Square root, Representation and Logarithm of complex numbers Questions in Gujarati

(C) ધારો કે $\sqrt{3 + \sqrt{5}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$3 + \sqrt{5} = x + y + 2\sqrt{xy}$ મળે.
સરખામણી કરતા,$x + y = 3$ અને $2\sqrt{xy} = \sqrt{5}$,એટલે કે $4xy = 5$,તેથી $xy = \frac{5}{4}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy = 3^2 - 4(\frac{5}{4}) = 9 - 5 = 4$.
તેથી,$x - y = 2$.
$x + y = 3$ અને $x - y = 2$ ઉકેલતા,$x = \frac{5}{2}$ અને $y = \frac{1}{2}$ મળે.
આમ,$\sqrt{3 + \sqrt{5}} = \sqrt{\frac{5}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{2}}$.

(B) આપેલ પદાવલિ $\sqrt{12 - \sqrt{68 + 48\sqrt{2}}}$ છે.
પ્રથમ,અંદરના વર્ગમૂળ $\sqrt{68 + 48\sqrt{2}}$ ને સાદું રૂપ આપો.
નોંધો કે $68 + 48\sqrt{2} = 6^2 + (4\sqrt{2})^2 + 2 \times 6 \times 4\sqrt{2} = (6 + 4\sqrt{2})^2$.
તેથી,$\sqrt{68 + 48\sqrt{2}} = 6 + 4\sqrt{2}$.
આ કિંમત મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $\sqrt{12 - (6 + 4\sqrt{2})} = \sqrt{6 - 4\sqrt{2}}$ મળે છે.
હવે,$6 - 4\sqrt{2}$ ને પૂર્ણ વર્ગ તરીકે દર્શાવો: $6 - 4\sqrt{2} = 2^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \times 2 \times \sqrt{2} = (2 - \sqrt{2})^2$.
તેથી,$\sqrt{6 - 4\sqrt{2}} = \sqrt{(2 - \sqrt{2})^2} = 2 - \sqrt{2}$.

(D) આપેલ પદ: $\sqrt{50} + \sqrt{48} = 5\sqrt{2} + 4\sqrt{3}$.
આપણે $\sqrt{\sqrt{50} + \sqrt{48}}$ શોધવા માંગીએ છીએ.
$(\sqrt{3} + \sqrt{2})$ નો વર્ગ લેતા: $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 = 3 + 2 + 2\sqrt{6} = 5 + 2\sqrt{6}$.
તેથી,$\sqrt{2}(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 = \sqrt{2}(5 + 2\sqrt{6}) = 5\sqrt{2} + 2\sqrt{12} = 5\sqrt{2} + 4\sqrt{3} = \sqrt{50} + \sqrt{48}$.
તેથી,$\sqrt{\sqrt{50} + \sqrt{48}} = \sqrt{\sqrt{2}(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2} = 2^{1/4}(\sqrt{3} + \sqrt{2})$.

(B) $\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{2 + \sqrt{3}}$ ને સરળ બનાવવા માટે,આપણે વર્ગમૂળની અંદર $\sqrt{2}$ વડે ગુણીએ અને ભાગીએ:
$\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{2 + \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{6 + 2\sqrt{5}}{2}} - \sqrt{\frac{4 + 2\sqrt{3}}{2}}$
$= \frac{\sqrt{(\sqrt{5} + 1)^2}}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2}}{\sqrt{2}}$
$= \frac{\sqrt{5} + 1 - \sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}}$
$= \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$
$= \sqrt{\frac{5}{2}} - \sqrt{\frac{3}{2}}$

(D) ધારો કે $x = (9\sqrt{3} + 11\sqrt{2})^{1/3}$.
તેથી $x^3 = 9\sqrt{3} + 11\sqrt{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$.
ધારો કે $a = \sqrt{3}$ અને $b = \sqrt{2}$.
તેથી $a^3 = (\sqrt{3})^3 = 3\sqrt{3}$ અને $b^3 = (\sqrt{2})^3 = 2\sqrt{2}$.
$a^3 + b^3 = 3\sqrt{3} + 2\sqrt{2}$.
$3ab(a + b) = 3(\sqrt{3})(\sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2}) = 3\sqrt{6}(\sqrt{3} + \sqrt{2}) = 3(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}) = 9\sqrt{2} + 6\sqrt{3}$.
આ બંનેનો સરવાળો કરતા,$x^3 = (3\sqrt{3} + 2\sqrt{2}) + (9\sqrt{2} + 6\sqrt{3}) = 9\sqrt{3} + 11\sqrt{2}$.
આમ,$x^3 = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^3$.
તેથી,$x = \sqrt{3} + \sqrt{2}$.

(A) પ્રથમ,અંશ $\sqrt{6 + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{6}}$ ને સરળ બનાવો.
નોંધો કે $(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = 1^2 + (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2 + 2(1)(\sqrt{2}) + 2(1)(\sqrt{3}) + 2(\sqrt{2})(\sqrt{3}) = 6 + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{6}$.
તેથી,$\sqrt{6 + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{6}} = 1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}$.
હવે,છેદ $\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}$ ને સરળ બનાવો.
નોંધો કે $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 = 3 + 2 + 2\sqrt{6} = 5 + 2\sqrt{6}$.
તેથી,$\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા: $\frac{(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}) - 1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = 1$.

