Conjugate and Modulus of complex numbers Questions in Gujarati

(D) ધારો કે $z = (1 - \cos \theta ) + i(2\sin \theta )$. આપણે $z^{-1} = \frac{1}{z}$ નો વાસ્તવિક ભાગ શોધવો છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$1 - \cos \theta = 2\sin^2(\frac{\theta}{2})$ અને $2\sin \theta = 4\sin(\frac{\theta}{2})\cos(\frac{\theta}{2})$.
તેથી,$z = 2\sin(\frac{\theta}{2}) [\sin(\frac{\theta}{2}) + 2i\cos(\frac{\theta}{2})]$.
હવે,$z^{-1} = \frac{1}{2\sin(\frac{\theta}{2})} \cdot \frac{1}{\sin(\frac{\theta}{2}) + 2i\cos(\frac{\theta}{2})}$.
અંશ અને છેદને અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $\sin(\frac{\theta}{2}) - 2i\cos(\frac{\theta}{2})$ વડે ગુણતા:
$z^{-1} = \frac{1}{2\sin(\frac{\theta}{2})} \cdot \frac{\sin(\frac{\theta}{2}) - 2i\cos(\frac{\theta}{2})}{\sin^2(\frac{\theta}{2}) + 4\cos^2(\frac{\theta}{2})}$.
વાસ્તવિક ભાગ $\frac{\sin(\frac{\theta}{2})}{2\sin(\frac{\theta}{2}) [\sin^2(\frac{\theta}{2}) + 4\cos^2(\frac{\theta}{2})]} = \frac{1}{2[\sin^2(\frac{\theta}{2}) + 4\cos^2(\frac{\theta}{2})]}$.
$\sin^2(\frac{\theta}{2}) = \frac{1 - \cos \theta}{2}$ અને $\cos^2(\frac{\theta}{2}) = \frac{1 + \cos \theta}{2}$ મુકતા:
વાસ્તવિક ભાગ $= \frac{1}{2[\frac{1 - \cos \theta}{2} + 4(\frac{1 + \cos \theta}{2})]} = \frac{1}{1 - \cos \theta + 4 + 4\cos \theta} = \frac{1}{5 + 3\cos \theta }$.

(B) આપેલ છે કે $x + iy = \frac{3}{2 + \cos \theta + i\sin \theta}$.
બંને બાજુ માનાંક લેતા,$|x + iy| = \left| \frac{3}{2 + \cos \theta + i\sin \theta} \right|$.
$|x + iy| = \frac{3}{\sqrt{(2 + \cos \theta)^2 + \sin^2 \theta}} = \frac{3}{\sqrt{5 + 4\cos \theta}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,${x^2} + {y^2} = \frac{9}{5 + 4\cos \theta}$.
વાસ્તવિક ભાગ પરથી,$x = \frac{6 + 3\cos \theta}{5 + 4\cos \theta}$.
તેથી,$4x - 3 = 4\left( \frac{6 + 3\cos \theta}{5 + 4\cos \theta} \right) - 3 = \frac{9}{5 + 4\cos \theta}$.
આમ,${x^2} + {y^2} = 4x - 3$.

(D) આપેલ છે કે $\mu + i\lambda = \frac{(p + i)^2}{2p - i}$.
બંને બાજુ માનાંક લેતા,$|\mu + i\lambda| = \left|\frac{(p + i)^2}{2p - i}\right|$.
$|z_1/z_2| = |z_1|/|z_2|$ અને $|z^n| = |z|^n$ હોવાથી,$\sqrt{\mu^2 + \lambda^2} = \frac{|p + i|^2}{|2p - i|}$.
માનાંકની ગણતરી કરતા: $|p + i| = \sqrt{p^2 + 1}$ અને $|2p - i| = \sqrt{(2p)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4p^2 + 1}$.
તેથી,$\sqrt{\mu^2 + \lambda^2} = \frac{(\sqrt{p^2 + 1})^2}{\sqrt{4p^2 + 1}} = \frac{p^2 + 1}{\sqrt{4p^2 + 1}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\mu^2 + \lambda^2 = \frac{(p^2 + 1)^2}{4p^2 + 1}$.

(B) ધારો કે $z_1 = a + ib$ અને $z_2 = c + id$,જ્યાં $a, b, c, d \in \mathbb{R}$.
$z_1 + z_2 = (a + c) + i(b + d)$ વાસ્તવિક હોવાથી,કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય થાય: $b + d = 0$,એટલે કે $d = -b$.
$z_1 z_2 = (ac - bd) + i(ad + bc)$ વાસ્તવિક હોવાથી,કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય થાય: $ad + bc = 0$.
$d = -b$ મૂકતા,$a(-b) + bc = 0$,એટલે કે $b(c - a) = 0$.
જો $b \neq 0$ હોય,તો $c = a$. તેથી $z_2 = a - ib = \bar{z}_1$,જેનો અર્થ છે કે $z_1 = \bar{z}_2$.

