Mix Examples-Quadratic Equations and Inequations Questions in Gujarati

(C) આપેલ સમીકરણો $x^{2}-3x+p=0$ ના બીજ $\alpha, \beta$ અને $x^{2}-6x+q=0$ ના બીજ $\gamma, \delta$ છે.
$\alpha, \beta, \gamma, \delta$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોવાથી,તેમને $a, ar, ar^{2}, ar^{3}$ તરીકે લો.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$\alpha+\beta = a+ar = 3$ અને $\alpha\beta = a^{2}r = p$.
બીજા સમીકરણ પરથી,$\gamma+\delta = ar^{2}+ar^{3} = 6$ અને $\gamma\delta = a^{2}r^{5} = q$.
બીજા સમીકરણના બીજનો સરવાળો ભાગ્યા પ્રથમ સમીકરણના બીજનો સરવાળો લેતા: $\frac{ar^{2}(1+r)}{a(1+r)} = \frac{6}{3} \implies r^{2} = 2$.
હવે,$p$ અને $q$ ની કિંમત $a$ અને $r$ ના સ્વરૂપમાં મેળવતા: $p = a^{2}r$ અને $q = a^{2}r^{5} = a^{2}r(r^{2})^{2} = p(2)^{2} = 4p$.
ગુણોત્તર $\frac{2q+p}{2q-p} = \frac{2(4p)+p}{2(4p)-p} = \frac{8p+p}{8p-p} = \frac{9p}{7p} = \frac{9}{7}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x-2}=\frac{2}{k}$ છે,જ્યાં $x \in \mathbb{R} \setminus \{1, 2\}$.
સાદું રૂપ આપતા: $k(x-3) = 2(x^2-3x+2)$.
$x \neq 3$ માટે,$k = 2(x-3 + \frac{2}{x-3} + 3)$.
$AM$-$GM$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા,$k$ ની કિંમત $(6-4\sqrt{2}, 6+4\sqrt{2})$ ની વચ્ચે હોવી જોઈએ.
આ અંતરાલ આશરે $(0.344, 11.656)$ છે.
તેથી $k$ ના પૂર્ણાંક મૂલ્યો $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}$ છે.
તેમનો સરવાળો $66$ થાય છે.

(C) દ્વિઘાત પદાવલિ $x^{2}+2(a+4)x-5a+64 > 0$ તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે સાચું હોય તે માટે તેનો વિવેચક $D < 0$ હોવો જોઈએ.
$D = [2(a+4)]^{2} - 4(1)(-5a+64) < 0$
$4(a^{2}+8a+16) + 20a - 256 < 0$
$4a^{2} + 32a + 64 + 20a - 256 < 0$
$4a^{2} + 52a - 192 < 0$
$4$ વડે ભાગતા,આપણને $a^{2} + 13a - 48 < 0$ મળે છે.
અવયવ પાડતા,$(a+16)(a-3) < 0$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $a \in (-16, 3)$.
$a$ એ $[-5, 30]$ ની વચ્ચેનો પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $a$ ની શક્ય કિંમતો $\{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2\}$ છે.
સાનુકૂળ કિંમતોની સંખ્યા $8$ છે.
$[-5, 30]$ ની વચ્ચેના કુલ પૂર્ણાંકોની સંખ્યા $30 - (-5) + 1 = 36$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{8}{36} = \frac{2}{9}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^{2} + 3^{1/4}x + 3^{1/2} = 0$ છે.
$\alpha$ એ બીજ હોવાથી,$\alpha^{2} + 3^{1/2} = -3^{1/4}\alpha$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(\alpha^{2} + 3^{1/2})^{2} = 3^{1/2}\alpha^{2}$.
$\alpha^{4} + 3^{1/2}\alpha^{2} + 3 = 0$.
$(\alpha^{2} - 3^{1/2})$ વડે ગુણતા: $\alpha^{6} - (3^{1/2})^{3} = 0$.
$\alpha^{6} = 3 \sqrt{3}$.
તેથી $\alpha^{12} = (3 \sqrt{3})^{2} = 27 = 3^{3}$.
$\alpha^{96} = (\alpha^{12})^{8} = (3^{3})^{8} = 3^{24}$.
તે જ રીતે,$\beta^{12} = 27$ અને $\beta^{96} = 3^{24}$.
અભિવ્યક્તિ $\alpha^{96}(\alpha^{12}-1) + \beta^{96}(\beta^{12}-1) = 3^{24}(26) + 3^{24}(26) = 52 \times 3^{24}$.

(B) સમીકરણ $ax^{2}-2bx+15=0$ માટે,પુનરાવર્તિત બીજ $\alpha$ હોવાથી,વિવેચક શૂન્ય થાય:
$D = (-2b)^{2} - 4(a)(15) = 0 \implies 4b^{2} = 60a \implies b^{2} = 15a$.
વળી,બીજ $\alpha = -\frac{-2b}{2a} = \frac{b}{a}$.
$\alpha = \frac{b}{a}$ માં $a = \frac{b^{2}}{15}$ મૂકતા,$\alpha = \frac{b}{b^{2}/15} = \frac{15}{b}$ મળે.
$\alpha$ એ $x^{2}-2bx+21=0$ નું બીજ હોવાથી:
$(\frac{15}{b})^{2} - 2b(\frac{15}{b}) + 21 = 0$
$\frac{225}{b^{2}} - 30 + 21 = 0 \implies \frac{225}{b^{2}} = 9 \implies b^{2} = 25$.
સમીકરણ $x^{2}-2bx+21=0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha+\beta = 2b$ અને ગુણાકાર $\alpha\beta = 21$.
આપણે $\alpha^{2}+\beta^{2} = (\alpha+\beta)^{2} - 2\alpha\beta$ શોધવાનું છે.
$\alpha^{2}+\beta^{2} = (2b)^{2} - 2(21) = 4b^{2} - 42$.
$b^{2} = 25$ મૂકતા:
$\alpha^{2}+\beta^{2} = 4(25) - 42 = 100 - 42 = 58$.

(C) આપેલ છે કે $p+q=3$ અને $p^{4}+q^{4}=369$.
આપણે $\left(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\right)^{-2} = \left(\frac{p+q}{pq}\right)^{-2} = \frac{(pq)^{2}}{(p+q)^{2}} = \frac{(pq)^{2}}{3^{2}} = \frac{(pq)^{2}}{9}$ શોધવાનું છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $p^{2}+q^{2} = (p+q)^{2}-2pq = 9-2pq$.
વળી,$p^{4}+q^{4} = (p^{2}+q^{2})^{2}-2p^{2}q^{2} = (9-2pq)^{2}-2(pq)^{2} = 369$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$81+4(pq)^{2}-36pq-2(pq)^{2} = 369$.
$2(pq)^{2}-36pq+81 = 369 \implies 2(pq)^{2}-36pq-288 = 0$.
$2$ વડે ભાગતા,$(pq)^{2}-18pq-144 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા,$(pq-24)(pq+6) = 0$.
તેથી,$pq=24$ અથવા $pq=-6$.
જો $pq=24$ હોય,તો $p^{2}+q^{2} = 9-2(24) = 9-48 = -39$,જે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $p$ અને $q$ માટે અશક્ય છે.
તેથી,$pq=-6$.
$pq=-6$ ને આપણી પદાવલિમાં મૂકતા: $\frac{(pq)^{2}}{9} = \frac{(-6)^{2}}{9} = \frac{36}{9} = 4$.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$x^{2}-4 \lambda x+5=0$ ના બીજ $\alpha, \beta$ છે $\implies \alpha+\beta=4 \lambda$ અને $\alpha \beta=5$.
$x^{2}-(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}) x+(7+3 \lambda \sqrt{3})=0$ ના બીજ $\alpha, \gamma$ છે $\implies \alpha+\gamma=3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}$ અને $\alpha \gamma=7+3 \lambda \sqrt{3}$.
બીજના સરવાળાની બાદબાકી કરતા: $(\alpha+\gamma)-(\alpha+\beta) = (3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}) - 4 \lambda \implies \gamma-\beta = 3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}-4 \lambda$.
આપેલ છે કે $\beta+\gamma=3 \sqrt{2}$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2 \gamma = 6 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}-4 \lambda \implies \gamma = 3 \sqrt{2}+\sqrt{3}-2 \lambda$.
બાદબાકી કરતા: $2 \beta = 4 \lambda - 2 \sqrt{3} \implies \beta = 2 \lambda - \sqrt{3}$.
$\alpha+\beta=4 \lambda$ હોવાથી,$\alpha = 4 \lambda - (2 \lambda - \sqrt{3}) = 2 \lambda + \sqrt{3}$.
$\alpha \beta = 5$ નો ઉપયોગ કરતા: $(2 \lambda + \sqrt{3})(2 \lambda - \sqrt{3}) = 5 \implies 4 \lambda^{2}-3 = 5 \implies 4 \lambda^{2}=8 \implies \lambda^{2}=2$.
$\alpha = 2 \lambda + \sqrt{3}$,$\beta = 2 \lambda - \sqrt{3}$,અને $\gamma = 3 \sqrt{2}+\sqrt{3}-2 \lambda$.
આપણે $(\alpha+2 \beta+\gamma)^{2} = (\alpha+\beta+\beta+\gamma)^{2} = (4 \lambda + 3 \sqrt{2})^{2}$ શોધવાનું છે.
$\lambda^{2}=2$ હોવાથી,$\lambda = \sqrt{2}$ લેતા: $(4 \sqrt{2}+3 \sqrt{2})^{2} = (7 \sqrt{2})^{2} = 49 \times 2 = 98$.

