Conjugate and Modulus of complex numbers Questions in Gujarati

(A) સંકર સંખ્યાને સરળ બનાવવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને છેદના અનુબદ્ધ $(1+i)$ વડે ગુણીએ છીએ:
$\frac{1+2i}{1-i} \times \frac{1+i}{1+i} = \frac{1+i+2i+2i^2}{1^2-i^2}$
કારણ કે $i^2 = -1$,તેથી:
$\frac{1+3i-2}{1-(-1)} = \frac{-1+3i}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2}i$
વાસ્તવિક ભાગ $-\frac{1}{2}$ (ઋણ) છે અને કાલ્પનિક ભાગ $\frac{3}{2}$ (ધન) છે.
ઋણ વાસ્તવિક ભાગ અને ધન કાલ્પનિક ભાગ ધરાવતી સંકર સંખ્યા બીજા ચરણમાં આવેલી હોય છે.

(C) ધારો કે $z = \frac{(1+i)^2(1+3 i)}{(2-6 i)(2-2 i)}$.
માનાંકના ગુણધર્મ $|\frac{z_1 z_2}{z_3 z_4}| = \frac{|z_1| |z_2|}{|z_3| |z_4|}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|z| = \frac{|1+i|^2 |1+3i|}{|2-6i| |2-2i|}$
$|1+i| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$,તેથી $|1+i|^2 = 2$.
$|1+3i| = \sqrt{1^2+3^2} = \sqrt{10}$.
$|2-6i| = \sqrt{2^2+(-6)^2} = \sqrt{4+36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$.
$|2-2i| = \sqrt{2^2+(-2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$|z| = \frac{2 \times \sqrt{10}}{2\sqrt{10} \times 2\sqrt{2}} = \frac{2}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

(C) ધારો કે $z = \frac{1+2i}{1-(1-i)^{2}}$.
પ્રથમ,છેદનું સાદું રૂપ આપતા: $(1-i)^{2} = 1^{2} + i^{2} - 2i = 1 - 1 - 2i = -2i$.
આ કિંમત $z$ માં મૂકતા:
$z = \frac{1+2i}{1 - (-2i)} = \frac{1+2i}{1+2i} = 1$.
આમ,$z = 1 + 0i$.
માનાંક $|z| = \sqrt{1^{2} + 0^{2}} = 1$.
કોણાંક $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{0}{1}\right) = 0$.

(B) આપેલ છે કે $(x + iy)(1 - 2i)$ નો અનુબદ્ધ $1 + i$ છે.
ધારો કે $z = (x + iy)(1 - 2i)$.
તેથી $\bar{z} = 1 + i$.
$z = (x + iy)(1 - 2i)$ ની બંને બાજુ અનુબદ્ધ લેતા,$\bar{z} = \overline{(x + iy)(1 - 2i)} = \overline{(x + iy)} \cdot \overline{(1 - 2i)}$.
$\bar{z} = 1 + i$ હોવાથી,$(x - iy)(1 + 2i) = 1 + i$.
વૈકલ્પિક રીતે,આપણે લખી શકીએ $z = \overline{1 + i} = 1 - i$.
આમ,$(x + iy)(1 - 2i) = 1 - i$.
બંને બાજુ $(1 - 2i)$ વડે ભાગતા,આપણને $x + iy = \frac{1 - i}{1 - 2i}$ મળે છે.
આ વિકલ્પ $(B)$ સાથે સુસંગત છે.

(B) આપેલ છે કે $|\beta|=1$,તેથી $|\beta|^2 = \beta \bar{\beta} = 1$ થાય.
પદ $\left|\frac{\beta-\alpha}{1-\bar{\alpha} \beta}\right|$ ને ધ્યાનમાં લો.
છેદમાં $1 = \beta \bar{\beta}$ મૂકતા,આપણને મળે:
$\left|\frac{\beta-\alpha}{\beta \bar{\beta}-\bar{\alpha} \beta}\right| = \left|\frac{\beta-\alpha}{\beta(\bar{\beta}-\bar{\alpha})}\right|$.
માનાંકના ગુણધર્મ $|z_1/z_2| = |z_1|/|z_2|$ અને $|z_1 z_2| = |z_1||z_2|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{|\beta-\alpha|}{ |\beta| |\bar{\beta}-\bar{\alpha}| }$.
કારણ કે $|\beta|=1$ અને $|\bar{z}| = |z|$,આપણે જાણીએ છીએ કે $|\bar{\beta}-\bar{\alpha}| = |\overline{\beta-\alpha}| = |\beta-\alpha|$.
તેથી,પદની કિંમત $\frac{|\beta-\alpha|}{1 \cdot |\beta-\alpha|} = 1$ થાય.

(B) ધારો કે $z = x + iy$.
આપેલ છે કે,$z = -\overline{z}$.
કિંમતો મૂકતા:
$x + iy = -(x - iy)$
$x + iy = -x + iy$
$2x = 0$
$x = 0$.
તેથી,વાસ્તવિક ભાગ $x = 0$ હોવાથી,સંકર સંખ્યા $z = iy$ એ શુદ્ધ કાલ્પનિક છે.

