Mix Examples-Quadratic Equations and Inequations Questions in Hindi

(B) दिया गया है $x = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$ और $y = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$.
ध्यान दें कि $xy = 1$,इसलिए $y = \frac{1}{x}$.
सबसे पहले,$x + y$ की गणना करें:
$x + y = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2 + (\sqrt{5} - \sqrt{2})^2}{(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})} = \frac{(5 + 2 + 2\sqrt{10}) + (5 + 2 - 2\sqrt{10})}{5 - 2} = \frac{14}{3}$.
इसके बाद,$x - y$ की गणना करें:
$x - y = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2 - (\sqrt{5} - \sqrt{2})^2}{(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})} = \frac{(7 + 2\sqrt{10}) - (7 - 2\sqrt{10})}{3} = \frac{4\sqrt{10}}{3}$.
अब,$3x^2 - 3y^2 + 4xy = 3(x^2 - y^2) + 4(1) = 3(x - y)(x + y) + 4$ का मान ज्ञात करें.
मान रखने पर:
$3 \times \left(\frac{4\sqrt{10}}{3}\right) \times \left(\frac{14}{3}\right) + 4 = \frac{56\sqrt{10}}{3} + 4 = \frac{56\sqrt{10} + 12}{3} = \frac{1}{3}[56\sqrt{10} + 12]$.

(B) दिया गया समीकरण $(1 - ab)m^2 - (a^2 + b^2)m - (1 + ab) = 0$ है।
इसका अर्थ है $m(a^2 + b^2) + (m^2 + 1)ab = m^2 - 1$ ......$(i)$
मान लीजिए $H_1, H_2, \dots, H_m$ $a$ और $b$ के बीच $m$ हरात्मक माध्य हैं।
पहला हरात्मक माध्य $H_1 = \frac{(m + 1)ab}{a + mb}$ और अंतिम हरात्मक माध्य $H_m = \frac{(m + 1)ab}{b + ma}$ है।
अंतर $H_m - H_1 = (m + 1)ab \left[ \frac{1}{b + ma} - \frac{1}{a + mb} \right]$.
$H_m - H_1 = (m + 1)ab \left[ \frac{a + mb - b - ma}{(b + ma)(a + mb)} \right] = (m + 1)ab \frac{(m - 1)(b - a)}{(b + ma)(a + mb)}$.
$H_m - H_1 = \frac{(m^2 - 1)ab(b - a)}{m(a^2 + b^2) + (m^2 + 1)ab}$.
समीकरण $(i)$ का उपयोग करने पर,हर $m^2 - 1$ है।
अतः,$H_m - H_1 = \frac{(m^2 - 1)ab(b - a)}{m^2 - 1} = ab(b - a)$.

(A) मान लीजिए $r$ एक $G.P.$ $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ का सार्व अनुपात है। तब $\beta = \alpha r, \gamma = \alpha r^2, \delta = \alpha r^3$.
मूलों के योग और गुणनफल से:
$\alpha + \beta = 1 \Rightarrow \alpha(1 + r) = 1$ $(i)$
$\alpha \beta = p \Rightarrow \alpha^2 r = p$ $(ii)$
$\gamma + \delta = 4 \Rightarrow \alpha r^2(1 + r) = 4$ $(iii)$
$\gamma \delta = q \Rightarrow \alpha^2 r^5 = q$ $(iv)$
$(iii)$ को $(i)$ से विभाजित करने पर,हमें $r^2 = 4$ प्राप्त होता है,इसलिए $r = \pm 2$.
यदि $r = 2$ है,तो $\alpha(1+2) = 1 \Rightarrow \alpha = 1/3$ (जो पूर्णांक नहीं है)।
यदि $r = -2$ है,तो $\alpha(1-2) = 1 \Rightarrow \alpha = -1$.
$r = -2$ और $\alpha = -1$ को $(ii)$ और $(iv)$ में रखने पर:
$p = (-1)^2(-2) = -2$
$q = (-1)^2(-2)^5 = -32$
अतः,$(p, q) = (-2, -32)$।

(A) माना $y = \frac{x^2 + 14x + 9}{x^2 + 2x + 3}$.
$y(x^2 + 2x + 3) = x^2 + 14x + 9$.
$(y - 1)x^2 + (2y - 14)x + (3y - 9) = 0$.
चूँकि $x$ वास्तविक है,इसलिए विविक्तकर $D \ge 0$.
$D = (2y - 14)^2 - 4(y - 1)(3y - 9) \ge 0$.
$4(y - 7)^2 - 12(y - 1)(y - 3) \ge 0$.
$(y^2 - 14y + 49) - 3(y^2 - 4y + 3) \ge 0$.
$-2y^2 - 2y + 40 \ge 0$.
$y^2 + y - 20 \le 0$.
$(y + 5)(y - 4) \le 0$.
अतः,$-5 \le y \le 4$.
अधिकतम मान $4$ है और न्यूनतम मान $-5$ है।

(B) माना $y = \frac{x + 2}{2x^2 + 3x + 6}$.
तब $y(2x^2 + 3x + 6) = x + 2$,जो $2yx^2 + (3y - 1)x + (6y - 2) = 0$ में सरल हो जाता है।
यदि $y = 0$ है,तो $x = -2$,जो एक वास्तविक मान है।
यदि $y \neq 0$ है,तो $x$ के वास्तविक होने के लिए विविक्तकर $D \ge 0$ होना चाहिए।
$D = (3y - 1)^2 - 4(2y)(6y - 2) \ge 0$.
$9y^2 - 6y + 1 - 48y^2 + 16y \ge 0$.
$-39y^2 + 10y + 1 \ge 0$.
$39y^2 - 10y - 1 \le 0$.
गुणनखंड करने पर: $(13y + 1)(3y - 1) \le 0$.
यह असमिका $y \in \left[ -\frac{1}{13}, \frac{1}{3} \right]$ के लिए सत्य है।
चूंकि $y = 0$ इस अंतराल में शामिल है,इसलिए परिसर $\left[ -\frac{1}{13}, \frac{1}{3} \right]$ है।

(A) दिया गया है $u = x^2 + 4y^2 + 9z^2 - 6yz - 3zx - 2xy$.
$2$ से गुणा और भाग करने पर:
$u = \frac{1}{2}(2x^2 + 8y^2 + 18z^2 - 12yz - 6zx - 4xy)$
पूर्ण वर्ग बनाने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$u = \frac{1}{2}[(x^2 - 4xy + 4y^2) + (x^2 - 6zx + 9z^2) + (4y^2 - 12yz + 9z^2)]$
कोष्ठक के अंदर के व्यंजकों को सरल करने पर:
$u = \frac{1}{2}[(x - 2y)^2 + (x - 3z)^2 + (2y - 3z)^2]$
चूंकि $x, y, z$ वास्तविक हैं,वर्गों का योग हमेशा अ-ऋणात्मक होता है। अतः,$u \geq 0$.