(A) ધારો કે $f(x) = x^2 + bx + c$. અગ્ર સહગુણક $1$ હોવાથી અને $f(0) = p$ હોવાથી,$c = p$ મળે. તેથી,$f(x) = x^2 + bx + p$.
આપેલ છે કે $f(1) = 1 + b + p = \frac{1}{3}$,તેથી $b = \frac{1}{3} - 1 - p = -\frac{2}{3} - p$.
ધારો કે $\alpha$ એ $f(x) = 0$ અને $f(f(f(f(x)))) = 0$ નું સામાન્ય બીજ છે. $f(\alpha) = 0$ હોવાથી,$f(f(f(f(\alpha)))) = f(f(f(0))) = f(f(p)) = 0$ મળે.
આનો અર્થ એ છે કે $f(p)$ એ $f(x) = 0$ નું બીજ હોવું જોઈએ,તેથી $f(f(p)) = 0$ નો અર્થ છે કે $f(p) = \alpha$ અથવા $f(p) = \beta$,જ્યાં $\alpha, \beta$ એ $f(x) = 0$ ના બીજ છે.
$f(x) = (x-\alpha)(x-\beta)$ હોવાથી,$f(0) = \alpha \beta = p$ મળે.
વળી,$f(1) = (1-\alpha)(1-\beta) = \frac{1}{3}$.
જો $f(p) = \alpha$ હોય,તો $(p-\alpha)(p-\beta) = \alpha$ થાય. $p = \alpha \beta$ મૂકતા,$(\alpha \beta - \alpha)(\alpha \beta - \beta) = \alpha$ મળે.
$\alpha(\beta-1) \beta(\alpha-1) = \alpha$. $\alpha \neq 0$ હોવાથી,$(\beta-1)(\alpha-1)\beta = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(1-\alpha)(1-\beta) = \frac{1}{3}$,તેથી $(\alpha-1)(\beta-1) = \frac{1}{3}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,$\frac{1}{3} \beta = 1$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\beta = 3$.
તેથી $(1-\alpha)(1-3) = \frac{1}{3} \Rightarrow -2(1-\alpha) = \frac{1}{3} \Rightarrow 1-\alpha = -\frac{1}{6} \Rightarrow \alpha = \frac{7}{6}$.
આમ,$f(x) = (x-\frac{7}{6})(x-3)$.
અંતે,$f(-3) = (-3 - \frac{7}{6})(-3 - 3) = (-\frac{25}{6})(-6) = 25$.

(D) ગણ $S$ માટે: અસમતા $\frac{|x+3|-1}{|x|-2} \geq 0$ છે.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = -4, -2, 2, -2$ છે.
$[-6, 3] \setminus \{-2, 2\}$ માં અંતરાલો તપાસતા:
$[-6, -4] \cup (-2, 2) \cup (2, 3]$.
ગણ $T$ માટે: $x^2 - 7|x| + 9 \leq 0$. ધારો કે $y = |x|$,તો $y^2 - 7y + 9 \leq 0$.
ઉકેલ $y \in [1.7, 5.3]$ મળે છે. $x \in \mathbb{Z}$ હોવાથી,$|x| \in \{2, 3, 4, 5\}$,તેથી $x \in \{-5, -4, -3, -2, 2, 3, 4, 5\}$.
$S$ અને $T$ નો છેદગણ: $S \cap T = \{-5, -4, 3\}$.
ઘટકોની સંખ્યા $3$ છે.

(D) આપેલ છે કે $P_{n} = \alpha^{n} - \beta^{n}$ અને દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2} - x - 4 = 0$ છે.
$\alpha$ અને $\beta$ બીજ હોવાથી,$\alpha^{2} = \alpha + 4$ અને $\beta^{2} = \beta + 4$ થાય.
$P_{n} - P_{n-1} = (\alpha^{n} - \beta^{n}) - (\alpha^{n-1} - \beta^{n-1}) = \alpha^{n-1}(\alpha - 1) - \beta^{n-1}(\beta - 1)$.
$\alpha^{2} - \alpha = 4$ હોવાથી,$\alpha - 1 = \frac{4}{\alpha}$ અને $\beta - 1 = \frac{4}{\beta}$ થાય.
તેથી,$P_{n} - P_{n-1} = 4(\alpha^{n-2} - \beta^{n-2}) = 4P_{n-2}$.
હવે,પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{(P_{15} - P_{14})(P_{16} - P_{15})}{P_{13} P_{14}}$.
સંબંધ $P_{n} - P_{n-1} = 4P_{n-2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$P_{15} - P_{14} = 4P_{13}$ અને $P_{16} - P_{15} = 4P_{14}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{(4P_{13})(4P_{14})}{P_{13} P_{14}} = 16$.

