Mix Examples-Complex numbers Questions in Gujarati

(D) આપેલ છે કે $x = 3 + i$,તેથી $x - 3 = i$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(x - 3)^2 = i^2$.
$x^2 - 6x + 9 = -1$,જેનું સાદું રૂપ $x^2 - 6x + 10 = 0$ થાય છે.
હવે,$x^3 - 3x^2 - 8x + 15$ ને $x^2 - 6x + 10$ ના સ્વરૂપમાં લખતા:
$x^3 - 3x^2 - 8x + 15 = x(x^2 - 6x + 10) + 3(x^2 - 6x + 10) - 15$.
$x^2 - 6x + 10 = 0$ મૂકતા,આપણને $x(0) + 3(0) - 15 = -15$ મળે છે.

(D) ધારો કે ${z_1} = a + ib$ અને ${z_2} = c + id$,જ્યાં $a, b, c, d \in \mathbb{R}$.
તેથી ${z_1}{z_2} = (a + ib)(c + id) = (ac - bd) + i(ad + bc)$.
ગુણાકારનો વાસ્તવિક ભાગ $Re({z_1}{z_2}) = ac - bd$ છે.
અહીં $a = Re(z_1)$,$c = Re(z_2)$,$b = Im(z_1)$,અને $d = Im(z_2)$ હોવાથી:
$Re({z_1}{z_2}) = Re(z_1) \cdot Re(z_2) - Im(z_1) \cdot Im(z_2)$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,કોઈ પણ વિકલ્પ $A, B,$ કે $C$ સાચું સૂત્ર દર્શાવતા નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ધારો કે $z = \frac{\sqrt{5 + 12i} + \sqrt{5 - 12i}}{\sqrt{5 + 12i} - \sqrt{5 - 12i}}$.
અંશ અને છેદને $(\sqrt{5 + 12i} + \sqrt{5 - 12i})$ વડે ગુણીને છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$z = \frac{(\sqrt{5 + 12i} + \sqrt{5 - 12i})^2}{(\sqrt{5 + 12i})^2 - (\sqrt{5 - 12i})^2}$
$z = \frac{(5 + 12i) + (5 - 12i) + 2\sqrt{(5 + 12i)(5 - 12i)}}{(5 + 12i) - (5 - 12i)}$
$z = \frac{10 + 2\sqrt{25 - 144i^2}}{24i}$
$i^2 = -1$ હોવાથી,$25 - 144i^2 = 25 + 144 = 169$.
$z = \frac{10 + 2(13)}{24i} = \frac{10 + 26}{24i} = \frac{36}{24i} = \frac{3}{2i} = -\frac{3}{2}i$.

(C) આપેલ છે કે ${a^2} + {b^2} = 1$.
પદાવલિ $Z = \frac{{1 + b + ia}}{{1 + b - ia}}$ ધ્યાનમાં લો.
અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ સંખ્યા $(1 + b + ia)$ વડે ગુણતા:
$Z = \frac{{(1 + b + ia)(1 + b + ia)}}{{(1 + b - ia)(1 + b + ia)}}$
$Z = \frac{{(1 + b)^2 + (ia)^2 + 2ia(1 + b)}}{{(1 + b)^2 + a^2}}$
કારણ કે ${a^2} + {b^2} = 1$,તેથી ${a^2} = 1 - {b^2}$.
$Z = \frac{{1 + 2b + {b^2} - {a^2} + 2ia(1 + b)}}{{1 + 2b + {b^2} + {a^2}}}$
છેદમાં ${a^2} + {b^2} = 1$ મૂકતા:
$Z = \frac{{1 + 2b + {b^2} - (1 - {b^2}) + 2ia(1 + b)}}{{1 + 2b + 1}}$
$Z = \frac{{2{b^2} + 2b + 2ia(1 + b)}}{{2 + 2b}}$
$Z = \frac{{2b(b + 1) + 2ia(1 + b)}}{{2(1 + b)}}$
$Z = \frac{{2(1 + b)(b + ia)}}{{2(1 + b)}} = b + ia$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) એક સંકર સંખ્યા શુદ્ધ કાલ્પનિક હોય જો તેનો વાસ્તવિક ભાગ $0$ હોય.
અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા વડે ગુણતા:
$\frac{3 + 2i\sin \theta}{1 - 2i\sin \theta} \times \frac{1 + 2i\sin \theta}{1 + 2i\sin \theta} = \frac{3 + 6i\sin \theta + 2i\sin \theta + 4i^2\sin^2 \theta}{1^2 + (2\sin \theta)^2} = \frac{(3 - 4\sin^2 \theta) + i(8\sin \theta)}{1 + 4\sin^2 \theta}$.
પદ શુદ્ધ કાલ્પનિક બને તે માટે,વાસ્તવિક ભાગ $0$ હોવો જોઈએ:
$\frac{3 - 4\sin^2 \theta}{1 + 4\sin^2 \theta} = 0$
$3 - 4\sin^2 \theta = 0$
$\sin^2 \theta = \frac{3}{4}$
$\sin \theta = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin \left( \pm \frac{\pi}{3} \right)$
તેથી,$\theta = n\pi \pm \frac{\pi}{3}$.

(B) આપેલ છે કે $(x + iy)^{1/3} = a + ib$.
બંને બાજુ ઘન કરતા:
$x + iy = (a + ib)^3$
$x + iy = a^3 + 3a^2(ib) + 3a(ib)^2 + (ib)^3$
$x + iy = a^3 + 3a^2bi - 3ab^2 - ib^3$
$x + iy = (a^3 - 3ab^2) + i(3a^2b - b^3)$
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
$x = a^3 - 3ab^2$ અને $y = 3a^2b - b^3$
અનુક્રમે $a$ અને $b$ વડે ભાગતા:
$\frac{x}{a} = a^2 - 3b^2$ અને $\frac{y}{b} = 3a^2 - b^2$
બંનેનો સરવાળો કરતા:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = (a^2 - 3b^2) + (3a^2 - b^2) = 4a^2 - 4b^2 = 4(a^2 - b^2)$

(A) ધારો કે $z = x + iy$,જ્યાં $x, y \in \mathbb{R}$.
તેથી $z^2 = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + i(2xy)$.
આપેલ છે કે $\text{Re}(z) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $x = 0$.
$z^2$ ના સમીકરણમાં $x = 0$ મૂકતા,આપણને $z^2 = -y^2 + i(0) = -y^2$ મળે છે.
આમ,$\text{Im}(z^2) = 0$.
તેથી,$\text{Re}(z) = 0 \Rightarrow \text{Im}(z^2) = 0$ સાચું છે.

