TS EAMCET 2014 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) माना $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^3-2x^2+10x-8=0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों से:
$\alpha+\beta+\gamma = 2$,
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 10$,
$\alpha\beta\gamma = 8$.
हमें वह समीकरण ज्ञात करना है जिसके मूल $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2$ हैं।
नए मूलों का योग $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = (2)^2 - 2(10) = 4 - 20 = -16$ है।
दो-दो मूलों के गुणनफल का योग $\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2 = (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^2 - 2\alpha\beta\gamma(\alpha+\beta+\gamma) = (10)^2 - 2(8)(2) = 100 - 32 = 68$ है।
नए मूलों का गुणनफल $\alpha^2\beta^2\gamma^2 = (\alpha\beta\gamma)^2 = (8)^2 = 64$ है।
अपेक्षित त्रिघात समीकरण $x^3 - (\text{मूलों का योग})x^2 + (\text{दो-दो मूलों के गुणनफल का योग})x - (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ है।
मान रखने पर: $x^3 - (-16)x^2 + 68x - 64 = 0$,जो $x^3+16x^2+68x-64=0$ के रूप में सरल होता है।

(D) दिया गया है $Z_r = \cos \left(\frac{\pi}{2^r}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{2^r}\right) = e^{i \frac{\pi}{2^r}}$.
गुणनफल $P = Z_1 Z_2 Z_3 \ldots = e^{i \frac{\pi}{2^1}} \cdot e^{i \frac{\pi}{2^2}} \cdot e^{i \frac{\pi}{2^3}} \ldots$
घातांक के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$P = e^{i \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{8} + \ldots \right)}$.
घातांक एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है,जिसमें प्रथम पद $a = \frac{\pi}{2}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{2}$ है।
इस अनंत श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1 - r} = \frac{\pi/2}{1 - 1/2} = \frac{\pi/2}{1/2} = \pi$ है।
अतः,$P = e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi = -1 + i(0) = -1$.

(A) दिया गया है,$x=p+q$,$y=p \omega+q \omega^2$ और $z=p \omega^2+q \omega$ है।
हम जानते हैं कि $\omega^3=1$ और $1+\omega+\omega^2=0$,जिसका अर्थ है कि $\omega+\omega^2=-1$ है।
अब,$xyz = (p+q)(p \omega+q \omega^2)(p \omega^2+q \omega)$
$xyz = (p+q)(p^2 \omega^3 + pq \omega^2 + pq \omega^4 + q^2 \omega^3)$
$xyz = (p+q)(p^2(1) + pq \omega^2 + pq \omega + q^2(1))$
$xyz = (p+q)(p^2 + pq(\omega^2+\omega) + q^2)$
$xyz = (p+q)(p^2 + pq(-1) + q^2)$
$xyz = (p+q)(p^2 - pq + q^2)$
$xyz = p^3+q^3$.

(D) दिया गया है,$\cos x = \tan y$,$\cot y = \tan z$ और $\cot z = \tan x$।
दिए गए समीकरणों से,$\tan y = \cos x$।
चूंकि $\cot y = \tan z$,इसलिए $\frac{1}{\tan y} = \tan z$,जिसका अर्थ है $\tan z = \frac{1}{\cos x}$।
साथ ही,$\cot z = \tan x$,इसलिए $\frac{1}{\tan z} = \tan x$।
$\tan z = \frac{1}{\cos x}$ को $\cot z = \tan x$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\cos x = \tan x$ प्राप्त होता है।
$\cos x = \frac{\sin x}{\cos x} \implies \cos^2 x = \sin x$।
$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ का उपयोग करने पर,$1 - \sin^2 x = \sin x$,या $\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$।
द्विघात सूत्र का उपयोग करके $\sin x$ के लिए हल करने पर: $\sin x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$।
चूंकि $-1 \le \sin x \le 1$,इसलिए हम ऋणात्मक मान $\frac{-1-\sqrt{5}}{2} < -1$ को छोड़ देते हैं।
अतः,$\sin x = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$।

(D) हमारे पास व्यंजक है: $\tan 81^{\circ} + \tan 9^{\circ} - (\tan 63^{\circ} + \tan 27^{\circ})$
सर्वसमिका $\tan A + \tan B = \frac{\sin(A+B)}{\cos A \cos B}$ का उपयोग करते हुए:
$\tan 81^{\circ} + \tan 9^{\circ} = \frac{\sin(81^{\circ}+9^{\circ})}{\cos 81^{\circ} \cos 9^{\circ}} = \frac{\sin 90^{\circ}}{\cos 81^{\circ} \cos 9^{\circ}} = \frac{1}{\sin 9^{\circ} \cos 9^{\circ}} = \frac{2}{\sin 18^{\circ}}$
इसी प्रकार,$\tan 63^{\circ} + \tan 27^{\circ} = \frac{\sin(63^{\circ}+27^{\circ})}{\cos 63^{\circ} \cos 27^{\circ}} = \frac{\sin 90^{\circ}}{\cos 63^{\circ} \cos 27^{\circ}} = \frac{1}{\sin 27^{\circ} \cos 27^{\circ}} = \frac{2}{\sin 54^{\circ}}$
अब,व्यंजक बनता है $\frac{2}{\sin 18^{\circ}} - \frac{2}{\sin 54^{\circ}} = 2 \left( \frac{\sin 54^{\circ} - \sin 18^{\circ}}{\sin 18^{\circ} \sin 54^{\circ}} \right)$
$\sin C - \sin D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करते हुए:
$\sin 54^{\circ} - \sin 18^{\circ} = 2 \cos 36^{\circ} \sin 18^{\circ}$
अतः,$2 \left( \frac{2 \cos 36^{\circ} \sin 18^{\circ}}{\sin 18^{\circ} \cos 36^{\circ}} \right) = 2 \times 2 = 4$

(C) हम सर्वसमिका $\cos \theta \cos \left(\frac{\pi}{3}-\theta\right) \cos \left(\frac{\pi}{3}+\theta\right) = \frac{1}{4} \cos 3\theta$ का उपयोग करते हैं।
दिए गए समीकरण $\cos x \cos \left(\frac{\pi}{3}-x\right) \cos \left(\frac{\pi}{3}+x\right) = \frac{1}{4}$ में सर्वसमिका रखने पर:
$\frac{1}{4} \cos 3x = \frac{1}{4}$
$\cos 3x = 1$
$x \in (0, 2\pi)$ के लिए,$3x$ अंतराल $(0, 6\pi)$ में स्थित है।
$\cos 3x = 1$ के लिए हल $3x = 2\pi, 4\pi$ हैं।
अतः,$x = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$।
हलों का योग $\frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} = \frac{6\pi}{3} = 2\pi$ है।

(C) प्रतिलोम अतिपरवलयिक फलनों के लघुगणकीय रूपों का उपयोग करने पर:
$\sec h^{-1} x = \log _e\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right)$ और $\operatorname{cosec} h^{-1} x = \log _e\left(\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}\right)$.
$\sec h^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \log _e(2+\sqrt{3})$ प्राप्त होता है।
$\operatorname{cosec} h^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) = \log _e(3)$ प्राप्त होता है।
अतः,$\log _e(2+\sqrt{3}) - \log _e(3) = \log _e\left(\frac{2+\sqrt{3}}{3}\right)$।

(D) दिया है,$\cos x + \cos y = \frac{3}{2}$
$\Rightarrow 2 \cos \left(\frac{x + y}{2}\right) \cos \left(\frac{x - y}{2}\right) = \frac{3}{2}$
और,$\sin x + \sin y = \frac{3}{4}$
$\Rightarrow 2 \sin \left(\frac{x + y}{2}\right) \cos \left(\frac{x - y}{2}\right) = \frac{3}{4}$
दूसरे समीकरण को पहले समीकरण से भाग देने पर:
$\frac{2 \sin \left(\frac{x + y}{2}\right) \cos \left(\frac{x - y}{2}\right)}{2 \cos \left(\frac{x + y}{2}\right) \cos \left(\frac{x - y}{2}\right)} = \frac{3/4}{3/2}$
$\Rightarrow \tan \left(\frac{x + y}{2}\right) = \frac{1}{2}$
सर्वसमिका $\sin(x + y) = \frac{2 \tan \left(\frac{x + y}{2}\right)}{1 + \tan^2 \left(\frac{x + y}{2}\right)}$ का उपयोग करने पर:
$\sin(x + y) = \frac{2 \times \frac{1}{2}}{1 + (\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5}$

(B) दिया गया समीकरण $x^2 + \alpha y^2 + 2 \beta y - a^2 = 0$ है।
इसे रेखाओं के युग्म के व्यापक समीकरण $Ax^2 + 2Hxy + By^2 + 2Gx + 2Fy + C = 0$ से तुलना करने पर,$A=1, B=\alpha, H=0, G=0, F=\beta, C=-a^2$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के लंबवत होने के लिए शर्त $A+B=0$ है।
अतः,$1 + \alpha = 0 \Rightarrow \alpha = -1$.
रेखाओं के युग्म को दर्शाने के लिए शर्त $ABC + 2FGH - AF^2 - BG^2 - CH^2 = 0$ है।
मान रखने पर: $(1)(\alpha)(-a^2) + 2(\beta)(0)(0) - (1)(\beta)^2 - (\alpha)(0)^2 - (-a^2)(0)^2 = 0$.
यह सरल होकर $-\alpha a^2 - \beta^2 = 0$ हो जाता है।
$\alpha = -1$ रखने पर,$-(-1)a^2 - \beta^2 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a^2 - \beta^2 = 0$।
इसलिए,$\beta^2 = a^2$,जिससे $\beta = \pm a$ प्राप्त होता है। विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $\beta = a$ है।

(D) $ax^2+2hxy+by^2=0$ और $lx+my+n=0$ रेखाओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{n^2\sqrt{h^2-ab}}{|am^2-2hlm+bl^2|}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,रेखाओं का युग्म $x^2-3xy+y^2=0$ है,इसलिए $a=1, h=-\frac{3}{2}, b=1$ है।
तीसरी रेखा $x+y+1=0$ है,इसलिए $l=1, m=1, n=1$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\text{Area} = \frac{1^2\sqrt{(-\frac{3}{2})^2-(1)(1)}}{|(1)(1)^2-2(-\frac{3}{2})(1)(1)+(1)(1)^2|}$
$\text{Area} = \frac{\sqrt{\frac{9}{4}-1}}{|1+3+1|} = \frac{\sqrt{\frac{5}{4}}}{5} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{2}}{5} = \frac{\sqrt{5}}{10} = \frac{1}{2\sqrt{5}}$ वर्ग इकाई।

(A) माना बिंदु $B$ के निर्देशांक $(x, y, z)$ हैं।
दिया गया है कि बिंदु $P(-2, 3, 5)$,$A(1, 3, 4)$ और $B(x, y, z)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $1:3$ के अनुपात में विभाजित करता है।
आंतरिक विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$P = \left( \frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n}, \frac{mz_2 + nz_1}{m+n} \right)$
मान रखने पर:
$(-2, 3, 5) = \left( \frac{1(x) + 3(1)}{1+3}, \frac{1(y) + 3(3)}{1+3}, \frac{1(z) + 3(4)}{1+3} \right)$
$(-2, 3, 5) = \left( \frac{x+3}{4}, \frac{y+9}{4}, \frac{z+12}{4} \right)$
निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$1) \frac{x+3}{4} = -2 \Rightarrow x+3 = -8 \Rightarrow x = -11$
$2) \frac{y+9}{4} = 3 \Rightarrow y+9 = 12 \Rightarrow y = 3$
$3) \frac{z+12}{4} = 5 \Rightarrow z+12 = 20 \Rightarrow z = 8$
अतः,$B$ के निर्देशांक $(-11, 3, 8)$ हैं।