(C) ધારો કે $\frac{2a-1}{b} = \alpha$ અને $\frac{2b-1}{a} = \beta$,જ્યાં $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}^+$.
$a, b \ge 1$ હોવાથી,$2a-1 \ge 1$ અને $2b-1 \ge 1$ મળે,તેથી $\alpha, \beta \ge 1$.
સમીકરણો પરથી,$2a-1 = \alpha b$ અને $2b-1 = \beta a$.
બીજા સમીકરણમાં $b = \frac{2a-1}{\alpha}$ મૂકતા: $2(\frac{2a-1}{\alpha}) - 1 = \beta a$.
$4a - 2 - \alpha = \alpha \beta a$,જે દર્શાવે છે કે $a(4 - \alpha \beta) = \alpha + 2$.
$a > 0$ અને $\alpha + 2 > 0$ હોવાથી,$4 - \alpha \beta > 0$ હોવું જોઈએ,તેથી $\alpha \beta < 4$.
શક્ય જોડીઓ $(\alpha, \beta)$ એ $(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (3, 1)$ છે.
કિસ્સો $1$: $(\alpha, \beta) = (1, 1) \implies 3a = 3 \implies a = 1$. તેથી $b = 1$. જોડી: $(1, 1)$.
કિસ્સો $2$: $(\alpha, \beta) = (1, 2) \implies 2a = 3$,પૂર્ણાંક ઉકેલ નથી.
કિસ્સો $3$: $(\alpha, \beta) = (1, 3) \implies a = 3$. તેથી $b = 5$. જોડી: $(3, 5)$.
કિસ્સો $4$: $(\alpha, \beta) = (2, 1) \implies 2a = 4 \implies a = 2$. તેથી $b = 1.5$,જે પૂર્ણાંક નથી.
કિસ્સો $5$: $(\alpha, \beta) = (3, 1) \implies a = 5$. તેથી $b = 3$. જોડી: $(5, 3)$.
આમ,કુલ $3$ ક્રમિત જોડીઓ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^4+4y^4+16z^4+64=32xyz$ છે.
$AM \geq GM$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા,$x^4, 4y^4, 16z^4, 64$ માટે:
$\frac{x^4+4y^4+16z^4+64}{4} \geq \sqrt[4]{x^4 \cdot 4y^4 \cdot 16z^4 \cdot 64} = 8|xyz|$.
તેથી,$x^4+4y^4+16z^4+64 \geq 32|xyz|$.
સમાનતા માટે,$|x|=2\sqrt{2}, |y|=2, |z|=\sqrt{2}$ હોવું જોઈએ અને $xyz > 0$ હોવું જોઈએ.
$(x, y, z)$ માટે શક્યતાઓ:
$1$. $(2\sqrt{2}, 2, \sqrt{2}) \implies x+y+z = 3\sqrt{2}+2$.
$2$. $(2\sqrt{2}, -2, -\sqrt{2}) \implies x+y+z = \sqrt{2}-2$.
$3$. $(-2\sqrt{2}, 2, -\sqrt{2}) \implies x+y+z = 2-3\sqrt{2}$.
$4$. $(-2\sqrt{2}, -2, \sqrt{2}) \implies x+y+z = -\sqrt{2}-2$.
આમ,$x+y+z$ માટે $4$ અલગ કિંમતો શક્ય છે.

(D) ધારો કે $f(a, b, c) = \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}$.
કિસ્સો $1$: જો $ab+bc+ca > 0$ હોય,તો આપણે જાણીએ છીએ કે $(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \geq 0$,જેનો અર્થ છે કે $2(a^2+b^2+c^2) - 2(ab+bc+ca) \geq 0$,તેથી $a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca$.
આમ,$\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} \geq 1$.
કિસ્સો $2$: જો $ab+bc+ca < 0$ હોય,તો આપણે નિત્યસમ $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca) \geq 0$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આ સૂચવે છે કે $a^2+b^2+c^2 \geq -2(ab+bc+ca)$.
કારણ કે $ab+bc+ca < 0$ છે,તેથી તેના વડે ભાગતા અસમતાની નિશાની બદલાશે:
$\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} \leq -2$.
બંને કિસ્સાઓને જોડતા,$S$ નો વિસ્તાર $(-\infty, -2] \cup [1, \infty)$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણો છે:
$q = p(4-p) \dots (i)$
$r = q(4-q) \dots (ii)$
$p = r(4-r) \dots (iii)$
સમીકરણો $(i)$,$(ii)$,અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$p+q+r = 4(p+q+r) - (p^2+q^2+r^2)$
$p^2+q^2+r^2 = 3(p+q+r)$
ધારો કે $p=q=r$ છે. તો $p = p(4-p) \Rightarrow p = 4p - p^2 \Rightarrow p^2 - 3p = 0$,જે $p=0$ અથવા $p=3$ આપે છે.
જો $p=q=r=0$ હોય,તો $p+q+r = 0$.
જો $p=q=r=3$ હોય,તો $p+q+r = 3+3+3 = 9$.
કોશી-શ્વાર્ટઝ અસમતા મુજબ $(p+q+r)^2 \le 3(p^2+q^2+r^2)$,તેથી $(p+q+r)^2 \le 3(3(p+q+r)) = 9(p+q+r)$.
આમ,$p+q+r \le 9$.
મહત્તમ કિંમત $9$ છે.

(B) આપેલ છે $x^2+y^2=2z^2$ જ્યાં $HCF(x, y, z)=1$.
$I$ તપાસો: ધારો કે $x=1, y=7, z=5$. અહીં $1^2+7^2=50=2(5^2)$. $HCF(1, 7, 5)=1$. $4$ એ $1$ કે $7$ ને ભાગતું નથી. તેથી,$I$ ખોટું છે.
$II$ તપાસો: $x^2+y^2=2z^2 \implies x^2+y^2 \equiv 2z^2 \pmod 3$. $3$ ના મોડ્યુલોમાં વર્ગો $0, 1$ છે. જો $z^2 \equiv 0$,તો $x^2+y^2 \equiv 0 \implies x, y$ એ $3$ ના ગુણક છે,જે $HCF=1$ નો વિરોધાભાસ કરે છે. જો $z^2 \equiv 1$,તો $x^2+y^2 \equiv 2 \implies x^2 \equiv 1, y^2 \equiv 1$. તેથી $x \equiv \pm 1, y \equiv \pm 1$. આમ $x+y \equiv 0$ અથવા $x-y \equiv 0 \pmod 3$. $II$ સાચું છે.
$III$ તપાસો: $x^2+y^2=2z^2 \implies x^2-z^2 = z^2-y^2$. $5$ ના મોડ્યુલોમાં વર્ગો $0, 1, 4$ છે. જો $z^2 \equiv 0$,તો $x^2+y^2 \equiv 0 \implies x, y \equiv 0$,વિરોધાભાસ. જો $z^2 \equiv 1$,$x^2+y^2 \equiv 2$. શક્ય જોડી $(x^2, y^2)$ એ $(1, 1)$ છે. તેથી $x^2-y^2 \equiv 0 \pmod 5$. જો $z^2 \equiv 4$,$x^2+y^2 \equiv 8 \equiv 3$. શક્ય જોડી $(x^2, y^2)$ એ $(4, 4)$ છે. તેથી $x^2-y^2 \equiv 0 \pmod 5$. બંને કિસ્સામાં,$5$ એ $x^2-y^2$ ને ભાગે છે,તેથી $5$ એ $z(x^2-y^2)$ ને ભાગે છે. $III$ સાચું છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^4+y^4+z^4+1=4xyz$ છે.
ચાર ધન સંખ્યાઓ $x^4, y^4, z^4, 1$ માટે સમાંતર મધ્યક-ભૂમિતિ મધ્યક $(AM \geq GM)$ અસમતા મુજબ:
$\frac{x^4+y^4+z^4+1}{4} \geq \sqrt[4]{x^4 y^4 z^4 \cdot 1}$
આપેલ સમીકરણની કિંમત મૂકતા:
$\frac{4xyz}{4} \geq |xyz|$
$xyz \geq |xyz|$
આ અસમતા ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $xyz \geq 0$ હોય. $AM \geq GM$ માં સમાનતા માટે,બધા પદો સમાન હોવા જોઈએ:
$x^4 = y^4 = z^4 = 1$
આનો અર્થ એ છે કે $|x| = 1, |y| = 1, |z| = 1$. તેથી,$x, y, z \in \{1, -1\}$.
મૂળ સમીકરણમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$1+1+1+1 = 4xyz$ $\Rightarrow 4 = 4xyz$ $\Rightarrow xyz = 1$.
જેનો ગુણાકાર $1$ થાય તેવી શક્ય ત્રિપુટીઓ $(x, y, z)$ નીચે મુજબ છે:
$(1, 1, 1), (1, -1, -1), (-1, 1, -1), (-1, -1, 1)$.
આમ,કુલ $4$ ત્રિપુટીઓ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$x+y^2=12 \quad \dots(i)$
$x^2+y=12 \quad \dots(ii)$
$(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા:
$(x^2-x) + (y-y^2) = 0$
$(x^2-y^2) - (x-y) = 0$
$(x-y)(x+y) - (x-y) = 0$
$(x-y)(x+y-1) = 0$
આથી $x=y$ અથવા $x+y=1$.
કિસ્સો $1$: જો $x=y$,તો $x^2+x=12$ $\Rightarrow x^2+x-12=0$ $\Rightarrow (x+4)(x-3)=0$. આમ,$x=3, y=3$ અને $x=-4, y=-4$. આ $2$ ઉકેલો આપે છે.
કિસ્સો $2$: જો $x+y=1$,તો $y=1-x$. $(ii)$ માં મૂકતા: $x^2+(1-x)=12 \Rightarrow x^2-x-11=0$. વિવેચક $D = (-1)^2 - 4(1)(-11) = 1+44 = 45 > 0$. આ દ્વિઘાત સમીકરણના $x$ માટે $2$ ભિન્ન વાસ્તવિક ઉકેલો મળે છે,જે પ્રત્યેક માટે $y$ ની વાસ્તવિક કિંમત મળે છે. આ બીજા $2$ ઉકેલો આપે છે.
કુલ ક્રમિત જોડીઓ $(x, y)$ ની સંખ્યા $2+2=4$ છે.