(B) $134 + \sqrt{6292}$ નું વર્ગમૂળ શોધવા માટે:
$\sqrt{6292} = 22\sqrt{13}$ થાય.
તેથી,$134 + 22\sqrt{13} = 11^2 + (\sqrt{13})^2 + 2(11)(\sqrt{13}) = (11 + \sqrt{13})^2$.
આમ,$\sqrt{134 + \sqrt{6292}} = 11 + \sqrt{13}$.

(B) ધારો કે $\sqrt{-8 - 6i} = x + iy$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$-8 - 6i = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi$ મળે.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા,$x^2 - y^2 = -8$ $(i)$ અને $2xy = -6$ $(ii)$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(x^2 + y^2)^2 = (x^2 - y^2)^2 + (2xy)^2$.
$(x^2 + y^2)^2 = (-8)^2 + (-6)^2 = 64 + 36 = 100$.
$x^2 + y^2$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી $x^2 + y^2 = 10$ $(iii)$.
$(i)$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા,$2x^2 = 2 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.
$(iii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા,$2y^2 = 18 \implies y^2 = 9 \implies y = \pm 3$.
$(ii)$ પરથી,$2xy = -6$,તેથી $x$ અને $y$ ના ચિહ્નો વિરુદ્ધ હોવા જોઈએ.
આમ,વર્ગમૂળ $\pm(1 - 3i)$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\sqrt{-7 - 24i} = x - iy$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $-7 - 24i = (x - iy)^2 = x^2 - y^2 - 2xyi$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા,$x^2 - y^2 = -7$ અને $2xy = 24$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(x^2 + y^2)^2 = (x^2 - y^2)^2 + (2xy)^2$.
કિંમતો મૂકતા,$(x^2 + y^2)^2 = (-7)^2 + (24)^2 = 49 + 576 = 625$.
વર્ગમૂળ લેતા,$x^2 + y^2 = \sqrt{625} = 25$ (કારણ કે $x^2 + y^2$ ધન હોવું જોઈએ).

(C) આપેલ છે કે $\sqrt{x + iy} = \pm(a + ib)$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x + iy = (a + ib)^2 = a^2 - b^2 + 2iab$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા,$x = a^2 - b^2$ અને $y = 2ab$.
હવે,આપણે $\sqrt{-x - iy} = \sqrt{-(x + iy)}$ શોધવાનું છે.
કિંમતો મૂકતા,$\sqrt{-x - iy} = \sqrt{-(a^2 - b^2 + 2iab)} = \sqrt{b^2 - a^2 - 2iab}$.
વર્ગમૂળની અંદરના પદને $(b - ia)^2 = b^2 + (ia)^2 - 2iab = b^2 - a^2 - 2iab$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$\sqrt{-x - iy} = \sqrt{(b - ia)^2} = \pm(b - ia)$.

(A) ધારો કે $\sqrt{3 - 4i} = x + iy$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$3 - 4i = (x^2 - y^2) + 2ixy$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
$x^2 - y^2 = 3$ અને $2xy = -4$ (તેથી $xy = -2$).
આપણે જાણીએ છીએ કે $(x^2 + y^2)^2 = (x^2 - y^2)^2 + (2xy)^2$.
$(x^2 + y^2)^2 = (3)^2 + (-4)^2 = 9 + 16 = 25$.
તેથી,$x^2 + y^2 = 5$ ($x^2 + y^2 > 0$ હોવાથી).
$x^2 - y^2 = 3$ અને $x^2 + y^2 = 5$ નો સરવાળો કરતા,$2x^2 = 8$,તેથી $x^2 = 4$,એટલે કે $x = \pm 2$.
સમીકરણોની બાદબાકી કરતા,$2y^2 = 2$,તેથી $y^2 = 1$,એટલે કે $y = \pm 1$.
$xy = -2$ (ઋણ) હોવાથી,$x$ અને $y$ ના ચિહ્નો વિરુદ્ધ હોવા જોઈએ.
તેથી,વર્ગમૂળ $\pm (2 - i)$ છે.

(D) આપેલ છે કે $\sqrt{a + ib} = x + iy$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$a + ib = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi$ મળે.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા,$a = x^2 - y^2$ અને $b = 2xy$ મળે.
હવે,$\sqrt{a - ib} = \sqrt{(x^2 - y^2) - 2xyi}$
આને $\sqrt{x^2 + (iy)^2 - 2x(iy)} = \sqrt{(x - iy)^2} = x - iy$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ધારો કે $z = (1 - i)^{-i}$. બંને બાજુ $\log$ લેતા,
$\log z = -i \log(1 - i) = -i \log \left( \sqrt{2} e^{-i\pi/4} \right)$
$= -i \left[ \log \sqrt{2} + \log(e^{-i\pi/4}) \right]$
$= -i \left[ \frac{1}{2} \log 2 - \frac{i\pi}{4} \right]$
$= -\frac{i}{2} \log 2 - \frac{\pi}{4}$
તેથી,$z = e^{-\pi/4} e^{-i(\frac{1}{2} \log 2)}$.
ઓઈલરના સૂત્ર $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$z = e^{-\pi/4} \left[ \cos \left( \frac{1}{2} \log 2 \right) - i \sin \left( \frac{1}{2} \log 2 \right) \right]$.
વાસ્તવિક ભાગ $\text{Re}(z) = e^{-\pi/4} \cos \left( \frac{1}{2} \log 2 \right)$ છે.

