De Moivre's theorem and Roots of unity Questions in Gujarati

(A) આપેલ છે કે $y = \cos \theta + i\sin \theta = e^{i\theta}$.
ડી મોઇવરના પ્રમેય મુજબ,$\frac{1}{y} = y^{-1} = (e^{i\theta})^{-1} = e^{-i\theta} = \cos \theta - i\sin \theta$.
તેથી,$y + \frac{1}{y} = (\cos \theta + i\sin \theta) + (\cos \theta - i\sin \theta) = 2\cos \theta$.

(D) આપણે $-i$ ના ઘનમૂળ શોધવાની જરૂર છે.
ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં,$-i = \cos(\frac{3\pi}{2}) + i\sin(\frac{3\pi}{2})$.
ઘનમૂળ $z_k = \cos(\frac{3\pi/2 + 2k\pi}{3}) + i\sin(\frac{3\pi/2 + 2k\pi}{3})$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $k = 0, 1, 2$.
$k=0$ માટે: $z_0 = \cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2}) = i$.
$k=1$ માટે: $z_1 = \cos(\frac{7\pi}{6}) + i\sin(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i = \frac{-\sqrt{3} - i}{2}$.
$k=2$ માટે: $z_2 = \cos(\frac{11\pi}{6}) + i\sin(\frac{11\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i = \frac{\sqrt{3} - i}{2}$.
આમ,$\frac{-\sqrt{3} - i}{2}$ અને $\frac{\sqrt{3} - i}{2}$ બંને $(-i)^{1/3}$ ના મૂળ હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપણે સંકર સંખ્યાને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં દર્શાવીએ: $1 + i\sqrt{3} = 2\left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right) = 2e^{i\pi/3}$.
ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $(1 + i\sqrt{3})^9 = (2e^{i\pi/3})^9 = 2^9 \cdot e^{i(3\pi)}$.
કારણ કે $e^{i(3\pi)} = \cos(3\pi) + i\sin(3\pi) = -1 + i(0) = -1$,તેથી $(1 + i\sqrt{3})^9 = 2^9(-1) = -512$.
$a + ib$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = -512$ અને $b = 0$ મળે છે.

(C) આપેલ છે $z = \frac{1 + i\sqrt{3}}{\sqrt{3} + i}$.
અંશ અને છેદને છેદના અનુબદ્ધ વડે ગુણતા: $z = \frac{1 + i\sqrt{3}}{\sqrt{3} + i} \times \frac{\sqrt{3} - i}{\sqrt{3} - i}$.
$z = \frac{\sqrt{3} - i + 3i - i^2\sqrt{3}}{3 + 1} = \frac{2\sqrt{3} + 2i}{4} = \frac{\sqrt{3} + i}{2}$.
$z = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$.
તેથી $\bar{z} = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) - i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$.
ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(\bar{z})^{100} = \cos\left(\frac{50\pi}{3}\right) - i\sin\left(\frac{50\pi}{3}\right)$.
$\frac{50\pi}{3} = 16\pi + \frac{2\pi}{3}$ હોવાથી,$(\bar{z})^{100} = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) - i\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)$.
આ કિંમત $-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$ થાય છે.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક બંને ભાગ ઋણ હોવાથી,$(\bar{z})^{100}$ એ $III$ ચરણમાં આવેલું છે.

(D) ધારો કે $z = -1 + i\sqrt{3}$. માનાંક $r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$.
આપણે $z = 2 \left( -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right)$ લખી શકીએ.
ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$z^{20} = 2^{20} \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right)^{20} = 2^{20} \left( \cos \frac{40\pi}{3} + i \sin \frac{40\pi}{3} \right)$.
કારણ કે $\frac{40\pi}{3} = 13\pi + \frac{\pi}{3} = 6(2\pi) + \frac{4\pi}{3}$,તેથી $\cos \frac{40\pi}{3} = \cos \frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2}$ અને $\sin \frac{40\pi}{3} = \sin \frac{4\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
આમ,$z^{20} = 2^{20} \left( -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2^{19}(-1 - i\sqrt{3})$.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ સાચું નથી.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $i = \cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2})$.
વર્ગમૂળ માટે ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$\sqrt{i} = (i)^{1/2} = [\cos(\frac{\pi}{2} + 2n\pi) + i\sin(\frac{\pi}{2} + 2n\pi)]^{1/2}$ જ્યાં $n = 0, 1$.
$n = 0$ માટે:
$\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 + i}{\sqrt{2}}$.
$n = 1$ માટે:
$\cos(\frac{5\pi}{4}) + i\sin(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}} - i\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{1 + i}{\sqrt{2}}$.
આમ,$\sqrt{i} = \pm \frac{1 + i}{\sqrt{2}}$.
ટ્રિક: વિકલ્પ $\pm \frac{1 + i}{\sqrt{2}}$ નો વર્ગ કરતા $\frac{(1 + i)^2}{2} = \frac{1 + 2i + i^2}{2} = \frac{1 + 2i - 1}{2} = i$ મળે છે.