(D) ધારો કે $z = \frac{(1+i)^{2}}{1-i}$.
અંશનું વિસ્તરણ કરતા: $(1+i)^{2} = 1^{2} + i^{2} + 2i = 1 - 1 + 2i = 2i$.
તેથી,$z = \frac{2i}{1-i}$.
છેદના અનુબદ્ધ $(1+i)$ વડે અંશ અને છેદને ગુણતા:
$z = \frac{2i(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{2i + 2i^{2}}{1 - i^{2}} = \frac{2i - 2}{1 - (-1)} = \frac{2i - 2}{2} = i - 1$.
આમ,$z = -1 + i$.
સંકર સંખ્યા $z = a + bi$ નો અનુબદ્ધ $\bar{z} = a - bi$ થાય.
તેથી,$-1 + i$ નો અનુબદ્ધ $-1 - i$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $Z = \frac{(\sqrt{3} + i)^{3}(3i + 4)^{2}}{(8 + 6i)^{2}}$.
બંને બાજુ માનાંક લેતા,$|Z| = \frac{|\sqrt{3} + i|^{3} |3i + 4|^{2}}{|8 + 6i|^{2}}$ મળે.
દરેક સંકર સંખ્યાનો માનાંક ગણતા:
$|\sqrt{3} + i| = \sqrt{(\sqrt{3})^{2} + 1^{2}} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.
$|3i + 4| = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
$|8 + 6i| = \sqrt{8^{2} + 6^{2}} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$.
આ કિંમતોને $|Z|$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$|Z| = \frac{2^{3} \times 5^{2}}{10^{2}} = \frac{8 \times 25}{100} = \frac{200}{100} = 2$.
આમ,$|Z| = 2$ થાય.

(A) ધારો કે $ z = \frac{\beta-\alpha}{1-\bar{\alpha} \beta} $. આપણે $ |z| $ શોધવા માંગીએ છીએ.
વિચારો કે $ |z|^2 = z \cdot \bar{z} = \left( \frac{\beta-\alpha}{1-\bar{\alpha} \beta} \right) \left( \frac{\bar{\beta}-\bar{\alpha}}{1-\alpha \bar{\beta}} \right) $.
અંશનું વિસ્તરણ કરતા: $ (\beta-\alpha)(\bar{\beta}-\bar{\alpha}) = \beta \bar{\beta} - \beta \bar{\alpha} - \alpha \bar{\beta} + \alpha \bar{\alpha} = |\beta|^2 - \beta \bar{\alpha} - \alpha \bar{\beta} + |\alpha|^2 $.
છેદનું વિસ્તરણ કરતા: $ (1-\bar{\alpha} \beta)(1-\alpha \bar{\beta}) = 1 - \alpha \bar{\beta} - \bar{\alpha} \beta + \bar{\alpha} \alpha \beta \bar{\beta} = 1 - \alpha \bar{\beta} - \bar{\alpha} \beta + |\alpha|^2 |\beta|^2 $.
કારણ કે $ |\beta|=1 $,તેથી $ |\beta|^2 = 1 $.
$ |\beta|^2 = 1 $ ને પદાવલિમાં મૂકતા:
અંશ: $ 1 - \beta \bar{\alpha} - \alpha \bar{\beta} + |\alpha|^2 $.
છેદ: $ 1 - \alpha \bar{\beta} - \bar{\alpha} \beta + |\alpha|^2 (1) = 1 - \alpha \bar{\beta} - \bar{\alpha} \beta + |\alpha|^2 $.
અંશ અને છેદ સમાન હોવાથી,$ |z|^2 = 1 $,જેનો અર્થ છે કે $ |z| = 1 $.

(A) આપેલ સમીકરણ $|1-i|^x=2^x$ છે.
સૌ પ્રથમ,સંકર સંખ્યા $1-i$ નો માનાંક શોધો:
$|1-i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$(2^{\frac{1}{2}})^x = 2^x$.
$2^{\frac{x}{2}} = 2^x$.
આધાર સમાન હોવાથી,ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$\frac{x}{2} = x$.
$x = 2x \Rightarrow x = 0$.
આમ,માત્ર $1$ પૂર્ણાંક ઉકેલ મળે છે,જે $x=0$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $i^4 = 1$. તેથી,$i^{2020} = (i^4)^{505} = 1^{505} = 1$.
તે જ રીતે,$i^{2021} = i^{2020} \times i = i$,$i^{2022} = i^{2020} \times i^2 = -1$,અને $i^{2023} = i^{2020} \times i^3 = -i$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\left|\frac{1}{1} + \frac{2}{i} + \frac{3}{-1} + \frac{4}{-i}\right|$
$= \left|1 - 2i - 3 + 4i\right|$
$= \left|-2 + 2i\right|$
$= \sqrt{(-2)^2 + (2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

(A) આપેલ છે: $z_1 = 2 + 5i$,$z_2 = -1 + 4i$,$z_3 = i$.
પ્રથમ,અંશની ગણતરી કરો: $z_1 - z_3 = (2 + 5i) - i = 2 + 4i$.
ત્યારબાદ,છેદની ગણતરી કરો: $z_3 - z_2 = i - (-1 + 4i) = i + 1 - 4i = 1 - 3i$.
હવે,અપૂર્ણાંક લો: $\frac{z_1 - z_3}{z_3 - z_2} = \frac{2 + 4i}{1 - 3i}$.
અંશ અને છેદને છેદના અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $(1 + 3i)$ વડે ગુણતા:
$\frac{(2 + 4i)(1 + 3i)}{(1 - 3i)(1 + 3i)} = \frac{2 + 6i + 4i + 12i^2}{1^2 + 3^2} = \frac{2 + 10i - 12}{1 + 9} = \frac{-10 + 10i}{10} = -1 + i$.
છેલ્લે,માનાંક શોધો: $\left| -1 + i \right| = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