(D) આપેલ છે કે $x$ અને $y$ બે ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જેથી $x+y=1$ થાય.
આપણે $f(x, y) = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવી છે.
બે ધન સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ માટે સમાંતર મધ્યક-હરાત્મક મધ્યક $(AM \geq HM)$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x+y}{2} \geq \frac{2}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}$
અસમતામાં $x+y=1$ મૂકતા:
$\frac{1}{2} \geq \frac{2}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}$
બંને બાજુ $2(\frac{1}{x} + \frac{1}{y})$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq 4$.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $4$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $2^x + 3^y = 5^{xy}$ છે,જ્યાં $x, y \in \mathbb{Z}^+$.
જો $x = 1$ અને $y = 1$ હોય,તો $2^1 + 3^1 = 2 + 3 = 5$ અને $5^{1 \times 1} = 5^1 = 5$ થાય. આમ,$(1, 1)$ એક ઉકેલ છે.
જો $x > 1$ અથવા $y > 1$ હોય,તો સમીકરણને $5^{xy}$ વડે ભાગતા $\frac{2^x}{5^{xy}} + \frac{3^y}{5^{xy}} = 1$ મળે.
આને $\left(\frac{2}{5^y}\right)^x + \left(\frac{3}{5^x}\right)^y = 1$ તરીકે લખી શકાય.
$x, y \ge 1$ માટે,પદો $\frac{2^x}{5^{xy}}$ અને $\frac{3^y}{5^{xy}}$ ઝડપથી ઘટે છે.
ખાસ કરીને,$x, y \ge 1$ માટે,$(1, 1)$ સિવાયની તમામ જોડીઓ માટે $2^x + 3^y < 5^{xy}$ થાય છે.
તેથી,સમીકરણનું સમાધાન કરતી એકમાત્ર ક્રમિત જોડી $(1, 1)$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^3+y^3=65$ છે.
આપણે પદાવલિનું અવયવીકરણ $(x+y)(x^2-xy+y^2)=65$ તરીકે કરી શકીએ છીએ.
$x$ અને $y$ પૂર્ણાંકો હોવાથી,$(x+y)$ એ $65$ નો ભાજક હોવો જોઈએ.
$65$ ના ભાજકો $\pm 1, \pm 5, \pm 13, \pm 65$ છે.
$x$ અને $y$ માટે પૂર્ણાંક કિંમતો ચકાસતા:
જો $x=1$ હોય,તો $1+y^3=65 \implies y^3=64 \implies y=4$.
જો $y=1$ હોય,તો $x^3+1=65 \implies x^3=64 \implies x=4$.
આમ,$(1, 4)$ અને $(4, 1)$ ઉકેલો છે.
અન્ય કિંમતો માટે,જો $x$ અથવા $y$ ઋણ અથવા મોટા હોય,તો ઘનનો સરવાળો $65$ મળતો નથી.
તેથી,કુલ $2$ ક્રમિત જોડીઓ શક્ય છે.

(C) આપેલ છે કે $a, b$ એ $x^2-5cx-6d=0$ ના બીજ છે,તેથી:
$a+b=5c$ $(1)$
$ab=-6d$ $(2)$
આપેલ છે કે $c, d$ એ $x^2-5ax-6b=0$ ના બીજ છે,તેથી:
$c+d=5a$ $(3)$
$cd=-6b$ $(4)$
$(1)$ માંથી $(3)$ બાદ કરતા:
$(a+b)-(c+d) = 5c-5a$
$(a-c)+(b-d) = -5(a-c)$
$b-d = 6(c-a)$ $(5)$
$(1)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$(a+b)+(c+d) = 5c+5a$
$b+d = 4(a+c)$ $(6)$
$(2)$ અને $(4)$ પરથી,$ab-cd = -6d+6b = 6(b-d)$.
$(5)$ ની કિંમત મૂકતા: $ab-cd = 36(c-a)$.
વળી,$ab-cd = c^2-a^2 = (c-a)(c+a)$.
$a, b, c, d$ ભિન્ન હોવાથી,$c-a \neq 0$,તેથી $c+a = 36$.
$(6)$ માં કિંમત મૂકતા: $b+d = 4(36) = 144$.

(C) આપેલ છે કે $a+b+c=0$ અને $a^2+b^2+c^2=1$.
ધારો કે $S = (3a+5b-8c)^2+(-8a+3b+5c)^2+(5a-8b+3c)^2$.
દરેક પદનું વિસ્તરણ કરતા:
$(3a+5b-8c)^2 = 9a^2+25b^2+64c^2+30ab-48ac-80bc$
$(-8a+3b+5c)^2 = 64a^2+9b^2+25c^2-48ab-80ac+30bc$
$(5a-8b+3c)^2 = 25a^2+64b^2+9c^2-80ab+30ac-48bc$
આ પદોનો સરવાળો કરતા:
$S = 98a^2 + 98b^2 + 98c^2 - 98ab - 98ac - 98bc$
$S = 98(a^2+b^2+c^2) - 98(ab+bc+ca)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) = 0$,તેથી $ab+bc+ca = -\frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2) = -\frac{1}{2}(1) = -\frac{1}{2}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$S = 98(1) - 98(-\frac{1}{2}) = 98 + 49 = 147$.

(D) વિધાન $I$ માટે: આપણે તપાસીએ કે $n^2+3 \equiv 0 \pmod{17}$.
આનો અર્થ એ છે કે $n^2 \equiv -3 \equiv 14 \pmod{17}$.
$17$ ના મોડ્યુલોમાં વર્ગ અવશેષો ${0, 1, 2, 4, 8, 9, 13, 15, 16}$ છે.
$14$ એ આ ગણમાં નથી,તેથી $n^2+3$ ક્યારેય $17$ વડે વિભાજ્ય નથી. આમ,$I$ સાચું છે.
વિધાન $II$ માટે: આપણે તપાસીએ કે $n^2+4 \equiv 0 \pmod{17}$.
આનો અર્થ એ છે કે $n^2 \equiv -4 \equiv 13 \pmod{17}$.
$8^2 = 64 \equiv 13 \pmod{17}$ હોવાથી,$n=8$ માટે $n^2+4 = 68$ એ $17$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,$II$ ખોટું છે.
તેથી,$I$ સાચું છે અને $II$ ખોટું છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$|a|=\sqrt{4-\sqrt{5-a}}$
$|b|=\sqrt{4+\sqrt{5-b}}$
$|c|=\sqrt{4-\sqrt{5+c}}$
$|d|=\sqrt{4+\sqrt{5+d}}$
પ્રથમ સમીકરણનો વર્ગ કરતા: $a^2 = 4 - \sqrt{5-a} \implies a^2 - 4 = -\sqrt{5-a}$.
ફરીથી વર્ગ કરતા: $(a^2 - 4)^2 = 5 - a \implies a^4 - 8a^2 + 16 = 5 - a \implies a^4 - 8a^2 + a + 11 = 0$.
તે જ રીતે,$b, c, d$ માટે,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $a, b, -c, -d$ એ બહુપદી સમીકરણ $x^4 - 8x^2 + x + 11 = 0$ ના બીજ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,$x^4 + 0x^3 - 8x^2 + x + 11 = 0$ ના બીજનો ગુણાકાર અચળ પદ જેટલો થાય છે,જે $11$ છે.
આમ,$a \cdot b \cdot (-c) \cdot (-d) = 11 \implies abcd = 11$.

