Conjugate and Modulus of complex numbers Questions in Gujarati

(C) નિરપેક્ષ મૂલ્યો માટે ત્રિકોણ અસમતા મુજબ,આપણી પાસે ગુણધર્મ છે: $||x| - |y|| \leq |x - y| \leq |x| + |y|$.
ચોક્કસપણે,$|x - y| = ||x| - |y||$ એ તમામ વાસ્તવિક $x$ અને $y$ માટે હંમેશા સાચું નથી.
જો કે,નિરપેક્ષ મૂલ્યોના પ્રમાણભૂત ગુણધર્મો તપાસતા:
$1$. $|x + y| \leq |x| + |y|$
$2$. $|x - y| \geq ||x| - |y||$
આપેલા વિકલ્પો જોતા,કોઈ પણ સમાનતા તમામ વાસ્તવિક $x$ અને $y$ માટે સાર્વત્રિક રીતે સાચી નથી.

(D) આપેલ સમીકરણ $(\sqrt{8} + i)^{50} = 3^{49}(a + ib)$ છે.
બંને બાજુ માનાંક લેતા,$|(\sqrt{8} + i)^{50}| = |3^{49}(a + ib)|$ મળે.
ગુણધર્મ $|z^n| = |z|^n$ નો ઉપયોગ કરતા,$|\sqrt{8} + i|^{50} = 3^{49} |a + ib|$ મળે.
$\sqrt{8} + i$ નો માનાંક $\sqrt{(\sqrt{8})^2 + 1^2} = \sqrt{8 + 1} = \sqrt{9} = 3$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,$3^{50} = 3^{49} \sqrt{a^2 + b^2}$ મળે.
બંને બાજુ $3^{49}$ વડે ભાગતા,$3 = \sqrt{a^2 + b^2}$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$a^2 + b^2 = 3^2 = 9$ મળે.

(C) ધારો કે સંકર સંખ્યા $z = x + iy$ છે. તેનો અનુબદ્ધ $\bar{z} = x - iy$ છે.
આપેલ છે કે $\bar{z} = \frac{1}{i - 1} = \frac{1}{-1 + i}$.
$z$ શોધવા માટે,આપણે $\bar{z}$ નો અનુબદ્ધ લઈશું:
$z = \overline{\left(\frac{1}{-1 + i}\right)} = \frac{1}{-1 - i}$.
અંશ અને છેદને $-1$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$z = \frac{-1}{1 + i} = -\frac{1}{i + 1}$.

(C) ધારો કે $z = \frac{\beta - \alpha}{1 - \overline{\alpha}\beta}$.
આપણે $|z|^2 = z \cdot \overline{z} = \left( \frac{\beta - \alpha}{1 - \overline{\alpha}\beta} \right) \left( \frac{\overline{\beta} - \overline{\alpha}}{1 - \alpha\overline{\beta}} \right)$ ગણીએ.
અંશનું વિસ્તરણ કરતા: $(\beta - \alpha)(\overline{\beta} - \overline{\alpha}) = |\beta|^2 - \beta\overline{\alpha} - \alpha\overline{\beta} + |\alpha|^2$.
છેદનું વિસ્તરણ કરતા: $(1 - \overline{\alpha}\beta)(1 - \alpha\overline{\beta}) = 1 - \alpha\overline{\beta} - \overline{\alpha}\beta + |\alpha|^2|\beta|^2$.
$|\beta| = 1$ હોવાથી,$|\beta|^2 = 1$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,અંશ અને છેદ સમાન મળે છે,તેથી $|z|^2 = 1$,એટલે કે $|z| = 1$.

(D) ત્રિકોણ અસમતા મુજબ,$|\lambda_1 a_1 + \lambda_2 a_2 + ... + \lambda_n a_n| \le |\lambda_1 a_1| + |\lambda_2 a_2| + ... + |\lambda_n a_n|$ થાય.
$\lambda_k \ge 0$ હોવાથી,આ $\lambda_1 |a_1| + \lambda_2 |a_2| + ... + \lambda_n |a_n|$ બરાબર થાય.
દરેક $k$ માટે $|a_k| < 1$ આપેલ હોવાથી,$\lambda_k |a_k| < \lambda_k$ થાય.
આ અસમતાઓનો સરવાળો કરતા,$\sum_{k=1}^n \lambda_k |a_k| < \sum_{k=1}^n \lambda_k$ મળે.
$\sum_{k=1}^n \lambda_k = 1$ હોવાથી,$|\lambda_1 a_1 + \lambda_2 a_2 + ... + \lambda_n a_n| < 1$ સાબિત થાય છે.

(A) બહુપદી ${x^3} - 5{x^2} + 9x - 5 = 0$ ના સહગુણકો વાસ્તવિક હોવાથી,સંકર બીજ હંમેશા અનુબદ્ધ જોડીમાં હોય છે.
આપેલ એક બીજ $z_1 = 2 + i$ છે,તેથી બીજું બીજ $z_2 = 2 - i$ થશે.
ધારો કે ત્રીજું બીજ $\alpha$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,બીજનો સરવાળો એ ${x^2}$ ના સહગુણક અને ${x^3}$ ના સહગુણકના ગુણોત્તરની વિરોધી સંખ્યા જેટલો હોય છે.
બીજનો સરવાળો $= z_1 + z_2 + \alpha = -(-5)/1 = 5$.
જાણીતા બીજો મૂકતા: $(2 + i) + (2 - i) + \alpha = 5$.
$4 + \alpha = 5 \Rightarrow \alpha = 1$.
આમ,અન્ય બીજ $1$ અને $2 - i$ છે.

