TS EAMCET 2014 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) ધારો કે ગોળાનું દળ $2m$ છે. મહત્તમ ઊંચાઈએ,વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય હોય છે અને સમક્ષિતિજ વેગ $u \cos \theta$ હોય છે.
આમ,વિસ્ફોટ પહેલાં ગોળાનું વેગમાન $P = (2m)(u \cos \theta)$ છે.
વિસ્ફોટ પછી,ગોળો દરેક $m$ દળના બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત થાય છે.
એક ભાગ તેનો માર્ગ પાછો ખેંચે છે,જેનો અર્થ છે કે તેનો વેગ $v_1 = -u \cos \theta$ છે.
ધારો કે બીજા ભાગનો વેગ $v_2$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$2m u \cos \theta = m v_1 + m v_2$
$2m u \cos \theta = m(-u \cos \theta) + m v_2$
$2m u \cos \theta = -m u \cos \theta + m v_2$
$m v_2 = 3m u \cos \theta \Rightarrow v_2 = 3u \cos \theta$.
પ્રથમ ભાગની ગતિઊર્જા $E_1 = \frac{1}{2} m v_1^2 = \frac{1}{2} m (-u \cos \theta)^2 = \frac{1}{2} m u^2 \cos^2 \theta$ છે.
બીજા ભાગની ગતિઊર્જા $E_2 = \frac{1}{2} m v_2^2 = \frac{1}{2} m (3u \cos \theta)^2 = \frac{1}{2} m (9 u^2 \cos^2 \theta) = 9 \left( \frac{1}{2} m u^2 \cos^2 \theta \right)$ છે.
તેથી,$E_2 = 9 E_1$.

(C) પ્રકૃતિમાં ચાર મૂળભૂત બળોની સાપેક્ષ શક્તિઓ,જેમાં સૌથી મજબૂત (પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ) ને $1$ તરીકે લેવામાં આવે છે,તે નીચે મુજબ છે:
$(A)$ પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ: સાપેક્ષ શક્તિ $= 1$ ($f$ સાથે જોડાય છે)
$(B)$ નિર્બળ ન્યુક્લિયર બળ: સાપેક્ષ શક્તિ $\approx 10^{-13}$ ($h$ સાથે જોડાય છે)
$(C)$ વિદ્યુતચુંબકીય બળ: સાપેક્ષ શક્તિ $\approx 10^{-2}$ ($e$ સાથે જોડાય છે)
$(D)$ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ: સાપેક્ષ શક્તિ $\approx 10^{-39}$ ($i$ સાથે જોડાય છે)
તેથી,સાચી જોડ $A-f, B-h, C-e, D-i$ છે.

(D) આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{n R T}{\gamma-1}$ છે.
અહીં $n = 1$ મોલ હોવાથી,$U = \frac{R T}{\gamma-1}$ થાય.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $p V = R T$ મુજબ,$U = \frac{p V}{\gamma-1}$ લખી શકાય.
આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = U_f - U_i$ છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ: $p V_i = p V$,તેથી $U_i = \frac{p V}{\gamma-1}$.
અંતિમ સ્થિતિ: $p V_f = p(2V) = 2 p V$,તેથી $U_f = \frac{2 p V}{\gamma-1}$.
તેથી,$\Delta U = \frac{2 p V}{\gamma-1} - \frac{p V}{\gamma-1} = \frac{p V}{\gamma-1}$.

(B) ધારો કે $T$ એ દોરીમાં રહેલું તણાવ બળ છે અને $F$ એ દળને સંતુલનમાં રાખવા માટે લગાડવામાં આવેલું સમક્ષિતિજ બળ છે.
સંતુલન સ્થિતિમાં,દળ પર લાગતા બળો સંતુલિત થાય છે:
$1$. શિરોલંબ દિશામાં: $T \cos \theta = M g$ (જ્યાં $\theta = 60^{\circ}$)
$2$. સમક્ષિતિજ દિશામાં: $F = T \sin \theta$
સમક્ષિતિજ બળના સમીકરણને શિરોલંબ બળના સમીકરણ વડે ભાગતા:
$\frac{F}{M g} = \frac{T \sin \theta}{T \cos \theta} = \tan \theta$
$F = M g \tan \theta$
અહીં $\theta = 60^{\circ}$ આપેલ હોવાથી:
$F = M g \tan 60^{\circ} = M g \sqrt{3}$

(A) એકમ કદ દીઠ સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જા $(u)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$u = \frac{1}{2} \times \text{stress} \times \text{strain} = \frac{1}{2} \times \frac{F}{A} \times \frac{F}{AY} = \frac{F^2}{2A^2Y}$
અહીં બળ $(F)$,યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ અને લંબાઈ $(l)$ બંને તાર માટે સમાન છે,તેથી:
$u \propto \frac{1}{A^2} \propto \frac{1}{d^4}$
આપેલ વ્યાસનો ગુણોત્તર $d_1 : d_2 = 1:2$ છે,તેથી એકમ કદ દીઠ ઊર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{u_1}{u_2} = \left( \frac{d_2}{d_1} \right)^4 = \left( \frac{2}{1} \right)^4 = \frac{16}{1}$.
તેથી,ગુણોત્તર $16:1$ થશે.

