Mix Examples-Quadratic Equations and Inequations Questions in Gujarati

(A) ધારો કે બીજ $\alpha_1 = \sqrt{3}+\sqrt{2}i$ અને $\alpha_2 = \sqrt{3}-\sqrt{2}$ છે.
સહગુણકો સંમેય હોવાથી,$\alpha_1$ ની અનુબદ્ધ સંખ્યા $\bar{\alpha_1} = \sqrt{3}-\sqrt{2}i$ પણ બીજ હોવું જોઈએ.
તેથી,$\alpha_1$ અને $\bar{\alpha_1}$ માટેનો દ્વિઘાત અવયવ $(x^2-2\sqrt{3}x+5)$ છે.
સહગુણકો સંમેય બનાવવા માટે,આપણે તેના અનુબદ્ધ અવયવ સાથે ગુણાકાર કરવો પડે,જે $(x^4-2x^2+25)=0$ આપે છે.
તે જ રીતે,$\alpha_2 = \sqrt{3}-\sqrt{2}$ માટે,ન્યૂનતમ બહુપદી $(x^4-10x^2+1)=0$ મળે છે.
આમ,સંયુક્ત સમીકરણ $(x^4-2x^2+25)(x^4-10x^2+1)=0$ છે.

(A) આપણી પાસે $f(x) = 1-2x-5x^2 = -5(x+\frac{1}{5})^2 + \frac{6}{5}$ છે.
તેથી,મહત્તમ કિંમત $\alpha = \frac{6}{5}$ છે.
વળી,$g(x) = x^2-2x+r = (x-1)^2 + r-1$ છે,તેથી ન્યૂનતમ કિંમત $\beta = r-1$ છે.
અસમતા $6x^2 + (r-1)x + 6 > 0$ માટે,વિવેચક $D < 0$ હોવો જોઈએ.
$(r-1)^2 - 144 < 0 \Rightarrow (r-13)(r+11) < 0$.
તેથી,$r \in (-11, 13)$.

(A) આપેલ પદાવલિ $f(x) = -3x^2 + 6x + 7$ છે.
$ax^2 + bx + c$ સાથે સરખાવતા,$a = -3, b = 6, c = 7$ મળે.
અંતિમ કિંમત $x = \alpha = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{2(-3)} = 1$ આગળ મળે છે.
અંતિમ કિંમત $\beta = f(1) = -3(1)^2 + 6(1) + 7 = 10$ છે.
હવે,સમીકરણ $x^2 + \alpha x - \beta = 0$ એ $x^2 + x - 10 = 0$ બને છે.
ધારો કે બીજ $x_1$ અને $x_2$ છે.
તો $x_1 + x_2 = -1$ અને $x_1x_2 = -10$.
બીજના વર્ગોનો સરવાળો $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$x_1^2 + x_2^2 = (-1)^2 - 2(-10) = 1 + 20 = 21$.

(B) ધારો કે $f(x) = \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$.
આપણે પદને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$f(x) = \frac{(x^2+x+1) - 2x}{x^2+x+1} = 1 - \frac{2x}{x^2+x+1}$.
$f(x)$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,આપણે $\frac{2x}{x^2+x+1}$ પદને મહત્તમ બનાવવું પડશે.
$x$ વાસ્તવિક હોવાથી,વિવેચક $D \geq 0$ લેતા:
$(y+1)^2 - 4(y-1)^2 \geq 0 \implies (3-y)(3y-1) \geq 0$.
આથી,$\frac{1}{3} \leq y \leq 3$.
તેથી,ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{1}{3}$ છે.

(A) આપેલ છે $y = \frac{x^2 + 14x + 9}{x^2 + 2x + 3}$.
$y(x^2 + 2x + 3) = x^2 + 14x + 9$.
$(y - 1)x^2 + 2(y - 7)x + 3y - 9 = 0$.
$x \in R$ હોવાથી,વિવેચક $D \geq 0$.
$4(y - 7)^2 - 4(y - 1)(3y - 9) \geq 0$.
$(y^2 - 14y + 49) - (3y^2 - 12y + 9) \geq 0$.
$-2y^2 - 2y + 40 \geq 0$.
$y^2 + y - 20 \leq 0$.
$(y + 5)(y - 4) \leq 0$.
તેથી,$y \in [-5, 4]$.

(B) દ્વિઘાત પદાવલિ $x^2+bx+5$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $x = -\frac{b}{2}$ પર મળે છે. આ કિંમત મૂકતા,$\alpha = (-\frac{b}{2})^2 + b(-\frac{b}{2}) + 5 = 5 - \frac{b^2}{4}$ મળે છે.
દ્વિઘાત પદાવલિ $-x^2+ax+5$ ની મહત્તમ કિંમત $x = \frac{a}{2}$ પર મળે છે. આ કિંમત મૂકતા,$\beta = -(\frac{a}{2})^2 + a(\frac{a}{2}) + 5 = 5 + \frac{a^2}{4}$ મળે છે.
આપેલ અસમતા $x^2-10x+24 \leq 0$ ને અવયવ પાડતા $(x-4)(x-6) \leq 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $4 \leq x \leq 6$.
આ અંતરાલને $[\alpha, \beta]$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = 4$ અને $\beta = 6$ મળે છે.
પદાવલિઓને સરખાવતા:
$5 - \frac{b^2}{4} = 4$ $\Rightarrow \frac{b^2}{4} = 1$ $\Rightarrow b^2 = 4$.
$5 + \frac{a^2}{4} = 6$ $\Rightarrow \frac{a^2}{4} = 1$ $\Rightarrow a^2 = 4$.
તેથી,$a^2b^2 = 4 \times 4 = 16$.

(D) ધારો કે $y = \frac{x^2+ax+3}{x^2+x+1}$.
તેથી $yx^2 + yx + y = x^2 + ax + 3$,જે સૂચવે છે કે $(y-1)x^2 + (y-a)x + (y-3) = 0$.
$x$ વાસ્તવિક હોય તે માટે વિવેચક $D \geq 0$ હોવો જોઈએ.
$(y-a)^2 - 4(y-1)(y-3) \geq 0$.
$y^2 - 2ay + a^2 - 4(y^2 - 4y + 3) \geq 0$.
$-3y^2 + (16-2a)y + (a^2-12) \geq 0$.
$3y^2 + (2a-16)y + (12-a^2) \leq 0$.
$y$ નો વિસ્તાર $(-\infty, \infty)$ હોય તે માટે,$y$ માં આ દ્વિઘાત અસમતા તમામ $y \in R$ માટે સાચી હોવી જોઈએ,જે ધન અગ્ર સહગુણક $(3 > 0)$ ધરાવતી દ્વિઘાત પદાવલિ માટે અશક્ય છે.
આમ,કોઈ પણ $a$ માટે આ પદાવલિ તમામ વાસ્તવિક કિંમતો ધારણ કરી શકે નહીં.