(C) ધારો કે $z$ નો ગુણાકારાત્મક વ્યસ્ત $A$ છે.
તેથી $z \cdot A = 1$,જેનો અર્થ છે કે $A = \frac{1}{z}$.
અંશ અને છેદને $z$ ના અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $\bar{z}$ વડે ગુણતા:
$A = \frac{1 \cdot \bar{z}}{z \cdot \bar{z}} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}$
કારણ કે $z \cdot \bar{z} = |z|^2$,તેથી ગુણાકારાત્મક વ્યસ્ત $\frac{\bar{z}}{|z|^2}$ થાય.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) ધારો કે સંકર સંખ્યા $z = \sin \theta + i \cos \theta$ છે.
$z$ નો ગુણાકારાત્મક વ્યસ્ત $\frac{1}{z}$ છે.
$\frac{1}{z} = \frac{1}{\sin \theta + i \cos \theta}$.
અંશ અને છેદને $(\sin \theta - i \cos \theta)$ વડે ગુણતા:
$\frac{1}{z} = \frac{\sin \theta - i \cos \theta}{(\sin \theta + i \cos \theta)(\sin \theta - i \cos \theta)}$.
નિત્યસમ $(a+ib)(a-ib) = a^2 + b^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{z} = \frac{\sin \theta - i \cos \theta}{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}$.
કારણ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,તેથી:
$\frac{1}{z} = \sin \theta - i \cos \theta$.
આમ,ગુણાકારાત્મક વ્યસ્ત $(\sin \theta, -\cos \theta)$ છે.

(C) આપેલ છે,$\alpha - i\beta = \left(\frac{3-4ix}{3+4ix}\right)$.
બંને બાજુ માનાંક લેતા:
$|\alpha - i\beta| = \left|\frac{3-4ix}{3+4ix}\right|$.
ભાગાકારનો માનાંક એ માનાંકનો ભાગાકાર હોવાથી:
$|\alpha - i\beta| = \frac{|3-4ix|}{|3+4ix|}$.
કોઈપણ સંકર સંખ્યા $z = a + ib$ માટે,$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ થાય.
તેથી,$\sqrt{\alpha^2 + (-\beta)^2} = \frac{\sqrt{3^2 + (-4x)^2}}{\sqrt{3^2 + (4x)^2}}$.
$\sqrt{\alpha^2 + \beta^2} = \frac{\sqrt{9 + 16x^2}}{\sqrt{9 + 16x^2}}$.
$x$ વાસ્તવિક હોવાથી,$9 + 16x^2 \neq 0$,તેથી ગુણોત્તર $1$ મળે.
$\sqrt{\alpha^2 + \beta^2} = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\alpha^2 + \beta^2 = 1$ મળે.

(C) આપેલ છે,$z = x+iy = \frac{(3+2i)(4-7i)(12+13i)}{(13-12i)(2-3i)(11+3i)}$.
બંને બાજુ માનાંક લેતા,$|z| = |x+iy| = \sqrt{x^2+y^2}$.
$|\frac{z_1 z_2 z_3}{z_4 z_5 z_6}| = \frac{|z_1| |z_2| |z_3|}{|z_4| |z_5| |z_6|}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$|z| = \frac{|3+2i| \cdot |4-7i| \cdot |12+13i|}{|13-12i| \cdot |2-3i| \cdot |11+3i|}$.
અહીં $|3+2i| = |2-3i| = \sqrt{13}$ અને $|12+13i| = |13-12i| = \sqrt{313}$ છે.
તેથી,$|z| = \frac{\sqrt{13} \cdot |4-7i| \cdot \sqrt{313}}{\sqrt{313} \cdot \sqrt{13} \cdot |11+3i|} = \frac{|4-7i|}{|11+3i|}$.
$|z| = \frac{\sqrt{4^2+(-7)^2}}{\sqrt{11^2+3^2}} = \frac{\sqrt{65}}{\sqrt{130}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,$\sqrt{x^2+y^2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $x^2+y^2 = \frac{1}{2}$.

(D) આપેલ છે કે $|z_1|=1, |z_2|=2, |z_3|=3$ અને $|9 z_1 z_2 + 4 z_1 z_3 + z_2 z_3| = 12$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|z|^2 = z \bar{z}$,જેનો અર્થ છે $\bar{z} = \frac{|z|^2}{z}$.
આપેલ પદને $|z_1 z_2 z_3|$ વડે ભાગતા:
$|z_1 z_2 z_3| \left| \frac{9}{z_3} + \frac{4}{z_2} + \frac{1}{z_1} \right| = 12$
$|z_1 z_2 z_3| = 1 \times 2 \times 3 = 6$ હોવાથી,
$6 \left| \frac{9}{z_3} + \frac{4}{z_2} + \frac{1}{z_1} \right| = 12 \implies \left| \frac{9}{z_3} + \frac{4}{z_2} + \frac{1}{z_1} \right| = 2$.
$\bar{z}_1 = \frac{1}{z_1}, \bar{z}_2 = \frac{4}{z_2}, \bar{z}_3 = \frac{9}{z_3}$ હોવાથી,
$|\bar{z}_1 + \bar{z}_2 + \bar{z}_3| = 2$.
$|\bar{z}| = |z|$ હોવાથી,$|z_1 + z_2 + z_3| = 2$ મળે.