(A) આપેલ છે કે $z = 3 - 4i$,તેથી $z - 3 = -4i$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(z - 3)^2 = (-4i)^2$.
$z^2 - 6z + 9 = 16i^2$.
$i^2 = -1$ હોવાથી,$z^2 - 6z + 9 = -16$,જેનું સાદું રૂપ $z^2 - 6z + 25 = 0$ થાય છે.
હવે,$P(z) = z^4 - 3z^3 + 3z^2 + 99z - 95$ ને $z^2 - 6z + 25$ વડે ભાગતા:
$z^4 - 3z^3 + 3z^2 + 99z - 95 = (z^2 + 3z - 4)(z^2 - 6z + 25) + 5$.
$z^2 - 6z + 25 = 0$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$P(z) = (z^2 + 3z - 4)(0) + 5 = 5$.

(D) આપેલ છે કે $\frac{3x + 2iy}{-2 + 5i} = \frac{15}{8x + 3iy}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$(3x + 2iy)(8x + 3iy) = 15(-2 + 5i)$ મળે.
$24x^2 + 9ixy + 16ixy + 6i^2y^2 = -30 + 75i$.
$i^2 = -1$ હોવાથી,$24x^2 - 6y^2 + 25ixy = -30 + 75i$ મળે.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
$24x^2 - 6y^2 = -30 \implies 4x^2 - y^2 = -5$ (સમીકરણ $1$).
$25xy = 75 \implies xy = 3$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ પરથી,$y = \frac{3}{x}$. સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$4x^2 - (\frac{3}{x})^2 = -5 \implies 4x^2 - \frac{9}{x^2} = -5$.
ધારો કે $t = x^2$,તો $4t - \frac{9}{t} = -5 \implies 4t^2 + 5t - 9 = 0$.
$(4t + 9)(t - 1) = 0$. $x$ વાસ્તવિક હોવાથી,$x^2 = t = 1$,તેથી $x = \pm 1$.
જો $x = 1$,તો $y = 3$. જો $x = -1$,તો $y = -3$.
આમ,$(x, y) = (1, 3)$ અથવા $(-1, -3)$.

(A) આપેલ છે $z = \frac{b + ic}{1 + a}$.
$\frac{1 + iz}{1 - iz}$ માં $z$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{1 + i(\frac{b + ic}{1 + a})}{1 - i(\frac{b + ic}{1 + a})} = \frac{1 + a + ib - c}{1 + a - ib + c} = \frac{(1 + a - c) + ib}{(1 + a + c) - ib}$.
છેદના અનુબદ્ધ વડે ગુણતા:
$= \frac{((1 + a - c) + ib)((1 + a + c) + ib)}{(1 + a + c)^2 + b^2}$.
અંશનું સાદું રૂપ આપતા:
$= \frac{1 + 2a + a^2 - c^2 - b^2 + 2ib(1 + a)}{(1 + a + c)^2 + b^2}$.
$a^2 + b^2 + c^2 = 1$ હોવાથી,$a^2 - b^2 - c^2 = 2a^2 - 1$.
અંશ $= 2(1 + a)(a + ib)$ અને છેદ $= 2(1 + a)(1 + c)$.
તેથી,જવાબ $\frac{a + ib}{1 + c}$ મળે છે.

(A) આપેલ પદ: $Z = \frac{(\cos x + i\sin x)(\cos y + i\sin y)}{(\cot u + i)(1 + i\tan v)}$
ઓઈલરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,અંશ $e^{i(x+y)}$ છે.
છેદ માટે:
$(\cot u + i) = \frac{\cos u + i\sin u}{\sin u} = \frac{e^{iu}}{\sin u}$
$(1 + i\tan v) = \frac{\cos v + i\sin v}{\cos v} = \frac{e^{iv}}{\cos v}$
આ કિંમતો પદમાં મૂકતા:
$Z = \frac{e^{i(x+y)}}{\frac{e^{iu}}{\sin u} \cdot \frac{e^{iv}}{\cos v}} = \sin u \cos v \cdot \frac{e^{i(x+y)}}{e^{i(u+v)}}$
$Z = \sin u \cos v \cdot e^{i(x+y-u-v)}$
$Z = \sin u \cos v [\cos(x+y-u-v) + i\sin(x+y-u-v)]$

(B) આપેલ છે કે $(x + iy)^{1/3} = a - ib$.
બંને બાજુ ઘન કરતા,$x + iy = (a - ib)^3$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા,$x + iy = a^3 - 3a^2(ib) + 3a(ib)^2 - (ib)^3 = (a^3 - 3ab^2) + i(b^3 - 3a^2b)$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
$x = a^3 - 3ab^2$ અને $y = b^3 - 3a^2b$.
હવે,$\frac{x}{a} = a^2 - 3b^2$ અને $\frac{y}{b} = b^2 - 3a^2$.
$\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = (a^2 - 3b^2) - (b^2 - 3a^2) = 4a^2 - 4b^2 = 4(a^2 - b^2)$.
તેથી,$k = 4$.

(D) બે સંકર સંખ્યાઓ $z_1 = a + ib$ અને $z_2 = c + id$ અનુબદ્ધ હોય જો $a = c$ અને $b = -d$ થાય.
આપેલ છે $z_1 = \sin x + i\cos 2x$ અને $z_2 = \cos x - i\sin 2x$,તેથી:
$1) \sin x = \cos x \implies \tan x = 1 \implies x = n\pi + \frac{\pi}{4}$
$2) \cos 2x = \sin 2x \implies \tan 2x = 1 \implies 2x = m\pi + \frac{\pi}{4} \implies x = \frac{m\pi}{2} + \frac{\pi}{8}$
આ બંને શરતો એકસાથે સંતોષાય તેવી $x$ ની કોઈ કિંમત નથી.
તેથી,$x$ ની કોઈ કિંમત માટે આ સંકર સંખ્યાઓ અનુબદ્ધ નથી.

(D) ધારો કે $z = x + iy$,જેથી $\bar{z} = x - iy$. તેથી,સમીકરણ નીચે મુજબ બને છે:
$z^2 + \bar{z} = 0 \iff (x + iy)^2 + (x - iy) = 0$
$(x^2 - y^2 + x) + i(2xy - y) = 0$
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને શૂન્ય સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$x^2 - y^2 + x = 0$ .....$(i)$
$2xy - y = 0$ .....$(ii)$
$(ii)$ પરથી,$y(2x - 1) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $y = 0$ અથવા $x = \frac{1}{2}$.
કિસ્સો $1$: જો $y = 0$ હોય,તો $(i)$ આપે છે $x^2 + x = 0$,તેથી $x(x + 1) = 0$,જે $x = 0$ અથવા $x = -1$ આપે છે. આ બે ઉકેલો આપે છે: $z = 0$ અને $z = -1$.
કિસ્સો $2$: જો $x = \frac{1}{2}$ હોય,તો $(i)$ આપે છે $(\frac{1}{2})^2 - y^2 + \frac{1}{2} = 0$,તેથી $\frac{1}{4} - y^2 + \frac{1}{2} = 0$,જેનો અર્થ છે $y^2 = \frac{3}{4}$,તેથી $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$. આ બે ઉકેલો આપે છે: $z = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $z = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
આમ,કુલ $4$ ઉકેલો છે.