(C) આપેલ છે કે $a = \cos \theta + i \sin \theta$.
આપણે $\frac{1 + a}{1 - a}$ ની કિંમત શોધવી છે.
$\frac{1 + a}{1 - a} = \frac{1 + \cos \theta + i \sin \theta}{1 - (\cos \theta + i \sin \theta)} = \frac{(1 + \cos \theta) + i \sin \theta}{(1 - \cos \theta) - i \sin \theta}$.
અડધા ખૂણાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા: $1 + \cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2}$,$1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$,અને $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$.
$\frac{1 + a}{1 - a} = \frac{2 \cos^2 \frac{\theta}{2} + i (2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2})}{2 \sin^2 \frac{\theta}{2} - i (2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2})}$.
અંશમાંથી $2 \cos \frac{\theta}{2}$ અને છેદમાંથી $2 \sin \frac{\theta}{2}$ સામાન્ય લેતા:
$\frac{1 + a}{1 - a} = \frac{2 \cos \frac{\theta}{2} (\cos \frac{\theta}{2} + i \sin \frac{\theta}{2})}{2 \sin \frac{\theta}{2} (\sin \frac{\theta}{2} - i \cos \frac{\theta}{2})}$.
અહીં $\sin \frac{\theta}{2} - i \cos \frac{\theta}{2} = -i (\cos \frac{\theta}{2} + i \sin \frac{\theta}{2})$ થાય.
$\frac{1 + a}{1 - a} = \frac{\cos \frac{\theta}{2} (\cos \frac{\theta}{2} + i \sin \frac{\theta}{2})}{\sin \frac{\theta}{2} (-i) (\cos \frac{\theta}{2} + i \sin \frac{\theta}{2})} = \frac{\cot \frac{\theta}{2}}{-i} = i \cot \frac{\theta}{2}$.

(B) આપેલ પદ: $z = \frac{1}{(1 - \cos \theta) + i \sin \theta}$.
અંશ અને છેદને અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $(1 - \cos \theta) - i \sin \theta$ વડે ગુણતા:
$z = \frac{(1 - \cos \theta) - i \sin \theta}{(1 - \cos \theta)^2 + \sin^2 \theta}$.
છેદનું સાદું રૂપ આપતા:
$(1 - \cos \theta)^2 + \sin^2 \theta = 1 - 2 \cos \theta + \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 2 - 2 \cos \theta = 2(1 - \cos \theta)$.
તેથી,$z = \frac{1 - \cos \theta}{2(1 - \cos \theta)} - i \frac{\sin \theta}{2(1 - \cos \theta)}$.
વાસ્તવિક ભાગ $\frac{1 - \cos \theta}{2(1 - \cos \theta)} = \frac{1}{2}$ થાય.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ સંકર સંખ્યા $z$ માટે,વ્યસ્તની અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા એ અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યાનો વ્યસ્ત છે,એટલે કે $\overline{z^{-1}} = (\overline{z})^{-1}$.
તેથી,$(\overline{z^{-1}})(\overline{z}) = (\overline{z})^{-1}(\overline{z})$.
કારણ કે $(\overline{z})^{-1} = \frac{1}{\overline{z}}$,તેથી $\frac{1}{\overline{z}} \times \overline{z} = 1$,જ્યાં $z \neq 0$.

(A) ધારો કે $z = x + iy$,જ્યાં $x, y \in \mathbb{R}$. તો $\overline{z} = x - iy$.
આપેલ છે કે $z \cdot \overline{z} = 0$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $(x + iy)(x - iy) = 0$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $x^2 - (iy)^2 = 0$ એટલે કે $x^2 + y^2 = 0$ થાય છે.
બધા વાસ્તવિક $x$ અને $y$ માટે $x^2 \ge 0$ અને $y^2 \ge 0$ હોવાથી,$x^2 + y^2 = 0$ ત્યારે જ શક્ય છે જો $x = 0$ અને $y = 0$ હોય.
તેથી,$z = 0 + 0i = 0$.

(A) આપેલ છે કે $(a + ib)(c + id)(e + if)(g + ih) = A + iB$ ..... $(i)$
બંને બાજુ અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા લેતા,આપણને મળે $(a - ib)(c - id)(e - if)(g - ih) = A - iB$ ..... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો ગુણાકાર કરતા:
$[(a + ib)(a - ib)] \times [(c + id)(c - id)] \times [(e + if)(e - if)] \times [(g + ih)(g - ih)] = (A + iB)(A - iB)$
ગુણધર્મ $(x + iy)(x - iy) = x^2 + y^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$({a^2} + {b^2})({c^2} + {d^2})({e^2} + {f^2})({g^2} + {h^2}) = {A^2} + {B^2}$

(C) ધારો કે $z = x + iy$,જ્યાં $x, y \in \mathbb{R}$.
તેથી અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $\bar z = x - iy$ થાય.
પ્રથમ,$z + \bar z = (x + iy) + (x - iy) = 2x$,જે એક વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
બીજું,$z\,\bar z = (x + iy)(x - iy) = x^2 - (iy)^2 = x^2 + y^2$,જે પણ એક વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
તેથી,$z + \bar z$ અને $z\,\bar z$ બંને વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે.