(B) ધારો કે દળ $M$ ને $M = C^a h^b G^c$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
પારિમાણિક સૂત્રો:
$C = [LT^{-1}]$
$h = [ML^2T^{-1}]$
$G = [M^{-1}L^3T^{-2}]$
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$[M^1L^0T^0] = [LT^{-1}]^a [ML^2T^{-1}]^b [M^{-1}L^3T^{-2}]^c$
$[M^1L^0T^0] = M^{b-c} L^{a+2b+3c} T^{-a-b-2c}$
બંને બાજુ $M, L, T$ ના ઘાતાંકો સરખાવતા:
$b - c = 1$ $(i)$
$a + 2b + 3c = 0$ (ii)
$-a - b - 2c = 0$ (iii)
(ii) અને (iii) નો સરવાળો કરતા: $b + c = 0$,તેથી $b = -c$.
$b = -c$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $-c - c = 1 \implies -2c = 1 \implies c = -1/2$.
તેથી $b = 1/2$.
$b = 1/2$ અને $c = -1/2$ ને (iii) માં મૂકતા: $-a - 1/2 - 2(-1/2) = 0 \implies -a - 1/2 + 1 = 0 \implies a = 1/2$.
આમ,$M = C^{1/2} h^{1/2} G^{-1/2}$.

(C) $M_p$ દળ ધરાવતા ગ્રહના કેન્દ્રથી $r = R_p + h$ અંતરે રહેલા ઉપગ્રહનો પરિભ્રમણ સમયગાળો $T = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{G M_p}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉપગ્રહ ગ્રહની ખૂબ નજીક પરિભ્રમણ કરતો હોવાથી,$h \approx 0$,તેથી $r \approx R_p$ લેતા.
ગ્રહની ઘનતા $\rho$ અને ત્રિજ્યા $R_p$ ના સંદર્ભમાં ગ્રહનું દળ $M_p = \frac{4}{3} \pi R_p^3 \rho$ થાય છે.
$M_p$ ની કિંમત સમયગાળાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{R_p^3}{G (\frac{4}{3} \pi R_p^3 \rho)}}$.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{3}{4 \pi G \rho}} = \sqrt{\frac{4 \pi^2 \cdot 3}{4 \pi G \rho}} = \sqrt{\frac{3 \pi}{G \rho}}$.

(C) ઉપરની ગતિ માટે,જરૂરી બળ $F_{\text{up}} = mg(\sin \theta + \mu \cos \theta)$ છે.
નીચેની ગતિ માટે,સરકતા અટકાવવા માટે જરૂરી બળ $F_{\text{down}} = mg(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$F_{\text{up}} = 2 F_{\text{down}}$.
પદોને મૂકતા,$mg(\sin \theta + \mu \cos \theta) = 2mg(\sin \theta - \mu \cos \theta)$.
બંને બાજુ $mg$ વડે ભાગતા,$\sin \theta + \mu \cos \theta = 2 \sin \theta - 2 \mu \cos \theta$.
પદોને ગોઠવતા,$3 \mu \cos \theta = \sin \theta$,જેનું સાદું રૂપ $\mu = \frac{1}{3} \tan \theta$ થાય છે.
આપેલ છે કે $\theta = 60^{\circ}$,તેથી $\mu = \frac{1}{3} \tan 60^{\circ} = \frac{1}{3} \times \sqrt{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(D) ટીપાની ઉર્જા $U = T \times A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે.
$n$ નાના ટીપાંની ઉર્જા: $U_i = n \times (4\pi r^2 T)$.
મોટા ટીપાની ઉર્જા: $E = 4\pi R^2 T$.
ઉર્જાનો વ્યય $\Delta U = U_i - E = 3E$ તરીકે આપવામાં આવ્યો છે.
કિંમતો મૂકતા: $n(4\pi r^2 T) - 4\pi R^2 T = 3(4\pi R^2 T)$.
$n(4\pi r^2 T) = 4\pi R^2 T + 12\pi R^2 T$.
$n(4\pi r^2 T) = 16\pi R^2 T$.
$n = \frac{16\pi R^2 T}{4\pi r^2 T} = 4\frac{R^2}{r^2}$.

(B) બજાર સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય: $t_1 = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{2.5 \,km}{5 \,km/h} = 0.5 \,h = 30 \,min$.
ઘરે પાછા ફરવા માટે લાગતો સમય: $t_2 = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{2.5 \,km}{7.5 \,km/h} = \frac{1}{3} \,h = 20 \,min$.
આખી મુસાફરી માટે લાગતો કુલ સમય $30 \,min + 20 \,min = 50 \,min$ છે।
કુલ કાપેલું અંતર = $2.5 \,km + 2.5 \,km = 5 \,km = 5000 \,m$.
સેકન્ડમાં કુલ સમય = $50 \,min \times 60 \,s/min = 3000 \,s$.
સરેરાશ ઝડપ = $\frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{5000 \,m}{3000 \,s} = \frac{5}{3} \,m/s$.

(A) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પ્રતિરોધક બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય બસની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = \Delta K$
$F \cdot s = \frac{1}{2} m v^2$
અહીં પ્રતિરોધક બળ $F$ અને પ્રારંભિક વેગ $v$ અચળ હોવાથી:
$s = \frac{m v^2}{2 F} \implies s \propto m$
ધારો કે પ્રારંભિક દળ $m_1 = m$ છે અને પ્રારંભિક અંતર $s_1 = x$ છે.
$25\%$ વધારા પછી નવું દળ $m_2 = m + 0.25m = 1.25m$ થશે.
પ્રમાણસરતા $s \propto m$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{s_2}{s_1} = \frac{m_2}{m_1}$
$s_2 = s_1 \cdot \frac{1.25m}{m}$
$s_2 = 1.25 x$.