(B) ધારો કે $S = (a_1-a_2)^2+(a_2-a_3)^2+(a_3-a_4)^2+(a_4-a_1)^2$.
વર્ગોનું વિસ્તરણ કરતા,$S = 2(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2) - 2(a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+a_4a_1)$.
આપેલ છે કે $a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2=1$,તેથી $S = 2 - 2(a_1+a_3)(a_2+a_4)$.
$a_1+a_2+a_3+a_4=0$ હોવાથી,$a_2+a_4 = -(a_1+a_3)$.
ધારો કે $x = a_1+a_3$,તો $a_2+a_4 = -x$.
આમ,$S = 2 - 2(x)(-x) = 2 + 2x^2$.
$S$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,આપણે $x^2$ ને ન્યૂનતમ કરવું પડશે.
કોશી-શ્વાર્ટઝ અસમતા મુજબ,$x^2$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $0$ છે.
જો $x=0$ હોય,તો $S = 2 + 2(0) = 2$.
$2$ એ $(1.5, 2.5)$ અંતરાલમાં આવે છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $nx^2 + 7\sqrt{n}x + n = 0$ છે.
વિવેચક $D = (7\sqrt{n})^2 - 4(n)(n) = 49n - 4n^2 = n(49 - 4n)$ છે.
બીજ ભિન્ન હોવા માટે,$D \neq 0$ હોવું જોઈએ. $n$ એ ધન પૂર્ણાંક હોવાથી,$49 - 4n = 0$ નો અર્થ $n = 12.25$ થાય,જે પૂર્ણાંક નથી. તેથી,તમામ $n \in \mathbb{Z}^+$ માટે $D \neq 0$ છે. આમ,વિધાન $I$ સાચું છે.
બીજ વાસ્તવિક હોવા માટે,$D \geq 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $n(49 - 4n) \geq 0$. $n > 0$ હોવાથી,$49 - 4n \geq 0$ એટલે કે $n \leq 12.25$. $n$ માટે શક્ય કિંમતો $\{1, 2, 3, \dots, 12\}$ છે. આ એક મર્યાદિત ગણ છે,તેથી વિધાન $II$ ખોટું છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજનો ગુણાકાર $\frac{c}{a}$ છે. અહીં,ગુણાકાર $\frac{n}{n} = 1$ છે,જે પૂર્ણાંક છે. તેથી,વિધાન $III$ સાચું છે.
તેથી,વિધાનો $I$ અને $III$ સાચા છે.

(B) $x, y, z > 0$ માટે,આપણે દરેક શરતનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$I.$ $x^3+y^3+z^3-3xyz = \frac{1}{2}(x+y+z)((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2) = 0$. $x+y+z > 0$ હોવાથી,આ સૂચવે છે કે $(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 = 0$,તેથી $x=y=z$.
$II.$ $x^3+y^2z+yz^2=3xyz$. $xyz$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2}{yz} + \frac{y}{x} + \frac{z}{x} = 3$ મળે છે. $AM$-$GM$ અસમતા દ્વારા,$\frac{x^2}{yz} + \frac{y}{x} + \frac{z}{x} \ge 3 \sqrt[3]{\frac{x^2}{yz} \cdot \frac{y}{x} \cdot \frac{z}{x}} = 3(1) = 3$. સમાનતા ત્યારે જ મળે જો $\frac{x^2}{yz} = \frac{y}{x} = \frac{z}{x}$ હોય,જે $x=y=z$ સૂચવે છે.
$III.$ $x^3+y^2z+z^2x=3xyz$. જો $x=1, y=2, z=0.5$ લઈએ,તો $3.25 \neq 3$ મળે છે. આ શરત હંમેશા $x=y=z$ સૂચવતી નથી.
$IV.$ $AM$-$GM$ દ્વારા,$\frac{x+y+z}{3} \ge \sqrt[3]{xyz}$. તેથી $(x+y+z)^3 \ge 27xyz$. સમાનતા ત્યારે જ મળે જો $x=y=z$ હોય.
આમ,$I, II,$ અને $IV$ એ $x=y=z$ સૂચવે છે.

(C) આપેલ છે કે $r$ એ સમીકરણ $x^2+2x+6=0$ નું બીજ છે,તેથી $r^2+2r+6=0$,જેનો અર્થ છે કે $r^2+2r = -6$.
આપણે $(r+2)(r+3)(r+4)(r+5)$ નું મૂલ્ય શોધવાનું છે.
પદોને નીચે મુજબ ગોઠવતા:
$E = (r^2+5r+6)(r^2+9r+20)$
$r^2 = -2r-6$ મૂકતા:
$E = (-2r-6+5r+6)(-2r-6+9r+20)$
$E = (3r)(7r+14)$
$E = 21(r^2+2r)$
$r^2+2r = -6$ હોવાથી:
$E = 21 \times (-6) = -126$.

(B) ધારો કે વર્ષ $n$ માં વસ્તી $P_n$ છે. સમસ્યા મુજબ,$P_{n+2} - P_n = k P_{n+1}$,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
આપેલ વસ્તી:
$P_{2010} = 39$
$P_{2011} = 60$
$P_{2013} = 123$
ધારો કે $P_{2012} = x$.
$n = 2010$ માટે:
$P_{2012} - P_{2010} = k P_{2011}$ $\Rightarrow x - 39 = k(60)$ $\Rightarrow k = \frac{x - 39}{60} \quad (i)$
$n = 2011$ માટે:
$P_{2013} - P_{2011} = k P_{2012}$ $\Rightarrow 123 - 60 = k(x)$ $\Rightarrow 63 = kx$ $\Rightarrow k = \frac{63}{x} \quad (ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$\frac{x - 39}{60} = \frac{63}{x}$
$x^2 - 39x - 3780 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલતા:
$x = \frac{39 \pm 129}{2}$
વસ્તી ધન હોવી જોઈએ,તેથી $x = 84$.
આમ,વર્ષ $2012$ માં વસ્તી $84$ હતી.

(B) આપેલ છે કે $a+b+c=0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca) = 0$.
તેથી,$q + 2(ab+bc+ca) = 0$,જે સૂચવે છે કે $ab+bc+ca = -\frac{q}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(ab+bc+ca)^2 = \frac{q^2}{4}$.
વળી,$(ab+bc+ca)^2 = a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 + 2abc(a+b+c) = a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 + 0 = \frac{q^2}{4}$.
હવે,$q^2 = (a^2+b^2+c^2)^2 = a^4+b^4+c^4 + 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$ ધ્યાનમાં લો.
$r = a^4+b^4+c^4$ અને $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 = \frac{q^2}{4}$ મુકતા,આપણને મળે છે:
$q^2 = r + 2(\frac{q^2}{4}) = r + \frac{q^2}{2}$.
પદોને ગોઠવતા,$q^2 - \frac{q^2}{2} = r$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{q^2}{2} = r$ અથવા $q^2 = 2r$ થાય છે.

