निश्चित समाकल int_0^{2a} f(x) dx का मान ज्ञात | vedclass

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Question

(B) हमें समाकल $I = \int_0^{2a} f(x) dx$ दिया गया है। निश्चित समाकल के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,हम अंतराल को विभाजित कर सकते हैं: $I = \int_0^a f(x)

Vedclass · Accepted Answer

$\int_0^a (f(x) + f(2a - x)) dx$

Vedclass · Answer

(B) हमें समाकल $I = \int_0^{2a} f(x) dx$ दिया गया है। निश्चित समाकल के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,हम अंतराल को विभाजित कर सकते हैं: $I = \int_0^a f(x) dx + \int_a^{2a} f(x) dx$. दूसरे समाकल में,मान लीजिए $x = 2a - t$. तब $dx = -dt$. जब $x = a$ है,तो $t = a$ है,और जब $x = 2a$ है,तो $t = 0$ है। इन मानों को दूसरे समाकल में प्रतिस्थापित करने पर: $\int_a^{2a} f(x) dx = \int_a^0 f(2a - t) (-dt) = \int_0^a f(2a - t) dt = \int_0^a f(2a - x) dx$. अतः,$I = \int_0^a f(x) dx + \int_0^a f(2a - x) dx = \int_0^a (f(x) + f(2a - x)) dx$. इस प्रकार,विकल्प $(b)$ सही उत्तर है।

List-$I$	List-$II$
$I. \int_{-1}^1 x\|x\| dx$	$(a) \frac{\pi}{2}$
$II. \int_0^{\pi/2} \left(1 + \log \left(\frac{4+3\sin x}{4+3\cos x}\right)\right) dx$	$(b) \int_0^a 2f(x) dx$
$III. \int_0^a f(x) dx$	$(c) \int_0^a [f(x) + f(-x)] dx$
$IV. \int_{-a}^a f(x) dx$	$(d) 0$
	$(e) \int_0^a f(a-x) dx$

निश्चित समाकल $\int_0^{2a} f(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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