(D) આપેલ પદાવલિ: $\frac{(\cos \theta + i\sin \theta)^4}{(\sin \theta + i\cos \theta)^5}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \theta + i\cos \theta = i(\cos \theta - i\sin \theta) = i(\cos \theta + i\sin \theta)^{-1}$.
છેદમાં આ કિંમત મૂકતા:
$\frac{(\cos \theta + i\sin \theta)^4}{[i(\cos \theta + i\sin \theta)^{-1}]^5} = \frac{(\cos \theta + i\sin \theta)^4}{i^5(\cos \theta + i\sin \theta)^{-5}}$
$i^5 = i$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\frac{(\cos \theta + i\sin \theta)^4}{i(\cos \theta + i\sin \theta)^{-5}} = \frac{1}{i} (\cos \theta + i\sin \theta)^{4 - (-5)} = \frac{1}{i} (\cos \theta + i\sin \theta)^9$
ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{i} (\cos 9\theta + i\sin 9\theta) = -i(\cos 9\theta + i\sin 9\theta) = -i\cos 9\theta - i^2\sin 9\theta = \sin 9\theta - i\cos 9\theta$.

(B) આપેલ છે કે $z = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + i\frac{1}{2}} \right)^5} + {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} - i\frac{1}{2}} \right)^5}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{{\sqrt 3 }}{2} + i\frac{1}{2} = \cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right) + i\sin \left( {\frac{\pi }{6}} \right) = e^{i\pi/6}$.
તે જ રીતે,$\frac{{\sqrt 3 }}{2} - i\frac{1}{2} = \cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right) - i\sin \left( {\frac{\pi }{6}} \right) = e^{-i\pi/6}$.
ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$z = (e^{i\pi/6})^5 + (e^{-i\pi/6})^5 = e^{i5\pi/6} + e^{-i5\pi/6}$.
આનું સાદું રૂપ $z = 2\cos \left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right)$ થાય છે.
કારણ કે $\cos \left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) = -\frac{{\sqrt 3 }}{2}$,તેથી $z = 2 \times \left( -\frac{{\sqrt 3 }}{2} \right) = -\sqrt 3$.
$z$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા હોવાથી,તેનો કાલ્પનિક ભાગ $\text{Im}(z) = 0$ થાય.

(A) ધારો કે $z = 2 - 2i$. માનાંક $r = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = 2\sqrt{2}$.
કોણ $\theta = -\frac{\pi}{4}$.
$z = 2\sqrt{2} \left( \cos(\frac{\pi}{4}) - i\sin(\frac{\pi}{4}) \right)$.
ડી મોઇવરના પ્રમેય મુજબ,$k = 0, 1, 2$ માટે બીજ $z_k = (2\sqrt{2})^{1/3} \left( \cos \frac{2k\pi - \pi/4}{3} + i\sin \frac{2k\pi - \pi/4}{3} \right)$ છે.
$k=0$ માટે: $\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{12} - i\sin \frac{\pi}{12} \right)$.
$k=1$ માટે: $\sqrt{2} \left( -\sin \frac{\pi}{12} + i\cos \frac{\pi}{12} \right)$.
$k=2$ માટે: $-1 - i$.

(C) આપેલ અભિવ્યક્તિ: $E = (\cos 2\theta + i\sin 2\theta )^{ - 5} (\cos 3\theta - i\sin 3\theta )^6 (\sin \theta - i\cos \theta )^3$.
ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને પદોને સરળ બનાવતા:
$(\cos 2\theta + i\sin 2\theta )^{ - 5} = \cos(-10\theta) + i\sin(-10\theta)$.
$(\cos 3\theta - i\sin 3\theta )^6 = (\cos(-3\theta) + i\sin(-3\theta))^6 = \cos(-18\theta) + i\sin(-18\theta)$.
$(\sin \theta - i\cos \theta )^3 = [-i(\cos \theta + i\sin \theta )]^3 = (-i)^3 (\cos \theta + i\sin \theta )^3 = i(\cos 3\theta + i\sin 3\theta)$.
આનો ગુણાકાર કરતા:
$E = [\cos(-10\theta) + i\sin(-10\theta)] [\cos(-18\theta) + i\sin(-18\theta)] [i(\cos 3\theta + i\sin 3\theta)]$.
$E = i [\cos(-10\theta - 18\theta + 3\theta) + i\sin(-10\theta - 18\theta + 3\theta)]$.
$E = i [\cos(-25\theta) + i\sin(-25\theta)] = i(\cos 25\theta - i\sin 25\theta)$.

(A) આપેલ છે કે $a = \sqrt{2i}$.
આપણે $2i$ ને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં $2(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2})$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
તેથી $a = \sqrt{2} (\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2})^{1/2}$.
ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$a = \sqrt{2} (\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})$.
$a = \sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}} + i \frac{1}{\sqrt{2}}) = 1 + i$.
વૈકલ્પિક રીતે,વિકલ્પોનો વર્ગ કરતા: $(1+i)^2 = 1^2 + i^2 + 2i = 1 - 1 + 2i = 2i$. આમ,$a = 1+i$ સાચું છે.