(B) ધારો કે $z = i \log \left( \frac{x - i}{x + i} \right)$.
તેથી $\frac{z}{i} = \log \left( \frac{x - i}{x + i} \right)$.
અંશ અને છેદને $(x - i)$ વડે ગુણતા:
$\frac{z}{i} = \log \left( \frac{(x - i)^2}{x^2 + 1} \right) = \log \left( \frac{x^2 - 1 - 2ix}{x^2 + 1} \right) = \log \left( \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} - i \frac{2x}{x^2 + 1} \right)$.
ધ્રુવીય સ્વરૂપ $\log(a + ib) = \log \sqrt{a^2 + b^2} + i \tan^{-1}(\frac{b}{a})$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$ અને $b = \frac{-2x}{x^2 + 1}$:
$\sqrt{a^2 + b^2} = 1$.
તેથી,$\frac{z}{i} = \log(1) + i \tan^{-1} \left( \frac{2x}{1 - x^2} \right) = i(2 \tan^{-1} x)$.
આમ,$z = i^2(2 \tan^{-1} x) = -2 \tan^{-1} x$. લોગેરિધમની શાખાને ધ્યાનમાં લેતા,આ કિંમત $\pi - 2 \tan^{-1} x$ થાય છે.

(A) ધારો કે $\sqrt[3]{61 - 46\sqrt{5}} = x - y\sqrt{5}$.
બંને બાજુ ઘન કરતા,$61 - 46\sqrt{5} = (x - y\sqrt{5})^3$.
નિત્યસમ $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ નો ઉપયોગ કરતા:
$61 - 46\sqrt{5} = x^3 - 3x^2(y\sqrt{5}) + 3x(y\sqrt{5})^2 - (y\sqrt{5})^3$.
$61 - 46\sqrt{5} = x^3 - 3x^2y\sqrt{5} + 15xy^2 - 5y^3\sqrt{5}$.
$61 - 46\sqrt{5} = (x^3 + 15xy^2) - (3x^2y + 5y^3)\sqrt{5}$.
સંમેય અને અસંમેય ભાગોની સરખામણી કરતા:
$x^3 + 15xy^2 = 61$ અને $3x^2y + 5y^3 = 46$.
જો આપણે $x = 1$ અને $y = 2$ લઈએ:
$1^3 + 15(1)(2^2) = 1 + 60 = 61$ (સંતોષાય છે).
$3(1^2)(2) + 5(2^3) = 6 + 40 = 46$ (સંતોષાય છે).
આમ,$\sqrt[3]{61 - 46\sqrt{5}} = 1 - 2\sqrt{5}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sqrt{17 + 12\sqrt{2}} = \sqrt{3^2 + (2\sqrt{2})^2 + 2 \times 3 \times 2\sqrt{2}}$.
આનું સાદું રૂપ $\sqrt{(3 + 2\sqrt{2})^2} = 3 + 2\sqrt{2}$ થાય છે.
તેથી,$\sqrt[4]{17 + 12\sqrt{2}} = \sqrt{3 + 2\sqrt{2}}$.
કારણ કે $3 + 2\sqrt{2} = 2 + 1 + 2\sqrt{2} = (\sqrt{2})^2 + 1^2 + 2\sqrt{2} = (\sqrt{2} + 1)^2$,
તેથી આપણને $\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2} + 1)^2} = \sqrt{2} + 1$ મળે છે.

(B) સૌ પ્રથમ,અંદરના સંયુક્ત કરણી $\sqrt{68 + 48\sqrt{2}}$ નું સાદું રૂપ આપો.
$68 + 48\sqrt{2}$ ને $(6 + 4\sqrt{2})^2$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$\sqrt{68 + 48\sqrt{2}} = 6 + 4\sqrt{2}$.
હવે,મૂળ પદમાં કિંમત મૂકતા: $\sqrt{12 - (6 + 4\sqrt{2})} = \sqrt{6 - 4\sqrt{2}}$.
$\sqrt{6 - 4\sqrt{2}}$ ને $\sqrt{4} - \sqrt{2}$ તરીકે લખી શકાય,જે $2 - \sqrt{2}$ થાય છે.

(D) આપણે $\sqrt{50} + \sqrt{48}$ નું વર્ગમૂળ શોધવાનું છે.
પ્રથમ,પદને સરળ બનાવતા: $\sqrt{50} + \sqrt{48} = 5\sqrt{2} + 4\sqrt{3}$.
$\sqrt{2}$ સામાન્ય લેતા: $\sqrt{2}(5 + 2\sqrt{6})$.
હવે,$5 + 2\sqrt{6} = 3 + 2 + 2\sqrt{3 \times 2} = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$.
તેથી,$\sqrt{\sqrt{50} + \sqrt{48}} = \sqrt{2^{1/2}(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2} = 2^{1/4}(\sqrt{3} + \sqrt{2})$.