(D) ધારો કે $y = \frac{9 \cdot 3^{2x} + 6 \cdot 3^x + 4}{9 \cdot 3^{2x} - 6 \cdot 3^x + 4}$.
$t = 3^x$ લેતા,જ્યાં $t > 0$.
તેથી $y = \frac{9t^2 + 6t + 4}{9t^2 - 6t + 4}$.
$y(9t^2 - 6t + 4) = 9t^2 + 6t + 4$.
$9t^2(y - 1) - 6t(y + 1) + 4(y - 1) = 0$.
$t$ વાસ્તવિક હોવાથી,વિવેચક $D \geq 0$.
$D = [-6(y + 1)]^2 - 4 \cdot 9(y - 1) \cdot 4(y - 1) \geq 0$.
$36(y + 1)^2 - 144(y - 1)^2 \geq 0$.
$36$ વડે ભાગતા: $(y + 1)^2 - 4(y - 1)^2 \geq 0$.
$(y + 1 - 2(y - 1))(y + 1 + 2(y - 1)) \geq 0$.
$(-y + 3)(3y - 1) \geq 0$.
$(y - 3)(3y - 1) \leq 0$.
આમ,$\frac{1}{3} \leq y \leq 3$.
તેથી ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{1}{3}$ છે.

(A) ધારો કે $y = \frac{x^2+14x+9}{x^2+2x+3}$.
$x$ વાસ્તવિક હોવાથી,છેદ $x^2+2x+3 = (x+1)^2+2$ હંમેશા ધન છે.
$y(x^2+2x+3) = x^2+14x+9$
$x^2(y-1) + 2x(y-7) + 3y-9 = 0$.
$x$ વાસ્તવિક હોવા માટે,વિવેચક $D \geq 0$ હોવો જોઈએ.
$D = [2(y-7)]^2 - 4(y-1)(3y-9) \geq 0$
$4(y^2-14y+49) - 4(3y^2-12y+9) \geq 0$
$y^2-14y+49 - 3y^2+12y-9 \geq 0$
$-2y^2-2y+40 \geq 0$
$y^2+y-20 \leq 0$
$(y+5)(y-4) \leq 0$.
આમ,$y \in [-5, 4]$.
તેથી મહત્તમ કિંમત $4$ અને ન્યૂનતમ કિંમત $-5$ છે.

(A) આપેલ છે કે $1$ એ $ax^2+bx+c=0$ નું બીજ છે.
$x=1$ મૂકતા,આપણને $a(1)^2+b(1)+c=0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $a+b+c=0$.
આમ,$E_1$ સત્ય છે.
આપેલ છે કે $\sin \theta$ અને $\cos \theta$ એ $ax^2+bx+c=0$ ના બીજ છે.
બીજના સરવાળા અને ગુણાકાર પરથી:
$\sin \theta + \cos \theta = -\frac{b}{a}$ અને $\sin \theta \cos \theta = \frac{c}{a}$.
બીજના સરવાળાનો વર્ગ કરતા:
$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = (-\frac{b}{a})^2$
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{b^2}{a^2}$
$1 + 2(\frac{c}{a}) = \frac{b^2}{a^2}$
$a^2$ વડે ગુણતા:
$a^2 + 2ac = b^2$
$b^2 - a^2 = 2ac$.
આમ,$E_2$ સત્ય છે.
તેથી,$E_1$ અને $E_2$ બંને સત્ય છે.

(B) ધારો કે બીજ $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ છે જેથી $\alpha+\beta=0$,જેનો અર્થ છે $\beta=-\alpha$.
$\alpha$ અને $-\alpha$ બીજ હોવાથી,બહુપદી $(x-\alpha)(x+\alpha) = x^2-\alpha^2$ વડે વિભાજ્ય છે.
ધારો કે અન્ય બે બીજ $\gamma$ અને $\delta$ છે. તો $(x^2-\alpha^2)(x^2-Sx+P) = x^4-Sx^3+(P-\alpha^2)x^2+S\alpha^2x-P\alpha^2 = x^4-x^3-16x^2+4x+48$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$S=1$
$P-\alpha^2=-16$
$S\alpha^2=4$ $\Rightarrow 1 \cdot \alpha^2=4$ $\Rightarrow \alpha^2=4$.
આમ,$\alpha=2, \beta=-2$.
$P-\alpha^2=-16$ પરથી,આપણને $P-4=-16 \Rightarrow P=-12$ મળે છે.
વળી,$-P\alpha^2=48 \Rightarrow -(-12)(4)=48$,જે સુસંગત છે.
$S=\gamma+\delta=1$ અને $P=\gamma\delta=-12$ હોવાથી,$\gamma^2+\delta^2 = (\gamma+\delta)^2-2\gamma\delta = 1^2-2(-12) = 1+24=25$.
તેથી $\gamma^4+\delta^4 = (\gamma^2+\delta^2)^2-2\gamma^2\delta^2 = 25^2-2(-12)^2 = 625-288=337$.
અંતે,$\alpha^4+\beta^4+\gamma^4+\delta^4 = 2^4+(-2)^4+337 = 16+16+337 = 369$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $e^{4t} - 10e^{3t} + 29e^{2t} - 20e^t + 4 = 0$.
ધારો કે $x = e^t$. તો સમીકરણ $x^4 - 10x^3 + 29x^2 - 20x + 4 = 0$ બને છે.
ધારો કે $t$ માં સમીકરણના બીજ $t_1, t_2, t_3, t_4$ છે.
તો $x$ માં સમીકરણના બીજ $x_1 = e^{t_1}, x_2 = e^{t_2}, x_3 = e^{t_3}, x_4 = e^{t_4}$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,બહુપદી $x^4 - 10x^3 + 29x^2 - 20x + 4 = 0$ ના બીજનો ગુણાકાર અચળ પદ જેટલો થાય છે:
$x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot x_4 = 4$.
$e^t$ પાછું મૂકતા:
$e^{t_1} \cdot e^{t_2} \cdot e^{t_3} \cdot e^{t_4} = 4$.
$e^{(t_1 + t_2 + t_3 + t_4)} = 4$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$t_1 + t_2 + t_3 + t_4 = \log_e 4$.
$4 = 2^2$ હોવાથી:
$t_1 + t_2 + t_3 + t_4 = \log_e 2^2 = 2\log_e 2$.