(A) બે સંકર સંખ્યાઓ $z_1 = a + ib$ અને $z_2 = c + id$ એકબીજાની અનુબદ્ધ હોય જો $z_1 = \overline{z_2}$ થાય.
આપેલ છે $z_1 = 3 + i(x^2y)$ અને $z_2 = (x^2 + y) + 4i$.
$z_2$ ની અનુબદ્ધ સંખ્યા $\overline{z_2} = (x^2 + y) - 4i$ છે.
$z_1 = \overline{z_2}$ લેતા,$3 + i(x^2y) = (x^2 + y) - 4i$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા:
$x^2 + y = 3$ (સમીકરણ $1$)
$x^2y = - 4$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ પરથી,$x^2 = 3 - y$. આ કિંમત સમીકરણ $2$ માં મુકતા:
$(3 - y)y = - 4 \implies 3y - y^2 = - 4 \implies y^2 - 3y - 4 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(y - 4)(y + 1) = 0$,તેથી $y = 4$ અથવા $y = - 1$.
જો $y = 4$,તો $x^2 = 3 - 4 = - 1$,જે $x$ માટે કોઈ વાસ્તવિક કિંમત આપતું નથી.
જો $y = - 1$,તો $x^2 = 3 - (- 1) = 4$,તેથી $x = \pm 2$.
આમ,શક્ય કિંમતો $(x, y) = (2, - 1)$ અથવા $( - 2, - 1)$ છે.

(B) ધારો કે $z = \frac{2 + 5i}{4 - 3i}$.
છેદના અનુબદ્ધ $4 + 3i$ વડે અંશ અને છેદને ગુણતા:
$z = \frac{(2 + 5i)(4 + 3i)}{(4 - 3i)(4 + 3i)}$
$z = \frac{8 + 6i + 20i + 15i^2}{16 + 9}$
$i^2 = -1$ હોવાથી:
$z = \frac{8 + 26i - 15}{25} = \frac{-7 + 26i}{25}$
સંકર સંખ્યા $z = a + bi$ નો અનુબદ્ધ $\bar{z} = a - bi$ થાય.
તેથી,$\frac{-7 + 26i}{25}$ નો અનુબદ્ધ $\frac{-7 - 26i}{25}$ છે.

(C) આપેલ છે કે $a$ એક વાસ્તવિક સંખ્યા છે,તેથી $a = \bar{a}$ થાય.
હવે,પદ $(z + a)(\bar{z} + a)$ ધ્યાનમાં લો.
$a = \bar{a}$ હોવાથી,આપણે તેને $(z + a)(\bar{z} + \bar{a})$ તરીકે લખી શકીએ.
સંકર સંખ્યાના અનુબદ્ધ ગુણધર્મ મુજબ,$\bar{z} + \bar{a} = \overline{z + a}$ થાય.
તેથી,$(z + a)(\bar{z} + a) = (z + a)(\overline{z + a})$.
$|w|^2 = w \cdot \bar{w}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $(z + a)(\overline{z + a}) = |z + a|^2$ મળે છે.

(B) ધારો કે $z = x + iy$. તો $\frac{z - i}{z + i} = \frac{x + i(y - 1)}{x + i(y + 1)}$.
સરળ બનાવવા માટે,અંશ અને છેદને છેદના અનુબદ્ધ વડે ગુણો: $\frac{x + i(y - 1)}{x + i(y + 1)} \times \frac{x - i(y + 1)}{x - i(y + 1)}$.
$= \frac{x^2 - ix(y + 1) + ix(y - 1) + (y - 1)(y + 1)}{x^2 + (y + 1)^2} = \frac{(x^2 + y^2 - 1) - 2ix}{x^2 + (y + 1)^2}$.
આ પદ શુદ્ધ કાલ્પનિક હોવાથી,તેનો વાસ્તવિક ભાગ શૂન્ય થવો જોઈએ:
$x^2 + y^2 - 1 = 0 \implies x^2 + y^2 = 1$.
કારણ કે $z \cdot \bar{z} = |z|^2 = x^2 + y^2$,તેથી $z \cdot \bar{z} = 1$.

(A) આપેલ છે કે $\frac{c + i}{c - i} = a + ib$ $(i)$
બંને બાજુ અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા લેતા,આપણને મળે $\frac{c - i}{c + i} = a - ib$ $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો ગુણાકાર કરતા:
$\left(\frac{c + i}{c - i}\right) \times \left(\frac{c - i}{c + i}\right) = (a + ib)(a - ib)$
$1 = a^2 - (ib)^2$
$1 = a^2 - i^2b^2$
કારણ કે $i^2 = -1$,તેથી $1 = a^2 + b^2$
આમ,$a^2 + b^2 = 1$.

