यदि $n \in N$ के लिए $(1+x)^n = C_0 + C_1 x + C_2 x^2 + \ldots + C_n x^n$ है,तो $C_0 + \frac{C_1}{2} + \frac{C_2}{3} + \ldots + \frac{C_n}{n+1} =$

निम्नलिखित कथनों के संबंध में सही विकल्प चुनें:
$1$. $C_0+C_2+C_4+\ldots+C_n=2^{n-1}$,यदि $n$ सम है
$2$. $C_1+C_3+C_5+\ldots+C_{n-1}=2^{n-1}$,यदि $n$ सम है

मान लीजिए $\alpha = \sum_{k=0}^n \left( \frac{({ }^n C_k)^2}{k+1} \right)$ और $\beta = \sum_{k=0}^{n-1} \left( \frac{{ }^n C_k \cdot { }^n C_{k+1}}{k+2} \right)$ है। यदि $5 \alpha = 6 \beta$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए:

माना $n \in N$ और $[x]$,$x$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है। यदि $(n+1)$ पदों ${}^{n}C_{0}, 3 \cdot {}^{n}C_{1}, 5 \cdot {}^{n}C_{2}, 7 \cdot {}^{n}C_{3}, \ldots$ का योग $2^{100} \cdot 101$ है,तो $2\left[\frac{n-1}{2}\right]$ का मान $....$ है।

$\frac{1}{1! 50!} + \frac{1}{3! 48!} + \frac{1}{5! 46!} + \dots + \frac{1}{49! 2!} + \frac{1}{51! 1!}$ का मान $.............$ है।

एक बाइनरी अनुक्रम $0$ और $1$ की एक सरणी है। $n$-अंकीय बाइनरी अनुक्रमों की संख्या जिनमें $0$ की संख्या सम हो,वह है