(B) ધારો કે આપેલ સમીકરણ $f(x) = x^4-2ax^3+4bx^2+8ax+16=0$ ના બીજ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ છે.
નવા સમીકરણના બીજ $p\alpha_1, p\alpha_2, p\alpha_3, p\alpha_4$ છે.
તેથી,નવું સમીકરણ $f(\frac{x}{p}) = 0$ થશે.
$\frac{x}{p}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(\frac{x}{p})^4 - 2a(\frac{x}{p})^3 + 4b(\frac{x}{p})^2 + 8a(\frac{x}{p}) + 16 = 0$
$p^4$ વડે ગુણતા:
$x^4 - 2apx^3 + 4bp^2x^2 + 8ap^3x + 16p^4 = 0$
આ એક વ્યસ્ત સમીકરણ હોવાથી,$x^4$ નો સહગુણક અચળ પદ જેટલો હોવો જોઈએ:
$1 = 16p^4$
$p^4 = \frac{1}{16}$
$p^2 = \frac{1}{4} \implies |p| = \frac{1}{2}$

(B) આપેલ છે કે $P(x) = 2x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$ એ $4$ ઘાતવાળી બહુપદી છે જેનો અગ્ર સહગુણક $2$ છે.
આપણે જોઈએ છીએ કે $x = 1, 2, 3, 4$ માટે,$P(x) = x^2 + 3$ થાય છે.
ધારો કે $Q(x) = P(x) - (x^2 + 3)$.
$P(x)$ એ $4$ ઘાતની બહુપદી હોવાથી,$Q(x)$ પણ $4$ ઘાતની બહુપદી છે જેનો અગ્ર સહગુણક $2$ છે.
$P(1)=4, P(2)=7, P(3)=12, P(4)=19$ હોવાથી,$Q(1)=0, Q(2)=0, Q(3)=0, Q(4)=0$ થાય.
તેથી,$Q(x) = 2(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$.
આમ,$P(x) = 2(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) + x^2 + 3$.
$P(5)$ શોધવા માટે,$x = 5$ મૂકતા:
$P(5) = 2(5-1)(5-2)(5-3)(5-4) + (5^2 + 3)$
$P(5) = 2(4)(3)(2)(1) + (25 + 3)$
$P(5) = 2(24) + 28 = 48 + 28 = 76$.

(C) આપેલ સમીકરણ $2x^4-8x^3+3x^2-1=0$ છે.
$x^3$ પદને દૂર કરવા માટે,આપણે $x = y - \frac{a_1}{n a_0}$ રૂપાંતરણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જ્યાં $a_0=2$ અને $a_1=-8$ છે.
અહીં,$h = -\frac{-8}{4 \times 2} = \frac{8}{8} = 1$.
સમીકરણમાં $x = y+1$ મૂકતા:
$2(y+1)^4 - 8(y+1)^3 + 3(y+1)^2 - 1 = 0$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$2(y^4+4y^3+6y^2+4y+1) - 8(y^3+3y^2+3y+1) + 3(y^2+2y+1) - 1 = 0$.
$2y^4 + 8y^3 + 12y^2 + 8y + 2 - 8y^3 - 24y^2 - 24y - 8 + 3y^2 + 6y + 3 - 1 = 0$.
સમાન પદોને ભેગા કરતા:
$2y^4 + (8-8)y^3 + (12-24+3)y^2 + (8-24+6)y + (2-8+3-1) = 0$.
$2y^4 - 9y^2 - 10y - 4 = 0$.
આને $2x^4+bx^2+cx+d=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $b = -9$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $6x^6-25x^5+31x^4-31x^2+25x-6=0$ છે.
આ પ્રથમ પ્રકારનું વ્યસ્ત સમીકરણ (reciprocal equation) છે.
$x=1$ અને $x=-1$ ની કિંમત મૂકતા,આપણે જાણી શકીએ છીએ કે $x=1$ અને $x=-1$ આ સમીકરણના બીજ છે.
ધારો કે બીજ $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6$ છે.
આપેલ છે કે $a_1+a_2 = \frac{5}{2}$.
$1$ અને $-1$ બીજ હોવાથી,ધારો કે $a_3=1$ અને $a_4=-1$.
તમામ બીજનો સરવાળો $-\frac{x^5 \text{ નો સહગુણક}}{x^6 \text{ નો સહગુણક}} = -\frac{-25}{6} = \frac{25}{6}$ થાય.
તેથી,$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6 = \frac{25}{6}$.
જાણીતી કિંમતો મૂકતા: $\frac{5}{2} + 1 - 1 + a_5 + a_6 = \frac{25}{6}$.
$a_5+a_6 = \frac{25}{6} - \frac{5}{2} = \frac{25-15}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.
આ સમીકરણ વ્યસ્ત પ્રકારનું હોવાથી,બીજ જોડીમાં $(r, 1/r)$ મળે છે. $1$ અને $-1$ વાસ્તવિક બીજ છે. બાકીના બીજ $a_1, a_2, a_5, a_6$ અવાસ્તવિક છે.
તમામ અવાસ્તવિક બીજનો સરવાળો $(a_1+a_2) + (a_5+a_6) = \frac{5}{2} + \frac{5}{3} = \frac{15+10}{6} = \frac{25}{6}$ થાય.