(C) સૌ પ્રથમ,સંકર સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરો:
$(4-3i)(2+3i) = 8 + 12i - 6i - 9i^2 = 8 + 6i + 9 = 17 + 6i$.
ત્યારબાદ,$(1+4i)$ વડે ગુણાકાર કરો:
$(17+6i)(1+4i) = 17 + 68i + 6i + 24i^2 = 17 + 74i - 24 = -7 + 74i$.
સંકર સંખ્યા $z = a + bi$ નો સંકર અનુબદ્ધ $\bar{z} = a - bi$ છે.
તેથી,$-7 + 74i$ નો સંકર અનુબદ્ધ $-7 - 74i$ છે.

(B) આપેલ છે $z_1 = 4+3 i$.
માનાંક $\alpha = |z_1| = \sqrt{4^2+3^2} = \sqrt{16+9} = 5$.
પ્રદેશ $|z - \overline{z_1}| \leq 5$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
$\overline{z_1} = 4-3 i$ હોવાથી,અસમતા $|z - (4-3 i)| \leq 5$ થાય.
વિકલ્પ $B$ માટે,$z = z_1 = 4+3 i$ લેતા:
$|(4+3 i) - (4-3 i)| = |6 i| = 6$.
$6 > 5$ હોવાથી,બિંદુ $z_1$ અસમતાનું સમાધાન કરતું નથી.
આમ,$z_1$ એ પ્રદેશમાં આવતું નથી.

(C) આપેલ સમીકરણ: $4a + i(3a - b) = b - 6i$
બંને બાજુ વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
વાસ્તવિક ભાગ: $4a = b$
કાલ્પનિક ભાગ: $3a - b = -6$
બીજા સમીકરણમાં $b = 4a$ મૂકતા:
$3a - 4a = -6$ $\Rightarrow -a = -6$ $\Rightarrow a = 6$
તેથી,$b = 4(6) = 24$
હવે,$z$ માં $a$ અને $b$ ની કિંમત મૂકતા:
$z = 6 + \frac{24}{4}i = 6 + 6i$
માનાંક $|z|$ છે:
$|z| = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$
છેલ્લે,$\frac{|z|}{a}$ ની ગણતરી કરતા:
$\frac{|z|}{a} = \frac{6\sqrt{2}}{6} = \sqrt{2}$

(B) આપેલ છે $z = \frac{-2+i}{(1-2i)^2}$.
પ્રથમ,છેદનું સાદુંરૂપ આપતા: $(1-2i)^2 = 1 - 4 - 4i = -3 - 4i$.
તેથી,$z = \frac{-2+i}{-3-4i} = \frac{2-i}{3+4i}$.
અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $(3-4i)$ વડે ગુણતા:
$z = \frac{(2-i)(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)} = \frac{6 - 11i - 4}{25} = \frac{2 - 11i}{25}$.
તેથી,$\bar{z} = \frac{2 + 11i}{25}$.
માનાંક $|\bar{z}| = |z| = \sqrt{(\frac{2}{25})^2 + (-\frac{11}{25})^2} = \sqrt{\frac{125}{625}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

(D) આપેલ છે $z = 1 + \cos \theta - i \sin \theta$.
$z - 1 = \cos \theta - i \sin \theta$.
$|z - 1| = \sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta} = 1$.
$|z|^2 = (1 + \cos \theta)^2 + (-\sin \theta)^2 = 1 + 2 \cos \theta + \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 2 + 2 \cos \theta$.
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\left[|z - 1|^2 - \frac{|z|^2}{4}\right]^{1/2} = \left[1^2 - \frac{2 + 2 \cos \theta}{4}\right]^{1/2} = \left[1 - \frac{1 + \cos \theta}{2}\right]^{1/2} = \left[\frac{2 - 1 - \cos \theta}{2}\right]^{1/2} = \left[\frac{1 - \cos \theta}{2}\right]^{1/2}$.
નિત્યસમ $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \left(\frac{\theta}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\left[\frac{2 \sin^2 \left(\frac{\theta}{2}\right)}{2}\right]^{1/2} = \sqrt{\sin^2 \left(\frac{\theta}{2}\right)} = \sin \left(\frac{\theta}{2}\right)$ (કારણ કે $0 < \frac{\theta}{2} < \frac{\pi}{2}$,તેથી $\sin \left(\frac{\theta}{2}\right) > 0$).