(C) ધારો કે પદાવલિ $x = \sqrt{12\sqrt{5} + 2\sqrt{55}}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}$.
અહીં $a + b = 12\sqrt{5}$ અને $ab = 55$ લેતા.
દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - (12\sqrt{5})t + 55 = 0$ ઉકેલતા,આપણને $t = 11\sqrt{5}$ અને $t = \sqrt{5}$ મળે છે.
તેથી,$12\sqrt{5} + 2\sqrt{55} = (\sqrt{11\sqrt{5}} + \sqrt{\sqrt{5}})^2$.
વર્ગમૂળ લેતા,$\sqrt{11\sqrt{5}} + \sqrt{\sqrt{5}} = \sqrt{11} \cdot 5^{1/4} + 5^{1/4} = 5^{1/4}(\sqrt{11} + 1)$.

(D) ધારો કે ઘનમૂળ $(a\sqrt{3} + b\sqrt{2})$ છે.
તેથી,$(a\sqrt{3} + b\sqrt{2})^3 = 9\sqrt{3} + 11\sqrt{2}$.
સાદુરૂપ આપતા,$(3a^3 + 6ab^2)\sqrt{3} + (9a^2b + 2b^3)\sqrt{2} = 9\sqrt{3} + 11\sqrt{2}$.
સરખામણી કરતા,$a=1$ અને $b=1$ મળે છે.
તેથી,જવાબ $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $i = e^{i\pi/2}$.
$z$ ના પદમાં આ કિંમત મૂકતા:
$z = (e^{i\pi/2})^{2i} = e^{(i\pi/2) \times (2i)} = e^{i^2 \pi} = e^{-\pi}$.
$e^{-\pi}$ એ વાસ્તવિક ધન સંખ્યા હોવાથી,તેનો માનાંક $|z| = |e^{-\pi}| = e^{-\pi}$ થાય.

(N/A) ધારો કે $1=r \cos \theta$ અને $\sqrt{3}=r \sin \theta$.
બંને બાજુ વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$r^{2}(\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta)=1^{2}+(\sqrt{3})^{2}$
$r^{2}(1)=1+3=4$
$r=\sqrt{4}=2$ (પરંપરાગત રીતે,$r>0$).
તેથી,$\cos \theta=\frac{1}{2}$ અને $\sin \theta=\frac{\sqrt{3}}{2}$,જે $\theta=\frac{\pi}{3}$ આપે છે.
આમ,જરૂરી ધ્રુવીય સ્વરૂપ $z=2(\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3})$ છે.
સંકર સંખ્યા $z=1+i \sqrt{3}$ ને કાર્તેઝિયન સમતલમાં આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ રજૂ કરવામાં આવે છે.

(A) ધારો કે $z = (3+2 \sqrt{-54})^{1/2} - (3-2 \sqrt{-54})^{1/2}$.
અહીં,$\sqrt{-54} = 3\sqrt{6}i$ છે.
$(3+2\sqrt{-54})^{1/2} = \pm(3+\sqrt{6}i)$ અને $(3-2\sqrt{-54})^{1/2} = \pm(3-\sqrt{6}i)$ મળે છે.
આથી,અભિવ્યક્તિની શક્ય કિંમતો $\pm 2\sqrt{6}i$ અથવા $\pm 6$ છે.
તેથી,કાલ્પનિક ભાગ $2\sqrt{6}$ અથવા $-2\sqrt{6}$ હોઈ શકે છે.

(A) ધારો કે $\sqrt{-5-12i} = a+ib$,જ્યાં $a, b \in \mathbb{R}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(a+ib)^2 = -5-12i$.
$(a^2-b^2) + i(2ab) = -5-12i$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા: $a^2-b^2 = -5$ અને $2ab = -12$,એટલે કે $ab = -6$.
$b = -6/a$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા,$a^2 - (-6/a)^2 = -5$.
$a^2 - 36/a^2 = -5 \implies a^4 + 5a^2 - 36 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(a^2+9)(a^2-4) = 0$.
$a \in \mathbb{R}$ હોવાથી,$a^2 = 4$,તેથી $a = \pm 2$.
જો $a = 2$,તો $b = -6/2 = -3$. જો $a = -2$,તો $b = -6/(-2) = 3$.
આમ,વર્ગમૂળ $\pm(2-3i)$ છે.

(C) ધારો કે $z = 2^{-i}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને મળે છે:
$\log z = \log (2^{-i})$
$\Rightarrow \log z = -i \log 2$
$z = e^{\log z}$ હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$z = e^{-i \log 2} = e^{i \log(1/2)}$
ઓઈલરના સૂત્ર $e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\theta = \log(1/2)$:
$z = \cos(\log(1/2)) + i \sin(\log(1/2))$
$z$ નો વાસ્તવિક ભાગ $\cos(\log(1/2))$ છે.

(A) ધારો કે $z = i^{i}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\ln(z) = i \ln(i)$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $i = e^{i(\pi/2 + 2n\pi)}$. મુખ્ય કિંમત માટે $n=0$ લેતા,$\ln(i) = i\pi/2$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,$\ln(z) = i(i\pi/2) = i^{2}(\pi/2) = -\pi/2$ મળે.
તેથી,$z = e^{-\pi/2}$.
$e^{-\pi/2}$ એ સંપૂર્ણપણે વાસ્તવિક સંખ્યા છે,જેને $e^{-\pi/2} + 0i$ તરીકે લખી શકાય.
આમ,$i^{i}$ નો કાલ્પનિક ભાગ $0$ છે.

