यदि alpha, beta समीकरण 1+x+x^2=0 के मूल हैं,त | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण $1+x+x^2=0$ है। $(x-1)$ से गुणा करने पर,$(x-1)(1+x+x^2)=0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^3-1=0$,अतः $x^3=1$। $1+x+x^2=0$ के मूल

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(A) दिया गया समीकरण $1+x+x^2=0$ है। $(x-1)$ से गुणा करने पर,$(x-1)(1+x+x^2)=0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^3-1=0$,अतः $x^3=1$। $1+x+x^2=0$ के मूल इकाई के सम्मिश्र घनमूल $\omega$ और $\omega^2$ हैं। माना $\alpha = \omega$ और $\beta = \omega^2$। हमें $\alpha^4+\beta^4+\alpha^{-4}\beta^{-4}$ का मान ज्ञात करना है। चूंकि $\alpha^3 = 1$ और $\beta^3 = 1$,इसलिए $\alpha^4 = \alpha^3 \cdot \alpha = \alpha = \omega$ और $\beta^4 = (\omega^2)^4 = \omega^8 = \omega^6 \cdot \omega^2 = \omega^2$ प्राप्त होता है। साथ ही,$\alpha^{-4}\beta^{-4} = (\alpha\beta)^{-4} = (\omega \cdot \omega^2)^{-4} = (\omega^3)^{-4} = (1)^{-4} = 1$। अतः,$\alpha^4+\beta^4+\alpha^{-4}\beta^{-4} = \omega + \omega^2 + 1$। चूंकि $1+\omega+\omega^2 = 0$,इसलिए मान $0$ है।

यदि $\alpha, \beta$ समीकरण $1+x+x^2=0$ के मूल हैं,तो $\alpha^4+\beta^4+\alpha^{-4}\beta^{-4}$ का मान क्या है?

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