(D) આપેલ માર્ગનું સમીકરણ $y = ax - bx^2$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના માર્ગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ છે.
બંને સમીકરણોમાં $x$ અને $x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$\tan \theta = a \implies \theta = \tan^{-1}(a)$.
વળી,$b = \frac{g}{2u^2 \cos^2 \theta}$.
મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
$\tan \theta = a$ પરથી,$\sin \theta = \frac{a}{\sqrt{1+a^2}}$ અને $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1+a^2}}$ મળે.
$u^2 = \frac{g}{2b \cos^2 \theta}$ ને ઊંચાઈના સૂત્રમાં મૂકતા:
$H = \frac{g}{2b \cos^2 \theta} \cdot \frac{\sin^2 \theta}{2g} = \frac{\tan^2 \theta}{4b} = \frac{a^2}{4b}$.
આમ,મહત્તમ ઊંચાઈ $\frac{a^2}{4b}$ અને પ્રક્ષેપણનો ખૂણો $\tan^{-1}(a)$ છે.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિનું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ છે.
મહત્તમ અવધિ માટે,પ્રક્ષેપણ ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ હોવો જોઈએ.
તેથી,$R_{\max} = \frac{u^2 \sin(90^{\circ})}{g} = \frac{u^2}{g} \quad \dots (i)$.
ઉડ્ડયન સમય $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ છે.
$\theta = 45^{\circ}$ મૂકતા,આપણને મળે $T = \frac{2u \sin 45^{\circ}}{g} = \frac{2u}{g \sqrt{2}} = \frac{u \sqrt{2}}{g}$.
આના પરથી,$u = \frac{Tg}{\sqrt{2}}$ મળે છે.
હવે $u$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$R_{\max} = \frac{1}{g} \left( \frac{Tg}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{1}{g} \cdot \frac{T^2 g^2}{2} = \frac{g T^2}{2}$.

(D) ધારો કે સરળ આવર્ત ગતિનો કંપવિસ્તાર $a$ છે. મધ્યમાન સ્થાનથી પદાર્થનું સ્થાનાંતર $x = \frac{a}{N}$ છે.
પદાર્થની ગતિઊર્જા $(KE)$ નીચે મુજબ છે:
$KE = \frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - x^2) = \frac{1}{2} m \omega^2 \left(a^2 - \frac{a^2}{N^2}\right) = \frac{1}{2} m \omega^2 a^2 \left(1 - \frac{1}{N^2}\right) = \frac{1}{2} m \omega^2 a^2 \left(\frac{N^2 - 1}{N^2}\right) \quad (i)$
પદાર્થની સ્થિતિઊર્જા $(PE)$ નીચે મુજબ છે:
$PE = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 \left(\frac{a}{N}\right)^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 \frac{a^2}{N^2} \quad (ii)$
$KE$ અને $PE$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{KE}{PE} = \frac{\frac{1}{2} m \omega^2 a^2 \left(\frac{N^2 - 1}{N^2}\right)}{\frac{1}{2} m \omega^2 \frac{a^2}{N^2}} = \frac{N^2 - 1}{1} = N^2 - 1$

(D) તારની લંબાઈ $l$ છે. ધારો કે વર્તુળાકાર લૂપની ત્રિજ્યા $R$ છે. તેથી,$2 \pi R = l$,જે આપણને $R = \frac{l}{2 \pi}$ આપે છે.
તારનું દળ $m = \rho l$ છે.
વર્તુળાકાર લૂપની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{diam} = \frac{1}{2} m R^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,સ્પર્શક $AB$ ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{cm} + m R^2$ છે,જ્યાં $I_{cm} = I_{diam} = \frac{1}{2} m R^2$.
તેથી,$I = \frac{1}{2} m R^2 + m R^2 = \frac{3}{2} m R^2$.
$m = \rho l$ અને $R = \frac{l}{2 \pi}$ મૂકતા:
$I = \frac{3}{2} (\rho l) \left( \frac{l}{2 \pi} \right)^2 = \frac{3}{2} \rho l \left( \frac{l^2}{4 \pi^2} \right) = \frac{3 \rho l^3}{8 \pi^2}$.

(B) કેલરીમીટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ:
વરાળ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = પાણી અને કેલરીમીટર દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા
ધારો કે ઘનીભૂત થયેલી વરાળનું દળ $m$ ગ્રામ છે.
વરાળ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = $m \times L + m \times C_w \times (T_{steam} - T_{final})$
$= m \times 540 + m \times 1 \times (100 - 90) = 550m \ cal$
પાણી અને કેલરીમીટર દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા = $(m_{water} + m_{eq}) \times C_w \times (T_{final} - T_{initial})$
$= (1000 \ g + 200 \ g) \times 1 \times (90 - 9) = 1200 \times 81 = 97200 \ cal$
બંનેને સરખાવતા:
$550m = 97200$
$m = \frac{97200}{550} \approx 176.7 \ g$
$kg$ માં ફેરવતા,$m \approx 0.1767 \ kg$,જે આશરે $0.18 \ kg$ છે.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,$A$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતા અને $T$ નિરપેક્ષ તાપમાને રહેલા કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = \sigma A T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો:
$\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \ W m^{-2} K^{-4}$
$T = 727^{\circ} C = 727 + 273 = 1000 \ K$
$A = 200 \ mm^2 = 200 \times 10^{-6} \ m^2$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$P = (5.67 \times 10^{-8}) \times (200 \times 10^{-6}) \times (1000)^4$
$P = 5.67 \times 10^{-8} \times 200 \times 10^{-6} \times 10^{12}$
$P = 5.67 \times 2 \times 10^2 \times 10^{-14} \times 10^{12}$
$P = 11.34 \times 10^2 \times 10^{-2}$
$P = 11.34 \ J/s$.