(B) આપેલ પદાવલિ: $L.H.S. = {\left[ \frac{1 + \cos \phi + i\sin \phi }{1 + \cos \phi - i\sin \phi } \right]^n}$
અડધા ખૂણાના નિત્યસમ $1 + \cos \phi = 2\cos^2(\phi/2)$ અને $\sin \phi = 2\sin(\phi/2)\cos(\phi/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L.H.S. = {\left[ \frac{2\cos^2(\phi/2) + 2i\sin(\phi/2)\cos(\phi/2)}{2\cos^2(\phi/2) - 2i\sin(\phi/2)\cos(\phi/2)} \right]^n}$
$= {\left[ \frac{2\cos(\phi/2)(\cos(\phi/2) + i\sin(\phi/2))}{2\cos(\phi/2)(\cos(\phi/2) - i\sin(\phi/2))} \right]^n}$
$= {\left[ \frac{\cos(\phi/2) + i\sin(\phi/2)}{\cos(\phi/2) - i\sin(\phi/2)} \right]^n}$
ઓઈલરના સૂત્ર $e^{i\theta} = \cos \theta + i\sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= {\left[ \frac{e^{i\phi/2}}{e^{-i\phi/2}} \right]^n} = {(e^{i\phi/2 + i\phi/2})^n} = {(e^{i\phi})^n}$
$= e^{in\phi} = \cos n\phi + i\sin n\phi$.

(D) ધારો કે $z = \frac{1 + \cos \theta + i\sin \theta}{i + \sin \theta + i\cos \theta}$.
અંશનું સાદુંરૂપ: $1 + \cos \theta + i\sin \theta = 2\cos^2(\theta/2) + 2i\sin(\theta/2)\cos(\theta/2) = 2\cos(\theta/2) [\cos(\theta/2) + i\sin(\theta/2)]$.
છેદનું સાદુંરૂપ: $i + \sin \theta + i\cos \theta = i(1 + \cos \theta) + \sin \theta = 2\cos(\theta/2) [\sin(\theta/2) + i\cos(\theta/2)]$.
આમ,$z = \frac{1}{i} \frac{\cos(\theta/2) + i\sin(\theta/2)}{\cos(\theta/2) - i\sin(\theta/2)} = -i [\cos(\theta/2) + i\sin(\theta/2)]^2 = -i(\cos \theta + i\sin \theta)$.
તેથી,$z^4 = (-i)^4 (\cos \theta + i\sin \theta)^4 = \cos 4\theta + i\sin 4\theta$.
સરખાવતા,$n = 4$ મળે છે.

(D) આપણી પાસે પદાવલિ $Z = {\left( \frac{\cos \theta + i\sin \theta}{\sin \theta + i\cos \theta} \right)^4}$ છે.
નોંધો કે $\sin \theta + i\cos \theta = i(\cos \theta - i\sin \theta)$.
તેથી,$Z = \frac{(\cos \theta + i\sin \theta)^4}{i^4(\cos \theta - i\sin \theta)^4}$.
$i^4 = 1$ હોવાથી,આપણે ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $(\cos \theta + i\sin \theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$.
$Z = \frac{\cos 4\theta + i\sin 4\theta}{\cos 4\theta - i\sin 4\theta}$.
અંશ અને છેદને $(\cos 4\theta + i\sin 4\theta)$ વડે ગુણતા:
$Z = \frac{(\cos 4\theta + i\sin 4\theta)^2}{\cos^2 4\theta + \sin^2 4\theta}$.
$\cos^2 4\theta + \sin^2 4\theta = 1$ હોવાથી,આપણને $Z = (\cos 4\theta + i\sin 4\theta)^2 = \cos 8\theta + i\sin 8\theta$ મળે છે.

(C) ધારો કે $z = -\sqrt{3} + i$.
પ્રથમ,$z$ ને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં દર્શાવો: $z = 2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}\right) = 2(\cos 150^\circ + i \sin 150^\circ)$.
ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$z^{53} = 2^{53}(\cos 150^\circ + i \sin 150^\circ)^{53}$.
$z^{53} = 2^{53}(\cos(53 \times 150^\circ) + i \sin(53 \times 150^\circ))$.
$53 \times 150^\circ = 7950^\circ$.
$7950^\circ$ ને $360^\circ$ વડે ભાગતા: $7950 = 22 \times 360 + 30$.
તેથી,$z^{53} = 2^{53}(\cos 30^\circ + i \sin 30^\circ)$.
$z^{53} = 2^{53}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}\right)$.

(B) ધારો કે $\theta = \frac{\pi}{10}$. પદાવલિ $\left[ \frac{1 - \cos \theta + i\sin \theta}{1 - \cos \theta - i\sin \theta} \right]^{10}$ છે.
નિત્યસમ $1 - \cos \theta = 2\sin^2 \frac{\theta}{2}$ અને $\sin \theta = 2\sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
અંશ $= 2\sin^2 \frac{\theta}{2} + i(2\sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}) = 2i\sin \frac{\theta}{2} e^{-i\theta/2}$.
છેદ $= 2\sin^2 \frac{\theta}{2} - i(2\sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}) = -2i\sin \frac{\theta}{2} e^{i\theta/2}$.
ભાગાકાર કરતા: $\frac{2i\sin \frac{\theta}{2} e^{-i\theta/2}}{-2i\sin \frac{\theta}{2} e^{i\theta/2}} = -e^{-i\theta} = -(\cos \theta - i\sin \theta)$.
$10$ ઘાત લેતા: $(-1)^{10} (\cos \theta - i\sin \theta)^{10} = 1 \cdot (\cos 10\theta - i\sin 10\theta) = \cos \pi - i\sin \pi = -1$.