(B) આપેલ સમીકરણ $\left(x^4+1\right)=\frac{1}{a}(x+1)^4$ છે.
$a$ વડે ગુણતા,આપણને મળે $a(x^4+1) = (x+1)^4$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $a(x^4+1) = x^4+4x^3+6x^2+4x+1$.
પદોને ગોઠવતા: $(a-1)x^4 - 4x^3 - 6x^2 - 4x + (a-1) = 0$.
કોઈપણ સમીકરણ વ્યસ્ત સમીકરણ ત્યારે જ કહેવાય જ્યારે $x^k$ અને $x^{n-k}$ ના સહગુણકો સમાન હોય.
અહીં,$x^4$ નો સહગુણક $(a-1)$ છે અને અચળ પદ $(a-1)$ છે.
સમીકરણ $4$ ઘાતનું રહે તે માટે $x^4$ નો સહગુણક શૂન્ય ન હોવો જોઈએ,તેથી $a-1 \neq 0$,એટલે કે $a \neq 1$.
આમ,આ સમીકરણ બધા $a \in R - \{1\}$ માટે વ્યસ્ત સમીકરણ છે.

(B) આપેલ છે $x=2+2^{\frac{2}{3}}+2^{\frac{1}{3}}$.
બંને બાજુથી $2$ બાદ કરતા,$x-2=2^{\frac{2}{3}}+2^{\frac{1}{3}}$ મળે.
બંને બાજુ ઘન કરતા,$(x-2)^3 = (2^{\frac{2}{3}}+2^{\frac{1}{3}})^3$.
નિત્યસમ $(a+b)^3 = a^3+b^3+3ab(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x^3-6x^2+12x-8 = (2^{\frac{2}{3}})^3 + (2^{\frac{1}{3}})^3 + 3(2^{\frac{2}{3}})(2^{\frac{1}{3}})(2^{\frac{2}{3}}+2^{\frac{1}{3}})$.
$x^3-6x^2+12x-8 = 4 + 2 + 3(2^1)(x-2)$.
$x^3-6x^2+12x-8 = 6 + 6(x-2)$.
$x^3-6x^2+12x-8 = 6 + 6x - 12$.
$x^3-6x^2+12x-8 = 6x - 6$.
પદોને ગોઠવતા,$x^3-6x^2+6x = 8-6 = 2$ મળે.

(D) આપેલ છે કે $\alpha_1, \beta_1, \gamma_1, \delta_1$ એ $a x^4+b x^3+c x^2+d x+e=0$ ના બીજ છે.
સમીકરણ $e x^4+d x^3+c x^2+b x+a=0$ ના બીજ એ પ્રથમ સમીકરણના બીજના વ્યસ્ત છે.
તેથી,$\alpha_2 = \frac{1}{\delta_1}, \beta_2 = \frac{1}{\gamma_1}, \gamma_2 = \frac{1}{\beta_1}, \delta_2 = \frac{1}{\alpha_1}$.
આપેલ છે $\alpha_1 - \delta_2 = 2 \implies \alpha_1 - \frac{1}{\alpha_1} = 2 \implies \alpha_1^2 - 2\alpha_1 - 1 = 0$.
આપેલ છે $\delta_1 - \alpha_2 = 4 \implies \delta_1 - \frac{1}{\delta_1} = 4 \implies \delta_1^2 - 4\delta_1 - 1 = 0$.
કારણ કે $\alpha_1$ અને $\delta_1$ એ ચતુર્થઘાત સમીકરણના બીજ છે,તેથી દ્વિઘાત અવયવો $(x^2 - 2x - 1)$ અને $(x^2 - 4x - 1)$ છે.
તેથી,$a x^4+b x^3+c x^2+d x+e = (x^2 - 2x - 1)(x^2 - 4x - 1)$.
$a+b+c+d+e$ શોધવા માટે,$x=1$ મૂકતા:
$a(1)^4 + b(1)^3 + c(1)^2 + d(1) + e = (1^2 - 2(1) - 1)(1^2 - 4(1) - 1)$.
$a+b+c+d+e = (-2)(-4) = 8$.

(C) ધારો કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ સમીકરણ $x^3-ax^2+ax-1=0$ ના બીજ છે. \\ વિએટાના સૂત્રો મુજબ: \\ $\alpha+\beta+\gamma = a$ \\ $\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = a$ \\ $\alpha\beta\gamma = 1$. \\ જે સમીકરણના બીજ $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2$ હોય તે સમીકરણ $x^3 - (\alpha^2+\beta^2+\gamma^2)x^2 + (\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2)x - (\alpha\beta\gamma)^2 = 0$ છે. \\ આને $x^3-ax^2+ax-1=0$ સાથે સરખાવતા: \\ $a = \alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = a^2 - 2a$. \\ તેથી,$a^2 - 3a = 0$,જેનો અર્થ છે કે $a(a-3) = 0$. \\ $a$ શૂન્યતર હોવાથી,$a = 3$.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^5+15x^4+94x^3+305x^2+507x+353=0$ છે.
જો સમીકરણના તમામ બીજોને $k$ દ્વારા વધારવામાં આવે,તો રૂપાંતરિત સમીકરણ $x$ ને $(x-k)$ દ્વારા બદલીને મેળવવામાં આવે છે.
રૂપાંતરિત સમીકરણ $(x-k)^5+15(x-k)^4+94(x-k)^3+305(x-k)^2+507(x-k)+353=0$ છે.
$x^4$ પદને દૂર કરવા માટે,$x^4$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$x^4$ નો સહગુણક $\binom{5}{1}(-k) + 15 = -5k + 15$ છે.
$-5k + 15 = 0$ લેતા,આપણને $k = 3$ મળે છે.
હવે,$k=3$ ને રૂપાંતરિત સમીકરણમાં મૂકતા: $(x-3)^5+15(x-3)^4+94(x-3)^3+305(x-3)^2+507(x-3)+353=0$.
$x$ નો સહગુણક નીચે મુજબ છે:
$\binom{5}{4}(-3)^4 + 15 \times \binom{4}{3}(-3)^3 + 94 \times \binom{3}{2}(-3)^2 + 305 \times \binom{2}{1}(-3)^1 + 507$.
$= 5(81) + 15(4 \times -27) + 94(3 \times 9) + 305(2 \times -3) + 507$.
$= 405 - 1620 + 2538 - 1830 + 507 = 0$.
આમ,$x$ નો સહગુણક $0$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^3-7x^2+14x-8=0$ છે. ધારો કે બીજ $k$ જેટલા ઘટાડવામાં આવે છે,તેથી $y = x - k$,જેનો અર્થ છે $x = y + k$.
$x = y + k$ ને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$(y+k)^3 - 7(y+k)^2 + 14(y+k) - 8 = 0$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(y^3 + 3y^2k + 3yk^2 + k^3) - 7(y^2 + 2yk + k^2) + 14(y + k) - 8 = 0$
$y^3 + y^2(3k - 7) + y(3k^2 - 14k + 14) + (k^3 - 7k^2 + 14k - 8) = 0$
આને $y^3 + py - \frac{20}{27} = 0$ સાથે સરખાવતા,$y^2$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$3k - 7 = 0 \Rightarrow k = \frac{7}{3}$
હવે,$y$ ના સહગુણક તરીકે $p$ શોધો:
$p = 3k^2 - 14k + 14$
$p = 3(\frac{7}{3})^2 - 14(\frac{7}{3}) + 14$
$p = 3(\frac{49}{9}) - \frac{98}{3} + 14$
$p = \frac{49}{3} - \frac{98}{3} + \frac{42}{3} = -\frac{7}{3}$