(C) આદર્શ વાયુ માટે આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $dU$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$dU = n C_v dT$
અહીં $C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$ હોવાથી, સૂત્ર આ મુજબ બનશે:
$dU = n \frac{R}{\gamma - 1} (T_2 - T_1)$
આપેલ કિંમતો:
$n = 5 \, mol$
$T_1 = 273 \, K$ ($STP$ પર)
$T_2 = 673 \, K$
$R = 8.3 \, J/mol-K$
$\gamma = 1.4$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$dU = 5 \times \frac{8.3}{1.4 - 1} \times (673 - 273)$
$dU = 5 \times \frac{8.3}{0.4} \times 400$
$dU = 5 \times 8.3 \times 1000$
$dU = 41500 \, J$
કિલો જૂલમાં ફેરવતા:
$dU = 41.50 \, kJ$

(B) ધારો કે દળ $M$ ને $M = C^a h^b G^c$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
પારિમાણિક સૂત્રો:
$C = [LT^{-1}]$
$h = [ML^2T^{-1}]$
$G = [M^{-1}L^3T^{-2}]$
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$[M^1L^0T^0] = [LT^{-1}]^a [ML^2T^{-1}]^b [M^{-1}L^3T^{-2}]^c$
$[M^1L^0T^0] = [M^{b-c} L^{a+2b+3c} T^{-a-b-2c}]$
બંને બાજુ $M, L, T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$b - c = 1$ $(i)$
$a + 2b + 3c = 0$ (ii)
$-a - b - 2c = 0$ (iii)
(ii) અને (iii) નો સરવાળો કરતા: $b + c = 0$,તેથી $b = -c$.
$b = -c$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $-c - c = 1 \Rightarrow -2c = 1 \Rightarrow c = -1/2$.
તેથી $b = 1/2$.
$b = 1/2$ અને $c = -1/2$ ને (iii) માં મૂકતા: $-a - 1/2 - 2(-1/2) = 0 \Rightarrow -a - 1/2 + 1 = 0 \Rightarrow a = 1/2$.
આમ,$M = C^{1/2} h^{1/2} G^{-1/2}$.

(C) ધારો કે પાઇપની લંબાઈ $l$ છે અને ધ્વનિની ઝડપ $v$ છે.
બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_c = \frac{v}{4l}$ છે.
બંધ પાઇપનો $3^{rd}$ હાર્મોનિક $f_{3,c} = 3 \times f_c = \frac{3v}{4l}$ છે.
ખુલ્લી પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_o = \frac{v}{2l}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ, ખુલ્લી પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ એ બંધ પાઇપના $3^{rd}$ હાર્મોનિક કરતા $55 \,Hz$ ઓછી છે:
$f_{3,c} - f_o = 55 \,Hz$
$\frac{3v}{4l} - \frac{v}{2l} = 55$
$\frac{3v - 2v}{4l} = 55$
$\frac{v}{4l} = 55 \,Hz$
બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_c = \frac{v}{4l}$ હોવાથી, તેનું મૂલ્ય $55 \,Hz$ છે.

(B) કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ અચળ હોવાથી અને પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 0$ હોવાથી,$t$ સમયમાં કપાયેલ ખૂણો $\theta = \frac{1}{2} \alpha t^2$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $t$ સમયમાં $\theta = 15^{\circ}$,તેથી $15^{\circ} = \frac{1}{2} \alpha t^2$ (સમીકરણ $1$).
હવે,આપણે પછીના $2t \ s$ સમયમાં કપાયેલ ખૂણો શોધવાનો છે. કુલ સમય $t + 2t = 3t \ s$ થાય.
$3t$ સમયમાં કુલ ખૂણો $\theta_{total} = \frac{1}{2} \alpha (3t)^2 = 9 \times (\frac{1}{2} \alpha t^2)$ થશે.
સમીકરણ $1$ ની કિંમત મૂકતા,$\theta_{total} = 9 \times 15^{\circ} = 135^{\circ}$.
તેથી,પછીના $2t \ s$ સમયમાં વધારાનો ખૂણો $\Delta \theta = \theta_{total} - \theta = 135^{\circ} - 15^{\circ} = 120^{\circ}$ મળે.