(C) આપેલ છે કે $\overline{(x + iy)(1 - 2i)} = 1 + i$.
ગુણધર્મ $\overline{z_1 z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\overline{(x + iy)} \cdot \overline{(1 - 2i)} = 1 + i$.
આથી $(x - iy)(1 + 2i) = 1 + i$.
તેથી,$x - iy = \frac{1 + i}{1 + 2i}$.
બંને બાજુ અનુબદ્ધ લેતા,$\overline{x - iy} = \overline{\left(\frac{1 + i}{1 + 2i}\right)}$.
આમ,$x + iy = \frac{1 - i}{1 - 2i}$.

(C) ધારો કે $z = \frac{(2 + i)^2}{3 + i}$.
અંશનું વિસ્તરણ કરતા: $(2 + i)^2 = 4 + 4i + i^2 = 3 + 4i$.
તેથી,$z = \frac{3 + 4i}{3 + i}$.
છેદની અનુબદ્ધ સંખ્યા $(3 - i)$ વડે અંશ અને છેદને ગુણતા:
$z = \frac{(3 + 4i)(3 - i)}{(3 + i)(3 - i)} = \frac{9 - 3i + 12i - 4i^2}{9 + 1} = \frac{13 + 9i}{10} = \frac{13}{10} + i\frac{9}{10}$.
$z = a + ib$ ની અનુબદ્ધ સંખ્યા $\bar{z} = a - ib$ થાય.
તેથી,માંગેલ અનુબદ્ધ સંખ્યા $\frac{13}{10} - i\frac{9}{10}$ છે.

(C) આપેલ છે $z = 3 + 5i$,તેથી અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $\bar{z} = 3 - 5i$ થાય.
પ્રથમ,$z^3$ ની ગણતરી કરો:
$z^3 = (3 + 5i)^3 = 3^3 + (5i)^3 + 3(3)(5i)(3 + 5i)$
$z^3 = 27 + 125i^3 + 45i(3 + 5i)$
$z^3 = 27 - 125i + 135i + 225i^2$
$i^2 = -1$ હોવાથી,$z^3 = 27 + 10i - 225 = -198 + 10i$.
હવે,પદાવલિમાં કિંમત મૂકતા:
$z^3 + \bar{z} + 198 = (-198 + 10i) + (3 - 5i) + 198$
$= (-198 + 198) + (10i - 5i) + 3$
$= 3 + 5i$.

(B) ધારો કે $z = \frac{2 - 3i}{4 - i}$.
સાદું રૂપ આપવા માટે,અંશ અને છેદને છેદના અનુબદ્ધ $4 + i$ વડે ગુણો:
$z = \frac{(2 - 3i)(4 + i)}{(4 - i)(4 + i)}$
$z = \frac{8 + 2i - 12i - 3i^2}{16 - i^2}$
$i^2 = -1$ હોવાથી:
$z = \frac{8 - 10i + 3}{16 + 1} = \frac{11 - 10i}{17}$
$z = a + bi$ નો અનુબદ્ધ $\bar{z} = a - bi$ થાય.
તેથી,$\frac{11 - 10i}{17}$ નો અનુબદ્ધ $\frac{11 + 10i}{17}$ છે.

(C) ધારો કે $z = 1 + i$.
સંકર સંખ્યા $z = a + ib$ ની અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $\bar{z} = a - ib$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
તેથી,$z = 1 + i$ માટે,અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $\bar{z} = 1 - i$ થાય.

(B) આપણે સંકર સંખ્યાના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $|z|^2 = z \bar{z}$.
$|{z_1} + {z_2}|^2 + |{z_1} - {z_2}|^2 = ({z_1} + {z_2})(\overline{{z_1} + {z_2}}) + ({z_1} - {z_2})(\overline{{z_1} - {z_2}})$
$= ({z_1} + {z_2})(\bar{{z_1}} + \bar{{z_2}}) + ({z_1} - {z_2})(\bar{{z_1}} - \bar{{z_2}})$
$= ({z_1}\bar{{z_1}} + {z_1}\bar{{z_2}} + {z_2}\bar{{z_1}} + {z_2}\bar{{z_2}}) + ({z_1}\bar{{z_1}} - {z_1}\bar{{z_2}} - {z_2}\bar{{z_1}} + {z_2}\bar{{z_2}})$
$= 2{z_1}\bar{{z_1}} + 2{z_2}\bar{{z_2}}$
$= 2|{z_1}|^2 + 2|{z_2}|^2$

(C) કોઈપણ સંકર સંખ્યા $z = x + iy$ માટે,$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ થાય.
$(a)$ $|z^2| = |(x + iy)^2| = |x^2 - y^2 + 2ixy| = \sqrt{(x^2 - y^2)^2 + (2xy)^2} = \sqrt{x^4 + y^4 - 2x^2y^2 + 4x^2y^2} = \sqrt{(x^2 + y^2)^2} = x^2 + y^2 = |z|^2$. આ સત્ય છે.
$(b)$ $|z| = |\bar{z}|$ હોવાથી,$|z|^2 = |\bar{z}|^2$ થાય. તેથી,$|z^2| = |\bar{z}|^2$ સત્ય છે.
$(c)$ $z = \bar{z}$ નો અર્થ $x + iy = x - iy$ થાય,જેનો અર્થ $2iy = 0$ અથવા $y = 0$ થાય. આ ફક્ત ત્યારે જ સત્ય છે જો $z$ વાસ્તવિક સંખ્યા હોય. તે તમામ સંકર સંખ્યાઓ માટે સત્ય નથી.
$(d)$ $\bar{z^2} = (\bar{z})^2$ એ સંકર અનુબદ્ધનો પ્રમાણિત ગુણધર્મ છે. આ સત્ય છે.
તેથી,જે વિધાન સત્ય નથી તે $z = \bar{z}$ છે.