(C) આપેલ સમીકરણો:
$x+y=a$ $(1)$
$\frac{x^2}{x-1}+\frac{y^2}{y-1}=4$ $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને સાદું રૂપ આપતા,$(a-2)(xy - (a-2)) = 0$ મળે છે.
જો $a=2$ હોય,તો અનંત ઉકેલો મળે છે.
જો $a \neq 2$ હોય,તો $xy = a-2$ મળે છે. $x$ અને $y$ એ $t^2 - at + (a-2) = 0$ ના બીજ છે.
વિવેચક $D = a^2 - 4a + 8 = (a-2)^2 + 4 > 0$ હોવાથી,દરેક $a$ માટે બે વાસ્તવિક ઉકેલો મળે છે.
આમ,$a=2$ સિવાયના તમામ $2013$ પૂર્ણાંકો માટે મર્યાદિત ઉકેલો મળે છે.

(C) ધારો કે $a = \frac{x}{y}$,$b = \frac{y}{z}$,અને $c = \frac{z}{x}$.
આપેલ છે કે $a+b+c = 7$ અને $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} = 9$.
નોંધો કે $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} = \frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z} = 9$.
આપણે જાણીએ છીએ કે બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$.
આને $a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)((a+b+c)^2-3(ab+bc+ca))$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$abc = (\frac{x}{y})(\frac{y}{z})(\frac{z}{x}) = 1$.
વળી,$ab+bc+ca = (\frac{x}{y})(\frac{y}{z}) + (\frac{y}{z})(\frac{z}{x}) + (\frac{z}{x})(\frac{x}{y}) = \frac{x}{z} + \frac{y}{x} + \frac{z}{y} = 9$.
આ કિંમતો નિત્યસમમાં મૂકતા:
$a^3+b^3+c^3-3(1) = (7)((7)^2 - 3(9))$.
$a^3+b^3+c^3-3 = 7(49-27)$.
$a^3+b^3+c^3-3 = 7(22) = 154$.

(D) ધારો કે લંબઘનના પરિમાણો $x, y,$ અને $z$ છે. સપાટીઓના પરિમાણો $(x, y), (y, z),$ અને $(x, z)$ છે.
દરેક સપાટી માટે પરિમિતિ અને ક્ષેત્રફળનો સરવાળો:
$2(x+y) + xy = 16 \quad (i)$
$2(y+z) + yz = 24 \quad (ii)$
$2(x+z) + xz = 31 \quad (iii)$
દરેક સમીકરણમાં $4$ ઉમેરતા:
$(x+2)(y+2) = 20 \quad (iv)$
$(y+2)(z+2) = 28 \quad (v)$
$(x+2)(z+2) = 35 \quad (vi)$
ધારો કે $X = x+2, Y = y+2, Z = z+2$. તો $XY=20, YZ=28, XZ=35$.
ગુણાકાર કરતા: $(XYZ)^2 = 19600 \implies XYZ = 140$.
$Z = 7 \implies z = 5$,$X = 5 \implies x = 3$,$Y = 4 \implies y = 2$.
ઘનફળ $V = xyz = 3 \times 2 \times 5 = 30$.
$30$ એ $28$ અને $35$ ની વચ્ચે આવે છે,તેથી વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $P(x) = \frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)} + \frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)} + \frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}$ છે.
$x=a$ માટે $P(a) = \frac{(a-b)(a-c)}{(a-b)(a-c)} + 0 + 0 = 1$ મળે છે.
$x=b$ માટે $P(b) = 0 + \frac{(b-c)(b-a)}{(b-c)(b-a)} + 0 = 1$ મળે છે.
$x=c$ માટે $P(c) = 0 + 0 + \frac{(c-a)(c-b)}{(c-a)(c-b)} = 1$ મળે છે.
$P(x)$ એ મહત્તમ $2$ ઘાત ધરાવતી બહુપદી છે અને તે $x = a, b, c$ એમ ત્રણ ભિન્ન કિંમતો માટે $1$ મૂલ્ય ધારણ કરે છે,તેથી તે અચળ બહુપદી $P(x) = 1$ હોવી જોઈએ.
તેથી,સાદું રૂપ $1$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે,$x+\frac{1}{x}=a$ અને $x^2+\frac{1}{x^3}=b$.
$x+\frac{1}{x}=a$ નો વર્ગ કરતા,આપણને મળે:
$x^2+\frac{1}{x^2}+2=a^2 \Rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=a^2-2$.
$x+\frac{1}{x}=a$ નો ઘન કરતા,આપણને મળે:
$x^3+\frac{1}{x^3}+3(x+\frac{1}{x})=a^3 \Rightarrow x^3+\frac{1}{x^3}=a^3-3a$.
હવે,સરવાળો ધ્યાનમાં લો:
$(x^2+\frac{1}{x^2}) + (x^3+\frac{1}{x^3}) = (a^2-2) + (a^3-3a)$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$(x^2+\frac{1}{x^3}) + (x^3+\frac{1}{x^2}) = a^3+a^2-3a-2$.
$x^2+\frac{1}{x^3}=b$ મૂકતા:
$b + (x^3+\frac{1}{x^2}) = a^3+a^2-3a-2$.
તેથી,$x^3+\frac{1}{x^2} = a^3+a^2-3a-2-b$.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$(i) x = x^2 + y^2$
$(ii) y = 2xy$
સમીકરણ $(ii)$ પરથી:
$y - 2xy = 0$
$y(1 - 2x) = 0$
આથી $y = 0$ અથવા $x = \frac{1}{2}$ મળે.
કિસ્સો $1$: જો $y = 0$ હોય,તો $(i)$ માં મૂકતા:
$x = x^2 + 0^2$
$x^2 - x = 0$
$x(x - 1) = 0$
તેથી,$x = 0$ અથવા $x = 1$.
આમ,$(0, 0)$ અને $(1, 0)$ જોડી મળે.
કિસ્સો $2$: જો $x = \frac{1}{2}$ હોય,તો $(i)$ માં મૂકતા:
$\frac{1}{2} = (\frac{1}{2})^2 + y^2$
$\frac{1}{2} = \frac{1}{4} + y^2$
$y^2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$
$y = \pm \frac{1}{2}$.
આમ,$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ અને $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$ જોડી મળે.
આમ,$(x, y)$ ની કુલ સંખ્યા $4$ છે.