(B) ધારો કે $\frac{2z_1}{3z_2} = ki$,જ્યાં $k \in \mathbb{R}$ અને $k \neq 0$.
તેથી $\frac{z_1}{z_2} = \frac{3}{2}ki$.
ધારો કે $\frac{z_1}{z_2} = iy$,જ્યાં $y = \frac{3}{2}k$.
હવે,પદ $\left| \frac{z_1 - z_2}{z_1 + z_2} \right|$ ધ્યાનમાં લો.
અંશ અને છેદને $z_2$ વડે ભાગતા,આપણને $\left| \frac{\frac{z_1}{z_2} - 1}{\frac{z_1}{z_2} + 1} \right|$ મળે છે.
$\frac{z_1}{z_2} = iy$ મૂકતા,આપણને $\left| \frac{iy - 1}{iy + 1} \right| = \frac{|iy - 1|}{|iy + 1|} = \frac{|-(1 - iy)|}{|1 + iy|} = \frac{|1 - iy|}{|1 + iy|}$ મળે છે.
કારણ કે સંકર સંખ્યા $z$ નો માનાંક તેના અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $\overline{z}$ ના માનાંક જેટલો જ હોય છે,અને $\overline{1 + iy} = 1 - iy$,તેથી $|1 - iy| = |1 + iy|$.
તેથી,$\frac{|1 - iy|}{|1 + iy|} = 1$.

(D) ધારો કે બે સંકર સંખ્યાઓ $z_1$ અને $z_2$ છે,જ્યાં $|z_1| < 1$ અને $|z_2| < 1$ છે.
ત્રિકોણની અસમતા મુજબ,$|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$ થાય.
$|z_1| < 1$ અને $|z_2| < 1$ હોવાથી,$|z_1| + |z_2| < 2$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $|z_1 + z_2| < 2$.
જોકે,$|z_1 + z_2|$ ની કિંમત $1$ કરતા ઓછી,વધારે અથવા તેના જેટલી હોઈ શકે છે.
ઉદાહરણ તરીકે,જો $z_1 = 0.1$ અને $z_2 = 0.1$ હોય,તો $|z_1 + z_2| = 0.2 < 1$.
જો $z_1 = 0.8$ અને $z_2 = 0.8$ હોય,તો $|z_1 + z_2| = 1.6 > 1$.
જો $z_1 = 0.5$ અને $z_2 = 0.5$ હોય,તો $|z_1 + z_2| = 1$.
આમ,સરવાળાનો માનાંક $[0, 2)$ અંતરાલમાં કોઈપણ કિંમત હોઈ શકે છે.

(B) ધારો કે $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$.
આપેલ છે કે $\left| z + \frac{1}{z} \right| = 1$,તેથી $\left| z + \frac{1}{z} \right|^2 = 1$.
$z = r e^{i\theta}$ મૂકતા,આપણને $\left| r e^{i\theta} + \frac{1}{r} e^{-i\theta} \right|^2 = 1$ મળે છે.
આનું વિસ્તરણ $\left( r + \frac{1}{r} \right)^2 \cos^2 \theta + \left( r - \frac{1}{r} \right)^2 \sin^2 \theta = 1$ થાય છે.
સાદું રૂપ આપતા,$r^2 + \frac{1}{r^2} + 2 \cos(2\theta) = 1$ મળે છે.
$r$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને $\frac{dr}{d\theta} = 0$ લઈએ.
આનાથી $-4 \sin(2\theta) = 0$ મળે છે,તેથી $\sin(2\theta) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \dots$.
કારણ કે $z$ એ $X$-અક્ષ પર નથી,$\theta \neq 0, \pi$. તેથી,$\theta = \frac{\pi}{2}$ અથવા $\frac{3\pi}{2}$.
આ કિસ્સાઓમાં,$z$ શુદ્ધ કાલ્પનિક છે,તેથી $\text{Re}(z) = 0$.

(A) ધારો કે $z_1 + \sqrt{z_1^2 - z_2^2} = u$ અને $z_1 - \sqrt{z_1^2 - z_2^2} = v$.
તેથી $u + v = 2z_1$ અને $uv = z_2^2$.
આપણે $|u| + |v|$ શોધવાનું છે.
$z_1 = 5, z_2 = 3$ લેતા,$|5 + 4| + |5 - 4| = 9 + 1 = 10$.
વિકલ્પ $A$ માં કિંમત મુકતા: $|5+3| + |5-3| = 8 + 2 = 10$.
તેથી સાચો જવાબ $|z_1 + z_2| + |z_1 - z_2|$ છે.

(C) ધારો કે $z_1 = a^2$ અને $z_2 = b^2$,જ્યાં $a = \sqrt{z_1}$ અને $b = \sqrt{z_2}$.
તેથી પદાવલિ $\left| \frac{1}{2}(a^2 + b^2) + ab \right| + \left| \frac{1}{2}(a^2 + b^2) - ab \right|$ બને છે.
આનું સાદું રૂપ $\frac{1}{2} |a^2 + b^2 + 2ab| + \frac{1}{2} |a^2 + b^2 - 2ab|$ થાય છે.
$= \frac{1}{2} |(a+b)^2| + \frac{1}{2} |(a-b)^2|$.
કારણ કે $|z^2| = |z|^2$,તેથી આ $\frac{1}{2} |a+b|^2 + \frac{1}{2} |a-b|^2$ થાય.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના નિયમ $|u+v|^2 + |u-v|^2 = 2(|u|^2 + |v|^2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{1}{2} \cdot 2(|a|^2 + |b|^2) = |a|^2 + |b|^2$.
$a^2 = z_1$ અને $b^2 = z_2$ પાછા મૂકતા,આપણને $|z_1| + |z_2|$ મળે છે.

