ધારો કે x, y, z એ ધન પૂર્ણાંકો છે જેથી HCF(x, | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ છે $x^2+y^2=2z^2$ જ્યાં $HCF(x, y, z)=1$.$I$ તપાસો: ધારો કે $x=1, y=7, z=5$. અહીં $1^2+7^2=50=2(5^2)$. $HCF(1, 7, 5)=1$. $4$ એ $1$ કે $7$ ને

Vedclass · Accepted Answer

માત્ર $II$ અને $III$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ છે $x^2+y^2=2z^2$ જ્યાં $HCF(x, y, z)=1$.$I$ તપાસો: ધારો કે $x=1, y=7, z=5$. અહીં $1^2+7^2=50=2(5^2)$. $HCF(1, 7, 5)=1$. $4$ એ $1$ કે $7$ ને ભાગતું નથી. તેથી,$I$ ખોટું છે.$II$ તપાસો: $x^2+y^2=2z^2 \implies x^2+y^2 \equiv 2z^2 \pmod 3$. $3$ ના મોડ્યુલોમાં વર્ગો $0, 1$ છે. જો $z^2 \equiv 0$,તો $x^2+y^2 \equiv 0 \implies x, y$ એ $3$ ના ગુણક છે,જે $HCF=1$ નો વિરોધાભાસ કરે છે. જો $z^2 \equiv 1$,તો $x^2+y^2 \equiv 2 \implies x^2 \equiv 1, y^2 \equiv 1$. તેથી $x \equiv \pm 1, y \equiv \pm 1$. આમ $x+y \equiv 0$ અથવા $x-y \equiv 0 \pmod 3$. $II$ સાચું છે.$III$ તપાસો: $x^2+y^2=2z^2 \implies x^2-z^2 = z^2-y^2$. $5$ ના મોડ્યુલોમાં વર્ગો $0, 1, 4$ છે. જો $z^2 \equiv 0$,તો $x^2+y^2 \equiv 0 \implies x, y \equiv 0$,વિરોધાભાસ. જો $z^2 \equiv 1$,$x^2+y^2 \equiv 2$. શક્ય જોડી $(x^2, y^2)$ એ $(1, 1)$ છે. તેથી $x^2-y^2 \equiv 0 \pmod 5$. જો $z^2 \equiv 4$,$x^2+y^2 \equiv 8 \equiv 3$. શક્ય જોડી $(x^2, y^2)$ એ $(4, 4)$ છે. તેથી $x^2-y^2 \equiv 0 \pmod 5$. બંને કિસ્સામાં,$5$ એ $x^2-y^2$ ને ભાગે છે,તેથી $5$ એ $z(x^2-y^2)$ ને ભાગે છે. $III$ સાચું છે.

Similar Questions

$f(x) = \frac{x^2-2x+3}{x^2-4x+7}$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.

જો $x$ વાસ્તવિક સંખ્યા હોય,તો પદાવલિ $\frac{x^2 - 3x + 4}{x^2 + 3x + 4}$ નું મહત્તમ અને ન્યૂનત્તમ મૂલ્ય શું થાય?

આકૃતિ $y = ax^2 + bx + c$ નો આલેખ દર્શાવે છે. તો:

જો $a, b, c$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ એવી રીતે હોય કે $a+b+c=0$ અને $a^2+b^2+c^2=1$,તો $(3a+5b-8c)^2+(-8a+3b+5c)^2+(5a-8b+3c)^2$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module