(A) ધારો કે સમીકરણ $x^2 + y^2 = a^2 + b^2 + c^2$ છે જ્યાં $x, y, a, b, c$ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે.
કિસ્સો $1$: જો તમામ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ એકી હોય,તો $x^2, y^2, a^2, b^2, c^2 \equiv 1 \pmod{4}$ અથવા $1 \pmod{8}$ થાય.
કોઈપણ એકી અવિભાજ્ય સંખ્યા $p$ માટે,$p^2 \equiv 1 \pmod{8}$ થાય.
તેથી $x^2 + y^2 \equiv 1 + 1 = 2 \pmod{8}$ અને $a^2 + b^2 + c^2 \equiv 1 + 1 + 1 = 3 \pmod{8}$ થાય.
$2 \not\equiv 3 \pmod{8}$ હોવાથી,કોઈ ઉકેલ શક્ય નથી.
કિસ્સો $2$: જો ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા $2$ હોય.
જો $x=2$ હોય,તો $4 + y^2 = a^2 + b^2 + c^2$. જો $y=2$ હોય,તો $8 = a^2 + b^2 + c^2$. $8$ થી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો વર્ગ માત્ર $2$ છે. જો $a=b=c=2$ લઈએ,તો $a^2 + b^2 + c^2 = 12 \neq 8$ થાય.
નાની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ ચકાસતા,કોઈ ઉકેલ મળતો નથી.
આમ,ઉકેલોની સંખ્યા $0$ છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2+ax+b=0$ છે. જો $a-b$ એ બીજ હોય,તો તે સમીકરણનું સમાધાન કરે:
$(a-b)^2 + a(a-b) + b = 0$
$b^2 + b(1-3a) + 2a^2 = 0$
$b$ માટે ઉકેલતા,વિવેચક $D = a^2 - 6a + 1$ પૂર્ણવર્ગ હોવો જોઈએ,ધારો કે $k^2$.
$(a-3)^2 - k^2 = 8$
$(a-3-k)(a-3+k) = 8$
અવયવો પાડતા,શક્ય જોડીઓ $(a, b)$ મળે છે: $(6, 9), (6, 8), (0, 0), (0, -1)$.
આમ,કુલ $4$ ક્રમિત જોડીઓ શક્ય છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $|x|^2 - 2|x| + |\lambda - 3| = 0$ છે.
આને $(|x| - 1)^2 = 1 - |\lambda - 3|$ તરીકે લખી શકાય.
$x$ વાસ્તવિક ઉકેલ હોય તે માટે $1 - |\lambda - 3| \ge 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $2 \le \lambda \le 4$.
$x$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$(|x| - 1)^2$ એ પૂર્ણ વર્ગ હોવો જોઈએ,એટલે કે $0$ અથવા $1$.
કિસ્સો $1$: $(|x| - 1)^2 = 0 \implies |x| = 1 \implies x = \pm 1$. તો $1 - |\lambda - 3| = 0 \implies |\lambda - 3| = 1 \implies \lambda = 4$ અથવા $\lambda = 2$.
જો $\lambda = 4, x = 1, -1$,તો $x + \lambda$ ની કિંમત $5$ અથવા $3$ મળે.
જો $\lambda = 2, x = 1, -1$,તો $x + \lambda$ ની કિંમત $3$ અથવા $1$ મળે.
કિસ્સો $2$: $(|x| - 1)^2 = 1 \implies |x| = 2$ અથવા $0 \implies x = \pm 2, 0$. તો $1 - |\lambda - 3| = 1 \implies |\lambda - 3| = 0 \implies \lambda = 3$.
જો $\lambda = 3, x = 2, -2, 0$,તો $x + \lambda$ ની કિંમત $5, 1, 3$ મળે.
ગણ $S = \{5, 3, 1\}$ છે. સૌથી મોટો ઘટક $5$ છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2+60^{\frac{1}{4}} x+a=0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha+\beta = -60^{\frac{1}{4}}$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = a$ છે.
આપણને $\alpha^4+\beta^4 = -30$ આપેલ છે.
નિત્યસમ $\alpha^4+\beta^4 = (\alpha^2+\beta^2)^2 - 2(\alpha \beta)^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\alpha^2+\beta^2)^2 - 2a^2 = -30$.
અહીં $\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha \beta = (-60^{\frac{1}{4}})^2 - 2a = 60^{\frac{1}{2}} - 2a$ હોવાથી:
$(60^{\frac{1}{2}} - 2a)^2 - 2a^2 = -30$.
વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા:
$60 + 4a^2 - 4a(60^{\frac{1}{2}}) - 2a^2 = -30$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$2a^2 - 4\sqrt{60}a + 90 = 0$.
આ $a$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે. બીજનો ગુણાકાર $a_1 a_2 = \frac{90}{2} = 45$ થાય.

(A) આપેલ સમીકરણ $|x^2-8x+15|-2x+7=0$ છે.
કિસ્સો $1$: $x^2-8x+15 \geq 0$,જેનો અર્થ છે $x \leq 3$ અથવા $x \geq 5$.
સમીકરણ $x^2-8x+15-2x+7=0$ બને છે,તેથી $x^2-10x+22=0$.
બીજ $x = \frac{10 \pm \sqrt{100-88}}{2} = 5 \pm \sqrt{3}$ છે.
$5+\sqrt{3} \geq 5$ અને $5-\sqrt{3} \approx 3.268$ (જે $x \leq 3$ અથવા $x \geq 5$ માં નથી),તેથી માત્ર $x = 5+\sqrt{3}$ માન્ય બીજ છે.
કિસ્સો $2$: $x^2-8x+15 < 0$,જેનો અર્થ છે $3 < x < 5$.
સમીકરણ $-(x^2-8x+15)-2x+7=0$ બને છે,તેથી $-x^2+8x-15-2x+7=0$,જે $-x^2+6x-8=0$ અથવા $x^2-6x+8=0$ માં પરિણમે છે.
અવયવ પાડતા $(x-2)(x-4)=0$ મળે છે,તેથી $x=2$ અથવા $x=4$.
$3 < x < 5$ હોવાથી,માત્ર $x=4$ માન્ય બીજ છે.
તમામ બીજનો સરવાળો $(5+\sqrt{3}) + 4 = 9+\sqrt{3}$ છે.

(A) પ્રથમ સમીકરણ માટે: $x^2-12x+[x]+31=0$.
કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ મળતો નથી,તેથી $m=0$.
બીજા સમીકરણ માટે: $x^2-5|x+2|-4=0$.
$x \geq -2$ માટે,$x^2-5x-14=0 \implies x=7, -2$.
$x < -2$ માટે,$x^2+5x+6=0 \implies x=-3, -2$.
બીજની સંખ્યા $n=3$ છે.
તેથી $m^2+mn+n^2 = 0^2+0(3)+3^2 = 9$.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2-70x+\lambda=0$ ના બીજ $\alpha, \beta \in \mathbb{N}$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,$\alpha+\beta=70$ અને $\alpha\beta=\lambda$.
આપણને આપેલ છે કે $\frac{\lambda}{2} \notin \mathbb{N}$ અને $\frac{\lambda}{3} \notin \mathbb{N}$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda$ એ $2$ કે $3$ વડે વિભાજ્ય નથી.
$\lambda = \alpha(70-\alpha)$ હોવાથી,આપણે $\alpha$ ની એવી કિંમતો ચકાસીએ જેના માટે $\lambda$ એ $2$ કે $3$ વડે વિભાજ્ય ન હોય.
$\alpha=5$ માટે,$\lambda=325$ મળે છે,જે $2$ કે $3$ વડે વિભાજ્ય નથી. આ ન્યૂનતમ કિંમત છે.
$\alpha=5, \beta=65, \lambda=325$ લેતા,અભિવ્યક્તિની કિંમત:
$\frac{(2+8)(325+35)}{60} = \frac{10 \times 360}{60} = 60$.

(A) ધારો કે $f(x) = (a+b-2c)x^2 + (b+c-2a)x + (c+a-2b)$.
સહગુણકોનો સરવાળો: $f(1) = (a+b-2c) + (b+c-2a) + (c+a-2b) = 0$.
કારણ કે $f(1) = 0$,તેથી $x = 1$ એ સમીકરણનું એક બીજ છે.
ધારો કે બીજ $1$ અને $\alpha$ છે. બીજના ગુણાકારના સૂત્ર મુજબ,$1 \cdot \alpha = \frac{c+a-2b}{a+b-2c}$.
આમ,$\alpha = \frac{c+a-2b}{a+b-2c}$.
કિસ્સો $(I)$: જો $-1 < \alpha < 0$ હોય,તો $-1 < \frac{c+a-2b}{a+b-2c} < 0$. $0 < c < b < a$ આપેલ હોવાથી આ અસમતા ઉકેલતા $b > \frac{a+c}{2}$ મળે છે. $a$ અને $c$ નો સમગુણોત્તર મધ્યક $\sqrt{ac}$ છે અને $\sqrt{ac} < \frac{a+c}{2}$ હોવાથી,$b$ એ સમગુણોત્તર મધ્યક હોઈ શકે નહીં.
કિસ્સો $(II)$: જો $0 < \alpha < 1$ હોય,તો $0 < \frac{c+a-2b}{a+b-2c} < 1$. આ ઉકેલતા $b < \frac{a+c}{2}$ મળે છે. $\sqrt{ac} < b < \frac{a+c}{2}$ શક્ય હોવાથી,$b$ એ $a$ અને $c$ નો સમગુણોત્તર મધ્યક હોઈ શકે છે.
તેથી,બંને વિધાનો સાચા છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $(a^2+b^2)x^2-2b(a+c)x+(b^2+c^2)=0$ છે.
આને $(ax-b)^2+(bx-c)^2=0$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી $ax-b=0$ અને $bx-c=0$,જેનો અર્થ છે $x = b/a = c/b$.
ત્રિકોણની અસમતા મુજબ $a+b > c$,$b+c > a$ અને $c+a > b$.
$b = ax$ અને $c = ax^2$ મૂકતા:
$x^2 - x - 1 < 0$ અને $x^2 + x - 1 > 0$.
આથી $\frac{\sqrt{5}-1}{2} < x < \frac{\sqrt{5}+1}{2}$.
અહીં $\alpha = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ અને $\beta = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$.
તેથી $\alpha^2 + \beta^2 = 3$.
પરિણામે $12(\alpha^2+\beta^2) = 12(3) = 36$.

