Mix Examples-Quadratic Equations and Inequations Questions in Gujarati

(B) $|x-2|^2+|x-2|-2=0$ સમીકરણ માટે:
ધારો કે $t = |x-2|$,તેથી $t^2+t-2=0$.
$(t+2)(t-1)=0 \Rightarrow t=1$ (કારણ કે $t \geq 0$).
$|x-2|=1 \Rightarrow x-2=1$ અથવા $x-2=-1$.
$x=3, 1$.
બીજના વર્ગોનો સરવાળો $= 3^2+1^2 = 9+1 = 10$.
$x^2-2|x-3|-5=0$ સમીકરણ માટે:
કિસ્સો-$I$: $x \geq 3$,તો $x^2-2(x-3)-5=0$ $\Rightarrow x^2-2x+1=0$ $\Rightarrow (x-1)^2=0$ $\Rightarrow x=1$.
$1 < 3$ હોવાથી,આ ઉકેલ માન્ય નથી.
કિસ્સો-$II$: $x < 3$,તો $x^2-2(-(x-3))-5=0$ $\Rightarrow x^2+2x-6-5=0$ $\Rightarrow x^2+2x-11=0$.
બીજ $\alpha, \beta = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-11)}}{2} = -1 \pm 2\sqrt{3}$.
બંને બીજ $3$ કરતા નાના છે,તેથી બંને માન્ય છે.
બીજના વર્ગોનો સરવાળો $= (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = (-2)^2 - 2(-11) = 4 + 22 = 26$.
કુલ સરવાળો $= 10 + 26 = 36$.

(B) ધારો કે $y = \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$.
તેથી $y(x^2+x+1) = x^2-x+1$,જે સૂચવે છે કે $(y-1)x^2 + (y+1)x + (y-1) = 0$.
કારણ કે $x$ વાસ્તવિક છે,વિવેચક $D \ge 0$ થાય.
$D = (y+1)^2 - 4(y-1)^2 \ge 0$.
$(y+1)^2 - [2(y-1)]^2 \ge 0$.
$(y+1-2y+2)(y+1+2y-2) \ge 0$.
$(3-y)(3y-1) \ge 0$.
$(y-3)(3y-1) \le 0$.
આમ,$\frac{1}{3} \le y \le 3$.
મહત્તમ કિંમત $3$ છે અને ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{1}{3}$ છે.
તેમનો તફાવત $3 - \frac{1}{3} = \frac{9-1}{3} = \frac{8}{3}$ થાય.

(D) આપેલ છે $2 \sin^2 x + 3 \sin x - 2 > 0$.
અવયવ પાડતા,$(2 \sin x - 1)(\sin x + 2) > 0$ મળે.
બધા $x \in \mathbb{R}$ માટે $\sin x + 2 > 0$ હોવાથી,$2 \sin x - 1 > 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $\sin x > \frac{1}{2}$.
આથી $x \in (\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6})$.
વળી,$x^2 - x - 2 < 0$.
અવયવ પાડતા $(x - 2)(x + 1) < 0$ મળે,જેનો અર્થ છે $-1 < x < 2$.
છેદગણ શોધવા માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{\pi}{6} \approx 0.52$ અને $\frac{5 \pi}{6} \approx 2.61$.
$2 < \frac{5 \pi}{6}$ હોવાથી,$(\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6})$ અને $(-1, 2)$ નો છેદગણ $(\frac{\pi}{6}, 2)$ છે.

(C) સમીકરણ $ax + by = 1$ એ એક રેખીય ડાયોફેન્ટાઇન સમીકરણ છે.
બેઝુટના પ્રમેય મુજબ,સમીકરણ $ax + by = c$ ના પૂર્ણાંક ઉકેલો ત્યારે જ મળે જો $\gcd(a, b)$ એ $c$ ને ભાગે.
અહીં $c = 1$ છે,તેથી $\gcd(a, b) = 1$ હોવું જોઈએ. આમ,વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.
વિકલ્પ $(c)$ એટલે કે $\gcd(b, y) = 1$ એ હંમેશા સાચું હોવું જરૂરી નથી. ઉદાહરણ તરીકે,જો $a=1, b=2, x=1, y=0$ લઈએ,તો $1(1) + 2(0) = 1$ થાય. અહીં $\gcd(b, y) = \gcd(2, 0) = 2 \neq 1$ છે. તેથી,વિકલ્પ $(c)$ સાચો નથી.

(D) આપેલ છે કે $a \equiv b \pmod{m}$,તેથી $m \mid (a-b)$.
$(i)$ $(a+x) \equiv (b+x) \pmod{m}$ માટે,$(a+x) - (b+x) = a-b$. $m \mid (a-b)$ હોવાથી,આ સાચું છે.
(ii) $(a-x) \equiv (b-x) \pmod{m}$ માટે,$(a-x) - (b-x) = a-b$. $m \mid (a-b)$ હોવાથી,આ સાચું છે.
(iii) $ax \equiv bx \pmod{m}$ માટે,$ax - bx = x(a-b)$. $m \mid (a-b)$ હોવાથી,$m \mid x(a-b)$,તેથી આ સાચું છે.
(iv) $(a+x) \equiv (b \div x) \pmod{m}$ માટે,આ સામાન્ય રીતે સાચું નથી કારણ કે મોડ્યુલર અંકગણિતમાં ભાગાકાર એ સરવાળા કે ગુણાકારની જેમ વ્યાખ્યાયિત નથી,અને $b \div x$ પૂર્ણાંક પણ ન હોઈ શકે. તેથી,આ વિધાન ખોટું છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $2^2 = 4 \equiv -1 \pmod{5}$.
હવે,$2^{2010} = (2^2)^{1005} \equiv (-1)^{1005} \pmod{5}$.
$1005$ એકી સંખ્યા હોવાથી,$(-1)^{1005} = -1$.
તેથી,$2^{2010} \equiv -1 \equiv 4 \pmod{5}$.
આપેલ સમીકરણ $2^{2010} \equiv 3x \pmod{5}$ માં $2^{2010} \equiv 4 \pmod{5}$ મૂકતા:
$4 \equiv 3x \pmod{5}$.
$x$ શોધવા માટે,બંને બાજુ $3$ ના મોડ્યુલર વ્યસ્ત $2$ વડે ગુણતા (કારણ કે $3 \times 2 = 6 \equiv 1 \pmod{5}$):
$2 \times 4 \equiv 2 \times 3x \pmod{5}$
$8 \equiv 6x \pmod{5}$
$3 \equiv x \pmod{5}$.
આમ,ન્યૂનતમ ધન પૂર્ણાંક $x = 3$ છે.

(C) ધારો કે $f(x) = \frac{x^2+x+a}{x^2-x+a}$. આપેલ અસમતા $\frac{1}{2} \leq f(x) \leq 2$ છે.
$f(x) \leq 2$ માટે:
$\frac{x^2+x+a}{x^2-x+a} \leq 2 \implies x^2+x+a \leq 2x^2-2x+2a$
$\implies x^2-3x+a \geq 0$.
આ તમામ $x$ માટે સાચું હોવા માટે,વિવેચક $D \leq 0$ હોવો જોઈએ:
$(-3)^2 - 4(1)(a) \leq 0 \implies 9 - 4a \leq 0 \implies a \geq \frac{9}{4}$.
$f(x) \geq \frac{1}{2}$ માટે:
$\frac{x^2+x+a}{x^2-x+a} \geq \frac{1}{2} \implies 2x^2+2x+2a \geq x^2-x+a$
$\implies x^2+3x+a \geq 0$.
આ તમામ $x$ માટે સાચું હોવા માટે,વિવેચક $D \leq 0$ હોવો જોઈએ:
$(3)^2 - 4(1)(a) \leq 0 \implies 9 - 4a \leq 0 \implies a \geq \frac{9}{4}$.
આમ,$a = \frac{9}{4}$.