(A) આપેલ છે કે $|z| \geqslant 2$.
આપણે $|z + \frac{1}{2}|$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવી છે.
ત્રિકોણ અસમતા મુજબ,$|z + w| \geqslant ||z| - |w||$.
અહીં,$|z + \frac{1}{2}| \geqslant ||z| - |-\frac{1}{2}|| = ||z| - \frac{1}{2}|$.
કારણ કે $|z| \geqslant 2$,તેથી $|z| - \frac{1}{2}$ ની કિંમત ઓછામાં ઓછી $2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ થાય.
આમ,$|z + \frac{1}{2}| \geqslant \frac{3}{2}$.
જ્યારે $z = -2$ હોય ત્યારે ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{3}{2}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે $|z - \frac{6}{z}| = 5$.
ત્રિકોણ અસમતાના ગુણધર્મ $||z_1| - |z_2|| \leq |z_1 - z_2|$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $|z| - |\frac{6}{z}| \leq |z - \frac{6}{z}|$.
આપેલ કિંમત મૂકતા: $|z| - \frac{6}{|z|} \leq 5$.
ધારો કે $|z| = r$,જ્યાં $r > 0$. તો $r - \frac{6}{r} \leq 5$.
$r$ વડે ગુણતા (કારણ કે $r > 0$): $r^2 - 6 \leq 5r \Rightarrow r^2 - 5r - 6 \leq 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(r - 6)(r + 1) \leq 0$.
$r > 0$ હોવાથી,$r \leq 6$ હોવું જોઈએ.
આમ,$|z|$ ની મહત્તમ કિંમત $6$ છે.

(A) ધારો કે $|z| = r$. આપેલ છે કે $\left| z - \frac{25}{z} \right| = 24$.
ત્રિકોણ અસમતાના ગુણધર્મ $||z_1| - |z_2|| \leq |z_1 - z_2| \leq |z_1| + |z_2|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|z| - \frac{25}{|z|} \leq \left| z - \frac{25}{z} \right| \leq |z| + \frac{25}{|z|}$.
અસમતાની જમણી બાજુથી: $24 \leq r + \frac{25}{r} \implies r^2 - 24r + 25 \geq 0$.
અસમતાની ડાબી બાજુથી: $r - \frac{25}{r} \leq 24 \implies r^2 - 24r - 25 \leq 0$.
$r^2 - 24r - 25 = 0$ ઉકેલતા,આપણને $(r - 25)(r + 1) = 0$ મળે છે. $r > 0$ હોવાથી,$r \leq 25$.
આમ,$|z|$ ની મહત્તમ કિંમત $25$ છે.

(C) આપેલ અસમતા: $\log_{\tan 30^{\circ}} \left( \frac{2|z|^2 + 2|z| - 3}{|z| + 1} \right) < -2$.
અહીં $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ હોવાથી,આધાર $0 < \frac{1}{\sqrt{3}} < 1$ છે.
જ્યારે લઘુગણકનો આધાર $0$ અને $1$ ની વચ્ચે હોય,ત્યારે લઘુગણક દૂર કરતી વખતે અસમતાની નિશાની બદલાય છે:
$\frac{2|z|^2 + 2|z| - 3}{|z| + 1} > (\frac{1}{\sqrt{3}})^{-2}$.
$\frac{2|z|^2 + 2|z| - 3}{|z| + 1} > 3$.
$2|z|^2 + 2|z| - 3 > 3(|z| + 1)$.
$2|z|^2 + 2|z| - 3 > 3|z| + 3$.
$2|z|^2 - |z| - 6 > 0$.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા: $(2|z| + 3)(|z| - 2) > 0$.
$|z| \geq 0$ હોવાથી,$2|z| + 3$ હંમેશા ધન છે.
તેથી,$|z| - 2 > 0$,જેનો અર્થ છે કે $|z| > 2$.

(B) બે સંકર સંખ્યાઓ $z_1 = a + ib$ અને $z_2 = c + id$ એકબીજાની અનુબદ્ધ હોય જો $z_1 = \overline{z_2}$ થાય.
આપેલ છે કે $(x - 2y) + i(3x - y) = \overline{(2x - y) + i(x - y + 6)}$.
તેથી $(x - 2y) + i(3x - y) = (2x - y) - i(x - y + 6)$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા:
વાસ્તવિક ભાગ: $x - 2y = 2x - y \Rightarrow x + y = 0$.
કાલ્પનિક ભાગ: $3x - y = -(x - y + 6)$ $\Rightarrow 3x - y = -x + y - 6$ $\Rightarrow 4x - 2y = -6$ $\Rightarrow 2x - y = -3$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(x + y) + (2x - y) = 0 - 3$ $\Rightarrow 3x = -3$ $\Rightarrow x = -1$.
$x = -1$ ને $x + y = 0$ માં મુકતા,$y = 1$ મળે.
તેથી,$|x + iy| = |-1 + i| = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

(B) ધારો કે $z = x + iy$.
આપેલ સમીકરણ: $|z| + z - 3\bar{z} = 0$.
$z = x + iy$ અને $\bar{z} = x - iy$ મૂકતા:
$\sqrt{x^2 + y^2} + (x + iy) - 3(x - iy) = 0$.
$\sqrt{x^2 + y^2} - 2x + 4iy = 0$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
કાલ્પનિક ભાગ: $4y = 0 \implies y = 0$.
વાસ્તવિક ભાગ: $\sqrt{x^2} - 2x = 0 \implies |x| = 2x$.
જો $x \ge 0$ હોય,તો $x = 2x \implies x = 0$.
જો $x < 0$ હોય,તો $-x = 2x \implies 3x = 0$,જે $x < 0$ સાથે વિરોધાભાસ ધરાવે છે.
આમ,માત્ર એક જ ઉકેલ $z = 0$ મળે છે.

