int frac{sin ^8 x-cos ^8 x}{1-2 sin ^2 x cos | vedclass

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Question

(D) हमारे पास समाकलन $I = \int \frac{\sin ^8 x-\cos ^8 x}{1-2 \sin ^2 x \cos ^2 x} d x$ है। सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करके,हम अंश का

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$\frac{-1}{2} \sin 2 x+c$

Vedclass · Answer

(D) हमारे पास समाकलन $I = \int \frac{\sin ^8 x-\cos ^8 x}{1-2 \sin ^2 x \cos ^2 x} d x$ है। सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करके,हम अंश का गुणनखंड कर सकते हैं: $\sin ^8 x - \cos ^8 x = (\sin ^4 x - \cos ^4 x)(\sin ^4 x + \cos ^4 x) = (\sin ^2 x - \cos ^2 x)(\sin ^2 x + \cos ^2 x)(\sin ^4 x + \cos ^4 x)$. चूंकि $\sin ^2 x + \cos ^2 x = 1$,इसलिए अंश $(\sin ^2 x - \cos ^2 x)(\sin ^4 x + \cos ^4 x)$ हो जाता है। अब,हर पर विचार करें: $1 - 2 \sin ^2 x \cos ^2 x$. हम जानते हैं कि $1 = (\sin ^2 x + \cos ^2 x)^2 = \sin ^4 x + \cos ^4 x + 2 \sin ^2 x \cos ^2 x$. इसलिए,$1 - 2 \sin ^2 x \cos ^2 x = \sin ^4 x + \cos ^4 x$. इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int \frac{(\sin ^2 x - \cos ^2 x)(\sin ^4 x + \cos ^4 x)}{\sin ^4 x + \cos ^4 x} d x = \int (\sin ^2 x - \cos ^2 x) d x$. सर्वसमिका $\cos 2x = \cos ^2 x - \sin ^2 x$ का उपयोग करते हुए,हमें $\sin ^2 x - \cos ^2 x = -\cos 2x$ प्राप्त होता है। अतः,$I = \int -\cos 2x d x = -\frac{1}{2} \sin 2x + C$.

$\int \frac{\sin ^8 x-\cos ^8 x}{1-2 \sin ^2 x \cos ^2 x} d x=$

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