(D) ધારો કે ગોળાનું દળ $M$ છે અને મહત્તમ ઊંચાઈએ તેનો વેગ $v_h = u \cos \theta$ છે. મહત્તમ ઊંચાઈએ વેગમાન $P = M u \cos \theta$ છે.
$M/2$ દળના બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત થયા પછી,એક ભાગ તેના માર્ગે પાછો ફરે છે,એટલે કે તેનો વેગ $-u \cos \theta$ છે. ધારો કે બીજા ભાગનો વેગ $v_2$ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$M u \cos \theta = \frac{M}{2} (-u \cos \theta) + \frac{M}{2} v_2$
$u \cos \theta = -\frac{1}{2} u \cos \theta + \frac{1}{2} v_2$
$\frac{3}{2} u \cos \theta = \frac{1}{2} v_2 \implies v_2 = 3 u \cos \theta$.
પ્રથમ ભાગની ગતિઊર્જા $E_1 = \frac{1}{2} (M/2) (u \cos \theta)^2 = \frac{1}{4} M u^2 \cos^2 \theta$ છે.
બીજા ભાગની ગતિઊર્જા $E_2 = \frac{1}{2} (M/2) (3 u \cos \theta)^2 = \frac{1}{4} M (9 u^2 \cos^2 \theta) = \frac{9}{4} M u^2 \cos^2 \theta$ છે.
બંનેની સરખામણી કરતા,આપણને $E_2 = 9 E_1$ મળે છે.

(D) આપેલ છે: કેપેસિટન્સ $C = 50 \mu F = 50 \times 10^{-6} \text{ F}$ અને વોલ્ટેજ $V = 220 \sin 50 t \text{ V}$.
આને પ્રમાણિત સમીકરણ $V = V_0 \sin \omega t$ સાથે સરખાવતા,આપણને પીક વોલ્ટેજ $V_0 = 220 \text{ V}$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 50 \text{ rad/s}$ મળે છે.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ નીચે મુજબ મળે છે: $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{50 \times 50 \times 10^{-6}} = \frac{1}{2500 \times 10^{-6}} = \frac{10^6}{2500} = 400 \Omega$.
પીક પ્રવાહ $i_0 = \frac{V_0}{X_C} = \frac{220}{400} = 0.55 \text{ A}$.
$rms$ પ્રવાહ $i_{rms} = \frac{i_0}{\sqrt{2}} = \frac{0.55}{\sqrt{2}} \text{ A}$ થાય છે.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં, ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે, જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે, $D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે, અને $d$ એ સ્લિટો વચ્ચેનું અંતર છે。
સૂત્ર પરથી જોઈ શકાય છે કે જ્યારે $\lambda$ અને $D$ અચળ હોય ત્યારે $\beta \propto \frac{1}{d}$ થાય。
આપેલ છે: પ્રારંભિક સ્લિટ અંતર $d_1 = 2 \text{ mm}$, પ્રારંભિક ફ્રિન્જ પહોળાઈ $\beta_1 = 1.2 \text{ mm}$.
નવું સ્લિટ અંતર $d_2 = 1.5 \times d_1 = 1.5 \times 2 \text{ mm} = 3 \text{ mm}$.
પ્રમાણસરતા $\beta_1 d_1 = \beta_2 d_2$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે:
$\beta_2 = \beta_1 \times \frac{d_1}{d_2} = 1.2 \text{ mm} \times \frac{2 \text{ mm}}{3 \text{ mm}} = 1.2 \times \frac{2}{3} \text{ mm} = 0.4 \times 2 \text{ mm} = 0.8 \text{ mm}$.
તેથી, નવી ફ્રિન્જની પહોળાઈ $0.8 \text{ mm}$ થશે.

(B) યંગના ડબલ-સ્લિટ વ્યતિકરણ પ્રયોગમાં, શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\beta = \frac{\lambda D}{d}$
જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે, $D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે, અને $d$ એ સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે.
આપેલ છે:
$\beta_1 = 1.2 \ \text{mm}$
$d_2 = 1.5 \times d_1$
અહીં $\beta \propto \frac{1}{d}$ હોવાથી ($\lambda$ અને $D$ અચળ રહે છે),
$\frac{\beta_1}{\beta_2} = \frac{d_2}{d_1} = 1.5$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1.2}{\beta_2} = 1.5$
$\beta_2 = \frac{1.2}{1.5} = 0.8 \ \text{mm}$
આમ, નવી શલાકાની પહોળાઈ $0.8 \ \text{mm}$ થશે.

(D) આપેલ છે: કેપેસિટન્સ $C = 50 \mu F = 50 \times 10^{-6} \text{ F}$ અને વોલ્ટેજ $V = 220 \sin 50 t \text{ V}$.
પ્રમાણિત સમીકરણ $V = V_0 \sin \omega t$ સાથે સરખાવતા,આપણને પીક વોલ્ટેજ $V_0 = 220 \text{ V}$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 50 \text{ rad/s}$ મળે છે.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{50 \times 50 \times 10^{-6}} = \frac{1}{2500 \times 10^{-6}} = 400 \Omega$.
પીક પ્રવાહ $i_0$ નીચે મુજબ મળે છે:
$i_0 = \frac{V_0}{X_C} = \frac{220}{400} = 0.55 \text{ A}$.
rms પ્રવાહ $i_{\text{rms}}$ નીચે મુજબ છે:
$i_{\text{rms}} = \frac{i_0}{\sqrt{2}} = \frac{0.55}{\sqrt{2}} \text{ A}$.

