ધારો કે x, y, z ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. નીચેન | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) $x, y, z > 0$ માટે,આપણે દરેક શરતનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:$I.$ $x^3+y^3+z^3-3xyz = \frac{1}{2}(x+y+z)((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2) = 0$. $x+y+z > 0$ હોવાથ

Vedclass · Accepted Answer

માત્ર $I, II, IV$

Vedclass · Answer

(B) $x, y, z > 0$ માટે,આપણે દરેક શરતનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:$I.$ $x^3+y^3+z^3-3xyz = \frac{1}{2}(x+y+z)((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2) = 0$. $x+y+z > 0$ હોવાથી,આ સૂચવે છે કે $(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 = 0$,તેથી $x=y=z$.$II.$ $x^3+y^2z+yz^2=3xyz$. $xyz$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2}{yz} + \frac{y}{x} + \frac{z}{x} = 3$ મળે છે. $AM$-$GM$ અસમતા દ્વારા,$\frac{x^2}{yz} + \frac{y}{x} + \frac{z}{x} \ge 3 \sqrt[3]{\frac{x^2}{yz} \cdot \frac{y}{x} \cdot \frac{z}{x}} = 3(1) = 3$. સમાનતા ત્યારે જ મળે જો $\frac{x^2}{yz} = \frac{y}{x} = \frac{z}{x}$ હોય,જે $x=y=z$ સૂચવે છે.$III.$ $x^3+y^2z+z^2x=3xyz$. જો $x=1, y=2, z=0.5$ લઈએ,તો $3.25 
eq 3$ મળે છે. આ શરત હંમેશા $x=y=z$ સૂચવતી નથી.$IV.$ $AM$-$GM$ દ્વારા,$\frac{x+y+z}{3} \ge \sqrt[3]{xyz}$. તેથી $(x+y+z)^3 \ge 27xyz$. સમાનતા ત્યારે જ મળે જો $x=y=z$ હોય.આમ,$I, II,$ અને $IV$ એ $x=y=z$ સૂચવે છે.

ધારો કે $x, y, z$ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. નીચેનામાંથી કઈ શરત $x=y=z$ સૂચવે છે?
$I.$ $x^3+y^3+z^3=3xyz$
$II.$ $x^3+y^2z+yz^2=3xyz$
$III.$ $x^3+y^2z+z^2x=3xyz$
$IV.$ $(x+y+z)^3=27xyz$

Similar Questions

જો $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $x^{2}+(3)^{1/4}x+3^{1/2}=0$ ના ભિન્ન બીજ હોય,તો $\alpha^{96}(\alpha^{12}-1) + \beta^{96}(\beta^{12}-1)$ ની કિંમત કેટલી થાય?

$x \in R$ માટે,$\frac{x^2-6x+5}{x^2+2x+1}$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.

જો $a, b, c$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ એવી રીતે હોય કે $a+b+c=0$ અને $a^2+b^2+c^2=1$,તો $(3a+5b-8c)^2+(-8a+3b+5c)^2+(5a-8b+3c)^2$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module

ધારો કે $x, y, z$ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. નીચેનામાંથી કઈ શરત $x=y=z$ સૂચવે છે?$I.$ $x^3+y^3+z^3=3xyz$$II.$ $x^3+y^2z+yz^2=3xyz$$III.$ $x^3+y^2z+z^2x=3xyz$$IV.$ $(x+y+z)^3=27xyz$