(A) આપેલ છે કે $a, b, c$ ભિન્ન ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જેથી $a^2+b^2+c^2=1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$.
$a, b, c > 0$ હોવાથી,$(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 > 0$ થાય કારણ કે $a, b, c$ ભિન્ન છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$2(a^2+b^2+c^2) - 2(ab+bc+ca) > 0$ મળે.
$a^2+b^2+c^2=1$ મૂકતા,$2(1) - 2(ab+bc+ca) > 0$ મળે,એટલે કે $2 > 2(ab+bc+ca)$,અથવા $ab+bc+ca < 1$.
આમ,$ab+bc+ca$ ની કિંમત $1$ કરતા ઓછી છે.

(C) આપેલ છે કે,$x = \frac{1}{2} \left( \sqrt{7} + \frac{1}{\sqrt{7}} \right)$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x^2 = \frac{1}{4} \left( 7 + \frac{1}{7} + 2 \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{64}{7} \right) = \frac{16}{7}$.
હવે,$x^2 - 1 = \frac{16}{7} - 1 = \frac{9}{7}$,તેથી $\sqrt{x^2 - 1} = \frac{3}{\sqrt{7}}$.
આ કિંમતોને $\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x - \sqrt{x^2 - 1}}$ માં મૂકતા:
$= \frac{\frac{3}{\sqrt{7}}}{\frac{1}{2} \left( \sqrt{7} + \frac{1}{\sqrt{7}} \right) - \frac{3}{\sqrt{7}}}$
$= \frac{\frac{3}{\sqrt{7}}}{\frac{4}{\sqrt{7}} - \frac{3}{\sqrt{7}}} = \frac{\frac{3}{\sqrt{7}}}{\frac{1}{\sqrt{7}}} = 3$.

(A) આપેલ સમીકરણ $(3 + \alpha) x^2 + (6 + 2 \alpha) x + (5 + 2 \alpha) = 0$ છે.
બીજ સંકર હોવા માટે,વિવેચક $D < 0$ હોવો જોઈએ.
$D = (2 \alpha + 6)^2 - 4 (\alpha + 3) (2 \alpha + 5) < 0$.
$4(\alpha + 3)^2 - 4(\alpha + 3)(2 \alpha + 5) < 0$.
$4$ વડે ભાગતા: $(\alpha + 3)(\alpha + 3 - 2 \alpha - 5) < 0$.
$(\alpha + 3)(-\alpha - 2) < 0 \Rightarrow (\alpha + 3)(\alpha + 2) > 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\alpha < -3$ અથવા $\alpha > -2$.
$\alpha > L$ અથવા $\alpha < M$ સાથે સરખાવતા,આપણને $L = -2$ અને $M = -3$ મળે છે.
શરત $L y^2 + M y + r < 0$ એ $-2 y^2 - 3 y + r < 0$ બને છે.
આ તમામ $y \in R$ માટે સાચું હોવા માટે,$y^2$ નો સહગુણક ઋણ હોવો જોઈએ (જે $-2 < 0$ છે) અને $D < 0$ હોવો જોઈએ.
$D = (-3)^2 - 4(-2)(r) < 0$.
$9 + 8 r < 0$ $\Rightarrow 8 r < -9$ $\Rightarrow r < -\frac{9}{8} = -1.125$.
$r$ થી વધુ ન હોય તેવો સૌથી મોટો પૂર્ણાંક $[r] = [-1.125] = -2$ છે.

(A) ધારો કે $t = \sqrt{\frac{1-y}{y}}$. તો સમીકરણ $t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}$ બને છે.
$t$ માટે ઉકેલતા,આપણને $2t^2 - 5t + 2 = 0$ મળે છે,જે $t = 2$ અથવા $t = \frac{1}{2}$ આપે છે.
જો $\sqrt{\frac{1-y}{y}} = 2$ હોય,તો $\frac{1-y}{y} = 4$ $\Rightarrow 1-y = 4y$ $\Rightarrow y = \frac{1}{5}$.
જો $\sqrt{\frac{1-y}{y}} = \frac{1}{2}$ હોય,તો $\frac{1-y}{y} = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow 4-4y = y$ $\Rightarrow y = \frac{4}{5}$.
આમ,$\alpha = \frac{1}{5}$ અને $\beta = \frac{4}{5}$ (કારણ કે $\beta > \alpha$).
તેથી $\alpha + \beta = 1$ અને $\alpha \beta = \frac{4}{25}$.
સમીકરણ $(\alpha+\beta) x^4 - 25 \alpha \beta x^2 + (\gamma + \beta - \alpha) = 0$ એ $x^4 - 4x^2 + (\gamma + \frac{3}{5}) = 0$ બને છે.
ધારો કે $u = x^2$. તો $u^2 - 4u + (\gamma + \frac{3}{5}) = 0$.
વાસ્તવિક બીજ માટે,$u$ અ-ઋણ હોવું જોઈએ. વિવેચક $D = 16 - 4(\gamma + \frac{3}{5}) \ge 0$ $\Rightarrow 4 - \gamma - \frac{3}{5} \ge 0$ $\Rightarrow \gamma \le \frac{17}{5} = 3.4$.
વધુમાં,ઓછામાં ઓછા એક અ-ઋણ બીજ $u$ માટે,બીજનો સરવાળો $4 > 0$ અને ગુણાકાર $\gamma + \frac{3}{5} \ge 0 \Rightarrow \gamma \ge -0.6$ હોવો જોઈએ.
આમ,$\gamma \in [-0.6, 3.4]$. વિકલ્પોમાંથી,$\frac{1}{2} = 0.5$ આ શ્રેણીમાં છે.

(C) આપેલ અસમતા $-1 < \frac{2 x^2+a x+2}{x^2+x+1} < 3$ દરેક $x \in \mathbb{R}$ માટે છે.
$x^2+x+1 > 0$ હોવાથી,આપણે અસમતાને બે ભાગમાં વહેંચી શકીએ.
ભાગ $1$: $-1 < \frac{2 x^2+a x+2}{x^2+x+1} \Rightarrow 3 x^2+(a+1) x+3 > 0$.
દરેક $x$ માટે આ સાચું હોવા માટે,વિવેચક $D < 0$ હોવો જોઈએ.
$(a+1)^2 - 36 < 0$ $\Rightarrow (a-5)(a+7) < 0$ $\Rightarrow a \in (-7, 5) \dots (i)$.
ભાગ $2$: $\frac{2 x^2+a x+2}{x^2+x+1} < 3 \Rightarrow x^2-(a-3) x+1 > 0$.
દરેક $x$ માટે આ સાચું હોવા માટે,વિવેચક $D < 0$ હોવો જોઈએ.
$(a-3)^2 - 4 < 0$ $\Rightarrow (a-5)(a-1) < 0$ $\Rightarrow a \in (1, 5) \dots (ii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ નો છેદગણ લેતા,$a \in (1, 5)$ મળે છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \geq 0$.
તેનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $2(a^2+b^2+c^2) - 2(ab+bc+ca) \geq 0$ મળે છે.
$a^2+b^2+c^2 = 1$ હોવાથી,$2(1) - 2(ab+bc+ca) \geq 0$,જેનો અર્થ છે કે $ab+bc+ca \leq 1$.
ઉપરાંત,આપણે જાણીએ છીએ કે $(a+b+c)^2 \geq 0$.
તેનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca) \geq 0$ મળે છે.
$a^2+b^2+c^2 = 1$ મૂકતા,આપણને $1 + 2(ab+bc+ca) \geq 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $ab+bc+ca \geq -\frac{1}{2}$.
તેથી,$ab+bc+ca$ નો વિસ્તાર $[-\frac{1}{2}, 1]$ છે.
અંતિમ મૂલ્યોનો ગણ $\{\frac{-1}{2}, 1\}$ છે.