(A) $n$-મી કક્ષાની કુલ ઉર્જા $E_n = -\frac{m e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^2 n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $E_n \propto m$ હોવાથી,$\mu^{-}$-સિસ્ટમ અને હાઇડ્રોજન પરમાણુની ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_{\mu}}{E_e} = \frac{m_{\mu}}{m_e} = 207$ થાય.
તેથી,$E_{\mu} = 207 \times E_e = 207 \times (-13.6 \text{ eV}) = -13.6 \times 207 \text{ eV}$.
$n$-મી કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = \frac{\varepsilon_0 h^2 n^2}{\pi m e^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $r_n \propto \frac{1}{m}$ હોવાથી,$\mu^{-}$-સિસ્ટમ અને હાઇડ્રોજન પરમાણુની ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{r_{\mu}}{r_H} = \frac{m_e}{m_{\mu}} = \frac{1}{207}$ થાય.
તેથી,$r_{\mu} = \frac{r_H}{207}$.

(B) ટ્રાન્સમિટિંગ એન્ટેનાની ઊંચાઈ $h_T$ અને જમીન પરના રિસીવિંગ એન્ટેના માટે મહત્તમ લાઇન-ઓફ-સાઇટ અંતર $d$ નું સૂત્ર: $d = \sqrt{2 R_e h_T}$ છે.
આપેલ છે:
$R_e = 6.4 \times 10^6 \ m$
$h_T = 128 \ m$
કિંમતો મૂકતા:
$d = \sqrt{2 \times 6.4 \times 10^6 \times 128}$
$d = \sqrt{12.8 \times 10^6 \times 128}$
$d = \sqrt{1638.4 \times 10^6} \ m$
$d = \sqrt{16.384 \times 10^8} \ m = 40477 \ m \approx 40.5 \ km$
વિકલ્પ $B$ મુજબ: $\frac{128}{\sqrt{10}} \approx \frac{128}{3.162} \approx 40.48 \ km$.
તેથી,સાચો જવાબ $B$ છે.

(A) પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા એટલે પાવર, $P = I^2 R$. $5 \Omega$ ના અવરોધ માટે $P_2 = 50 \text{ J/s}$ આપેલ છે.
$I_2^2 \times 5 = 50 \Rightarrow I_2^2 = 10 \Rightarrow I_2 = \sqrt{10} \text{ A}$.
સમાંતર શાખાઓ વચ્ચેનો વોલ્ટેજ $V = I_2 \times 5 = 5\sqrt{10} \text{ V}$ છે.
ઉપરની શાખામાં $2 \Omega$ અને $8 \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે, તેથી ઉપરની શાખાનો કુલ અવરોધ $R_{upper} = 2 + 8 = 10 \Omega$ થાય.
ઉપરની શાખામાં વહેતો પ્રવાહ $I_1 = \frac{V}{R_{upper}} = \frac{5\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{2} \text{ A}$ છે.
$2 \Omega$ ના અવરોધમાં પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $P_1 = I_1^2 \times R_1$ છે.
$P_1 = \left( \frac{\sqrt{10}}{2} \right)^2 \times 2 = \frac{10}{4} \times 2 = \frac{20}{4} = 5 \text{ J/s}$.

(A) આપેલ છે: $\rho_B = 2 \rho_A$ અને $R_A = R_B = R$.
ધારો કે તાર $A$ ની ત્રિજ્યા $r_A = r$ છે. તાર $B$ નો વ્યાસ $A$ કરતા બમણો હોવાથી,તાર $B$ ની ત્રિજ્યા $r_B = 2r$ થશે.
તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A} = \rho \frac{l}{\pi r^2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R_A = R_B$ હોવાથી:
$\rho_A \frac{l_A}{\pi r_A^2} = \rho_B \frac{l_B}{\pi r_B^2}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\rho_A \frac{l_A}{\pi r^2} = (2 \rho_A) \frac{l_B}{\pi (2r)^2}$
$\rho_A \frac{l_A}{r^2} = 2 \rho_A \frac{l_B}{4r^2}$
$l_A = \frac{2}{4} l_B$
$l_A = \frac{1}{2} l_B$
તેથી,$\frac{l_B}{l_A} = 2$.

(B) આપેલ છે કે ફોટોનની ઊર્જા $E$ એ પ્રોટોનની ગતિઊર્જા $K_p = E$ જેટલી છે.
પ્રોટોન માટે,ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = \frac{h}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $p$ એ પ્રોટોનનું વેગમાન છે.
$E = \frac{p^2}{2m}$ હોવાથી,$p = \sqrt{2mE}$ મળે.
તેથી,$\lambda_1 = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$.
ફોટોન માટે,તરંગલંબાઈ $\lambda_2 = \frac{hc}{E}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ ની ગણતરી કરતા:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{h / \sqrt{2mE}}{hc / E} = \frac{h}{\sqrt{2mE}} \cdot \frac{E}{hc} = \frac{E}{c \sqrt{2mE}} = \frac{\sqrt{E}}{c \sqrt{2m}}$.
અહીં $c$ અને $m$ અચળ હોવાથી,$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} \propto \sqrt{E}$ અથવા $E^{1/2}$ થાય.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર માટે આપેલું સમીકરણ $E = i 30 \cos (k z - 5 \times 10^8 t)$ છે.
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $E = E_0 \cos (k z - \omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 5 \times 10^8 \ rad/s$ મળે છે.
પ્રકાશની ઝડપ $c$,કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ અને તરંગ સદિશ $k$ વચ્ચેનો સંબંધ $c = \frac{\omega}{k}$ છે.
$k$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$k = \frac{\omega}{c}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $k = \frac{5 \times 10^8 \ rad/s}{3 \times 10^8 \ m/s}$.
આમ,$k = \frac{5}{3} \approx 1.66 \ rad/m$ થાય છે.