(A) ધારો કે બે સંકર સંખ્યાઓ $z_1$ અને $z_2$ છે,જ્યાં $|z_1| = 1$ અને $|z_2| = 1$ છે.
સંકર સંખ્યાઓના ગુણાકારના માનાંકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $|z_1 z_2| = |z_1| |z_2|$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,આપણને $|z_1 z_2| = 1 \times 1 = 1$ મળે છે.
આમ,ગુણાકાર $z_1 z_2$ પણ એકમ માનાંક ધરાવતી સંકર સંખ્યા છે.

(A) ધારો કે એક સંકર સંખ્યા $z$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જે $z^4 + z + 2 = 0$ નું સમાધાન કરે છે અને $|z| < 1$ છે.
તેથી $z^4 + z = -2$.
બંને બાજુ માનાંક લેતા,$|z^4 + z| = |-2| = 2$ મળે.
ત્રિકોણ અસમતા મુજબ,$|z^4 + z| \le |z^4| + |z| = |z|^4 + |z|$.
કારણ કે $|z| < 1$,તેથી $|z|^4 < 1$ અને $|z| < 1$ થાય.
તેથી,$|z^4 + z| < 1 + 1 = 2$.
આનો અર્થ એ થાય કે $2 < 2$,જે વિરોધાભાસ છે.
આમ,સમીકરણનું કોઈ બીજ $|z| < 1$ શરત ધરાવતું હોઈ શકે નહીં.

(C) આપેલ છે કે $|z_k| = 1$,જ્યાં $k = 1, 2, \dots, n$.
$|z_k|^2 = z_k \overline{z_k} = 1$ હોવાથી,$\overline{z_k} = \frac{1}{z_k}$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|z| = |\overline{z}|$.
તેથી,$|z_1 + z_2 + \dots + z_n| = |\overline{z_1 + z_2 + \dots + z_n}|$.
અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યાના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$|\overline{z_1} + \overline{z_2} + \dots + \overline{z_n}| = \left| \frac{1}{z_1} + \frac{1}{z_2} + \dots + \frac{1}{z_n} \right|$.
આમ,$|z_1 + z_2 + \dots + z_n| = \left| \frac{1}{z_1} + \frac{1}{z_2} + \dots + \frac{1}{z_n} \right|$.

(B) આપેલ છે કે $\bar{z} = \frac{1}{z}$.
બંને બાજુ $z$ વડે ગુણતા,આપણને $z \cdot \bar{z} = 1$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ સંકર સંખ્યા $z$ માટે,$z \cdot \bar{z} = |z|^2$.
તેથી,$|z|^2 = 1$.
માનાંક $|z|$ હંમેશા અ-ઋણ હોવાથી,આપણને $|z| = 1$ મળે છે.

(A) સંકર સંખ્યાઓ માટે ત્રિકોણની અસમતા મુજબ,કોઈપણ બે સંકર સંખ્યાઓ ${z_1}$ અને ${z_2}$ માટે,આપણી પાસે ગુણધર્મ છે $|{z_1} - {z_2}| \ge ||{z_1}| - |{z_2}||$.
આનો અર્થ એ થાય છે કે $|{z_1} - {z_2}| \ge |{z_1}| - |{z_2}|$ અને $|{z_1} - {z_2}| \ge |{z_2}| - |{z_1}|$.
તેથી,સાચો સંબંધ $|{z_1} - {z_2}| \ge |{z_1}| - |{z_2}|$ છે.

(A) આપેલ છે કે $z = x + iy$.
તેથી,$z - 5 = (x + iy) - 5 = (x - 5) + iy$.
સંકર સંખ્યા $a + ib$ નો માનાંક $\sqrt{a^2 + b^2}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
તેથી,$|z - 5| = |(x - 5) + iy| = \sqrt{(x - 5)^2 + y^2}$.

(C) અમે સંકર આપણે સંકર સંખ્યાઓના માનાંકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $|z_1 z_2| = |z_1| |z_2|$ અને $|\frac{z_1}{z_2}| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$.
$\left| {(1 + i)\frac{{(2 + i)}}{{(3 + i)}}} \right| = |1 + i| \times \frac{|2 + i|}{|3 + i|}$
$= \sqrt{1^2 + 1^2} \times \frac{\sqrt{2^2 + 1^2}}{\sqrt{3^2 + 1^2}}$
$= \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}$
$= \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}} = 1$.