(B) ધારો કે $z = \frac{1 + i \cos \theta}{1 - 2i \cos \theta}$.
$z$ ને વાસ્તવિક સંખ્યા બનાવવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને છેદના અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $1 + 2i \cos \theta$ વડે ગુણીએ:
$z = \frac{(1 + i \cos \theta)(1 + 2i \cos \theta)}{(1 - 2i \cos \theta)(1 + 2i \cos \theta)}$
$z = \frac{1 + 2i \cos \theta + i \cos \theta + 2i^2 \cos^2 \theta}{1 + 4 \cos^2 \theta}$
$i^2 = -1$ હોવાથી:
$z = \frac{1 - 2 \cos^2 \theta + 3i \cos \theta}{1 + 4 \cos^2 \theta}$
$z$ વાસ્તવિક સંખ્યા હોય તે માટે કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\frac{3 \cos \theta}{1 + 4 \cos^2 \theta} = 0$
આનો અર્થ છે કે $\cos \theta = 0$.
$\cos \theta = 0$ માટેનો વ્યાપક ઉકેલ $\theta = (2n + 1)\frac{\pi}{2}$ છે,જ્યાં $n \in I$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(D) આપેલ છે કે,$z_1 = 1+2i$,$z_2 = 3+5i$,અને $\bar{z}_2 = 3-5i$.
અંશની ગણતરી કરતા: $\bar{z}_2 z_1 = (3-5i)(1+2i) = 3 + 6i - 5i - 10i^2 = 3 + i + 10 = 13+i$.
હવે,પદની ગણતરી કરતા: $\frac{\bar{z}_2 z_1}{z_2} = \frac{13+i}{3+5i}$.
અંશ અને છેદને છેદના અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $(3-5i)$ વડે ગુણતા:
$\frac{13+i}{3+5i} \times \frac{3-5i}{3-5i} = \frac{39 - 65i + 3i - 5i^2}{3^2 + 5^2} = \frac{39 - 62i + 5}{9 + 25} = \frac{44 - 62i}{34}$.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{44}{34} - \frac{62}{34}i = \frac{22}{17} - \frac{31}{17}i$.
તેથી,$\text{Re} \left( \frac{\bar{z}_2 z_1}{z_2} \right) = \frac{22}{17}$.

(B) વિધાન $1$ એ બાદબાકી માટે ત્રિકોણીય અસમતા છે,જે દર્શાવે છે કે $|Z_1 - Z_2| \ge ||Z_1| - |Z_2||$,અને કારણ કે $||Z_1| - |Z_2|| \ge |Z_1| - |Z_2|$,તેથી વિધાન $1$ સાચું છે.
વિધાન $2$ એ સરવાળા માટે પ્રમાણભૂત ત્રિકોણીય અસમતા છે,જે સંકર સંખ્યાઓના માનાંકનો મૂળભૂત ગુણધર્મ છે અને તે સાચું છે.
જોકે,વિધાન $2$ એ વિધાન $1$ ની સમજૂતી આપતું નથી કારણ કે તે બંને સંકર સંખ્યાઓના માનાંકના સ્વતંત્ર ગુણધર્મો છે.

(B) સંકર સંખ્યાના માનાંકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા: $\left| z \right|^2 = z \bar{z}$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
${\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} = \left| {{z_1}} \right|^2 + \left| {{z_2}} \right|^2 + z_1\bar{z_2} + z_2\bar{z_1}$.
તે જ રીતે:
${\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2} = \left| {{z_1}} \right|^2 + \left| {{z_2}} \right|^2 - z_1\bar{z_2} - z_2\bar{z_1}$.
આ બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
${\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} + {\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2} = 2\left| {{z_1}} \right|^2 + 2\left| {{z_2}} \right|^2 = 2(\left| {{z_1}} \right|^2 + \left| {{z_2}} \right|^2)$.

(B) ધારો કે $z = x + iy$.
આપેલ છે કે $|z| + z = 3 + i$.
$z = x + iy$ મૂકતા,$\sqrt{x^2 + y^2} + x + iy = 3 + i$ મળે.
કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા,$y = 1$ મળે.
વાસ્તવિક ભાગોની સરખામણી કરતા,$\sqrt{x^2 + 1} + x = 3$ મળે.
$\sqrt{x^2 + 1} = 3 - x$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x^2 + 1 = (3 - x)^2 = 9 - 6x + x^2$.
$1 = 9 - 6x$,જેનો અર્થ છે કે $6x = 8$,તેથી $x = \frac{4}{3}$.
હવે,$|z| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(\frac{4}{3})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{16}{9} + 1} = \sqrt{\frac{25}{9}} = \frac{5}{3}$.

(B) આપેલ છે કે $z = \frac{(1 + i)^2}{a - i} = \frac{2i}{a - i}$.
અંશ અને છેદને અનુબદ્ધ $(a + i)$ વડે ગુણતા,$z = \frac{2i(a + i)}{a^2 + 1} = \frac{-2 + 2ai}{a^2 + 1}$ મળે.
માન $|z| = \frac{|2i|}{|a - i|} = \frac{2}{\sqrt{a^2 + 1}}$.
$|z| = \sqrt{\frac{2}{5}}$ આપેલ હોવાથી,$\frac{2}{\sqrt{a^2 + 1}} = \sqrt{\frac{2}{5}} \implies \frac{4}{a^2 + 1} = \frac{2}{5} \implies a^2 + 1 = 10 \implies a^2 = 9$.
$a > 0$ હોવાથી,$a = 3$ મળે.
$a = 3$ ને $z$ માં મૂકતા,$z = \frac{2i(3 + i)}{3^2 + 1} = \frac{6i - 2}{10} = -\frac{1}{5} + \frac{3}{5}i$.
તેથી અનુબદ્ધ $\bar{z} = -\frac{1}{5} - \frac{3}{5}i$ થાય.

