty$. આમ,$(a^5, a^7)$ ની વચ્ચે એક બીજ છે.
$a > 1$ હોવાથી,અંતરાલ $(a^3, a^5)$ અને $(a^5, a^7)$ બંને ધન કિંમતો ધરાવે છે.
તેથી,સમીકરણના બે વાસ્તવિક અને ધન બીજ છે.

(B) આપેલ છે કે $P(x) = (x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma)$ જ્યાં $\alpha, \beta, \gamma$ પૂર્ણાંક બીજ છે.
$x = 6$ મૂકતા:
$P(6) = (6 - \alpha)(6 - \beta)(6 - \gamma) = 3$.
$\alpha, \beta, \gamma$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$(6 - \alpha), (6 - \beta),$ અને $(6 - \gamma)$ એ $3$ ના અવયવો છે.
શક્યતાઓ:
$1) \{1, 1, 3\} \implies \alpha = 5, \beta = 5, \gamma = 3 \implies a = 13$.
$2) \{1, -1, -3\} \implies \alpha = 5, \beta = 7, \gamma = 9 \implies a = 21$.
$3) \{-1, -1, 3\} \implies \alpha = 7, \beta = 7, \gamma = 3 \implies a = 17$.
આમ,$a$ ની કિંમત $13, 17,$ અથવા $21$ હોઈ શકે,તેથી $a$ એ $15$ ન હોઈ શકે.

(B) ધારો કે $f(x) = x^3 + x^2 - 5x - 1$.
બીજ કયા અંતરાલમાં છે તે શોધવા માટે,આપણે વિવિધ બિંદુઓ પર $f(x)$ ની કિંમતો તપાસીએ:
$f(1) = 1 + 1 - 5 - 1 = -4 < 0$
$f(2) = 8 + 4 - 10 - 1 = 1 > 0$
કારણ કે $f(1) < 0$ અને $f(2) > 0$,એક બીજ $\alpha$ એ $(1, 2)$ માં છે. તેથી,$[\alpha] = 1$.
$f(0) = -1 < 0$
$f(-1) = -1 + 1 + 5 - 1 = 4 > 0$
કારણ કે $f(-1) > 0$ અને $f(0) < 0$,એક બીજ $\beta$ એ $(-1, 0)$ માં છે. તેથી,$[\beta] = -1$.
$f(-2) = -8 + 4 + 10 - 1 = 5 > 0$
$f(-3) = -27 + 9 + 15 - 1 = -4 < 0$
કારણ કે $f(-3) < 0$ અને $f(-2) > 0$,એક બીજ $\gamma$ એ $(-3, -2)$ માં છે. તેથી,$[\gamma] = -3$.
તેથી,$[\alpha] + [\beta] + [\gamma] = 1 + (-1) + (-3) = -3$.

(B) આપેલ નિત્યસમ $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = 0$ છે.
આને $\frac{1}{2}(a + b + c)[(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2] = 0$ તરીકે લખી શકાય.
કારણ કે $a, b, c$ ભિન્ન છે,તેથી $(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \neq 0$.
તેથી,$a + b + c = 0$ હોવું જોઈએ.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,જો આપણે $x = 1$ મૂકીએ,તો આપણને $a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c$ મળે છે.
કારણ કે $a + b + c = 0$,તેથી $x = 1$ એ સમીકરણનું એક બીજ છે.
ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha \cdot \beta = \frac{c}{a}$.
કારણ કે $\alpha = 1$,તેથી બીજું બીજ $\beta = \frac{c}{a}$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^4 + x^3 = 2(x^2 + 3ax + 2a^2)$ છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $x^4 + x^3 - 2x^2 - 6ax - 4a^2 = 0$ મળે છે.
આના અવયવ પાડતા $(x^2 + 2x + 2a)(x^2 - x - 2a) = 0$ મળે છે.
સમીકરણને ચાર વાસ્તવિક ઉકેલો મળે તે માટે,બંને દ્વિઘાત અવયવોના વાસ્તવિક બીજ હોવા જોઈએ.
$x^2 + 2x + 2a = 0$ માટે,વિવેચક $D_1 = 2^2 - 4(1)(2a) = 4 - 8a \geq 0$,જેનો અર્થ છે કે $a \leq \frac{1}{2}$.
$x^2 - x - 2a = 0$ માટે,વિવેચક $D_2 = (-1)^2 - 4(1)(-2a) = 1 + 8a \geq 0$,જેનો અર્થ છે કે $a \geq -\frac{1}{8}$.
આ શરતોને જોડતા,$a$ માટેનો ગણ $[-\frac{1}{8}, \frac{1}{2}]$ મળે છે.

(B) ધારો કે $2^x = t$. $x > 0$ હોવાથી,$t = 2^x > 2^0 = 1$ મળે.
સમીકરણમાં $t$ મૂકતા,$t^2 - (k + 2)t + 2k = 0$ મળે.
અવયવ પાડતા: $(t - k)(t - 2) = 0$.
તેથી,બીજ $t_1 = k$ અને $t_2 = 2$ છે.
$x$ માટે બરાબર એક ધન ઉકેલ મેળવવા માટે,$t$ નું બરાબર એક બીજ $1$ કરતા મોટું હોવું જોઈએ.
આપણી પાસે પહેલેથી જ એક બીજ $t_2 = 2$ છે,જે $1$ કરતા મોટું છે.
માટે,બીજા બીજ $t_1 = k$ માટે $k \le 1$ હોવું જોઈએ.
જો $k = 2$ હોય,તો બીજ $t_1 = 2, t_2 = 2$ મળે,જે એક જ ઉકેલ $t = 2 > 1$ આપે છે,જે માન્ય છે.
આમ,શરત $k \le 1$ અથવા $k = 2$ છે.