कथन I: Y-अक्ष पर केंद्र और k निश्चित त्रिज्या | vedclass

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Question

(C) कथन $I$: $(0, \alpha)$ केंद्र और $k$ त्रिज्या वाले वृत्त का समीकरण $x^2 + (y - \alpha)^2 = k^2$ ... $(i)$ है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x + 2

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कथन $I$ और कथन $II$ दोनों सत्य हैं

Vedclass · Answer

(C) कथन $I$: $(0, \alpha)$ केंद्र और $k$ त्रिज्या वाले वृत्त का समीकरण $x^2 + (y - \alpha)^2 = k^2$ ... $(i)$ है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x + 2(y - \alpha)\frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow y - \alpha = -x\frac{dx}{dy}$.अतः,$\alpha = y + x\frac{dx}{dy}$.$(i)$ में $\alpha$ का मान रखने पर: $x^2 + (-x\frac{dx}{dy})^2 = k^2 \Rightarrow x^2 + x^2(\frac{dx}{dy})^2 = k^2$.$x^2(1 + (\frac{dx}{dy})^2) = k^2 \Rightarrow x^2(1 + \frac{1}{(dy/dx)^2}) = k^2 \Rightarrow x^2(\frac{(dy/dx)^2 + 1}{(dy/dx)^2}) = k^2$.$x^2(dy/dx)^2 + x^2 = k^2(dy/dx)^2 \Rightarrow (x^2 - k^2)(dy/dx)^2 + x^2 = 0$. अतः,कथन $I$ सत्य है।कथन $II$: वृत्त मूल बिंदु से गुजरता है और इसका केंद्र $X$-अक्ष पर है,इसलिए केंद्र $(\alpha, 0)$ और त्रिज्या $|\alpha|$ है।समीकरण $(x - \alpha)^2 + y^2 = \alpha^2 \Rightarrow x^2 - 2x\alpha + \alpha^2 + y^2 = \alpha^2 \Rightarrow x^2 + y^2 = 2x\alpha \Rightarrow \alpha = \frac{x^2 + y^2}{2x}$ है।$x^2 + y^2 = 2x\alpha$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x + 2y\frac{dy}{dx} = 2\alpha$.$\alpha$ का मान रखने पर: $x + y\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{2x} \Rightarrow 2x^2 + 2xy\frac{dy}{dx} = x^2 + y^2 \Rightarrow x^2 - y^2 + 2xy\frac{dy}{dx} = 0$. अतः,कथन $II$ भी सत्य है।

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