(A) આપેલ છે,$\left|z+\frac{2}{z}\right|=2$.
ત્રિકોણ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા,$|z| = |(z+\frac{2}{z}) - \frac{2}{z}| \leq |z+\frac{2}{z}| + |\frac{2}{z}|$.
આપેલ કિંમત મૂકતા,$|z| \leq 2 + \frac{2}{|z|}$.
$|z|$ વડે ગુણતા (કારણ કે $|z| > 0$),આપણને $|z|^2 \leq 2|z| + 2$ મળે,જેનો અર્થ છે $|z|^2 - 2|z| - 2 \leq 0$.
$x = |z|$ માટે દ્વિઘાત અસમતા $x^2 - 2x - 2 \leq 0$ ઉકેલતા,બીજ $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-2)}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$ મળે છે.
$|z| \geq 0$ હોવાથી,$0 \leq |z| \leq 1+\sqrt{3}$.
તેથી,$|z|$ ની મહત્તમ કિંમત $1+\sqrt{3}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $Z_1$ અને $Z_2$ સંકર સંખ્યાઓ એકબીજાની અનુબદ્ધ છે। ધારો કે $Z_1 = a + ib$, તો $Z_2 = a - ib$.
$(A) Z_1 Z_2 = (a + ib)(a - ib) = a^2 + b^2 = |Z_1|^2$. તેથી, $A-3$.
$(B) Z_1 + Z_2 = (a + ib) + (a - ib) = 2a$. જો $Z_1 + Z_2 = 0$, તો $2a = 0 \Rightarrow a = 0$. આ કાલ્પનિક અક્ષ દર્શાવે છે। તેથી, $B-1$.
$(C) \text{Im}(Z_1) = b$. તેમજ, $\text{Im}(-Z_2) = \text{Im}(-(a - ib)) = \text{Im}(-a + ib) = b$. તેથી, $\text{Im}(Z_1) = \text{Im}(-Z_2)$. આમ, $C-2$.
$(D) \text{Re}(Z_1) = a$ અને $\text{Re}(Z_2) = a$. તેથી, $\text{Re}(Z_1) = \text{Re}(Z_2)$. આમ, $D-4$.
સાચી જોડ $A-3, B-1, C-2, D-4$ છે.

(D) આપેલ છે કે $f(z) = |z|$.
$(a)$ $f(-z) = |-z| = |z| = f(z)$,જે સત્ય છે.
$(b)$ $f(\bar{z}) = |\bar{z}| = |z| = f(z)$,જે સત્ય છે.
$(c)$ $f(z^2) = |z^2| = |z|^2 = (f(z))^2$,જે સત્ય છે.
$(d)$ $f(z_1^2 + z_2^2) = |z_1^2 + z_2^2|$ અને $f(z_1^2) + f(z_2^2) = |z_1^2| + |z_2^2| = |z_1|^2 + |z_2|^2$.
ત્રિકોણ અસમતા મુજબ,$|z_1^2 + z_2^2| \leq |z_1^2| + |z_2^2| = |z_1|^2 + |z_2|^2$. સામાન્ય રીતે સમાનતા જળવાતી નથી.
તેથી,$f(z_1^2 + z_2^2) = f(z_1^2) + f(z_2^2)$ અસત્ય છે.

(B) ધારો કે $z = (1+2i)(-2+i)$.
માનાંકના ગુણધર્મ $|z_1 z_2| = |z_1| |z_2|$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$|z| = |1+2i| \times |-2+i|$
$|z| = \sqrt{1^2 + 2^2} \times \sqrt{(-2)^2 + 1^2}$
$|z| = \sqrt{1+4} \times \sqrt{4+1}$
$|z| = \sqrt{5} \times \sqrt{5}$
$|z| = 5$

(A) $z = \frac{5i}{7+i}$ નો અનુબદ્ધ શોધવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને છેદના અનુબદ્ધ $(7-i)$ વડે ગુણીએ.
$z = \frac{5i}{7+i} \times \frac{7-i}{7-i} = \frac{35i - 5i^2}{49 - i^2}$
$i^2 = -1$ હોવાથી:
$z = \frac{35i + 5}{50} = \frac{5 + 35i}{50} = \frac{1 + 7i}{10}$
તેથી,$\frac{1+7i}{10}$ નો અનુબદ્ધ $\frac{1-7i}{10}$ થાય.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(A) આપેલ છે કે $\left|\frac{z-25}{z-1}\right|=5$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\left|\frac{z-25}{z-1}\right|^2 = 25$ મળે.
આથી $\frac{(z-25)(\bar{z}-25)}{(z-1)(\bar{z}-1)} = 25$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $(z-25)(\bar{z}-25) = 25(z-1)(\bar{z}-1)$.
$z\bar{z} - 25z - 25\bar{z} + 625 = 25(z\bar{z} - z - \bar{z} + 1)$.
$|z|^2 - 25(z+\bar{z}) + 625 = 25|z|^2 - 25(z+\bar{z}) + 25$.
$|z|^2 + 625 = 25|z|^2 + 25$.
$24|z|^2 = 600$.
$|z|^2 = 25$.
તેથી,$|z| = 5$.

(C) આપેલ છે કે $x^2+y+4 i$ અને $-3+x^2 y i$ એકબીજાના અનુબદ્ધ છે.
તેથી,$x^2+y+4 i = -3 - x^2 y i$.
બંને બાજુ વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા:
$x^2+y = -3$ $(i)$
$4 = -x^2 y \Rightarrow y = -\frac{4}{x^2}$ $(ii)$
$(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$x^2 - \frac{4}{x^2} = -3$
$x^4 - 4 = -3x^2$
$x^4 + 3x^2 - 4 = 0$
$(x^2+4)(x^2-1) = 0$
કારણ કે $x \in R$,$x^2$ અઋણ હોવું જોઈએ,તેથી $x^2+4 \neq 0$.
આમ,$x^2-1 = 0$ $\Rightarrow x^2 = 1$ $\Rightarrow x = \pm 1$.
$x^2=1$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$y = -\frac{4}{1} = -4$.
હવે,$(|x|+|y|)^2 = (|\pm 1| + |-4|)^2 = (1+4)^2 = 5^2 = 25$.