(D) माना $y = \frac{(x - a)(x - b)}{(x - c)}$.
तब $y(x - c) = x^2 - (a + b)x + ab$,जिसे $x^2 - (a + b + y)x + (ab + cy) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x$ के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D \ge 0$ होना चाहिए:
$D = (a + b + y)^2 - 4(ab + cy) \ge 0$.
इसका विस्तार करने पर,हमें $y^2 + 2y(a + b - 2c) + (a - b)^2 \ge 0$ प्राप्त होता है।
फलन के सभी वास्तविक मान $y$ ग्रहण करने के लिए,$y$ में यह द्विघात समीकरण सभी $y$ के लिए अऋणात्मक होना चाहिए। चूँकि $y^2$ का गुणांक धनात्मक है,यह द्विघात समीकरण सभी वास्तविक मान लेगा यदि इसका विविक्तकर $D_y < 0$ हो।
$D_y = [2(a + b - 2c)]^2 - 4(a - b)^2 < 0$.
$4(a + b - 2c)^2 - 4(a - b)^2 < 0$.
$(a + b - 2c)^2 - (a - b)^2 < 0$.
$A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$ का उपयोग करने पर:
$(a + b - 2c - a + b)(a + b - 2c + a - b) < 0$.
$(2b - 2c)(2a - 2c) < 0$.
$4(b - c)(a - c) < 0$.
$(c - b)(c - a) < 0$.
यह असमिका तभी सत्य है जब $c$,$a$ और $b$ के बीच स्थित हो,अर्थात $a < c < b$ या $b < c < a$।

(C) माना $y = \frac{x^2 - 3x + 4}{x^2 + 3x + 4}$.
दोनों पक्षों को $(x^2 + 3x + 4)$ से गुणा करने पर,हमें $y(x^2 + 3x + 4) = x^2 - 3x + 4$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$(y - 1)x^2 + 3(y + 1)x + 4(y - 1) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x$ वास्तविक है,इसलिए विविक्तकर $D \ge 0$ होना चाहिए।
$D = [3(y + 1)]^2 - 4(y - 1)(4(y - 1)) \ge 0$.
$9(y + 1)^2 - 16(y - 1)^2 \ge 0$.
$(3(y + 1))^2 - (4(y - 1))^2 \ge 0$.
सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करने पर,$(3y + 3 - 4y + 4)(3y + 3 + 4y - 4) \ge 0$.
$(-y + 7)(7y - 1) \ge 0$.
$-1$ से गुणा करने पर,$(y - 7)(7y - 1) \le 0$.
यह असमिका $\frac{1}{7} \le y \le 7$ के लिए सत्य है।
अतः,अधिकतम मान $7$ और न्यूनतम मान $\frac{1}{7}$ है।

(D) माना $y = \frac{x^2 + 34x - 71}{x^2 + 2x - 7}$ है।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $x^2(y - 1) + 2x(y - 17) + (71 - 7y) = 0$ प्राप्त होता है।
$x$ के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर $D \ge 0$ होना चाहिए।
$D = [2(y - 17)]^2 - 4(y - 1)(71 - 7y) \ge 0$।
$4$ से भाग देने पर,$(y - 17)^2 - (y - 1)(71 - 7y) \ge 0$।
$(y^2 - 34y + 289) - (-7y^2 + 78y - 71) \ge 0$।
$8y^2 - 112y + 360 \ge 0$।
$8$ से भाग देने पर,$y^2 - 14y + 45 \ge 0$।
गुणनखंड करने पर,$(y - 5)(y - 9) \ge 0$।
यह असमिका $y \le 5$ या $y \ge 9$ के लिए सत्य है।
अतः,व्यंजक का मान $5$ और $9$ के बीच स्थित नहीं है।

(C) ग्राफ से,परवलय नीचे की ओर खुलता है,जिसका अर्थ है कि ${x^2}$ का गुणांक ऋणात्मक होना चाहिए। इसलिए,$a < 0$ है।
द्विघात समीकरण $y = a{x^2} + bx + c$ के मूल ${x_1}$ और ${x_2}$ हैं,जहाँ ${x_1} > 0$ और ${x_2} > 0$ दोनों हैं।
मूलों का योग ${x_1} + {x_2} = -\frac{b}{a}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों मूल धनात्मक हैं,उनका योग धनात्मक है,इसलिए $-\frac{b}{a} > 0$,जिसका अर्थ है कि $\frac{b}{a} < 0$ है।
इसका मतलब है कि $a$ और $b$ के चिह्न विपरीत हैं।
चूंकि परवलय $X$-अक्ष को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटता है,इसलिए विविक्तकर $D = {b^2} - 4ac > 0$,यानी ${b^2} > 4ac$ है।
अतः,$(a)$ और $(b)$ दोनों सही हैं।

(C) माना $f(x) = x^3 - 3b^2x + 2c^3$. चूँकि $f(x)$,$x - a$ और $x - b$ से विभाज्य है,इसलिए $f(a) = 0$ और $f(b) = 0$ होगा।
$f(b) = b^3 - 3b^2(b) + 2c^3 = b^3 - 3b^3 + 2c^3 = -2b^3 + 2c^3 = 0$.
इसका अर्थ है $b^3 = c^3$,इसलिए $b = c$ (चूँकि $b, c$ वास्तविक हैं)।
अब,$f(a) = a^3 - 3b^2a + 2c^3 = 0$. $c = b$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $a^3 - 3ab^2 + 2b^3 = 0$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड करने पर: $(a - b)(a^2 + ab - 2b^2) = 0$.
$(a - b)(a - b)(a + 2b) = 0$.
इससे $a = b$ या $a = -2b$ प्राप्त होता है।
चूँकि $b = c$ है,इसलिए हल $a = b = c$ या $a = -2b = -2c$ है।

(A) दिया गया है $k = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है $k(x^2 + x + 1) = x^2 - x + 1$.
$kx^2 + kx + k = x^2 - x + 1$.
$(k - 1)x^2 + (k + 1)x + (k - 1) = 0$.
चूंकि $x$ वास्तविक है,इसलिए विविक्तकर $D \ge 0$.
$D = (k + 1)^2 - 4(k - 1)(k - 1) \ge 0$.
$(k + 1)^2 - 4(k - 1)^2 \ge 0$.
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $((k + 1) - 2(k - 1))((k + 1) + 2(k - 1)) \ge 0$.
$(-k + 3)(3k - 1) \ge 0$.
$-1$ से गुणा करने पर,हमें मिलता है $(k - 3)(3k - 1) \le 0$.
मूल $k = \frac{1}{3}$ और $k = 3$ हैं।
अतः,$\frac{1}{3} \le k \le 3$.