(D) કોઈપણ બે સંકર સંખ્યાઓ $z_1$ અને $z_2$ માટે:
$1$. ગુણાકારનો માનાંક એ માનાંકનો ગુણાકાર છે: $|z_1 z_2| = |z_1| |z_2|$. તેથી,$(a)$ સાચું છે.
$2$. ગુણાકારનો કોણાંક એ કોણાંકોનો સરવાળો છે: $arg(z_1 z_2) = arg(z_1) + arg(z_2)$. તેથી,$(b)$ ખોટું છે.
$3$. માનાંક માટે ત્રિકોણ અસમતા મુજબ: $|z_1 - z_2| \geqslant ||z_1| - |z_2||$. તેથી,$(c)$ સાચું છે.
આમ,$(a)$ અને $(c)$ બંને સાચા છે.

(D) આપેલ છે ${z_1} = 1 + 2i$ અને ${z_2} = 3 + 5i$.
પ્રથમ, ${z_2}$ નો અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા શોધો: ${\bar{z}_2} = 3 - 5i$.
હવે, અંશની ગણતરી કરો: ${\bar{z}_2}{z_1} = (3 - 5i)(1 + 2i) = 3 + 6i - 5i - 10i^2 = 3 + i + 10 = 13 + i$.
હવે, ${z_2}$ વડે ભાગાકાર કરો: $\frac{13 + i}{3 + 5i}$.
સરળ બનાવવા માટે, અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $(3 - 5i)$ વડે ગુણો:
$\frac{13 + i}{3 + 5i} \times \frac{3 - 5i}{3 - 5i} = \frac{39 - 65i + 3i - 5i^2}{3^2 + 5^2} = \frac{39 - 62i + 5}{9 + 25} = \frac{44 - 62i}{34}$.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{44}{34} - \frac{62}{34}i = \frac{22}{17} - \frac{31}{17}i$.
તેથી વાસ્તવિક ભાગ $\operatorname{Re} \left( \frac{{\bar{z}_2}{z_1}}{{z_2}} \right) = \frac{22}{17}$ થાય.

(A) આપેલ સમીકરણ: $(3 + i)z = (3 - i)\bar{z}$.
ધારો કે $z = x(3 - i)$ જ્યાં $x \in R$.
તો $\bar{z} = x(3 + i)$.
ડાબી બાજુ $(LHS)$ માં કિંમત મૂકતા: $(3 + i)z = (3 + i)x(3 - i) = x(3^2 + 1^2) = 10x$.
જમણી બાજુ $(RHS)$ માં કિંમત મૂકતા: $(3 - i)\bar{z} = (3 - i)x(3 + i) = x(3^2 + 1^2) = 10x$.
આમ,$LHS = RHS$ હોવાથી,સંકર સંખ્યા $z$ એ $x \in R$ માટે $x(3 - i)$ સ્વરૂપમાં છે.

(A) આપેલ પદ: $z = \frac{1 + 7i}{(2 - i)^2}$
પ્રથમ,છેદનું વિસ્તરણ કરો: $(2 - i)^2 = 4 - 4i + i^2 = 4 - 4i - 1 = 3 - 4i$
હવે,અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપો: $z = \frac{1 + 7i}{3 - 4i}$
અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ સંખ્યા $(3 + 4i)$ વડે ગુણો:
$z = \frac{(1 + 7i)(3 + 4i)}{(3 - 4i)(3 + 4i)} = \frac{3 + 4i + 21i + 28i^2}{3^2 + 4^2} = \frac{3 + 25i - 28}{9 + 16} = \frac{-25 + 25i}{25} = -1 + i$
ધ્રુવીય સ્વરૂપ $r(\cos \theta + i\sin \theta)$ માં રૂપાંતરિત કરવા માટે,માનાંક $r$ અને કોણાંક $\theta$ શોધો:
$r = |z| = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{2}$
કારણ કે $z$ બીજા ચરણમાં છે (વાસ્તવિક ભાગ ઋણ,કાલ્પનિક ભાગ ધન),$\theta = \pi - \tan^{-1}\left| \frac{1}{-1} \right| = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$
તેથી,$z = \sqrt{2} \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i\sin \frac{3\pi}{4} \right)$

(C) આપેલ છે કે ${e^{iA}} \cdot {e^{iB}} \cdot {e^{iC}} = {e^{i(A + B + C)}}$.
ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $A + B + C = \pi$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
${e^{i(A + B + C)}} = {e^{i\pi }}$.
આઈલરના સૂત્ર ${e^{i\theta }} = \cos \theta + i\sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
${e^{i\pi }} = \cos \pi + i\sin \pi$.
કારણ કે $\cos \pi = -1$ અને $\sin \pi = 0$,તેથી:
$-1 + i(0) = -1$.

(D) આપેલ છે $z = \frac{7 - i}{3 - 4i}$.
અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $(3 + 4i)$ વડે ગુણતા:
$z = \frac{(7 - i)(3 + 4i)}{(3 - 4i)(3 + 4i)} = \frac{21 + 28i - 3i - 4i^2}{3^2 + 4^2} = \frac{21 + 25i + 4}{9 + 16} = \frac{25 + 25i}{25} = 1 + i$.
હવે,$z^{14}$ ની ગણતરી કરતા:
$z^{14} = (1 + i)^{14} = ((1 + i)^2)^7$.
કારણ કે $(1 + i)^2 = 1^2 + i^2 + 2i = 1 - 1 + 2i = 2i$,
$z^{14} = (2i)^7 = 2^7 \times i^7$.
કારણ કે $i^7 = i^4 \times i^3 = 1 \times (-i) = -i$,
$z^{14} = 2^7 \times (-i) = -2^7i$.

(C) આપેલ છે કે: $(\cos \theta + i\sin \theta )(\cos 2\theta + i\sin 2\theta ) \dots (\cos n\theta + i\sin n\theta ) = 1$.
ગુણધર્મ $(\cos \alpha + i\sin \alpha)(\cos \beta + i\sin \beta) = \cos(\alpha + \beta) + i\sin(\alpha + \beta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos(\theta + 2\theta + 3\theta + \dots + n\theta) + i\sin(\theta + 2\theta + 3\theta + \dots + n\theta) = 1$.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $\frac{n(n + 1)}{2}$ થાય છે,તેથી:
$\cos\left(\frac{n(n + 1)}{2}\theta\right) + i\sin\left(\frac{n(n + 1)}{2}\theta\right) = 1$.
આ કિંમત $1$ (એટલે કે $\cos(2m\pi) + i\sin(2m\pi)$) થવા માટે,ખૂણો $2\pi$ નો પૂર્ણાંક ગુણક હોવો જોઈએ:
$\frac{n(n + 1)}{2}\theta = 2m\pi$,જ્યાં $m \in \mathbb{Z}$.
$\theta$ માટે ઉકેલતા:
$\theta = \frac{4m\pi}{n(n + 1)}$.