(A) ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $(\cos \theta + i\sin \theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$.
ધારો કે $z = \cos \theta + i\sin \theta$. તો $\cos n\theta - i\sin n\theta = z^{-n}$ અને $\cos n\theta + i\sin n\theta = z^n$.
આ પદાવલિ નીચે મુજબ બને છે:
$\frac{(z^{-2})^4 (z^4)^{-5}}{(z^3)^{-2} (z^{-3})^{-9}}$
$= \frac{z^{-8} \cdot z^{-20}}{z^{-6} \cdot z^{27}}$
$= \frac{z^{-28}}{z^{21}}$
$= z^{-28-21} = z^{-49}$
$= \cos(-49\theta) + i\sin(-49\theta)$
$= \cos 49\theta - i\sin 49\theta$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \theta = \cos \left( \frac{\pi }{2} - \theta \right)$ અને $\cos \theta = \sin \left( \frac{\pi }{2} - \theta \right)$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા,$(\sin \theta + i\cos \theta )^n = \left[ \cos \left( \frac{\pi }{2} - \theta \right) + i\sin \left( \frac{\pi }{2} - \theta \right) \right]^n$.
ડી મોઇવરના પ્રમેય મુજબ,$(\cos \phi + i\sin \phi )^n = \cos(n\phi) + i\sin(n\phi)$.
અહીં $\phi = \frac{\pi }{2} - \theta$ લેતા,આપણને $\cos n\left( \frac{\pi }{2} - \theta \right) + i\sin n\left( \frac{\pi }{2} - \theta \right)$ મળે છે.

(A) ધારો કે $z = \frac{1 + \cos(\pi/8) + i\sin(\pi/8)}{1 + \cos(\pi/8) - i\sin(\pi/8)}$.
નિત્યસમ $1 + \cos \theta = 2\cos^2(\theta/2)$ અને $\sin \theta = 2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$z = \frac{2\cos^2(\pi/16) + 2i\sin(\pi/16)\cos(\pi/16)}{2\cos^2(\pi/16) - 2i\sin(\pi/16)\cos(\pi/16)}$
$z = \frac{2\cos(\pi/16) [\cos(\pi/16) + i\sin(\pi/16)]}{2\cos(\pi/16) [\cos(\pi/16) - i\sin(\pi/16)]}$
$z = \frac{\cos(\pi/16) + i\sin(\pi/16)}{\cos(\pi/16) - i\sin(\pi/16)}$
ઓઈલરના સૂત્ર $e^{i\theta} = \cos \theta + i\sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$z = \frac{e^{i\pi/16}}{e^{-i\pi/16}} = e^{i\pi/8}$.
તેથી $z^8 = (e^{i\pi/8})^8 = e^{i\pi} = \cos \pi + i\sin \pi = -1$.

(A) આપેલ છે કે ${x_n} = \cos \left( \frac{\pi }{4^n} \right) + i \sin \left( \frac{\pi }{4^n} \right)$.
સંકર સંખ્યાઓના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,${x_1} \cdot {x_2} \cdot {x_3} \dots \infty = \prod_{n=1}^{\infty} \left( \cos \left( \frac{\pi }{4^n} \right) + i \sin \left( \frac{\pi }{4^n} \right) \right)$.
આ $\cos \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi }{4^n} \right) + i \sin \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi }{4^n} \right)$ બરાબર છે.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi }{4^n} = \frac{\pi/4}{1 - 1/4} = \frac{\pi/4}{3/4} = \frac{\pi}{3}$ થાય.
તેથી,પદ $\cos \left( \frac{\pi}{3} \right) + i \sin \left( \frac{\pi}{3} \right)$ બને છે.
$= \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\frac{(\cos \alpha + i\sin \alpha )^4}{(\sin \beta + i\cos \beta )^5}$
ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,અંશ $\cos 4\alpha + i\sin 4\alpha$ છે.
છેદ માટે,આપણે $\sin \beta + i\cos \beta = i(\cos \beta - i\sin \beta)$ લખીએ છીએ.
તેથી,છેદ $i^5(\cos \beta - i\sin \beta)^5 = i(\cos 5\beta - i\sin 5\beta)$ બને છે.
આમ,પદાવલિ $\frac{\cos 4\alpha + i\sin 4\alpha}{i(\cos 5\beta - i\sin 5\beta)} = \frac{1}{i}(\cos 4\alpha + i\sin 4\alpha)(\cos 5\beta + i\sin 5\beta)$ છે.
કારણ કે $\frac{1}{i} = -i$,આપણી પાસે $-i[\cos (4\alpha + 5\beta) + i\sin (4\alpha + 5\beta)]$ છે.
$= -i\cos (4\alpha + 5\beta) - i^2\sin (4\alpha + 5\beta) = \sin (4\alpha + 5\beta) - i\cos (4\alpha + 5\beta)$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $i = \cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2})$.
ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$i^{1/3} = (\cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2}))^{1/3} = \cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6})$.
ત્રિકોણમિતીય કિંમતો મૂકતા,$\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ મળે છે.
તેથી,$i^{1/3} = \frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} + i}{2}$.