(C) मान लीजिए कि द्विघात समीकरण $x^2 - px + q = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं,जहाँ $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}^+$.
मूलों के गुणों के अनुसार:
$\alpha + \beta = p$ (मूलों का योग)
$\alpha \cdot \beta = q$ (मूलों का गुणनफल)
चूँकि $q$ एक अभाज्य संख्या है,इसके केवल $1$ और $q$ ही गुणनखंड हो सकते हैं। अतः,मूल $1$ और $q$ होने चाहिए।
योग के समीकरण में मान रखने पर: $1 + q = p$.
चूँकि $p$ और $q$ दोनों अभाज्य संख्याएँ हैं,हम ऐसी दो अभाज्य संख्याएँ ढूँढते हैं जिनका अंतर $1$ हो। ऐसी केवल $2$ और $3$ हैं (जहाँ $q=2$ और $p=3$)।
$p=3$ और $q=2$ को समीकरण में रखने पर: $x^2 - 3x + 2 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $(x - 1)(x - 2) = 0$.
अतः,मूल $1$ और $2$ हैं।

(D) दिया गया है कि $x_1$ और $x_2$ समीकरण $x^2-kx+c=0$ के मूल हैं।
मूलों के गुणों के अनुसार:
$x_1+x_2 = k$
$x_1x_2 = c$
बिंदुओं $A(x_1, 0)$ और $B(x_2, 0)$ के बीच की दूरी $|x_2-x_1|$ है।
हम जानते हैं कि $(x_2-x_1)^2 = (x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2$.
मान रखने पर:
$(x_2-x_1)^2 = k^2 - 4c$.
अतः,दूरी $|x_2-x_1| = \sqrt{k^2-4c}$ है।

(B) माना $y = \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$.
दोनों पक्षों को $(x^2+x+1)$ से गुणा करने पर,हमें मिलता है $y(x^2+x+1) = x^2-x+1$.
पदों को $x$ में द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$(y-1)x^2 + (y+1)x + (y-1) = 0$.
चूंकि $x$ वास्तविक है,इसलिए विविक्तकर (discriminant) $D \geq 0$.
$D = (y+1)^2 - 4(y-1)^2 \geq 0$.
$(y+1)^2 - [2(y-1)]^2 \geq 0$.
$a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करने पर:
$[(y+1) - 2(y-1)][(y+1) + 2(y-1)] \geq 0$.
$(-y+3)(3y-1) \geq 0$.
$(y-3)(3y-1) \leq 0$.
यह असमिका $\frac{1}{3} \leq y \leq 3$ के लिए सत्य है।
अतः,$y$ का न्यूनतम मान $\frac{1}{3}$ है।

(C) दिया गया है,$(1+i)^n=(1-i)^n$
$\Rightarrow \frac{(1+i)^n}{(1-i)^n}=1$
$\Rightarrow \left[\frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}\right]^n=1$
$\Rightarrow \left[\frac{1+i^2+2i}{1-i^2}\right]^n=1$
$\Rightarrow \left[\frac{1-1+2i}{1+1}\right]^n=1$
$\Rightarrow \left(\frac{2i}{2}\right)^n=1$
$\Rightarrow i^n=1$
चूँकि $i^n=1$ के लिए सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक $n$,$4$ है,इसलिए $n=4$।

(A) दिया गया है,$z^3+\bar{z}=0$. मान लीजिए $z=x+iy$.
समीकरण में $z$ का मान रखने पर: $(x+iy)^3 + (x-iy) = 0$.
विस्तार करने पर: $x^3 + 3x^2(iy) + 3x(iy)^2 + (iy)^3 + x - iy = 0$.
$x^3 + 3x^2yi - 3xy^2 - iy^3 + x - iy = 0$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों को अलग करने पर: $(x^3 - 3xy^2 + x) + i(3x^2y - y^3 - y) = 0$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों को शून्य के बराबर रखने पर:
$1) x(x^2 - 3y^2 + 1) = 0$
$2) y(3x^2 - y^2 - 1) = 0$
स्थिति $1$: यदि $x=0$,तो $-y(y^2+1)=0 \Rightarrow y=0$. हल: $(0,0)$.
स्थिति $2$: यदि $y=0$,तो $x(x^2+1)=0 \Rightarrow x=0$. हल: $(0,0)$.
स्थिति $3$: यदि $x \neq 0$ और $y \neq 0$,तो $x^2 - 3y^2 + 1 = 0$ और $3x^2 - y^2 - 1 = 0$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $4x^2 - 4y^2 = 0 \Rightarrow x^2 = y^2$.
$x^2 = y^2$ को $x^2 - 3y^2 + 1 = 0$ में रखने पर: $y^2 - 3y^2 + 1 = 0$ $\Rightarrow 2y^2 = 1$ $\Rightarrow y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
चूंकि $x^2 = y^2$,इसलिए $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
संभावित जोड़े $(x,y)$ हैं: $(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}), (\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}), (-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}), (-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$.
कुल हल: $(0,0)$ और ऊपर दिए गए $4$ जोड़े,इस प्रकार कुल $5$ हल प्राप्त होते हैं।

(B) हम जानते हैं कि द्विपद गुणांक ${}^{11}C_n = \frac{11!}{n!(11-n)!}$ का मान $n$ के मध्य मान के लिए अधिकतम होता है।
चूंकि $11$ एक विषम संख्या है,इसलिए ${}^{11}C_n$ का अधिकतम मान $n = 5$ और $n = 6$ पर प्राप्त होता है।
अतः,$n!(11-n)!$ का न्यूनतम मान $n = 5$ या $n = 6$ पर प्राप्त होता है।

(C) समतल में कुल बिंदुओं की संख्या $n = 30$ है।
चूंकि $8$ बिंदु संरेख हैं,इसलिए वे एक ही रेखा बनाते हैं।
सूत्र: $\text{रेखाओं की संख्या} = {}^{n}C_{2} - {}^{m}C_{2} + 1$
मान रखने पर:
$\text{रेखाओं की संख्या} = {}^{30}C_{2} - {}^{8}C_{2} + 1$
$= 435 - 28 + 1 = 408$

(B) दिया गया योग $S = 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \dots - (2n)^2 + (2n+1)^2$ है।
हम पदों को इस प्रकार समूहित कर सकते हैं:
$S = (1^2 - 2^2) + (3^2 - 4^2) + \dots + ((2n-1)^2 - (2n)^2) + (2n+1)^2$.
सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करने पर,प्रत्येक युग्म बनता है:
$(1-2)(1+2) + (3-4)(3+4) + \dots + ((2n-1)-2n)((2n-1)+2n) + (2n+1)^2$.
$S = -1(3) - 1(7) - 1(11) - \dots - 1(4n-1) + (2n+1)^2$.
$S = -(3 + 7 + 11 + \dots + (4n-1)) + (2n+1)^2$.
कोष्ठक के अंदर का योग $n$ पदों वाली एक समांतर श्रेणी है,जिसमें प्रथम पद $a=3$ और अंतिम पद $l=4n-1$ है।
योग $= \frac{n}{2}(3 + 4n - 1) = \frac{n}{2}(4n+2) = n(2n+1)$.
अतः,$S = -n(2n+1) + (2n+1)^2$.
$S = (2n+1)(-n + 2n + 1) = (2n+1)(n+1)$.

(A) $\left(\sqrt{x}-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)^{18}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1}$ इस प्रकार है:
$T_{r+1} = { }^{18} C_r (\sqrt{x})^{18-r} \left(-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)^r$
$T_{r+1} = { }^{18} C_r (x)^{\frac{18-r}{2}} (-2)^r (x)^{-\frac{r}{2}}$
$T_{r+1} = { }^{18} C_r (-2)^r x^{\frac{18-r-r}{2}}$
$T_{r+1} = { }^{18} C_r (-2)^r x^{9-r}$
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,$x$ का घातांक $0$ होना चाहिए:
$9 - r = 0 \Rightarrow r = 9$
$r = 9$ को सामान्य पद में रखने पर:
$T_{9+1} = { }^{18} C_9 (-2)^9$
$T_{10} = -{ }^{18} C_9 2^9$

(D) दिया गया विस्तार: $(a+bx)^{-3} = \frac{1}{27} + \frac{1}{3}x + \dots$
हम लिख सकते हैं $(a+bx)^{-3} = a^{-3}(1 + \frac{bx}{a})^{-3}$.
द्विपद विस्तार $(1+z)^n = 1 + nz + \frac{n(n-1)}{2!}z^2 + \dots$ का उपयोग करने पर:
$a^{-3}(1 + (-3)(\frac{bx}{a}) + \dots) = \frac{1}{a^3} - \frac{3bx}{a^4} + \dots$
अचर पदों की तुलना करने पर:
$\frac{1}{a^3} = \frac{1}{27} \implies a^3 = 27 \implies a = 3$.
$x$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$-\frac{3b}{a^4} = \frac{1}{3}$.
$a=3$ रखने पर:
$-\frac{3b}{3^4} = \frac{1}{3} \implies -\frac{b}{3^3} = \frac{1}{3} \implies -\frac{b}{27} = \frac{1}{3} \implies b = -\frac{27}{3} = -9$.
अतः,क्रमित युग्म $(a, b) = (3, -9)$ है।

(C) हम सर्वसमिका $\cos \theta \cos \left(\frac{\pi}{3}-\theta\right) \cos \left(\frac{\pi}{3}+\theta\right) = \frac{1}{4} \cos 3\theta$ का उपयोग करते हैं।
दिए गए समीकरण $\cos x \cos \left(\frac{\pi}{3}-x\right) \cos \left(\frac{\pi}{3}+x\right) = \frac{1}{4}$ में सर्वसमिका रखने पर:
$\frac{1}{4} \cos 3x = \frac{1}{4}$
$\cos 3x = 1$
$x \in (0, 2\pi)$ के लिए,$3x \in (0, 6\pi)$ है।
$\cos 3x = 1$ के हल $3x = 2\pi, 4\pi$ हैं।
अतः,$x = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$।
हलों का योग $\frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} = \frac{6\pi}{3} = 2\pi$ है।

(D) हमारे पास व्यंजक है: $\tan 81^{\circ} + \tan 9^{\circ} - (\tan 63^{\circ} + \tan 27^{\circ})$।
सर्वसमिका $\tan A + \tan B = \frac{\sin(A+B)}{\cos A \cos B}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\sin(81^{\circ}+9^{\circ})}{\cos 81^{\circ} \cos 9^{\circ}} - \frac{\sin(63^{\circ}+27^{\circ})}{\cos 63^{\circ} \cos 27^{\circ}}$
$= \frac{\sin 90^{\circ}}{\cos 81^{\circ} \cos 9^{\circ}} - \frac{\sin 90^{\circ}}{\cos 63^{\circ} \cos 27^{\circ}}$
$= \frac{1}{\sin 9^{\circ} \cos 9^{\circ}} - \frac{1}{\sin 27^{\circ} \cos 27^{\circ}}$
$= \frac{2}{\sin 18^{\circ}} - \frac{2}{\sin 54^{\circ}}$
$= 2 \left( \frac{\sin 54^{\circ} - \sin 18^{\circ}}{\sin 54^{\circ} \sin 18^{\circ}} \right)$
$\sin C - \sin D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करने पर:
$= 2 \left( \frac{2 \cos 36^{\circ} \sin 18^{\circ}}{\sin 54^{\circ} \sin 18^{\circ}} \right)$
$= 4 \cos 36^{\circ} / \sin 54^{\circ}$
चूंकि $\cos 36^{\circ} = \sin 54^{\circ}$,इसलिए उत्तर $4 \times 1 = 4$ प्राप्त होता है।