(A) ધારો કે $z = \frac{3 + 2i}{3 - 2i}$.
માનાંકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$|\frac{z_1}{z_2}| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$.
$|z| = \left| \frac{3 + 2i}{3 - 2i} \right| = \frac{|3 + 2i|}{|3 - 2i|}$.
$|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$ હોવાથી,$|3 + 2i| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$.
તે જ રીતે,$|3 - 2i| = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$.
તેથી,$|z| = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}} = 1$.

(A) આપેલ છે કે $|z| = 1$,ધારો કે $z = x + iy$,તેથી $x^2 + y^2 = 1$.
$\omega = \frac{z - 1}{z + 1} = \frac{(x - 1) + iy}{(x + 1) + iy}$.
વાસ્તવિક ભાગ શોધવા માટે,અંશ અને છેદને છેદના અનુબદ્ધ $(x + 1) - iy$ વડે ગુણતા:
$\omega = \frac{((x - 1) + iy)((x + 1) - iy)}{(x + 1)^2 + y^2} = \frac{(x^2 - 1) + i(y(x + 1) - y(x - 1)) + y^2}{(x + 1)^2 + y^2}$.
$\omega = \frac{(x^2 + y^2 - 1) + i(xy + y - xy + y)}{(x + 1)^2 + y^2} = \frac{(1 - 1) + 2iy}{(x + 1)^2 + y^2} = \frac{2iy}{(x + 1)^2 + y^2}$.
તેથી,વાસ્તવિક ભાગ $0$ છે,એટલે કે $\text{Re}(\omega) = 0$.

(B) આપેલ છે કે $|{z_1}| = 1$ અને ${z_2}$ એ કોઈપણ સંકર સંખ્યા છે.
પદ $\left| \frac{{z_1 - z_2}}{{1 - z_1 \bar{z}_2}} \right|$ ને ધ્યાનમાં લો.
$|{z_1}| = 1$ હોવાથી,${z_1} \bar{z}_1 = |{z_1}|^2 = 1$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\bar{z}_1 = \frac{1}{z_1}$.
છેદમાં આ કિંમત મૂકતા: $\left| 1 - z_1 \bar{z}_2 \right| = \left| z_1 \bar{z}_1 - z_1 \bar{z}_2 \right| = |z_1| |\bar{z}_1 - \bar{z}_2|$.
$|z_1| = 1$ હોવાથી,આ $|\bar{z}_1 - \bar{z}_2| = |\overline{z_1 - z_2}|$ માં પરિણમે છે.
$|\bar{z}| = |z|$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $|\overline{z_1 - z_2}| = |z_1 - z_2|$ મળે છે.
તેથી,$\left| \frac{{z_1 - z_2}}{{1 - z_1 \bar{z}_2}} \right| = \frac{|z_1 - z_2|}{|z_1| |\bar{z}_1 - \bar{z}_2|} = \frac{|z_1 - z_2|}{|z_1 - z_2|} = 1$.

(D) ધારો કે $z = \frac{1 + i}{1 - i}$.
અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ સંખ્યા $(1 + i)$ વડે ગુણતા:
$z = \frac{(1 + i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{1 + 2i + i^2}{1^2 - i^2} = \frac{1 + 2i - 1}{1 + 1} = \frac{2i}{2} = i$.
આપણે $z = 0 + 1i$ લખી શકીએ.
માનાંક $|z| = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1$ છે.
કોણાંક $\theta$ માટે $\cos \theta = 0$ અને $\sin \theta = 1$ થાય,જે $\theta = \frac{\pi}{2}$ આપે છે.
આમ,કોણાંક $\frac{\pi}{2}$ અને માનાંક $1$ છે.

(D) ધારો કે $z = x + iy$,તો $\bar{z} = x - iy$.
કારણ કે $\arg(z) = \theta = \tan^{-1}(\frac{y}{x})$,
$\arg(\bar{z}) = \tan^{-1}(\frac{-y}{x}) = -\theta$.
આમ,$\arg(z) \neq \arg(\bar{z})$.
તેથી,સંબંધ $\arg(z) = \arg(\bar{z})$ ખોટો છે.

(B) ધારો કે $z_1 = r(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1)$.
આપેલ છે કે $|z_1| = |z_2|$,તેથી $|z_2| = r$.
આપેલ છે કે $\text{amp}(z_1) + \text{amp}(z_2) = 0$,તેથી $\text{amp}(z_2) = -\theta_1$.
આમ,$z_2 = r(\cos(-\theta_1) + i \sin(-\theta_1)) = r(\cos \theta_1 - i \sin \theta_1)$.
કારણ કે $\bar{z}_1 = r(\cos \theta_1 - i \sin \theta_1)$,તેથી $\bar{z}_1 = z_2$ થાય છે.

(B) આપેલ છે કે $z = \cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6}$.
આ ધ્રુવીય સ્વરૂપ $z = r(\cos \theta + i\sin \theta)$ માં છે,જ્યાં $r = |z|$ અને $\theta = \arg(z)$ છે.
આપેલ પદને ધ્રુવીય સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $r = |z| = 1$ અને $\theta = \arg(z) = \frac{\pi}{6}$ મળે છે.
આમ,$|z| = 1$ અને $\arg(z) = \frac{\pi}{6}$ છે.