(C) ધારો કે $w = 1 + i\sqrt{3}$.
ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં ફેરવતા,$r = |w| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2$.
$\theta = \arg(w) = \tan^{-1}(\sqrt{3}/1) = \frac{\pi}{3}$.
તેથી,$w = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3})$.
માટે $z = w^{100} = 2^{100}(\cos \frac{100\pi}{3} + i \sin \frac{100\pi}{3})$.
કારણ કે $\frac{100\pi}{3} = 33\pi + \frac{\pi}{3}$,તેથી $\cos(\frac{100\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$ અને $\sin(\frac{100\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
આમ,$z = 2^{100}(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2})$.
$\text{Re}(z) = -2^{99}$ અને $\text{Im}(z) = -2^{99}\sqrt{3}$.
તેથી,$\frac{\text{Re}(z)}{\text{Im}(z)} = \frac{-2^{99}}{-2^{99}\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(A) ધારો કે $z = \frac{1 + \sin \theta + i\cos \theta}{1 + \sin \theta - i\cos \theta}$.
$\sin \theta = \cos(\frac{\pi}{2} - \theta)$ અને $\cos \theta = \sin(\frac{\pi}{2} - \theta)$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા, ધારો કે $\alpha = \frac{\pi}{2} - \theta$.
તેથી $z = \frac{1 + \cos \alpha + i\sin \alpha}{1 + \cos \alpha - i\sin \alpha}$.
અડધા ખૂણાના સૂત્રો $1 + \cos \alpha = 2\cos^2(\frac{\alpha}{2})$ અને $\sin \alpha = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$z = \frac{2\cos^2(\frac{\alpha}{2}) + i(2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2}))}{2\cos^2(\frac{\alpha}{2}) - i(2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2}))} = \frac{\cos(\frac{\alpha}{2}) + i\sin(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\frac{\alpha}{2}) - i\sin(\frac{\alpha}{2})}$.
આમ, $z^n = e^{in\alpha} = \cos(n\alpha) + i\sin(n\alpha)$.
$\alpha = \frac{\pi}{2} - \theta$ મૂકતા, આપણને $\cos(\frac{n\pi}{2} - n\theta) + i\sin(\frac{n\pi}{2} - n\theta)$ મળે છે.

(C) આપણે $1+i$ અને $1-i$ ને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં દર્શાવીએ:
$1+i = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)$
$1-i = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} - i \sin \frac{\pi}{4} \right)$
ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$(1+i)^n + (1-i)^n = (\sqrt{2})^n \left( \cos \frac{n\pi}{4} + i \sin \frac{n\pi}{4} \right) + (\sqrt{2})^n \left( \cos \frac{n\pi}{4} - i \sin \frac{n\pi}{4} \right)$
$= 2 \cdot (\sqrt{2})^n \cos \frac{n\pi}{4}$
$= 2^1 \cdot 2^{n/2} \cos \frac{n\pi}{4}$
$= 2^{(n/2) + 1} \cos \frac{n\pi}{4}$
$= (\sqrt{2})^{n+2} \cos \frac{n\pi}{4}$

(A) આપેલ છે કે $\frac{1}{x} + x = 2\cos \theta$.
$x$ વડે ગુણતા,$x^2 - 2x\cos \theta + 1 = 0$ મળે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{2\cos \theta \pm \sqrt{4\cos^2 \theta - 4}}{2} = \cos \theta \pm i\sin \theta$.
ડી મોઇવરના પ્રમેય મુજબ,$x^n = (\cos \theta \pm i\sin \theta)^n = \cos n\theta \pm i\sin n\theta$.
તે જ રીતે,$\frac{1}{x^n} = x^{-n} = (\cos \theta \pm i\sin \theta)^{-n} = \cos n\theta \mp i\sin n\theta$.
બંનેનો સરવાળો કરતા,$x^n + \frac{1}{x^n} = (\cos n\theta \pm i\sin n\theta) + (\cos n\theta \mp i\sin n\theta) = 2\cos n\theta$.

(B) આપેલ છે કે $i{z^4} + 1 = 0$.
$i{z^4} = -1$.
${z^4} = \frac{-1}{i} = i$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $i = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}$.
ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$z = {\left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right)}^{1/4}$.
$z = \cos \frac{\pi}{8} + i \sin \frac{\pi}{8}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$y = x^2$ અને $x = y^2$.
પ્રથમ સમીકરણને બીજામાં મૂકતા,આપણને $x = (x^2)^2 = x^4$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $x^4 - x = 0$,અથવા $x(x^3 - 1) = 0$.
ઉકેલો $x = 0$ અથવા $x^3 = 1$ છે.
જો $x = 0$ હોય,તો $y = 0^2 = 0$.
જો $x^3 = 1$ હોય,તો ઉકેલો $1, \omega, \omega^2$ છે.
જોડી $(\omega, \omega^2)$ માટે,આપણી પાસે $(\omega)^2 = \omega^2$ અને $(\omega^2)^2 = \omega^4 = \omega \cdot \omega^3 = \omega \cdot 1 = \omega$ છે.
આમ,સંખ્યાઓ $\omega$ અને $\omega^2$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે એકમના સંકર ઘનમૂળ $\omega$ માટે,નીચેના ગુણધર્મો સાચા છે: $\omega^3 = 1$ અને $1 + \omega + \omega^2 = 0$.
$1 + \omega + \omega^2 = 0$ પરથી,આપણને $1 + \omega = -\omega^2$ અને $1 + \omega^2 = -\omega$ મળે છે.
આ કિંમતો આપેલ પદાવલિમાં મૂકતા:
$(1 + \omega - \omega^2)(1 - \omega + \omega^2) = (-\omega^2 - \omega^2)(-\omega - \omega)$
$= (-2\omega^2)(-2\omega)$
$= 4\omega^3$
કારણ કે $\omega^3 = 1$,તેથી પદાવલિનું સાદું રૂપ $4(1) = 4$ થાય છે.

