निश्चित समाकल की परिभाषा द्वारा,lim _{n right | vedclass

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Question

(B) दी गई सीमा को रीमान योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है: $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{r^4}{r^5+n^5} = \lim _{n \righta

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$\frac{1}{5} \log 2$

Vedclass · Answer

(B) दी गई सीमा को रीमान योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है: $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{r^4}{r^5+n^5} = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{r^4}{n^5( (r/n)^5 + 1 )} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \frac{(r/n)^4}{(r/n)^5 + 1}$. निश्चित समाकल की परिभाषा के अनुसार,यह $\int_0^1 \frac{x^4}{x^5+1} dx$ के बराबर है। मान लीजिए $t = x^5 + 1$,तो $dt = 5x^4 dx$,या $x^4 dx = \frac{dt}{5}$। जब $x=0, t=1$। जब $x=1, t=2$। अतः,समाकल $\int_1^2 \frac{1}{t} \cdot \frac{dt}{5} = \frac{1}{5} [\log |t|]_1^2 = \frac{1}{5} (\log 2 - \log 1) = \frac{1}{5} \log 2$ हो जाता है।

निश्चित समाकल की परिभाषा द्वारा,$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1^4}{1^5+n^5}+\frac{2^4}{2^5+n^5}+\frac{3^4}{3^5+n^5}+\ldots+\frac{n^4}{n^5+n^5}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\int_0^\pi \frac{1}{1+\sin x} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

समाकलन $\int_{1/4}^{3/4} \cos \left(2 \cot^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right) dx$ का मान ज्ञात कीजिए:

$f(x) = \begin{cases} x^2, & 0 \leq x < 1 \\ \sqrt{x}, & 1 \leq x \leq 2 \end{cases} \implies \int_0^2 f(x) \, dx = ?$

निश्चित समाकल $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x \,dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $2f(x) - 3f\left( \frac{1}{x} \right) = x$ है,तो $\int_1^2 f(x) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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