(A) ધારો કે $z = \frac{\sqrt{21+12 \sqrt{2} i}}{\sqrt{21-12 \sqrt{2} i}}$.
$21+12 \sqrt{2} i$ નું વર્ગમૂળ શોધતા,$(x+iy)^2 = 21+12 \sqrt{2} i$ લેતા.
$x^2-y^2 = 21$ અને $2xy = 12 \sqrt{2} \implies xy = 6 \sqrt{2}$.
$(x^2+y^2)^2 = 21^2 + (12 \sqrt{2})^2 = 729 \implies x^2+y^2 = 27$.
$x^2 = 24 \implies x = 2 \sqrt{6}$ અને $y^2 = 3 \implies y = \sqrt{3}$.
તેથી,$\sqrt{21+12 \sqrt{2} i} = 2 \sqrt{6} + i \sqrt{3}$ અને $\sqrt{21-12 \sqrt{2} i} = 2 \sqrt{6} - i \sqrt{3}$.
$z = \frac{2 \sqrt{6} + i \sqrt{3}}{2 \sqrt{6} - i \sqrt{3}} = \frac{(2 \sqrt{6} + i \sqrt{3})^2}{24 + 3} = \frac{21 + 12 \sqrt{2} i}{27} = \frac{7}{9} + i \frac{4 \sqrt{2}}{9}$.
અહીં $a = \frac{7}{9}$ અને $b = \frac{4 \sqrt{2}}{9}$.
તેથી,$\frac{b}{a} = \frac{4 \sqrt{2}}{7}$.

(C) ધારો કે $\sqrt{-5-12 i} = x+y i$,જ્યાં $x > 0$.
$-5-12 i = (x+y i)^2 = x^2-y^2+2 x y i$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા: $x^2-y^2 = -5$ અને $2 x y = -12$.
$x^2+y^2 = \sqrt{(-5)^2+(-12)^2} = 13$.
સમીકરણોનો સરવાળો કરતા $2 x^2 = 8$,તેથી $x = 2$ ($x > 0$ હોવાથી).
તેથી $y = -3$. આમ,$\sqrt{-5-12 i} = 2-3 i$.
તે જ રીતે,$\sqrt{5+12 i} = 3+2 i$ અને $\sqrt{-8-6 i} = -1+3 i$.
હવે,$a+b i = \frac{(2-3 i)+(3+2 i)}{-1+3 i} = \frac{5-i}{-1+3 i}$.
અનુબદ્ધ વડે ગુણતા: $\frac{5-i}{-1+3 i} \times \frac{-1-3 i}{-1-3 i} = \frac{-8-14 i}{10} = -0.8-1.4 i$.
તેથી $a = -0.8$ અને $b = -1.4$.
$2 a+b = 2(-0.8)+(-1.4) = -3$.

(A) ધારો કે $\sqrt{7+24 i} = x+iy$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$7+24 i = (x^2-y^2) + 2xyi$ મળે.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા,$x^2-y^2 = 7$ અને $2xy = 24$,એટલે કે $xy = 12$ અથવા $y = \frac{12}{x}$.
$y$ ની કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $x^2 - (\frac{12}{x})^2 = 7 \Rightarrow x^4 - 7x^2 - 144 = 0$.
$u = x^2$ લેતા,$u^2 - 7u - 144 = 0$ મળે. અવયવ પાડતા $(u-16)(u+9) = 0$ મળે.
$x$ વાસ્તવિક હોવાથી,$x^2 = 16$,તેથી $x = \pm 4$.
જો $x = 4$ હોય,તો $y = 3$. જો $x = -4$ હોય,તો $y = -3$.
આમ,વર્ગમૂળ $\pm(4+3i)$ છે.

(A) આપેલ અસમતા: $\log_{\cos^2 \theta} |z - a| > \log_{\cos^2 \theta} |z - ai|$.
અહીં $\cos^2 \theta$ એ લઘુગણકનો આધાર હોવાથી,$\cos^2 \theta \in (0, 1)$ હોવું જોઈએ.
આધાર $0$ અને $1$ ની વચ્ચે હોવાથી,લઘુગણક દૂર કરતી વખતે અસમતા ઉલટાઈ જશે:
$|z - a| < |z - ai|$.
$z = x + iy$ મૂકતા:
$|x + iy - a| < |x + iy - ai|$
$|(x - a) + iy| < |x + i(y - a)|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x - a)^2 + y^2 < x^2 + (y - a)^2$
$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 < x^2 + y^2 - 2ay + a^2$.
બંને બાજુથી $x^2 + y^2 + a^2$ બાદ કરતા:
$-2ax < -2ay$.
$a > 0$ હોવાથી,$-2a$ વડે ભાગતા અસમતા ઉલટાઈ જશે:
$x > y$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $2 \cosh 2x + 10 \sinh 2x = 5$.
વ્યાખ્યાઓ $\cosh 2x = \frac{e^{2x} + e^{-2x}}{2}$ અને $\sinh 2x = \frac{e^{2x} - e^{-2x}}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \left( \frac{e^{2x} + e^{-2x}}{2} \right) + 10 \left( \frac{e^{2x} - e^{-2x}}{2} \right) = 5$
$(e^{2x} + e^{-2x}) + 5(e^{2x} - e^{-2x}) = 5$
$6e^{2x} - 4e^{-2x} = 5$
$e^{2x}$ વડે ગુણતા: $6(e^{2x})^2 - 5e^{2x} - 4 = 0$.
ધારો કે $u = e^{2x}$,તો $6u^2 - 5u - 4 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(3u - 4)(2u + 1) = 0$.
તેથી,$u = \frac{4}{3}$ અથવા $u = -\frac{1}{2}$.
$e^{2x} > 0$ હોવાથી,$e^{2x} = \frac{4}{3}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $2x = \ln \frac{4}{3}$.
તેથી,$x = \frac{1}{2} \ln \frac{4}{3}$.