(C) ધારો કે $x = (27)^{1/3}$.
તેથી $x^3 = 27$,જેનો અર્થ છે કે $x^3 - 27 = 0$.
આને $(x - 3)(x^2 + 3x + 9) = 0$ તરીકે અવયવ પાડી શકાય છે.
બીજ $x = 3$ અને $x^2 + 3x + 9 = 0$ ના બીજ છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2} = \frac{-3 \pm i\sqrt{27}}{2} = 3 \left( \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2} \right)$.
કારણ કે $\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ અને $\omega^2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$,તેથી બીજ $3, 3\omega, 3\omega^2$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega$ એ એકમનું ઘનમૂળ છે,તેથી $\omega^3 = 1$ અને $1 + \omega + \omega^2 = 0$.
$n$ એ $3$ નો ગુણક ન હોવાથી,$n$ એ $3k + 1$ અથવા $3k + 2$ સ્વરૂપમાં હોઈ શકે છે.
કિસ્સો $1$: જો $n = 3k + 1$ હોય,તો $\omega^n = \omega$ અને $\omega^{2n} = \omega^2$.
તેથી,$1 + \omega^n + \omega^{2n} = 1 + \omega + \omega^2 = 0$.
કિસ્સો $2$: જો $n = 3k + 2$ હોય,તો $\omega^n = \omega^2$ અને $\omega^{2n} = \omega$.
તેથી,$1 + \omega^n + \omega^{2n} = 1 + \omega^2 + \omega = 0$.
બંને કિસ્સાઓમાં,સરવાળો $0$ થાય છે.

(B) એકમના ઘનમૂળ $1, \omega, \omega^2$ છે,જ્યાં $\omega = e^{i\frac{2\pi}{3}}$ અને $\omega^2 = e^{i\frac{4\pi}{3}}$ છે.
કારણ કે $\omega^2$ એ $\omega$ નો વર્ગ છે,અને $(\omega^2)^2 = \omega^4 = \omega^3 \cdot \omega = 1 \cdot \omega = \omega$,તેથી એકમના કોઈપણ કાલ્પનિક ઘનમૂળનો વર્ગ એ બીજું કાલ્પનિક ઘનમૂળ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે એકમના ઘનમૂળ માટે,$1 + \omega + \omega^2 = 0$ થાય છે.
તેથી,$1 + \omega = -\omega^2$ અને $1 + \omega^2 = -\omega$ થાય.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$(1 + \omega)^3 - (1 + \omega^2)^3 = (-\omega^2)^3 - (-\omega)^3$
$= -\omega^6 - (-\omega^3)$
$= -(\omega^3)^2 + \omega^3$
કારણ કે $\omega^3 = 1$,તેથી:
$= -(1)^2 + 1 = -1 + 1 = 0$.

(B) એકમના કાલ્પનિક ઘનમૂળ $\omega$ અને $\omega^2$ છે.
ધારો કે $\alpha = \omega$ અને $\beta = \omega^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega^3 = 1$ અને $1 + \omega + \omega^2 = 0$.
પદાવલિ $\alpha^4 + \beta^4 + \frac{1}{\alpha\beta}$ માં આ કિંમતો મૂકતા:
$= \omega^4 + (\omega^2)^4 + \frac{1}{\omega \cdot \omega^2}$
$= \omega^4 + \omega^8 + \frac{1}{\omega^3}$
$= \omega + \omega^2 + \frac{1}{1}$
$= \omega + \omega^2 + 1$
$= 0$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega^3 = 1$ અને $1 + \omega + \omega^2 = 0$.
આપેલ પદાવલિ: $(1 - \omega)(1 - \omega^2)(1 - \omega^4)(1 - \omega^8)$.
$\omega^3 = 1$ હોવાથી,$\omega^4 = \omega$ અને $\omega^8 = \omega^2$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા,પદાવલિ આ મુજબ બને છે: $(1 - \omega)(1 - \omega^2)(1 - \omega)(1 - \omega^2) = [(1 - \omega)(1 - \omega^2)]^2$.
અંદરના ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા: $(1 - \omega - \omega^2 + \omega^3) = (1 - (\omega + \omega^2) + 1) = (1 - (-1) + 1) = 3$.
તેથી,પદાવલિનું મૂલ્ય $3^2 = 9$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $\omega$ એ એકમનું ઘનમૂળ છે,તેથી $1 + \omega + \omega^2 = 0$ અને $\omega^3 = 1$.
$1 + \omega^2 = -\omega$ નો ઉપયોગ કરતા,પ્રથમ પદ $(1 - \omega + \omega^2)^5 = (-\omega - \omega)^5 = (-2\omega)^5 = -32\omega^5$ થાય.
$\omega^5 = \omega^3 \cdot \omega^2 = \omega^2$ હોવાથી,આ $-32\omega^2$ માં પરિણમે છે.
$1 + \omega = -\omega^2$ નો ઉપયોગ કરતા,બીજું પદ $(1 + \omega - \omega^2)^5 = (-\omega^2 - \omega^2)^5 = (-2\omega^2)^5 = -32\omega^{10}$ થાય.
$\omega^{10} = (\omega^3)^3 \cdot \omega = \omega$ હોવાથી,આ $-32\omega$ માં પરિણમે છે.
બંને પદોનો સરવાળો કરતા: $-32\omega^2 - 32\omega = -32(\omega^2 + \omega)$.
$1 + \omega + \omega^2 = 0$ હોવાથી,$\omega^2 + \omega = -1$.
તેથી,$-32(-1) = 32$.