(B) જેના બીજ $-2$ જેટલા સ્થાનાંતરિત હોય તેવી બહુપદી મેળવવા માટે,આપણે મૂળ સમીકરણ $x^5-2x^4+3x^3-4x^2+5x-6=0$ માં $x$ ની જગ્યાએ $(x+2)$ મૂકીશું.
$x \to x+2$ મૂકતા:
$(x+2)^5 - 2(x+2)^4 + 3(x+2)^3 - 4(x+2)^2 + 5(x+2) - 6 = 0$.
દરેક પદનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x^5+10x^4+40x^3+80x^2+80x+32) - 2(x^4+8x^3+24x^2+32x+16) + 3(x^3+6x^2+12x+8) - 4(x^2+4x+4) + 5(x+2) - 6 = 0$.
સમાન પદોને ભેગા કરતા:
$x^5 + 8x^4 + 27x^3 + 46x^2 + 41x + 12 = 0$.

(B) આપેલ છે કે $f(x)=a x^2+b x+c$ અને $GCD(a, b, c)=1$.
જો $\frac{-7+\sqrt{11} i}{6}$ એ $f(x)=0$ નું બીજ હોય,તો તેની અનુબદ્ધ સંખ્યા $\frac{-7-\sqrt{11} i}{6}$ પણ બીજ થાય.
બીજનો સરવાળો $= \frac{-7+\sqrt{11} i}{6} + \frac{-7-\sqrt{11} i}{6} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3} = -\frac{b}{a} \implies \frac{b}{a} = \frac{7}{3}$.
બીજનો ગુણાકાર $= \left(\frac{-7+\sqrt{11} i}{6}\right) \left(\frac{-7-\sqrt{11} i}{6}\right) = \frac{49+11}{36} = \frac{60}{36} = \frac{5}{3} = \frac{c}{a}$.
આમ,$a=3, b=7, c=5$,જે $GCD(3, 7, 5)=1$ નું પાલન કરે છે.
તેથી,$f(x) = 3x^2+7x+5$.
આપેલ છે કે $f\left(\frac{x}{k}\right)-L = (x+4)(3x-5) = 3x^2+7x-20$.
$f\left(\frac{x}{k}\right) = 3\left(\frac{x}{k}\right)^2 + 7\left(\frac{x}{k}\right) + 5$ મુકતા:
$3\frac{x^2}{k^2} + \frac{7x}{k} + 5 - L = 3x^2 + 7x - 20$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$\frac{3}{k^2} = 3 \implies k^2 = 1 \implies k = 1$.
$\frac{7}{k} = 7 \implies k = 1$.
$5 - L = -20 \implies L = 25$.
તેથી,$k=1$ અને $L=25$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2-x+1=0$ છે. તેના બીજ $\alpha = -\omega$ અને $\alpha = -\omega^2$ છે,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે.
$\alpha^2-\alpha+1=0$ હોવાથી,$\alpha+\frac{1}{\alpha} = 1$ મળે.
ધારો કે $S_n = \alpha^n + \frac{1}{\alpha^n}$.
$n=1$ માટે,$S_1 = 1$.
$n=2$ માટે,$S_2 = -1$.
$n=3$ માટે,$S_3 = -2$.
$n=4$ માટે,$S_4 = 1$.
$n=5$ માટે,$S_5 = -1$.
$n=6$ માટે,$S_6 = 2$.
પદો $S_n^3$ છે: $1, -1, -8, 1, -1, 8, 1, -1, -8, 1, -1, 8$.
$12$ પદોનો સરવાળો: $(1-1-8) + (1-1+8) + (1-1-8) + (1-1+8) = 0$.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^2-x+1=0$ છે. $\alpha$ એ બીજ હોવાથી,$\alpha^2-\alpha+1=0$.
$\alpha$ વડે ભાગતા,$\alpha-1+\frac{1}{\alpha}=0$,તેથી $\alpha+\frac{1}{\alpha}=1$.
હવે,$\left(\alpha+\frac{1}{\alpha}\right)^2 = \alpha^2+\frac{1}{\alpha^2}+2 = 1^2 = 1$,જે સૂચવે છે કે $\alpha^2+\frac{1}{\alpha^2} = -1$.
વળી,$\alpha^3+\frac{1}{\alpha^3} = (\alpha+\frac{1}{\alpha})(\alpha^2+\frac{1}{\alpha^2}-1) = (1)(-1-1) = -2$.
$\alpha^4+\frac{1}{\alpha^4}$ માટે,આપણે $(\alpha^2+\frac{1}{\alpha^2})^2 = \alpha^4+\frac{1}{\alpha^4}+2 = (-1)^2 = 1$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ,તેથી $\alpha^4+\frac{1}{\alpha^4} = -1$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$(1)^3 + (-1)^3 + (-2)^3 + (-1)^3 = 1 - 1 - 8 - 1 = -9$.

(B) આપેલ અસમતા $\sqrt{2} \sin^2 x + (3\sqrt{2} + 1) \sin x + 3 > 0$ છે.
અવયવ પાડતા: $(\sqrt{2} \sin x + 1)(\sin x + 3) > 0$.
કારણ કે $\sin x + 3 > 0$ દરેક વાસ્તવિક $x$ માટે સત્ય છે,તેથી $\sqrt{2} \sin x + 1 > 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $\sin x > -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
આ અસમતા $x \in \left(-\frac{\pi}{4} + 2n\pi, \frac{5\pi}{4} + 2n\pi\right)$ માટે સાચી છે.
બીજી અસમતા $x^2 - 7x + 10 < 0$ માટે,અવયવ $(x - 2)(x - 5) < 0$ મળે છે,જેનો ઉકેલ $x \in (2, 5)$ છે.
તેથી,બંનેનો છેદગણ $x \in \left(2, \frac{5\pi}{4}\right)$ મળે છે.