(C) ધારો કે $A.P.$ માં ચાર સંખ્યાઓ $p=a-3d, q=a-d, r=a+d, s=a+3d$ છે.
$p$ અને $q$ એ $x^2-2x+A=0$ ના બીજ હોવાથી,$p+q=2$ અને $pq=A$ મળે.
$r$ અને $s$ એ $x^2-18x+B=0$ ના બીજ હોવાથી,$r+s=18$ અને $rs=B$ મળે.
બીજનો સરવાળો કરતા: $(a-3d)+(a-d)+(a+d)+(a+3d) = 4a = 2+18 = 20$,તેથી $a=5$.
$p+q=2$ પરથી,$(a-3d)+(a-d) = 2a-4d = 2$ મળે.
$a=5$ મૂકતા,$10-4d=2$ મળે,તેથી $4d=8$,એટલે કે $d=2$.
બીજ $p=5-3(2)=-1$,$q=5-2=3$,$r=5+2=7$,અને $s=5+3(2)=11$ છે.
આમ,$A = pq = (-1)(3) = -3$ અને $B = rs = (7)(11) = 77$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $6x^6-25x^5+31x^4-31x^2+25x-6=0$
પદોને જૂથબદ્ધ કરતા: $6(x^6-1)-25x(x^4-1)+31x^2(x^2-1)=0$
$(x^2-1)$ સામાન્ય લેતા: $(x^2-1)(6x^4-25x^3+37x^2-25x+6)=0$
$x^2-1=0$ પરથી બીજ $x=1, -1$ મળે છે.
$6x^4-25x^3+37x^2-25x+6=0$ ને $x^2$ વડે ભાગતા: $6(x^2+\frac{1}{x^2})-25(x+\frac{1}{x})+37=0$
ધારો કે $t = x+\frac{1}{x}$,તો $6(t^2-2)-25t+37=0 \Rightarrow 6t^2-25t+25=0$
$(2t-5)(3t-5)=0 \Rightarrow t=\frac{5}{2}$ અથવા $t=\frac{5}{3}$
કિસ્સો $1$: $x+\frac{1}{x}=\frac{5}{2}$ $\Rightarrow 2x^2-5x+2=0$ $\Rightarrow (2x-1)(x-2)=0$ $\Rightarrow x=2, \frac{1}{2}$
કિસ્સો $2$: $x+\frac{1}{x}=\frac{5}{3} \Rightarrow 3x^2-5x+3=0$. વિવેચક $D = 25-36 = -11 < 0$,તેથી વાસ્તવિક બીજ નથી.
સંમેય બીજ $1, -1, 2, \frac{1}{2}$ છે.
સરવાળો $= 1-1+2+\frac{1}{2} = 2.5$.

(D) આપેલ છે $\phi(x) = \frac{x}{(x^2+1)(x+1)}$.
આપણે $\phi(a) \phi(b) \phi(c) = \frac{abc}{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)(a+1)(b+1)(c+1)}$ શોધવાનું છે.
સમીકરણ $x^3 - 3x + \lambda = 0$ માટે,આપણી પાસે છે:
$a+b+c = 0$,$ab+bc+ca = -3$,અને $abc = -\lambda$.
પ્રથમ,$(a+1)(b+1)(c+1) = abc + (ab+bc+ca) + (a+b+c) + 1 = -\lambda - 3 + 0 + 1 = -\lambda - 2 = -(\lambda+2)$.
બીજું,$(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) = (a^2b^2+a^2+b^2+1)(c^2+1) = a^2b^2c^2 + a^2b^2 + a^2c^2 + a^2 + b^2c^2 + b^2 + c^2 + 1$.
$a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca) = 0^2 - 2(-3) = 6$ નો ઉપયોગ કરતા.
$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 = (ab+bc+ca)^2 - 2abc(a+b+c) = (-3)^2 - 2(-\lambda)(0) = 9$ નો ઉપયોગ કરતા.
તેથી,$(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) = (abc)^2 + (a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) + (a^2+b^2+c^2) + 1 = \lambda^2 + 9 + 6 + 1 = \lambda^2 + 16$.
આમ,$\phi(a) \phi(b) \phi(c) = \frac{-\lambda}{(\lambda^2+16)(-(\lambda+2))} = \frac{\lambda}{(\lambda+2)(\lambda^2+16)}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $x^5-5 x^4+9 x^3-9 x^2+5 x-1=0$.
$x=1$ એ સમીકરણનું એક બીજ છે.
$(x-1)$ વડે ભાગતા,આપણને $(x-1)(x^4-4 x^3+5 x^2-4 x+1)=0$ મળે છે.
$x^4-4 x^3+5 x^2-4 x+1=0$ માટે,$x^2$ વડે ભાગતા:
$x^2-4 x+5-\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}=0
$ $\Rightarrow (x^2+\frac{1}{x^2})-4(x+\frac{1}{x})+5=0
$ $\Rightarrow (x+\frac{1}{x})^2-2-4(x+\frac{1}{x})+5=0
$ $\Rightarrow (x+\frac{1}{x})^2-4(x+\frac{1}{x})+3=0$.
ધારો કે $y = x+\frac{1}{x}$,તો $y^2-4y+3=0
$ $\Rightarrow (y-1)(y-3)=0
$ $\Rightarrow y=1, 3$.
કિસ્સો $1$: $x+\frac{1}{x}=1 \Rightarrow x^2-x+1=0$ (બીજ સંકર સંખ્યા છે).
કિસ્સો $2$: $x+\frac{1}{x}=3 \Rightarrow x^2-3x+1=0$ (બીજ અસંમેય છે).
આમ,$\alpha+\beta=3$ અને $\alpha \beta=1$.
$(\alpha+\beta) x^2+2 \alpha \beta x-\alpha \beta=0$ માં કિંમત મૂકતા:
$3x^2+2x-1=0
$ $\Rightarrow (3x-1)(x+1)=0
$ $\Rightarrow x=-1, \frac{1}{3}$.

(A) $xy+l(x+y)+m=0$ પરથી,$x(y+l) = -(ly+m)$,તેથી $x = -\frac{ly+m}{y+l}$. આને $x^2+\alpha x+\beta=0$ માં મૂકતા:
$\left(-\frac{ly+m}{y+l}\right)^2 + \alpha\left(-\frac{ly+m}{y+l}\right) + \beta = 0$
$(ly+m)^2 - \alpha(ly+m)(y+l) + \beta(y+l)^2 = 0$
$(l^2y^2 + m^2 + 2lmy) - \alpha(ly^2 + l^2y + my + ml) + \beta(y^2 + 2ly + l^2) = 0$
$(l^2 - \alpha l + \beta)y^2 + (2lm - \alpha l^2 - \alpha m + 2\beta l)y + (m^2 - \alpha ml + \beta l^2) = 0$
કારણ કે આ સમીકરણ $x^2 + \alpha x + \beta = 0$ જેવા જ બીજ ધરાવે છે,તેથી સહગુણકોનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ:
$\frac{l^2 - \alpha l + \beta}{1} = \frac{2lm - \alpha l^2 - \alpha m + 2\beta l}{\alpha} = \frac{m^2 - \alpha ml + \beta l^2}{\beta}$
પ્રથમ અને ત્રીજા પદને સરખાવતા: $\beta(l^2 - \alpha l + \beta) = m^2 - \alpha ml + \beta l^2$
$\beta l^2 - \beta \alpha l + \beta^2 = m^2 - \alpha ml + \beta l^2$
$\beta^2 - \beta \alpha l - m^2 + \alpha ml = 0$
$\beta^2 - \beta m + \beta m - \beta \alpha l - m^2 + \alpha ml = 0$
$\beta(\beta - m) + (m - \alpha l)(\beta - m) = 0$
$(\beta - m)(\beta + m - \alpha l) = 0$
આમ,$\beta = m$ અથવા $\beta = \alpha l - m$.