(C) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(a \cos \theta, a \sin \theta)$,$B(b \sin \theta, -b \cos \theta)$ और $C(1, 0)$ हैं।
माना केंद्रक $(x, y)$ है।
केंद्रक सूत्र के अनुसार,$x = \frac{a \cos \theta + b \sin \theta + 1}{3}$ और $y = \frac{a \sin \theta - b \cos \theta}{3}$ है।
अतः,$a \cos \theta + b \sin \theta = 3x - 1$ और $a \sin \theta - b \cos \theta = 3y$ है।
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(a \cos \theta + b \sin \theta)^2 + (a \sin \theta - b \cos \theta)^2 = (3x - 1)^2 + (3y)^2$.
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर:
$a^2 \cos^2 \theta + b^2 \sin^2 \theta + 2ab \sin \theta \cos \theta + a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta - 2ab \sin \theta \cos \theta = (3x - 1)^2 + 9y^2$.
$a^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + b^2(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = (3x - 1)^2 + 9y^2$.
चूँकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए $a^2 + b^2 = (3x - 1)^2 + 9y^2$ प्राप्त होता है।

(A) $1$. $P(1,3)$ का $y=x$ के सापेक्ष परावर्तन $Q(3,1)$ है।
$2$. $Q(3,1)$ का $X$-अक्ष की धनात्मक दिशा में $3$ इकाई स्थानांतरण $R(6,1)$ है।
$3$. $R(6,1)$ का मूल बिंदु के परितः घड़ी की दिशा में (clockwise) $\theta = -\frac{\pi}{6}$ कोण पर घूर्णन:
$x' = 6 \cos(-\frac{\pi}{6}) - 1 \sin(-\frac{\pi}{6}) = \frac{6\sqrt{3}+1}{2}$
$y' = 6 \sin(-\frac{\pi}{6}) + 1 \cos(-\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}-6}{2}$
अंतिम स्थिति $\left(\frac{6 \sqrt{3}+1}{2}, \frac{\sqrt{3}-6}{2}\right)$ है।

(D) माना बिंदु $P = \left(-\frac{7}{5}, -\frac{6}{5}\right)$ और इसका प्रतिबिंब $Q = (1, 2)$ है। रेखा $PQ$ का लंब समद्विभाजक है।
$PQ$ का मध्य-बिंदु $M = \left(\frac{-\frac{7}{5} + 1}{2}, \frac{-\frac{6}{5} + 2}{2}\right) = \left(-\frac{1}{5}, \frac{2}{5}\right)$ है।
$PQ$ की ढाल $m_{PQ} = \frac{2 - (-6/5)}{1 - (-7/5)} = \frac{16/5}{12/5} = \frac{4}{3}$ है।
अभीष्ट रेखा की ढाल $m = -\frac{1}{m_{PQ}} = -\frac{3}{4}$ होगी।
बिंदु $M$ पर बिंदु-ढाल रूप $y - y_1 = m(x - x_1)$ का उपयोग करने पर:
$y - \frac{2}{5} = -\frac{3}{4}\left(x + \frac{1}{5}\right)$
$\frac{5y - 2}{5} = -\frac{3}{4} \cdot \frac{5x + 1}{5}$
$4(5y - 2) = -3(5x + 1)$
$20y - 8 = -15x - 3$
$15x + 20y = 5$
$5$ से विभाजित करने पर,हमें $3x + 4y = 1$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई रेखा का समीकरण $3x - 4y = 6$ है।
इस रेखा के लंबवत किसी भी रेखा का समीकरण $4x + 3y = k$ के रूप में होता है।
निर्देशांक अक्षों पर इस रेखा के अंतःखंड $x = \frac{k}{4}$ और $y = \frac{k}{3}$ हैं।
निर्देशांक अक्षों के साथ रेखा द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} \times |\text{base}| \times |\text{height}|$ द्वारा दिया जाता है।
$\frac{1}{2} \times |\frac{k}{4}| \times |\frac{k}{3}| = 6$.
$|\frac{k^2}{24}| = 6$.
$k^2 = 144$.
$k = \pm 12$.
अतः,रेखा का आवश्यक समीकरण $4x + 3y = 12$ या $4x + 3y = -12$ है।

(A) चूँकि बिंदु $A(k, 2k), B(3k, 3k)$,और $C(3, 1)$ संरेख हैं,$AB$ की ढाल और $BC$ की ढाल समान होगी।
$AB$ की ढाल $= \frac{3k - 2k}{3k - k} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2}$.
$BC$ की ढाल $= \frac{1 - 3k}{3 - 3k}$.
ढालों की तुलना करने पर: $\frac{1}{2} = \frac{1 - 3k}{3 - 3k}$.
वज्र गुणन करने पर: $3 - 3k = 2(1 - 3k)$ $\Rightarrow 3 - 3k = 2 - 6k$ $\Rightarrow 3k = -1$ $\Rightarrow k = -\frac{1}{3}$.
$B(-1, -1)$ और $C(3, 1)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण: $y - 1 = \frac{1 - (-1)}{3 - (-1)}(x - 3)$.
$y - 1 = \frac{1}{2}(x - 3)$ $\Rightarrow 2y - 2 = x - 3$ $\Rightarrow x - 2y - 1 = 0$.
मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ की दूरी $d = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ होती है।
$d = \frac{|-1|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

(A) माना $r$ वृत्त की त्रिज्या है। वृत्त का केंद्र $C(2,4)$ है।
केंद्र $C(2,4)$ से रेखा $x+y+2=0$ की लंबवत दूरी $d$ इस प्रकार है:
$d = \frac{|2+4+2|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$.
जीवा की लंबाई $6$ है,इसलिए आधी जीवा की लंबाई $AB = \frac{6}{2} = 3$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle CAB$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$r^2 = d^2 + (AB)^2$
$r^2 = (4\sqrt{2})^2 + 3^2$
$r^2 = 32 + 9 = 41$
$r = \sqrt{41}$.

(C) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=2^2$ है,अतः त्रिज्या $r=2$ है।
$m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y=mx \pm 2\sqrt{1+m^2}$ है।
परवलय $y^2=32x$ की नाभि $(8, 0)$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा नाभि से गुजरती है,इसलिए $0 = 8m \pm 2\sqrt{1+m^2}$।
$8m = \mp 2\sqrt{1+m^2} \Rightarrow 4m = \mp \sqrt{1+m^2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$16m^2 = 1+m^2$।
$15m^2 = 1 \Rightarrow m^2 = \frac{1}{15}$।
अतः,$m = \pm \frac{1}{\sqrt{15}}$।

(C) माना वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है,जहाँ केंद्र $(-g, -f)$ है।
दिए गए वृत्त $x^2+y^2-20x+4=0$ का केंद्र $(10, 0)$ है।
दो वृत्तों के लंबकोणीय कटने की शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1+c_2$ है।
यहाँ,$g_1 = -10, f_1 = 0, c_1 = 4$ और $g_2 = g, f_2 = f, c_2 = c$ है।
अतः,$2(-10)(g) + 2(0)(f) = 4+c$,जिससे $c = -20g-4$ प्राप्त होता है।
वृत्त रेखा $x=2$ को स्पर्श करता है,इसलिए केंद्र $(-g, -f)$ से रेखा की दूरी त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c}$ के बराबर है।
$| -g - 2 | = \sqrt{g^2+f^2-c} \Rightarrow (g+2)^2 = g^2+f^2-c$.
$g^2+4g+4 = g^2+f^2-c \Rightarrow f^2-c-4g-4 = 0$.
$c = -20g-4$ को समीकरण में रखने पर:
$f^2 - (-20g-4) - 4g - 4 = 0$ $\Rightarrow f^2 + 20g + 4 - 4g - 4 = 0$ $\Rightarrow f^2 + 16g = 0$.
$(-g, -f)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,$g = -x$ और $f = -y$ प्राप्त होता है।
$(-y)^2 + 16(-x) = 0$ $\Rightarrow y^2 - 16x = 0$ $\Rightarrow y^2 = 16x$.

(C) दिए गए वृत्तों के समीकरण $x^2+y^2-4x-4y+7=0$ और $x^2+y^2-12x-10y+45=0$ हैं।
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,केंद्र और त्रिज्याएँ हैं:
पहले वृत्त के लिए: $C_1 = (2, 2)$ और $r_1 = \sqrt{2^2+2^2-7} = \sqrt{8-7} = 1$.
दूसरे वृत्त के लिए: $C_2 = (6, 5)$ और $r_2 = \sqrt{6^2+5^2-45} = \sqrt{36+25-45} = \sqrt{16} = 4$.
केंद्रों के बीच की दूरी $C_1C_2 = \sqrt{(6-2)^2+(5-2)^2} = \sqrt{4^2+3^2} = \sqrt{16+9} = 5$.
चूँकि $C_1C_2 = r_1+r_2 = 1+4 = 5$,वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं।
स्पर्श बिंदु $P$,रेखाखंड $C_1C_2$ को $r_1:r_2 = 1:4$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$P = \left(\frac{1(6)+4(2)}{1+4}, \frac{1(5)+4(2)}{1+4}\right) = \left(\frac{6+8}{5}, \frac{5+8}{5}\right) = \left(\frac{14}{5}, \frac{13}{5}\right)$.

(D) वृत्तों के दिए गए समीकरण हैं:
$x^2+y^2-4y=0$ $(1)$
$x^2+y^2-8x-4y+11=0$ $(2)$
समीकरण $(2)$ में से $(1)$ को घटाने पर,उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण प्राप्त होता है:
$(x^2+y^2-8x-4y+11) - (x^2+y^2-4y) = 0$
$-8x+11=0$ $\Rightarrow 8x=11$ $\Rightarrow x=\frac{11}{8}$
प्रथम वृत्त $x^2+y^2-4y=0$ के लिए,केंद्र $C(0, 2)$ और त्रिज्या $r = 2$ है।
केंद्र $(0, 2)$ से रेखा $x = \frac{11}{8}$ की लंबवत दूरी $d = |0 - \frac{11}{8}| = \frac{11}{8}$ है।
जीवा की लंबाई $L = 2\sqrt{r^2 - d^2}$
$L = 2\sqrt{2^2 - (\frac{11}{8})^2} = 2\sqrt{4 - \frac{121}{64}} = 2\sqrt{\frac{135}{64}} = \frac{\sqrt{135}}{4} \text{ इकाई}$.

(A) दो रेखाएँ $lx + my + n = 0$ और $l_1x + m_1y + n_1 = 0$ वृत्त $x^2 + y^2 = r^2$ के सापेक्ष संयुग्मी होती हैं यदि पहली रेखा का ध्रुव (pole) दूसरी रेखा पर स्थित हो।
वृत्त $x^2 + y^2 = r^2$ के सापेक्ष रेखा $lx + my + n = 0$ का ध्रुव $(x_1, y_1) = (-\frac{lr^2}{n}, -\frac{mr^2}{n})$ है।
चूंकि यह बिंदु रेखा $l_1x + m_1y + n_1 = 0$ पर स्थित है,इसलिए:
$l_1(-\frac{lr^2}{n}) + m_1(-\frac{mr^2}{n}) + n_1 = 0$
$-l_1lr^2 - m_1mr^2 + n_1n = 0$
$nn_1 = r^2(ll_1 + mm_1)$.