(A) ધારો કે $y = \frac{x^2-2x+1}{x^2+x-1}$.
$y(x^2+x-1) = x^2-2x+1$
$(y-1)x^2 + (y+2)x - (y+1) = 0$.
$x \in \mathbb{R}$ હોવાથી,વિવેચક $D \geq 0$.
$D = (y+2)^2 + 4(y-1)(y+1) \geq 0$
$5y^2 + 4y \geq 0$
$y(5y+4) \geq 0$.
આથી $y \in (-\infty, -\frac{4}{5}] \cup [0, \infty)$.
તેથી,$y$ ની કિંમતો $\left(-\frac{4}{5}, 0\right)$ અંતરાલમાં નથી.

(C) પદાવલિ $2x^2 + 4x + 5 = 2(x^2 + 2x + 1) + 3 = 2(x+1)^2 + 3$. કારણ કે $(x+1)^2 \geq 0$,ન્યૂનતમ કિંમત $3$ $(IV)$ છે.
$(B)$ ધારો કે $y = \frac{x^2 + 4x + 1}{x^2 + x + 1}$. તેથી $y(x^2 + x + 1) = x^2 + 4x + 1 \implies (y-1)x^2 + (y-4)x + (y-1) = 0$. $x$ વાસ્તવિક હોવા માટે,$D \geq 0 \implies (y-4)^2 - 4(y-1)^2 \geq 0 \implies (y+2)(y-2) \leq 0 \implies -2 \leq y \leq 2$. મહત્તમ કિંમત $2$ $(III)$ છે.
$(C)$ અને $(D)$ આપેલ છે $1 \leq \frac{3x^2 - 5x + 6}{x^2 + 1} \leq 2$.
$x^2 + 1 \leq 3x^2 - 5x + 6 \implies 2x^2 - 5x + 5 \geq 0$ (હંમેશા સત્ય કારણ કે $D < 0$).
$3x^2 - 5x + 6 \leq 2x^2 + 2 \implies x^2 - 5x + 4 \leq 0 \implies 1 \leq x \leq 4$.
તેથી $a = 1$ $(II)$ અને $b = 4$ $(V)$.
મેળવણી: $(A)$ $\rightarrow IV, (B)$ $\rightarrow III, (C)$ $\rightarrow V, (D)$ $\rightarrow II$. સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(C) ધારો કે $y = \frac{x^2-x+2}{x^2+x-2}$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે $y(x^2+x-2) = x^2-x+2$.
$yx^2 + yx - 2y = x^2 - x + 2$.
$(y-1)x^2 + (y+1)x - (2y+2) = 0$.
$x$ વાસ્તવિક સંખ્યા હોવા માટે,વિવેચક $D \ge 0$ હોવો જોઈએ.
$D = (y+1)^2 - 4(y-1)(-2y-2) \ge 0$.
$(y+1)^2 + 8(y-1)(y+1) \ge 0$.
$(y+1)[(y+1) + 8(y-1)] \ge 0$.
$(y+1)(y+1+8y-8) \ge 0$.
$(y+1)(9y-7) \ge 0$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $y = -1$ અને $y = \frac{7}{9}$ છે.
અંતરાલો તપાસતા,અસમતા $y \in (-\infty, -1] \cup \left[\frac{7}{9}, \infty\right)$ માટે સાચી છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) ધારો કે $y = \frac{x^2-3x+4}{x^2+3x+4}$.
$y(x^2+3x+4) = x^2-3x+4$
$yx^2 + 3yx + 4y = x^2 - 3x + 4$
$x^2(y-1) + x(3y+3) + (4y-4) = 0$.
$x$ વાસ્તવિક હોવાથી,વિવેચક $D \geq 0$.
$D = (3y+3)^2 - 4(y-1)(4y-4) \geq 0$
$9(y+1)^2 - 16(y-1)^2 \geq 0$
$9(y^2+2y+1) - 16(y^2-2y+1) \geq 0$
$9y^2 + 18y + 9 - 16y^2 + 32y - 16 \geq 0$
$-7y^2 + 50y - 7 \geq 0$
$7y^2 - 50y + 7 \leq 0$
$(7y-1)(y-7) \leq 0$.
આમ,અંતરાલ $[\frac{1}{7}, 7]$ છે.

(D) ધારો કે $f(x) = \frac{x^2-6x+5}{x^2+2x+1}$,જ્યાં $x \in R$.
$y = \frac{x^2-6x+5}{x^2+2x+1}$ લેતા,
$y(x^2+2x+1) = x^2-6x+5$
$(y-1)x^2 + (2y+6)x + (y-5) = 0$.
$x$ વાસ્તવિક હોવાથી,વિવેચક $D \geq 0$ થાય.
$D = (2y+6)^2 - 4(y-1)(y-5) \geq 0$.
$4(y+3)^2 - 4(y^2-6y+5) \geq 0$.
$y^2+6y+9 - y^2+6y-5 \geq 0$.
$12y + 4 \geq 0$.
$12y \geq -4$.
$y \geq -\frac{1}{3}$.
આમ,આપેલ પદાવલિની ન્યૂનતમ કિંમત $-\frac{1}{3}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $x = \frac{1}{2} \left( \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$.
પ્રથમ,$x^2$ ની ગણતરી કરો:
$x^2 = \frac{1}{4} \left( 3 + \frac{1}{3} + 2 \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{9+1+6}{3} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{16}{3} \right) = \frac{4}{3}$.
હવે,$x^2 - 1$ ની ગણતરી કરો:
$x^2 - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$.
તેથી,$\sqrt{x^2 - 1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આ કિંમતોને $\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x - \sqrt{x^2 - 1}}$ પદમાં મૂકતા:
$= \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{1}{2} \left( \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} \right) - \frac{1}{\sqrt{3}}}$
$= \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}}}$
$= \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2\sqrt{3}}}$
$= \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{3 - 1}{2\sqrt{3}}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{2\sqrt{3}}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 1$.