(D) दिया गया है कि $\tan \alpha$ और $\tan \beta$ समीकरण $x^2 + px + q = 0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,$\tan \alpha + \tan \beta = -p$ और $\tan \alpha \tan \beta = q$ है।
$\tan(\alpha + \beta)$ के लिए सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \frac{-p}{1 - q} = \frac{p}{q - 1}$.
यह पुष्टि करता है कि विकल्प $(b)$ सही है।
अब,$(a)$ में दिए गए व्यंजक पर विचार करें:
$E = \sin^2(\alpha + \beta) + p\sin(\alpha + \beta)\cos(\alpha + \beta) + q\cos^2(\alpha + \beta)$.
$\cos^2(\alpha + \beta)$ से भाग और गुणा करने पर:
$E = \cos^2(\alpha + \beta) [\tan^2(\alpha + \beta) + p\tan(\alpha + \beta) + q]$.
चूंकि $\cos^2(\alpha + \beta) = \frac{1}{1 + \tan^2(\alpha + \beta)}$,$\tan(\alpha + \beta) = \frac{p}{q - 1}$ रखने पर:
$E = \frac{1}{1 + (\frac{p}{q - 1})^2} [(\frac{p}{q - 1})^2 + p(\frac{p}{q - 1}) + q] = q$.
अतः,$(a)$ भी सही है। इसलिए,सही विकल्प $(d)$ है।

(D) असमिका $4x^2 - 16x + 15 < 0$ दी गई है।
$x$ के लिए हल करने पर: $(2x - 3)(2x - 5) < 0$,जो $\frac{3}{2} < x < \frac{5}{2}$ देता है।
इस अंतराल में एकमात्र पूर्णांक हल $x = 2$ है। अतः,$\tan \alpha = 2$ है।
प्रथम चतुर्थांश का समद्विभाजक रेखा $y = x$ है,जिसकी ढाल $1$ है। अतः,$\cos \beta = 1$ है।
चूंकि $\cos \beta = 1$ है,इसलिए $\beta = 0$ है,जिससे $\sin \beta = 0$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\sin(\alpha + \beta)\sin(\alpha - \beta) = \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta$ का उपयोग करने पर:
$\sin^2 \alpha - \sin^2 \beta = \sin^2 \alpha - 0 = \sin^2 \alpha$।
चूंकि $\tan \alpha = 2$ है,इसलिए $\sin^2 \alpha = \frac{\tan^2 \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{2^2}{1 + 2^2} = \frac{4}{5}$।

(C) माना $y = \frac{x^2 + 14x + 9}{x^2 + 2x + 3}$.
$y(x^2 + 2x + 3) = x^2 + 14x + 9$
$x^2(y - 1) + 2x(y - 7) + (3y - 9) = 0$.
चूंकि $x$ वास्तविक है,इसलिए विविक्तकर $D \geq 0$:
$D = [2(y - 7)]^2 - 4(y - 1)(3y - 9) \geq 0$
$4(y^2 - 14y + 49) - 4(3y^2 - 12y + 9) \geq 0$
$y^2 - 14y + 49 - 3y^2 + 12y - 9 \geq 0$
$-2y^2 - 2y + 40 \geq 0$
$y^2 + y - 20 \leq 0$
$(y + 5)(y - 4) \leq 0$.
अतः,$y$ का मान $-5$ और $4$ के बीच स्थित है।

(A) दी गई असमिका $27pqr \geq (p + q + r)^3$ को हम $\sqrt[3]{pqr} \geq \frac{p + q + r}{3}$ के रूप में लिख सकते हैं।
$AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,हम जानते हैं कि $\frac{p + q + r}{3} \geq \sqrt[3]{pqr}$ होता है।
दोनों असमिकाओं के एक साथ सत्य होने के लिए,$p = q = r$ होना आवश्यक है।
समीकरण $3p + 4q + 5r = 12$ में $p = q = r = x$ रखने पर:
$3x + 4x + 5x = 12$ $\Rightarrow 12x = 12$ $\Rightarrow x = 1$.
अतः,$p = 1, q = 1, r = 1$.
अब,$p^3 + q^4 + r^5 = 1^3 + 1^4 + 1^5 = 1 + 1 + 1 = 3$.

(B) समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM-GM)$ असमिका के अनुसार,धनात्मक संख्याओं $a, b, c/2, c/2$ के लिए:
$\frac{a + b + c/2 + c/2}{4} \geq \sqrt[4]{a \cdot b \cdot \frac{c}{2} \cdot \frac{c}{2}}$
$\frac{a + b + c}{4} \geq \sqrt[4]{\frac{abc^2}{4}}$
दोनों पक्षों की घात $4$ करने पर:
$\frac{(a + b + c)^4}{256} \geq \frac{abc^2}{4}$
$abc^2 \leq \frac{(a + b + c)^4}{64}$
$abc^2$ का अधिकतम मान $1/64$ दिया गया है,अतः $\frac{(a + b + c)^4}{64} = \frac{1}{64}$,जिसका अर्थ है $a + b + c = 1$.
समानता तब होती है जब $a = b = c/2$ हो।
$a + b + c = 1$ में $a = b = c/2$ रखने पर:
$c/2 + c/2 + c = 1 \implies 2c = 1 \implies c = 1/2$.
अतः $a = b = 1/4$।

(A) माना $y = \frac{x^2 - 3x + 4}{x^2 + 3x + 4}$.
दोनों पक्षों को $(x^2 + 3x + 4)$ से गुणा करने पर,$y(x^2 + 3x + 4) = x^2 - 3x + 4$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$(y - 1)x^2 + (3y + 3)x + (4y - 4) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x$ एक वास्तविक संख्या है,इसलिए विविक्तकर $D \geq 0$ होगा।
$D = (3y + 3)^2 - 4(y - 1)(4y - 4) \geq 0$.
$9(y + 1)^2 - 16(y - 1)^2 \geq 0$.
$(3(y + 1) - 4(y - 1))(3(y + 1) + 4(y - 1)) \geq 0$.
$(3y + 3 - 4y + 4)(3y + 3 + 4y - 4) \geq 0$.
$(-y + 7)(7y - 1) \geq 0$.
$(y - 7)(7y - 1) \leq 0$.
अतः,$\frac{1}{7} \leq y \leq 7$.
अधिकतम मान $7$ है और न्यूनतम मान $\frac{1}{7}$ है।

(D) दिया गया है कि $\alpha + \beta$,$\alpha^2 + \beta^2$,और $\alpha^3 + \beta^3$ गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ में हैं।
तीन पदों $x, y, z$ के $GP$ में होने के लिए $y^2 = xz$ होता है।
अतः,$(\alpha^2 + \beta^2)^2 = (\alpha + \beta)(\alpha^3 + \beta^3)$।
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: $\alpha^4 + \beta^4 + 2\alpha^2\beta^2 = \alpha^4 + \alpha\beta^3 + \beta\alpha^3 + \beta^4$।
सरल करने पर: $2\alpha^2\beta^2 = \alpha\beta(\alpha^2 + \beta^2)$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\alpha\beta(\alpha^2 + \beta^2 - 2\alpha\beta) = 0$।
इससे $\alpha\beta(\alpha - \beta)^2 = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ और $(\alpha - \beta)^2 = \frac{\Delta}{a^2}$ है।
इन मानों को रखने पर: $\frac{c}{a} \times \frac{\Delta}{a^2} = 0$।
अतः,$c\Delta = 0$।