(A) ધારો કે $z = 2-3i$.
$z$ નો ગુણાકારાત્મક વ્યસ્ત $z^{-1} = \frac{1}{z} = \frac{1}{2-3i}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સરળ બનાવવા માટે,અંશ અને છેદને $z$ ના અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $2+3i$ વડે ગુણો:
$z^{-1} = \frac{1(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)}$
નિત્યસમ $(a-bi)(a+bi) = a^2+b^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$z^{-1} = \frac{2+3i}{2^2 + (-3)^2} = \frac{2+3i}{4+9} = \frac{2+3i}{13}$
આમ,$z^{-1} = \frac{2}{13} + \frac{3}{13}i$.

(A) ધારો કે $z = 4 - 3i$.
$z$ નો ગુણાકાર માટેનો વ્યસ્ત $z^{-1} = \frac{1}{z} = \frac{1}{4 - 3i}$ દ્વારા મળે છે.
સરળ બનાવવા માટે,અંશ અને છેદને અનુબદ્ધ $(4 + 3i)$ વડે ગુણો:
$z^{-1} = \frac{1(4 + 3i)}{(4 - 3i)(4 + 3i)}$.
નિત્યસમ $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$z^{-1} = \frac{4 + 3i}{4^2 - (3i)^2} = \frac{4 + 3i}{16 - 9i^2}$.
કારણ કે $i^2 = -1$:
$z^{-1} = \frac{4 + 3i}{16 + 9} = \frac{4 + 3i}{25}$.
આમ,$z^{-1} = \frac{4}{25} + \frac{3}{25}i$.

(A) ધારો કે $z = \sqrt{5} + 3i$.
$z$ નો ગુણાકાર માટેનો વ્યસ્ત $z^{-1} = \frac{1}{z} = \frac{1}{\sqrt{5} + 3i}$ છે.
સરળ બનાવવા માટે,અંશ અને છેદને અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $\sqrt{5} - 3i$ વડે ગુણો:
$z^{-1} = \frac{\sqrt{5} - 3i}{(\sqrt{5} + 3i)(\sqrt{5} - 3i)}$.
નિત્યસમ $(a+bi)(a-bi) = a^2 + b^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$z^{-1} = \frac{\sqrt{5} - 3i}{(\sqrt{5})^2 + 3^2} = \frac{\sqrt{5} - 3i}{5 + 9} = \frac{\sqrt{5} - 3i}{14}$.
આમ,$z^{-1} = \frac{\sqrt{5}}{14} - \frac{3i}{14}$.

(A) ધારો કે $z = \frac{(3-2 i)(2+3 i)}{(1+2 i)(2-i)}$.
અંશનું સાદુરૂપ આપતા: $(3-2 i)(2+3 i) = 6 + 9i - 4i - 6i^2 = 12 + 5i$.
છેદનું સાદુરૂપ આપતા: $(1+2 i)(2-i) = 2 - i + 4i - 2i^2 = 4 + 3i$.
તેથી,$z = \frac{12+5i}{4+3i}$.
છેદની અનુબદ્ધ સંખ્યા $(4-3i)$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$z = \frac{(12+5i)(4-3i)}{(4+3i)(4-3i)} = \frac{48 - 36i + 20i + 15}{16 + 9} = \frac{63 - 16i}{25} = \frac{63}{25} - \frac{16}{25}i$.
$z = a + bi$ ની અનુબદ્ધ સંખ્યા $\bar{z} = a - bi$ થાય.
તેથી,$\frac{63}{25} - \frac{16}{25}i$ ની અનુબદ્ધ સંખ્યા $\frac{63}{25} + \frac{16}{25}i$ છે.

(A) ધારો કે $z = \frac{1}{1+i}$.
અંશ અને છેદને અનુબદ્ધ સંખ્યા $(1-i)$ વડે ગુણતા:
$z = \frac{1(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{1-i}{1^2 - i^2} = \frac{1-i}{1+1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$.
અહીં,વાસ્તવિક ભાગ $x = \frac{1}{2}$ અને કાલ્પનિક ભાગ $y = -\frac{1}{2}$ છે.
માનાંક $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
કોણાંક $\theta$ માટે,$x > 0$ અને $y < 0$ હોવાથી,સંકર સંખ્યા ચોથા ચરણમાં છે.
$\tan \theta = |\frac{y}{x}| = |\frac{-1/2}{1/2}| = |-1| = 1$.
$\theta$ ચોથા ચરણમાં હોવાથી,$\theta = -\tan^{-1}(1) = -\frac{\pi}{4}$.
આમ,માનાંક $\frac{1}{\sqrt{2}}$ અને કોણાંક $-\frac{\pi}{4}$ છે.

(N/A) આપેલ છે કે $x+iy = \frac{a+ib}{a-ib}$.
બંને બાજુ માનાંક લેતા,આપણને મળે $|x+iy| = \left|\frac{a+ib}{a-ib}\right|$.
કારણ કે $|z_1/z_2| = |z_1|/|z_2|$,તેથી $\sqrt{x^2+y^2} = \frac{|a+ib|}{|a-ib|}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|a+ib| = \sqrt{a^2+b^2}$ અને $|a-ib| = \sqrt{a^2+(-b)^2} = \sqrt{a^2+b^2}$.
આમ,$\sqrt{x^2+y^2} = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{a^2+b^2}} = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $x^2+y^2 = 1^2 = 1$.

(N/A) આપેલ છે કે $x-iy = \sqrt{\frac{a-ib}{c-id}}$.
બંને બાજુ માનાંક લેતા,$|x-iy| = \left|\sqrt{\frac{a-ib}{c-id}}\right|$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|z_1/z_2| = |z_1|/|z_2|$ અને $|\sqrt{z}| = \sqrt{|z|}$,તેથી $|x-iy| = \sqrt{\frac{|a-ib|}{|c-id|}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|x-iy| = \sqrt{x^2+y^2}$,$|a-ib| = \sqrt{a^2+b^2}$,અને $|c-id| = \sqrt{c^2+d^2}$.
આ કિંમતો મૂકતા,$\sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{c^2+d^2}}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x^2+y^2 = \sqrt{\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}}$.
ફરીથી વર્ગ કરતા,$(x^2+y^2)^2 = \frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}$.
આમ,સાબિત થાય છે.