(A) સંકર સંખ્યાઓના ધ્રુવીય સ્વરૂપના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\left( \cos \theta_1 + i\sin \theta_1 \right) \left( \cos \theta_2 + i\sin \theta_2 \right) = \cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)$.
આપેલ પદાવલિ $= \cos \left( \frac{\pi }{2} + \frac{\pi }{{{2^2}}} + \frac{\pi }{{{2^3}}} + \dots \right) + i\sin \left( \frac{\pi }{2} + \frac{\pi }{{{2^2}}} + \frac{\pi }{{{2^3}}} + \dots \right)$.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{8} + \dots = \frac{\pi/2}{1 - 1/2} = \pi$.
તેથી,પદાવલિ $\cos(\pi) + i\sin(\pi)$ બને છે.
$\cos(\pi) = -1$ અને $\sin(\pi) = 0$ હોવાથી,જવાબ $-1$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\cos (u + iv) = \alpha + i\beta$.
નિત્યસમ $\cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos u \cos (iv) - \sin u \sin (iv) = \alpha + i\beta$.
$\cos (iv) = \cosh v$ અને $\sin (iv) = i \sinh v$ હોવાથી:
$\cos u \cosh v - i \sin u \sinh v = \alpha + i\beta$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા:
$\alpha = \cos u \cosh v$ અને $\beta = - \sin u \sinh v$.
હવે,${\alpha ^2} + {\beta ^2} + 1$ ની ગણતરી કરતા:
${\alpha ^2} + {\beta ^2} + 1 = (\cos u \cosh v)^2 + (- \sin u \sinh v)^2 + 1$
$= \cos ^2 u \cosh ^2 v + \sin ^2 u \sinh ^2 v + 1$.
નિત્યસમ $\cosh ^2 v - \sinh ^2 v = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \cos ^2 u \cosh ^2 v + \sin ^2 u \sinh ^2 v + (\cosh ^2 v - \sinh ^2 v)$
$= \cos ^2 u \cosh ^2 v + \sinh ^2 v (\sin ^2 u - 1) + \cosh ^2 v$
$= \cos ^2 u \cosh ^2 v - \sinh ^2 v \cos ^2 u + \cosh ^2 v$
$= \cos ^2 u (\cosh ^2 v - \sinh ^2 v) + \cosh ^2 v$
$= \cos ^2 u (1) + \cosh ^2 v = \cos ^2 u + \cosh ^2 v$.

(C) આપણે નિત્યસમ $\cosh(x \pm y) = \cosh x \cosh y \pm \sinh x \sinh y$ નો ઉપયોગ કરીશું.
વળી,$\cosh(i\beta) = \cos \beta$ અને $\sinh(i\beta) = i \sin \beta$ થાય.
$\cosh (\alpha + i\beta ) - \cosh (\alpha - i\beta ) = (\cosh \alpha \cosh (i\beta ) + \sinh \alpha \sinh (i\beta )) - (\cosh \alpha \cosh (i\beta ) - \sinh \alpha \sinh (i\beta ))$
$= \cosh \alpha \cosh (i\beta ) + \sinh \alpha \sinh (i\beta ) - \cosh \alpha \cosh (i\beta ) + \sinh \alpha \sinh (i\beta )$
$= 2 \sinh \alpha \sinh (i\beta )$
કારણ કે $\sinh (i\beta ) = i \sin \beta$,તેથી પદાવલિ $2i \sinh \alpha \sin \beta $ થશે.

(B) હાયપરબોલિક વિધેયો માટેના સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\cosh(\alpha + i\beta) = \cosh \alpha \cosh(i\beta) + \sinh \alpha \sinh(i\beta)$.
કારણ કે $\cosh(i\beta) = \cos \beta$ અને $\sinh(i\beta) = i \sin \beta$,તેથી:
$\cosh(\alpha + i\beta) = \cosh \alpha \cos \beta + i \sinh \alpha \sin \beta$.
આમ,કાલ્પનિક ભાગ $\sinh \alpha \sin \beta$ છે.

(C) આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$A = x$ અને $B = iy$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\cos(x + iy) = \cos x \cos(iy) - \sin x \sin(iy)$.
$\cos(iy) = \cosh y$ અને $\sin(iy) = i \sinh y$ સંબંધોનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos(x + iy) = \cos x \cosh y - \sin x (i \sinh y)$.
તેથી,$\cos(x + iy) = \cos x \cosh y - i \sin x \sinh y$.

(B) આપેલ છે કે $\tan (u + iv) = i$.
$\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\tan u + \tan (iv)}{1 - \tan u \tan (iv)} = i$ મળે.
$\tan (iv) = i \tanh v$ હોવાથી,સમીકરણ $\frac{\tan u + i \tanh v}{1 - i \tan u \tanh v} = i$ બને છે.
બંને બાજુ છેદ વડે ગુણતા: $\tan u + i \tanh v = i(1 - i \tan u \tanh v) = i + \tan u \tanh v$.
પદોને ગોઠવતા: $\tan u - i = \tanh v (\tan u - i)$.
આનો અર્થ એ થાય કે $(\tan u - i)(1 - \tanh v) = 0$.
આ માટે $1 - \tanh v = 0$ હોવું જોઈએ,એટલે કે $\tanh v = 1$.
$\tanh v = \frac{e^v - e^{-v}}{e^v + e^{-v}}$ હોવાથી,તેને $1$ સાથે સરખાવતા $e^v - e^{-v} = e^v + e^{-v}$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $2e^{-v} = 0$ થાય છે.
આ માત્ર $v \to \infty$ હોય ત્યારે જ શક્ય છે.