(D) $1$. ग्राफ नीचे की ओर खुलने वाला परवलय है,जिसका अर्थ है कि $x^2$ का गुणांक ऋणात्मक होना चाहिए,इसलिए $a < 0$ है।
$2$. ग्राफ $x$-अक्ष को दो अलग-अलग बिंदुओं $(x_1, 0)$ और $(x_2, 0)$ पर काटता है,जिसका अर्थ है कि द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के दो अलग-अलग वास्तविक मूल हैं। इसलिए,विविक्तकर $D = b^2 - 4ac > 0$ है।
$3$. ग्राफ $y$-अक्ष को मूल बिंदु के नीचे काटता है,जिसका अर्थ है कि $y$-अंतःखंड $c$ ऋणात्मक है,इसलिए $c < 0$ है।
$4$. इन निष्कर्षों की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,$a > 0$,$b^2 - 4ac < 0$,या $c > 0$ में से कोई भी शर्त पूरी नहीं होती है। अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) माना $f(x) = a^2x^2 + bx + 1$ है।
सभी $x \in R$ के लिए $f(x) > 0$ होने के लिए,परवलय को ऊपर की ओर खुलना चाहिए और पूरी तरह से $x$-अक्ष के ऊपर स्थित होना चाहिए।
इसके लिए $x^2$ का गुणांक धनात्मक होना चाहिए,अर्थात $a^2 > 0$ ($a \neq 0$ के लिए सत्य है),और विविक्तकर $D < 0$ होना चाहिए।
विविक्तकर $D = b^2 - 4(a^2)(1) = b^2 - 4a^2$ है।
$D < 0$ रखने पर,हमें $b^2 - 4a^2 < 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $b^2 < 4a^2$।

(D) दिए गए समीकरणों को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$x^2 + 2bx + b^2 = 1 \implies (x + b)^2 = 1 \implies x = -b \pm 1$
$x^2 + 2ax + a^2 = 1 \implies (x + a)^2 = 1 \implies x = -a \pm 1$
चूंकि प्रत्येक समीकरण का केवल एक ही मूल है,इसका अर्थ है कि मूल समान हैं।
$a \neq b$ होने के कारण,मूल $\{-b+1, -b-1\}$ और $\{-a+1, -a-1\}$ हैं।
समान मूल होने के लिए:
$-b + 1 = -a - 1 \implies a - b = -2$
या
$-b - 1 = -a + 1 \implies a - b = 2$
ये दोनों स्थितियाँ $|a - b| = 2$ द्वारा कवर की जाती हैं।
अतः,सभी विकल्प $A, B,$ और $C$ सही हैं।

(B) माना $y = \frac{1 - x + x^2}{1 + x + x^2}$.
हम इसे $y = \frac{(1 + x + x^2) - 2x}{1 + x + x^2} = 1 - \frac{2x}{1 + x + x^2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
$x = 0$ के लिए,$y = 1$ प्राप्त होता है।
$x \neq 0$ के लिए,$y = 1 - \frac{2}{\frac{1}{x} + 1 + x}$।
$AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,$x > 0$ के लिए,$\frac{1}{x} + x \geq 2$,इसलिए $\frac{1}{x} + 1 + x \geq 3$ होता है।
अतः,$\frac{2}{\frac{1}{x} + 1 + x} \leq \frac{2}{3}$ होता है।
इसलिए,$y = 1 - \frac{2}{\frac{1}{x} + 1 + x} \geq 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$।
$x < 0$ के लिए,माना $x = -t$ जहाँ $t > 0$ है। तब $y = \frac{1 + t + t^2}{1 - t + t^2} = \frac{1}{\frac{1 - t + t^2}{1 + t + t^2}}$।
चूंकि इस व्यंजक का न्यूनतम मान $1/3$ है,इसलिए अधिकतम मान $3$ है। अतः सभी $x$ के लिए $y \geq 1/3$ होता है।
अतः न्यूनतम मान $1/3$ है।

(D) दिया गया है कि $p^2 + q^2 = 1$ है।
हम जानते हैं कि $(p + q)^2 = p^2 + q^2 + 2pq = 1 + 2pq$ होता है।
अंकगणितीय माध्य-ज्यामितीय माध्य ($AM$-$GM$) असमिका का उपयोग करते हुए,$\frac{p^2 + q^2}{2} \geq \sqrt{p^2 q^2} = pq$।
दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{1}{2} \geq pq$।
अतः,$(p + q)^2 = 1 + 2pq \leq 1 + 2(\frac{1}{2}) = 1 + 1 = 2$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$p + q \leq \sqrt{2}$।
इस प्रकार,$(p + q)$ का अधिकतम मान $\sqrt{2}$ है।

(C) माना $y = \frac{3x^2 + 9x + 17}{3x^2 + 9x + 7}$.
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$y(3x^2 + 9x + 7) = 3x^2 + 9x + 17$ प्राप्त होता है।
$3x^2(y - 1) + 9x(y - 1) + 7y - 17 = 0$.
चूंकि $x$ वास्तविक है,इसलिए विविक्तकर (discriminant) $D \geq 0$ होगा।
$D = [9(y - 1)]^2 - 4(3(y - 1))(7y - 17) \geq 0$.
$81(y - 1)^2 - 12(y - 1)(7y - 17) \geq 0$.
$3(y - 1)$ से विभाजित करने पर,$27(y - 1) - 4(7y - 17) \geq 0$.
$27y - 27 - 28y + 68 \geq 0$.
$-y + 41 \geq 0 \Rightarrow y \leq 41$.
अतः,$y$ का अधिकतम मान $41$ है।

(A) माना $t = x - [x] = \{x\}$। चूँकि $0 \leq \{x\} < 1$,इसलिए $0 \leq t < 1$ है।
समीकरण $-3t^2 + 2t + a^2 = 0$ हो जाता है,अर्थात $3t^2 - 2t - a^2 = 0$।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर: $t = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 3a^2}}{3}$।
चूँकि $t \geq 0$,धनात्मक चिह्न लेने पर: $t = \frac{1 + \sqrt{1 + 3a^2}}{3}$।
पूर्णांक हल न होने के लिए $t \neq 0$ होना चाहिए। साथ ही,$t < 1$ होना आवश्यक है:
$\frac{1 + \sqrt{1 + 3a^2}}{3} < 1$ $\Rightarrow \sqrt{1 + 3a^2} < 2$ $\Rightarrow 1 + 3a^2 < 4$ $\Rightarrow a^2 < 1$।
अतः $-1 < a < 1$। $a=0$ के लिए $t=0$ प्राप्त होता है जो पूर्णांक हल देता है,इसलिए $a \neq 0$।
अतः $a \in (-1, 0) \cup (0, 1)$।