(C) કુલંબના નિયમ મુજબ,$r$ અંતરે રહેલા બે વિદ્યુતભારો $q$ અને $Q-q$ વચ્ચેનું બળ $F$ નીચે મુજબ છે:
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q(Q-q)}{r^2}$
બળ મહત્તમ થાય તે માટે $q$ નું મૂલ્ય શોધવા,આપણે $F$ નું $q$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરી તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$\frac{dF}{dq} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} \cdot \frac{d}{dq}(Qq - q^2) = 0$
$Q - 2q = 0$
$2q = Q$
$q = \frac{Q}{2}$
આમ,જ્યારે વિદ્યુતભાર $Q$ ને બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે,એટલે કે $q = \frac{Q}{2}$ હોય,ત્યારે બળ મહત્તમ થાય છે.

(A) ધારો કે પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ છે. કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ બંને કવચ પર એવી રીતે વહેંચાયેલ છે કે $\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$.
કુલ વિદ્યુતભાર $Q = \sigma(4 \pi r^2) + \sigma(4 \pi R^2) = 4 \pi \sigma(r^2 + R^2)$.
તેથી,$\sigma = \frac{Q}{4 \pi (r^2 + R^2)}$.
$q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા $a$ ત્રિજ્યાના ગોળાકાર કવચના કેન્દ્ર પર વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{a}$ છે.
બંને કવચ માટે,કેન્દ્ર પરનું કુલ સ્થિતિમાન દરેક કવચને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q_1}{r} + \frac{q_2}{R} \right) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{\sigma 4 \pi r^2}{r} + \frac{\sigma 4 \pi R^2}{R} \right)$.
$V = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} (r + R)$.
$\sigma$ ની કિંમત મૂકતા:
$V = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 (r^2 + R^2)} (r + R) = \frac{Q(R+r)}{4 \pi \varepsilon_0 (R^2+r^2)}$.

(D) $n$ આંટા અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્રમાં $i$ પ્રવાહને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 n i}{2 r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે તારની લંબાઈ $L$ છે. એક આંટા માટે $(n_1 = 1)$,પરિઘ $2 \pi r_1 = L$ થાય,તેથી $r_1 = \frac{L}{2 \pi}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = B = \frac{\mu_0 (1) i}{2 r_1} = \frac{\mu_0 i}{2 (L / 2 \pi)} = \frac{\mu_0 i \pi}{L}$ છે.
જ્યારે તે જ તારને $n$ આંટામાં વાળવામાં આવે $(n_2 = n)$,ત્યારે દરેક આંટાનો નવો પરિઘ $2 \pi r_2 = \frac{L}{n}$ થાય,તેથી $r_2 = \frac{L}{2 \pi n}$.
નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 n i}{2 r_2} = \frac{\mu_0 n i}{2 (L / 2 \pi n)} = \frac{\mu_0 n i \pi n}{L} = n^2 \left( \frac{\mu_0 i \pi}{L} \right)$ થાય.
કૌંસમાં રહેલા પદ માટે $B$ મૂકતા,આપણને $B_2 = n^2 B$ મળે છે.

(D) જ્યારે $q$ વિદ્યુતભાર અને $m$ દળ ધરાવતો કણ $v$ વેગ સાથે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ને લંબ રૂપે પ્રવેશ કરે છે,ત્યારે તે ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ $F = q(v \times B)$ અનુભવે છે.
બળ હંમેશા વેગને લંબ હોવાથી,તે કેન્દ્રગામી બળ તરીકે કાર્ય કરે છે,જેના કારણે કણ વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરે છે.
આ વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$r = \frac{mv}{qB}$
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ત્રિજ્યા $r$ એ વેગ $v$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(r \propto v)$.
તેથી,કણ એવી વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરે છે જેની ત્રિજ્યા તેના વેગના સમપ્રમાણમાં હોય છે.

(D) આપેલ છે:
પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક,$B_H = 0.8 \times 10^{-4} \,T$
ડીપનો ખૂણો,$\theta = 60^{\circ}$
ધારો કે પૃથ્વીનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_e$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક અને કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$B_H = B_e \cos \theta$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$0.8 \times 10^{-4} = B_e \cos 60^{\circ}$
કારણ કે $\cos 60^{\circ} = 0.5$ અથવા $\frac{1}{2}$ છે,તેથી:
$0.8 \times 10^{-4} = B_e \times 0.5$
$B_e$ માટે ગણતરી કરતા:
$B_e = \frac{0.8 \times 10^{-4}}{0.5}$
$B_e = 1.6 \times 10^{-4} \,T$
આમ,પૃથ્વીનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $1.6 \times 10^{-4} \,T$ છે.

(D) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $R = R_0 A^{1/3}$ છે, જ્યાં $R_0$ અચળાંક છે અને $A$ એ દળ-ક્રમાંક છે。
આપેલ છે:
$R_1 = 1.5 \text{ fermi}$, $A_1 = 125$
$A_2 = 64$
આપણે $R_2$ શોધવાનું છે。
ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{R_1}{R_2} = \left( \frac{A_1}{A_2} \right)^{1/3}$
$\frac{1.5}{R_2} = \left( \frac{125}{64} \right)^{1/3}$
$\frac{1.5}{R_2} = \frac{5}{4}$
$R_2 = \frac{1.5 \times 4}{5} = 0.3 \times 4 = 1.2 \text{ fermi}$.