(A) આપેલ છે,$13 e^{i \tan ^{-1} \frac{5}{12}} = a + i b$.
ઓઈલરના સૂત્ર $e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$13 [\cos(\tan ^{-1} \frac{5}{12}) + i \sin(\tan ^{-1} \frac{5}{12})] = a + i b$.
ધારો કે $\theta = \tan ^{-1} \frac{5}{12}$,તો $\tan \theta = \frac{5}{12}$.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં સામેની બાજુ $5$ અને પાસેની બાજુ $12$ હોય,તો કર્ણ $\sqrt{5^2 + 12^2} = 13$ થાય.
તેથી,$\cos \theta = \frac{12}{13}$ અને $\sin \theta = \frac{5}{13}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$13 [\frac{12}{13} + i \frac{5}{13}] = a + i b$.
$12 + 5i = a + i b$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા,$a = 12$ અને $b = 5$ મળે છે.
તેથી,ક્રમયુક્ત જોડ $(a, b) = (12, 5)$ છે.

(A) આપેલ છે $z = \frac{1}{1 - \cos \theta + i \sin \theta}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ અને $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$z = \frac{1}{2 \sin^2 \frac{\theta}{2} + i (2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2})}$
$z = \frac{1}{2 \sin \frac{\theta}{2} (\sin \frac{\theta}{2} + i \cos \frac{\theta}{2})}$
કારણ કે $\sin \frac{\theta}{2} + i \cos \frac{\theta}{2} = i (\cos \frac{\theta}{2} - i \sin \frac{\theta}{2}) = i e^{-i \theta/2}$,તેથી:
$z = \frac{1}{2 \sin \frac{\theta}{2} \cdot i e^{-i \theta/2}} = \frac{1}{2 \sin \frac{\theta}{2}} \cdot \frac{1}{i} e^{i \theta/2}$
કારણ કે $\frac{1}{i} = -i = e^{-i \pi/2}$,તેથી:
$z = \frac{1}{2 \sin \frac{\theta}{2}} e^{-i \pi/2} e^{i \theta/2} = \frac{1}{2} \operatorname{cosec} \frac{\theta}{2} e^{i (\theta/2 - \pi/2)}$
આમ,માનાંક $\frac{1}{2} \operatorname{cosec} \frac{\theta}{2}$ અને કોણાંક $-(\frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2})$ છે.

(C) આપણને $|z| \geq 5$ આપેલ છે.
ત્રિકોણ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા,$|z + w| \geq ||z| - |w||$.
તેથી,$\left|z + \frac{2}{z}\right| \geq ||z| - \frac{2}{|z|}||$.
ધારો કે $f(t) = t - \frac{2}{t}$ જ્યાં $t = |z| \geq 5$.
$f(t)$ એ $t > 0$ માટે વધતું વિધેય હોવાથી,ન્યૂનતમ કિંમત $t = 5$ પર મળે છે.
આમ,$\left|z + \frac{2}{z}\right| \geq 5 - \frac{2}{5} = \frac{23}{5}$.
ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{23}{5}$ છે.

(C) આપેલ સંકર સંખ્યાઓ $z_1 = 1+4i, z_2 = 3+i, z_3 = 1-i, z_4 = 2-3i$ છે.
સંકર સંખ્યા $z = a+bi$ નો માનાંક $|z| = \sqrt{a^2+b^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
માનાંકની ગણતરી:
$m_1 = |1+4i| = \sqrt{1^2+4^2} = \sqrt{17}$
$m_2 = |3+i| = \sqrt{3^2+1^2} = \sqrt{10}$
$m_3 = |1-i| = \sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$
$m_4 = |2-3i| = \sqrt{2^2+(-3)^2} = \sqrt{13}$
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $\sqrt{2} < \sqrt{10} < \sqrt{13} < \sqrt{17}$
તેથી,$m_3 < m_2 < m_4 < m_1$.

(C) આપેલ સંકર સંખ્યાઓ માટે:
$\alpha_1 = |-i| = 1$
$\alpha_2 = |\frac{1}{3}(1+i)| = \frac{1}{3} \sqrt{1^2 + 1^2} = \frac{\sqrt{2}}{3} \approx 0.471$
$\alpha_3 = |-1+i| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2} \approx 1.414$
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $\frac{\sqrt{2}}{3} < 1 < \sqrt{2}$.
તેથી,ચડતો ક્રમ $\alpha_2 < \alpha_1 < \alpha_3$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $(1+i)(1+3i)(1+7i) = x+iy$ છે.
પ્રથમ,પ્રથમ બે સંકર સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરતા: $(1+i)(1+3i) = 1 + 3i + i + 3i^2 = 1 + 4i - 3 = -2 + 4i$.
હવે,પરિણામનો ત્રીજી સંકર સંખ્યા સાથે ગુણાકાર કરતા: $(-2+4i)(1+7i) = -2 - 14i + 4i + 28i^2 = -2 - 10i - 28 = -30 - 10i$.
આમ,$x = -30$ અને $y = -10$.
આર્ગેન્ડ સમતલમાં સંકર સંખ્યા $z = x+iy$ દ્વારા દર્શાવતા વર્તુળની ત્રિજ્યા $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ દ્વારા મળે છે.
$|z| = \sqrt{(-30)^2 + (-10)^2} = \sqrt{900 + 100} = \sqrt{1000} = 10\sqrt{10}$.