(D) दिया गया है कि $p^{2} + q^{2} = 1$ जहाँ $p, q > 0$ है।
हम जानते हैं कि $(p+q)^{2} = p^{2} + q^{2} + 2pq$ होता है।
दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर: $(p+q)^{2} = 1 + 2pq$ प्राप्त होता है।
$AM \geq GM$ असमिका के अनुसार,धनात्मक वास्तविक संख्याओं $p^{2}$ और $q^{2}$ के लिए,$\frac{p^{2} + q^{2}}{2} \geq \sqrt{p^{2}q^{2}} = pq$ होता है।
चूँकि $p^{2} + q^{2} = 1$,इसलिए $\frac{1}{2} \geq pq$,जिसका अर्थ है कि $2pq \leq 1$ है।
इस मान को सर्वसमिका में रखने पर: $(p+q)^{2} = 1 + 2pq \leq 1 + 1 = 2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $p+q \leq \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$(p+q)$ का अधिकतम मान $\sqrt{2}$ है।

(A) दिया गया है $x = {(\sqrt{2} + 1)^{1/3}} - {(\sqrt{2} - 1)^{1/3}}$.
सर्वसमिका $(a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a - b)$ का उपयोग करने पर:
${x^3} = (\sqrt{2} + 1) - (\sqrt{2} - 1) - 3{(\sqrt{2} + 1)^{1/3}} \cdot {(\sqrt{2} - 1)^{1/3}} \cdot x$.
चूँकि ${(\sqrt{2} + 1)^{1/3}} \cdot {(\sqrt{2} - 1)^{1/3}} = {((\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1))^{1/3}} = {(2 - 1)^{1/3}} = 1^{1/3} = 1$,
अतः ${x^3} = 2 - 3(1)x$.
इसलिए,${x^3} + 3x = 2$.

(A) माना $f(x) = \sqrt{x + 2\sqrt{x - 1}} + \sqrt{x - 2\sqrt{x - 1}}$.
चूँकि वर्गमूल के अंदर का मान ऋणेतर होना चाहिए,$x - 1 \ge 0$,अतः $x \ge 1$.
हम व्यंजक को $\sqrt{(\sqrt{x-1})^2 + 1 + 2\sqrt{x-1}} + \sqrt{(\sqrt{x-1})^2 + 1 - 2\sqrt{x-1}}$ के रूप में लिख सकते हैं।
यह सरल होकर $\sqrt{(\sqrt{x-1} + 1)^2} + \sqrt{(\sqrt{x-1} - 1)^2}$ बन जाता है।
यह $|\sqrt{x-1} + 1| + |\sqrt{x-1} - 1|$ के बराबर है।
$x \ge 1$ के लिए $\sqrt{x-1} + 1$ हमेशा धनात्मक है,इसलिए $(\sqrt{x-1} + 1) + |\sqrt{x-1} - 1|$.
स्थिति $1$: यदि $1 \le x \le 2$,तो $0 \le \sqrt{x-1} \le 1$,इसलिए $|\sqrt{x-1} - 1| = 1 - \sqrt{x-1}$.
अतः,$f(x) = \sqrt{x-1} + 1 + 1 - \sqrt{x-1} = 2$.
स्थिति $2$: यदि $x > 2$,तो $\sqrt{x-1} > 1$,इसलिए $|\sqrt{x-1} - 1| = \sqrt{x-1} - 1$.
अतः,$f(x) = \sqrt{x-1} + 1 + \sqrt{x-1} - 1 = 2\sqrt{x-1}$.

(A) दिया है $\alpha + \beta = p$ और $\alpha\beta = q$।
माना अभीष्ट समीकरण के मूल $A$ और $B$ हैं।
$A = (\alpha^2 - \beta^2)(\alpha^3 - \beta^3) = (\alpha - \beta)^2(\alpha + \beta)(\alpha^2 + \alpha\beta + \beta^2)$।
चूँकि $(\alpha - \beta)^2 = p^2 - 4q$ और $\alpha^2 + \beta^2 + \alpha\beta = p^2 - q$,इसलिए $A = (p^2 - 4q)p(p^2 - q) = p(p^4 - 5p^2q + 4q^2)$।
$B = \alpha^3\beta^2 + \alpha^2\beta^3 = \alpha^2\beta^2(\alpha + \beta) = q^2p$।
मूलों का योग $S = A + B = p(p^4 - 5p^2q + 5q^2)$।
मूलों का गुणनफल $P = A \times B = p^2q^2(p^4 - 5p^2q + 4q^2)$।
अतः अभीष्ट समीकरण $x^2 - Sx + P = 0$ है।

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 + 6x - 2 = 0$ है। चूँकि $\alpha$ एक मूल है,इसलिए $\alpha^2 + 6\alpha - 2 = 0$,जिसका अर्थ है $\alpha^2 = 2 - 6\alpha$.
विकल्प $A$ के लिए: $\alpha^2 + 5\alpha - 8 = (2 - 6\alpha) + 5\alpha - 8 = -\alpha - 6$. चूँकि $\alpha + \beta = -6$,इसलिए $\beta = -6 - \alpha$. अतः,विकल्प $A$ सही है।
विकल्प $C$ के लिए: $\frac{2\alpha^2 + 12\alpha - 6}{\alpha} = \frac{2(\alpha^2 + 6\alpha) - 6}{\alpha} = \frac{2(2) - 6}{\alpha} = \frac{-2}{\alpha}$. चूँकि $\alpha\beta = -2$,इसलिए $\beta = \frac{-2}{\alpha}$. अतः,विकल्प $C$ सही है।
विकल्प $B$ के लिए: $\alpha\beta = -2$ और $\alpha + \beta = -6$ से,$\frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} = \frac{-6}{-2} = 3$,इसलिए $\frac{1}{\beta} + \frac{1}{\alpha} = 3$. इससे $\frac{1}{\beta} = 3 - \frac{1}{\alpha} = \frac{3\alpha - 1}{\alpha}$ प्राप्त होता है,अतः $\beta = \frac{\alpha}{3\alpha - 1}$. अतः,विकल्प $B$ सही है।
चूँकि सभी विकल्प $\beta$ के बराबर हैं,सही उत्तर $D$ है।

(C) $1$. चूंकि परवलय नीचे की ओर खुलता है,इसलिए $x^2$ का गुणांक ऋणात्मक होना चाहिए,अतः $a < 0$ है।
$2$. वक्र $y$-अक्ष को $(0, c)$ पर काटता है। चित्र से,प्रतिच्छेदन बिंदु $x$-अक्ष के ऊपर है,इसलिए $c > 0$ है।
$3$. परवलय का शीर्ष $x = -b/(2a)$ पर है। चित्र से,शीर्ष $y$-अक्ष के बाईं ओर है,इसलिए $-b/(2a) < 0$ है। चूंकि $a < 0$ है,इसलिए $-b/(2a) < 0 \Rightarrow b/a > 0$ प्राप्त होता है। चूँकि $a < 0$ है,अतः $b < 0$ होगा।
$4$. वक्र $x$-अक्ष को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटता है,इसलिए विविक्तकर $D = b^2 - 4ac > 0$ है।
अतः,विकल्पों में से $c > 0$ सही है।

