જો સમીકરણ x^4 - 4x^3 + ax^2 + bx + 1 = 0 ને ચ | vedclass

Name: PDF Generator App | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

ધારો કે, વાસ્તવિક બીજ $\alpha,\beta,\gamma,\delta$,  હોય તો, સમીકરણ $(x - \alpha) (x - \beta) (x - \gamma) (x -\delta  ) = 0$

${x^4} - (\

Vedclass · Accepted Answer

$6, - 4$

Vedclass · Answer

ધારો કે, વાસ્તવિક બીજ $\alpha,\beta,\gamma,\delta$,  હોય તો, સમીકરણ $(x - \alpha) (x - \beta) (x - \gamma) (x -\delta  ) = 0$

${x^4} - (\alpha  + \beta  + \gamma  + \delta ){x^3} + (\alpha \beta  + \beta \gamma  + \gamma \delta $

$ + \alpha \delta  + \beta \delta  + \alpha \gamma ){x^2} - (\alpha \beta \gamma  + \beta \gamma \delta $

$ + \alpha \beta \delta  + \alpha \gamma \delta )x + \alpha \beta \gamma \delta  = 0$

${x^4} - \sum \alpha .{x^3} + \sum \alpha \beta .{x^2} - \sum \alpha \beta \gamma .x + \alpha \beta \gamma \delta  = 0$

${x^4} - 4{x^3} + a{x^2} + bx + 1 = 0$ સાથે સરખાવતા,

$\sum \alpha  = 4,\,\sum \alpha \beta \, = a,\,\sum \alpha \beta \gamma  =  - b,\,\alpha \beta \gamma \delta  = 1$

વાસ્તવિક બીજ માટે, $A.M. \geq G.M.$

$\frac{1}{4}(\sum \alpha ) \ge {(\alpha \beta \gamma \delta )^{1/4}};\,$ $\sum \alpha  = 4$

$	herefore \,\,\frac{1}{4}\sum \alpha  = \frac{1}{4} 	imes 4 = 1$

${(\alpha \beta \gamma \delta )^{1/4}} = 1 \Rightarrow \,\,\alpha \beta \gamma \delta  = 1$ 

$\Sigma \alpha  = 4$ અને $\alpha \beta \gamma \delta  = 1$

$	herefore \,\,\alpha  = \beta  = \gamma  = \delta \,\, = \,\,1$

હવે $,\,\sum \alpha \beta  = a$

$	herefore a = \alpha \beta  + \beta \gamma  + \gamma \delta  + \alpha \delta  + \beta \delta  + \alpha \gamma $

$ = 1 	imes 1 + 1 	imes 1 + 1 	imes 1 + 1 	imes 1 + 1 	imes 1 + 1 	imes 1\,\, = \,\,6$

$ - b = \alpha \beta \gamma  + \alpha \beta \delta  + \alpha \gamma \delta  + \beta \gamma \delta $

$ = 1 	imes 1 	imes 1 + 1 	imes 1 	imes 1 + 1 	imes 1 	imes 1 + 1 	imes 1 	imes 1$

$ = {(1)^3} + {(1)^3} + {(1)^3} + {(1)^3}$

$ = 1 + 1 + 1 + 1 = 4$

$	herefore \,b =  - 4\,;\,$

$	herefore a = 6\,$ અને $b\,\, = \,\, - 4$

જો સમીકરણ $x^4 - 4x^3 + ax^2 + bx + 1 = 0$ ને ચાર વાસ્તવિક બીજ $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ હોય તો, $a$ અને $b$ ની કિંમત ......હશે.

Similar Questions

સમીકરણ ${t^2}{x^2} + |x| + \,9 = 0$ ના બધાજ બીજોનો ગુણાકાર . . . . .

સમીકરણ ${(5\, + \,2\sqrt 6 )^{{x^3} - 3}}\, + \,{(5\, - \,2\sqrt 6 )^{{x^2} - 3}}\, = \,10$ ના વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી હોય ?

જો ${\rm{x}}$ બરાબર શું થાય, તો $\frac{{8{x^2}\, + \,16x\, - \,51}}{{(2x - \,3)\,(x\, + \,4)}}\, > \,3\,\, = \,\,\,......$

જો $2 + 3i$ એ સમીકરણ $2x^3 -9x^2 + kx- 13 = 0,$ $k \in R,$ નો એક ઉકેલ હોય તો આ સમીકરણના વાસ્તવિક ઉકેલ મેળવો.