(C) અહીં પ્રતિ હાઇપરબોલિક વિધેયોના લઘુગણકીય સ્વરૂપોનો ઉપયોગ કરતા:
$\sec h^{-1} x = \log _e\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right)$ અને $\operatorname{cosec} h^{-1} x = \log _e\left(\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}\right)$.
$\sec h^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \log _e(2+\sqrt{3})$ મળે છે.
$\operatorname{cosec} h^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) = \log _e(3)$ મળે છે.
તેથી,$\log _e(2+\sqrt{3}) - \log _e(3) = \log _e\left(\frac{2+\sqrt{3}}{3}\right)$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$.
$x = \log 4$ મૂકતા,આપણને $\cosh(\log 4) = \frac{e^{\log 4} + e^{-\log 4}}{2}$ મળે છે.
કારણ કે $e^{\log 4} = 4$ અને $e^{-\log 4} = e^{\log(4^{-1})} = \frac{1}{4}$,
$\cosh(\log 4) = \frac{4 + \frac{1}{4}}{2} = \frac{\frac{17}{4}}{2} = \frac{17}{8}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે ઇન્વર્સ હાઇપરબોલિક ટેન્જન્ટ અને ઇન્વર્સ ટ્રિગોનોમેટ્રિક ટેન્જન્ટ વિધેય વચ્ચેનો સંબંધ: $\tanh^{-1}(z) = \frac{1}{i} \tan^{-1}(iz)$ છે.
$\tanh^{-1}(iy)$ શોધવા માટે,આપણે સૂત્રમાં $z = iy$ મૂકીએ છીએ:
$\tanh^{-1}(iy) = \frac{1}{i} \tan^{-1}(i(iy))$
કારણ કે $i^2 = -1$,આનું સાદું રૂપ નીચે મુજબ થાય છે:
$\tanh^{-1}(iy) = \frac{1}{i} \tan^{-1}(-y)$
ગુણધર્મ $\tan^{-1}(-y) = -\tan^{-1}(y)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\tanh^{-1}(iy) = \frac{1}{i} (-\tan^{-1}(y)) = -\frac{1}{i} \tan^{-1}(y)$
કારણ કે $\frac{1}{i} = -i$,તેથી $-\frac{1}{i} = i$ થાય.
આમ,$\tanh^{-1}(iy) = i \tan^{-1}(y)$.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(D) ધારો કે $z_1 = 24-70 i$ અને $z_2 = -24+70 i$.
આપણે $\sqrt{z_1} + \sqrt{z_2}$ શોધવાની જરૂર છે.
અહીં $z_2 = -z_1$ છે,તેથી આપણે $\sqrt{z_1} + \sqrt{-z_1}$ શોધી રહ્યા છીએ.
$\sqrt{24-70 i} = \pm(7-5 i)$ અને $\sqrt{-24+70 i} = \pm(5+7 i)$ મળે છે.
સરવાળો કરતા: $\pm(7-5 i) \pm(5+7 i)$.
શક્ય કિંમતો: $12+2 i, 2-12 i, -2+12 i, -12-2 i$.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(C) ધારો કે $Z = \sqrt{-5-12 i} + \sqrt{7+24 i}$.
આપણે સૂત્ર $\sqrt{a+ib} = \pm \left( \sqrt{\frac{|Z|+a}{2}} + i \frac{b}{|b|} \sqrt{\frac{|Z|-a}{2}} \right)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$\sqrt{-5-12 i}$ માટે,$|Z| = \sqrt{(-5)^2 + (-12)^2} = 13$. તેથી,$\sqrt{-5-12 i} = \pm \left( \sqrt{\frac{13-5}{2}} - i \sqrt{\frac{13+5}{2}} \right) = \pm(2-3i)$.
$\sqrt{7+24 i}$ માટે,$|Z| = \sqrt{7^2 + 24^2} = 25$. તેથી,$\sqrt{7+24 i} = \pm \left( \sqrt{\frac{25+7}{2}} + i \sqrt{\frac{25-7}{2}} \right) = \pm(4+3i)$.
આપેલ છે કે $Z = \pm(2-3i) \pm(4+3i)$.
$Z$ માટે શક્ય કિંમતો $(2-3i) + (4+3i) = 6$,$(2-3i) - (4+3i) = -2-6i$,$-(2-3i) + (4+3i) = 2+6i$,અને $-(2-3i) - (4+3i) = -6$ છે.
કારણ કે $k$ એક ઋણ વાસ્તવિક સંખ્યા છે,તેથી $k = -6$.