(C) દ્વિઘાત પદાવલિ $f(x) = (a-3)x^2 + 12x + (a+6)$ માટે તમામ $x \in R$ માટે ધન હોવા માટે,$x^2$ નો સહગુણક ધન હોવો જોઈએ અને વિવેચક $D$ ઋણ હોવો જોઈએ.
$1$. $a-3 > 0 \implies a > 3$.
$2$. $D = 12^2 - 4(a-3)(a+6) < 0$.
$144 - 4(a^2 + 3a - 18) < 0$
$36 - (a^2 + 3a - 18) < 0$
$36 - a^2 - 3a + 18 < 0$
$-a^2 - 3a + 54 < 0$
$a^2 + 3a - 54 > 0$
$(a+9)(a-6) > 0$.
$a > 3$ હોવાથી,$a > 6$ શરતનું પાલન થવું જોઈએ. તેથી,$a \in (6, \infty)$,એટલે કે $\ell = 6$.
$a$ ની ન્યૂનતમ ધન પૂર્ણાંક કિંમત $\alpha = 7$ છે.
હવે,$\alpha = 7$ અને $\ell = 6$ ને સમીકરણ $(\alpha-3)x^2 + 12x + (\ell+2) = 0$ માં મૂકતા:
$(7-3)x^2 + 12x + (6+2) = 0$
$4x^2 + 12x + 8 = 0$
$4$ વડે ભાગતા: $x^2 + 3x + 2 = 0$
$(x+1)(x+2) = 0$.
બીજ $x = -1, -2$ છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x)$ એ $\left(-\infty, -\frac{5}{3}\right) \cup (3, \infty)$ માં ઋણ છે અને $\left(-\frac{5}{3}, 3\right)$ માં ધન છે,તેથી આપણે $f(x) = -k_1(x + \frac{5}{3})(x - 3)$ લખી શકીએ,જ્યાં $k_1 > 0$. આને $f(x) = k_1(x + \frac{5}{3})(3 - x)$ તરીકે લખી શકાય.
આપેલ છે કે $g(x)$ એ $\left(3, \frac{9}{2}\right)$ માં ઋણ છે અને બાકીના ભાગમાં ધન છે,તેથી આપણે $g(x) = k_2(x - 3)(x - \frac{9}{2})$ લખી શકીએ,જ્યાં $k_2 > 0$.
હવે,ગુણાકાર $P(x) = f(x)g(x) = k_1 k_2 (x + \frac{5}{3})(3 - x)(x - 3)(x - \frac{9}{2})$ ધ્યાનમાં લો.
કારણ કે $(3 - x) = -(x - 3)$,તેથી $P(x) = -k_1 k_2 (x + \frac{5}{3})(x - 3)^2 (x - \frac{9}{2})$.
ધારો કે $K = k_1 k_2 > 0$. તો $P(x) = -K (x + \frac{5}{3})(x - 3)^2 (x - \frac{9}{2})$.
બીજ $x = -\frac{5}{3}, 3, \frac{9}{2}$ છે. નોંધો કે $x = 3$ એ $2$ ની ગુણકતા ધરાવતું બીજ છે,તેથી $x = 3$ પર નિશાની બદલાતી નથી.
$x > \frac{9}{2}$ માટે,$P(x)$ ઋણ છે. $3 < x < \frac{9}{2}$ માટે,$P(x)$ ધન છે. $x < 3$ (અને $x > -\frac{5}{3}$) માટે,$P(x)$ ધન છે.
આમ,$[0, 5]$ અંતરાલમાં,$P(x)$ એ $[0, 3) \cup (3, \frac{9}{2})$ માં ધન છે અને $(\frac{9}{2}, 5]$ માં ઋણ છે. સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ છે કે $ax^2 + bx + c = 0$ ને કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી,તેથી વિવેચક $D = b^2 - 4ac < 0$ છે.
$ax^2 + bx + c$ ને કોઈ વાસ્તવિક બીજ ન હોવાથી,પદાવલિ $f(x) = ax^2 + bx + c$ એ તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે સમાન ચિહ્ન ધરાવે છે.
$4a + 2b + c > 0$ આપેલ હોવાથી,$f(2) > 0$ થાય,જે સૂચવે છે કે $a > 0$ અને તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $f(x) > 0$ છે.
તમામ $x$ માટે $f(x) > 0$ હોવાથી,$f(0) = c > 0$ અને $f(1) = a + b + c > 0$ મળે.
આપણને $f(2) = 4a + 2b + c > 0$ આપેલ છે.
હવે,$f(x) = ax^2 + bx + c$ ધ્યાનમાં લો. $a > 0$ હોવાથી,તમામ $x$ માટે $f(x) > 0$ છે.
ખાસ કરીને,$f(1) = a + b + c > 0 \implies a + c > -b$.
તેમજ,$f(0) = c > 0$.
પદાવલિ $(c+a)(c+b)$ ધ્યાનમાં લો.
$a > 0$ અને $f(x) > 0$ હોવાથી,$(c+a)(c+b) > ab$ સાબિત કરી શકાય છે.

(D) ધારો કે $y = \frac{x^2+4x+1}{x^2+x+1}$.
તેથી $y(x^2+x+1) = x^2+4x+1$,જે સૂચવે છે કે $(y-1)x^2 + (y-4)x + (y-1) = 0$.
$x$ વાસ્તવિક હોવાથી,વિવેચક $D \ge 0$.
$D = (y-4)^2 - 4(y-1)^2 \ge 0$.
$(y-4)^2 - [2(y-1)]^2 \ge 0$.
$(y-4-2y+2)(y-4+2y-2) \ge 0$.
$(-y-2)(3y-6) \ge 0$.
$(y+2)(3y-6) \le 0$.
$(y+2)(y-2) \le 0$.
આમ,$-2 \le y \le 2$.
ન્યૂનતમ કિંમત $-2$ છે અને મહત્તમ કિંમત $2$ છે.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતોનો સરવાળો $2 + (-2) = 0$ થાય.

(D) ધારો કે $y = \frac{11 x^2+12 x+6}{x^2+4 x+2}$.
$(11-y) x^2+(12-4 y) x+(6-2 y)=0$.
$x$ વાસ્તવિક હોવા માટે,વિવેચક $D \geq 0$.
$(12-4 y)^2-4(11-y)(6-2 y) \geq 0$.
$(y-3)(y+5) \geq 0$.
આમ,$y \leq -5$ અથવા $y \geq 3$.
આપેલ છે કે $\frac{11 x^2+12 x+6}{x^2+4 x+2} \notin (-5, 3]$,તેથી $a = -5$ અને $b = 3$.
આપણે $x$ શોધવાનું છે જેના માટે $\frac{11 x^2+12 x+6}{x^2+4 x+2} = 3 - (-5) + 3 = 11$.
$11 x^2+12 x+6 = 11(x^2+4 x+2)$.
$12 x+6 = 44 x+22$.
$32 x = -16$.
$x = -\frac{1}{2}$.