(D) આપેલ પદાવલિ: $(1 + i)^{n_1} + (1 + i^3)^{n_1} + (1 + i^5)^{n_2} + (1 + i^7)^{n_2}$.
$i^3 = -i$, $i^5 = i$, અને $i^7 = -i$ હોવાથી, પદાવલિ નીચે મુજબ બને છે:
$(1 + i)^{n_1} + (1 - i)^{n_1} + (1 + i)^{n_2} + (1 - i)^{n_2}$.
ધારો કે $z = (1 + i)^{n} + (1 - i)^{n}$.
ધ્રુવીય સ્વરૂપ $1 + i = \sqrt{2} e^{i\pi/4}$ અને $1 - i = \sqrt{2} e^{-i\pi/4}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$z = (\sqrt{2})^n (e^{in\pi/4} + e^{-in\pi/4}) = 2^{n/2} \cdot 2 \cos(n\pi/4) = 2^{n/2+1} \cos(n\pi/4)$.
કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે $2^{n/2+1} \cos(n\pi/4)$ હંમેશા વાસ્તવિક સંખ્યા હોવાથી, આવા બે પદોનો સરવાળો પણ હંમેશા વાસ્તવિક જ રહે છે.
તેથી, આ પદાવલિ તમામ ધન પૂર્ણાંકો $n_1$ અને $n_2$ માટે વાસ્તવિક સંખ્યા છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $z^2 + (p + iq)z + r + is = 0$ ... $(i)$
ધારો કે $z = \alpha$ (જ્યાં $\alpha$ વાસ્તવિક છે) એ $(i)$ નું એક બીજ છે.
તેથી,$\alpha^2 + (p + iq)\alpha + r + is = 0$.
આને $(\alpha^2 + p\alpha + r) + i(q\alpha + s) = 0$ તરીકે લખી શકાય.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$1) \alpha^2 + p\alpha + r = 0$
$2) q\alpha + s = 0$
$(2)$ પરથી,$\alpha = -\frac{s}{q}$ મળે.
આ કિંમત $(1)$ માં મૂકતા,$\left(-\frac{s}{q}\right)^2 + p\left(-\frac{s}{q}\right) + r = 0$.
$\frac{s^2}{q^2} - \frac{ps}{q} + r = 0$.
$q^2$ વડે ગુણતા,$s^2 - pqs + q^2r = 0$ મળે.
તેથી,$pqs = s^2 + q^2r$.

(B) આપેલ છે કે $x = -5 + 2\sqrt{-4} = -5 + 4i$.
તેથી $x + 5 = 4i$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(x + 5)^2 = (4i)^2$.
$x^2 + 10x + 25 = -16$,જેનો અર્થ છે કે $x^2 + 10x + 41 = 0$.
હવે,$x^4 + 9x^3 + 35x^2 - x + 4$ ને $x^2 + 10x + 41$ વડે ભાગતા,
$x^4 + 9x^3 + 35x^2 - x + 4 = (x^2 + 10x + 41)(x^2 - x + 4) - 160$.
કારણ કે $x^2 + 10x + 41 = 0$ છે,તેથી પદાવલિની કિંમત $0 \times (x^2 - x + 4) - 160 = -160$ થશે.

(B) આપેલ છે કે $(1 + i)(1 + 2i)(1 + 3i) \dots (1 + ni) = a + ib$ ..... $(i)$
બંને બાજુ અનુબદ્ધ લેતા,આપણને મળે $(1 - i)(1 - 2i)(1 - 3i) \dots (1 - ni) = a - ib$ ..... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો ગુણાકાર કરતા:
$[(1 + i)(1 - i)] \times [(1 + 2i)(1 - 2i)] \times \dots \times [(1 + ni)(1 - ni)] = (a + ib)(a - ib)$
કારણ કે $(1 + ki)(1 - ki) = 1^2 - (ki)^2 = 1 + k^2$,તેથી:
$(1 + 1^2)(1 + 2^2)(1 + 3^2) \dots (1 + n^2) = a^2 + b^2$
$2 \times 5 \times 10 \times \dots \times (1 + n^2) = a^2 + b^2$

(D) આપેલ છે કે $|{z_1}| = |{z_2}| = 1$,તેથી ${z_1} = \cos {\theta _1} + i\sin {\theta _1}$ અને ${z_2} = \cos {\theta _2} + i\sin {\theta _2}$ મળે.
અહીં $a = \cos {\theta _1}, b = \sin {\theta _1}, c = \cos {\theta _2}, d = \sin {\theta _2}$ છે.
$R({z_1}\overline {{z_2}} ) = 0$ હોવાથી,$\cos({\theta _1} - {\theta _2}) = 0$ મળે,એટલે કે ${\theta _1} - {\theta _2} = \pm \frac{\pi }{2}$.
હવે,$|{w_1}|^2 = a^2 + c^2 = \cos^2 {\theta _1} + \cos^2 {\theta _2} = \cos^2 {\theta _1} + \sin^2 {\theta _1} = 1$,તેથી $|{w_1}| = 1$.
તે જ રીતે,$|{w_2}|^2 = b^2 + d^2 = \sin^2 {\theta _1} + \sin^2 {\theta _2} = 1$,તેથી $|{w_2}| = 1$.
અંતે,$R({w_1}\overline {{w_2}} ) = ab + cd = \cos {\theta _1}\sin {\theta _1} + \cos {\theta _2}\sin {\theta _2} = 0$ સાબિત થાય છે.
તેથી,ઉપરોક્ત તમામ વિકલ્પો સાચા છે.

(C) આપેલ છે કે $|z| \le 1$ અને $|w| \le 1$.
આપણને $|z + iw| = 2$ અને $|z - i\overline{w}| = 2$ આપેલ છે.
ધારો કે $z = a + ib$ અને $w = c + id$. તેથી $|z|^2 = a^2 + b^2 \le 1$ અને $|w|^2 = c^2 + d^2 \le 1$.
$|z + iw| = |(a + ib) + i(c + id)| = |(a - d) + i(b + c)| = 2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(a - d)^2 + (b + c)^2 = 4$ $(i)$.
$|z - i\overline{w}| = |(a + ib) - i(c - id)| = |(a - d) + i(b - c)| = 2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(a - d)^2 + (b - c)^2 = 4$ $(ii)$.
સમીકરણ $(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા,આપણને $(b + c)^2 - (b - c)^2 = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $4bc = 0$ થાય,તેથી $bc = 0$.
જો $b = 0$ હોય,તો $(a - d)^2 + c^2 = 4$. $a^2 \le 1$ અને $c^2 + d^2 \le 1$ હોવાથી,$4$ મેળવવાનો એકમાત્ર રસ્તો $a = 1, d = -1, c = 0$ અથવા $a = -1, d = 1, c = 0$ છે.
બંને કિસ્સામાં,$z = a + i(0) = \pm 1$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણો $\left| \frac{z - 12}{z - 8i} \right| = \frac{5}{3}$ અને $\left| \frac{z - 4}{z - 8} \right| = 1$ છે.
ધારો કે $z = x + iy$.
બીજા સમીકરણ પરથી,$|z - 4| = |z - 8|$,જેનો અર્થ છે કે $|(x - 4) + iy| = |(x - 8) + iy|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(x - 4)^2 + y^2 = (x - 8)^2 + y^2$.
$x^2 - 8x + 16 = x^2 - 16x + 64$,જે $8x = 48$ આપે છે,તેથી $x = 6$.
હવે $x = 6$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $3|z - 12| = 5|z - 8i|$.
$3|(6 - 12) + iy| = 5|6 + (y - 8)i|$.
$3|-6 + iy| = 5|6 + (y - 8)i|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$9(36 + y^2) = 25(36 + (y - 8)^2)$.
$324 + 9y^2 = 25(36 + y^2 - 16y + 64)$.
$324 + 9y^2 = 25y^2 - 400y + 2500$.
$16y^2 - 400y + 2176 = 0$.
$16$ વડે ભાગતા,$y^2 - 25y + 136 = 0$.
$(y - 8)(y - 17) = 0$.
આમ,$y = 8$ અથવા $y = 17$.
તેથી,$z = 6 + 8i$ અથવા $z = 6 + 17i$.

