परवलय $y^2=32x$ की नाभीय जीवाओं की ढाल,जो वृत्त $x^2+y^2=4$ की स्पर्श रेखाएं हैं,क्या हैं?

यदि सरल रेखा $ax + by = 2$ जहाँ $a, b \neq 0$ वृत्त $x^2 + y^2 - 2x = 3$ को स्पर्श करती है और वृत्त $x^2 + y^2 - 4y = 6$ के अभिलंब है,तो $a$ और $b$ के मान क्रमशः क्या होंगे?

परवलय $y^2 = 4x + 16$ की नाभि $5$ त्रिज्या वाले वृत्त $C$ का केंद्र है। यदि $\lambda$ के वे मान,जिनके लिए $C$ रेखाओं $3x - y = 0$ और $x + \lambda y = 4$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरता है,$\lambda_1$ और $\lambda_2$ $(\lambda_1 < \lambda_2)$ हैं,तो $12\lambda_1 + 29\lambda_2$ का मान . . . . . . है।

माना $A=\{(x, y) \in R \times R \mid 2 x^{2}+2 y^{2}-2 x-2 y=1\}$,$B=\{(x, y) \in R \times R \mid 4 x^{2}+4 y^{2}-16 y+7=0\}$ और $C=\{(x, y) \in R \times R \mid x^{2}+y^{2}-4 x-2 y+5 \leq r^{2}\}$ है। तो $|r|$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए ताकि $A \cup B \subseteq C$ हो।

विभिन्न वास्तविक शून्येतर संख्याओं $x_1, x_2, x_3$ और $x_4$ के लिए,मान लीजिए कि बिंदु $(x_1, \frac{1}{x_1}), (x_2, \frac{1}{x_2}), (x_3, \frac{1}{x_3})$ और $(x_4, \frac{1}{x_4})$ त्रिज्या $4$ वाले एक वृत्त की परिधि पर स्थित हैं। तो,$x_1 x_2 x_3 x_4$ का मान है

मान लीजिए $P(a, b)$ परवलय $y^2 = 8x$ पर एक बिंदु है,इस प्रकार कि $P$ पर स्पर्शरेखा वृत्त $x^2 + y^2 - 10x - 14y + 65 = 0$ के केंद्र से होकर गुजरती है। मान लीजिए $A$,$a$ के सभी संभावित मानों का गुणनफल है और $B$,$b$ के सभी संभावित मानों का गुणनफल है। तो $A + B$ का मान क्या होगा?