(B) ધારો કે $f(x) = y = \frac{x^2-2x+3}{x^2-4x+7}$.
$y(x^2-4x+7) = x^2-2x+3$
$(y-1)x^2 + (2-4y)x + (7y-3) = 0$.
$x$ વાસ્તવિક હોવાથી,વિવેચક $D \geq 0$:
$(2-4y)^2 - 4(y-1)(7y-3) \geq 0$
$-3y^2 + 6y - 2 \geq 0$
$3y^2 - 6y + 2 \leq 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$y = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $1 - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3-\sqrt{3}}{3}$ છે.

(A) ધારો કે $y = \frac{x^2+2x+5}{x^2+4x+10}$.
$x^2+4x+10 = (x+2)^2+6 > 0$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$y(x^2+4x+10) = x^2+2x+5$
$(y-1)x^2 + (4y-2)x + (10y-5) = 0$.
$x \in \mathbb{R}$ માટે,વિવેચક $D \geq 0$:
$D = (4y-2)^2 - 4(y-1)(10y-5) \geq 0$
$4(2y-1)^2 - 4(y-1)(5)(2y-1) \geq 0$
$4(2y-1) [ (2y-1) - 5(y-1) ] \geq 0$
$4(2y-1)(4-3y) \geq 0$
$(2y-1)(3y-4) \leq 0$.
આમ,$\frac{1}{2} \leq y \leq \frac{4}{3}$.
ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{1}{2}$ છે.

(A) $f(x) = x^2 + 2bx + 2c^2$ એ ઉપરની તરફ ખુલતો પરવલય છે. તેની ન્યૂનતમ કિંમત $x = -b$ પર મળે છે,જે $f(-b) = 2c^2 - b^2$ છે.
$g(x) = -x^2 - 2cx + b^2$ એ નીચેની તરફ ખુલતો પરવલય છે. તેની મહત્તમ કિંમત $x = -c$ પર મળે છે,જે $g(-c) = c^2 + b^2$ છે.
આપેલ છે કે $f(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $g(x)$ ની મહત્તમ કિંમત કરતા મોટી છે:
$2c^2 - b^2 > c^2 + b^2$
$c^2 > 2b^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $|c| > \sqrt{2}|b|$ મળે છે.

(A) આપેલ અસમતા $\left|\frac{x^2+kx+1}{x^2+x+1}\right| < 3$ છે.
તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે $x^2+x+1 > 0$ હોવાથી,આપણે $-3 < \frac{x^2+kx+1}{x^2+x+1} < 3$ લખી શકીએ.
કિસ્સો $1$: $\frac{x^2+kx+1}{x^2+x+1} < 3 \implies 2x^2+(3-k)x+2 > 0$.
આ તમામ $x$ માટે સાચું હોવા માટે,વિવેચક $D_1 < 0$: $(3-k)^2 - 16 < 0 \implies -1 < k < 7$.
કિસ્સો $2$: $\frac{x^2+kx+1}{x^2+x+1} > -3 \implies 4x^2+(k+3)x+4 > 0$.
આ તમામ $x$ માટે સાચું હોવા માટે,વિવેચક $D_2 < 0$: $(k+3)^2 - 64 < 0 \implies -11 < k < 5$.
બંને કિસ્સાઓનો છેદ લેતા,આપણને $-1 < k < 5$ મળે છે.

(A) ધારો કે $y = \frac{x^2+x+1}{2x^2-x+1}$.
તેથી $y(2x^2-x+1) = x^2+x+1$.
$(2y-1)x^2 - (y+1)x + (y-1) = 0$.
$x \in R$ હોવાથી,વિવેચક $D \ge 0$.
$D = (y+1)^2 - 4(2y-1)(y-1) \ge 0$.
$-7y^2+14y-3 \ge 0$.
$7y^2-14y+3 \le 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$y = \frac{7 \pm 2\sqrt{7}}{7}$.
આમ,મહત્તમ કિંમત $\frac{7+2\sqrt{7}}{7}$ છે.

(B) ધારો કે $y = \frac{x+a}{2 x^2-3 x+1}$,જ્યાં $y \in \mathbb{R}$.
જો $y$ તમામ વાસ્તવિક કિંમતો લેતું હોય,તો સમીકરણ $2 y x^2 - (3 y + 1) x + (y - a) = 0$ ને તમામ $y \in \mathbb{R}$ માટે $x$ ના વાસ્તવિક ઉકેલો હોવા જોઈએ.
$y \neq 0$ માટે,વિવેચક $D \geq 0$:
$D = (3 y + 1)^2 - 4(2 y)(y - a) \geq 0$
$y^2 + (8 a + 6) y + 1 \geq 0$
આ દ્વિઘાત સમીકરણ તમામ $y \in \mathbb{R}$ માટે અ-ઋણ હોવા માટે,તેનો વિવેચક $0$ કરતા ઓછો અથવા બરાબર હોવો જોઈએ.
$(8 a + 6)^2 - 4 \leq 0$
$(2 a + 1)(a + 1) \leq 0$
આમ,$-1 \leq a \leq -\frac{1}{2}$.
પરંતુ,જો $y=0$ હોય,તો $x=-a$. છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ,તેથી $a \neq -1/2$ અને $a \neq -1$.
તેથી,$-1 < a < -\frac{1}{2}$.

(D) આપેલ છે કે $\alpha, \beta$ એ $x^2+p x+q=0$ ના બીજ છે,તેથી $\alpha+\beta=-p$ અને $\alpha \beta=q$.
$\alpha^4, \beta^4$ એ $x^2-r x+s=0$ ના બીજ હોવાથી,$\alpha^4+\beta^4=r$ અને $\alpha^4 \beta^4=s$ થાય.
હવે,સમીકરણ $x^2-4 q x+2 q^2-r=0$ માટે વિવેચક $D = (-4q)^2 - 4(2q^2 - r)$ છે.
$D = 16q^2 - 8q^2 + 4r = 8q^2 + 4r$.
$\alpha, \beta$ વાસ્તવિક હોવાથી,$\alpha^4, \beta^4 \geq 0$,તેથી $r = \alpha^4 + \beta^4 \geq 0$.
વળી,$8q^2 \geq 0$.
આમ,$D = 8q^2 + 4r \geq 0$.
વિવેચક અઋણ હોવાથી,સમીકરણ $x^2-4 q x+2 q^2-r=0$ ને હંમેશા બે વાસ્તવિક બીજ હોય છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $\log_{|\alpha|} \left( \frac{x^2}{\beta^2} \right) = 1$ છે.
આથી $\frac{x^2}{\beta^2} = |\alpha|$,એટલે કે $x^2 = \beta^2 |\alpha|$.
$\alpha, \beta$ એ $x^2 - |a|x - |b| = 0$ ના બીજ હોવાથી,બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = -|b| \le 0$ થાય.
$|\alpha| < |\beta|$ અને સરવાળો $\alpha + \beta = |a| > 0$ આપેલ છે.
$|a| < \beta - 1$ હોવાથી,$\beta$ ધન છે.
$x$ માટે ઉકેલતા,$x = \pm |\beta| \sqrt{|\alpha|}$ મળે.
ધન બીજ $|\beta| \sqrt{|\alpha|}$ છે.
$\beta > 0$ અને $\sqrt{|\alpha|} < 1$ હોવાથી,ધન બીજ $\beta$ કરતા નાનું છે.