(B) આપેલ છે કે $z_{1} = 2 - i$ અને $z_{2} = 1 + i$.
પ્રથમ,અંશની ગણતરી કરો: $z_{1} + z_{2} + 1 = (2 - i) + (1 + i) + 1 = 4$.
ત્યારબાદ,છેદની ગણતરી કરો: $z_{1} - z_{2} + 1 = (2 - i) - (1 + i) + 1 = 2 - i - 1 - i + 1 = 2 - 2i$.
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકો: $\left| \frac{4}{2 - 2i} \right| = \left| \frac{4}{2(1 - i)} \right| = \left| \frac{2}{1 - i} \right|$.
સરળ બનાવવા માટે,અંશ અને છેદને અનુબદ્ધ $(1 + i)$ વડે ગુણો: $\left| \frac{2(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} \right| = \left| \frac{2(1 + i)}{1^2 - i^2} \right|$.
કારણ કે $i^2 = -1$,તેથી $\left| \frac{2(1 + i)}{1 + 1} \right| = \left| \frac{2(1 + i)}{2} \right| = |1 + i|$.
માનાંક $|1 + i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ થાય છે.

(A) આપેલ છે કે $z_{1} = 2 - i$ અને $z_{2} = -2 + i$.
પ્રથમ, ગુણાકાર $z_{1} z_{2} = (2 - i)(-2 + i) = -4 + 2i + 2i - i^{2} = -4 + 4i - (-1) = -3 + 4i$ શોધો.
અનુબદ્ધ સંકરણી $\bar{z}_{1} = 2 + i$ છે.
હવે, પદ $\frac{z_{1} z_{2}}{\bar{z}_{1}} = \frac{-3 + 4i}{2 + i}$ ધ્યાનમાં લો.
સરળ બનાવવા માટે, અંશ અને છેદને છેદની અકરણી $(2 - i)$ વડે ગુણો:
$\frac{(-3 + 4i)(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)} = \frac{-6 + 3i + 8i - 4i^{2}}{2^{2} + 1^{2}} = \frac{-6 + 11i - 4(-1)}{4 + 1} = \frac{-6 + 11i + 4}{5} = \frac{-2 + 11i}{5} = \frac{-2}{5} + \frac{11}{5}i$.
વાસ્તવિક ભાગની સરખામણી કરતા, આપણને $\operatorname{Re}\left(\frac{z_{1} z_{2}}{\bar{z}_{1}}\right) = \frac{-2}{5}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $z_{1} = 2 - i$.
તેથી અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $\bar{z}_{1} = 2 + i$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $z_{1} \bar{z}_{1} = |z_{1}|^2 = (2)^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5$.
તેથી,$\frac{1}{z_{1} \bar{z}_{1}} = \frac{1}{5}$.
$\frac{1}{5}$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા હોવાથી,તેનો કાલ્પનિક ભાગ $0$ થાય.
આમ,$\operatorname{Im}\left(\frac{1}{z_{1} \bar{z}_{1}}\right) = 0$.

(N/A) ધારો કે $z = \frac{1+2i}{1-3i}$.
સરળ બનાવવા માટે,અંશ અને છેદને છેદના અનુબદ્ધ $1+3i$ વડે ગુણો:
$z = \frac{1+2i}{1-3i} \times \frac{1+3i}{1+3i} = \frac{1 + 3i + 2i + 6i^2}{1^2 + 3^2} = \frac{1 + 5i - 6}{1 + 9} = \frac{-5 + 5i}{10} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$.
ધારો કે $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$.
તેથી $r = |z| = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
કોણાંક $\theta$ માટે,$\cos \theta = \frac{-1/2}{1/\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\sin \theta = \frac{1/2}{1/\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
કારણ કે $\cos \theta < 0$ અને $\sin \theta > 0$,$\theta$ એ $II$ ચરણમાં આવેલું છે.
તેથી,$\theta = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
માનાંક $\frac{1}{\sqrt{2}}$ છે અને કોણાંક $\frac{3\pi}{4}$ છે.

(A) ધારો કે $z = (x-iy)(3+5i)$.
$z = 3x + 5xi - 3yi - 5yi^2 = 3x + 5xi - 3yi + 5y = (3x+5y) + i(5x-3y)$.
તેથી,અનુબદ્ધ $\bar{z} = (3x+5y) - i(5x-3y)$.
આપેલ છે કે $\bar{z} = -6 - 24i$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
$3x + 5y = -6$ $(i)$
$5x - 3y = 24$ $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $3$ વડે અને $(ii)$ ને $5$ વડે ગુણતા:
$9x + 15y = -18$
$25x - 15y = 120$
બંનેનો સરવાળો કરતા: $34x = 102$,તેથી $x = 3$.
$x=3$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા: $3(3) + 5y = -6$ $\Rightarrow 9 + 5y = -6$ $\Rightarrow 5y = -15$ $\Rightarrow y = -3$.
આમ,$x=3$ અને $y=-3$ છે.

(C) ધારો કે $z = \frac{1+i}{1-i}-\frac{1-i}{1+i}$.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$z = \frac{(1+i)^2 - (1-i)^2}{(1-i)(1+i)}$
નિત્યસમ $(1+i)^2 = 2i$ અને $(1-i)^2 = -2i$ નો ઉપયોગ કરતા:
$z = \frac{2i - (-2i)}{1 - (-1)} = \frac{4i}{2} = 2i$.
માનાંક $|z| = |2i| = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2$ થાય.