(A) माना $y = x - 1$. तब $x = y + 1$. चूँकि $x \ge 1$,इसलिए $y \ge 0$.
व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $\sqrt{y + 1 + 2\sqrt{y}} + \sqrt{y + 1 - 2\sqrt{y}}$.
यह $\sqrt{(\sqrt{y} + 1)^2} + \sqrt{(\sqrt{y} - 1)^2}$ में सरल हो जाता है।
$= |\sqrt{y} + 1| + |\sqrt{y} - 1|$.
चूँकि $\sqrt{y} + 1$ हमेशा धनात्मक है,यह $\sqrt{y} + 1 + |\sqrt{y} - 1|$ होगा।
स्थिति $1$: यदि $0 \le y \le 1$ (अर्थात $1 \le x \le 2$),तो $|\sqrt{y} - 1| = 1 - \sqrt{y}$.
व्यंजक $= \sqrt{y} + 1 + 1 - \sqrt{y} = 2$.
स्थिति $2$: यदि $y > 1$ (अर्थात $x > 2$),तो $|\sqrt{y} - 1| = \sqrt{y} - 1$.
व्यंजक $= \sqrt{y} + 1 + \sqrt{y} - 1 = 2\sqrt{y} = 2\sqrt{x - 1}$.

(B) दिए गए द्विघात समीकरण से,मूलों का योग $\sin \theta + \cos \theta = 1 - a$ .....$(1)$
मूलों का गुणनफल $\sin \theta \cdot \cos \theta = \frac{1 - 2a}{4}$ .....$(2)$
समीकरण $(1)$ का वर्ग करने पर,$1 + 2 \sin \theta \cos \theta = (1 - a)^2$.
$(2)$ का मान रखने पर,$1 + 2(\frac{1 - 2a}{4}) = (1 - a)^2 \Rightarrow 2a^2 - 2a - 1 = 0$.
$a$ के लिए हल करने पर,$a = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$.
$\theta \in (0, \frac{\pi}{2})$ के लिए $\sin \theta + \cos \theta > 0$ है,इसलिए $a = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$.
अब,$\sin \theta \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{4}$,जिससे $\sin 2\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः $\theta = 30^{\circ}$ या $60^{\circ}$.
$a + \sin \theta$ का अधिकतम मान $\frac{1 - \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2}$ है।

(B) द्विघात समीकरण $x^2 + bx + c = 0$ के मूल धनात्मक और भिन्न होने के लिए:
$1$. विविक्तकर $D > 0$
$2$. मूलों का योग $-b > 0$
$3$. मूलों का गुणनफल $c > 0$
यहाँ,गुणनफल $\frac{3}{8} > 0$ है।
योग $-(\sin \theta + \cos \theta) > 0 \implies \sin \theta + \cos \theta < 0$.
विविक्तकर $D = (\sin \theta + \cos \theta)^2 - 4(\frac{3}{8}) > 0
\implies 1 + \sin 2\theta > \frac{3}{2}
\implies \sin 2\theta > \frac{1}{2}$.
$2\theta$ के लिए हल करने पर,$\frac{\pi}{6} < 2\theta < \frac{5\pi}{6}$ या $\frac{13\pi}{6} < 2\theta < \frac{17\pi}{6}$.
अतः,$\frac{\pi}{12} < \theta < \frac{5\pi}{12}$ या $\frac{13\pi}{12} < \theta < \frac{17\pi}{12}$.
शर्त $\sin \theta + \cos \theta < 0$ की जाँच करने पर,$\theta \in (\frac{13\pi}{12}, \frac{17\pi}{12})$ सही हल है।

(D) $x^2 - (a - 1)x + 3 = 0$ के दोनों मूल धनात्मक होने के लिए:
$1$. विविक्तकर $D_1 \ge 0$ $\Rightarrow (a - 1)^2 - 12 \ge 0$ $\Rightarrow a \ge 1 + 2\sqrt{3} \approx 4.46$ या $a \le 1 - 2\sqrt{3} \approx -2.46$.
$2$. मूलों का योग $> 0$ $\Rightarrow a - 1 > 0$ $\Rightarrow a > 1$.
अतः $a \ge 5$ (पूर्णांक मानों के लिए)।
$x^2 + 3x + 6 - a = 0$ के दोनों मूल ऋणात्मक होने के लिए:
$1$. विविक्तकर $D_2 \ge 0$ $\Rightarrow 9 - 4(6 - a) \ge 0$ $\Rightarrow 4a \ge 15$ $\Rightarrow a \ge 3.75$.
$2$. मूलों का गुणनफल $> 0$ $\Rightarrow 6 - a > 0$ $\Rightarrow a < 6$.
अतः $3.75 \le a < 6$.
दोनों शर्तों का प्रतिच्छेदन: $a \in [5, 6)$,इसलिए $a = 5$.
अतः $a$ का केवल $1$ पूर्णांक मान संभव है।

(B) दी गई असमिका $256abcd \geq (a+b+c+d)^4$ को $(abcd)^{\frac{1}{4}} \geq \frac{a+b+c+d}{4}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य ($AM$-$GM$) असमिका है,जो केवल तभी बराबर होती है जब $a = b = c = d$ हो।
दिया गया है कि $3a + b + 2c + 5d = 11$,और $a = b = c = d = k$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $3k + k + 2k + 5k = 11$ प्राप्त होता है।
$11k = 11 \Rightarrow k = 1$.
अतः,$a = b = c = d = 1$.
अब $a^3 + b + c^2 + 5d$ में ये मान रखने पर,$1^3 + 1 + 1^2 + 5(1) = 1 + 1 + 1 + 5 = 8$ प्राप्त होता है।

(D) द्विघात समीकरण $(a + b)x^2 + 2bx + 1 = 0$ के वास्तविक और भिन्न मूल होने के लिए,विविक्तकर $D > 0$ होना चाहिए।
$D = (2b)^2 - 4(a + b) > 0$
$4b^2 - 4a - 4b > 0$
$b^2 - b > a$
माना $f(x, y) = y - (x^2 - x)$। बिंदु $(b, a)$ के लिए,$f(b, a) = a - (b^2 - b) = a - b^2 + b$।
चूंकि $b^2 - b > a$,इसलिए $a - b^2 + b < 0$।
इसका अर्थ है कि बिंदु $(b, a)$ परवलय $y = x^2 - x$ के अंदर स्थित है।

(D) दिए गए समीकरण $x^8 - kx^2 + 3 = 0$ को $k = \frac{x^8 + 3}{x^2} = x^6 + \frac{3}{x^2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$k$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $A.M. \geq G.M.$ असमिका का उपयोग करते हैं।
हम $x^6 + \frac{3}{x^2}$ को $x^6 + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
इन चार पदों के लिए $A.M. \geq G.M.$ लागू करने पर:
$\frac{x^6 + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^2}}{4} \geq \sqrt[4]{x^6 \cdot \frac{1}{x^2} \cdot \frac{1}{x^2} \cdot \frac{1}{x^2}} = \sqrt[4]{1} = 1$.
अतः,$x^6 + \frac{3}{x^2} \geq 4$।
इसलिए,$k$ का न्यूनतम मान $4$ है।