(C) આપેલ છે કે $x = a, y = b\omega, z = c\omega^2$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = \frac{a}{a} + \frac{b\omega}{b} + \frac{c\omega^2}{c}$
$= 1 + \omega + \omega^2$
કારણ કે $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે,આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \omega + \omega^2 = 0$.
તેથી,કિંમત $0$ છે.

(C) આપેલ પદાવલિ: $(x - y)(x\omega - y)(x\omega^2 - y)$
પ્રથમ બે પદોનો ગુણાકાર કરતા:
$(x - y)(x\omega - y) = x^2\omega - xy - xy\omega + y^2$
હવે,પરિણામને ત્રીજા પદ $(x\omega^2 - y)$ સાથે ગુણતા:
$= (x^2\omega - xy - xy\omega + y^2)(x\omega^2 - y)$
$= x^3\omega^3 - x^2y\omega - x^2y\omega^2 + xy^2 - x^2y\omega^3 + xy^2\omega + xy^2\omega^2 - y^3$
$= x^3(1) - x^2y(\omega + \omega^2 + 1) + xy^2(1 + \omega + \omega^2) - y^3$
કારણ કે $1 + \omega + \omega^2 = 0$:
$= x^3 - x^2y(0) + xy^2(0) - y^3$
$= x^3 - y^3$

(B) આપેલ પદાવલિ: $P = (1 + \omega)(1 + \omega^2)(1 + \omega^4)(1 + \omega^8) \dots$ $2n$ અવયવો સુધી.
$\omega^3 = 1$ હોવાથી,$\omega^4 = \omega$ અને $\omega^8 = \omega^2$ થાય.
તેથી,પદાવલિ: $P = (1 + \omega)(1 + \omega^2)(1 + \omega)(1 + \omega^2) \dots$ $2n$ અવયવો સુધી.
આને $(1 + \omega)(1 + \omega^2)$ ની $n$ જોડીઓમાં જૂથબદ્ધ કરી શકાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \omega + \omega^2 = 0$,તેથી $1 + \omega = -\omega^2$ અને $1 + \omega^2 = -\omega$.
તેથી,$(1 + \omega)(1 + \omega^2) = (-\omega^2)(-\omega) = \omega^3 = 1$.
આવી $n$ જોડીઓ હોવાથી,ગુણાકાર $1^n = 1$ થાય.

(B) ધારો કે $z = \left( \cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3} \right)^{3/4}$.
ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$z = \left( e^{i\pi/3} \right)^{3/4} = e^{i\pi/4}$.
બીજો $z_k = \cos \left( \frac{\pi + 2k\pi}{4} \right) + i\sin \left( \frac{\pi + 2k\pi}{4} \right)$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $k = 0, 1, 2, 3$.
આ $e^{i\pi} = -1$ ના $4$થા મૂળ છે.
કોઈપણ સંકર સંખ્યા $w$ ના $n$મા મૂળનો ગુણાકાર $(-1)^{n-1} w$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$n = 4$ અને $w = -1$.
તેથી,બીજોનો ગુણાકાર $(-1)^{4-1} \times (-1) = (-1)^3 \times (-1) = (-1) \times (-1) = 1$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ એકમના સંકર ઘનમૂળ છે,તેથી $\alpha = \omega$ અને $\beta = \omega^2$ (અથવા તેનાથી ઉલટું),જ્યાં $1 + \omega + \omega^2 = 0$ અને $\omega^3 = 1$ છે.
આપણે $xyz = (a + b)(a\omega + b\omega^2)(a\omega^2 + b\omega)$ ની ગણતરી કરવાની છે.
પ્રથમ,$y$ અને $z$ નો ગુણાકાર કરીએ:
$yz = (a\omega + b\omega^2)(a\omega^2 + b\omega) = a^2\omega^3 + ab\omega^2 + ab\omega^4 + b^2\omega^3$.
કારણ કે $\omega^3 = 1$ અને $\omega^4 = \omega$,આનું સાદું રૂપ નીચે મુજબ થશે:
$yz = a^2(1) + ab(\omega^2 + \omega) + b^2(1) = a^2 + ab(-1) + b^2 = a^2 - ab + b^2$.
હવે,$x$ સાથે ગુણાકાર કરતા:
$xyz = (a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$.

(B) આપેલ છે કે $x = a + b$,$y = a\omega + b\omega^2$,અને $z = a\omega^2 + b\omega$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \omega + \omega^2 = 0$ અને $\omega^3 = 1$.
ઘનનું વિસ્તરણ કરતા:
$x^3 = (a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$
$y^3 = (a\omega + b\omega^2)^3 = a^3 + b^3 + 3a^2b\omega + 3ab^2\omega^2$
$z^3 = (a\omega^2 + b\omega)^3 = a^3 + b^3 + 3a^2b\omega^2 + 3ab^2\omega$
સરવાળો કરતા:
$x^3 + y^3 + z^3 = 3(a^3 + b^3) + 3a^2b(1 + \omega + \omega^2) + 3ab^2(1 + \omega^2 + \omega)$
$1 + \omega + \omega^2 = 0$ હોવાથી,$a^2b$ અને $ab^2$ વાળા પદો શૂન્ય થઈ જશે.
તેથી,$x^3 + y^3 + z^3 = 3(a^3 + b^3)$.

