यदि सदिश vec{alpha}=hat{i}+a hat{j}+a^{2} hat | vedclass

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Question

(C) दिए गए सारणिक समीकरण: $\left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & 1+a^{3} \ b & b^{2} & 1+b^{3} \ c & c^{2} & 1+c^{3}\end{array}ight|=0$ तीसरे स्तंभ

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$-1$

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(C) दिए गए सारणिक समीकरण: $\left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & 1+a^{3} \ b & b^{2} & 1+b^{3} \ c & c^{2} & 1+c^{3}\end{array}ight|=0$ तीसरे स्तंभ को अलग करने पर: $\left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & 1 \ b & b^{2} & 1 \ c & c^{2} & 1\end{array}ight| + \left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & a^{3} \ b & b^{2} & b^{3} \ c & c^{2} & c^{3}\end{array}ight| = 0$ दूसरे सारणिक से $abc$ कॉमन लेने पर: $\left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & 1 \ b & b^{2} & 1 \ c & c^{2} & 1\end{array}ight| + abc \left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & 1 \ b & b^{2} & 1 \ c & c^{2} & 1\end{array}ight| = 0$ $(1+abc) \left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & 1 \ b & b^{2} & 1 \ c & c^{2} & 1\end{array}ight| = 0$ चूंकि $\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}$ असमतलीय हैं,इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य नहीं है। सारणिक $\left|\begin{array}{lll}1 & a & a^{2} \ 1 & b & b^{2} \ 1 & c & c^{2}\end{array}ight|$ का मान शून्य नहीं है। अतः,$1+abc = 0$,जिसका अर्थ है कि $abc = -1$।

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यदि $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 4 & 8 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 8 \end{bmatrix}$ है,तो $A$ की कोटि (rank) क्या है?

यदि $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 2 \cos^2 x & \sin 2x & \sin x \\ \sin 2x & 2 \sin^2 x & -\cos x \\ \sin x & -\cos x & 0 \end{array} \right|$ है,तो $\int_0^{\frac{\pi}{4}} (2|f(x)| + 5f'(x)) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

आव्यूह $\begin{bmatrix} -1 & 2 & 5 \\ 2 & -4 & a - 4 \\ 1 & -2 & a + 1 \end{bmatrix}$ की कोटि (rank) क्या है?

यदि आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 & 3 \\ 6 & 8 & 7 & \alpha \end{bmatrix}$ की कोटि (rank) $3$ है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

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