અંતરાલ $[1, 2014]$ માં પૂર્ણાંક $a$ ની સંખ્યા કેટલી છે જેના માટે સમીકરણોની સિસ્ટમ $x+y=a$ અને $\frac{x^2}{x-1}+\frac{y^2}{y-1}=4$ ના મર્યાદિત ઉકેલો મળે?

જો $\alpha, \beta$ એ સમીકરણ $x^5-5 x^4+9 x^3-9 x^2+5 x-1=0$ ના અસંમેય બીજ હોય,તો સમીકરણ $(\alpha+\beta) x^2+2 \alpha \beta x-\alpha \beta=0$ ના બીજ શોધો.

જો $\sqrt{\frac{1-y}{y}}+\sqrt{\frac{y}{1-y}}=\frac{5}{2}$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ $(\beta > \alpha)$ હોય અને સમીકરણ $(\alpha+\beta) x^4-25 \alpha \beta x^2+(\gamma+\beta-\alpha)=0$ ના બીજ વાસ્તવિક હોય,તો $\gamma$ ની એક શક્ય કિંમત છે

જો દ્વિઘાત સમીકરણ $(m^2 + 1)x^2 - 3x + (m^2 + 1)^2 = 0$ માં $m$ એવી રીતે પસંદ કરવામાં આવે કે જેથી તેના બીજનો સરવાળો મહત્તમ થાય,તો તેના બીજના ઘનનો તફાવત (absolute difference) કેટલો થાય?

$x$ ની કોઈપણ વાસ્તવિક કિંમત માટે,જો $\frac{11 x^2+12 x+6}{x^2+4 x+2} \notin(a, b]$ હોય,તો $x$ ની કઈ કિંમત માટે $\frac{11 x^2+12 x+6}{x^2+4 x+2}=b-a+3$ થાય?

સમીકરણ $x^4+y^4+z^4+1=4xyz$ નું સમાધાન કરતી વાસ્તવિક સંખ્યાઓની ત્રિપુટી $(x, y, z)$ ની સંખ્યા કેટલી છે?