(B) ધારો કે $z = \frac{\beta-\alpha}{1-\bar{\alpha} \beta}.$ આપણે $|z|$ શોધવા માંગીએ છીએ.
$|z|^2 = z \cdot \bar{z} = \left( \frac{\beta-\alpha}{1-\bar{\alpha} \beta} \right) \left( \frac{\bar{\beta}-\bar{\alpha}}{1-\alpha \bar{\beta}} \right)$ લો.
કારણ કે $|\beta|=1,$ આપણી પાસે $\beta \bar{\beta} = |\beta|^2 = 1$ છે,તેથી $\bar{\beta} = \frac{1}{\beta}.$
આ કિંમત મૂકતા,$|z|^2 = \frac{\beta \bar{\beta} - \beta \bar{\alpha} - \alpha \bar{\beta} + \alpha \bar{\alpha}}{1 - \alpha \bar{\beta} - \bar{\alpha} \beta + \alpha \bar{\alpha} \beta \bar{\beta}}.$
$\beta \bar{\beta} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,અંશ $1 - \beta \bar{\alpha} - \alpha \bar{\beta} + |\alpha|^2$ બને છે.
છેદ $1 - \alpha \bar{\beta} - \bar{\alpha} \beta + |\alpha|^2 (1) = 1 - \alpha \bar{\beta} - \bar{\alpha} \beta + |\alpha|^2$ બને છે.
અંશ અને છેદ સમાન હોવાથી,$|z|^2 = 1,$ જેનો અર્થ છે કે $|z| = 1.$

(A) આપેલ સમીકરણ: $|1-i|^{x} = 2^{x}$
માનાંકની ગણતરી કરતા: $|1-i| = \sqrt{1^{2} + (-1)^{2}} = \sqrt{2}$
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $(\sqrt{2})^{x} = 2^{x}$
$\sqrt{2}$ ને $2^{1/2}$ તરીકે લખતા: $(2^{1/2})^{x} = 2^{x}$
ઘાતાંકનું સાદુંરૂપ આપતા: $2^{x/2} = 2^{x}$
ઘાતાંકને સરખાવતા: $\frac{x}{2} = x$
$2$ વડે ગુણતા: $x = 2x$
ગોઠવણી કરતા: $2x - x = 0 \Rightarrow x = 0$
એકમાત્ર પૂર્ણાંક ઉકેલ $x = 0$ છે.
$0$ એ શૂન્યતર પૂર્ણાંક ન હોવાથી,શૂન્યતર પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $0$ છે.

(N/A) આપેલ છે: $(a+ib)(c+id)(e+if)(g+ih)=A+iB$
બંને બાજુ માનાંક લેતા:
$|(a+ib)(c+id)(e+if)(g+ih)| = |A+iB|$
ગુણધર્મ $|z_{1}z_{2}z_{3}z_{4}| = |z_{1}||z_{2}||z_{3}||z_{4}|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|a+ib| \times |c+id| \times |e+if| \times |g+ih| = |A+iB|$
કારણ કે $|x+iy| = \sqrt{x^{2}+y^{2}}$,તેથી:
$\sqrt{a^{2}+b^{2}} \times \sqrt{c^{2}+d^{2}} \times \sqrt{e^{2}+f^{2}} \times \sqrt{g^{2}+h^{2}} = \sqrt{A^{2}+B^{2}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})(e^{2}+f^{2})(g^{2}+h^{2}) = A^{2}+B^{2}$
આમ,સાબિત થાય છે.

(D) ધારો કે $|z| = r$. ત્રિકોણ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા,$||z| - |1/z|| \leq |z - 1/z| \leq |z| + |1/z|$.
આપેલ છે કે $|z - 1/z| = 2$,તેથી $|r - 1/r| \leq 2 \leq r + 1/r$.
અસમતા $|r - 1/r| \leq 2$ લેતા,$-2 \leq r - 1/r \leq 2$.
$r > 0$ હોવાથી,$r - 1/r \leq 2$ પર ધ્યાન આપતા,$r^2 - 2r - 1 \leq 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $r^2 - 2r - 1 = 0$ ઉકેલતા,$r = 1 \pm \sqrt{2}$.
$r = |z| > 0$ હોવાથી,$r$ નો વિસ્તાર $0 < r \leq 1 + \sqrt{2}$ છે.
તેથી,$|z|$ ની મહત્તમ કિંમત $1 + \sqrt{2}$ છે.

(C) આપણને $|\alpha| < 1$ સાથે $w = \frac{z-\alpha}{1-\bar{\alpha}z}$ આપેલ છે.
$|z| < 1$ શરત ધ્યાનમાં લો.
આપણે $|w|^2 = w\bar{w}$ નું મૂલ્ય તપાસીએ.
$|w|^2 = \frac{|z|^2 - z\bar{\alpha} - \bar{z}\alpha + |\alpha|^2}{1 - \bar{z}\alpha - z\bar{\alpha} + |\alpha|^2|z|^2}$.
$|w|^2 - 1 = \frac{-(1 - |z|^2)(1 - |\alpha|^2)}{|1 - \bar{\alpha}z|^2}$.
કારણ કે $|z| < 1$ અને $|\alpha| < 1$,તેથી $(1 - |z|^2) > 0$ અને $(1 - |\alpha|^2) > 0$.
આમ,$|w|^2 - 1 < 0$,જે દર્શાવે છે કે બધા $|z| < 1$ માટે $|w| < 1$ છે.