(C) આપેલ છે $f(x) = (x-a)(x-b) - \frac{a+b}{2} = x^2 - (a+b)x + ab - \frac{a+b}{2}$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે પરવલયનું શિરોબિંદુ શોધીએ છીએ. વિકલન $f'(x) = 2x - (a+b)$ છે.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $x = \frac{a+b}{2}$ મળે છે.
ન્યૂનતમ કિંમત $f\left(\frac{a+b}{2}\right) = \left(\frac{a+b}{2} - a\right)\left(\frac{a+b}{2} - b\right) - \frac{a+b}{2}$ છે.
$f\left(\frac{a+b}{2}\right) = \left(\frac{b-a}{2}\right)\left(\frac{a-b}{2}\right) - \frac{a+b}{2} = -\frac{(a-b)^2}{4} - \frac{a+b}{2} = -\frac{a^2 - 2ab + b^2 + 2a + 2b}{4}$.
આને આપણે $f\left(\frac{a+b}{2}\right) = -\frac{(a+b)^2 - 4ab + 2(a+b)}{4} = -\frac{(a+b)^2}{4} + \frac{4ab - 2(a+b)}{4}$ તરીકે લખી શકીએ.
કારણ કે $f(x)=0$ ના બીજ અ-ઋણ છે,ધારો કે બીજ $x_1, x_2 \geq 0$ છે. તેથી $x_1+x_2 = a+b \geq 0$ અને $x_1x_2 = ab - \frac{a+b}{2} \geq 0$.
$x_1x_2 \geq 0$ પરથી,આપણને $ab \geq \frac{a+b}{2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $4ab \geq 2(a+b)$,તેથી $4ab - 2(a+b) \geq 0$.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $f\left(\frac{a+b}{2}\right) = -\frac{(a+b)^2}{4} + \frac{4ab - 2(a+b)}{4} \geq -\frac{(a+b)^2}{4}$ થાય.

(B) ધારો કે બીજ $\alpha, \alpha, \beta, \gamma$ છે. આપેલ છે કે $\alpha > 0$ અને $\beta\gamma = 1$.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,બીજનો ગુણાકાર $\alpha^2\beta\gamma = \frac{e}{a}$ છે.
$\beta\gamma = 1$ હોવાથી,$\alpha^2 = \frac{e}{a}$,તેથી $\alpha = \sqrt{\frac{e}{a}}$.
સમીકરણને $a(x-\alpha)^2(x^2 - Sx + 1) = 0$ તરીકે લખી શકાય,જ્યાં $S = \beta + \gamma$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$b = -a(S + 2\alpha)$,$c = a(1 + 2\alpha S + \alpha^2)$,$d = -a(S\alpha^2 + 2\alpha)$,$e = a\alpha^2$ મળે છે.
$b = -a(S + 2\alpha)$ પરથી,$S = -\frac{b}{a} - 2\alpha$.
$c$ માટેના સમીકરણમાં $S$ ની કિંમત મૂકતા,$c = a - 2b\alpha - 3a\alpha^2$ મળે છે.
$\alpha^2 = \frac{e}{a}$ હોવાથી,$3a\alpha^2 = 3e$.
આમ,$c = a - 2b\sqrt{\frac{e}{a}} - 3e$,જેનું સાદું રૂપ $3e + \frac{2b\sqrt{e}}{\sqrt{a}} + c = a$ થાય છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $x^5-5x^3+5x^2-1=0$.
નિરીક્ષણ દ્વારા,$x=1$ એ બીજ છે.
બહુપદીના અવયવ પાડતા: $(x-1)(x^4+x^3-4x^2+x+1)=0$.
વધુ અવયવ પાડતા: $(x-1)^2(x^3+2x^2-2x-1)=0$.
$(x-1)^3(x^2+3x+1)=0$.
બીજ $x=1$ (ત્રિ-ઘાતી બીજ) અને $x=\frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$ છે.
બે ભિન્ન ઋણ બીજ $\alpha = \frac{-3+\sqrt{5}}{2}$ અને $\beta = \frac{-3-\sqrt{5}}{2}$ છે.
આપણે $\sqrt{-\alpha}$ અને $\sqrt{-\beta}$ બીજ ધરાવતું સમીકરણ જોઈએ છે.
ધારો કે $y = \sqrt{-\alpha} \Rightarrow y^2 = -\alpha$.
$\alpha$ અને $\beta$ એ $x^2+3x+1=0$ ના બીજ હોવાથી,$\alpha+\beta = -3$ અને $\alpha\beta = 1$ મળે.
નવા બીજ $y_1 = \sqrt{-\alpha}$ અને $y_2 = \sqrt{-\beta}$ છે.
સમીકરણ $(y^2+\alpha)(y^2+\beta) = 0$ થશે.
$y^4 + (\alpha+\beta)y^2 + \alpha\beta = 0$.
કિંમતો મૂકતા: $y^4 - 3y^2 + 1 = 0$.

(B) શેષ શોધવા માટે,આપણે $2 x^5-3 x^4+5 x^3-3 x^2+7 x-9$ નો $x^2-x-3$ વડે બહુપદી ભાગાકાર કરીશું:
$1$. $2 x^5$ ને $x^2$ વડે ભાગતા $2 x^3$ મળે. $(x^2-x-3)$ ને $2 x^3$ વડે ગુણતા $2 x^5-2 x^4-6 x^3$ મળે. તેને ભાજ્યમાંથી બાદ કરતા $-x^4+11 x^3-3 x^2+7 x-9$ મળે.
$2$. $-x^4$ ને $x^2$ વડે ભાગતા $-x^2$ મળે. $(x^2-x-3)$ ને $-x^2$ વડે ગુણતા $-x^4+x^3+3 x^2$ મળે. તેને બાદ કરતા $10 x^3-6 x^2+7 x-9$ મળે.
$3$. $10 x^3$ ને $x^2$ વડે ભાગતા $10 x$ મળે. $(x^2-x-3)$ ને $10 x$ વડે ગુણતા $10 x^3-10 x^2-30 x$ મળે. તેને બાદ કરતા $4 x^2+37 x-9$ મળે.
$4$. $4 x^2$ ને $x^2$ વડે ભાગતા $4$ મળે. $(x^2-x-3)$ ને $4$ વડે ગુણતા $4 x^2-4 x-12$ મળે. તેને બાદ કરતા $41 x+3$ મળે.
આમ,શેષ $41 x+3$ છે.

(C) આપેલ છે કે $x^2+p x+1$ એ $a x^3+b x+c$ નો અવયવ છે.
ધારો કે $a x^3+b x+c = (x^2+p x+1)(a x+\alpha)$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$a x^3+b x+c = a x^3 + (p a+\alpha) x^2 + (p \alpha+a) x + \alpha$.
$x^2, x^1$ અને અચળ પદના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$1) \ p a + \alpha = 0 \implies p = -\frac{\alpha}{a}$
$2) \ p \alpha + a = b$
$3) \ \alpha = c$
પ્રથમ સમીકરણમાં $\alpha = c$ મૂકતા:
$p = -\frac{c}{a}$.
હવે,$p = -\frac{c}{a}$ અને $\alpha = c$ ને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$(-\frac{c}{a})(c) + a = b$
$-\frac{c^2}{a} + a = b$
$-c^2 + a^2 = a b$
$a^2 - c^2 = a b$.

(C) ધારો કે સમીકરણ $6x^3 + 7x^2 - 4x - 2 = 0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
જો બીજને $h$ જેટલા ઘટાડવામાં આવે,તો નવા બીજ $\alpha-h, \beta-h, \gamma-h$ થાય.
ધારો કે $y = x - h$,તેથી $x = y + h$.
મૂળ સમીકરણમાં $x = y + h$ મૂકતા:
$6(y+h)^3 + 7(y+h)^2 - 4(y+h) - 2 = 0$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$y$ ના સહગુણક માટે $18h^2 + 14h - 4 = 0$ મળે છે.
$2$ વડે ભાગતા,$9h^2 + 7h - 2 = 0$ મળે.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ માટે $h$ ના બીજનો ગુણાકાર $c/a = -2/9$ થાય છે.