(C) परवलय $y^2=4ax$ के बिंदु $P(at^2, 2at)$ पर अभिलंब का समीकरण $y + tx = 2at + at^3$ है।
मान लीजिए कि यह अभिलंब परवलय को बिंदु $Q$ पर पुनः मिलता है। शीर्ष $O(0,0)$ को बिंदुओं $P$ और $Q$ से जोड़ने वाली रेखाओं $OP$ और $OQ$ का संयुक्त समीकरण,परवलय के समीकरण $y^2=4ax$ को अभिलंब के समीकरण का उपयोग करके समघातीय बनाकर प्राप्त किया जाता है:
$y^2 = 4ax \left( \frac{y+tx}{2at+at^3} \right)$
$y^2(2at + at^3) = 4ax(y + tx)$
$y^2(2at + at^3) = 4axy + 4atx^2$
$4atx^2 + 4axy - (2at + at^3)y^2 = 0$
चूंकि $OP$ और $OQ$ समकोण पर हैं,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:
$4at - (2at + at^3) = 0$
$4at - 2at - at^3 = 0$
$2at - at^3 = 0$
$at(2 - t^2) = 0$
अभिलंब जीवा के लिए $t \neq 0$ है,इसलिए हमें $t^2 = 2$ प्राप्त होता है।

(B) नाभियों का $y$-निर्देशांक $0$ है,अतः मुख्य अक्ष $X$-अक्ष पर है। \\
दिया है $ae = 4$। \\
माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है। \\
चूँकि $b^2 = a^2(1 - e^2) = a^2 - (ae)^2 = a^2 - 16$,बिंदु $(4\sqrt{2}, 2\sqrt{6})$ को प्रतिस्थापित करने पर: \\
$\frac{32}{a^2} + \frac{24}{a^2 - 16} = 1$ \\
$32(a^2 - 16) + 24a^2 = a^2(a^2 - 16)$ \\
$a^4 - 72a^2 + 512 = 0$ \\
$(a^2 - 64)(a^2 - 8) = 0$ \\
चूँकि $a > ae$,इसलिए $a^2 > 16$,अतः $a^2 = 64$ और $a = 8$। \\
$ae = 4$ का उपयोग करने पर,$8e = 4$,जिससे $e = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ है,जहाँ $a^2 = 16$ और $b^2 = 9$ है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ का नियामक वृत्त $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a^2 + b^2 = 16 + 9 = 25$ है।
अतः,दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 = 25$ दीर्घवृत्त का नियामक वृत्त है।
परिभाषा के अनुसार,दीर्घवृत्त की लंबवत स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ उसका नियामक वृत्त होता है।
इसलिए,नियामक वृत्त पर स्थित किसी भी बिंदु से दीर्घवृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।

(C) माना अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
दिया गया दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{13^2} + \frac{y^2}{5^2} = 1$ है।
दीर्घवृत्त के लिए,$a_e = 13$ और $b_e = 5$ है।
दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b_e^2}{a_e^2}} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$ है।
दीर्घवृत्त की नाभियाँ $(\pm a_e e, 0) = (\pm 13 \times \frac{12}{13}, 0) = (\pm 12, 0)$ हैं।
चूंकि अतिपरवलय $(\pm 12, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{12^2}{a^2} - \frac{0}{b^2} = 1$,जिससे $a^2 = 144$ प्राप्त होता है।
अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e' = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{b^2}{144}}$ है।
उत्केंद्रताओं का गुणनफल $1$ दिया गया है,इसलिए $e \times e' = 1$ है।
$\frac{12}{13} \times \sqrt{1 + \frac{b^2}{144}} = 1$ है।
$\sqrt{1 + \frac{b^2}{144}} = \frac{13}{12}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$1 + \frac{b^2}{144} = \frac{169}{144}$ प्राप्त होता है।
$\frac{b^2}{144} = \frac{169}{144} - 1 = \frac{25}{144}$ है।
अतः,$b^2 = 25$ है।
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{25} = 1$ है।

(C) हम सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x+x^2}}{3^x-1}$ का मूल्यांकन करते हैं।
अंश का परिमेयकरण करने पर,हम $\frac{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x+x^2}}{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x+x^2}}$ से गुणा करते हैं:
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x^2)-(1-x+x^2)}{(3^x-1)(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x+x^2})}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{(3^x-1)(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x+x^2})}$
$= \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \left( \frac{1}{\frac{3^x-1}{x}} \right) \times \left( \frac{1}{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x+x^2}} \right)$
मानक सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^x-1}{x} = \log _e a$ का उपयोग करते हुए:
$= \frac{1}{\log _e 3} \times \frac{1}{\sqrt{1+0}+\sqrt{1-0+0}}$
$= \frac{1}{\log _e 3} \times \frac{1}{1+1}$
$= \frac{1}{2 \log _e 3} = \frac{1}{\log _e 3^2} = \frac{1}{\log _e 9}$.

(D) हमें दिया गया है कि $\sum_{i=1}^n x_i^2 = 400$ और $\sum_{i=1}^n x_i = 80$ है।
हम जानते हैं कि प्रसरण (variance) हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,अर्थात $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \left(\frac{\sum x_i}{n}\right)^2 \geq 0$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{400}{n} - \left(\frac{80}{n}\right)^2 \geq 0$
$\frac{400}{n} - \frac{6400}{n^2} \geq 0$
$n^2$ से गुणा करने पर (चूंकि $n > 0$):
$400n - 6400 \geq 0$
$400n \geq 6400$
$n \geq 16$।
अतः,$n$ का न्यूनतम मान $16$ है।

(C) माना कि चार प्रेक्षण $x_1, x_2, x_3$ और $x_4$ हैं।
दिया गया है,माध्य $(\bar{x}) = 3$ और वर्गों का योग $\Sigma x_i^2 = 48$ है।
प्रेक्षणों की संख्या $n = 4$ है।
मानक विचलन $(SD)$ का सूत्र है:
$SD = \sqrt{\frac{\Sigma x_i^2}{n} - (\bar{x})^2}$
मान रखने पर:
$SD = \sqrt{\frac{48}{4} - (3)^2}$
$SD = \sqrt{12 - 9}$
$SD = \sqrt{3}$

(D) दिया है,त्रिभुज के कोणों का अनुपात $1: 1: 4$ है। मान लीजिए कोण $A, B$ और $C$ हैं।
$\therefore A: B: C = 1: 1: 4$
मान लीजिए $A = x, B = x$ और $C = 4x$.
चूंकि $A + B + C = 180^{\circ}$,इसलिए $x + x + 4x = 180^{\circ}$ $\Rightarrow 6x = 180^{\circ}$ $\Rightarrow x = 30^{\circ}$.
अतः,$A = 30^{\circ}, B = 30^{\circ}$ और $C = 120^{\circ}$.
सबसे बड़ा कोण $120^{\circ}$ है,इसलिए सबसे बड़ी भुजा $c$ है।
परिमाप और सबसे बड़ी भुजा का अनुपात $(a + b + c) : c$ है।
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$a = 2R \sin A, b = 2R \sin B, c = 2R \sin C$.
अनुपात $= (2R \sin 30^{\circ} + 2R \sin 30^{\circ} + 2R \sin 120^{\circ}) : 2R \sin 120^{\circ}$
$= (\sin 30^{\circ} + \sin 30^{\circ} + \sin 120^{\circ}) : \sin 120^{\circ}$
$= (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) : \frac{\sqrt{3}}{2}$
$= (1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) : \frac{\sqrt{3}}{2} = (2 + \sqrt{3}) : \sqrt{3}$.

(C) माना $2s = a+b+c$. तब $b+c-a = 2s-2a$,$c+a-b = 2s-2b$,और $a+b-c = 2s-2c$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{2s(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)}{4b^2c^2} = \frac{16s(s-a)(s-b)(s-c)}{4b^2c^2} = 4 \frac{s(s-a)}{bc} \cdot \frac{(s-b)(s-c)}{bc}$.
अर्ध-कोण सूत्रों $\cos^2(\frac{A}{2}) = \frac{s(s-a)}{bc}$ और $\sin^2(\frac{A}{2}) = \frac{(s-b)(s-c)}{bc}$ का उपयोग करने पर:
$4 \cos^2(\frac{A}{2}) \sin^2(\frac{A}{2}) = (2 \sin(\frac{A}{2}) \cos(\frac{A}{2}))^2 = \sin^2 A$.

(D) दिया है,$r_1=2, r_2=3$ और $r_3=6$।
हम जानते हैं कि $\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{1}{r}$,जहाँ $r$ अंतःत्रिज्या है।
$\frac{1}{r} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3+2+1}{6} = 1$,अतः $r=1$।
साथ ही,$\Delta = \sqrt{r r_1 r_2 r_3} = \sqrt{1 \times 2 \times 3 \times 6} = \sqrt{36} = 6$।
चूँकि $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,इसलिए $2 = \frac{6}{s-a}$,जिसका अर्थ है $s-a = 3$।
साथ ही,$s = \frac{\Delta}{r} = \frac{6}{1} = 6$।
$s=6$ को $s-a=3$ में रखने पर,हमें $6-a=3$ प्राप्त होता है,अतः $a=3$।

(D) माना $s = \frac{a+b+c}{2}$ त्रिभुज $\triangle ABC$ का अर्ध-परिमाप है। तब $a+b+c = 2s$,$b+c-a = 2(s-a)$,$c+a-b = 2(s-b)$,और $a+b-c = 2(s-c)$ है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{(2s)(2(s-a))(2(s-b))(2(s-c))}{4b^2c^2} = \frac{16s(s-a)(s-b)(s-c)}{4b^2c^2}$.
हेरोन के सूत्र के अनुसार,$\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$,इसलिए व्यंजक $\frac{16\Delta^2}{4b^2c^2} = \frac{4\Delta^2}{b^2c^2}$ हो जाता है।
चूंकि क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2}bc \sin A$ है,इसलिए $\sin A = \frac{2\Delta}{bc}$ होता है।
अतः,$\frac{4\Delta^2}{b^2c^2} = (\frac{2\Delta}{bc})^2 = \sin^2 A$।

(A) हम जानते हैं कि दो शांकव $\frac{x^2}{a_1^2}+\frac{y^2}{b_1^2}=1$ और $\frac{x^2}{a_2^2}+\frac{y^2}{b_2^2}=1$ लंबकोणीय प्रतिच्छेद करते हैं यदि और केवल यदि $a_1^2-b_1^2 = a_2^2-b_2^2$,जिसे $a_1^2-a_2^2 = b_1^2-b_2^2$ के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है।
दिए गए वक्र $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ और $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ हैं।
लंबकोणीय प्रतिच्छेदन की शर्त लागू करने पर:
$a^2-25 = b^2-16$
$a^2-b^2$ का मान ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$a^2-b^2 = 25-16$
$a^2-b^2 = 9$
अतः,सही मान $9$ है।

(C) दिया गया है,$\frac{2x^3+x^2-5}{x^4-25}=\frac{Ax+B}{x^2-5}+\frac{Cx+1}{x^2+5}$
चूंकि $x^4-25 = (x^2-5)(x^2+5)$,इसलिए:
$2x^3+x^2-5 = (Ax+B)(x^2+5) + (Cx+1)(x^2-5)$
$2x^3+x^2-5 = Ax^3 + 5Ax + Bx^2 + 5B + Cx^3 - 5Cx + x^2 - 5$
$2x^3+x^2-5 = x^3(A+C) + x^2(B+1) + x(5A-5C) + (5B-5)$
गुणांकों की तुलना करने पर:
$1) A+C = 2$
$2) B+1 = 1 \Rightarrow B = 0$
$3) 5A-5C = 0 \Rightarrow A = C$
$A=C$ को $A+C=2$ में रखने पर,$2C=2$,अतः $C=1$ और $A=1$ प्राप्त होता है।
अतः,$(A, B, C) = (1, 0, 1)$।

(B) माना $S$ उन परिणामों का प्रतिदर्श समष्टि है जहाँ दो पासों का योग $7$ है।
संभावित परिणाम हैं:
$S = \{(1, 6), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)\}$
कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6$ है।
माना $E$ वह घटना है कि संख्या $3$ कम से कम एक बार आती है।
अनुकूल परिणाम हैं:
$E = \{(3, 4), (4, 3)\}$
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 2$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है।