(B) આપેલ છે $z = \frac{1}{2} - 2i$.
સમીકરણ $|z+1| = \alpha z + \beta(1+i)$ માં $z$ ની કિંમત મૂકતા:
$|(\frac{1}{2} - 2i) + 1| = \alpha(\frac{1}{2} - 2i) + \beta(1+i)$
$|\frac{3}{2} - 2i| = (\frac{\alpha}{2} + \beta) + (\beta - 2\alpha)i$
ડાબી બાજુનું માનાંક શોધતા:
$|\frac{3}{2} - 2i| = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (-2)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + 4} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
કાલ્પનિક ભાગ: $\beta - 2\alpha = 0 \implies \beta = 2\alpha$
વાસ્તવિક ભાગ: $\frac{\alpha}{2} + \beta = \frac{5}{2}$
$\beta = 2\alpha$ ને વાસ્તવિક ભાગના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{\alpha}{2} + 2\alpha = \frac{5}{2}$
$\frac{5\alpha}{2} = \frac{5}{2} \implies \alpha = 1$
તેથી $\beta = 2(1) = 2$.
આમ,$\alpha + \beta = 1 + 2 = 3$.

(B) આપેલ સમીકરણ $z^2 + i\bar{z} = 0$ પરથી,$z^2 = -i\bar{z}$ મળે.
બંને બાજુ માનાંક લેતા,$|z^2| = |-i\bar{z}|$.
$|-i| = 1$ અને $|\bar{z}| = |z|$ હોવાથી,આ $|z|^2 = |z|$ માં પરિણમે છે.
આથી $|z|^2 - |z| = 0$,એટલે કે $|z|(|z| - 1) = 0$.
$xy \neq 0$ હોવાથી,$z \neq 0$,તેથી $|z| \neq 0$. આમ,$|z| = 1$.
તેથી,$|z^2| = |z|^2 = 1^2 = 1$.

(C) ધારો કે $z = 6+8i$. આપણે $\sqrt{z}$ નો માનાંક શોધવો છે.
સંકર સંખ્યાના માનાંકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$|\sqrt{z}| = \sqrt{|z|}$.
પ્રથમ,$z = 6+8i$ નો માનાંક શોધો:
$|z| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.
તેથી,વર્ગમૂળનો માનાંક $\sqrt{|z|} = \sqrt{10}$ થાય.

(B) આપેલ છે $z = \frac{(1+i)^2}{a+i} = \frac{1+i^2+2i}{a+i} = \frac{2i}{a+i}$.
માન $|z| = \left| \frac{2i}{a+i} \right| = \frac{|2i|}{|a+i|} = \frac{2}{\sqrt{a^2+1}}$.
$|z| = \frac{2}{\sqrt{5}}$ આપેલ હોવાથી,$\frac{2}{\sqrt{a^2+1}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ $\Rightarrow a^2+1 = 5$ $\Rightarrow a^2 = 4$.
$a > 0$ હોવાથી,$a = 2$.
$z$ માં $a = 2$ મૂકતા,$z = \frac{2i}{2+i} = \frac{2i(2-i)}{(2+i)(2-i)} = \frac{4i - 2i^2}{4+1} = \frac{2+4i}{5} = \frac{2}{5} + \frac{4}{5}i$.
તેથી,$\bar{z} = \frac{2}{5} - \frac{4}{5}i$.

(D) ધારો કે $z = x + iy$,જ્યાં $x, y \in \mathbb{R}$.
આપેલ છે કે $|z| + z = 3 + i$.
$z = x + iy$ મૂકતા,આપણને મળે $\sqrt{x^2 + y^2} + x + iy = 3 + i$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
$y = 1$ અને $\sqrt{x^2 + y^2} + x = 3$.
બીજા સમીકરણમાં $y = 1$ મૂકતા:
$\sqrt{x^2 + 1} = 3 - x$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$x^2 + 1 = (3 - x)^2 = 9 - 6x + x^2$.
$1 = 9 - 6x$ $\Rightarrow 6x = 8$ $\Rightarrow x = \frac{4}{3}$.
હવે,$|z| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(\frac{4}{3})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{16}{9} + 1} = \sqrt{\frac{25}{9}} = \frac{5}{3}$.

(D) ધારો કે $z = -7 + 24i$,જ્યાં $i = \sqrt{-1}$.
$z$ નો અનુબદ્ધ $\bar{z} = -7 - 24i$ છે.
આપણે $\bar{z}$ ના વર્ગમૂળનું માન શોધવાનું છે,જે $|\sqrt{\bar{z}}|$ છે.
માનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$|\sqrt{\bar{z}}| = \sqrt{|\bar{z}|}$.
$\bar{z}$ નું માન $|\bar{z}| = \sqrt{(-7)^2 + (-24)^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$ છે.
તેથી,$|\sqrt{\bar{z}}| = \sqrt{25} = 5$.

(B) ધારો કે $z = x + iy$,જ્યાં $x, y \in \mathbb{R}$.
આપેલ છે કે $|z| + z = 3 + i$.
$z = x + iy$ મૂકતા,આપણને મળે $\sqrt{x^2 + y^2} + x + iy = 3 + i$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
$1) \sqrt{x^2 + y^2} + x = 3$
$2) y = 1$
પ્રથમ સમીકરણમાં $y = 1$ મૂકતા:
$\sqrt{x^2 + 1} = 3 - x$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$x^2 + 1 = (3 - x)^2$
$x^2 + 1 = 9 - 6x + x^2$
$6x = 8 \implies x = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.
હવે,$|z| = \sqrt{x^2 + y^2} = 3 - x = 3 - \frac{4}{3} = \frac{9 - 4}{3} = \frac{5}{3}$.
આમ,$|z| = \frac{5}{3}$.

(B) આપેલ છે $z = \frac{(1 + i)^2}{a - i}$.
$(1 + i)^2 = 2i$ હોવાથી,$z = \frac{2i}{a - i}$.
અંશ અને છેદને $(a + i)$ વડે ગુણતા:
$z = \frac{2i(a + i)}{a^2 + 1} = \frac{-2 + 2ai}{a^2 + 1}$.
માન $|z| = \sqrt{\frac{4}{a^2 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{a^2 + 1}}$.
$|z| = \sqrt{\frac{2}{5}}$ હોવાથી,$\frac{2}{\sqrt{a^2 + 1}} = \sqrt{\frac{2}{5}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{4}{a^2 + 1} = \frac{2}{5} \Rightarrow a^2 = 9$. $a > 0$ હોવાથી $a = 3$.
તેથી $z = \frac{-2 + 6i}{10} = -\frac{1}{5} + \frac{3}{5}i$.
તેથી અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $\overline{z} = -\frac{1}{5} - \frac{3}{5}i$.