(C) ધારો કે $f(x) = -2x^2 + 3x + 1$.
અંતિમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(x) = -4x + 3$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $-4x + 3 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $x = \frac{3}{4}$.
અંતિમ કિંમત $k = f\left(\frac{3}{4}\right) = -2\left(\frac{3}{4}\right)^2 + 3\left(\frac{3}{4}\right) + 1 = -2\left(\frac{9}{16}\right) + \frac{9}{4} + 1 = -\frac{9}{8} + \frac{18}{8} + \frac{8}{8} = \frac{17}{8}$.
હવે,આપણે $x$ નો એવો ગણ શોધવો છે કે જેના માટે $kx^2 + 2x + 1 > 0$ થાય,જ્યાં $k = \frac{17}{8}$.
$k$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\frac{17}{8}x^2 + 2x + 1 > 0$ મળે છે.
$8$ વડે ગુણતા,$17x^2 + 16x + 8 > 0$ મળે છે.
આ દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક $D = b^2 - 4ac = (16)^2 - 4(17)(8) = 256 - 544 = -288$ છે.
કેમ કે $D < 0$ છે અને $x^2$ નો સહગુણક $(17)$ ધન છે,તેથી દ્વિઘાત પદાવલિ $17x^2 + 16x + 8$ તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે હંમેશા ધન રહેશે.
આમ,ઉકેલ ગણ $(-\infty, \infty)$ છે.

(B) દ્વિઘાત વિધેય $f(x)=ax^2+bx+c$ (જ્યાં $a>0$) ની ન્યૂનતમ કિંમત $-\frac{D}{4a} = \frac{4ac-b^2}{4a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$f(x)=2x^2+\alpha x+8$ માટે,આપણી પાસે $a=2, b=\alpha, c=8$ છે. ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{4(2)(8)-\alpha^2}{4(2)} = \frac{64-\alpha^2}{8}$ છે.
દ્વિઘાત વિધેય $g(x)=ax^2+bx+c$ (જ્યાં $a < 0$) ની મહત્તમ કિંમત $-\frac{D}{4a} = \frac{4ac-b^2}{4a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$g(x)=-3x^2-4x+\alpha^2$ માટે,આપણી પાસે $a=-3, b=-4, c=\alpha^2$ છે. મહત્તમ કિંમત $\frac{4(-3)(\alpha^2)-(-4)^2}{4(-3)} = \frac{-12\alpha^2-16}{-12} = \frac{12\alpha^2+16}{12}$ છે.
બંને કિંમતોને સરખાવતા:
$\frac{64-\alpha^2}{8} = \frac{12\alpha^2+16}{12}$
બંને બાજુ $24$ વડે ગુણતા:
$3(64-\alpha^2) = 2(12\alpha^2+16)$
$192-3\alpha^2 = 24\alpha^2+32$
$160 = 27\alpha^2$
$\alpha^2 = \frac{160}{27}$.
આમ,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.

(C) આપેલ છે કે,$x = \frac{1}{2} \left( \sqrt{7} + \frac{1}{\sqrt{7}} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{7+1}{\sqrt{7}} \right) = \frac{4}{\sqrt{7}}$.
તેથી,$x^2 = \frac{16}{7}$.
માટે,$x^2 - 1 = \frac{16}{7} - 1 = \frac{9}{7}$.
આમ,$\sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{\frac{9}{7}} = \frac{3}{\sqrt{7}}$.
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x - \sqrt{x^2 - 1}} = \frac{\frac{3}{\sqrt{7}}}{\frac{4}{\sqrt{7}} - \frac{3}{\sqrt{7}}} = \frac{\frac{3}{\sqrt{7}}}{\frac{1}{\sqrt{7}}} = 3$.

(D) આપેલ છે કે $\alpha$ એ $x^{2}+3 p^{2} x+5 q^{2}=0$ નું બીજ છે,તેથી $\alpha^{2}+3 p^{2} \alpha+5 q^{2}=0$.
$\beta$ એ $x^{2}+9 p^{2} x+15 q^{2}=0$ નું બીજ છે,તેથી $\beta^{2}+9 p^{2} \beta+15 q^{2}=0$.
ધારો કે $f(x)=x^{2}+6 p^{2} x+10 q^{2}$.
$f(\alpha)$ ની કિંમત શોધતા:
$f(\alpha)=\alpha^{2}+6 p^{2} \alpha+10 q^{2} = (\alpha^{2}+3 p^{2} \alpha+5 q^{2}) + 3 p^{2} \alpha + 5 q^{2} = 3 p^{2} \alpha + 5 q^{2} > 0$.
$f(\beta)$ ની કિંમત શોધતા:
$f(\beta)=\beta^{2}+6 p^{2} \beta+10 q^{2} = (\beta^{2}+9 p^{2} \beta+15 q^{2}) - (3 p^{2} \beta + 5 q^{2}) = -(3 p^{2} \beta + 5 q^{2}) < 0$.
$f(x)$ એ બહુપદી હોવાથી અને $f(\alpha) > 0$ તથા $f(\beta) < 0$ હોવાથી,મધ્યવર્તી મૂલ્ય પ્રમેય મુજબ,$\alpha < \gamma < \beta$ થાય તેવું બીજ $\gamma$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - a(x-1) + b = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 - ax + a + b = 0$ થાય છે.
$\alpha$ અને $\beta$ બીજ હોવાથી:
$\alpha^2 - a\alpha = -(a+b)$
$\beta^2 - a\beta = -(a+b)$
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{1}{-(a+b)} + \frac{1}{-(a+b)} + \frac{2}{a+b} = -\frac{2}{a+b} + \frac{2}{a+b} = 0$.