(D) दिया गया है,$P(B) = \frac{3}{2} P(A)$ और $P(C) = \frac{1}{2} P(B)$.
चूँकि $A, B$ और $C$ परस्पर अपवर्जी और निशेष घटनाएँ हैं,उनकी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है:
$P(A) + P(B) + P(C) = 1$
$P(A)$ के पदों में मान रखने पर:
$P(A) + \frac{3}{2} P(A) + \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} P(A) \right) = 1$
$P(A) \left( 1 + \frac{3}{2} + \frac{3}{4} \right) = 1$
$P(A) \left( \frac{4 + 6 + 3}{4} \right) = 1$
$\frac{13}{4} P(A) = 1 \implies P(A) = \frac{4}{13}$
अब,$P(C)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$P(C) = \frac{3}{4} P(A) = \frac{3}{4} \times \frac{4}{13} = \frac{3}{13}$
चूँकि $A$ और $C$ परस्पर अपवर्जी हैं,$P(A \cup C) = P(A) + P(C)$:
$P(A \cup C) = \frac{4}{13} + \frac{3}{13} = \frac{7}{13}$

(B) दिया गया है,$A=\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 & 3 \\ 6 & 8 & 7 & \alpha\end{array}\right]$.
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \rightarrow R_2-2R_1$,$R_3 \rightarrow R_3-3R_1$,और $R_4 \rightarrow R_4-6R_1$ को लागू करने पर:
$A \sim \left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 2 \\ 0 & -4 & -8 & 3 \\ 0 & -4 & -11 & \alpha\end{array}\right]$.
$R_4 \rightarrow R_4-R_3$ लागू करने पर:
$A \sim \left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 2 \\ 0 & -4 & -8 & 3 \\ 0 & 0 & -3 & \alpha-3\end{array}\right]$.
$R_4 \rightarrow R_4-R_2$ लागू करने पर:
$A \sim \left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 2 \\ 0 & -4 & -8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & \alpha-5\end{array}\right]$.
चूंकि आव्यूह $A$ की कोटि $3$ है,इसलिए अंतिम पंक्ति एक शून्य पंक्ति होनी चाहिए।
अतः,$\alpha-5=0$,जिसका अर्थ है कि $\alpha=5$.

(D) दिया गया है,$f(x) = \frac{x}{1+x}$.
हमें $g(x) = f(f(x))$ ज्ञात करना है।
$g(x) = f\left(\frac{x}{1+x}\right) = \frac{\frac{x}{1+x}}{1 + \frac{x}{1+x}}$.
अंश और हर को $(1+x)$ से गुणा करने पर:
$g(x) = \frac{x}{1+x+x} = \frac{x}{2x+1}$.
अब,भागफल नियम $\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime} = \frac{u^{\prime}v - uv^{\prime}}{v^2}$ का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$g^{\prime}(x) = \frac{(1)(2x+1) - (x)(2)}{(2x+1)^2}$.
$g^{\prime}(x) = \frac{2x+1 - 2x}{(2x+1)^2} = \frac{1}{(2x+1)^2}$.

(D) दिया गया है,व्यास में त्रुटि $\Delta D = \pm 0.04 \text{ cm}$ है।
चूंकि त्रिज्या $r = \frac{D}{2}$ है,इसलिए त्रिज्या में त्रुटि $\Delta r = \frac{\Delta D}{2} = \pm \frac{0.04}{2} = \pm 0.02 \text{ cm}$ होगी।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है।
$r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dV}{dr} = 4 \pi r^2$ प्राप्त होता है।
आयतन में अनुमानित त्रुटि $\Delta V \approx \frac{dV}{dr} \Delta r = 4 \pi r^2 \Delta r$ है।
आयतन में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta V}{V} \times 100$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$\frac{\Delta V}{V} \times 100 = \frac{4 \pi r^2 \Delta r}{\frac{4}{3} \pi r^3} \times 100 = \frac{3 \Delta r}{r} \times 100$ प्राप्त होता है।
यहाँ $r = 10 \text{ cm}$ और $\Delta r = \pm 0.02 \text{ cm}$ है,अतः प्रतिशत त्रुटि $\frac{3 \times (\pm 0.02)}{10} \times 100 = \frac{\pm 0.06}{10} \times 100 = \pm 0.6 \%$ है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ है।
चरम मान ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$.
किसी फलन का कोई चरम मान नहीं होता है यदि उसका अवकलज $f'(x)$ अपना चिह्न नहीं बदलता है,जिसका अर्थ है कि $f'(x) = 0$ के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं या समान मूल हैं जिससे चिह्न नहीं बदलता है।
द्विघात समीकरण $3ax^2 + 2bx + c = 0$ के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए,इसका विविक्तकर (discriminant) $D < 0$ होना चाहिए।
$D = (2b)^2 - 4(3a)(c) < 0$.
$4b^2 - 12ac < 0$.
$4$ से भाग देने पर,हमें $b^2 - 3ac < 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $b^2 < 3ac$।

(B) दिया गया है,$\int \frac{d x}{\sqrt{\sin ^3 x \cos x}}=g(x)+c$.
हम समाकल को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\int \frac{d x}{\sqrt{\sin ^4 x \cdot \frac{\cos x}{\sin x}}} = \int \frac{d x}{\sin ^2 x \sqrt{\cot x}}$
यह सरल होकर निम्न रूप में आता है:
$\int \operatorname{cosec}^2 x \cdot (\cot x)^{-1/2} d x$
माना $t = \cot x$,तब $dt = -\operatorname{cosec}^2 x d x$,जिसका अर्थ है कि $\operatorname{cosec}^2 x d x = -dt$.
इन मानों को समाकल में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int -t^{-1/2} dt = -\frac{t^{1/2}}{1/2} + c = -2\sqrt{t} + c$
अब $t = \cot x$ वापस रखने पर:
$-2\sqrt{\cot x} + c = -\frac{2}{\sqrt{\tan x}} + c$
अतः,$g(x) = -\frac{2}{\sqrt{\tan x}}$.

(B) दी गई सीमा को रीमान योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
$S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{r^4}{r^5+n^5} = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{r^4}{n^5( (r/n)^5 + 1 )} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \frac{(r/n)^4}{(r/n)^5 + 1}$.
निश्चित समाकल की परिभाषा के अनुसार,यह $\int_0^1 \frac{x^4}{x^5+1} dx$ के बराबर है।
मान लीजिए $t = x^5 + 1$,तो $dt = 5x^4 dx$,या $x^4 dx = \frac{dt}{5}$।
जब $x=0, t=1$। जब $x=1, t=2$।
अतः,समाकल $\int_1^2 \frac{1}{t} \cdot \frac{dt}{5} = \frac{1}{5} [\log |t|]_1^2 = \frac{1}{5} (\log 2 - \log 1) = \frac{1}{5} \log 2$ हो जाता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} = y + x e^{y/x}$ है।
$x$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + e^{y/x}$ प्राप्त होता है।
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तो $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ होगा।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = v + e^v$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $x \frac{dv}{dx} = e^v$ या $e^{-v} dv = \frac{1}{x} dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int e^{-v} dv = \int \frac{1}{x} dx$,जिससे $-e^{-v} = \log x + c$ प्राप्त होता है।
$v = y/x$ रखने पर,हमें $-e^{-y/x} = \log x + c$ प्राप्त होता है।
शर्त $y(1) = 0$ दी गई है,इसलिए $x = 1$ और $y = 0$ रखने पर: $-e^0 = \log 1 + c$,जिसका अर्थ है $-1 = 0 + c$,अतः $c = -1$ है।
इस प्रकार,$-e^{-y/x} = \log x - 1$,जिसे सरल करने पर $e^{-y/x} + \log x = 1$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है,$\hat{d} = \frac{1}{x}(\hat{a} + \hat{b} + \hat{c}) \implies x\hat{d} = \hat{a} + \hat{b} + \hat{c} \implies \hat{a} + \hat{b} + \hat{c} - x\hat{d} = 0$.
साथ ही,$\hat{d} = \frac{1}{y}(\hat{b} + \hat{c} + \hat{d}) \implies y\hat{d} = \hat{b} + \hat{c} + \hat{d} \implies \hat{b} + \hat{c} + \hat{d} - y\hat{d} = 0$.
चूंकि $\hat{a}, \hat{b}, \hat{c}$ असमतलीय हैं,वे रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।
दिए गए समीकरणों से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि $\hat{a} + \hat{b} + \hat{c} + \hat{d} = 0$.
अतः,$\frac{1}{xy}(\hat{a} + \hat{b} + \hat{c} + \hat{d}) = \frac{1}{xy}(0) = 0$.

(C) दिए गए सदिश $\vec{a}=x \hat{i}+2 \hat{j}$,$\vec{b}=y \hat{j}+3 \hat{k}$,और $\vec{c}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ x & 2 & 0 \\ 0 & y & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-0) - \hat{j}(3x-0) + \hat{k}(xy-0) = 6 \hat{i} - 3x \hat{j} + xy \hat{k}$.
दिया गया है कि $\vec{a} \times \vec{b} = z \hat{i} - 3 \hat{j} + \hat{k}$.
गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $z=6$,$3x=3 \Rightarrow x=1$,और $xy=1 \Rightarrow y=1$ प्राप्त होता है।
अब,अदिश त्रिगुणन $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$ होता है।
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = (6 \hat{i} - 3 \hat{j} + \hat{k}) \cdot (x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k})$.
$x=1, y=1, z=6$ रखने पर:
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = (6 \hat{i} - 3 \hat{j} + \hat{k}) \cdot (1 \hat{i} + 1 \hat{j} + 6 \hat{k}) = (6)(1) + (-3)(1) + (1)(6) = 6 - 3 + 6 = 9$.

(C) दिए गए बिंदु $A(3,4,5), B(4,6,3), C(-1,2,4)$ और $D(1,0,5)$ हैं।
रेखा $DC$ के दिक अनुपात $(x_C - x_D, y_C - y_D, z_C - z_D) = (-1-1, 2-0, 4-5) = (-2, 2, -1)$ हैं।
रेखा $AB$ के दिक अनुपात $(x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) = (4-3, 6-4, 3-5) = (1, 2, -2)$ हैं।
माना रेखाओं $AB$ और $DC$ के बीच का कोण $\theta$ है। $\cos \theta$ का सूत्र है:
$\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$
मान रखने पर:
$\cos \theta = \frac{|(-2)(1) + (2)(2) + (-1)(-2)|}{\sqrt{(-2)^2 + 2^2 + (-1)^2} \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}}$
$\cos \theta = \frac{|-2 + 4 + 2|}{\sqrt{4 + 4 + 1} \sqrt{1 + 4 + 4}}$
$\cos \theta = \frac{4}{\sqrt{9} \sqrt{9}} = \frac{4}{3 \times 3} = \frac{4}{9}$.