(B) આપેલ અસમતા $|z - 25i| \le 15$ એ $25i$ પર કેન્દ્રિત અને $15$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે. ઉગમબિંદુથી વર્તુળ પરના સ્પર્શકોના સ્પર્શબિંદુઓ $z_1$ અને $z_2$ છે.
કાટ્રાયેંગલના ગુણોત્તર મુજબ,$\sin \alpha = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$,તેથી $\alpha = \sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$.
આર્ગ્યુમેન્ટનો વિસ્તાર $\left[\frac{\pi}{2} - \alpha, \frac{\pi}{2} + \alpha\right]$ છે.
તેથી,તફાવત $2\alpha = 2\sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) = \pi - 2\cos^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$ થાય.

(A) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $O(0), A(z_1),$ અને $B(z_2)$ છે. $\Delta OAB$ સમબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,ઉગમબિંદુ $O$ ની આસપાસ સદિશ $OA$ નું $60^\circ$ ($\pi/3$ રેડિયન) પરિભ્રમણ સદિશ $OB$ સાથે સંપાતી થાય.
તેથી,$z_2 = z_1 e^{\pm i\pi/3}$.
આથી $\frac{z_2}{z_1} = \cos(\pi/3) \pm i \sin(\pi/3) = \frac{1}{2} \pm i \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આને સાદું રૂપ આપતા $2z_2 = z_1(1 \pm i\sqrt{3})$,અથવા $2z_2 - z_1 = \pm i\sqrt{3} z_1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(2z_2 - z_1)^2 = -3z_1^2$.
$4z_2^2 - 4z_1 z_2 z_1^2 = -3z_1^2$.
$4z_1^2 4z_2^2 = 4z_1 z_2$.
$4$ વડે ભાગતા,આપણને $z_1^2 z_2^2 = z_1 z_2$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $a = \cos (2\pi /7) + i\sin (2\pi /7)$.
$a^7 = \cos (2\pi) + i\sin (2\pi) = 1$ હોવાથી,$a^7 = 1$.
બીજનો સરવાળો $S = \alpha + \beta = (a + a^2 + a^4) + (a^3 + a^5 + a^6) = a + a^2 + a^3 + a^4 + a^5 + a^6$.
ભૌમિતિક શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર મુજબ,$S = \frac{a(1 - a^6)}{1 - a} = \frac{a - a^7}{1 - a} = \frac{a - 1}{1 - a} = -1$.
બીજનો ગુણાકાર $P = \alpha \beta = (a + a^2 + a^4)(a^3 + a^5 + a^6) = a^4 + a^6 + a^7 + a^5 + a^7 + a^8 + a^7 + a^9 + a^{10}$.
$a^7 = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$P = a^4 + a^6 + 1 + a^5 + 1 + a + 1 + a^2 + a^3 = 3 + (a + a^2 + a^3 + a^4 + a^5 + a^6) = 3 + S$.
$S = -1$ મૂકતા,$P = 3 - 1 = 2$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - Sx + P = 0$ છે,જે $x^2 - (-1)x + 2 = 0$ એટલે કે $x^2 + x + 2 = 0$ બને છે.

(A) આપેલ શ્રેણી $S = i - 2 - 3i + 4 + 5i - 6 - 7i + 8 + \dots$ છે.
પદોને જોડીમાં ગોઠવતા: $(i - 2) + (-3i + 4) + (5i - 6) + (-7i + 8) + \dots$
કુલ $100$ પદો હોવાથી $50$ જોડીઓ બનશે.
દરેક જોડીનો સરવાળો: $(i - 2) + (4 - 3i) + (-6 + 5i) + (8 - 7i) + \dots$
વાસ્તવિક ભાગનો સરવાળો: $-2+4-6+8+\dots+100 = 50$.
કાલ્પનિક ભાગનો સરવાળો: $i(1-3+5-7+\dots-99) = -50i$.
તેથી,$S = 50 - 50i = 50(1 - i)$.

(C) બહુપદીના સહગુણકો વાસ્તવિક હોવાથી,સંકર બીજો હંમેશા અનુબદ્ધ જોડીમાં હોય છે. તેથી,$3 - i\sqrt{6}$ પણ એક બીજ છે.
આ બીજોને અનુરૂપ દ્વિઘાત અવયવ $(x - (3 + i\sqrt{6}))(x - (3 - i\sqrt{6})) = (x - 3)^2 + 6 = x^2 - 6x + 15 = 0$ છે.
આપેલ સમીકરણ $4x^4 - 24x^3 + 57x^2 + 18x - 45 = 0$ ને $(x^2 - 6x + 15)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$4x^4 - 24x^3 + 57x^2 + 18x - 45 = (x^2 - 6x + 15)(4x^2 - 3) = 0$.
બીજા અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા,$4x^2 - 3 = 0$,તેથી $x^2 = \frac{3}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આમ,બીજો $3 \pm i\sqrt{6}$ અને $\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ છે.

$(A)$ આપણે જાણીએ છીએ કે $e^z$ નું વિસ્તરણ $1 + \frac{z}{1!} + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \dots \infty$ છે.
$z = ix$ મૂકતા, આપણને મળે છે $e^{ix} = 1 + \frac{ix}{1!} + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \frac{(ix)^4}{4!} + \dots \infty = 1 + \frac{ix}{1!} - \frac{x^2}{2!} - \frac{ix^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots \infty$.
તે જ રીતે, $e^{-ix} = 1 - \frac{ix}{1!} + \frac{(-ix)^2}{2!} + \frac{(-ix)^3}{3!} + \frac{(-ix)^4}{4!} + \dots \infty = 1 - \frac{ix}{1!} - \frac{x^2}{2!} + \frac{ix^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots \infty$.
આ બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$e^{ix} + e^{-ix} = 2 \left( 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots \infty \right)$.
તેથી, $\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots \infty$.