(C) ધારો કે $y = \frac{x^2+34x-71}{x^2+2x-7}$.
તેથી,$x^2+34x-71 = y(x^2+2x-7)$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $x^2(y-1) + x(2y-34) + (71-7y) = 0$ મળે છે.
કારણ કે $x$ એ સંકર સંખ્યા છે,તેથી આ દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક $D \leq 0$ હોવો જોઈએ.
$D = (2y-34)^2 - 4(y-1)(71-7y) \leq 0$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$4(y-17)^2 - 4(-7y^2 + 78y - 71) \leq 0$.
$4$ વડે ભાગતા,$(y^2 - 34y + 289) + 7y^2 - 78y + 71 \leq 0$.
$8y^2 - 112y + 360 \leq 0$.
$8$ વડે ભાગતા,$y^2 - 14y + 45 \leq 0$.
અવયવ પાડતા,$(y-5)(y-9) \leq 0$.
આમ,$5 \leq y \leq 9$.
તેથી,$a=5$ અને $b=9$ મળે છે.

(D) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a$ અને $b$ છે. આ સમીકરણ $x^2-2 \sqrt{3} x+2=0$ ના બીજ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો પરથી,$a+b = 2 \sqrt{3}$ અને $ab = 2$ મળે.
ત્રીજી બાજુ $c$ કોસાઇનના નિયમ દ્વારા મળે છે: $c^2 = a^2+b^2-2ab \cos(\frac{\pi}{3})$.
$a^2+b^2 = (a+b)^2-2ab$ હોવાથી,$a^2+b^2 = (2 \sqrt{3})^2-2(2) = 12-4 = 8$ મળે.
તેથી,$c^2 = 8-2(2)(\frac{1}{2}) = 8-2 = 6$,જેનો અર્થ છે કે $c = \sqrt{6}$.
ત્રિકોણની પરિમિતિ $a+b+c = 2 \sqrt{3}+\sqrt{6}$ છે.

(B) ધારો કે $y = \frac{x-P}{x^2-3x+2}$.
$y$ તમામ વાસ્તવિક કિંમતો ધારણ કરે તે માટે,સમીકરણ $yx^2 - (3y+1)x + (2y+P) = 0$ ને તમામ $y \in \mathbb{R}$ માટે $x$ ના વાસ્તવિક બીજ હોવા જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે વિવેચક $D \geq 0$ હોવો જોઈએ.
$D = (3y+1)^2 - 4y(2y+P) \geq 0$
$y^2 + (6-4P)y + 1 \geq 0$.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ તમામ $y \in \mathbb{R}$ માટે અ-ઋણ રહે તે માટે,તેનો વિવેચક $\leq 0$ હોવો જોઈએ.
$(6-4P)^2 - 4 \leq 0$
$|6-4P| \leq 2$
$1 \leq P \leq 2$.
પરંતુ,જો $P=1$ અથવા $P=2$ હોય,તો $y$ ની કિંમત $0$ મળી શકતી નથી. તેથી $P \neq 1$ અને $P \neq 2$.
આમ,$1 < P < 2$.

(B) આપેલ છે કે તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે,$\left|\frac{x^2+k x+1}{x^2+x+1}\right| < 3$.
આનો અર્થ એ છે કે $-3 < \frac{x^2+k x+1}{x^2+x+1} < 3$.
તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $x^2+x+1 > 0$ હોવાથી,આપણે છેદ વડે ગુણી શકીએ:
$-3(x^2+x+1) < x^2+k x+1 < 3(x^2+x+1)$.
કિસ્સો $1$: $x^2+k x+1 < 3x^2+3x+3 \Rightarrow 2x^2+(3-k)x+2 > 0$.
આ તમામ $x$ માટે સાચું હોવા માટે,વિવેચક $D_1 < 0$ હોવો જોઈએ:
$(3-k)^2 - 4(2)(2) < 0$ $\Rightarrow (3-k)^2 - 16 < 0$ $\Rightarrow (k-3)^2 < 16$.
$-4 < k-3 < 4 \Rightarrow -1 < k < 7$.
કિસ્સો $2$: $x^2+k x+1 > -3x^2-3x-3 \Rightarrow 4x^2+(k+3)x+4 > 0$.
આ તમામ $x$ માટે સાચું હોવા માટે,વિવેચક $D_2 < 0$ હોવો જોઈએ:
$(k+3)^2 - 4(4)(4) < 0$ $\Rightarrow (k+3)^2 - 64 < 0$ $\Rightarrow (k+3)^2 < 64$.
$-8 < k+3 < 8 \Rightarrow -11 < k < 5$.
બંને અંતરાલો $(-1, 7)$ અને $(-11, 5)$ નો છેદ લેતા,આપણને $k \in (-1, 5)$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ધારો કે $y = \frac{x^2+2x+1}{x^2+2x-1}$.
$y(x^2+2x-1) = x^2+2x+1$
$yx^2 + 2xy - y = x^2 + 2x + 1$
$(y-1)x^2 + 2(y-1)x - (y+1) = 0$.
$x$ વાસ્તવિક હોવાથી,વિવેચક $D \geq 0$ (જો $y \neq 1$):
$D = [2(y-1)]^2 - 4(y-1)(-(y+1)) \geq 0$
$4(y-1)^2 + 4(y-1)(y+1) \geq 0$
$4(y-1)[(y-1) + (y+1)] \geq 0$
$4(y-1)(2y) \geq 0$
$8y(y-1) \geq 0$.
આ અસમતા $y \in (-\infty, 0] \cup [1, \infty)$ માટે સાચી છે.
જોકે,જો $y=1$ હોય,તો સમીકરણ $0 = -2$ બને છે,જે અશક્ય છે,તેથી $y \neq 1$.
આમ,વિસ્તાર $y \in (-\infty, 0] \cup (1, \infty)$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$x+y+z=12$ ... $(i)$
$x^2+y^2+z^2=50$ ... $(ii)$
$x^3+y^3+z^3=216$ ... $(iii)$
નિત્યસમ $(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$12^2 = 50 + 2(xy+yz+zx)$
$144 - 50 = 2(xy+yz+zx)$
$xy+yz+zx = 47$
નિત્યસમ $x^3+y^3+z^3-3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx))$ નો ઉપયોગ કરતા:
$216 - 3xyz = 12(50 - 47)$
$216 - 3xyz = 12(3) = 36$
$3xyz = 180 \Rightarrow xyz = 60$
હવે,$x, y, z$ એ ત્રિઘાત સમીકરણ $t^3 - (x+y+z)t^2 + (xy+yz+zx)t - xyz = 0$ ના બીજ છે:
$t^3 - 12t^2 + 47t - 60 = 0$
બીજ ચકાસતા,$t=3$ માટે: $27 - 12(9) + 47(3) - 60 = 27 - 108 + 141 - 60 = 0$. તેથી $(t-3)$ એક અવયવ છે.
$(t-3)(t^2-9t+20) = 0$
$(t-3)(t-4)(t-5) = 0$
બીજ $3, 4, 5$ છે.
$x, y, z$ એ ${3, 4, 5}$ ના કોઈપણ ક્રમચય હોઈ શકે છે,તેથી ઉકેલોની સંખ્યા $3! = 6$ છે.