(D) दिए गए समीकरण $2l + m + 2n = 0$ $(1)$ और $3l^2 + 5m^2 - 11n^2 = 0$ $(2)$ हैं।
$(1)$ से,$m = -2l - 2n$.
$m$ का मान $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $3l^2 + 5(-2l - 2n)^2 - 11n^2 = 0$.
$3l^2 + 5(4l^2 + 8ln + 4n^2) - 11n^2 = 0$.
$3l^2 + 20l^2 + 40ln + 20n^2 - 11n^2 = 0$.
$23l^2 + 40ln + 9n^2 = 0$.
$n^2$ से भाग देने पर: $23(\frac{l}{n})^2 + 40(\frac{l}{n}) + 9 = 0$.
मान लीजिए $x = \frac{l}{n}$. तब $23x^2 + 40x + 9 = 0$.
मान लीजिए मूल $x_1 = \frac{l_1}{n_1}$ और $x_2 = \frac{l_2}{n_2}$ हैं।
तब $x_1 x_2 = \frac{l_1 l_2}{n_1 n_2} = \frac{9}{23}$.
इसी प्रकार,$l = -\frac{m+2n}{2}$ को $(2)$ में रखने पर $23m^2 + 12mn - 32n^2 = 0$ प्राप्त होता है।
$n^2$ से भाग देने पर,$23(\frac{m}{n})^2 + 12(\frac{m}{n}) - 32 = 0$.
मान लीजिए $y_1 = \frac{m_1}{n_1}$ और $y_2 = \frac{m_2}{n_2}$. तब $y_1 y_2 = \frac{m_1 m_2}{n_1 n_2} = -\frac{32}{23}$.
दो रेखाओं के लिए जिनके दिक्-अनुपात $(l_1, m_1, n_1)$ और $(l_2, m_2, n_2)$ हैं,$\cos \theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$.
$l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = n_1 n_2 (x_1 x_2 + y_1 y_2 + 1) = n_1 n_2 (\frac{9}{23} - \frac{32}{23} + 1) = n_1 n_2 (\frac{-23}{23} + 1) = 0$.
अतः,$\cos \theta = 0$,जिसका अर्थ है कि $\theta = \frac{\pi}{2}$।

(C) दिया गया है,द्विपद चर का माध्य $np = 8$ और प्रसरण $npq = 4$ है।
$\therefore q = \frac{npq}{np} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
चूंकि $p = 1 - q$,इसलिए $p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
$np = 8$ में $p = \frac{1}{2}$ रखने पर,$n \times \frac{1}{2} = 8$,जिससे $n = 16$ प्राप्त होता है।
हमें $P(X < 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ का मान ज्ञात करना है।
सूत्र $P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X=0) = {}^{16}C_{0} (\frac{1}{2})^{0} (\frac{1}{2})^{16} = 1 \times \frac{1}{2^{16}} = \frac{1}{2^{16}}$.
$P(X=1) = {}^{16}C_{1} (\frac{1}{2})^{1} (\frac{1}{2})^{15} = 16 \times \frac{1}{2^{16}} = \frac{16}{2^{16}}$.
$P(X=2) = {}^{16}C_{2} (\frac{1}{2})^{2} (\frac{1}{2})^{14} = \frac{16 \times 15}{2} \times \frac{1}{2^{16}} = 120 \times \frac{1}{2^{16}} = \frac{120}{2^{16}}$.
अतः,$P(X < 3) = \frac{1 + 16 + 120}{2^{16}} = \frac{137}{2^{16}}$.

(B) दिया गया है,$f: [-2, 2] \rightarrow R$ अंतराल $[-2, 2]$ पर सतत है।
$f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \rightarrow 0^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।
सबसे पहले,$x = 0$ पर $LHL$ की गणना करें:
$LHL = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\sqrt{1 + cx} - \sqrt{1 - cx}}{x}$
अंश का परिमेयकरण करने पर:
$= \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{(\sqrt{1 + cx} - \sqrt{1 - cx})(\sqrt{1 + cx} + \sqrt{1 - cx})}{x(\sqrt{1 + cx} + \sqrt{1 - cx})}$
$= \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{(1 + cx) - (1 - cx)}{x(\sqrt{1 + cx} + \sqrt{1 - cx})}$
$= \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{2cx}{x(\sqrt{1 + cx} + \sqrt{1 - cx})} = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{2c}{\sqrt{1 + cx} + \sqrt{1 - cx}}$
$= \frac{2c}{\sqrt{1} + \sqrt{1}} = \frac{2c}{2} = c$.
अब,$x = 0$ पर $RHL$ की गणना करें:
$RHL = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x + 3}{x + 1} = \frac{0 + 3}{0 + 1} = 3$.
चूंकि फलन $x = 0$ पर सतत है,इसलिए $LHL = RHL$ होगा।
अतः,$c = 3$।

(D) दिया गया व्यंजक $x = 1$ पर $f(x)$ के अवकलज (derivative) की परिभाषा है,अर्थात $f'(1)$।
दिया है $f(x) = x \tan^{-1} x$।
गुणन नियम का उपयोग करने पर,$f'(x) = \frac{d}{dx}(x) \cdot \tan^{-1} x + x \cdot \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)$।
$f'(x) = 1 \cdot \tan^{-1} x + x \cdot \frac{1}{1 + x^2} = \tan^{-1} x + \frac{x}{1 + x^2}$।
अब,$x = 1$ पर मान रखने पर:
$f'(1) = \tan^{-1}(1) + \frac{1}{1 + 1^2} = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}$।
$f'(1) = \frac{\pi}{4} + \frac{2}{4} = \frac{\pi + 2}{4}$।

(D) दिए गए वक्र $y=x^2+1$ और $y=2x-2$ हैं।
यह क्षेत्र ऊर्ध्वाधर रेखाओं $x=-1$ और $x=2$ द्वारा परिबद्ध है।
अंतराल $[-1, 2]$ के लिए,हम जाँचते हैं कि क्या वक्र प्रतिच्छेद करते हैं। $x^2+1 = 2x-2$ रखने पर,हमें $x^2-2x+3=0$ प्राप्त होता है। विविक्तकर $D = (-2)^2 - 4(1)(3) = 4-12 = -8 < 0$ है। अतः,कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं है,और सभी $x$ के लिए $x^2+1 > 2x-2$ है।
आवश्यक क्षेत्रफल इस प्रकार है:
$\text{Area} = \int_{-1}^{2} [(x^2+1) - (2x-2)] \, dx$
$\text{Area} = \int_{-1}^{2} (x^2 - 2x + 3) \, dx$
$\text{Area} = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 + 3x \right]_{-1}^{2}$
$\text{Area} = \left( \frac{8}{3} - 4 + 6 \right) - \left( \frac{-1}{3} - 1 - 3 \right)$
$\text{Area} = \left( \frac{8}{3} + 2 \right) - \left( -\frac{1}{3} - 4 \right)$
$\text{Area} = \frac{14}{3} - \left( -\frac{13}{3} \right)$
$\text{Area} = \frac{14}{3} + \frac{13}{3} = \frac{27}{3} = 9$ वर्ग इकाई।

(C) दिया गया है,$a^2+b^2+c^2+d^2=1$ और $A=\left[\begin{array}{cc}a+ib & c+id \\ -c+id & a-ib\end{array}\right]$।
सबसे पहले,हम सारणिक $|A|$ की गणना करते हैं:
$|A| = (a+ib)(a-ib) - (c+id)(-c+id)$
$|A| = (a^2 - (ib)^2) - ((id)^2 - c^2)$
$|A| = (a^2 + b^2) - (-d^2 - c^2) = a^2+b^2+c^2+d^2 = 1$।
चूंकि $|A|=1$,व्युत्क्रम आव्यूह $A^{-1}$ सहखंडज आव्यूह $\text{adj}(A)$ द्वारा प्राप्त होता है:
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{1} \left[\begin{array}{cc}a-ib & -(c+id) \\ -(-c+id) & a+ib\end{array}\right]$
$A^{-1} = \left[\begin{array}{cc}a-ib & -c-id \\ c-id & a+ib\end{array}\right]$।

(B) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 & 3 \\ 6 & 8 & 7 & \alpha \end{bmatrix}$ है।
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1$,$R_3 \rightarrow R_3 - 3R_1$,और $R_4 \rightarrow R_4 - 2R_3$ को लागू करने पर:
$A \sim \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 2 \\ 0 & -4 & -8 & 3 \\ 0 & 4 & 5 & \alpha - 6 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
$R_4 \rightarrow R_4 + R_3$ लागू करने पर:
$A \sim \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 2 \\ 0 & -4 & -8 & 3 \\ 0 & 0 & -3 & \alpha - 3 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
$R_4 \rightarrow R_4 - R_2$ लागू करने पर:
$A \sim \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 2 \\ 0 & -4 & -8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & \alpha - 5 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
चूंकि आव्यूह $A$ की कोटि $3$ है,इसलिए अंतिम पंक्ति एक शून्य पंक्ति होनी चाहिए।
अतः,$\alpha - 5 = 0$,जिसका अर्थ है कि $\alpha = 5$।

(D) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} k & k\alpha & \alpha \\ 0 & \alpha & k\alpha \\ 0 & 0 & k \end{bmatrix}$ है।
चूँकि $A$ एक ऊपरी त्रिभुजाकार आव्यूह है,इसका सारणिक इसके विकर्ण तत्वों का गुणनफल है:
$|A| = k \times \alpha \times k = \alpha k^2$.
हमें दिया गया है कि $|A^2| = k^2$.
सारणिक के गुणधर्म $|A^2| = |A|^2$ का उपयोग करने पर:
$|A|^2 = k^2$.
$|A|$ का मान रखने पर:
$(\alpha k^2)^2 = k^2$.
$\alpha^2 k^4 = k^2$.
चूँकि $k > 1$,हम दोनों पक्षों को $k^4$ से विभाजित कर सकते हैं:
$\alpha^2 = \frac{k^2}{k^4} = \frac{1}{k^2}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$|\alpha| = \sqrt{\frac{1}{k^2}} = \frac{1}{k}$.

(B) दिया गया है कि $\tan^{-1} x + \tan^{-1} y + \tan^{-1} z = \pi$.
तीन प्रतिलोम स्पर्शज्या (inverse tangents) के योग के सूत्र का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1} \left( \frac{x+y+z-xyz}{1-(xy+yz+zx)} \right) = \pi$.
दोनों पक्षों का स्पर्शज्या (tangent) लेने पर:
$\frac{x+y+z-xyz}{1-(xy+yz+zx)} = \tan(\pi) = 0$.
चूंकि हर $1-(xy+yz+zx) \neq 0$ है (दिया गया है $xy+yz+zx < 1$),इसलिए अंश शून्य होना चाहिए:
$x+y+z-xyz = 0$.
अतः,$x+y+z = xyz$.

(D) माना $y = f(x) = \frac{2+x}{2-x}$.
$y(2-x) = 2+x$
$2y - xy = 2 + x$
$2y - 2 = x + xy$
$2(y-1) = x(1+y)$
$x = \frac{2(y-1)}{y+1}$.
$x$ के वास्तविक होने के लिए हर $y+1 \neq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $y \neq -1$.
अतः,$f(x)$ का परिसर $R - \{-1\}$ है।

(A) दिया गया फलन $f:[0,1] \rightarrow [0,1]$ इस प्रकार परिभाषित है: $f(x) = \begin{cases} x & \text{यदि } x \in Q \\ 1-x & \text{यदि } x \notin Q \end{cases}$।
हमें समुच्चय $S = \{x \in [0,1] : (f \circ f)(x) = x\}$ ज्ञात करना है।
स्थिति $1$: यदि $x \in Q$ है,तो $f(x) = x$। चूँकि $x \in [0,1]$ और $x$ परिमेय है,इसलिए $f(x) \in Q$। अतः,$(f \circ f)(x) = f(f(x)) = f(x) = x$। यह सभी $x \in Q \cap [0,1]$ के लिए सत्य है।
स्थिति $2$: यदि $x \notin Q$ है,तो $f(x) = 1-x$। चूँकि $x$ अपरिमेय है और $x \in [0,1]$,इसलिए $1-x$ भी अपरिमेय है और $1-x \in [0,1]$। अतः,$(f \circ f)(x) = f(f(x)) = f(1-x) = 1-(1-x) = x$। यह सभी $x \in [0,1] \setminus Q$ के लिए सत्य है।
चूँकि सभी $x \in [0,1]$ के लिए $(f \circ f)(x) = x$ है,इसलिए समुच्चय $S$ संपूर्ण अंतराल $[0,1]$ है।

(D) दिया गया है,$y=\tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+a^2 x^2}-1}{a x}\right)$.
$ax = \tan \theta$ रखने पर,अतः $\theta = \tan^{-1}(ax)$.
$y = \tan^{-1}\left(\frac{\sec \theta - 1}{\tan \theta}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}\right) = \tan^{-1}\left(\tan \frac{\theta}{2}\right) = \frac{\theta}{2} = \frac{1}{2} \tan^{-1}(ax)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1+(ax)^2} \cdot a = \frac{a}{2(1+a^2x^2)}$.
अतः,$2(1+a^2x^2)y' = a$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर (गुणन नियम का उपयोग करते हुए):
$2[(1+a^2x^2)y'' + y'(2a^2x)] = 0$.
$(1+a^2x^2)y'' + 2a^2xy' = 0$.