(C) આપેલ છે: $(\sqrt{8} + i)^{50} = 3^{49}(a + ib)$.
બંને બાજુ માનાંક લેતા:
$|(\sqrt{8} + i)^{50}| = |3^{49}(a + ib)|$
$|\sqrt{8} + i|^{50} = 3^{49} |a + ib|$
અહીં $|\sqrt{8} + i| = \sqrt{(\sqrt{8})^2 + 1^2} = \sqrt{8 + 1} = \sqrt{9} = 3$ હોવાથી:
$3^{50} = 3^{49} \sqrt{a^2 + b^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(3^{50})^2 = (3^{49})^2 (a^2 + b^2)$
$3^{100} = 3^{98} (a^2 + b^2)$
$a^2 + b^2 = \frac{3^{100}}{3^{98}} = 3^2 = 9$.

(A) આપેલ છે કે $x + iy = \sqrt{\frac{a + ib}{c + id}}$.
બંને બાજુ અનુબદ્ધ લેતા,આપણને $x - iy = \sqrt{\frac{a - ib}{c - id}}$ મળે છે.
હવે,આ બે સમીકરણોનો ગુણાકાર કરતા:
$(x + iy)(x - iy) = \sqrt{\frac{a + ib}{c + id}} \times \sqrt{\frac{a - ib}{c - id}}$
$x^2 + y^2 = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $(x^2 + y^2)^2 = \frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2}$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $|1 - i|^x = 2^x$ છે.
પ્રથમ,સંકર સંખ્યા $1 - i$ નો માનાંક શોધો:
$|1 - i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$(\sqrt{2})^x = 2^x$.
આને આ રીતે લખી શકાય:
$(2^{1/2})^x = 2^x$
$2^{x/2} = 2^x$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$\frac{x}{2} = x$
$x = 0$.
માત્ર એક જ ઉકેલ $x = 0$ મળે છે,જે શૂન્યતર પૂર્ણાંક નથી.
તેથી,શૂન્યતર પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $0$ છે.

(B) આપેલ છે કે $z = r{e^{i\theta }} = r(\cos \theta + i\sin \theta )$.
તેથી $iz = ir(\cos \theta + i\sin \theta ) = -r\sin \theta + ir\cos \theta$.
તેથી,${e^{iz}} = {e^{-r\sin \theta + ir\cos \theta}} = {e^{-r\sin \theta}} \cdot {e^{i(r\cos \theta)}}$.
બંને બાજુ માનાંક લેતા:
$|{e^{iz}}| = |{e^{-r\sin \theta}}| \cdot |{e^{i(r\cos \theta)}}|$.
કારણ કે ${e^{-r\sin \theta}}$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા છે,$|{e^{-r\sin \theta}}| = {e^{-r\sin \theta}}$.
વળી,$|{e^{i(r\cos \theta)}}| = |\cos(r\cos \theta) + i\sin(r\cos \theta)| = \sqrt{\cos^2(r\cos \theta) + \sin^2(r\cos \theta)} = 1$.
આમ,$|{e^{iz}}| = {e^{-r\sin \theta}} \cdot 1 = {e^{-r\sin \theta}}$.

(B) $\frac{1 - i}{1 + i}$ ને સરળ બનાવવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને છેદના અનુબદ્ધ $(1 - i)$ વડે ગુણીએ છીએ:
$\frac{1 - i}{1 + i} = \frac{(1 - i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)}$
$= \frac{1 - 2i + i^2}{1^2 - i^2}$
$= \frac{1 - 2i - 1}{1 + 1}$
$= \frac{-2i}{2} = -i$
હવે,$-i$ ને ધ્રુવીય સ્વરૂપ $\cos \theta + i \sin \theta$ માં દર્શાવતા:
કારણ કે $\cos \frac{\pi}{2} = 0$ અને $\sin \frac{\pi}{2} = 1$,તેથી:
$-i = 0 - i(1) = \cos \frac{\pi}{2} - i \sin \frac{\pi}{2}$

(D) આપેલ છે $x + \frac{1}{x} = \sqrt{3}$.
$x$ વડે ગુણતા,$x^2 - \sqrt{3}x + 1 = 0$ મળે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{(\sqrt{3})^2 - 4(1)(1)}}{2(1)}$
$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3 - 4}}{2} = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{-1}}{2} = \frac{\sqrt{3} \pm i}{2}$.
આમ,$x = \frac{\sqrt{3}}{2} \pm \frac{i}{2}$.
ધન ચિહ્ન લેતા,$x = \frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2} = \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}$.

