यदि $B$ और $B^{\prime}$ दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$ के लघु अक्ष के सिरे हैं और $S$ तथा $S^{\prime}$ इसकी नाभियाँ हैं,तो समचतुर्भुज $SBS^{\prime}B^{\prime}$ का क्षेत्रफल क्या होगा?

दीर्घवृत्त $16x^{2} + y^{2} = 16$ के नाभियों के निर्देशांक,शीर्षों,दीर्घ अक्ष की लंबाई,लघु अक्ष की लंबाई,उत्केंद्रता और नाभिलंब की लंबाई ज्ञात कीजिए।

यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{14} + \frac{y^2}{5} = 1$ के बिंदु $P(\theta)$ पर अभिलंब इसे पुन: बिंदु $Q(2\theta)$ पर प्रतिच्छेद करता है,तो $\cos \theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

$l$ लंबाई की एक सीढ़ी एक ऊर्ध्वाधर दीवार और कमरे के फर्श के सहारे टिकी हुई है। मान लीजिए $P$ सीढ़ी पर स्थित एक बिंदु है,जो दीवार पर स्थित उसके सिरे के करीब है और उसकी लंबाई को $1 : 2$ के अनुपात में विभाजित करता है। यदि सीढ़ी फर्श पर फिसलना शुरू करती है,तो $P$ का बिंदुपथ क्या होगा?

$100$ व्यक्तियों के एक समूह में $75$ अंग्रेजी बोलते हैं और $40$ हिंदी बोलते हैं। प्रत्येक व्यक्ति कम से कम एक भाषा बोलता है। यदि केवल अंग्रेजी बोलने वाले व्यक्तियों की संख्या $\alpha$ है और केवल हिंदी बोलने वाले व्यक्तियों की संख्या $\beta$ है,तो दीर्घवृत्त $25(\beta^2 x^2 + \alpha^2 y^2) = \alpha^2 \beta^2$ की उत्केंद्रता $.......$ है।

मान लीजिए $A(\alpha, 0)$ और $B(0, \beta)$ रेखा $5x + 7y = 50$ पर स्थित बिंदु हैं। मान लीजिए बिंदु $P$ रेखाखंड $AB$ को $7:3$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है। मान लीजिए $3x - 25 = 0$ दीर्घवृत्त $E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की एक नियता (directrix) है और संगत नाभि (focus) $S$ है। यदि $S$ से $x$-अक्ष पर डाला गया लंब $P$ से होकर गुजरता है,तो $E$ के नाभिलंब (latus rectum) की लंबाई क्या है?