(C) दिया गया है,$f(x)=\sqrt{x-2}$ जहाँ $x \in [2,6]$ है।
लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,कम से कम एक $c \in (2,6)$ ऐसा विद्यमान है कि $f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ हो।
यहाँ,$a=2$ और $b=6$ है।
$f(a) = f(2) = \sqrt{2-2} = 0$.
$f(b) = f(6) = \sqrt{6-2} = \sqrt{4} = 2$.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{x-2}) = \frac{1}{2\sqrt{x-2}}$.
अतः,$f'(c) = \frac{1}{2\sqrt{c-2}}$.
इन मानों को प्रमेय के सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{2\sqrt{c-2}} = \frac{2-0}{6-2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$\frac{1}{2\sqrt{c-2}} = \frac{1}{2}$.
$\sqrt{c-2} = 1$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$c-2 = 1$,जिससे $c = 3$ प्राप्त होता है।
चूँकि $3 \in (2,6)$,इसलिए $c$ का मान $3$ है।

(C) माना $I = \int \frac{x^2-1}{(x+1)^2 \sqrt{x(x^2+x+1)}} dx$.
दाहिनी ओर के पद का अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx} \left( A \tan^{-1} \sqrt{\frac{x^2+x+1}{x}} \right) = A \cdot \frac{1}{1 + \frac{x^2+x+1}{x}} \cdot \frac{d}{dx} \left( \sqrt{\frac{x^2+x+1}{x}} \right)$.
$= A \cdot \frac{x}{x^2+2x+1} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{\frac{x^2+x+1}{x}}} \cdot \left( \frac{x(2x+1) - (x^2+x+1)}{x^2} \right)$.
$= A \cdot \frac{x}{(x+1)^2} \cdot \frac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{x^2+x+1}} \cdot \left( \frac{2x^2+x-x^2-x-1}{x^2} \right)$.
$= A \cdot \frac{x}{(x+1)^2} \cdot \frac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{x^2+x+1}} \cdot \frac{x^2-1}{x^2}$.
$= A \cdot \frac{x^2-1}{2(x+1)^2 \sqrt{x(x^2+x+1)}}$.
दिए गए समाकलन से तुलना करने पर,$\frac{A}{2} = 1$,अतः $A = 2$ प्राप्त होता है।

(B) माना $I = \int \frac{dx}{(1+\sqrt{x}) \sqrt{x(1-x)}} = \int \frac{dx}{(1+\sqrt{x}) \sqrt{x} \sqrt{1-x}}$.
$\sqrt{x} = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = t^2$ और $dx = 2t \, dt$ प्राप्त होता है।
अतः $I = \int \frac{2t \, dt}{(1+t) t \sqrt{1-t^2}} = 2 \int \frac{dt}{(1+t) \sqrt{(1-t)(1+t)}} = 2 \int \frac{dt}{(1+t)^{3/2} (1-t)^{1/2}}$.
दिए गए रूप का अवकलन करने पर,हमें $A=2$ और $B=-2$ प्राप्त होता है।
अतः,$A+B = 2 + (-2) = 0$.

(A) दिया गया है $I_n = \int \tan^n x \, dx$।
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I_n = \int \tan^{n-2} x \cdot \tan^2 x \, dx$
$I_n = \int \tan^{n-2} x (\sec^2 x - 1) \, dx$
$I_n = \int \tan^{n-2} x \sec^2 x \, dx - \int \tan^{n-2} x \, dx$
प्रतिस्थापन $u = \tan x$ का उपयोग करने पर,$du = \sec^2 x \, dx$,पहला समाकलन $\int u^{n-2} \, du = \frac{u^{n-1}}{n-1} = \frac{\tan^{n-1} x}{n-1}$ हो जाता है।
अतः,$I_n = \frac{\tan^{n-1} x}{n-1} - I_{n-2}$।
इसे दिए गए रूप $I_n = \frac{1}{a} \tan^{n-1} x - b I_{n-2}$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{a} = \frac{1}{n-1} \implies a = n-1$
$b = 1$
इसलिए,क्रमित युग्म $(a, b) = (n-1, 1)$ है।

(B) दी गई सीमा $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{r^4}{r^5+n^5}$ है।
हम इसे $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{r^4}{n^5( (r/n)^5 + 1 )} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \frac{(r/n)^4}{(r/n)^5 + 1}$ के रूप में लिख सकते हैं।
निश्चित समाकलन की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f(r/n) = \int_0^1 f(x) dx$ होता है।
यहाँ,$f(x) = \frac{x^4}{x^5 + 1}$ है।
अतः,$S = \int_0^1 \frac{x^4}{x^5 + 1} dx$ है।
माना $t = x^5 + 1$,तो $dt = 5x^4 dx$,या $x^4 dx = \frac{dt}{5}$ है।
जब $x = 0$,तो $t = 1$ है। जब $x = 1$,तो $t = 2$ है।
$S = \int_1^2 \frac{1}{t} \cdot \frac{dt}{5} = \frac{1}{5} [\ln |t|]_1^2 = \frac{1}{5} (\ln 2 - \ln 1) = \frac{1}{5} \ln 2$।

(D) माना $I = \int_0^{\pi/6} \cos^4 3\theta \sin^2 6\theta \, d\theta$.
$3\theta = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$d\theta = \frac{dt}{3}$.
जब $\theta = 0, t = 0$ और जब $\theta = \pi/6, t = \pi/2$.
$I = \frac{1}{3} \int_0^{\pi/2} \cos^4 t \sin^2 2t \, dt$.
$\sin 2t = 2 \sin t \cos t$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{3} \int_0^{\pi/2} \cos^4 t (2 \sin t \cos t)^2 \, dt = \frac{4}{3} \int_0^{\pi/2} \cos^6 t \sin^2 t \, dt$.
वालिस के सूत्र (Wallis's Formula) का उपयोग करने पर:
$I = \frac{4}{3} \left[ \frac{(2-1)!!(6-1)!!}{(2+6)!!} \cdot \frac{\pi}{2} \right] = \frac{4}{3} \left[ \frac{1 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1}{8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2} \cdot \frac{\pi}{2} \right]$.
$I = \frac{4}{3} \cdot \frac{15}{384} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{192}$.

(C) $(0,-1)$ पर शीर्ष और $Y$-अक्ष के अनुदिश अक्ष वाले परवलयों के कुल का समीकरण $x^2 = 4a(y+1)$ $(i)$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2x = 4a y^{\prime}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = \frac{x}{2y^{\prime}}$।
समीकरण $(i)$ में $a$ का मान रखने पर,हमें $x^2 = 4 \left( \frac{x}{2y^{\prime}} \right) (y+1)$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर,हमें $x = \frac{2(y+1)}{y^{\prime}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$x y^{\prime} = 2y + 2$,या $x y^{\prime} - 2y - 2 = 0$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\cos y + (x \sin y - 1) \frac{dy}{dx} = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$(x \sin y - 1) \frac{dy}{dx} = -\cos y$ प्राप्त होता है।
व्युत्क्रम लेने पर,$\frac{dx}{dy} = -\frac{x \sin y - 1}{\cos y} = -x \tan y + \sec y$ प्राप्त होता है।
इसे $\frac{dx}{dy} + x \tan y = \sec y$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \tan y$ और $Q = \sec y$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P dy} = e^{\int \tan y dy} = e^{\ln |\sec y|} = \sec y$ है।
व्यापक हल $x(IF) = \int Q(IF) dy + C$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$x \sec y = \int \sec y \cdot \sec y dy + C$।
$x \sec y = \int \sec^2 y dy + C$।
$x \sec y = \tan y + C$।

(A) दिया गया है कि $\vec{a}+3\vec{b}$,$\vec{c}$ के साथ संरेख है।
इसलिए,$\vec{a}+3\vec{b} = \lambda\vec{c}$ किसी अदिश $\lambda$ के लिए।
इसका अर्थ है $\vec{a}+3\vec{b}-\lambda\vec{c} = 0$ $(i)$
साथ ही,$3\vec{b}+2\vec{c}$,$\vec{a}$ के साथ संरेख है।
इसलिए,$3\vec{b}+2\vec{c} = \mu\vec{a}$ किसी अदिश $\mu$ के लिए।
इसका अर्थ है $3\vec{b}+2\vec{c}-\mu\vec{a} = 0$ $(ii)$
$(i)$ से,हमारे पास $3\vec{b} = \lambda\vec{c} - \vec{a}$ है।
इसे $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\lambda\vec{c} - \vec{a}) + 2\vec{c} - \mu\vec{a} = 0$
$(\lambda+2)\vec{c} - (1+\mu)\vec{a} = 0$
चूंकि $\vec{a}$ और $\vec{c}$ असंरेख हैं,इसलिए उनके गुणांक शून्य होने चाहिए।
अतः,$\lambda+2 = 0 \implies \lambda = -2$ और $1+\mu = 0 \implies \mu = -1$.
$\lambda = -2$ को $(i)$ में रखने पर:
$\vec{a}+3\vec{b} = -2\vec{c}$
$\vec{a}+3\vec{b}+2\vec{c} = 0$

(C) दिया गया है,$\vec{d} = \frac{1}{x}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \implies \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = x\vec{d}$.
साथ ही,$\vec{d} = \frac{1}{y}(\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}) \implies \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} = y\vec{d}$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - (\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}) = x\vec{d} - y\vec{d}$.
यह सरल होकर $\vec{a} - \vec{d} = (x - y)\vec{d}$ देता है,जिसका अर्थ है $\vec{a} = (x - y + 1)\vec{d}$.
चूंकि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ असमतलीय हैं,$\vec{d}$ को इन सदिशों का एक रैखिक संयोजन होना चाहिए.
दिए गए समीकरणों से,हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} = 0$ वह स्थिति है जो असमतलीय सदिशों के लिए संतुष्ट होती है.
अतः,$\frac{1}{xy}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}) = \frac{1}{xy}(0) = 0$.