(C) माना $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2 + (2 - \tan \theta)x - (1 + \tan \theta) = 0$ के मूल हैं।
मूलों के गुणों से:
$\alpha + \beta = \tan \theta - 2$ $(1)$
$\alpha \beta = -\tan \theta - 1$ $(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$\alpha + \beta + \alpha \beta = -3$
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर:
$(\alpha + 1)(\beta + 1) = -2$
चूंकि $\alpha, \beta$ पूर्णांक हैं,$(\alpha + 1)(\beta + 1) = -2$ के लिए संभावित युग्म $(1, -2), (-2, 1), (-1, 2), (2, -1)$ हैं।
स्थिति $1$: $\tan \theta = -1 \Rightarrow \theta = \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.
स्थिति $2$: $\tan \theta = 1 \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$.
$\theta$ के सभी संभावित मानों का योग $\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} + \frac{5\pi}{4} + \frac{7\pi}{4} = 4\pi$ है।
अतः,$k = 4$।

(A) चूंकि $\alpha$ और $\beta$,$x^2 + \alpha x + \beta = 0$ के मूल हैं,विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha + \beta = -\alpha \implies \beta = -2\alpha$ .......$(1)$
$\alpha \beta = \beta$ .......$(2)$
$(2)$ से,$\beta(\alpha - 1) = 0$। चूँकि $\alpha \neq \beta$,$\beta$ शून्य नहीं हो सकता। अतः,$\alpha = 1$ है।
$\alpha = 1$ को $(1)$ में रखने पर,$\beta = -2$ प्राप्त होता है।
अब,असमिका $||y - (-2)| - 1| < 1$ है,जो $||y + 2| - 1| < 1$ हो जाती है।
इसका अर्थ है $-1 < |y + 2| - 1 < 1$,इसलिए $0 < |y + 2| < 2$ है।
अतः $-2 < y + 2 < 2$ और $y + 2 \neq 0$,जिसका अर्थ है $-4 < y < 0$ और $y \neq -2$ है।
इस प्रकार,$y \in (-4, -2) \cup (-2, 0)$ है।
$y$ के पूर्णांक मान $-3$ और $-1$ हैं,जो ठीक दो मान हैं। इसलिए,विकल्प $A$ सही है।

(A) माना व्यंजक $f(x, y) = \frac{x^2y^2 - 2x^2y + 2x^2 + 2xy - 2x + 1}{x^2y + x}$ है।
अंश को $(xy + 1)^2 - 2x(xy + 1) + 2x^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$f(x, y) = \frac{(xy + 1)^2 - 2x(xy + 1) + 2x^2}{x(xy + 1)}$.
प्रत्येक पद को $x(xy + 1)$ से विभाजित करने पर,$f(x, y) = \frac{xy + 1}{x} - 2 + \frac{2x}{xy + 1}$ प्राप्त होता है।
माना $u = \frac{xy + 1}{x}$ है। चूँकि $x, y > 0$,इसलिए $u = y + \frac{1}{x} > 0$.
तब $f(x, y) = u + \frac{2}{u} - 2$.
समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य असमिका $(AM \geq GM)$ के अनुसार,$u + \frac{2}{u} \geq 2\sqrt{u \cdot \frac{2}{u}} = 2\sqrt{2}$.
इसलिए,न्यूनतम मान $\lambda = 2\sqrt{2} - 2$ है।
चूँकि $\sqrt{2} \approx 1.414$,इसलिए $\lambda \approx 2(1.414) - 2 = 2.828 - 2 = 0.828$.
अतः,$0 < \lambda < 1$,जिसका अर्थ है कि $\lambda \in (0, 1)$।

(D) हमें समीकरण $|x - 2| + |x - 1| = x - 3$ को हल करना है।
स्थिति $1$: $x < 1$.
इस अंतराल में,$|x - 2| = -x + 2$ और $|x - 1| = -x + 1$ है।
समीकरण $(-x + 2) + (-x + 1) = x - 3$ हो जाता है,जो सरल होकर $-2x + 3 = x - 3$ बनता है।
$x$ के लिए हल करने पर,हमें $3x = 6$ मिलता है,इसलिए $x = 2$ है।
हालाँकि,$x = 2$ अंतराल $x < 1$ में नहीं है,इसलिए इस स्थिति में कोई हल नहीं है।
स्थिति $2$: $1 \le x < 2$.
इस अंतराल में,$|x - 2| = -x + 2$ और $|x - 1| = x - 1$ है।
समीकरण $(-x + 2) + (x - 1) = x - 3$ हो जाता है,जो सरल होकर $1 = x - 3$ बनता है।
$x$ के लिए हल करने पर,हमें $x = 4$ मिलता है।
हालाँकि,$x = 4$ अंतराल $1 \le x < 2$ में नहीं है,इसलिए इस स्थिति में कोई हल नहीं है।
स्थिति $3$: $x \ge 2$.
इस अंतराल में,$|x - 2| = x - 2$ और $|x - 1| = x - 1$ है।
समीकरण $(x - 2) + (x - 1) = x - 3$ हो जाता है,जो सरल होकर $2x - 3 = x - 3$ बनता है।
$x$ के लिए हल करने पर,हमें $x = 0$ मिलता है।
हालाँकि,$x = 0$ अंतराल $x \ge 2$ में नहीं है,इसलिए इस स्थिति में कोई हल नहीं है।
चूंकि किसी भी स्थिति में कोई वैध हल नहीं मिलता है,इसलिए इस समीकरण का कोई हल नहीं है।

(A) प्रथम समीकरण $x^2 + 2bx + b = 0$ के मूल $x_1 = \cos^4 \theta + \alpha$ और $x_2 = \sin^4 \theta + \alpha$ हैं। मूलों का अंतर $|x_1 - x_2| = \sqrt{4b^2 - 4b}$ है।
द्वितीय समीकरण $x^2 + 4x + 2 = 0$ के मूल $y_1 = \cos^2 \theta + \beta$ और $y_2 = \sin^2 \theta + \beta$ हैं। मूलों का अंतर $|y_1 - y_2| = \sqrt{16 - 8} = \sqrt{8}$ है।
यहाँ $|x_1 - x_2| = |\cos^4 \theta - \sin^4 \theta| = |\cos^2 \theta - \sin^2 \theta|$ और $|y_1 - y_2| = |\cos^2 \theta - \sin^2 \theta|$ है।
अतः,$\sqrt{4b^2 - 4b} = \sqrt{8}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$4b^2 - 4b = 8$,अर्थात $b^2 - b - 2 = 0$।
इस प्रकार,$(b - 2)(b + 1) = 0$,इसलिए $b = 2$ या $b = -1$।

(NONE) दिया गया द्विघात समीकरण $3x^2 - 10x - 25 = 0$ है जिसके मूल $\tan A$ और $\tan B$ हैं।
मूलों के गुणधर्म से,$\tan A + \tan B = \frac{10}{3}$ और $\tan A \tan B = -\frac{25}{3}$.
सूत्र $\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर:
$\tan (A + B) = \frac{10/3}{1 - (-25/3)} = \frac{10/3}{28/3} = \frac{10}{28} = \frac{5}{14}$.
माना $S = 3 \sin^2 (A + B) - 10 \sin (A + B) \cos (A + B) - 25 \cos^2 (A + B)$.
पूरे व्यंजक को $\cos^2 (A + B)$ से विभाजित करने पर:
$S = \cos^2 (A + B) [3 \tan^2 (A + B) - 10 \tan (A + B) - 25]$.
चूंकि $\tan (A + B) = 5/14$ समीकरण $3x^2 - 10x - 25 = 0$ का एक मूल है,इसलिए कोष्ठक में दिया गया मान $0$ होगा।
अतः,$S = 0$.

