यदि $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ असमतलीय सदिश हैं और यदि $\vec{d}$ इस प्रकार है कि $\vec{d} = \frac{1}{x}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$ और $\vec{d} = \frac{1}{y}(\vec{b} + \vec{c} + \vec{d})$ जहाँ $x$ और $y$ शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हैं,तो $\frac{1}{xy}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d})$ का मान क्या होगा?

मान लीजिए $a$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं। मान लीजिए $\overrightarrow{PQ} = a \hat{i} + b \hat{j}$ और $\overrightarrow{PS} = a \hat{i} - b \hat{j}$ एक समांतर चतुर्भुज $PQRS$ की आसन्न भुजाएँ हैं। मान लीजिए $\overrightarrow{u}$ और $\overrightarrow{v}$,$\overrightarrow{w} = \hat{i} + \hat{j}$ के क्रमशः $\overrightarrow{PQ}$ और $\overrightarrow{PS}$ पर प्रक्षेप सदिश हैं। यदि $|\vec{u}| + |\vec{v}| = |\vec{w}|$ और यदि समांतर चतुर्भुज $PQRS$ का क्षेत्रफल $8$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन $TRUE$ है/हैं?
$(A)$ $a + b = 4$
$(B)$ $a - b = 2$
$(C)$ समांतर चतुर्भुज $PQRS$ के विकर्ण $PR$ की लंबाई $4$ है
$(D)$ $\overrightarrow{w}$,सदिशों $\overrightarrow{PQ}$ और $\overrightarrow{PS}$ का कोण समद्विभाजक है

बिंदु $B$ एक वृत्त के चतुर्थांश के चाप $AC$ को $1 : 2$ के अनुपात में विभाजित करता है। यदि $O$ केंद्र है और $\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$ तथा $\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}$ है,तो सदिश $\overrightarrow{OC}$ क्या है?

मान लीजिए $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b}=2\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{d}=\vec{a} \times \vec{b}$ है। यदि $\vec{c}$ एक ऐसा सदिश है कि $\vec{a} \cdot \vec{c}=|\vec{c}|$,$|\vec{c}-2\vec{a}|^2=8$ और $\vec{d}$ तथा $\vec{c}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{4}$ है,तो $|10-3\vec{b} \cdot \vec{c}|+|\vec{d} \times \vec{c}|^2$ का मान . . . . . . है।

स्तंभ $I$ में दिए गए कथनों का मिलान स्तंभ $II$ में दिए गए मानों से कीजिए।

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$(A)$ यदि $\vec{a}=\hat{j}+\sqrt{3} \hat{k}, \vec{b}=-\hat{j}+\sqrt{3} \hat{k}$ और $\vec{c}=2 \sqrt{3} \hat{k}$ एक त्रिभुज बनाते हैं,तो $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच त्रिभुज का आंतरिक कोण है	$(p)$ $\frac{\pi}{6}$
$(B)$ यदि $\int_a^b(f(x)-3 x) d x=a^2-b^2$ है,तो $f\left(\frac{\pi}{6}\right)$ का मान है	$(q)$ $\frac{2 \pi}{3}$
$(C)$ $\frac{\pi^2}{\ln 3} \int_{1 / 6}^{5 / 6} \sec (\pi x) d x$ का मान है	$(r)$ $\frac{\pi}{3}$
$(D)$ $|z|=1, z \neq 1$ के लिए $|\operatorname{Arg}(\frac{1}{1-z})|$ का अधिकतम मान है	$(s)$ $\pi$
	$(t)$ $\frac{\pi}{2}$

सदिश $\frac{1}{3}(2i - 2j + k)$ है