(C) પ્રથમ શરત મુજબ,બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,લેન્સનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ છે.
અહીં $f = 25 \,cm$ અને $v = 75 \,cm$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{1}{25} = \frac{1}{75} - \frac{1}{u}$
$\frac{1}{u} = \frac{1}{75} - \frac{1}{25} = \frac{1-3}{75} = -\frac{2}{75}$
$u = -37.5 \,cm$.
આમ,વસ્તુ લેન્સથી $37.5 \,cm$ ના અંતરે મૂકવામાં આવી છે.
બીજી શરત મુજબ,પડદાને લેન્સની નજીક $25 \,cm$ ખસેડવામાં આવે છે,તેથી નવું પ્રતિબિંબ અંતર $v_1 = 75 \,cm - 25 \,cm = 50 \,cm$ થશે.
લેન્સના સૂત્રનો ફરીથી ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{25} = \frac{1}{50} - \frac{1}{u_1}$
$\frac{1}{u_1} = \frac{1}{50} - \frac{1}{25} = \frac{1-2}{50} = -\frac{1}{50}$
$u_1 = -50 \,cm$.
આમ,નવું વસ્તુ અંતર $50 \,cm$ છે.
વસ્તુને જે અંતરે ખસેડવી પડે તે $\Delta u = |u_1| - |u| = 50 \,cm - 37.5 \,cm = 12.5 \,cm$ છે.

(C) સમાન વક્રતા ત્રિજ્યા $R_1 = R$ અને $R_2 = -R$ ધરાવતા બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,લેન્સ મેકરનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left[ \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right] = (\mu - 1) \left[ \frac{2}{R} \right]$
આમ,$R = 2f(\mu - 1)$.
જ્યારે લેન્સને ઊભી રીતે બે સમાન સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક નવા લેન્સની એક સપાટીની ત્રિજ્યા $R$ હોય છે અને બીજી સપાટી સમતલ (ત્રિજ્યા $\infty$) હોય છે.
નવા લેન્સ માટે કેન્દ્રલંબાઈ $f'$ શોધવા માટે લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f'} = (\mu - 1) \left[ \frac{1}{R} - \frac{1}{\infty} \right]$
$\frac{1}{f'} = (\mu - 1) \left[ \frac{1}{R} \right]$
$f' = \frac{R}{\mu - 1}$
$R = 2f(\mu - 1)$ ની કિંમત મૂકતા:
$f' = \frac{2f(\mu - 1)}{\mu - 1} = 2f$.

(B) ટ્રાન્ઝિસ્ટરની આઉટપુટ લાક્ષણિકતાઓને બેઝ પ્રવાહ $(I_B)$ ને અચળ રાખીને કલેક્ટર-એમિટર વોલ્ટેજ $(V_{CE})$ સાથે કલેક્ટર પ્રવાહ $(I_C)$ ના ફેરફાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આ સંબંધને આલેખ દ્વારા દર્શાવવા માટે $I_B$ ના વિવિધ નિશ્ચિત મૂલ્યો માટે y-અક્ષ પર $I_C$ અને x-અક્ષ પર $V_{CE}$ ને આલેખવામાં આવે છે.

(D) આપેલ છે:
આંતરિક કેરિયર સાંદ્રતા $n_i = 1.6 \times 10^{16} / m^3$
ડોનર સાંદ્રતા $N_D = 4.8 \times 10^{20} / m^3$
$n$-પ્રકારના સેમિકન્ડક્ટરમાં,ઇલેક્ટ્રોન સાંદ્રતા $n_e \approx N_D = 4.8 \times 10^{20} / m^3$.
સેમિકન્ડક્ટર માટે માસ એક્શનના નિયમ મુજબ,$n_i^2 = n_e \times n_h$,જ્યાં $n_h$ એ હોલની સાંદ્રતા છે.
કિંમતો મૂકતા:
$(1.6 \times 10^{16})^2 = (4.8 \times 10^{20}) \times n_h$
$2.56 \times 10^{32} = 4.8 \times 10^{20} \times n_h$
$n_h = \frac{2.56 \times 10^{32}}{4.8 \times 10^{20}}$
$n_h = 0.533 \times 10^{12} / m^3 = 5.33 \times 10^{11} / m^3$.
આમ,હોલ્સની સાંદ્રતા આશરે $5.3 \times 10^{11} / m^3$ છે.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ વ્યતિકરણના પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક ફ્રિન્જ પહોળાઈ $\beta_1 = 1.2 \text{ mm}$.
પ્રારંભિક સ્લિટ અંતર $d_1 = 2 \text{ mm}$.
સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર અગાઉના મૂલ્ય કરતા દોઢ ગણું વધારવામાં આવે છે,તેથી $d_2 = 1.5 d_1$.
આમ,$\beta \propto \frac{1}{d}$ હોવાથી,$\frac{\beta_1}{\beta_2} = \frac{d_2}{d_1}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1.2}{\beta_2} = 1.5$.
$\beta_2 = \frac{1.2}{1.5} = 0.8 \text{ mm}$.