(D) $x^2+9x+20=0$ ના બીજ $x = -5$ અને $x = -4$ છે.
$x^2+bx+c=0$ ના બીજ $r_3$ અને $r_4$ ધારો.
આપેલ શરત $|\alpha_1-\alpha_3|=8$ અને $|\alpha_2-\alpha_4|=8$ મુજબ,શક્ય બીજની જોડીઓ મેળવતા અને $b = -(r_3+r_4)$ તથા $c = r_3r_4$ ગણતરી કરતા,$b$ અને $c$ ની તમામ શક્ય કિંમતોનો સરવાળો $143$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $p$ અને $q$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2+7x+3=0$ ના બીજ છે.
જેના બીજ $\frac{3p}{1-2p}$ અને $\frac{3q}{1-2q}$ હોય તેવું દ્વિઘાત સમીકરણ શોધવા માટે,$y = \frac{3x}{1-2x}$ લો.
તેથી $y(1-2x) = 3x$ $\Rightarrow y - 2xy = 3x$ $\Rightarrow y = x(3+2y)$ $\Rightarrow x = \frac{y}{3+2y}$.
કારણ કે $x$ એ $x^2+7x+3=0$ નું બીજ છે,તેથી $x = \frac{y}{3+2y}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(\frac{y}{3+2y})^2 + 7(\frac{y}{3+2y}) + 3 = 0$.
$(3+2y)^2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે $y^2 + 7y(3+2y) + 3(3+2y)^2 = 0$.
$y^2 + 21y + 14y^2 + 3(9 + 12y + 4y^2) = 0$.
$15y^2 + 21y + 27 + 36y + 12y^2 = 0$.
$27y^2 + 57y + 27 = 0$.
$3$ વડે ભાગતા,આપણને $9y^2 + 19y + 9 = 0$ મળે છે.
આને $lx^2+mx+n=0$ સાથે સરખાવતા,$l=9, m=19, n=9$ મળે છે.
$9, 19, 9$ નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $1$ છે.
તેથી,$l-m+n = 9 - 19 + 9 = -1$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^4+x^2+1=0$ છે.
સમીકરણમાં માત્ર $x$ ની બેકી ઘાત હોવાથી,જો $x$ એ બીજ હોય,તો $-x$ પણ બીજ થાય.
ધારો કે બીજ $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ છે.
બીજ $\pm x_i$ ની જોડીમાં હોવાથી,આપણે તેમને $\alpha, -\alpha, \gamma, -\gamma$ તરીકે લખી શકીએ.
કોઈપણ એકી ઘાત $n$ માટે,બીજના $n$-ઘાતનો સરવાળો $\alpha^n + (-\alpha)^n + \gamma^n + (-\gamma)^n$ થાય.
જો $n$ એકી હોય,તો $\alpha^n + (-\alpha)^n = \alpha^n - \alpha^n = 0$.
તેથી,$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3+\delta^3 = 0$.
અંશ $0$ હોવાથી અને છેદ $\alpha^6+\beta^6+\gamma^6+\delta^6$ શૂન્યતર હોવાથી,અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(C) ધારો કે $y = \frac{ax^2-2x+3}{2x-3x^2+a}$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $y(2x - 3x^2 + a) = ax^2 - 2x + 3$ મળે છે.
$2xy - 3x^2y + ay = ax^2 - 2x + 3$.
$x^2(a + 3y) - 2x(y + 1) + (3 - ay) = 0$.
$x \in R$ હોવાથી,વિવેચક $D \geq 0$.
$4(y + 1)^2 - 4(a + 3y)(3 - ay) \geq 0$.
$(y^2 + 2y + 1) - (3a - a^2y + 9y - 3ay^2) \geq 0$.
$y^2(3a + 1) + y(a^2 - 7) + (1 - 3a) \geq 0$.
પદાવલિ તમામ વાસ્તવિક મૂલ્યો ધારણ કરે તે માટે,$y$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ તમામ $y \in R$ માટે અન-ઋણ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $y^2$ નો સહગુણક ધન હોવો જોઈએ અને તેનો વિવેચક $\leq 0$ હોવો જોઈએ.
જો કે,આ દ્વિઘાતનો વિવેચક તપાસતા: $(a^2 - 7)^2 - 4(3a + 1)(1 - 3a) = a^4 + 22a^2 + 45$.
બધા $a \in R$ માટે $a^4 + 22a^2 + 45 > 0$ હોવાથી,$D \leq 0$ ની શરત ક્યારેય સંતોષાતી નથી.
આમ,'$a$' ના આવા કોઈ મૂલ્યો નથી.
તેથી,સમૂહ $\phi$ છે.

(C) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ છે.
બીજનો સરવાળો $-\frac{b}{a}$ અને બીજનો ગુણાકાર $\frac{c}{a}$ છે.
જ્યારે અચળ પદ ખોટી રીતે લખવામાં આવે છે,ત્યારે બીજનો સરવાળો બદલાતો નથી કારણ કે સરવાળો ફક્ત $x^2$ અને $x$ ના સહગુણકો પર આધાર રાખે છે.
આપેલ બીજ $5$ અને $9$ છે,તેથી બીજનો સરવાળો $5 + 9 = 14$ થાય.
આમ,$-\frac{b}{a} = 14$,જેનો અર્થ છે કે $b = -14a$.
બીજા વિદ્યાર્થીએ અચળ પદ $c = 12$ અને $x^2$ નો સહગુણક $a = 4$ સાચી રીતે લખ્યો.
$b = -14a$ માં $a = 4$ મૂકતા,આપણને $b = -14(4) = -56$ મળે છે.
સાચું સમીકરણ $4x^2 - 56x + 12 = 0$ છે.
બીજનો સરવાળો $s = -\frac{b}{a} = -\frac{-56}{4} = 14$.
બીજનો ગુણાકાર $p = \frac{c}{a} = \frac{12}{4} = 3$.
વિવેચક $\Delta = b^2 - 4ac = (-56)^2 - 4(4)(12) = 3136 - 192 = 2944$.
અંતે,જરૂરી કિંમતની ગણતરી કરતા: $\frac{\Delta}{3p + s} = \frac{2944}{3(3) + 14} = \frac{2944}{9 + 14} = \frac{2944}{23} = 128$.

(B) ધારો કે $y = \sqrt{\frac{x}{1-x}}$. તો સમીકરણ $y + \frac{1}{y} = \frac{5}{2}$ બને છે.
$2y$ વડે ગુણતા,આપણને $2y^2 - 5y + 2 = 0$ મળે છે,જેનું અવયવીકરણ $(2y-1)(y-2) = 0$ થાય છે.
તેથી $y = 2$ અથવા $y = \frac{1}{2}$.
જો $y = 2$ હોય,તો $\frac{x}{1-x} = 4$ $\Rightarrow x = 4 - 4x$ $\Rightarrow 5x = 4$ $\Rightarrow x = \frac{4}{5}$.
જો $y = \frac{1}{2}$ હોય,તો $\frac{x}{1-x} = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow 4x = 1 - x$ $\Rightarrow 5x = 1$ $\Rightarrow x = \frac{1}{5}$.
$p > q$ આપેલ હોવાથી,$p = \frac{4}{5}$ અને $q = \frac{1}{5}$ મળે.
તેથી $p+q = 1$,$pq = \frac{4}{25}$,અને $\frac{p}{q} = 4$.
બીજું સમીકરણ $1x^4 - \frac{4}{25}x^2 + 4 = 0$ છે,અથવા $25x^4 - 4x^2 + 100 = 0$.
બહુપદી $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\Sigma \alpha = -\frac{b}{a} = 0$.
બે બીજનો ગુણાકારનો સરવાળો $\Sigma \alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{-4}{25}$.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta \gamma \delta = \frac{e}{a} = \frac{100}{25} = 4$.
તેથી,$(\Sigma \alpha)^2 - \Sigma \alpha \beta + \alpha \beta \gamma \delta = (0)^2 - (-\frac{4}{25}) + 4 = \frac{4}{25} + 4 = \frac{4 + 100}{25} = \frac{104}{25}$.