एक वक्र पर किसी बिंदु P(x, y) पर स्पर्श रेखा | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) माना $P(x, y)$ पर स्पर्श रेखा $Y - y = \frac{dy}{dx}(X - x)$ है।माना $y' = \frac{dy}{dx}$। स्पर्श रेखा $Y - y = y'(X - x)$ है।बिंदु $A$ ($X$-अक्ष)

Vedclass · Accepted Answer

वक्र का अवकल समीकरण $3x \frac{dy}{dx} + y = 0$ है

Vedclass · Answer

(A) माना $P(x, y)$ पर स्पर्श रेखा $Y - y = \frac{dy}{dx}(X - x)$ है।माना $y' = \frac{dy}{dx}$। स्पर्श रेखा $Y - y = y'(X - x)$ है।बिंदु $A$ ($X$-अक्ष) के लिए,$Y = 0$ रखें: $-y = y'(X - x) \Rightarrow X = x - \frac{y}{y'}$। अतः,$A = \left(x - \frac{y}{y'}, 0\right)$।बिंदु $B$ ($Y$-अक्ष) के लिए,$X = 0$ रखें: $Y - y = y'(-x) \Rightarrow Y = y - xy'$। अतः,$B = (0, y - xy')$।दिया है $AP:BP = 3:1$। बिंदु $P(x, y)$ के लिए विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए जो $AB$ को $3:1$ के अनुपात में विभाजित करता है:$x = \frac{1 \cdot (x - y/y') + 3 \cdot 0}{3 + 1} = \frac{x - y/y'}{4} \Rightarrow 4x = x - \frac{y}{y'} \Rightarrow 3x = -\frac{y}{y'} \Rightarrow 3xy' = -y \Rightarrow 3x \frac{dy}{dx} + y = 0$।यह विकल्प $A$ से मेल खाता है।अवकल समीकरण को हल करने पर: $\frac{3 dy}{y} + \frac{dx}{x} = 0 \Rightarrow 3 \ln|y| + \ln|x| = C \Rightarrow \ln|xy^3| = C \Rightarrow xy^3 = k$।चूंकि यह $(1, 1)$ से गुजरता है,$1(1)^3 = k \Rightarrow k = 1$। वक्र $xy^3 = 1$ है।विकल्प $C$ की जाँच करें: यदि $x = 1/8$ है,तो $y^3 = 8 \Rightarrow y = 2$। अतः,वक्र $(1/8, 2)$ से गुजरता है।विकल्प $D$ की जाँच करें: $(1, 1)$ पर,$y' = -\frac{y}{3x} = -\frac{1}{3}$। अभिलंब की ढाल $= -\frac{1}{y'} = 3$।अभिलंब का समीकरण: $y - 1 = 3(x - 1) \Rightarrow y - 1 = 3x - 3 \Rightarrow 3x - y = 2$। विकल्प $D$ गलत है।

Similar Questions

$m \in N$ के कितने मानों के लिए $y = e^{mx}$,अवकल समीकरण $D^3y - 3D^2y - 4Dy + 12y = 0$ का एक हल है?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module