(C) ધારો કે $z = \sqrt{(-3+4 i)(8+6 i)}$.
પ્રથમ,વર્ગમૂળની અંદરનો ગુણાકાર શોધો:
$(-3+4 i)(8+6 i) = -24 - 18 i + 32 i + 24 i^2$
$i^2 = -1$ હોવાથી,આપણને મળે:
$-24 + 14 i - 24 = -48 + 14 i$.
હવે,આપણે $\sqrt{-48 + 14 i}$ શોધવાનું છે.
ધારો કે $\sqrt{-48 + 14 i} = x + i y$,જ્યાં $x, y \in \mathbb{R}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x + i y)^2 = -48 + 14 i$
$x^2 - y^2 + 2 i x y = -48 + 14 i$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા:
$x^2 - y^2 = -48$ $(1)$
$2 x y = 14 \Rightarrow x y = 7$ $(2)$
$(2)$ પરથી,$y = \frac{7}{x}$. $(1)$ માં મૂકતા:
$x^2 - (\frac{7}{x})^2 = -48$
$x^2 - \frac{49}{x^2} = -48$
$x^4 + 48 x^2 - 49 = 0$
$(x^2 + 49)(x^2 - 1) = 0$.
$x \in \mathbb{R}$ હોવાથી,$x^2 = 1$,તેથી $x = \pm 1$.
જો $x = 1$,તો $y = 7$. જો $x = -1$,તો $y = -7$.
આમ,વર્ગમૂળ $\pm(1 + 7 i)$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$.
ધારો કે $x = \log(3+\sqrt{8})$.
તેથી $e^x = 3+\sqrt{8} = 3+2\sqrt{2} = (\sqrt{2}+1)^2$.
વળી,$e^{-x} = \frac{1}{e^x} = \frac{1}{(\sqrt{2}+1)^2} = (\sqrt{2}-1)^2$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\sinh(x) = \frac{(\sqrt{2}+1)^2 - (\sqrt{2}-1)^2}{2}$.
વર્ગોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(\sqrt{2}+1)^2 = 3+2\sqrt{2}$.
$(\sqrt{2}-1)^2 = 3-2\sqrt{2}$.
$\sinh(x) = \frac{(3+2\sqrt{2}) - (3-2\sqrt{2})}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$.
કારણ કે $2\sqrt{2} = 2^{3/2}$,તેથી સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ છે: $x = \log \left(\cot \left(\frac{\pi}{4} + \theta\right)\right)$
$\theta = \frac{\pi}{12}$ મૂકતા:
$x = \log \left(\cot \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12}\right)\right) = \log \left(\cot \left(\frac{\pi}{3}\right)\right)$
$\cot \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ હોવાથી,$x = \log \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.
તેથી $e^x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ અને $e^{-x} = \sqrt{3}$.
$\cosh x$ ની વ્યાખ્યા મુજબ,$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$.
$\cosh x = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{3}}{2} = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.

(B) આપેલ છે કે $\sinh x = \frac{3}{4}$.
સૂત્ર $\sinh^{-1} z = \log(z + \sqrt{z^2 + 1})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \log(\frac{3}{4} + \sqrt{(\frac{3}{4})^2 + 1}) = \log(\frac{3}{4} + \sqrt{\frac{9}{16} + 1}) = \log(\frac{3}{4} + \frac{5}{4}) = \log(2)$.
આપેલ છે કે $\cosh y = \frac{5}{3}$.
સૂત્ર $\cosh^{-1} z = \log(z + \sqrt{z^2 - 1})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \log(\frac{5}{3} + \sqrt{(\frac{5}{3})^2 - 1}) = \log(\frac{5}{3} + \sqrt{\frac{25}{9} - 1}) = \log(\frac{5}{3} + \frac{4}{3}) = \log(3)$.
તેથી,$x + y = \log 2 + \log 3 = \log(2 \times 3) = \log 6$.

(D) આપેલ છે કે,$\cosh ^{-1} x = 2 \log _e(\sqrt{2}+1)$.
લઘુગણકના ગુણધર્મ $n \log a = \log a^n$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cosh ^{-1} x = \log _e(\sqrt{2}+1)^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cosh ^{-1} x = \log _e(x + \sqrt{x^2-1})$.
તેથી,$\log _e(x + \sqrt{x^2-1}) = \log _e(2 + 1 + 2\sqrt{2}) = \log _e(3 + 2\sqrt{2})$.
બંને બાજુ સરખાવતા,$x + \sqrt{x^2-1} = 3 + 2\sqrt{2}$.
જો $x = 3$ લઈએ,તો $\sqrt{x^2-1} = \sqrt{9-1} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
આમ,$3 + 2\sqrt{2} = 3 + 2\sqrt{2}$,જે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
તેથી,$x = 3$.

(A) આપણે પ્રતિ હાયપરબોલિક વિધેયોની લઘુગણકીય વ્યાખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\sinh^{-1}(x) = \log(x + \sqrt{x^2+1})$
$\operatorname{cosech}^{-1}(x) = \log\left(\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2}+1}\right)$
$\coth^{-1}(x) = \frac{1}{2} \log\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$
$x = -2$ મૂકતા:
$\sinh^{-1}(-2) = \log(-2 + \sqrt{5})$
$\operatorname{cosech}^{-1}(-2) = \log\left(-\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{1}{4}+1}\right) = \log\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)$
$\coth^{-1}(-2) = \frac{1}{2} \log\left(\frac{-2+1}{-2-1}\right) = \frac{1}{2} \log\left(\frac{-1}{-3}\right) = \frac{1}{2} \log\left(\frac{1}{3}\right) = \log\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$
આનો સરવાળો કરતા:
$\log(-2 + \sqrt{5}) + \log\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) + \log\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \log\left[(-2 + \sqrt{5}) \cdot \left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\right]$
$= \log\left[\frac{-2\sqrt{5} + 2 + 5 - \sqrt{5}}{2\sqrt{3}}\right] = \log\left(\frac{7-3\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}\right)$