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $9x^2 + 27x + 20 = 0$ है।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-27 \pm \sqrt{27^2 - 4 \times 9 \times 20}}{18} = \frac{-27 \pm 3}{18}$.
अतः,मूल $x_1 = -\frac{4}{3}$ और $x_2 = -\frac{5}{3}$ हैं।
दिया है $5 \cos A + 3 = 0$,इसलिए $\cos A = -\frac{3}{5}$।
अतः $\sec A = \frac{1}{\cos A} = -\frac{5}{3}$।
चूंकि कोण $A$ अधिक कोण है,$\tan A = -\sqrt{\sec^2 A - 1} = -\frac{4}{3}$।
अतः,समीकरण के मूल $\sec A$ और $\tan A$ हैं।

(C) दिया गया है कि $1$,$ax^2 + bx + c = 0$ का एक मूल है,इसलिए $a + b + c = 0$ या $c = -a - b$ है।
$x$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के लिए $y = 0$ रखने पर:
$4ax^2 + 3bx + 2c = 0$।
$c = -a - b$ प्रतिस्थापित करने पर:
$4ax^2 + 3bx - 2a - 2b = 0$।
यह एक द्विघात समीकरण है। उदाहरण के लिए,यदि $a=1, b=-2, c=1$ लें,तो $y = 4x^2 - 6x + 2 = 2(2x-1)(x-1)$,जो $x$-अक्ष को दो बिंदुओं पर काटता है।
अतः,वक्र $x$-अक्ष को ठीक दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटता है।

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $(m^2 + 1)x^2 - 3x + (m^2 + 1)^2 = 0$ है।
मूलों का योग $\alpha + \beta = \frac{3}{m^2 + 1}$ है।
मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = \frac{(m^2 + 1)^2}{m^2 + 1} = m^2 + 1$ है।
मूलों का योग अधिकतम होने के लिए,हर $(m^2 + 1)$ न्यूनतम होना चाहिए।
$m^2 + 1$ का न्यूनतम मान $1$ है (जब $m = 0$ हो)।
अतः,$\alpha + \beta = \frac{3}{1} = 3$ और $\alpha \beta = 0^2 + 1 = 1$ है।
मूलों के घनों का निरपेक्ष अंतर $|\alpha^3 - \beta^3| = |(\alpha - \beta)(\alpha^2 + \alpha \beta + \beta^2)|$ है।
हम जानते हैं कि $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta = 3^2 - 4(1) = 9 - 4 = 5$,इसलिए $|\alpha - \beta| = \sqrt{5}$ है।
साथ ही,$\alpha^2 + \alpha \beta + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - \alpha \beta = 3^2 - 1 = 8$ है।
अतः,$|\alpha^3 - \beta^3| = \sqrt{5} \times 8 = 8\sqrt{5}$ है।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 + x \sin \theta - 2 \sin \theta = 0$ है।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,मूलों का योग $\alpha + \beta = -\sin \theta$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = -2 \sin \theta$ है।
हमें व्यंजक $E = \frac{\alpha^{12} + \beta^{12}}{(\alpha^{-12} + \beta^{-12})(\alpha - \beta)^{24}}$ का मान ज्ञात करना है।
हर को सरल करने पर: $\alpha^{-12} + \beta^{-12} = \frac{\beta^{12} + \alpha^{12}}{(\alpha \beta)^{12}}$.
इस मान को व्यंजक में रखने पर: $E = \frac{\alpha^{12} + \beta^{12}}{\frac{\alpha^{12} + \beta^{12}}{(\alpha \beta)^{12}} (\alpha - \beta)^{24}} = \frac{(\alpha \beta)^{12}}{(\alpha - \beta)^{24}}$.
चूँकि $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4 \alpha \beta$,इसलिए $(\alpha - \beta)^{24} = ((\alpha + \beta)^2 - 4 \alpha \beta)^{12}$.
अतः,$E = \left[ \frac{\alpha \beta}{(\alpha + \beta)^2 - 4 \alpha \beta} \right]^{12}$.
मान रखने पर: $E = \left[ \frac{-2 \sin \theta}{(-\sin \theta)^2 - 4(-2 \sin \theta)} \right]^{12} = \left[ \frac{-2 \sin \theta}{\sin^2 \theta + 8 \sin \theta} \right]^{12}$.
चूँकि $\theta \in (0, \frac{\pi}{2})$,$\sin \theta \neq 0$,इसलिए $E = \left[ \frac{-2}{\sin \theta + 8} \right]^{12} = \frac{2^{12}}{(\sin \theta + 8)^{12}}$.

(C) दिया गया है कि $\alpha, \beta$ समीकरण $x^{2}+px+2=0$ के मूल हैं,अतः $\alpha+\beta = -p$ और $\alpha\beta = 2$.
समीकरण $2x^{2}+2qx+1=0$ के मूल $\frac{1}{\alpha}$ और $\frac{1}{\beta}$ हैं।
मूलों का योग: $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta} = \frac{-p}{2} = -q \Rightarrow p = 2q$.
हमें $E = \left(\alpha-\frac{1}{\alpha}\right)\left(\beta-\frac{1}{\beta}\right)\left(\alpha+\frac{1}{\beta}\right)\left(\beta+\frac{1}{\alpha}\right)$ का मान ज्ञात करना है।
$E = \frac{(\alpha^{2}-1)(\beta^{2}-1)(\alpha\beta+1)^{2}}{(\alpha\beta)^{2}}$.
चूँकि $\alpha^{2} = -p\alpha-2$ और $\beta^{2} = -p\beta-2$,इसलिए $\alpha^{2}-1 = -p\alpha-3$ और $\beta^{2}-1 = -p\beta-3$.
$E = \frac{(-p\alpha-3)(-p\beta-3)(2+1)^{2}}{2^{2}} = \frac{9}{4}(p^{2}\alpha\beta + 3p(\alpha+\beta) + 9)$.
$\alpha\beta=2$ और $\alpha+\beta=-p$ रखने पर:
$E = \frac{9}{4}(2p^{2} - 3p^{2} + 9) = \frac{9}{4}(9-p^{2})$.