(B) આપેલ સમીકરણ $(3+4i)^{2025} = 5^{2023}(x+iy)$ છે.
બંને બાજુ માનાંક લેતા,$|(3+4i)^{2025}| = |5^{2023}(x+iy)|$ મળે.
$|z^n| = |z|^n$ હોવાથી,$|3+4i|^{2025} = 5^{2023} \cdot |x+iy|$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|3+4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,$5^{2025} = 5^{2023} \cdot \sqrt{x^2+y^2}$ મળે.
બંને બાજુ $5^{2023}$ વડે ભાગતા,$\sqrt{x^2+y^2} = \frac{5^{2025}}{5^{2023}} = 5^{2025-2023} = 5^2 = 25$ મળે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $(x^2+\frac{1}{x^2})-5(x+\frac{1}{x})+6=0$
ધારો કે $t = x+\frac{1}{x}$. તેથી $x^2+\frac{1}{x^2} = t^2-2$.
સમીકરણ $(t^2-2)-5t+6=0$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $t^2-5t+4=0$ થાય છે.
અવયવ પાડતા $(t-4)(t-1)=0$ મળે,તેથી $t=4$ અથવા $t=1$.
કિસ્સો $1$: $x+\frac{1}{x}=4 \Rightarrow x^2-4x+1=0$. વિવેચક $D = 16-4 = 12 > 0$,તેથી બીજ વાસ્તવિક છે.
કિસ્સો $2$: $x+\frac{1}{x}=1 \Rightarrow x^2-x+1=0$. વિવેચક $D = 1-4 = -3 < 0$,તેથી બીજ સંકર છે.
બીજ $x = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$ છે.
ધારો કે બીજ $\alpha = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\beta = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$ છે.
દરેક સંકર બીજનો માનાંક $|\alpha| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = 1$ છે.
તે જ રીતે,$|\beta| = 1$.
માનાંકનો સરવાળો $|\alpha| + |\beta| = 1 + 1 = 2$ થાય.

(A) આપેલ સમીકરણ $z^2+az+a^2=0$ છે,જ્યાં $a \in R$.
આ $z$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે. તેના બીજ દ્વિઘાત સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$z = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 - 4(1)(a^2)}}{2} = \frac{-a \pm \sqrt{-3a^2}}{2} = \frac{-a \pm i a \sqrt{3}}{2}$.
હવે,આપણે $z$ નો માનાંક શોધીએ:
$|z| = \left| \frac{-a}{2} \pm i \frac{a \sqrt{3}}{2} \right|$.
$|z| = \sqrt{\left( \frac{-a}{2} \right)^2 + \left( \frac{a \sqrt{3}}{2} \right)^2}$.
$|z| = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4}} = \sqrt{\frac{4a^2}{4}} = \sqrt{a^2} = |a|$.
આમ,$|z|=|a|$.

(B) આપેલ છે $z = (\alpha + i\beta)(2 + 7i) = (2\alpha - 7\beta) + i(7\alpha + 2\beta)$.
$z$ શુદ્ધ કાલ્પનિક હોવાથી,વાસ્તવિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$2\alpha - 7\beta = 0 \Rightarrow 2\alpha = 7\beta$.
$\alpha, \beta$ પૂર્ણાંકો હોવાથી,ધારો કે $\alpha = 7k$ અને $\beta = 2k$ જ્યાં $k$ શૂન્યતર પૂર્ણાંક છે.
તેથી $|z|^2 = (\text{Re}(z))^2 + (\text{Im}(z))^2 = 0^2 + (7\alpha + 2\beta)^2$.
$\alpha = 7k$ અને $\beta = 2k$ મૂકતા:
$|z|^2 = (7(7k) + 2(2k))^2 = (49k + 4k)^2 = (53k)^2 = 2809k^2$.
ન્યૂનતમ શૂન્યતર કિંમત માટે,$k = 1$ લેતા:
$|z|^2 = 2809(1)^2 = 2809$.

(B) આપેલ છે કે $x+iy=\sqrt{\frac{3+i}{1+3i}}$.
બંને બાજુ માનાંક લેતા,$|x+iy| = \left|\sqrt{\frac{3+i}{1+3i}}\right|$.
$|x+iy| = \sqrt{\left|\frac{3+i}{1+3i}\right|}$.
$|z_1/z_2| = |z_1|/|z_2|$ હોવાથી,$|x+iy| = \sqrt{\frac{|3+i|}{|1+3i|}} = \sqrt{\frac{\sqrt{3^2+1^2}}{\sqrt{1^2+3^2}}} = \sqrt{\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}} = \sqrt{1} = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|x+iy| = \sqrt{x^2+y^2}$,તેથી $\sqrt{x^2+y^2} = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x^2+y^2 = 1$.
તેથી,$\left(x^2+y^2\right)^2 = 1^2 = 1$.

(B) આપેલ છે કે $Z = \alpha + i \beta$.
$|Z| - Z = 1 + 2i$ હોવાથી,$\sqrt{\alpha^2 + \beta^2} - (\alpha + i \beta) = 1 + 2i$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
$\sqrt{\alpha^2 + \beta^2} - \alpha = 1$ અને $-\beta = 2 \Rightarrow \beta = -2$.
$\beta = -2$ ને વાસ્તવિક ભાગના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\sqrt{\alpha^2 + (-2)^2} - \alpha = 1
\Rightarrow \sqrt{\alpha^2 + 4} = \alpha + 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\alpha^2 + 4 = (\alpha + 1)^2
$ $\Rightarrow \alpha^2 + 4 = \alpha^2 + 2\alpha + 1
$ $\Rightarrow 2\alpha = 3
$ $\Rightarrow \alpha = \frac{3}{2}$.
આપણે $Z \bar{Z} = |Z|^2 = \alpha^2 + \beta^2$ શોધવાનું છે.
$Z \bar{Z} = (\frac{3}{2})^2 + (-2)^2 = \frac{9}{4} + 4 = \frac{9 + 16}{4} = \frac{25}{4}$.