(A) दी गई रेखाएं $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$ के रूप में हैं।
पहली रेखा के लिए,दिशा सदिश $\vec{b_1} = \hat{i} + 4 \hat{j} + 3 \hat{k}$ है।
दूसरी रेखा के लिए,दिशा सदिश $\vec{b_2} = \hat{i} + 2 \hat{j} - 3 \hat{k}$ है।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{|\vec{b_1} \cdot \vec{b_2}|}{|\vec{b_1}| |\vec{b_2}|}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (1)(1) + (4)(2) + (3)(-3) = 1 + 8 - 9 = 0$.
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए रेखाओं के बीच का कोण $\theta = \cos^{-1}(0) = \frac{\pi}{2}$ है।

(C) दिया गया है,$|\vec{a}|=2, |\vec{b}|=3$ और $|\vec{c}|=4$.
हम जानते हैं कि $|\vec{x}-\vec{y}|^2 = |\vec{x}|^2 + |\vec{y}|^2 - 2(\vec{x} \cdot \vec{y})$.
इसलिए,$|\vec{a}-\vec{b}|^2+|\vec{b}-\vec{c}|^2+|\vec{c}-\vec{a}|^2 = (|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-2\vec{a} \cdot \vec{b}) + (|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2-2\vec{b} \cdot \vec{c}) + (|\vec{c}|^2+|\vec{a}|^2-2\vec{c} \cdot \vec{a})$.
$= 2(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2) - 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})$.
हम जानते हैं कि $(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})^2 \geq 0$,जिसका अर्थ है कि $|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) \geq 0$.
अतः,$2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) \geq -(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2)$.
इस मान को हमारे समीकरण में रखने पर:
$|\vec{a}-\vec{b}|^2+|\vec{b}-\vec{c}|^2+|\vec{c}-\vec{a}|^2 \leq 2(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2) - (-(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2)) = 3(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2)$.
परिमाण रखने पर:
$|\vec{a}-\vec{b}|^2+|\vec{b}-\vec{c}|^2+|\vec{c}-\vec{a}|^2 \leq 3(2^2+3^2+4^2) = 3(4+9+16) = 3(29) = 87$.
अतः,सर्वोत्तम ऊपरी सीमा $87$ है।

(C) दिया गया है,$\vec{a}=x \hat{i}+2 \hat{j}, \vec{b}=y \hat{j}+3 \hat{k}$ और $\vec{c}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$.
सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ इस प्रकार है:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ x & 2 & 0 \\ 0 & y & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-0) - \hat{j}(3x-0) + \hat{k}(xy-0) = 6\hat{i} - 3x\hat{j} + xy\hat{k}$.
इसे दिए गए $\vec{a} \times \vec{b} = z\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$ से तुलना करने पर:
$6 = z$,$-3x = -3 \Rightarrow x = 1$,और $xy = 1$.
चूंकि $x=1$,इसलिए $1 \cdot y = 1 \Rightarrow y = 1$.
अतः,$\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j}$,$\vec{b} = \hat{j} + 3\hat{k}$,और $\vec{c} = \hat{i} + \hat{j} + 6\hat{k}$.
अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$,$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ के घटकों का सारणिक है:
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 6 \end{vmatrix} = 1(6-3) - 2(0-3) + 0(0-1) = 3 + 6 = 9$.

(D) दो विषम रेखाओं $\vec{r} = \vec{a_1} + t\vec{b_1}$ और $\vec{r} = \vec{a_2} + s\vec{b_2}$ के बीच की न्यूनतम दूरी का सूत्र $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{ |\vec{b_1} \times \vec{b_2}| }$ है।
यहाँ $\vec{a_1} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{b_1} = \hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$,$\vec{a_2} = 4\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k}$,और $\vec{b_2} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ दिया गया है।
सबसे पहले,$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (4-1)\hat{i} + (5-2)\hat{j} + (6-3)\hat{k} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$ ज्ञात करें।
इसके बाद,सदिश गुणनफल $\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-6) - \hat{j}(1-4) + \hat{k}(3-6) = -3\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}$ निकालें।
इसका परिमाण $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{(-3)^2 + 3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9 + 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ होगा।
अब,अदिश गुणनफल $(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = (3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (-3\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}) = -9 + 9 - 9 = -9$ होगा।
अतः,न्यूनतम दूरी $d = \frac{|-9|}{3\sqrt{3}} = \frac{9}{3\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ प्राप्त होती है।

(B) दिक्-अनुपातों $(l, m, n)$ के लिए दिए गए समीकरण $l+m+n=0$ और $l^2=m^2+n^2$ हैं।
$l+m+n=0$ से,हमें $l=-(m+n)$ प्राप्त होता है।
इसे $l^2=m^2+n^2$ में प्रतिस्थापित करने पर,$(-(m+n))^2 = m^2+n^2$ प्राप्त होता है।
$m^2+n^2+2mn = m^2+n^2$,जिसका अर्थ है $2mn=0$,अतः $mn=0$ है।
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $I$: $m=0$. तब $l=-n$. मान लीजिए दिक्-अनुपात $(k, 0, -k)$ हैं। इकाई सदिश $(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ है।
स्थिति $II$: $n=0$. तब $l=-m$. मान लीजिए दिक्-अनुपात $(k, -k, 0)$ हैं। इकाई सदिश $(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$ है।
मान लीजिए $\vec{a} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ और $\vec{b} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$ है।
उनके बीच के कोण $\theta$ का कोज्या (cosine) $\cos \theta = |\vec{a} \cdot \vec{b}|$ द्वारा दिया जाता है।
$\cos \theta = |(\frac{1}{\sqrt{2}})(\frac{1}{\sqrt{2}}) + (0)(-\frac{1}{\sqrt{2}}) + (-\frac{1}{\sqrt{2}})(0)| = |\frac{1}{2} + 0 + 0| = \frac{1}{2}$.
चूँकि $\cos \theta = \frac{1}{2}$,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{3}$।

(C) दिक्-कोज्याओं $(l, m, n)$ के लिए दिए गए समीकरण हैं:
$l+m+n=0$ --- $(i)$
$l^2+m^2-n^2=0$ --- $(ii)$
$(i)$ से,$n = -(l+m)$।
इसे $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$l^2 + m^2 - (-(l+m))^2 = 0$
$l^2 + m^2 - (l^2 + m^2 + 2lm) = 0$
$-2lm = 0 \Rightarrow lm = 0$।
इसका अर्थ है कि या तो $l=0$ या $m=0$ है।
स्थिति $1$: यदि $l=0$ है,तो $(i)$ से,$m+n=0 \Rightarrow m=-n$। माना $m=1$,तो $n=-1$। दिक्-अनुपात $(0, 1, -1)$ हैं।
स्थिति $2$: यदि $m=0$ है,तो $(i)$ से,$l+n=0 \Rightarrow l=-n$। माना $l=1$,तो $n=-1$। दिक्-अनुपात $(1, 0, -1)$ हैं।
माना दो सदिश $\vec{a} = 0\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k}$ और $\vec{b} = 1\hat{i} + 0\hat{j} - 1\hat{k}$ हैं।
उनके बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (0)(1) + (1)(0) + (-1)(-1) = 1$।
$|\vec{a}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$।
$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$।
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$।

(C) रेखा $AB$ के दिक्-अनुपात (DRs) $(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1) = (4-3, 6-4, 3-5) = (1, 2, -2)$ हैं।
रेखा $DC$ के दिक्-अनुपात (DRs) $(x_4-x_3, y_4-y_3, z_4-z_3) = (1-(-1), 0-2, 5-4) = (2, -2, 1)$ हैं।
माना रेखाओं $AB$ और $DC$ के बीच का कोण $\theta$ है।
$\cos \theta$ का सूत्र $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ है।
मान रखने पर: $\cos \theta = \frac{|(1)(2) + (2)(-2) + (-2)(1)|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}}$.
$\cos \theta = \frac{|2 - 4 - 2|}{\sqrt{1 + 4 + 4} \sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{|-4|}{\sqrt{9} \sqrt{9}} = \frac{4}{3 \times 3} = \frac{4}{9}$.

(D) दिक्-कोसाइन $l, m, n$ के लिए दिए गए समीकरण:
$l+m+n=0 \implies n = -(l+m)$
$n$ का मान $l^2-5m^2+n^2=0$ में रखने पर:
$l^2-5m^2+(-l-m)^2=0$
$l^2-5m^2+l^2+2lm+m^2=0$
$2l^2+2lm-4m^2=0$
$l^2+lm-2m^2=0$
$(l+2m)(l-m)=0$
स्थिति $1$: $l=m$. तब $n = -(l+m) = -2l$. दिक्-अनुपात $(l, l, -2l)$ अर्थात $(1, 1, -2)$ प्राप्त होते हैं।
मानकीकृत दिक्-कोसाइन $(l_1, m_1, n_1) = (\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{2}{\sqrt{6}})$.
स्थिति $2$: $l=-2m$. तब $n = -(-2m+m) = m$. दिक्-अनुपात $(-2m, m, m)$ अर्थात $(-2, 1, 1)$ प्राप्त होते हैं।
मानकीकृत दिक्-कोसाइन $(l_2, m_2, n_2) = (-\frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}})$.
कोण $\theta$ का कोसाइन $\cos \theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\cos \theta = |(\frac{1}{\sqrt{6}})(-\frac{2}{\sqrt{6}}) + (\frac{1}{\sqrt{6}})(\frac{1}{\sqrt{6}}) + (-\frac{2}{\sqrt{6}})(\frac{1}{\sqrt{6}})|$
$\cos \theta = |-\frac{2}{6} + \frac{1}{6} - \frac{2}{6}| = |-\frac{3}{6}| = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(C) दिए गए समीकरण $l+m+n=0$ और $l^2+m^2-n^2=0$ हैं।
पहले समीकरण से,$l = -(m+n)$।
इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(-m-n)^2 + m^2 - n^2 = 0$।
$m^2 + 2mn + n^2 + m^2 - n^2 = 0$।
$2m^2 + 2mn = 0 \Rightarrow 2m(m+n) = 0$।
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $m=0$। तब $l = -n$। दिक् अनुपात $(-1, 0, 1)$ हैं।
स्थिति $2$: $m = -n$। तब $l = 0$। दिक् अनुपात $(0, -1, 1)$ हैं।
मान लीजिए कि दो रेखाएँ सदिशों $\vec{a} = -\hat{i} + \hat{k}$ और $\vec{b} = -\hat{j} + \hat{k}$ द्वारा निरूपित हैं।
उनके बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1)(0) + (0)(-1) + (1)(1) = 1$।
$|\vec{a}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$।
$|\vec{b}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$।
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$।

(A) मान लीजिए $S$ सफलता (उत्तीर्ण) और $F$ असफलता (अनुत्तीर्ण) को दर्शाता है। पहली परीक्षा उत्तीर्ण करने की प्रायिकता $P(S_1) = p$ है,इसलिए $P(F_1) = 1-p$ है।
बाद की परीक्षाओं के लिए,$P(S_{n+1} | S_n) = p$ और $P(S_{n+1} | F_n) = \frac{p}{2}$ है।
उम्मीदवार का चयन तब होता है यदि वह कम से कम दो परीक्षाएं उत्तीर्ण करता है। संभावित परिणाम $(S, S, S), (S, S, F), (S, F, S), (F, S, S)$ हैं।
$P(S, S, S) = p \times p \times p = p^3$.
$P(S, S, F) = p \times p \times (1-p) = p^2(1-p)$.
$P(S, F, S) = p \times (1-p) \times \frac{p}{2} = \frac{p^2(1-p)}{2}$.
$P(F, S, S) = (1-p) \times \frac{p}{2} \times p = \frac{p^2(1-p)}{2}$.
कुल प्रायिकता: $p^3 + p^2(1-p) + p^2(1-p) = p^3 + 2p^2 - 2p^3 = 2p^2 - p^3 = p^2(2-p)$.

(B) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए:
$\Sigma P(X=x) = K + 2K + 3K + 2K + K = 9K = 1$
$\therefore K = \frac{1}{9}$
माध्य $E(X) = \Sigma x_i P(x_i) = (1 \times K) + (2 \times 2K) + (3 \times 3K) + (4 \times 2K) + (5 \times K)$
$= K + 4K + 9K + 8K + 5K = 27K = 27 \times \frac{1}{9} = 3$
$E(X^2) = \Sigma x_i^2 P(x_i) = (1^2 \times K) + (2^2 \times 2K) + (3^2 \times 3K) + (4^2 \times 2K) + (5^2 \times K)$
$= K + 8K + 27K + 32K + 25K = 93K = 93 \times \frac{1}{9} = \frac{93}{9} = \frac{31}{3}$
प्रसरण $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
$= \frac{31}{3} - (3)^2 = \frac{31}{3} - 9 = \frac{31 - 27}{3} = \frac{4}{3}$