(C) ધારો કે $y = \frac{x^{2}+2 x+4}{2 x^{2}+4 x+9}$.
$y(2 x^{2}+4 x+9) = x^{2}+2 x+4$.
$2 y x^{2} + 4 y x + 9 y = x^{2} + 2 x + 4$.
$(2 y-1) x^{2} + (4 y-2) x + (9 y-4) = 0$.
$x$ વાસ્તવિક સંખ્યા હોવાથી,વિવેચક $D \geq 0$.
$D = (4 y-2)^{2} - 4(2 y-1)(9 y-4) \geq 0$.
$4(2 y-1)^{2} - 4(2 y-1)(9 y-4) \geq 0$.
$4(2 y-1) [ (2 y-1) - (9 y-4) ] \geq 0$.
$4(2 y-1) (-7 y + 3) \geq 0$.
$(2 y-1) (7 y - 3) \leq 0$.
આ અસમતા $\frac{3}{7} \leq y \leq \frac{1}{2}$ માટે સાચી છે.
તેથી,$y$ ની મહત્તમ કિંમત $\frac{1}{2}$ છે.

(A) $\frac{6a}{5b} + \frac{10b}{3a}$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક $(AM \geq GM)$ અસમતાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
કોઈપણ બે ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ માટે,$x+y \geq 2\sqrt{xy}$ થાય.
ધારો કે $x = \frac{6a}{5b}$ અને $y = \frac{10b}{3a}$.
તેથી,$\frac{6a}{5b} + \frac{10b}{3a} \geq 2 \sqrt{\frac{6a}{5b} \times \frac{10b}{3a}}$.
વર્ગમૂળની અંદરની પદાવલિનું સાદુંરૂપ આપતા:
$\frac{6a}{5b} \times \frac{10b}{3a} = \frac{60}{15} = 4$.
તેથી,$\frac{6a}{5b} + \frac{10b}{3a} \geq 2 \sqrt{4} = 4$.
આમ,ન્યૂનતમ શક્ય કિંમત $4$ છે.

(C) દરેક $n \in \mathbb{N}$ માટે $a^{n} + b^{n} = c^{n} + d^{n}$ આપેલ છે.
$n = 1$ માટે,$a + b = c + d$ મળે છે.
$n = 2$ માટે,$a^{2} + b^{2} = c^{2} + d^{2}$ મળે છે.
આ શરતો પર્યાપ્ત છે કે જેથી ${a, b} = {c, d}$ થાય,જે આપેલ સમીકરણને તમામ $n$ માટે સંતોષે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(D) $1$) સમીકરણ $x^2 - 3x + r = 0$ પરથી,આપણી પાસે $\alpha + \beta = 3$ અને $\alpha\beta = r$ છે.
$2$) સમીકરણ $x^2 + 3x + r = 0$ ના બીજ $\frac{\alpha}{2}$ અને $2\beta$ છે. તેથી,$\frac{\alpha}{2} + 2\beta = -3$ અને $(\frac{\alpha}{2})(2\beta) = r$,જે $\alpha\beta = r$ માં પરિણમે છે. આ સુસંગત છે.
$3$) પ્રથમ સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા,આપણને $\alpha + 4\beta = -6$ મળે છે. તેમાંથી $\alpha + \beta = 3$ બાદ કરતા $3\beta = -9$ મળે,તેથી $\beta = -3$. કિંમત મૂકતા,$\alpha = 6$ મળે છે.
$4$) તેથી $r = \alpha\beta = 6(-3) = -18$.
$5$) સમીકરણ $x^2 + 6x - m = 0$ ના બીજ $x_1 = 2\alpha + \beta + 2r = 2(6) - 3 + 2(-18) = 12 - 3 - 36 = -27$ અને $x_2 = \alpha - 2\beta - \frac{r}{2} = 6 - 2(-3) - \frac{-18}{2} = 6 + 6 + 9 = 21$ છે.
$6$) બીજનો ગુણાકાર $x_1 x_2 = (-27)(21) = -567$ છે. સમીકરણ $x^2 + 6x - m = 0$ હોવાથી,બીજનો ગુણાકાર $-m$ થાય. તેથી,$-m = -567$,જેનો અર્થ છે કે $m = 567$.

(C) ધારો કે $x_1 = \tan A$ અને $x_2 = \tan B$ એ સમીકરણ $x^2 - 2x - 5 = 0$ ના બીજ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી,$x_1 + x_2 = 2$ અને $x_1 x_2 = -5$ મળે.
$\tan(A+B)$ ના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} = \frac{2}{1 - (-5)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2(\frac{A+B}{2}) = \frac{1 - \cos(A+B)}{2}$.
આપેલ છે કે $\tan(A+B) = \frac{1}{3}$,તેથી $\cos(A+B) = \frac{3}{\sqrt{1^2 + 3^2}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$.
આ કિંમતને નિત્યસમમાં મૂકતા: $\sin^2(\frac{A+B}{2}) = \frac{1 - 3/\sqrt{10}}{2} = \frac{\sqrt{10} - 3}{2\sqrt{10}}$.
અંતે,$20 \sin^2(\frac{A+B}{2}) = 20 \times \frac{\sqrt{10} - 3}{2\sqrt{10}} = \frac{10(\sqrt{10} - 3)}{\sqrt{10}} = 10 - 3\sqrt{10}$.

(C) ધારો કે બીજ $a, ar, ar^2, ar^3$ એ $G$.$P$. માં છે.
પ્રથમ સમીકરણ $x^2 - x + p = 0$ પરથી,$\alpha + \beta = a + ar = 1$ અને $\alpha\beta = a(ar) = a^2r = p$ મળે.
બીજા સમીકરણ $x^2 - 4x + q = 0$ પરથી,$\gamma + \delta = ar^2 + ar^3 = r^2(a + ar) = 4$ અને $\gamma\delta = (ar^2)(ar^3) = a^2r^5 = q$ મળે.
$a + ar = 1$ હોવાથી,તેને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $r^2(1) = 4 \implies r^2 = 4 \implies r = \pm 2$.
કિસ્સો $1$: જો $r = 2$ હોય,તો $a(1 + 2) = 1 \implies a = 1/3$. તેથી $p = a^2r = (1/9)(2) = 2/9$,જે પૂર્ણાંક નથી. આ કિસ્સો અમાન્ય છે.
કિસ્સો $2$: જો $r = -2$ હોય,તો $a(1 - 2) = 1 \implies -a = 1 \implies a = -1$.
હવે $p$ અને $q$ ની ગણતરી કરતા: $p = a^2r = (-1)^2(-2) = -2$.
$q = a^2r^5 = (-1)^2(-2)^5 = 1 \times (-32) = -32$.
અંતે,$|p + q| = |-2 + (-32)| = |-34| = 34$.