(D) આપેલ છે કે $x^2+20x-2020=0$ ના બીજ $a, b$ છે. વિએટાના સૂત્રો મુજબ,$a+b = -20$ અને $ab = -2020$ થાય.
આપેલ છે કે $x^2-20x+2020=0$ ના બીજ $c, d$ છે. વિએટાના સૂત્રો મુજબ,$c+d = 20$ અને $cd = 2020$ થાય.
આપણે $E = ac(a-c)+ad(a-d)+bc(b-c)+bd(b-d)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પદાવલિનું વિસ્તરણ કરતા: $E = a^2c - ac^2 + a^2d - ad^2 + b^2c - bc^2 + b^2d - bd^2$.
પદોને જૂથમાં ગોઠવતા: $E = a^2(c+d) + b^2(c+d) - c^2(a+b) - d^2(a+b)$.
$E = (c+d)(a^2+b^2) - (a+b)(c^2+d^2)$.
$a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab$ અને $c^2+d^2 = (c+d)^2 - 2cd$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a^2+b^2 = (-20)^2 - 2(-2020) = 400 + 4040 = 4440$.
$c^2+d^2 = (20)^2 - 2(2020) = 400 - 4040 = -3640$.
આ કિંમતો મૂકતા: $E = (20)(4440) - (-20)(-3640)$.
$E = 88800 - 72800 = 16000$.

(A) આપેલ સમીકરણ $3x^2 + x - 1 = 4|x^2 - 1|$ છે.
કિસ્સો $1$: જો $x \in [-1, 1]$,તો $|x^2 - 1| = 1 - x^2$.
સમીકરણ $3x^2 + x - 1 = 4 - 4x^2 \Rightarrow 7x^2 + x - 5 = 0$ બને છે.
ધારો કે $f(x) = 7x^2 + x - 5$. અહીં $f(-1) = 1$ અને $f(1) = 3$. $f(0) = -5$ હોવાથી,આ દ્વિઘાત સમીકરણને $(-1, 1)$ અંતરાલમાં બે વાસ્તવિક ઉકેલો છે.
કિસ્સો $2$: જો $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$,તો $|x^2 - 1| = x^2 - 1$.
સમીકરણ $3x^2 + x - 1 = 4x^2 - 4 \Rightarrow x^2 - x - 3 = 0$ બને છે.
આના ઉકેલો $x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$ છે,જે બંને અંતરાલમાં આવે છે.
આમ,કુલ $4$ વાસ્તવિક ઉકેલો છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^2 + (\cos \theta)x - 1 = 0$ છે.
બીજનો સરવાળો $\alpha_\theta + \beta_\theta = -\frac{\cos \theta}{2}$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha_\theta \beta_\theta = -\frac{1}{2}$ છે.
આપણે $\alpha_\theta^4 + \beta_\theta^4 = (\alpha_\theta^2 + \beta_\theta^2)^2 - 2(\alpha_\theta \beta_\theta)^2$ શોધવાનું છે.
$\alpha_\theta^2 + \beta_\theta^2 = (\alpha_\theta + \beta_\theta)^2 - 2\alpha_\theta \beta_\theta = \frac{\cos^2 \theta}{4} + 1$ હોવાથી,
$\alpha_\theta^4 + \beta_\theta^4 = (\frac{\cos^2 \theta}{4} + 1)^2 - 2(-\frac{1}{2})^2 = (\frac{\cos^2 \theta}{4} + 1)^2 - \frac{1}{2}$.
ધારો કે $u = \cos^2 \theta$,જ્યાં $u \in [0, 1]$.
$f(u) = (\frac{u}{4} + 1)^2 - \frac{1}{2}$ લેતા.
$u = 0$ માટે,$f(0) = (1)^2 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = m$.
$u = 1$ માટે,$f(1) = (\frac{1}{4} + 1)^2 - \frac{1}{2} = \frac{25}{16} - \frac{8}{16} = \frac{17}{16} = M$.
તેથી,$16(M + m) = 16(\frac{17}{16} + \frac{1}{2}) = 25$.

(C) ધારો કે $f(x) = x^2+3x+2 = (x+1)(x+2)$.
ધારો કે $g(x) = \min \{|x-3|, |x+2|\}$.
આપણે $y = f(x)$ અને $y = g(x)$ ના છેદબિંદુઓની સંખ્યા શોધવાની છે.
$x < -2$ માટે,$f(x) > 0$ અને $g(x) = |x-3| = 3-x$. $x^2+3x+2 = 3-x$ ઉકેલતા $x^2+4x-1 = 0$ મળે,તેથી $x = -2 \pm \sqrt{5}$. $x < -2$ હોવાથી,$x = -2-\sqrt{5}$ એક ઉકેલ છે.
$-2 \le x < 0.5$ માટે,$g(x) = |x+2| = x+2$. $x^2+3x+2 = x+2$ ઉકેલતા $x^2+2x = 0$ મળે,તેથી $x=0$ અથવા $x=-2$. બંને અંતરાલમાં છે.
$x \ge 0.5$ માટે,$g(x) = |x-3|$. પરવલય $f(x)$ વધતું વિધેય છે અને $g(x)$ ઘટે છે અથવા વધે છે,પરંતુ $f(x)$ ખૂબ ઝડપથી વધે છે,તેથી કોઈ વધારાના ઉકેલો નથી.
ઉકેલો $x = -2-\sqrt{5}$,$x = -2$,અને $x = 0$ છે. આમ,કુલ $3$ વાસ્તવિક ઉકેલો છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $x^2+|2x-3|-4=0$.
કિસ્સો $I$: $x \geq \frac{3}{2}$.
સમીકરણ $x^2 + 2x - 3 - 4 = 0$ બને છે,જે $x^2 + 2x - 7 = 0$ છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-7)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{32}}{2} = -1 \pm 2\sqrt{2}$.
$x \geq \frac{3}{2}$ હોવાથી,આપણે $x = 2\sqrt{2} - 1$ સ્વીકારીએ છીએ.
કિસ્સો $II$: $x < \frac{3}{2}$.
સમીકરણ $x^2 - (2x - 3) - 4 = 0$ બને છે,જે $x^2 - 2x - 1 = 0$ છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.
$x < \frac{3}{2}$ હોવાથી,આપણે $x = 1 + \sqrt{2}$ અને $x = 1 - \sqrt{2}$ બંને સ્વીકારીએ છીએ.
બીજો $2\sqrt{2}-1$,$1+\sqrt{2}$,અને $1-\sqrt{2}$ છે.
વર્ગોનો સરવાળો $= (2\sqrt{2}-1)^2 + (1+\sqrt{2})^2 + (1-\sqrt{2})^2$.
$= (8 - 4\sqrt{2} + 1) + (1 + 2\sqrt{2} + 2) + (1 - 2\sqrt{2} + 2)$.
$= 9 - 4\sqrt{2} + 3 + 2\sqrt{2} + 3 - 2\sqrt{2} = 15 - 4\sqrt{2}$.