(B) આપેલ છે કે $\left| \omega + \frac{1}{\omega} \right| = 2$.
ત્રિકોણ અસમતા $\left| z_1 + z_2 \right| \le \left| z_1 \right| + \left| z_2 \right|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\left| \omega \right| = \left| \left( \omega + \frac{1}{\omega} \right) - \frac{1}{\omega} \right| \le \left| \omega + \frac{1}{\omega} \right| + \left| \frac{1}{\omega} \right|$.
આપેલ કિંમત મૂકતા:
$\left| \omega \right| \le 2 + \frac{1}{\left| \omega \right|}$.
ધારો કે $r = \left| \omega \right|$. તેથી $r \le 2 + \frac{1}{r}$,જેનો અર્થ છે કે $r^2 - 2r - 1 \le 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરીને $r^2 - 2r - 1 = 0$ ઉકેલતા:
$r = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.
કારણ કે $r = \left| \omega \right| > 0$,આપણે $r \le 1 + \sqrt{2}$ લઈએ છીએ.
આમ,ઉગમબિંદુથી $\omega$ નું મહત્તમ અંતર $1 + \sqrt{2}$ છે.

(A) સંકર સંખ્યાઓ માટે ત્રિકોણની અસમતા મુજબ,કોઈપણ બે સંકર સંખ્યાઓ ${z_1}$ અને ${z_2}$ માટે,તેમના સરવાળાનું માનાંક તેમના માનાંકના સરવાળા કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને $|{z_1} + {z_2}| \le |{z_1}| + |{z_2}|$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) સંકર સંખ્યાઓ માટે ત્રિકોણ અસમતા મુજબ,કોઈપણ બે સંકર સંખ્યાઓ ${z_1}$ અને ${z_2}$ માટે નીચે મુજબનું પરિણામ મળે છે:
$|{z_1} + {z_2}| \le |{z_1}| + |{z_2}|$
$|{z_1} - {z_2}| \ge ||{z_1}| - |{z_2}||$
$|{z_1} + {z_2}| \ge ||{z_1}| - |{z_2}||$
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,અસમતા $|{z_1} + {z_2}| \ge ||{z_1}| - |{z_2}||$ એ ત્રિકોણ અસમતા પરથી મેળવેલ એક પ્રમાણિત ગુણધર્મ છે.

(C) માનાંક માટેની ત્રિકોણ અસમતા મુજબ,કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ માટે,$|x - y| \ge |x| - |y|$ થાય છે.
આ માનાંક વિધેયનો એક મૂળભૂત ગુણધર્મ છે.
તેથી,સાચું વિધાન $|x - y| \ge |x| - |y|$ છે.

(B) આપણે $|z|^2 = z \cdot \overline{z}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$|az_1 - bz_2|^2 + |bz_1 + az_2|^2 = (az_1 - bz_2)(\overline{az_1 - bz_2}) + (bz_1 + az_2)(\overline{bz_1 + az_2})$
$= (az_1 - bz_2)(a\overline{z_1} - b\overline{z_2}) + (bz_1 + az_2)(b\overline{z_1} + a\overline{z_2})$
$= (a^2|z_1|^2 - ab z_1\overline{z_2} - ab \overline{z_1}z_2 + b^2|z_2|^2) + (b^2|z_1|^2 + ab z_1\overline{z_2} + ab \overline{z_1}z_2 + a^2|z_2|^2)$
$= a^2|z_1|^2 + b^2|z_2|^2 + b^2|z_1|^2 + a^2|z_2|^2$
$= (a^2 + b^2)|z_1|^2 + (a^2 + b^2)|z_2|^2$
$= (a^2 + b^2)(|z_1|^2 + |z_2|^2)$

(A) આપેલ છે કે $|{z_1}| = |{z_2}| = |{z_3}| = 1$.
$|{z_i}| = 1$ હોવાથી,$|{z_i}|^2 = {z_i} \overline{z_i} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $i = 1, 2, 3$ માટે $\frac{1}{z_i} = \overline{z_i}$.
આપેલ છે કે $\left| \frac{1}{z_1} + \frac{1}{z_2} + \frac{1}{z_3} \right| = 1$.
$\frac{1}{z_i} = \overline{z_i}$ મૂકતા,આપણને $|\overline{z_1} + \overline{z_2} + \overline{z_3}| = 1$ મળે છે.
અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યાના ગુણધર્મ $|\overline{z}| = |z|$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $|\overline{z_1 + z_2 + z_3}| = |z_1 + z_2 + z_3| = 1$ મળે છે.
તેથી,$|{z_1} + {z_2} + {z_3}| = 1$.

(A) $x = -3$ માટે પદાવલિ $\left| \frac{3x^3 + 1}{2x^2 + 2} \right|$ નું મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે $x = -3$ ને પદાવલિમાં મૂકીશું:
પગલું $1$: અંશની ગણતરી કરો: $3(-3)^3 + 1 = 3(-27) + 1 = -81 + 1 = -80$.
પગલું $2$: છેદની ગણતરી કરો: $2(-3)^2 + 2 = 2(9) + 2 = 18 + 2 = 20$.
પગલું $3$: અંશને છેદ વડે ભાગો: $\frac{-80}{20} = -4$.
પગલું $4$: નિરપેક્ષ મૂલ્ય (absolute value) લાગુ કરો: $|-4| = 4$.
તેથી,સંખ્યાત્મક મૂલ્ય $4$ છે.