List-I की निम्नलिखित वस्तुओं को List-II में स | vedclass

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Question

(B) प्रत्येक समाकलन का मूल्यांकन करते हैं:$(1) \int \frac{\sin^2 x}{\cos^4 x} dx = \int 	an^2 x \sec^2 x dx$. मान लीजिए $	an x = t$,तब $\sec^2 x dx

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$1-C, 2-D, 3-B, 4-A$

Vedclass · Answer

(B) प्रत्येक समाकलन का मूल्यांकन करते हैं:$(1) \int \frac{\sin^2 x}{\cos^4 x} dx = \int 	an^2 x \sec^2 x dx$. मान लीजिए $	an x = t$,तब $\sec^2 x dx = dt$. समाकलन $\int t^2 dt = \frac{t^3}{3} + c = \frac{	an^3 x}{3} + c$ हो जाता है। अतः,$1-C$.$(2) \int \frac{\sin^4 x}{\cos^2 x} dx = \int \frac{(\sin^2 x)^2}{\cos^2 x} dx = \int \frac{(1-\cos^2 x)^2}{\cos^2 x} dx = \int \frac{1 - 2\cos^2 x + \cos^4 x}{\cos^2 x} dx = \int (\sec^2 x - 2 + \cos^2 x) dx = 	an x - 2x + \int \frac{1+\cos 2x}{2} dx = 	an x - 2x + \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + c = 	an x + \frac{\sin 2x}{4} - \frac{3x}{2} + c$ हो जाता है। अतः,$2-D$.$(3) \int \frac{\sin^3 x}{\cos^2 x} dx = \int \frac{\sin x(1-\cos^2 x)}{\cos^2 x} dx$. मान लीजिए $\cos x = t$,तब $-\sin x dx = dt$. समाकलन $-\int \frac{1-t^2}{t^2} dt = -\int (t^{-2} - 1) dt = -(-t^{-1} - t) + c = \frac{1}{t} + t + c = \sec x + \cos x + c$ हो जाता है। अतः,$3-B$.$(4) \int \frac{\sin^3 x}{\cos^3 x} dx = \int 	an^3 x dx = \int 	an x(\sec^2 x - 1) dx = \int 	an x \sec^2 x dx - \int 	an x dx = \frac{	an^2 x}{2} - \ln|\sec x| + c = \frac{	an^2 x}{2} + \ln|\cos x| + c$ हो जाता है। अतः,$4-A$.सही मिलान $1-C, 2-D, 3-B, 4-A$ है।

List-$I$	List-$II$
$1. \int \frac{\sin^2 x}{\cos^4 x} dx$	$A. \frac{\tan^2 x}{2} + \ln\|\cos x\| + c$
$2. \int \frac{\sin^4 x}{\cos^2 x} dx$	$B. \cos x + \sec x + c$
$3. \int \frac{\sin^3 x}{\cos^2 x} dx$	$C. \frac{\tan^3 x}{3} + c$
$4. \int \frac{\sin^3 x}{\cos^3 x} dx$	$D. \tan x + \frac{\sin 2x}{4} - \frac{3x}{2} + c$
	$E. \cos x - \sec x + c$

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यदि $\int \frac{1}{a^2 \sin^2 x + b^2 \cos^2 x} dx = \frac{1}{12} \tan^{-1}(3 \tan x) + C$ है,तो $a \sin x + b \cos x$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए:

यदि $\int \frac{dx}{\cos^3 x \sqrt{2 \sin 2x}} = (\tan x)^A + C(\tan x)^B + K$,जहाँ $K$ समाकलन का एक स्थिरांक है,तो $5(A+B+C)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $I_n = \int \tan^n x \ dx$,और $I_0 + I_1 + 2 I_2 + 2 I_3 + 2 I_4 + I_5 + I_6 = \sum_{K=1}^n \frac{\tan^K x}{K}$,तो $n = $

$\int \frac{x+\sin x}{1+\cos x} d x=$

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