(B) આપેલ છે કે $a = |\bar{a}|$ અને $b = |\bar{b}|$. આપણે જાણીએ છીએ કે $z \bar{z} = |z|^2$,તેથી $\frac{\bar{a}}{a^2} = \frac{\bar{a}}{|a|^2} = \frac{\bar{a}}{a \bar{a}} = \frac{1}{a}$.
તે જ રીતે,$\frac{\bar{b}}{b^2} = \frac{1}{b}$.
તેથી,$\left(\frac{\bar{a}}{a^2} - \frac{\bar{b}}{b^2}\right)^2 = \left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right)^2 = \left(\frac{b-a}{ab}\right)^2 = \left(\frac{a-b}{ab}\right)^2$.

(D) ધારો કે $z_1 = \sin x + i \cos 2x$ અને $z_2 = \cos x - i \sin 2x$.
$z_1$ અને $z_2$ અનુબદ્ધ હોવા માટે,$z_1 = \overline{z_2}$ હોવું જોઈએ.
આથી $\sin x + i \cos 2x = \cos x + i \sin 2x$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
$1) \sin x = \cos x \implies \tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$.
$2) \cos 2x = \sin 2x \implies \tan 2x = 1 \implies x = \frac{\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}, \frac{9\pi}{8}, \frac{13\pi}{8}$.
બંને સમીકરણોનું સમાધાન કરતી કોઈ સામાન્ય કિંમત $x$ ન હોવાથી,ગણ ખાલી છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપેલ છે $\left|\left(\frac{1}{z_1}+\frac{2}{z_2}\right) \frac{z_3}{z_2}\right| = \left|\frac{1}{z_1}+\frac{2}{z_2}\right| \cdot \frac{|z_3|}{|z_2|}$
કિંમતો મૂકતા: $\left|\frac{1}{1-2 i}+\frac{2}{1+i}\right| \cdot \frac{|3+4 i|}{|1+i|}$
$= \left|\frac{1+2 i}{1^2+2^2} + \frac{2(1-i)}{1^2+1^2}\right| \cdot \frac{\sqrt{3^2+4^2}}{\sqrt{1^2+1^2}}$
$= \left|\frac{1+2 i}{5} + \frac{2-2 i}{2}\right| \cdot \frac{5}{\sqrt{2}}$
$= \left|\frac{2+4 i + 10-10 i}{10}\right| \cdot \frac{5}{\sqrt{2}}$
$= \left|\frac{12-6 i}{10}\right| \cdot \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{6}{10} |2-i| \cdot \frac{5}{\sqrt{2}}$
$= \frac{3}{5} \sqrt{2^2+(-1)^2} \cdot \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{9 \times 5}{2}} = \sqrt{\frac{45}{2}}$

(D) આપેલ છે,$|z|-z=2+i$.
ધારો કે $z=x+iy$. તેથી $\sqrt{x^2+y^2}-(x+iy)=2+i$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
$\sqrt{x^2+y^2}-x=2$ અને $-y=1$.
આમ,$y=-1$.
$y=-1$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $\sqrt{x^2+(-1)^2}-x=2$.
$\sqrt{x^2+1}=x+2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x^2+1=(x+2)^2 = x^2+4x+4$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $1=4x+4$ $\Rightarrow 4x=-3$ $\Rightarrow x=-\frac{3}{4}$.
તેથી,$z=-\frac{3}{4}-i$.
માનાંક $|z|=\sqrt{(-\frac{3}{4})^2+(-1)^2} = \sqrt{\frac{9}{16}+1} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$.

(B) આપેલ છે કે $(x+iy)(1-2i)$ નો અનુબદ્ધ $(1+i)$ છે.
ધારો કે $z = (x+iy)(1-2i)$.
તેથી $\bar{z} = 1+i$.
કારણ કે $\bar{z} = (x-iy)(1+2i)$,તેથી $(x-iy)(1+2i) = 1+i$.
તેથી,$x-iy = \frac{1+i}{1+2i}$.
બંને બાજુ અનુબદ્ધ લેતા,આપણને મળે $\overline{x-iy} = \overline{\left(\frac{1+i}{1+2i}\right)}$.
આમ,$x+iy = \frac{1-i}{1-2i}$.

(D) આપેલ છે,$\left|z-\frac{4}{z}\right|=2$.
ત્રિકોણ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા,$|z| = \left|z-\frac{4}{z}+\frac{4}{z}\right| \leq \left|z-\frac{4}{z}\right| + \left|\frac{4}{z}\right|$.
આપેલ કિંમત મૂકતા,$|z| \leq 2 + \frac{4}{|z|}$.
$|z|$ વડે ગુણતા ($|z| > 0$ હોવાથી),આપણને $|z|^2 - 2|z| - 4 \leq 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $|z|^2 - 2|z| - 4 = 0$ ઉકેલતા,$|z| = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$.
$|z| > 0$ હોવાથી,$0 < |z| \leq 1 + \sqrt{5}$.
તેથી,$|z|$ ની મહત્તમ કિંમત $1 + \sqrt{5}$ છે.