(A) ધારો કે $z_1 = -1 + i\sqrt{3} = 2\omega$ અને $z_2 = -1 - i\sqrt{3} = 2\omega^2$,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું ઘનમૂળ છે.
તેથી,પદાવલિ $\frac{(2\omega)^{15}}{(1-i)^{20}} + \frac{(2\omega^2)^{15}}{(1+i)^{20}}$ બને છે.
કારણ કે $\omega^3 = 1$,તેથી $\omega^{15} = 1$ અને $\omega^{30} = 1$.
તેથી,પદાવલિ $\frac{2^{15}}{(1-i)^{20}} + \frac{2^{15}}{(1+i)^{20}} = 2^{15} \left[ \frac{(1+i)^{20} + (1-i)^{20}}{(1-i^2)^{20}} \right]$ છે.
નોંધો કે $(1-i^2) = (1 - (-1)) = 2$,તેથી $(1-i^2)^{20} = 2^{20}$.
આમ,$\frac{2^{15}}{2^{20}} [(1+i)^{20} + (1-i)^{20}] = \frac{1}{2^5} [(1+i)^2]^{10} + [(1-i)^2]^{10}$.
$(1+i)^2 = 1 + i^2 + 2i = 2i$ અને $(1-i)^2 = 1 + i^2 - 2i = -2i$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{1}{32} [(2i)^{10} + (-2i)^{10}] = \frac{1}{32} [2^{10} i^{10} + 2^{10} i^{10}] = \frac{1}{32} [2 \times 2^{10} \times (-1)]$ મળે છે.
$= \frac{1}{32} [-2^{11}] = -\frac{2048}{32} = -64$.

(A) આપેલ છે કે $z = x - iy$ અને $z^{1/3} = p + iq$.
બંને બાજુ ઘન લેતા,$z = (p + iq)^3$.
$z = p^3 + 3p^2(iq) + 3p(iq)^2 + (iq)^3$.
$z = p^3 + 3ip^2q - 3pq^2 - iq^3$.
$z = (p^3 - 3pq^2) + i(3p^2q - q^3)$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને $z = x - iy$ સાથે સરખાવતા:
$x = p^3 - 3pq^2 = p(p^2 - 3q^2)$ અને $-y = 3p^2q - q^3$,જેનો અર્થ છે કે $y = q^2 - 3p^2q = q(q^2 - 3p^2)$.
હવે,$\frac{x}{p} = p^2 - 3q^2$ અને $\frac{y}{q} = q^2 - 3p^2$.
આ બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$\frac{x}{p} + \frac{y}{q} = (p^2 - 3q^2) + (q^2 - 3p^2) = -2p^2 - 2q^2 = -2(p^2 + q^2)$.
તેથી,$\frac{\frac{x}{p} + \frac{y}{q}}{p^2 + q^2} = \frac{-2(p^2 + q^2)}{p^2 + q^2} = -2$.

(C) આપેલ છે કે ${x_n} = \cos \left( \frac{\pi }{3^n} \right) + i\sin \left( \frac{\pi }{3^n} \right) = e^{i\pi / 3^n}$.
ગુણાકાર ${x_1} \cdot {x_2} \cdot {x_3} \cdots {x_\infty } = e^{i\pi / 3^1} \cdot e^{i\pi / 3^2} \cdot e^{i\pi / 3^3} \cdots e^{i\pi / 3^\infty }$ થાય.
ઘાતાંકના નિયમ મુજબ,આ $e^{i\pi \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \cdots \right)}$ બરાબર છે.
ઘાતાંકમાં રહેલી અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1/3}{1 - 1/3} = \frac{1/3}{2/3} = \frac{1}{2}$ થાય.
તેથી,ગુણાકાર $e^{i\pi (1/2)} = e^{i\pi / 2}$ થાય.
ઓઈલરના સૂત્ર મુજબ,$e^{i\pi / 2} = \cos \left( \frac{\pi }{2} \right) + i\sin \left( \frac{\pi }{2} \right) = 0 + i(1) = i$.

(B) આપેલ છે $\frac{1 - ix}{1 + ix} = a - ib$.
અંશ અને છેદને $(1 - ix)$ વડે ગુણતા:
$\frac{(1 - ix)^2}{1 + x^2} = a - ib$
$\frac{1 - x^2 - 2ix}{1 + x^2} = a - ib$
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
$a = \frac{1 - x^2}{1 + x^2}$ અને $b = \frac{2x}{1 + x^2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a^2 + b^2 = 1$.
પદ $\frac{b}{1 + a} = \frac{\frac{2x}{1 + x^2}}{1 + \frac{1 - x^2}{1 + x^2}} = \frac{2x}{1 + x^2 + 1 - x^2} = \frac{2x}{2} = x$.
આમ,$x = \frac{b}{1 + a}$.
$a^2 + b^2 = 1$ હોવાથી,આપણે $1 = a^2 + b^2$ લખી શકીએ.
છેદમાં આ કિંમત મૂકતા:
$x = \frac{b}{1 + a} = \frac{2b}{2(1 + a)} = \frac{2b}{1 + 1 + 2a} = \frac{2b}{1 + (a^2 + b^2) + 2a} = \frac{2b}{(1 + a)^2 + b^2}$.

(C) શરત $|z - 5i| \le 1$ એ $C(0, 5)$ કેન્દ્ર અને $r = 1$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
$\text{amp } z$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,રેખા $OA$ એ વર્તુળને બિંદુ $A$ પર સ્પર્શક હોવી જોઈએ.
$\triangle OAC$ માં,$\angle OAC = 90^\circ$ (ત્રિજ્યા સ્પર્શકને લંબ હોય છે).
$OC = 5$ અને $AC = 1$.
$\triangle OAC$ માં,$\sin(\angle AOC) = \frac{AC}{OC} = \frac{1}{5}$.
ધારો કે $\alpha = \angle AOC$. તો $\sin \alpha = \frac{1}{5}$,તેથી $\cos \alpha = \sqrt{1 - (\frac{1}{5})^2} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$.
$z$ નો ખૂણો $\theta = 90^\circ - \alpha$ છે. તેથી,$\cos \theta = \sin \alpha = \frac{1}{5}$ અને $\sin \theta = \cos \alpha = \frac{2\sqrt{6}}{5}$.
અંતર $OA = \sqrt{OC^2 - AC^2} = \sqrt{25 - 1} = 2\sqrt{6}$.
આમ,$z = OA(\cos \theta + i \sin \theta) = 2\sqrt{6}(\frac{1}{5} + i\frac{2\sqrt{6}}{5}) = \frac{2\sqrt{6}}{5} + \frac{24}{5}i$.