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ઇન્વર્સ હાઇપરબોલિક સાઇન વિધેયનું સૂત્ર $\sinh^{-1}(x) = \log\{x + \sqrt{x^2 + 1\}}$ છે.
સૂત્રમાં $x = 2^{3/2}$ મૂકતા:
$\sinh^{-1}(2^{3/2}) = \log\{2^{3/2} + \sqrt{(2^{3/2})^2 + 1\}}$.
અહીં $2^{3/2} = \sqrt{2^3} = \sqrt{8}$ હોવાથી:
$\sinh^{-1}(2^{3/2}) = \log\{\sqrt{8} + \sqrt{8 + 1\}}$.
$= \log\{\sqrt{8} + \sqrt{9\}}$.
$= \log\{3 + \sqrt{8\}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) અમે પ્રતિ-હાયપરબોલિક વિધેયોની લઘુગણકીય વ્યાખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\sinh^{-1}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2+1})$
$\cosh^{-1}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2-1})$
$\tanh^{-1}(x) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$
$\coth^{-1}(x) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$
કિંમતો મૂકતા:
$\sinh^{-1}(2) = \ln(2 + \sqrt{5})$
$\cosh^{-1}(2) = \ln(2 + \sqrt{3})$
$\tanh^{-1}\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1+2/3}{1-2/3}\right) = \frac{1}{2} \ln(5)$
$\coth^{-1}(-2) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{-2+1}{-2-1}\right) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{-1}{-3}\right) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{2} \ln(3)$
હવે,તેમનો સરવાળો કરતા:
$\ln(2+\sqrt{5}) + \ln(2+\sqrt{3}) - \frac{1}{2} \ln(5) - \frac{1}{2} \ln(3)$
$= \ln((2+\sqrt{5})(2+\sqrt{3})) - \frac{1}{2} \ln(15)$
$= \ln((2+\sqrt{5})(2+\sqrt{3})) - \ln(\sqrt{15})$
$= \ln\left(\frac{(2+\sqrt{5})(2+\sqrt{3})}{\sqrt{15}}\right)$
$= \ln\left(\frac{(2+\sqrt{5})(2+\sqrt{3}) \sqrt{3}}{\sqrt{5}}\right)$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપણે $\operatorname{sech}^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)-\tanh ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પ્રથમ,આપણે નિત્યસમ $\operatorname{sech}^{-1}(x) = \cosh^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
તેથી,$\operatorname{sech}^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) = \cosh^{-1}\left(\frac{5}{3}\right)$.
લોગેરિધમિક સ્વરૂપ $\cosh^{-1}(x) = \log_e(x + \sqrt{x^2 - 1})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cosh^{-1}\left(\frac{5}{3}\right) = \log_e\left(\frac{5}{3} + \sqrt{\frac{25}{9} - 1}\right) = \log_e\left(\frac{5}{3} + \sqrt{\frac{16}{9}}\right) = \log_e\left(\frac{5}{3} + \frac{4}{3}\right) = \log_e(3)$.
આગળ,આપણે નિત્યસમ $\tanh^{-1}(x) = \frac{1}{2} \log_e\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
તેથી,$\tanh^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) = \frac{1}{2} \log_e\left(\frac{1 + 3/5}{1 - 3/5}\right) = \frac{1}{2} \log_e\left(\frac{8/5}{2/5}\right) = \frac{1}{2} \log_e(4) = \frac{1}{2} \log_e(2^2) = \log_e(2)$.
છેલ્લે,બંને કિંમતોની બાદબાકી કરતા:
$\operatorname{sech}^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) - \tanh^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) = \log_e(3) - \log_e(2) = \log_e\left(\frac{3}{2}\right)$.

(C) આપેલ પદ: $\sqrt{12-\sqrt{68+48 \sqrt{2}}}$
પ્રથમ,અંદરના વર્ગમૂળનું સાદું રૂપ આપો: $\sqrt{68+48 \sqrt{2}} = \sqrt{68+2 \times 24 \sqrt{2}} = \sqrt{68+2 \times 6 \times 4 \sqrt{2}}$
કારણ કે $(6)^2 + (4 \sqrt{2})^2 = 36 + 32 = 68$,તેથી $\sqrt{68+48 \sqrt{2}} = \sqrt{(6+4 \sqrt{2})^2} = 6+4 \sqrt{2}$
આ કિંમત મૂકતા: $\sqrt{12-(6+4 \sqrt{2})} = \sqrt{6-4 \sqrt{2}}$
હવે,$6-4 \sqrt{2}$ ને પૂર્ણવર્ગ તરીકે દર્શાવો: $6-4 \sqrt{2} = 4 + 2 - 2 \times 2 \times \sqrt{2} = (2)^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \times 2 \times \sqrt{2} = (2-\sqrt{2})^2$
તેથી,$\sqrt{6-4 \sqrt{2}} = \sqrt{(2-\sqrt{2})^2} = 2-\sqrt{2}$