(B) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $E = \frac{a + b\omega + c\omega^2}{b + c\omega + a\omega^2} + \frac{a + b\omega + c\omega^2}{c + a\omega + b\omega^2}$ છે.
પ્રથમ પદના અંશ અને છેદને $\omega$ વડે ગુણતા:
$\frac{\omega(a + b\omega + c\omega^2)}{\omega(b + c\omega + a\omega^2)} = \frac{\omega(a + b\omega + c\omega^2)}{b\omega + c\omega^2 + a\omega^3} = \frac{\omega(a + b\omega + c\omega^2)}{a + b\omega + c\omega^2} = \omega$.
બીજા પદના અંશ અને છેદને $\omega^2$ વડે ગુણતા:
$\frac{\omega^2(a + b\omega + c\omega^2)}{\omega^2(c + a\omega + b\omega^2)} = \frac{\omega^2(a + b\omega + c\omega^2)}{c\omega^2 + a\omega^3 + b\omega^4} = \frac{\omega^2(a + b\omega + c\omega^2)}{c\omega^2 + a + b\omega} = \omega^2$.
આમ,$E = \omega + \omega^2$.
કારણ કે $1 + \omega + \omega^2 = 0$,તેથી $\omega + \omega^2 = -1$.

(A) એકમનાં ઘનમૂળો $1, \omega, \omega^2$ છે.
આ બિંદુઓ આર્ગેન્ડ સમતલ પર એકમ વર્તુળ $|z| = 1$ પર આવેલા છે અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{2\pi}{3}$ રેડિયન $(120^\circ)$ છે.
આ બિંદુઓ વર્તુળ પર સમાન અંતરે હોવાથી,તેઓ સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ બનાવે છે.

(C) ધારો કે $z = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$.
આ એકમનું કાલ્પનિક ઘનમૂળ છે,જેને $\omega$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega^3 = 1$.
આપણે $\omega^{1000}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$1000 = 3 \times 333 + 1$ હોવાથી,$\omega^{1000} = (\omega^3)^{333} \times \omega^1$ થાય.
$\omega^3 = 1$ મૂકતા,આપણને $\omega^{1000} = (1)^{333} \times \omega = \omega$ મળે છે.
તેથી,$\omega^{1000} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$.

(D) ધારો કે $p = -q$ જ્યાં $q > 0$. $p$ ના ઘનમૂળ $\alpha = -q^{1/3}$,$\beta = -q^{1/3}\omega$,અને $\gamma = -q^{1/3}\omega^2$ છે,જ્યાં $\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{x(-q^{1/3}) + y(-q^{1/3}\omega) + z(-q^{1/3}\omega^2)}{x(-q^{1/3}\omega) + y(-q^{1/3}\omega^2) + z(-q^{1/3}\omega^3)} = \frac{-(x + y\omega + z\omega^2)}{-\omega(x + y\omega + z\omega^2)} = \frac{1}{\omega} = \omega^2$.
કારણ કે $\omega^2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$,આપેલા વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ સાચું નથી.

(A) આપેલ છે કે $z = \frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$.
ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$z^{69} = \left(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)^{69}$.
$z^{69} = \cos\left(\frac{69\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{69\pi}{6}\right)$.
$z^{69} = \cos\left(\frac{23\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{23\pi}{2}\right)$.
કારણ કે $\frac{23\pi}{2} = 11\pi + \frac{\pi}{2}$,તેથી $\cos\left(11\pi + \frac{\pi}{2}\right) = 0$ અને $\sin\left(11\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{2}\right) = -1$.
તેથી,$z^{69} = 0 + i(-1) = -i$.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^4 - 1 = 0$ છે.
આને $(x^2 - 1)(x^2 + 1) = 0$ તરીકે અવયવ પાડી શકાય.
આનો અર્થ એ છે કે $x^2 - 1 = 0$ અથવા $x^2 + 1 = 0$.
$x^2 - 1 = 0$ માટે,$x^2 = 1$,તેથી $x = \pm 1$.
$x^2 + 1 = 0$ માટે,$x^2 = -1$,તેથી $x = \pm i$.
આમ,બીજ $1, -1, i, -i$ છે.

(D) ગુણાકાર $\omega \cdot \omega^2 \cdot \omega^3 \cdots \omega^n = \omega^{1 + 2 + 3 + \cdots + n} = \omega^{n(n + 1)/2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = 1$ માટે,ગુણાકાર $\omega^1 = \omega$ છે.
$n = 2$ માટે,ગુણાકાર $\omega^{2(3)/2} = \omega^3 = 1$ છે.
$n = 3$ માટે,ગુણાકાર $\omega^{3(4)/2} = \omega^6 = 1$ છે.
$n = 4$ માટે,ગુણાકાર $\omega^{4(5)/2} = \omega^{10} = \omega^1 = \omega$ છે.
કારણ કે $\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$,તેથી $-\frac{1 - i\sqrt{3}}{2} = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} = \omega$. આમ,ગુણાકારના મૂલ્યો $1$ અને $\omega$ મળે છે.