(D) ધારો કે $Z = a + ib$.
તેથી $|Z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.
આપેલ છે કે $|Z| + Z = 2 + i$.
કિંમતો મૂકતા,$\sqrt{a^2 + b^2} + a + ib = 2 + i$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા,$b = 1$ અને $\sqrt{a^2 + b^2} + a = 2$.
$b = 1$ હોવાથી,$\sqrt{a^2 + 1} = 2 - a$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$a^2 + 1 = (2 - a)^2$.
$a^2 + 1 = 4 - 4a + a^2$.
$4a = 3$,તેથી $a = \frac{3}{4}$.
હવે,$|Z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\frac{3}{4})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{9}{16} + 1} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$.

(B) આપેલ છે કે $|z|+z=2+i$.
ધારો કે $z=x+iy$,જ્યાં $x, y \in \mathbb{R}$.
તેથી $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $\sqrt{x^2+y^2}+x+iy=2+i$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
$y=1$ અને $\sqrt{x^2+y^2}+x=2$.
બીજા સમીકરણમાં $y=1$ મૂકતા: $\sqrt{x^2+1}=2-x$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x^2+1=(2-x)^2 = 4-4x+x^2$.
$1=4-4x$ $\Rightarrow 4x=3$ $\Rightarrow x=\frac{3}{4}$.
આમ,$z=\frac{3}{4}+i$.
તેથી,$|z|=\sqrt{(\frac{3}{4})^2+1^2} = \sqrt{\frac{9}{16}+1} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$.

(B) આપેલ છે $Z_1=2+i$ અને $Z_2=3-4i$.
તેમના અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યાઓ $\overline{Z_1}=2-i$ અને $\overline{Z_2}=3+4i$ છે.
આપણે $\frac{\overline{Z_1}}{\overline{Z_2}} = \frac{2-i}{3+4i}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
અંશ અને છેદને છેદના અનુબદ્ધ $(3-4i)$ વડે ગુણતા:
$\frac{2-i}{3+4i} \times \frac{3-4i}{3-4i} = \frac{6-8i-3i+4i^2}{3^2-(4i)^2}$.
કારણ કે $i^2=-1$,તેથી $\frac{6-11i-4}{9+16} = \frac{2-11i}{25} = \frac{2}{25} - \frac{11}{25}i$.
આને $a+bi$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=\frac{2}{25}$ અને $b=\frac{-11}{25}$ મળે છે.
હવે,$-7a+b = -7(\frac{2}{25}) - \frac{11}{25} = \frac{-14-11}{25} = \frac{-25}{25} = -1$.

(A) આપેલ છે $z = \frac{(1+i)^2}{a-i} = \frac{1 + 2i + i^2}{a-i} = \frac{2i}{a-i}$.
બંને બાજુ માનાંક લેતા: $|z| = \left| \frac{2i}{a-i} \right| = \frac{|2i|}{|a-i|} = \frac{2}{\sqrt{a^2 + 1}}$.
આપેલ છે $|z| = \frac{2}{\sqrt{5}}$,તેથી $\frac{2}{\sqrt{a^2 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
આમ,$a^2 + 1 = 5$,જેનો અર્થ છે $a^2 = 4$. $a > 0$ હોવાથી,$a = 2$ મળે.
$a = 2$ ને $z$ માં મૂકતા: $z = \frac{2i}{2-i} = \frac{2i(2+i)}{(2-i)(2+i)} = \frac{4i + 2i^2}{4+1} = \frac{-2 + 4i}{5} = -\frac{2}{5} + \frac{4}{5}i$.
તેથી,અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $\bar{z} = -\frac{2}{5} - \frac{4}{5}i$ થાય.

(A) આપેલ સંકર સંખ્યા ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં છે: $z = 4(\cos 300^{\circ} + i \sin 300^{\circ})$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 300^{\circ} = \cos(360^{\circ} - 60^{\circ}) = \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$.
અને $\sin 300^{\circ} = \sin(360^{\circ} - 60^{\circ}) = -\sin 60^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$z = 4\left(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
$z = 4 \times \frac{1}{2} - 4 \times i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$z = 2 - 2\sqrt{3}i$.

(D) ધારો કે $z = \frac{1+i \sqrt{3}}{\left(1+\frac{1}{i+1}\right)^{2}}$.
પ્રથમ,છેદનું સાદુરૂપ આપતા: $1+\frac{1}{i+1} = \frac{i+1+1}{i+1} = \frac{i+2}{i+1}$.
તેથી,$z = \frac{1+i \sqrt{3}}{\left(\frac{i+2}{i+1}\right)^{2}} = \frac{(1+i \sqrt{3})(i+1)^{2}}{(i+2)^{2}}$.
કારણ કે $(i+1)^{2} = i^{2}+1+2i = 2i$ અને $(i+2)^{2} = i^{2}+4+4i = 3+4i$,તેથી $z = \frac{(1+i \sqrt{3})(2i)}{3+4i} = \frac{2i-2\sqrt{3}}{3+4i}$.
હવે,માનાંક શોધતા: $|z| = \frac{|2i-2\sqrt{3}|}{|3+4i|} = \frac{\sqrt{(-2\sqrt{3})^{2} + 2^{2}}}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}$.
$|z| = \frac{\sqrt{12+4}}{\sqrt{9+16}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}} = \frac{4}{5}$.